Логарифмын ялгаа
Энгийн функцүүдийн деривативууд
Ялгах үндсэн дүрмүүд
Функцийн дифференциал
Функцийн өсөлтийн үндсэн шугаман хэсэг АД xфункцийн дифференциал байдлыг тодорхойлоход
Д f=f(x)-f(x 0)=А(х - х 0)+o(x - x 0), x®x 0
функцийн дифференциал гэж нэрлэдэг е(x) цэг дээр x 0 ба тэмдэглэгдсэн байна
df(x 0)=f¢(x 0) D x=AД x.
Дифференциал нь тухайн цэгээс хамаарна x 0 ба өсөлтөөс D x.Д дээр xҮүний зэрэгцээ тэд үүнийг бие даасан хувьсагч гэж үздэг, тиймээс цэг бүрт дифференциал нь D өсөлтийн шугаман функц юм x.
Хэрэв бид функц гэж үзвэл е(x)=x, тэгвэл бид авна dx=Д x,dy = Нэмэлт. Энэ нь Лейбницийн тэмдэглэгээтэй нийцдэг
Шүргэгчийн ординатын өсөлт гэж дифференциалын геометрийн тайлбар.
Цагаан будаа. 4.3
1) f= const , f¢= 0,df= 0D x= 0.
2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.
3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.
Үр дагавар. (харьц(x))¢=харьц ¢(x), (в 1 е 1 (x)+…+c n f n(x))¢= в 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)
4) f=u/v, v(x 0)¹0 ба дериватив нь байна f¢=(u¢v-v¢ у)/v 2 .
Товчхондоо бид тэмдэглэнэ u=u(x), у 0 =у(x 0), дараа нь
D цэгийн хязгаарт хүрч байна x® 0 Бид шаардлагатай тэгш байдлыг олж авдаг.
5) Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.
Теорем. Хэрэв f¢ байгаа бол(x 0), g¢(x 0)болон x 0 =g(т 0), дараа нь зарим хороололд т 0 f цогц функц тодорхойлогддог(g(т)), энэ нь t цэг дээр ялгагдах боломжтой 0 Тэгээд
Баталгаа.
е(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(х-х 0)+ а( x)(х-х 0), xÎ У(x 0).
е(g(т))-f(g(т 0))= f¢(x 0)(g(т)- г(т 0))+ а( g(т))(g(т)- г(т 0)).
Энэ тэгш байдлын хоёр талыг (-д хуваая) т - т 0) тэгээд хязгаар руугаа явцгаая t®t 0 .
6) Урвуу функцийн деривативын тооцоо.
Теорем. f нь тасралтгүй, хатуу монотон байна[а,б]. x цэг дээр байг 0 Î( а,б)f¢ байна(x 0)¹ 0 , тэгвэл урвуу функц x=f болно -1 (y)y цэг дээр байна 0 -тэй тэнцүү дериватив
Баталгаа. Бид тоолдог ехатуу monotonically нэмэгдэж, дараа нь е -1 (y) тасралтгүй, нэг хэвийн [-ээр нэмэгддэг. е(а), f(б)]. тавья y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0 =D x,
y - y 0 =D y. Урвуу функцийн тасралтгүй байдлын улмаас D y®0 Þ Д x®0, бидэнд байна
Хязгаарыг давснаар бид шаардлагатай тэгш байдлыг олж авдаг.
7) Тэгш функцийн дериватив нь сондгой, сондгой функцийн дериватив нь тэгш байна.
Үнэхээр, хэрэв x® - x 0 , Тэр - x® x 0 , Тийм ч учраас
Тэгш функцийн хувьд сондгой функцийн хувьд
1) f= const, f¢(x)=0.
2) е(x)=x, f¢(x)=1.
3) е(x)=e x, f¢(x)= e x ,
4) е(x)=a x,(а х)¢ = сүх ln а.
5) ln а.
6) е(x)=ln x,
Үр дагавар. (тэгш функцийн дериватив нь сондгой)
7) (хм )¢= м xм -1 , x>0, xм =eм ln x .
8) (нүгэл x)¢= cos x,
9) (cos x)¢=- нүгэл x,(cos x)¢= (нүгэл( x+ p/2)) ¢= учир нь( x+ p/2)=-нүгэл x.
10) (тг x)¢= 1/cos 2 x.
11) (ctg x)¢= -1/нүгэл 2 x.
16)ш x, ch x.
f(x),, үүнээс үүдэн гарч ирдэг f¢(x)=f(x)(ln е(x))¢ .
Ижил томъёог өөрөөр авч болно е(x)=e ln е(x) , f¢=e ln е(x) (ln е(x))¢.
Жишээ. Функцийн деривативыг тооцоол f=x x.
=x x = x x = x x = x x(Ln x+ 1).
Хавтгай дээрх цэгүүдийн геометрийн байршил
Бид үүнийг функцийн график гэж нэрлэх болно, параметрийн дагуу өгөгдсөн. Тэд мөн функцийн параметрийн тодорхойлолтын талаар ярьдаг.
Тайлбар 1.Хэрэв x, yтөлөө тасралтгүй [а,б] Тэгээд x(т) сегмент дээр хатуу монотон (жишээлбэл, хатуу монотон нэмэгддэг), дараа нь [ а,б], a=x(а) , b=x(б) функцийг тодорхойлсон е(x)=y(т(x)), хаана т(x) – x(t)-ийн урвуу функц. Энэ функцийн график нь функцийн графиктай давхцаж байна
Хэрэв тодорхойлолтын домэйн бол параметрийн дагуу өгөгдсөн функцийг хязгаарлагдмал тооны сегментүүдэд хувааж болно ,k= 1,2,..., n,тус бүр дээр нь функц байдаг x(т) нь хатуу монотон, дараа нь параметрийн тодорхойлогдсон функц нь хязгаарлагдмал тооны энгийн функцүүдэд задардаг. fk(x)=y(т -1 (x)) домайнуудтай [ x(а к), x(б к)] нэмэгдүүлэх хэсгүүдэд зориулагдсан x(т) болон домэйнуудтай [ x(б к), x(а к)] үйл ажиллагаа буурч байгаа газруудад x(т). Ийм аргаар олж авсан функцуудыг параметрийн тодорхойлогдсон функцийн нэг утгатай салбар гэж нэрлэдэг.
Зураг дээр параметрийн тодорхойлогдсон функцийн графикийг харуулав
Сонгосон параметрийн тусламжтайгаар тодорхойлох талбар sin(2 т), яг: тÎ тÎ ,тÎ ,тÎ , Үүний дагуу график нь эдгээр хэсгүүдэд харгалзах хоёрдмол утгагүй таван салбарт хуваагдана.
Цагаан будаа. 4.4
Цагаан будаа. 4.5
Та цэгүүдийн ижил геометрийн байршлын өөр параметрийг сонгож болно
Энэ тохиолдолд зөвхөн дөрвөн ийм салбар байх болно. Тэд хатуу монотонтой газруудад тохирох болно тÎ ,тÎ , тÎ ,тÎ функцууд нүгэл (2 т).
Цагаан будаа. 4.6
sin функцийн монотон байдлын дөрвөн хэсэг(2 т) урт сегмент дээр.
Цагаан будаа. 4.7
Хоёр графикийг нэг зурагт дүрслэх нь хоёр функцийн монотон байдлын талбайг ашиглан параметрийн дагуу тодорхойлсон функцийн графикийг ойролцоогоор дүрслэх боломжийг олгодог.
Жишээ болгон сегментэд тохирох эхний салбарыг авч үзье тÎ . Энэ хэсгийн төгсгөлд функц x=нүгэл (2 т) -1 утгыг авна ба 1 , тиймээс энэ салбарыг [-1,1] дээр тодорхойлно. Үүний дараа та хоёрдахь функцийн нэг хэвийн байдлын хэсгүүдийг харах хэрэгтэй у=учир нь( т), тэр дээр байна монотон байдлын хоёр хэсэг . Энэ нь эхний салбар нь монотоникийн хоёр хэсэгтэй гэж хэлэх боломжийг бидэнд олгодог. Графикийн төгсгөлийн цэгүүдийг олсны дараа та графикийн нэг хэвийн байдлын мөн чанарыг харуулахын тулд тэдгээрийг шулуун шугамаар холбож болно. Үүнийг салбар бүрээр хийсний дараа бид графикийн хоёрдмол утгагүй салбаруудын монотон байдлын хэсгүүдийг олж авдаг (тэдгээрийг зураг дээр улаанаар тодруулсан болно)
Цагаан будаа. 4.8
Анхны нэг үнэ цэнэтэй салбар е 1 (x)=y(т(x)) , сайттай харгалзах -ээр тодорхойлогдох болно xО[-1,1] . Анхны нэг үнэ цэнэтэй салбар тÎ , xО[-1,1].
Бусад гурван салбар нь мөн тодорхойлолтын домэйнтэй байх болно [-1,1] .
Цагаан будаа. 4.9
Хоёр дахь салбар тÎ xО[-1,1].
Цагаан будаа. 4.10
Гурав дахь салбар тÎ xО[-1,1]
Цагаан будаа. 4.11
Дөрөв дэх салбар тÎ xО[-1,1]
Цагаан будаа. 4.12
Сэтгэгдэл 2. Ижил функц өөр өөр параметрийн тохиргоотой байж болно. Ялгаа нь хоёуланд нь хоёуланд нь хамааралтай байж болно x(т), y(т) , болон тодорхойлолтын домэйн эдгээр функцууд.
Нэг функцэд зориулсан өөр өөр параметрийн даалгаврын жишээ
Тэгээд тО[-1, 1] .
Тайлбар 3.Хэрэв x,y үргэлжилсэн байвал , x(т)-сегмент дээр хатуу монотон мөн деривативууд байдаг y¢(т 0),x¢(т 0)¹0, тэгвэл байна f¢(x 0)= .
Үнэхээр, .
Сүүлийн мэдэгдэл нь параметрийн хувьд тодорхойлогдсон функцийн нэг утгатай салбаруудад мөн хамаарна.
4.2 Дээд эрэмбийн дериватив ба дифференциал
Дээд дериватив ба дифференциал. Параметрээр тодорхойлсон функцүүдийн ялгаа. Лейбницийн томъёо.
Функцийг параметрийн аргаар зааж өгье:
(1)
параметр гэж нэрлэгддэг хувьсагч хаана байна. Мөн хувьсагчийн тодорхой утгад функцүүд деривативтай байг. Түүнээс гадна, функц нь тухайн цэгийн тодорхой хэсэгт урвуу функцтэй байдаг. Дараа нь функц (1) нь параметрийн хэлбэрээр дараах томъёогоор тодорхойлогддог цэг дээр деривативтай байна.
(2)
Энд ба хувьсагчийн (параметр) хамаарах функцүүдийн деривативууд байна. Тэдгээрийг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.
;
.
Дараа нь (2) системийг дараах байдлаар бичиж болно.
Баталгаа
Нөхцөлөөр бол функц нь урвуу функцтэй байна. гэж тэмдэглэе
.
Дараа нь анхны функцийг цогц функцээр илэрхийлж болно:
.
Нарийн төвөгтэй ба урвуу функцийг ялгах дүрмийг ашиглан түүний деривативыг олцгооё.
.
Дүрэм нь батлагдсан.
Хоёр дахь аргаар нотлох
Тухайн цэг дээрх функцийн деривативын тодорхойлолтод үндэслэн деривативыг хоёр дахь аргаар олъё.
.
Тэмдэглэгээг танилцуулъя:
.
Дараа нь өмнөх томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Уг функц нь цэгийн ойролцоо урвуу функцтэй байдгийг ашиглацгаая.
Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.
;
;
;
.
Бутархайн тоо ба хуваагчийг дараах байдлаар хуваа.
.
-д.
.
Дүрэм нь батлагдсан.
Дараа нь
Дээд зэрэглэлийн деривативууд
(1)
Дээд эрэмбийн деривативуудыг олохын тулд хэд хэдэн удаа ялгах шаардлагатай. Дараах хэлбэрийн параметрийн аргаар тодорхойлсон функцийн хоёрдугаар эрэмбийн деривативыг олох хэрэгтэй гэж үзье.
(2)
(2) томъёог ашиглан бид эхний деривативыг олох бөгөөд энэ нь мөн параметрийн дагуу тодорхойлогддог.
.
Эхний деривативыг хувьсагчаар тэмдэглэе.
(3)
Дараа нь хувьсагчтай холбоотой функцийн хоёр дахь деривативыг олохын тулд хувьсагчтай холбоотой функцийн эхний деривативыг олох хэрэгтэй. Хувьсагчийн хувьсагчийн хамаарлыг мөн параметрийн аргаар тодорхойлно.
Одоо үр дүнг ба функцээр илэрхийлье. Үүнийг хийхийн тулд дериватив бутархай томъёог орлуулж хэрэглэцгээе.
.
Дараа нь
.
Эндээс бид хувьсагчийн хувьд функцийн хоёр дахь деривативыг олж авна.
Үүнийг мөн параметрийн хэлбэрээр өгдөг. Эхний мөрийг дараах байдлаар бичиж болно гэдгийг анхаарна уу.
.
Процессыг үргэлжлүүлснээр та гуравдагч ба түүнээс дээш эрэмбийн хувьсагчаас функцүүдийн деривативыг олж авах боломжтой.
Бид деривативын тэмдэглэгээг оруулах шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Та үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.
;
.
Жишээ 1
Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн деривативыг ол:
Шийдэл
-тай холбоотой деривативуудыг бид олдог.
Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
;
.
Бид өргөдөл гаргана:
.
Энд.
.
Энд.
Шаардлагатай дериватив:
.
Хариулах
Жишээ 2
Параметрээр илэрхийлсэн функцийн деривативыг ол.
Шийдэл
Хүчин чадлын функц ба үндэсийн томъёог ашиглан хаалтуудыг өргөжүүлье.
.
Деривативыг олох нь:
.
Деривативыг олох. Үүнийг хийхийн тулд бид хувьсагчийг нэвтрүүлж, нийлмэл функцийн деривативын томъёог хэрэглэнэ.
.
Бид хүссэн деривативыг олдог:
.
Хариулах
Жишээ 3
Жишээ 1-д параметрийн аргаар тодорхойлсон функцийн хоёр ба гуравдугаар эрэмбийн деривативуудыг ол.
Шийдэл
Жишээ 1-д бид эхний эрэмбийн деривативыг олсон:
Тодорхойлолтыг танилцуулъя. Дараа нь функц нь -тэй холбоотой дериватив байна. Энэ нь параметрийн дагуу тодорхойлогддог:
-тэй холбоотой 2 дахь деривативыг олохын тулд -тэй холбоотой эхний деривативыг олох хэрэгтэй.
-ээр ялгаж үзье.
.
Бид жишээ 1-ээс деривативыг олсон:
.
Хоёрдахь эрэмбийн дериватив нь дараахтай харьцуулахад нэгдүгээр эрэмбийн деривативтай тэнцүү байна.
.
Тиймээс бид параметрийн хэлбэрийн хувьд хоёр дахь эрэмбийн деривативыг олсон:
Одоо бид гурав дахь эрэмбийн деривативыг оллоо. Тодорхойлолтыг танилцуулъя. Дараа нь бид параметрийн аргаар тодорхойлсон функцийн нэгдүгээр эрэмбийн деривативыг олох хэрэгтэй.
-д хамаарах деривативыг ол. Үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг ижил хэлбэрээр дахин бичнэ:
.
-аас
.
Гурав дахь дарааллын дериватив нь дараахтай харьцуулахад эхний дарааллын деривативтай тэнцүү байна.
.
Сэтгэгдэл
Та болон -ын дериватив болох ба хувьсагчдыг оруулах шаардлагагүй. Дараа нь та дараах байдлаар бичиж болно.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Хариулах
Параметрийн дүрслэлд хоёр дахь эрэмбийн дериватив нь дараах хэлбэртэй байна.
Гурав дахь дарааллын дериватив.
X, y хувьсагч нь гуравдагч t хувьсагчийн (параметр гэж нэрлэдэг) функц болох хавтгай дээрх шугамыг тодорхойлох талаар бодож үзээрэй.
Утга бүрийн хувьд ттодорхой утгууд нь тодорхой интервалаас тодорхой утгуудтай тохирч байна xТэгээд у, а, тиймээс хавтгайн тодорхой М (х, у) цэг. Хэзээ төгөгдсөн интервалаас бүх утгууд, дараа нь цэгээр дамждаг М (x, y) зарим мөрийг дүрсэлдэг Л. (2.2) тэгшитгэлийг параметрийн шугамын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг Л.
Хэрэв x = φ(t) функц нь урвуу t = Ф(x) байвал энэ илэрхийллийг y = g(t) тэгшитгэлд орлуулснаар бид y = g(Ф(х))-ийг олж авна. yфункцээр x. Энэ тохиолдолд (2.2) тэгшитгэл нь функцийг тодорхойлдог гэж бид хэлдэг yпараметрийн хувьд.
Жишээ 1.Болъё М(х,у)– радиустай тойрог дээрх дурын цэг Рба гарал үүсэл дээр төвлөрсөн. Болъё т- тэнхлэг хоорондын өнцөг Үхэрба радиус ОМ(2.3-р зургийг үз). Дараа нь x, yдамжуулан илэрхийлдэг т:
Тэгшитгэл (2.3) нь тойргийн параметрийн тэгшитгэл юм. (2.3) тэгшитгэлээс t параметрийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэл бүрийг квадрат болгож, нэмбэл: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) эсвэл x 2 + y 2 = R 2 - декарт дахь тойргийн тэгшитгэлийг авна. координатын систем. Энэ нь хоёр функцийг тодорхойлдог: Эдгээр функц тус бүрийг параметрийн тэгшитгэлээр (2.3) өгөгдсөн боловч эхний функцийн хувьд , хоёр дахь функцийн хувьд .
Жишээ 2. Параметрийн тэгшитгэл
хагас тэнхлэг бүхий эллипсийг тодорхойлно а, б(Зураг 2.4). Тэгшитгэлээс параметрийг оруулаагүй болно т, бид эллипсийн каноник тэгшитгэлийг олж авна.
Жишээ 3. Хэрэв энэ тойрог шулуун шугамд гулсахгүй эргэлдэж байвал тойрог дээр хэвтэж буй цэгээр дүрслэгдсэн шугамыг циклоид гэнэ (Зураг 2.5). Циклоидын параметрийн тэгшитгэлийг танилцуулъя. Өнхрөх тойргийн радиусыг тэнцүү болго а, цэг М, циклоидыг дүрсэлсэн, хөдөлгөөний эхэнд координатын гарал үүсэлтэй давхцсан. 
Координатуудыг тодорхойлъё x, y оноо Мтойрог өнцгөөр эргэлдсэний дараа т
(Зураг 2.5), t = ÐMCB. Нуман урт М.Б.сегментийн урттай тэнцүү байна О.Б.тойрог гулсахгүйгээр эргэлддэг тул
OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),
y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – зардал).
Тиймээс циклоидын параметрийн тэгшитгэлийг олж авна.
Параметрийг өөрчлөх үед т 0-ээс 2πтойрог нэг эргэлтийг эргүүлж, цэг Мциклоидын нэг нумыг дүрсэлдэг. Тэгшитгэл (2.5) өгнө yфункцээр x. Хэдийгээр функц x = a(t – sint)урвуу функцтэй боловч энгийн функцээр илэрхийлэгдээгүй тул функц у = f(x)энгийн функцээр илэрхийлэгдэхгүй.
(2.2) тэгшитгэлээр параметрээр тодорхойлогдсон функцийн дифференциалыг авч үзье. t өөрчлөлтийн тодорхой интервал дээрх x = φ(t) функц нь урвуу функцтэй байна t = Ф(x), Дараа нь y = g(Ф(x)). Болъё x = φ(t), у = г(т)деривативтай, ба x"t≠0. Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу y"x=y"t×t"x.Урвуу функцийг ялгах дүрэмд үндэслэн:
Үүссэн томъёо (2.6) нь параметрийн дагуу тодорхойлсон функцийн деривативыг олох боломжийг олгодог.
Жишээ 4. Функцийг үзье y, хамаарна x, параметрээр тодорхойлогддог:
Шийдэл. 
.
Жишээ 5.Налууг ол кпараметрийн утгад тохирох M 0 цэгийн циклоид руу шүргэгч.
Шийдэл.Циклоид тэгшитгэлээс: y" t = asint, x" t = a(1 – зардал),Тийм ч учраас 
Нэг цэг дэх шүргэгч налуу М0-ийн утгатай тэнцүү байна t 0 = π/4:
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИЯ
Функцийг цэг дээр тавь x 0деривативтай. A-priory: 
иймээс хязгаарын шинж чанарын дагуу (1.8-р хэсэг), хаана а– хязгааргүй жижиг үед Δx → 0. Эндээс
Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)
Δx → 0 байх тул тэгш байдлын хоёр дахь гишүүн (2.7) нь илүү өндөр эрэмбийн хязгааргүй жижиг юм. 
, тиймээс Δy ба f " (x 0)×Δx нь тэнцүү, хязгааргүй бага (f "(x 0) ≠ 0-ийн хувьд).
Тиймээс Δy функцийн өсөлт нь хоёр гишүүнээс бүрдэх бөгөөд эхний f "(x 0)×Δx нь гол хэсэг өсөлт Δy, Δx-тэй харьцуулахад шугаман (f "(x 0)≠ 0-ийн хувьд).
Дифференциал x 0 цэг дэх f(x) функцийг функцийн өсөлтийн үндсэн хэсэг гэж нэрлэх ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ. dyэсвэл df(x0). Тиймээс,
df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)
Жишээ 1.Функцийн дифференциалыг ол dy y = x 2 функцийн хувьд Δy функцийн өсөлт:
1) дур зоргоороо xболон Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0.1.
Шийдэл
1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.
2) Хэрэв x 0 = 20, Δx = 0.1 бол Δy = 40×0.1 + (0.1) 2 = 4.01; dy = 40×0.1= 4.
Тэгш байдлыг (2.7) дараах хэлбэрээр бичье.
Δy = dy + a×Δx. (2.9)
Өсөлт Δy нь дифференциалаас ялгаатай dyΔx-тэй харьцуулахад дээд эрэмбийн хязгааргүй жижиг тоонд, тиймээс ойролцоогоор тооцоололд Δx хангалттай бага бол ойролцоогоор Δy ≈ dy тэгшитгэлийг ашиглана.
Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0) гэдгийг харгалзан үзвэл бид ойролцоогоор томъёог олж авна.
f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)
Жишээ 2. Ойролцоогоор тооцоол.
Шийдэл.Үүнд:
(2.10) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Тэгэхээр ≈ 2.025.
Дифференциалын геометрийн утгыг авч үзье df(x 0)(Зураг 2.6). 
M 0 (x0, f(x 0)) цэг дээр y = f(x) функцийн график руу шүргэгч зуръя, φ нь шүргэгч KM0 ба Ox тэнхлэгийн хоорондох өнцөг, тэгвэл f"( x 0) = tanφ ΔM0NP-ээс:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Харин PN нь x нь x 0-ээс x 0 + Δx болж өөрчлөгдөхөд шүргэгч ординатын өсөлт юм.
Улмаар x 0 цэг дэх f(x) функцийн дифференциал нь шүргэгчийн ординатын өсөлттэй тэнцүү байна.
Функцийн дифференциалыг олъё
у = x. (x)" = 1 тул dx = 1×Δx = Δx байна. Бид x бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь түүний өсөлттэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл dx = Δx байна гэж үзнэ.
Хэрэв x нь дурын тоо бол (2.8) тэгшитгэлээс бид df(x) = f "(x)dx, эндээс авна. 
.
Тиймээс y = f(x) функцийн дериватив нь түүний дифференциалыг аргументийн дифференциалтай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.
Функцийн дифференциалын шинж чанарыг авч үзье.
Хэрэв u(x), v(x) нь дифференциалагдах функц байвал дараах томъёонууд хүчинтэй байна.
Эдгээр томьёог батлахын тулд функцийн нийлбэр, үржвэр, хэсгийн үүсмэл томъёог ашигладаг. Жишээлбэл (2.12) томъёог баталцгаая.
d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.
Комплекс функцийн дифференциалыг авч үзье: y = f(x), x = φ(t), i.e. y = f(φ(t)).
Дараа нь dy = y" t dt, харин y" t = y" x ×x" t, тэгэхээр dy =y" x x" t dt. харгалзан үзвэл,
гэсэн x" t = dx, бид dy = y" x dx =f "(x)dx болно.
Иймээс y = f(x) нийлмэл функцийн дифференциал нь x =φ(t) нь dy = f "(x)dx хэлбэртэй байна. Энэ нь x нь бие даасан хувьсагч байх үеийнхтэй адил байна. Энэ шинж чанар гэж нэрлэдэг дифференциал хэлбэрийн инвариант байдал А.
Өнөөг хүртэл бид эдгээр шугамын цэгүүдийн одоогийн координатыг шууд холбосон хавтгай дээрх шулуунуудын тэгшитгэлийг авч үзсэн. Гэсэн хэдий ч шугамыг тодорхойлох өөр аргыг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд одоогийн координатыг гуравдагч хувьсагчийн функц гэж үздэг.
Хувьсагчийн хоёр функцийг өгье
t-ийн ижил утгуудад тооцно. Дараа нь t-ийн эдгээр утгуудын аль нэг нь тодорхой утга ба y-ийн тодорхой утгатай тохирч байгаа тул тодорхой цэгт тохирно. t хувьсагч нь функцийн тодорхойлолтын мужаас (73) бүх утгуудаар дамжих үед тэгшитгэлийг (73) энэ шугамын параметрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг параметр.
Функцийг урвуу функцтэй гэж үзье (73) тэгшитгэлийн хоёр дахь хэсэгт орлуулснаар бид тэгшитгэлийг олж авна
y-г функцээр илэрхийлэх
Энэ функцийг (73) тэгшитгэлээр параметрийн дагуу өгөгддөг гэдгийг зөвшөөрье. Эдгээр тэгшитгэлээс (74) тэгшитгэл рүү шилжихийг параметрийн хасах гэж нэрлэдэг. Параметрээр тодорхойлсон функцуудыг авч үзэхэд параметрийг хасах нь зайлшгүй биш төдийгүй практикт үргэлж боломжгүй байдаг.
Ихэнх тохиолдолд параметрийн өөр утгыг харгалзан дараа нь томъёо (73), аргумент ба функцийн y-ийн харгалзах утгуудыг ашиглан тооцоолох нь илүү тохиромжтой байдаг.
Жишээнүүдийг харцгаая.
Жишээ 1. Оролцооны төв ба R радиустай тойрог дээрх дурын цэг байцгаая. Энэ цэгийн декарт координат х ба у нь туйлын радиус ба туйлын өнцгөөр илэрхийлэгдэх бөгөөд үүнийг бид энд t-ээр тэмдэглэвэл дараах байдлаар ( I бүлгийн § 3, 3 дахь хэсгийг үзнэ үү):
(75) тэгшитгэлийг тойргийн параметрийн тэгшитгэл гэнэ. Тэдгээрийн параметр нь туйлын өнцөг бөгөөд 0-ээс хооронд хэлбэлздэг.
Хэрэв (75) тэгшитгэлийг гишүүнээр нь квадрат болгож нэмбэл ижил байдлын ачаар параметрийг хасч, декартын координатын систем дэх тойргийн тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд энэ нь хоёр үндсэн функцийг тодорхойлдог.
Эдгээр функц бүрийг (75) тэгшитгэлээр параметрийн дагуу тодорхойлсон боловч эдгээр функцүүдийн параметрийн муж өөр байна. Тэдний эхнийх нь хувьд; Энэ функцийн график нь дээд хагас тойрог юм. Хоёрдахь функцийн хувьд түүний график нь доод хагас тойрог юм.
Жишээ 2. Эллипсийг нэгэн зэрэг авч үзье
ба эхлэл дээр төвтэй тойрог ба радиус a (Зураг 138).
Зуувангийн М цэг бүрт бид тойргийн N цэгийг холбодог бөгөөд энэ нь М цэгтэй ижил абсциссатай бөгөөд түүнтэй хамт Үхрийн тэнхлэгийн нэг талд байрладаг. N цэгийн байрлал, тиймээс М цэг нь цэгийн туйлын өнцгөөр бүрэн тодорхойлогддог t Энэ тохиолдолд тэдгээрийн нийтлэг абсциссийн хувьд бид дараах илэрхийллийг олж авна: x = a. Эллипсийн тэгшитгэлээс бид M цэг дээрх ординатыг олно.
М цэгийн ординат ба N цэгийн ординат ижил тэмдэгтэй байх ёстой тул тэмдгийг сонгосон.
Тиймээс эллипсийн хувьд дараах параметрийн тэгшитгэлийг олж авна.
Энд параметр t нь 0-ээс өөрчлөгдөнө.
Жишээ 3. Анхны цэг дээр х тэнхлэгт хүрэх нь тодорхой a) төвтэй, радиус a) тойргийг авч үзье (Зураг 139). Энэ тойрог х тэнхлэгийн дагуу гулсахгүйгээр эргэлддэг гэж үзье. Дараа нь эхний мөчид координатын эхлэлтэй давхцаж байсан тойргийн М цэг нь циклоид гэж нэрлэгддэг шугамыг дүрсэлдэг.
Тойргийн тогтмол цэгийг О байрлалаас M байрлал руу шилжүүлэх үед тойргийн эргэлтийн MSV өнцгийг t параметр болгон авч циклоидын параметрийн тэгшитгэлийг гаргая. Дараа нь M цэгийн координат ба y-ийн хувьд дараах илэрхийлэлүүдийг олъё.
Тойрог тэнхлэгийн дагуу гулсахгүйгээр эргэлддэг тул OB сегментийн урт нь BM нумын урттай тэнцүү байна. BM нумын урт нь a радиус ба төвийн өнцгийн t-ийн үржвэртэй тэнцүү тул . Тийм ч учраас . Гэвч иймээс,
Эдгээр тэгшитгэлүүд нь циклоидын параметрийн тэгшитгэлүүд юм. Параметр t 0-ээс тойрог болж өөрчлөгдөхөд нэг бүтэн эргэлт хийнэ. M цэг нь циклоидын нэг нумыг дүрслэх болно.
Энд t параметрийг хасах нь төвөгтэй илэрхийлэлд хүргэдэг бөгөөд бараг боломжгүй юм.
Шугамын параметрийн тодорхойлолтыг механикт ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд параметрийн үүргийг цаг хугацаагаар гүйцэтгэдэг.
Жишээ 4. Хэвтээ чиглэлд а өнцгөөр анхны хурдтай буунаас харвасан сумны замналыг тодорхойлъё. Бид агаарын эсэргүүцэл ба сумны хэмжээсийг үл тоомсорлож, үүнийг материаллаг цэг гэж үздэг.
Координатын системийг сонгоцгооё. Координатын гарал үүсэл гэж сумны хошуунаас гарах цэгийг авч үзье. Үхрийн тэнхлэгийг хэвтээ, Ой тэнхлэгийг босоо чиглэлд чиглүүлж, бууны хошуутай нэг хавтгайд байрлуулцгаая. Хэрэв таталцлын хүч байхгүй байсан бол сум шулуун шугамаар хөдөлж, Үхрийн тэнхлэгтэй a өнцгөөр хөдөлж, t цаг хугацааны хувьд t цаг дахь сумны координатууд тус тус тэнцүү байх болно руу: . Таталцлын улмаас сум энэ мөчид босоо байдлаар доошоо буух ёстой тул бодит байдал дээр t үед сумны координатыг дараах томъёогоор тодорхойлно.
Эдгээр тэгшитгэлүүд нь тогтмол хэмжигдэхүүнүүдийг агуулдаг. t өөрчлөгдөхөд сумны чиглэлийн цэгийн координатууд мөн өөрчлөгдөнө. Тэгшитгэлүүд нь харвах чиглэлийн параметрийн тэгшитгэл бөгөөд параметр нь цаг хугацаа юм
Эхний тэгшитгэлээс илэрхийлж, түүнийг орлуулах
Хоёрдахь тэгшитгэлд бид харвах замын хөдөлгөөний тэгшитгэлийг хэлбэрээр олж авна Энэ бол параболын тэгшитгэл юм.
