Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл

Сургуулийн хүүхэд сургуульд үдийн хоол идэхийн тулд 200 рубльтэй байдаг. Бялуу 25 рубль, нэг аяга кофе 10 рубль байна. 200 рублиэр хэдэн бялуу, аяга кофе авах боломжтой вэ?

Бялууны тоог үүгээр тэмдэглэе x, мөн аяга кофе уух тоо y. Дараа нь бялууны үнийг 25 гэсэн илэрхийллээр тэмдэглэнэ x, мөн аяга кофены үнэ 10 y .

25х—Үнэ xбялуу
10у -Үнэ yаяга кофе

Нийт дүн нь 200 рубль байх ёстой. Дараа нь бид хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг авна xТэгээд y

25x+ 10y= 200

Энэ тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?

Энэ бүхэн оюутны хоолны дуршилаас хамаарна. Хэрэв тэр 6 бялуу, 5 аяга кофе худалдаж авбал тэгшитгэлийн үндэс нь 6 ба 5 тоо байх болно.

6 ба 5-ын хос утгыг 25-р тэгшитгэлийн үндэс гэнэ x+ 10y= 200. Эхний тоо нь хувьсагчийн утга байхаар (6; 5) гэж бичнэ x, хоёр дахь нь - хувьсагчийн утга y .

6 ба 5 нь 25-р тэгшитгэлийг буцаах цорын ганц үндэс биш юм x+ 10y= 200 таних. Хэрэв хүсвэл 200 рубльд оюутан 4 бялуу, 10 аяга кофе худалдаж авах боломжтой.

Энэ тохиолдолд 25-р тэгшитгэлийн үндэс x+ 10y= 200 нь хос утгууд (4; 10).

Түүгээр ч зогсохгүй сургуулийн сурагч кофе огт худалдаж авахгүй байж магадгүй, гэхдээ бүхэл бүтэн 200 рублиэр бялуу худалдаж авдаг. Дараа нь 25-р тэгшитгэлийн үндэс x+ 10y= 200 нь 8 ба 0 утгууд болно

Эсвэл эсрэгээр, бялуу худалдаж авахгүй, харин бүхэл бүтэн 200 рубльд кофе худалдаж аваарай. Дараа нь 25-р тэгшитгэлийн үндэс x+ 10y= 200 утгууд нь 0 ба 20 байх болно

25-р тэгшитгэлийн бүх боломжит язгууруудыг жагсаахыг хичээцгээе x+ 10y= 200. Үнэт зүйл гэдэгтэй санал нийлэе xТэгээд yбүхэл тоонуудын багцад хамаарна. Мөн эдгээр утгууд нь тэгээс их буюу тэнцүү байна:

x∈З, у∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Энэ нь оюутан өөрөө өөртөө тохиромжтой байх болно. Жишээлбэл, хэд хэдэн бүхэл бүтэн бялуу, хагас бялууг бодвол бүхэл бүтэн бялуу худалдаж авах нь илүү тохиромжтой. Жишээлбэл, хэд хэдэн бүтэн аяга, хагас аяга гэхээсээ илүү бүх аяганд кофе уух нь илүү тохиромжтой.

Хачирхалтай гэдгийг анхаарна уу xямар ч нөхцөлд тэгш байдлыг хангах боломжгүй y. Дараа нь үнэт зүйлс xДараах тоонууд нь 0, 2, 4, 6, 8 байх болно. Мөн мэдэх xамархан тодорхойлж болно y

Тиймээс бид дараах хос утгыг хүлээн авлаа (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Эдгээр хосууд нь 25-р тэгшитгэлийн шийдэл буюу үндэс юм x+ 10y= 200. Тэд энэ тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.

Маягтын тэгшитгэл сүх + by = cдуудсан хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл эсвэл үндэс нь хос утгууд юм ( x; y), энэ нь түүнийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.

Мөн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичсэн бол анхаарна уу ax + b y = c ,тэгээд дотор нь бичигдсэн гэж хэлдэг каноник(хэвийн) хэлбэр.

Хоёр хувьсагчийн зарим шугаман тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулж болно.

Жишээлбэл, тэгшитгэл 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) санаанд оруулж болно сүх + by = c. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талын хаалтыг онгойлгоод авцгаая 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Бид тэгшитгэлийн зүүн талд үл мэдэгдэх нэр томъёог, баруун талд үл мэдэгдэх нөхцлүүдийг бүлэглэдэг. Дараа нь бид авна 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Бид хоёр талдаа ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж, 16-р тэгшитгэлийг авна x+ 8y= 32. Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулав сүх + by = cба каноник юм.

25-р тэгшитгэлийг өмнө нь авч үзсэн x+ 10y= 200 нь мөн каноник хэлбэрийн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэлд параметрүүд а , бТэгээд в 25, 10, 200 гэсэн утгатай тэнцүү байна.

Үнэндээ тэгшитгэл сүх + by = cтоо томшгүй олон шийдэлтэй. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 25x+ 10y= 200, бид түүний үндсийг зөвхөн бүхэл тооны олонлогоос хайсан. Үүний үр дүнд бид энэ тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргасан хэд хэдэн хос утгыг олж авлаа. Харин рационал тоонуудын олонлог дээр тэгшитгэл 25 x+ 10y= 200 нь хязгааргүй олон шийдэлтэй байх болно.

Шинэ хос утгыг авахын тулд та дурын утгыг авах хэрэгтэй x, дараа нь илэрхийлнэ үү y. Жишээлбэл, хувьсагчийг авч үзье xутга 7. Дараа нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл гарна 25×7 + 10y= 200 Үүнд хүн илэрхийлж болно y

Болъё x= 15. Дараа нь тэгшитгэл 25x+ 10y= 200 нь 25 × 15 болно + 10y= 200. Эндээс бид үүнийг олж мэднэ y = −17,5

Болъё x= −3. Дараа нь тэгшитгэл 25x+ 10y= 200 нь 25 × (−3) болно + 10y= 200. Эндээс бид үүнийг олж мэднэ y = −27,5

Хоёр хувьсагчтай хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем

Тэгшитгэлийн хувьд сүх + by = cта дур зоргоороо утгыг хэдэн ч удаа авах боломжтой xболон утгыг олох y. Тус тусад нь авч үзвэл ийм тэгшитгэл нь тоо томшгүй олон шийдтэй байх болно.

Гэхдээ энэ нь бас хувьсагчид тохиолддог xТэгээд yнэг биш, хоёр тэгшитгэлээр холбогдсон. Энэ тохиолдолд тэд гэж нэрлэгддэг үүсгэдэг хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем. Ийм тэгшитгэлийн систем нь нэг хос утгатай байж болно (эсвэл өөрөөр хэлбэл: "нэг шийдэл").

Мөн системд ямар ч шийдэл байхгүй байж магадгүй юм. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь ховор, онцгой тохиолдлуудад тоо томшгүй олон шийдэлтэй байж болно.

Хоёр шугаман тэгшитгэл нь утгууд нь системийг үүсгэдэг xТэгээд yэдгээр тэгшитгэл бүрд оруулна уу.

Эхний тэгшитгэл 25 руу буцаж орцгооё x+ 10y= 200. Энэ тэгшитгэлийн хос утгуудын нэг нь хос (6; 5) байв. Энэ нь 200 рубльд 6 бялуу, 5 аяга кофе худалдаж авах боломжтой тохиолдол юм.

Хос (6; 5) нь 25-р тэгшитгэлийн цорын ганц шийдэл болохын тулд асуудлыг томьёолъё. x+ 10y= 200. Үүнийг хийхийн тулд ижил зүйлийг холбох өөр тэгшитгэл үүсгэцгээе xбялуу болон yаяга кофе.

Асуудлын текстийг дараах байдлаар бичье.

“Сургуулийн хүү 200 рублиэр хэд хэдэн бялуу, хэдэн аяга кофе худалдаж авсан. Бялуу 25 рубль, нэг аяга кофе 10 рубль байна. Бялууны тоо нь аяга кофены тооноос нэг нэгжээр их байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол оюутан хэдэн бялуу, аяга кофе худалдаж авсан бэ?

Бидэнд эхний тэгшитгэл аль хэдийн байна. Энэ бол 25-р тэгшитгэл юм x+ 10y= 200. Одоо нөхцөлийн тэгшитгэлийг байгуулъя "Бялууны тоо нь аяга кофены тооноос нэг нэгжээр их байна" .

Бялууны тоо x, мөн аяга кофены тоо байна y. Та тэгшитгэлийг ашиглан энэ хэллэгийг бичиж болно x−y= 1. Энэ тэгшитгэл нь бялуу ба кофены ялгаа 1 байна гэсэн үг юм.

x = y+ 1. Энэ тэгшитгэл нь бялууны тоо нь аяга кофены тооноос нэгээр илүү байна гэсэн үг юм. Тиймээс тэгш байдлыг хангахын тулд аяга кофены тоонд нэгийг нэмнэ. Хэрэв бид хамгийн энгийн асуудлыг судлахдаа авч үзсэн масштабын загварыг ашиглавал үүнийг хялбархан ойлгож болно.

Бид хоёр тэгшитгэл авсан: 25 x+ 10y= 200 ба x = y+ 1. Үнэт зүйлсээс хойш xТэгээд y, тухайлбал 6 ба 5 нь эдгээр тэгшитгэл тус бүрт багтсан бөгөөд дараа нь тэд хамтдаа систем үүсгэдэг. Энэ системийг бичье. Хэрэв тэгшитгэлүүд нь системийг бүрдүүлдэг бол тэдгээр нь системийн тэмдгээр хүрээлэгдсэн байна. Системийн тэмдэг нь буржгар хаалт юм:

Энэ системийг шийдье. Энэ нь 6 ба 5 гэсэн утгуудад хэрхэн хүрч байгааг харах боломжийг бидэнд олгоно. Ийм системийг шийдэх олон арга байдаг. Тэдгээрээс хамгийн алдартайг нь авч үзье.

Орлуулах арга

Энэ аргын нэр нь өөрөө ярьдаг. Үүний мөн чанар нь хувьсагчийн аль нэгийг өмнө нь илэрхийлсэн нэг тэгшитгэлийг нөгөөд орлуулах явдал юм.

Манай системд юу ч илэрхийлэх шаардлагагүй. Хоёр дахь тэгшитгэлд x = y+ 1 хувьсагч xаль хэдийн илэрхийлсэн. Энэ хувьсагч нь илэрхийлэлтэй тэнцүү байна y+ 1. Дараа нь та энэ илэрхийллийг хувьсагчийн оронд эхний тэгшитгэлд орлуулж болно x

Илэрхийллийг орлуулсны дараа yОронд нь эхний тэгшитгэлд + 1 x, бид тэгшитгэлийг авна 25(y+ 1) + 10y= 200 . Энэ бол нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд маш хялбар:

Бид хувьсагчийн утгыг олсон y. Одоо энэ утгыг нэг тэгшитгэлд орлуулж утгыг олъё x. Үүний тулд хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой x = y+ 1. Үүний утгыг орлуулъя y

Энэ нь (6; 5) хос нь бидний бодож байсанчлан тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэсэн үг юм. Бид (6; 5) хос системд нийцэж байгаа эсэхийг шалгаж, шалгана.

Жишээ 2

Эхний тэгшитгэлийг орлуулъя x= 2 + yХоёр дахь тэгшитгэлд 3 x− 2y= 9. Эхний тэгшитгэлд хувьсагч x 2 + илэрхийлэлтэй тэнцүү y. Энэ илэрхийллийг оронд нь хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё x

Одоо утгыг нь олъё x. Үүнийг хийхийн тулд утгыг орлуулъя yэхний тэгшитгэлд оруулна x= 2 + y

Энэ нь системийн шийдэл нь хос утга (5; 3) гэсэн үг юм.

Жишээ 3. Орлуулах аргыг ашиглан дараах тэгшитгэлийн системийг шийд.

Энд өмнөх жишээнүүдээс ялгаатай нь хувьсагчийн аль нэг нь тодорхой илэрхийлэгдээгүй байна.

Нэг тэгшитгэлийг нөгөөд орлуулахын тулд эхлээд .

Нэг коэффициенттэй хувьсагчийг илэрхийлэхийг зөвлөж байна. Хувьсагч нь нэг коэффициенттэй байна x, энэ нь эхний тэгшитгэлд агуулагддаг x+ 2y= 11. Энэ хувьсагчийг илэрхийлье.

Хувьсагчийн илэрхийллийн дараа x, манай систем дараах хэлбэрийг авна.

Одоо эхний тэгшитгэлийг хоёрдугаарт орлуулж утгыг олъё y

Орлуулж үзье y x

Энэ нь системийн шийдэл нь хос утгууд (3; 4) гэсэн үг юм.

Мэдээжийн хэрэг та хувьсагчийг бас илэрхийлж болно y. Үндэс нь өөрчлөгдөхгүй. Гэхдээ илэрхийлбэл у,Үр дүн нь тийм ч энгийн тэгшитгэл биш бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд илүү их цаг хугацаа шаардагдана. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

Энэ жишээн дээр бид илэрхийлж байгааг харж байна xилэрхийлэхээс хамаагүй илүү тохиромжтой y .

Жишээ 4. Орлуулах аргыг ашиглан дараах тэгшитгэлийн системийг шийд.

Эхний тэгшитгэлээр илэрхийлье x. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

y

Орлуулж үзье yэхний тэгшитгэлд оруулаад ол x. Та анхны тэгшитгэл 7-г ашиглаж болно x+ 9y= 8, эсвэл хувьсагчийг илэрхийлсэн тэгшитгэлийг ашиглана x. Энэ нь тохиромжтой тул бид энэ тэгшитгэлийг ашиглах болно:

Энэ нь системийн шийдэл нь хос утгууд (5; -3) гэсэн үг юм.

Нэмэх арга

Нэмэх арга нь системийн гишүүнчлэлд орсон тэгшитгэлүүдийг гишүүнээр нь нэмэхээс бүрдэнэ. Энэ нэмэлт нь нэг хувьсагчтай шинэ тэгшитгэлийг бий болгодог. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх нь маш энгийн.

Дараахь тэгшитгэлийн системийг шийдье.

Эхний тэгшитгэлийн зүүн талыг хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд нэмье. Мөн эхний тэгшитгэлийн баруун тал нь хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун талтай. Бид дараахь тэгш байдлыг олж авна.

Үүнтэй төстэй нэр томъёог авч үзье:

Үүний үр дүнд бид хамгийн энгийн 3-р тэгшитгэлийг авсан x= 27 язгуур нь 9. Утгыг мэдэх xүнэ цэнийг олох боломжтой y. Утгыг орлуулъя xхоёр дахь тэгшитгэлд оруулна x−y= 3 . Бид 9-ийг авна y= 3 . Эндээс y= 6 .

Энэ нь системийн шийдэл нь хос утгууд (9; 6) гэсэн үг юм.

Жишээ 2

Эхний тэгшитгэлийн зүүн талыг хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд нэмье. Мөн эхний тэгшитгэлийн баруун тал нь хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун талтай. Үүний үр дүнд бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна:

Үүний үр дүнд бид хамгийн энгийн 5-р тэгшитгэлийг авсан x= 20, язгуур нь 4. Утгыг мэдэх xүнэ цэнийг олох боломжтой y. Утгыг орлуулъя xэхний тэгшитгэлд 2 x+y= 11. 8+ авцгаая y= 11. Эндээс y= 3 .

Энэ нь системийн шийдэл нь хос утгууд (4;3) гэсэн үг юм.

Нэмэх үйл явцыг нарийвчлан тайлбарлаагүй болно. Үүнийг сэтгэлзүйн хувьд хийх ёстой. Нэмэхдээ хоёр тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах ёстой. Энэ нь дашрамд хэлэхэд ac + by = c .

Үзсэн жишээнүүдээс харахад тэгшитгэл нэмэх гол зорилго нь аль нэг хувьсагчаас салах явдал юм. Гэхдээ нэмэх аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг нэн даруй шийдвэрлэх боломжгүй байдаг. Ихэнх тохиолдолд системийг эхлээд энэ системд багтсан тэгшитгэлүүдийг нэмж болох хэлбэрт оруулдаг.

Жишээлбэл, систем нэмэх аргыг ашиглан шууд шийдэж болно. Хоёр тэгшитгэлийг нэмэхдээ нөхцөл yТэгээд −yТэдний нийлбэр тэг учраас алга болно. Үүний үр дүнд хамгийн энгийн тэгшитгэл 11 үүснэ x= 22, язгуур нь 2. Дараа нь тодорхойлох боломжтой болно y 5-тай тэнцүү.

Мөн тэгшитгэлийн систем Нэмэх аргыг нэн даруй шийдвэрлэх боломжгүй, учир нь энэ нь хувьсагчийн аль нэг нь алга болоход хүргэхгүй. Нэмэлт хийснээр 8-р тэгшитгэл гарч ирнэ x+ y= 28, энэ нь хязгааргүй олон шийдтэй.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгтэй тэнцүү биш ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарна. Энэ дүрэм нь хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн хувьд бас үнэн юм. Тэгшитгэлийн аль нэгийг (эсвэл хоёуланг нь) дурын тоогоор үржүүлж болно. Үүний үр дүнд үндэс нь өмнөхтэй давхцах ижил төстэй систем байх болно.

Сургуулийн хүүхэд хэдэн бялуу, аяга кофе худалдаж авсныг тодорхойлсон анхны систем рүүгээ буцъя. Энэ системийн шийдэл нь хос утгууд байв (6; 5).

Энэ системд багтсан хоёр тэгшитгэлийг хэдэн тоогоор үржүүлье. Эхний тэгшитгэлийг 2, хоёр дахь тэгшитгэлийг 3-аар үржүүлье гэж бодъё

Үүний үр дүнд бид системтэй болсон
Энэ системийн шийдэл нь хос утгууд хэвээр байна (6; 5)

Энэ нь системд орсон тэгшитгэлийг нэмэх аргыг хэрэглэхэд тохиромжтой хэлбэрт оруулж болно гэсэн үг юм.

Систем рүүгээ буцаж орцгооё , бид нэмэх аргыг ашиглан шийдэж чадаагүй.

Эхний тэгшитгэлийг 6-аар, хоёр дахь тэгшитгэлийг -2-оор үржүүлнэ

Дараа нь бид дараах системийг авна.

Энэ системд багтсан тэгшитгэлүүдийг нэгтгэж үзье. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмэх 12 xба -12 xүр дүнд нь 0, нэмэх 18 болно yба 4 y 22 өгнө y, мөн 108 ба −20-ыг нэмбэл 88 болно. Дараа нь 22-р тэгшитгэл гарна. y= 88, эндээс y = 4 .

Хэрэв эхлээд толгойдоо тэгшитгэл нэмэхэд хэцүү байвал эхний тэгшитгэлийн зүүн тал хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талтай, эхний тэгшитгэлийн баруун тал нь баруун талтай хэрхэн нийлдэгийг бичиж болно. хоёр дахь тэгшитгэл:

Хувьсагчийн утгыг мэдэх нь y 4-тэй тэнцүү бол та утгыг олох боломжтой x. Орлуулж үзье yтэгшитгэлийн аль нэгэнд, жишээлбэл, эхний тэгшитгэл 2 руу x+ 3y= 18. Дараа нь бид нэг хувьсагч 2-той тэгшитгэлийг авна x+ 12 = 18. Тэмдгийг өөрчилснөөр 12-ыг баруун тийш шилжүүлье, бид 2-ыг авна x= 6, эндээс x = 3 .

Жишээ 4. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг −1-ээр үржүүлье. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмэх xТэгээд −x 0, нэмэх 5 гарах болно yба 3 y 8 өгнө y, 7 ба 1-ийг нэмбэл 8 гарна. Үр дүн нь тэгшитгэл 8 болно y= 8 язгуур нь 1. Утга гэдгийг мэдэх y 1-тэй тэнцүү бол та утгыг олох боломжтой x .

Орлуулж үзье yЭхний тэгшитгэлд бид олж авна x+ 5 = 7, тиймээс x= 2

Жишээ 5. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Ижил хувьсагч агуулсан нэр томьёо нэг дор байрлах нь зүйтэй. Тиймээс хоёр дахь тэгшитгэлд 5-р нөхцлүүд байна yба -2 xГазраа сольцгооё. Үүний үр дүнд систем нь дараах хэлбэртэй болно.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг 3-аар үржүүлье. Дараа нь систем дараах хэлбэртэй болно.

Одоо хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Нэмэлтийн үр дүнд бид 8-р тэгшитгэлийг олж авна y= 16, үндэс нь 2.

Орлуулж үзье yЭхний тэгшитгэлд бид 6-г авна x− 14 = 40. Тэмдгийг өөрчилснөөр −14 гишүүнийг баруун тийш шилжүүлж, 6-г авцгаая x= 54. Эндээс x= 9.

Жишээ 6. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Бутархай хэсгүүдээс салцгаая. Эхний тэгшитгэлийг 36, хоёр дахь тэгшитгэлийг 12-оор үржүүлнэ

Үүссэн системд Эхний тэгшитгэлийг -5, хоёр дахь нь 8-аар үржүүлж болно

Гарсан систем дэх тэгшитгэлүүдийг нэмье. Дараа нь бид хамгийн энгийн тэгшитгэлийг олж авна -13 y= -156. Эндээс y= 12. Орлуулж үзье yэхний тэгшитгэлд оруулаад ол x

Жишээ 7. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Хоёр тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрт оруулъя. Энд хоёр тэгшитгэлд пропорциональ дүрмийг хэрэглэх нь тохиромжтой. Хэрэв эхний тэгшитгэлд баруун тал нь , хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун тал нь -ээр дүрслэгдсэн бол систем нь дараах хэлбэртэй болно.

Бидэнд хувь хэмжээ бий. Түүний туйл ба дунд гишүүнийг үржүүлье. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Эхний тэгшитгэлийг −3-аар үржүүлж, хоёр дахь хаалтыг нээцгээе.

Одоо хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Эдгээр тэгшитгэлийг нэмсний үр дүнд бид хоёр талдаа тэгтэй тэнцүү байна.

Энэ систем нь тоо томшгүй олон шийдэлтэй болох нь харагдаж байна.

Гэхдээ бид тэнгэрээс дур зоргоороо үнэ цэнийг авч чадахгүй xТэгээд y. Бид утгуудын аль нэгийг нь зааж өгч болох ба нөгөө нь бидний зааж өгсөн утгаас хамаарч тодорхойлогдоно. Жишээлбэл, үзье x= 2 . Энэ утгыг системд орлуулъя:

Тэгшитгэлийн аль нэгийг шийдсэний үр дүнд утгыг y, энэ нь хоёр тэгшитгэлийг хангана:

Үр дүнгийн хос утгууд (2; -2) нь системийг хангана:

Өөр нэг хос утгыг олъё. Болъё x= 4. Энэ утгыг системд орлуулъя:

Үнэ цэнийг нүдээр харж болно yтэгтэй тэнцүү. Дараа нь бид системд нийцсэн хос утгыг (4; 0) авна.

Жишээ 8. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Эхний тэгшитгэлийг 6, хоёр дахь тэгшитгэлийг 12-оор үржүүлнэ

Үлдсэн зүйлийг дахин бичье:

Эхний тэгшитгэлийг −1-ээр үржүүлье. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Одоо хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Нэмэлтийн үр дүнд 6-р тэгшитгэл үүснэ б= 48, язгуур нь 8. Орлуулах бэхний тэгшитгэлд оруулаад ол а

Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем

Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлд коэффициент бүхий гурван хувьсагч, түүнчлэн таслах гишүүн орно. Каноник хэлбэрээр үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

ax + by + cz = d

Энэ тэгшитгэл тоо томшгүй олон шийдэлтэй. Хоёр хувьсагчид өөр утгыг өгснөөр гурав дахь утгыг олж болно. Энэ тохиолдолд шийдэл нь утгын гурав дахин юм ( x; y; z) нь тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.

Хэрэв хувьсагч x, y, zгурван тэгшитгэлээр хоорондоо холбогдож, гурван хувьсагчтай гурван шугаман тэгшитгэлийн систем үүснэ. Ийм системийг шийдэхийн тулд та хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлд хамаарах аргуудыг ашиглаж болно: орлуулах арга ба нэмэх арга.

Жишээ 1. Орлуулах аргыг ашиглан дараах тэгшитгэлийн системийг шийд.

Гурав дахь тэгшитгэлээр илэрхийлье x. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Одоо орлуулалт хийцгээе. Хувьсагч xилэрхийлэлтэй тэнцүү байна 3 − 2y − 2z . Энэ илэрхийллийг эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё.

Хоёр тэгшитгэлийн хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог үзүүлье.

Бид хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системд хүрлээ. Энэ тохиолдолд нэмэлт аргыг ашиглах нь тохиромжтой. Үүний үр дүнд хувьсагч yалга болох ба бид хувьсагчийн утгыг олж чадна z

Одоо утгыг нь олъё y. Үүнийг хийхийн тулд - тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой y+ z= 4. Түүнд утгыг орлуулна z

Одоо утгыг нь олъё x. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой x= 3 − 2y − 2z . Үүн дээр утгыг орлуулж үзье yТэгээд z

Тиймээс гурвалсан утгууд (3; −2; 2) нь манай системийн шийдэл юм. Шалгаснаар бид эдгээр утгууд нь системд нийцэж байгаа эсэхийг шалгана.

Жишээ 2. Нэмэх аргыг ашиглан системийг шийднэ

Эхний тэгшитгэлийг −2-оор үржүүлсэн хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмье.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг -2-оор үржүүлбэл энэ нь хэлбэрийг авна −6x+ 6y − 4z = −4 . Одоо үүнийг эхний тэгшитгэлд нэмье:

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд хувьсагчийн утгыг тодорхойлсон болохыг бид харж байна x. Энэ нь нэгтэй тэнцүү байна.

Үндсэн систем рүүгээ буцъя. Хоёр дахь тэгшитгэлийг −1-ээр үржүүлсэн гурав дахь тэгшитгэлийг нэмье. Гурав дахь тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлбэл энэ хэлбэрийг авна −4x + 5y − 2z = −1 . Одоо үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд нэмье:

Бид тэгшитгэлийг авсан x− 2y= −1. Үүний утгыг орлуулъя xБидний өмнө нь олж мэдсэн. Дараа нь бид утгыг тодорхойлж болно y

Одоо бид утгыг нь мэдэж байна xТэгээд y. Энэ нь үнэ цэнийг тодорхойлох боломжийг танд олгоно z. Системд багтсан тэгшитгэлүүдийн аль нэгийг ашиглая:

Тиймээс гурвалсан утгууд (1; 1; 1) нь манай системийн шийдэл юм. Шалгаснаар бид эдгээр утгууд нь системд нийцэж байгаа эсэхийг шалгана.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлэх асуудал

Тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлэх ажлыг хэд хэдэн хувьсагч оруулах замаар шийддэг. Дараа нь асуудлын нөхцөл дээр үндэслэн тэгшитгэлийг эмхэтгэдэг. Эмхэтгэсэн тэгшитгэлээс тэд систем үүсгэж, үүнийг шийддэг. Системийг шийдсэний дараа түүний шийдэл нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Асуудал 1. Волга машин хотоос гарч нэгдэл рүү явав. Тэр эхнийхээсээ 5 км богино байсан өөр замаар буцаж ирэв. Нийтдээ машин хоёр талдаа 35 км явсан. Зам тус бүрийн урт нь хэдэн км вэ?

Шийдэл

Болъё х—эхний замын урт, y- секундын урт. Хэрэв машин хоёр талдаа 35 км явсан бол эхний тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно x+ y= 35. Энэ тэгшитгэл нь хоёр замын уртын нийлбэрийг тодорхойлдог.

Эхнийхээсээ 5 км-ээр богино замаар машин буцаж ирсэн гэдэг. Дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно x− y= 5. Энэхүү тэгшитгэлээс харахад замын уртын зөрүү 5 км байна.

Эсвэл хоёр дахь тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно x= y+ 5. Бид энэ тэгшитгэлийг ашиглах болно.

Учир нь хувьсагчид xТэгээд yХоёр тэгшитгэлд ижил тоог зааж өгсөн бол бид тэдгээрээс систем үүсгэж болно.

Өмнө нь судалж байсан зарим аргуудыг ашиглан энэ системийг шийдье. Энэ тохиолдолд хоёр дахь тэгшитгэлд хувьсагч байгаа тул орлуулах аргыг ашиглах нь тохиромжтой xаль хэдийн илэрхийлсэн.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь орлуулан ол y

Олдсон утгыг орлуулъя yхоёр дахь тэгшитгэлд x= y+ 5, бид олох болно x

Эхний замын уртыг хувьсагчаар зааж өгсөн x. Одоо бид түүний утгыг олсон. Хувьсагч x 20-той тэнцүү байна.Энэ нь эхний замын урт 20 км гэсэн үг.

Мөн хоёр дахь замын уртыг зааж өгсөн y. Энэ хувьсагчийн утга нь 15. Энэ нь хоёр дахь замын урт нь 15 км гэсэн үг юм.

Шалгацгаая. Эхлээд системийг зөв шийдсэн эсэхийг шалгая:

Одоо (20; 15) шийдэл нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Машин хоёр тийшээ нийтдээ 35 км зам туулсан гэж байсан. Бид хоёр замын уртыг нэмж, шийдэл (20; 15) нь энэ нөхцлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгаарай. 20 км + 15 км = 35 км

Дараах нөхцөл: машин өөр замаар буцаж буцаж ирсэн нь эхнийхээсээ 5 км богино байв . 15 км нь 20 км-ээс 5 км-ээс богино тул (20; 15) шийдэл нь энэ нөхцлийг хангаж байгааг бид харж байна. 20 км - 15 км = 5 км

Системийг зохиохдоо хувьсагч нь энэ системд багтсан бүх тэгшитгэлийн ижил тоог илэрхийлэх нь чухал юм.

Тэгэхээр манай систем хоёр тэгшитгэлтэй. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь эргээд хувьсагчдыг агуулдаг xТэгээд y, энэ нь хоёр тэгшитгэлд ижил тоог илэрхийлдэг, тухайлбал 20 км ба 15 км замын урт.

Асуудал 2. Платформ дээр царс мод, нарс мод, нийт 300 дэр ачсан. Бүх царс моднууд нь бүх нарс модноос 1 тонноор бага жинтэй байсан нь мэдэгдэж байна. Царс мод дэр тус бүр 46 кг, нарс дэр тус бүр 28 кг жинтэй байсан бол тус тусад нь хэдэн царс, нарс дэр байсныг тодорхойл.

Шийдэл

Болъё xцарс ба yнарс дэрнүүд тавцан дээр ачигдсан. Хэрэв нийт 300 унтагч байсан бол эхний тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно x+y = 300 .

Бүх царс мод 46 жинтэй байв xкг, нарс нь 28 жинтэй байв yкг. Царс моднууд нарс модноос 1 тонноор бага жинтэй тул хоёр дахь тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно 28y − 46x= 1000 . Энэ тэгшитгэлээс харахад царс ба нарс модны хоорондох массын зөрүү 1000 кг байна.

Царс, нарс модны жинг килограммаар хэмжсэнээс хойш тонныг килограмм болгон хөрвүүлэв.

Үүний үр дүнд бид системийг бүрдүүлдэг хоёр тэгшитгэлийг олж авдаг

Энэ системийг шийдье. Эхний тэгшитгэлээр илэрхийлье x. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Эхний тэгшитгэлийг хоёрдугаарт орлуулж ол y

Орлуулж үзье yтэгшитгэлд оруулна x= 300 − yтэгээд юу болохыг олж мэдээрэй x

Энэ нь тавцан дээр 100 царс, 200 нарс дэр ачсан гэсэн үг юм.

Шийдэл (100; 200) асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая. Эхлээд системийг зөв шийдсэн эсэхийг шалгацгаая:

Нийтдээ 300 унтдаг гэж байсан. Бид царс, нарс дэрний тоог нэмж, уусмал (100; 200) энэ нөхцлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгаарай. 100 + 200 = 300.

Дараах нөхцөл: бүх царс моднууд нь бүх нарс модноос 1 тонноор бага жинтэй байв . 46х100 кг царс мод нь 28х200 кг нарс модноос хөнгөн тул шийдэл (100; 200) нь энэ нөхцлийг хангаж байгааг бид харж байна. 5600 кг - 4600 кг = 1000 кг.

Асуудал 3. Бид жингээр 2: 1, 3: 1, 5: 1 харьцаатай гурван ширхэг зэс-никель хайлш авав. Тэднээс 12 кг жинтэй хэсгийг зэс, никелийн 4: 1 харьцаатай хайлуулсан. Эхнийх нь масс хоёр дахь массаас хоёр дахин их байвал эх хэсэг бүрийн массыг ол.

Зааварчилгаа

Орлуулах буюу дараалсан арилгах аргыг цөөн тооны үл мэдэгдэх системд ашигладаг. Энэ бол энгийн асуудлыг шийдэх хамгийн энгийн арга юм. Нэгдүгээрт, эхний тэгшитгэлээс бид нэг үл мэдэгдэхийг бусадтай нь илэрхийлж, энэ илэрхийллийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна. Бид хувиргасан хоёр дахь тэгшитгэлээс хоёр дахь үл мэдэгдэхийг илэрхийлж, үр дүнг гурав дахь тэгшитгэлд орлуулах гэх мэт. Бид сүүлчийн үл мэдэгдэхийг тооцоолох хүртэл. Дараа нь бид түүний утгыг өмнөх тэгшитгэлд орлуулж, эцсийн өмнөх үл мэдэгдэх гэх мэтийг олно. Үл мэдэгдэх тоогоор авч үзье.x + y - 3 = 0
2х - у - 3 = 0
Эхний тэгшитгэлээс x-ийг илэрхийлье: x = 3 - y. Хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2ж - у - 3 = 0
3 - 3y = 0
y = 1
Эхний тэгшитгэлд орлуулна уу системүүд(эсвэл ижил зүйл болох x-ийн илэрхийлэлд): x + 1 - 3 = 0. Бид x = 2-ыг олж авна.

Хугацаа хасах (эсвэл нэмэх) арга Энэ арга нь ихэвчлэн шийдлийг бууруулдаг системүүдболон тооцооллыг хялбарчлах. Энэ нь тэгшитгэлийг нэмэх (эсвэл хасах) тулд үл мэдэгдэх зүйлсийг шинжлэхээс бүрдэнэ системүүдтэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зарим зүйлийг арилгах. Нэг жишээг авч үзье, эхний аргын адил системийг ав.
x + y - 3 = 0
2х - у - 3 = 0
y-ийн хувьд коэффициентүүд нь ижил хэмжээтэй боловч тэмдэгтэй байгааг харахад хялбар байдаг тул хэрэв бид хоёр тэгшитгэлийг гишүүнээр нэмбэл у-г арилгах боломжтой болно. Нэмэлтийг хийцгээе: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 эсвэл 3x - 6 = 0. Иймд x = 2. Энэ утгыг дурын тэгшитгэлд орлуулахад у-г олно.
Та эсрэгээрээ x-г хасч болно. x-ийн коэффициентүүд ижил тэмдэгтэй тул бид нэг тэгшитгэлийг нөгөөгөөсөө хасах болно. Гэхдээ эхний тэгшитгэлд x-ийн коэффициент 1, хоёр дахь нь 2 байгаа тул х-г арилгах боломжгүй юм. Эхний тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлснээр бид дараах системийг авна.
2x + 2y - 6 = 0
2х - у - 3 = 0
Одоо эхний тэгшитгэлийн гишүүнээс хоёр дахьыг гишүүнээр хасъя: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 буюу ижил төстэйгүүдийг авчрахад 3y - 3 = 0. Тиймээс у = 1. Орлуулах Аливаа тэгшитгэлд бид x-г олно.

Сэдвийн талаархи видео

Зөвлөгөө 2: Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг хэрхэн батлах вэ

Дээд математикийн ажлын нэг бол шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг батлах явдал юм. Баталгаажуулалтыг Кронкер-Капелли теоремыг ашиглан хийх ёстой бөгөөд үүний дагуу түүний үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байвал систем тогтвортой байна.

Зааварчилгаа

Системийн үндсэн матрицыг бичнэ үү. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр байрлуул (өөрөөр хэлбэл бүх коэффициентийг ижил дарааллаар байрлуул, хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь байхгүй бол тэдгээрийг "0" тоон коэффициентээр бичнэ үү). Бүх коэффициентийг хүснэгт хэлбэрээр бичиж, хаалтанд бичнэ үү (баруун талд шилжүүлсэн чөлөөт нэр томъёог бүү тооц).

Системийн өргөтгөсөн матрицыг ижил аргаар бичнэ үү, зөвхөн энэ тохиолдолд баруун талд босоо зураас тавьж, чөлөөт нэр томъёоны баганыг бичнэ үү.

Үндсэн матрицын зэрэглэлийг тооцоол, энэ нь тэг биш хамгийн том минор юм. Нэгдүгээр эрэмбийн минор нь матрицын аль ч цифр нь тэгтэй тэнцүү биш байх нь ойлгомжтой. Хоёрдахь эрэмбийн минорыг тооцоолохын тулд дурын хоёр мөр, дурын хоёр баганыг авна уу (та дөрвөн оронтой болно). Тодорхойлогчийг тооцоолж, зүүн дээд тоог баруун доод талд үржүүлж, үүссэн тооноос зүүн доод ба баруун дээд хэсгийн үржвэрийг хасна. Та хоёр дахь зэрэгтэй насанд хүрээгүй хүүхэдтэй болсон.

Гурав дахь эрэмбийн минорыг тооцоолоход илүү хэцүү байдаг. Үүнийг хийхийн тулд дурын гурван мөр, гурван баганыг авбал та есөн тооны хүснэгтийг авах болно. Тодорхойлогчийг томъёогоор тооцоолно: ∆=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a12a21a33-a11a23a32 (коэффициентийн эхний орон нь мөрийн дугаар, хоёр дахь орон нь баганын дугаар). Танд гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхэд байна.

Үүний нэгэн адил нэмэгдүүлсэн матрицын зэрэглэлийг ол. Хэрэв таны систем дэх тэгшитгэлийн тоо зэрэглэлд таарч байвал (жишээлбэл, гурван тэгшитгэл, зэрэглэл нь 3) бол өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлийг тооцоолох нь утгагүй бөгөөд энэ нь мөн энэ тоотой тэнцүү байх болно гэдгийг анхаарна уу. . Энэ тохиолдолд шугаман тэгшитгэлийн систем тогтвортой байна гэж бид итгэлтэйгээр дүгнэж болно.

Сэдвийн талаархи видео

Асуулт нь "Шугаман алгебр" хичээлийн үндсэн зорилгыг бүрэн хамарч байна. Тиймээс хариултыг нарийн тооцоолол, тайлбаргүйгээр зөвхөн хураангуй хэлбэрээр өгөх боломжтой. Ерөнхийдөө шугаман тэгшитгэлийг цэвэр алгоритмын аргаар шийдэж болохоор сонирхолтой байдаг.

Зааварчилгаа

n үл мэдэгдэх m шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем нь хэлбэртэй байна (1-р зургийг үз).
Үүнд aij нь системийн коэффициент, xj нь үл мэдэгдэх, bi нь чөлөөт гишүүн (i=1, 2, ... , t; j=1, 2, ... , n) юм. Ийм систем нь түүний тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос хэтрэхгүй, өөрөөр хэлбэл m≤n үед практик утгатай болно. Гол нь "нэмэлт" тэгшитгэлүүд нь бусад тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол байх ёстой. Тэд зүгээр л давтдаг. Хэрэв тийм биш бол шийдэл байхгүй болно (систем тохирохгүй).

Ийм системийг AX=B матриц хэлбэрээр авсаархан бичиж болно. Энд А нь системийн коэффициентууд, X нь үл мэдэгдэх матриц-багана, В нь чөлөөт гишүүдийн матриц-багана (2-р зургийг үз). Хэрэв m=n бол өөрөөр хэлбэл. үл мэдэгдэх тоо байгаа ба тэгшитгэлийн тоо ижил байвал А матриц квадрат болно. Иймд ∆=|A| матрицын тодорхойлогчийн тухай ойлголтыг тодорхойлсон. |A|≠0-ийн хувьд урвуу матриц A⁻¹ байна. Энэ нь AA⁻¹= A⁻¹A=E тэгшитгэл дээр суурилдаг (E нь таних матриц). Тооцооллын томъёог Зураг 2-т мөн үзүүлэв. Зөвхөн А матрицын aij элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүд гэж нэрлэгддэг Aij à элементүүдийг дараах байдлаар тооцдог гэдгийг нэмж хэлэх хэрэгтэй. Тодорхойлогч |A|-г авч, aij элементийг агуулсан мөр ба баганыг зур. Үлдсэн коэффициентүүдийг тодорхойлогч болгон бич, хэрэв i+j тэгш биш бол (-1)-ээр үржүүлнэ. Харгалзах тоо нь Айж юм. Алгебрийн нэмэлтийг хавсаргасан матрицын баганын дагуу бичнэ.

Матрицын аргыг ашиглан системийн шийдлийг ол. Үүнийг хийхийн тулд AX=B системийн хоёр талыг зүүн талд байгаа A⁻¹-ээр үржүүлнэ. (A⁻¹A)X=A⁻¹B, EX=A⁻¹B эсвэл X=A⁻¹B авна. Бүх дэлгэрэнгүй мэдээллийг Зураг дээр үзүүлэв. 3. Үүнтэй ижил зураг харагдаж байна

Шийдэл. A= . r(A)-г олъё. Учир нь матрицМөн 3х4 дараалалтай, дараа нь насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн хамгийн дээд эрэмб нь 3 байна. Түүнээс гадна, бүх гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байна (өөрийгөө шалгаарай). гэсэн үг, r(A)< 3. Возьмем главный үндсэн бага = -5-4 = -9 ≠ 0. Иймд r(A) =2.

Ингээд авч үзье матриц ХАМТ = .

Бага гурав дахь захиалга ≠ 0. Тэгэхээр r(C) = 3 байна.

r(A)-аас хойш ≠ r(C) , тэгвэл систем нь нийцэхгүй байна.

Жишээ 2.Тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг тодорхойлох

Хэрэв энэ систем тогтвортой байвал шийднэ үү.

Шийдэл.

A =, C = . r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. detC = 0 тул r(C) байх нь ойлгомжтой.< 4. Ингээд авч үзье бага гурав дахь захиалга, А ба С матрицын зүүн дээд буланд байрладаг: = -23 ≠ 0. Тэгэхээр r(A) = r(C) = 3 байна.

Тоо үл мэдэгдэх системд n=3. Энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд дөрөв дэх тэгшитгэл нь эхний гурвын нийлбэрийг илэрхийлэх бөгөөд үүнийг үл тоомсорлож болно.

Крамерын томъёоны дагуубид x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 болно.

2.4. Матрицын арга. Гауссын арга

систем nшугаман тэгшитгэл-тай nүл мэдэгдэх асуудлыг шийдэж болно матрицын аргатомъёоны дагуу X = A -1 B (Δ үед ≠ 0), энэ нь (2)-аас хоёр хэсгийг A -1-ээр үржүүлснээр гарна.

Жишээ 1. Тэгшитгэлийн системийг шийд

матрицын арга (2.2-р хэсэгт энэ системийг Крамерын томъёогоор шийдсэн)

Шийдэл. Δ = 10 ≠ 0 A = - доройтдоггүй матриц.

= (шаардлагатай тооцоог хийх замаар үүнийг өөрөө шалгана уу).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Хариулт: .

Практик талаас нь авч үзвэлматрицын арга ба томъёо Крамерих хэмжээний тооцоололтой холбоотой тул давуу эрх олгодог Гауссын арга, энэ нь үл мэдэгдэх зүйлсийг дараалан арилгахаас бүрддэг. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн системийг гурвалжин өргөтгөсөн матриц бүхий эквивалент систем болгон бууруулсан (үндсэн диагональаас доош байгаа бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү). Эдгээр үйлдлийг урагшлах хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг. Үүссэн гурвалжин системээс хувьсагчдыг дараалсан орлуулалт (урвуу) ашиглан олно.

Жишээ 2. Гауссын аргыг ашиглан системийг шийд

(Дээрх энэ системийг Крамерын томъёо болон матрицын аргыг ашиглан шийдсэн).

Шийдэл.

Шууд шилжих. Өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан гурвалжин хэлбэрт оруулцгаая.

~ ~ ~ ~ .

Бид авдаг систем

Урвуу хөдөлгөөн.Сүүлийн тэгшитгэлээс бид олдог X 3 = -6 ба энэ утгыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Хариулт: .

2.5. Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдэл

Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье = б би(би=). r(A) = r(C) = r, i.e. систем нь хамтын ажиллагаа юм. r-ийн тэгээс бусад бага зэрэг нь үндсэн бага.Ерөнхий байдлыг алдалгүйгээр бид суурь минор нь А матрицын эхний r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) мөр, баганад байрлана гэж үзнэ. Системийн сүүлчийн m-r тэгшитгэлийг хасаад бид a бичнэ. богиносгосон систем:

Энэ нь анхныхтай тэнцүү юм. Үл мэдэгдэх хүмүүсийг нэрлэе x 1 ,….x rүндсэн, ба x r +1 ,…, x rчөлөөтэй ба чөлөөт үл мэдэгдэх нэр томъёог таслагдсан системийн тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлнэ. Бид үндсэн үл мэдэгдэх системийг олж авдаг.

чөлөөт үл мэдэгдэх утгын багц бүрийн хувьд x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-rганцхан шийдэлтэй x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r),Крамерын дүрмээр олдсон.

Холбогдох шийдэлбогиносгосон тул анхны систем нь дараах хэлбэртэй байна.

X(C 1 ,…, C n-r) = - системийн ерөнхий шийдэл.

Хэрэв бид ерөнхий шийдэлд чөлөөт үл мэдэгдэх тоон утгыг оноож өгвөл хэсэгчилсэн шийдэл гэж нэрлэгддэг шугаман системийн шийдлийг олж авна.

Жишээ.

ШийдэлТохиромжтой байдлыг бий болгож, системийн ерөнхий шийдлийг олох . A = .

, C = Тэгэхээр Хэрхэн r(A)< 4).

= r(C) = 2 (үүнийг өөрөө харна уу), тэгвэл анхны систем нь тууштай бөгөөд хязгааргүй тооны шийдэлтэй (r-ээс хойш)

§1. Шугаман тэгшитгэлийн системүүд.

Системийг харах систем гэж нэрлэдэгм nшугаман тэгшитгэлүүд

үл мэдэгдэх.
Энд - үл мэдэгдэх,
- үл мэдэгдэх коэффициентүүд,

- тэгшитгэлийн чөлөөт нөхцөл. Хэрэв тэгшитгэлийн бүх чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү бол системийг дуудна.нэгэн төрлийнШийдвэрээр
, тэдгээрийг үл мэдэгдэхийн оронд системд орлуулах үед бүх тэгшитгэл нь ижил төстэй байдал болж хувирдаг. систем гэж нэрлэдэг хамтарсан, хэрэв энэ нь дор хаяж нэг шийдэлтэй бол. Өвөрмөц шийдэл бүхий нийцтэй системийг нэрлэдэг тодорхой. Хоёр системийг нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв тэдгээрийн шийдлийн багц давхцаж байвал.

Системийг (1) тэгшитгэлийг ашиглан матриц хэлбэрээр илэрхийлж болно

(2)

.

§2. Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдал.

(1) системийн өргөтгөсөн матрицыг матриц гэж нэрлэе

Кронекер-Капелли теорем. Систем (1) нь системийн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л тогтвортой байна:

.

§3. Системийн шийдэлn шугаман тэгшитгэлүүдn үл мэдэгдэх.

Нэг төрлийн бус системийг авч үзье nм nүл мэдэгдэх:

(3)

Крамерын теорем.Хэрэв системийн гол тодорхойлогч (3)
, дараа нь систем нь томъёогоор тодорхойлогддог өвөрмөц шийдэлтэй байна:

тэдгээр.
,

Хаана - тодорхойлогчоос олж авсан тодорхойлогч солих th баганаас чөлөөт гишүүдийн баганад.

Хэрэв
, дор хаяж нэг нь ≠0 бол системд шийдэл байхгүй болно.

Хэрэв
, тэгвэл систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

(3) системийг түүний матриц хэлбэрийг (2) ашиглан шийдэж болно. Хэрэв матрицын зэрэглэл байвал Атэнцүү байна n, өөрөөр хэлбэл
, дараа нь матриц Аурвуу талтай
. Матрицын тэгшитгэлийг үржүүлэх
матриц руу
зүүн талд бид дараахь зүйлийг авна.

.

Сүүлийн тэгшитгэл нь урвуу матриц ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргыг илэрхийлдэг.

Жишээ.Урвуу матриц ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Шийдэл. Матриц
оноос хойш доройтохгүй
, энэ нь урвуу матриц байна гэсэн үг. Урвуу матрицыг тооцоолъё:
.

,

Дасгал хийх. Крамерын аргыг ашиглан системийг шийд.

§4. Шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг шийдвэрлэх.

(1) хэлбэрийн шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийг өгье.

Систем тогтвортой байна гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. Кронекер-Капелли теоремын нөхцөл хангагдсан:
. Хэрэв матрицын зэрэглэл байвал
(үл мэдэгдэх тоо), дараа нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна. Хэрэв
, тэгвэл систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй. Би тайлбарлая.

Матрицын зэрэглэлийг өгье r(А)= r< n. Учир нь
, дараа нь зарим нэг тэг бус жижиг эрэмбийн байна r. Үүнийг үндсэн насанд хүрээгүй гэж нэрлэе. Коэффициент нь суурь минор болдог үл мэдэгдэх зүйлсийг үндсэн хувьсагч гэж нэрлэнэ. Үлдсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг бид чөлөөт хувьсагч гэж нэрлэдэг. Энэ минорыг системийн матрицын зүүн дээд буланд байрлуулахын тулд тэгшитгэлүүдийг дахин цэгцэлж, хувьсагчдыг дахин дугаарлацгаая.

.

Эхлээд rшугамууд нь шугаман бие даасан, бусад нь тэдгээрээр илэрхийлэгддэг. Тиймээс эдгээр шугамуудыг (тэгшитгэл) хаяж болно. Бид авах:

Чөлөөт хувьсагчдад дурын тоон утгыг өгье: . Зүүн талд зөвхөн үндсэн хувьсагчдыг үлдээж, чөлөөтэйг нь баруун тал руу шилжүүлье.

Системээ авсан rм rтодорхойлогч нь 0-ээс ялгаатай тодорхойгүй. Энэ нь өвөрмөц шийдэлтэй.

Энэ системийг шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдэл гэж нэрлэдэг (1). Үгүй бол: үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлэхийг нэрлэдэг ерөнхий шийдвэрсистемүүд. Үүнээс та хязгааргүй тоог авч болно хувийн шийдлүүд, чөлөөт хувьсагчдад дурын утгыг өгөх. Чөлөөт хувьсагчдын тэг утгын ерөнхий нэгээс олж авсан тодорхой шийдлийг дууддаг үндсэн шийдэл. Төрөл бүрийн үндсэн шийдлүүдийн тоо хэтрэхгүй байна
. Сөрөг бус бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй үндсэн шийдлийг нэрлэдэг дэмжиж байнасистемийн шийдэл.

Жишээ.

,r=2.

Хувьсагч
- үндсэн,
- үнэ төлбөргүй.

Тэгшитгэлүүдийг нэмье; илэрхийлье
дамжуулан
:

- нийтлэг шийдвэр.

- хувийн шийдэл
.

- үндсэн шийдэл, лавлагаа.

§5. Гауссын арга.

Гауссын арга нь шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг судлах, шийдвэрлэх бүх нийтийн арга юм. Энэ нь системийн эквивалентыг зөрчөөгүй энгийн хувиргалтыг ашиглан үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах замаар системийг диагональ (эсвэл гурвалжин) хэлбэрт оруулахаас бүрдэнэ. Хэрэв хувьсагч нь 1 коэффициент бүхий системийн зөвхөн нэг тэгшитгэлд багтсан бол түүнийг хассан гэж үзнэ.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдсистемүүд нь:

Тэгшитгэлийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;

Дурын тоогоор үржүүлсэн тэгшитгэлийг өөр тэгшитгэлээр нэмэх;

Тэгшитгэлийг дахин зохион байгуулах;

0 = 0 тэгшитгэлээс татгалзаж байна.

Элементар хувиргалтыг тэгшитгэл дээр биш харин үүссэн эквивалент системийн өргөтгөсөн матрицууд дээр хийж болно.

Жишээ.

Шийдэл.Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичье.

.

Энгийн хувиргалтуудыг хийснээр бид матрицын зүүн талыг нэгж хэлбэрт оруулна: бид үндсэн диагональ дээр нэгийг, түүний гадна талд тэгүүдийг үүсгэнэ.

Сэтгэгдэл. Хэрэв анхан шатны хувиргалтыг хийхдээ 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна = к(Хаана руу0), тэгвэл систем нь тогтворгүй болно.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах аргаар шийдлийг дараах хэлбэрээр бичиж болно. ширээ.

Хүснэгтийн зүүн баганад хасагдсан (үндсэн) хувьсагчдын талаарх мэдээллийг агуулна. Үлдсэн баганууд нь үл мэдэгдэхийн коэффициент ба тэгшитгэлийн чөлөөт нөхцлүүдийг агуулна.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг эх хүснэгтэд тэмдэглэв. Дараа нь бид Жорданы хувиргалтыг хийж эхэлнэ.

1. Хувьсагчийг сонгоно уу , энэ нь үндэс болно. Харгалзах баганыг түлхүүр багана гэж нэрлэдэг. Энэ хувьсагчийг бусад тэгшитгэлээс хассаны дараа үлдэх тэгшитгэлийг сонгоно уу. Харгалзах хүснэгтийн мөрийг түлхүүр мөр гэж нэрлэдэг. Коэффицент , гол мөр ба гол баганын огтлолцол дээр зогсохыг түлхүүр гэнэ.

2. Түлхүүр мөрийн элементүүдийг гол элемент болгон хуваана.

3. Түлхүүр баганыг тэгээр дүүргэсэн.

4. Үлдсэн элементүүдийг тэгш өнцөгтийн дүрмийг ашиглан тооцоолно. Эсрэг орой дээр нь гол элемент ба дахин тооцоолсон элемент байгаа тэгш өнцөгт үүсгэх; Гол элементтэй тэгш өнцөгтийн диагональ дээр байрлах элементүүдийн үржвэрээс нөгөө диагональын элементүүдийн үржвэрийг хасч, үүссэн зөрүүг гол элементэд хуваана.

Жишээ. Тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдэл ба үндсэн шийдийг ол.

Шийдэл.

Системийн ерөнхий шийдэл:

Үндсэн шийдэл:
.

Нэг орлуулалтын хувиргалт нь системийн нэг баазаас нөгөөд шилжих боломжийг олгодог: үндсэн хувьсагчийн оронд чөлөөт хувьсагчийн аль нэгийг суурь болгон нэвтрүүлдэг. Үүнийг хийхийн тулд чөлөөт хувьсагчийн баганад гол элементийг сонгоод дээрх алгоритмын дагуу хувиргалтыг хийнэ.

§6. Лавлах шийдлүүдийг хайж олох

Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишиг шийдэл нь сөрөг бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг агуулаагүй үндсэн шийдэл юм.

Дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд системийн лавлагаа шийдлүүдийг Гауссын аргаар олно.

1. Анхны системд бүх үнэгүй нэр томъёо нь сөрөг биш байх ёстой:
.

2. Эерэг коэффициентүүдийн дунд гол элементийг сонгоно.

3. Хэрэв суурьт оруулсан хувьсагч хэд хэдэн эерэг коэффициенттэй бол чөлөөт гишүүний эерэг коэффициенттэй харьцуулсан харьцаа хамгийн бага байх гол шугам болно.

Тайлбар 1. Хэрэв үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах явцад бүх коэффициент нь эерэг биш, чөлөөт гишүүн байх тэгшитгэл гарч ирвэл
, тэгвэл системд сөрөг бус шийдэл байхгүй болно.

Тайлбар 2. Хэрэв чөлөөт хувьсагчийн коэффициентийн баганад ганц эерэг элемент байхгүй бол өөр лавлах шийдэлд шилжих боломжгүй юм.

Жишээ.

Гэсэн хэдий ч практикт өөр хоёр тохиолдол өргөн тархсан байна:

– Систем нь тогтворгүй (шийдэл байхгүй);
– Систем нь тогтвортой бөгөөд хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Анхаарна уу : "Тууштай байдал" гэсэн нэр томъёо нь системд дор хаяж тодорхой шийдэл байгаа гэсэн үг юм. Хэд хэдэн асуудал тулгарвал эхлээд системийг хэрхэн яаж хийхийг шалгах шаардлагатай, нийтлэлийг үзнэ үү матрицын зэрэглэл.

Эдгээр системүүдийн хувьд бүх шийдлийн аргуудаас хамгийн түгээмэл нь ашиглагддаг - Гауссын арга. Үнэн хэрэгтээ "сургуулийн" арга нь хариултыг өгөх болно, гэхдээ дээд математикт үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах Гауссын аргыг ашигладаг. Гауссын аргын алгоритмыг мэдэхгүй хүмүүс эхлээд хичээлээ судлаарай Даммигийн Гауссын арга.

Анхан шатны матрицын хувиргалтууд нь өөрөө яг адилхан, ялгаа нь шийдлийн төгсгөлд байх болно. Нэгдүгээрт, системд ямар ч шийдэл байхгүй (зөрчил) байгаа хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 1

Энэ системийн талаар таны анхаарлыг юу шууд татдаг вэ? Тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчийн тооноос бага байна. Хэрэв тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос бага бол, дараа нь бид систем нь зөрчилтэй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй гэж шууд хэлж чадна. Тэгээд олж мэдэх л үлдлээ.

Шийдлийн эхлэл нь ердийн зүйл юм - бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулдаг.

(1) Зүүн дээд талын алхам дээр бид +1 эсвэл -1 авах хэрэгтэй. Эхний баганад ийм тоо байхгүй тул мөрүүдийг дахин байрлуулах нь юу ч өгөхгүй. Нэгж нь өөрөө зохион байгуулалттай байх ёстой бөгөөд үүнийг хэд хэдэн аргаар хийж болно. Би үүнийг хийсэн: Эхний мөрөнд бид гурав дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлнэ.

(2) Одоо бид эхний баганад хоёр тэг авч байна. Хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг 3-аар үржүүлсэн тоог нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид 5-аар үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ.

(3) Өөрчлөлт дууссаны дараа үүссэн мөрүүдийг хялбарчлах боломжтой эсэхийг үргэлж харахыг зөвлөж байна уу? Чадах. Бид хоёр дахь мөрийг 2-оор хувааж, хоёр дахь алхам дээр шаардлагатай -1-ийг авдаг. Гурав дахь мөрийг -3-т хуваа.

(4) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмнэ.

Энгийн өөрчлөлтөөс үүдэлтэй муу зураасыг хүн бүр анзаарсан байх. . Ийм байж болохгүй нь ойлгомжтой. Үнэхээр бид үүссэн матрицыг дахин бичье Шугаман тэгшитгэлийн систем рүү буцах:

Хэрэв анхан шатны хувиргалтын үр дүнд тэгээс өөр тоо байгаа хэлбэрийн мөрийг олж авбал систем нь нийцэхгүй байна (шийдэл байхгүй).

Даалгаврын төгсгөлийг хэрхэн бичих вэ? Цагаан шохойгоор зурцгаая: "Эхний хувиргалтуудын үр дүнд "хэлбэрийн тэмдэгт" гарч ирээд хариултыг өгнө үү: системд шийдэл байхгүй (зөрчил).

Хэрэв нөхцөл байдлын дагуу системийн нийцтэй байдлын талаар СУДАЛГАА хийх шаардлагатай бол уг ойлголтыг ашиглан шийдлийг илүү хатуу хэв маягаар албан ёсны болгох шаардлагатай. матрицын зэрэглэл ба Кронекер-Капелли теорем.

Энд Гауссын алгоритмыг буцаах арга байхгүй гэдгийг анхаарна уу - ямар ч шийдэл байхгүй, зүгээр л олох зүйл алга.

Жишээ 2

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Таны шийдэл миний шийдлээс ялгаатай байж магадгүй гэдгийг би дахин сануулж байна, Гауссын алгоритм нь "хатуу" биш юм.

Шийдлийн өөр нэг техникийн шинж чанар: энгийн хувиргалтыг зогсоож болно Нэг дор, хаана гэх мэт мөр гармагц . Нөхцөлтэй жишээг авч үзье: эхний хувиргалт хийсний дараа матрицыг олж авлаа гэж бодъё . Матрицыг эшелон хэлбэрт хараахан бууруулаагүй байгаа боловч хэлбэрийн шугам гарч ирсэн тул цаашид энгийн хувиргалт хийх шаардлагагүй болно. Систем таарахгүй байна гэсэн хариултыг нэн даруй өгөх ёстой.

Шугаман тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй бол энэ нь богино хэмжээний шийдлийг заримдаа 2-3 алхамаар олж авдаг тул энэ нь бараг бэлэг юм.

Гэхдээ энэ ертөнцийн бүх зүйл тэнцвэртэй бөгөөд систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй байдаг асуудал нь илүү урт юм.

Жишээ 3

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

4 тэгшитгэл, 4 үл мэдэгдэх систем байдаг тул систем нь нэг шийдэлтэй, эсвэл шийдэлгүй, эсвэл хязгааргүй олон шийдтэй байж болно. Гэсэн хэдий ч Гауссын арга нь ямар ч тохиолдолд биднийг хариулт руу хөтөлнө. Энэ бол түүний олон талт байдал юм.

Эхлэл нь дахин стандарт юм. Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулцгаая.

Ингээд л та нар айсан.

(1) Эхний баганад байгаа бүх тоо 2-т хуваагддаг тул зүүн дээд буланд 2 байвал зүгээр гэдгийг анхаарна уу. Хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж, -4-ээр үржүүлнэ. Гурав дахь мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж, -2-оор үржүүлнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлнэ.

Анхаар!Дөрөв дэх мөрөнд олон хүн уруу татагдаж магадгүй хасахэхний мөр. Үүнийг хийх боломжтой боловч туршлагаас харахад тооцоололд алдаа гарах магадлал хэд хэдэн удаа нэмэгддэг. Зүгээр л нэмнэ үү: Дөрөв дэх мөрөнд эхний мөрийг -1-ээр үржүүлнэ. яг!

(2) Сүүлийн гурван мөр нь пропорциональ, хоёрыг нь устгаж болно.

Энд бид дахин харуулах хэрэгтэй анхаарал нэмэгдсэн, гэхдээ шугамууд үнэхээр пропорциональ уу? Аюулгүй байхын тулд (ялангуяа цайны аяганд) хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, дөрөв дэх мөрийг 2-оор хуваавал гурван ижил зураас гарах нь зүйтэй юм. Үүний дараа л хоёрыг нь хас.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн үр дүнд системийн өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулав.

Даалгаврыг дэвтэрт бичихдээ тодорхой болгохын тулд харандаагаар ижил тэмдэглэл хийхийг зөвлөж байна.

Харгалзах тэгшитгэлийн системийг дахин бичье.

Энд системийн "ердийн" нэг шийдлийн үнэр алга. Муу шугам ч байхгүй. Энэ нь үлдсэн гурав дахь тохиолдол гэсэн үг юм - систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй. Заримдаа нөхцөл байдлын дагуу системийн нийцтэй байдлыг судлах шаардлагатай байдаг (жишээ нь шийдэл нь огт байгаа эсэхийг нотлох), та энэ тухай өгүүллийн сүүлийн догол мөрөөс уншиж болно. Матрицын зэрэглэлийг хэрхэн олох вэ?Гэхдээ одоо үндсэн ойлголтуудыг авч үзье:

Системийн шийдлүүдийн хязгааргүй багцыг товчхон гэж нэрлэгддэг хэлбэрээр бичдэг системийн ерөнхий шийдэл .

Гауссын аргын урвуу аргыг ашиглан системийн ерөнхий шийдлийг олно.

Эхлээд бид ямар хувьсагчтай болохыг тодорхойлох хэрэгтэй үндсэн, ямар хувьсагч үнэгүй. Шугаман алгебрийн нэр томъёонд өөрийгөө зовоох шаардлагагүй, ийм зүйл байдаг гэдгийг санаарай үндсэн хувьсагчТэгээд чөлөөт хувьсагч.

Үндсэн хувьсагч нь үргэлж матрицын алхам дээр "сууж" байдаг.
Энэ жишээнд үндсэн хувьсагч нь ба байна

Үнэгүй хувьсагч нь бүх зүйл юм үлдсэналхам хүлээн аваагүй хувьсагч. Манай тохиолдолд тэдгээрийн хоёр нь байна: – чөлөөт хувьсагч.

Одоо танд хэрэгтэй Бүгд үндсэн хувьсагчилэрхийлэх зөвхөн дамжуулан чөлөөт хувьсагч.

Гауссын алгоритмын урвуу нь уламжлал ёсоор доороос дээш ажилладаг.
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид үндсэн хувьсагчийг илэрхийлнэ.

Одоо эхний тэгшитгэлийг харна уу: . Эхлээд бид олсон илэрхийлэлийг үүн дээр орлуулна:

Үндсэн хувьсагчийг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлэх хэвээр байна:

Эцэст нь бид хэрэгтэй зүйлээ авсан - Бүгдүндсэн хувьсагчдыг ( ба ) илэрхийлнэ зөвхөн дамжууланчөлөөт хувьсагч:

Үнэндээ ерөнхий шийдэл бэлэн байна:

Ерөнхий шийдлийг хэрхэн зөв бичих вэ?
Чөлөөт хувьсагчдыг ерөнхий шийдэлд "өөрөө" болон байранд нь хатуу бичдэг. Энэ тохиолдолд чөлөөт хувьсагчдыг хоёр, дөрөв дэх байрлалд бичнэ.
.

Үндсэн хувьсагчийн үр дүнгийн илэрхийлэл эхний болон гуравдахь байрлалд бичих шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтой.

Үнэгүй хувьсагч өгөх дурын утгууд, та хязгааргүй олон зүйлийг олох боломжтой хувийн шийдлүүд. Тодорхой шийдэл нь олж авахад хамгийн хялбар байдаг тул хамгийн алдартай утгууд нь тэг юм. Ерөнхий шийдлийг орлъё:

- хувийн шийдэл.

Өөр нэг сайхан хос бол тэдгээрийг ерөнхий шийдэл болгон орлъё:

- өөр нэг хувийн шийдэл.

Тэгшитгэлийн систем нь байгааг харахад хялбар байдаг хязгааргүй олон шийдэл(Бид үнэгүй хувьсагчийг өгч чадах тул ямар чүнэ цэнэ)

Тус бүртодорхой шийдэл нь хангасан байх ёстой тус бүртсистемийн тэгшитгэл. Энэ нь шийдлийн зөв эсэхийг "хурдан" шалгах үндэс суурь юм. Жишээлбэл, тодорхой шийдлийг авч, анхны системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулна уу.

Бүх зүйл хамтдаа байх ёстой. Таны хүлээн авсан аливаа тодорхой шийдэлд бүх зүйл тохирсон байх ёстой.

Гэхдээ хатуухан хэлэхэд тодорхой шийдлийг шалгах нь заримдаа хууран мэхлэх явдал юм. Зарим тодорхой шийдэл нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангаж болох боловч ерөнхий шийдэл нь өөрөө буруу олддог.

Тиймээс ерөнхий шийдлийг шалгах нь илүү нарийн бөгөөд найдвартай байдаг. Үүссэн ерөнхий шийдлийг хэрхэн шалгах вэ ?

Энэ нь хэцүү биш, гэхдээ нэлээд уйтгартай. Бид илэрхийлэл авах хэрэгтэй үндсэнхувьсагч, энэ тохиолдолд ба , мөн тэдгээрийг системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулна.

Системийн эхний тэгшитгэлийн зүүн талд:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд:


Анхны тэгшитгэлийн баруун талыг олж авна.

Жишээ 4

Гауссын аргыг ашиглан системийг шийд. Ерөнхий шийдэл ба хоёр тусгай шийдлийг ол. Ерөнхий шийдлийг шалгана уу.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энд, дашрамд хэлэхэд, дахин тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос бага байгаа нь систем нь зөрчилтэй, эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй байх нь шууд тодорхой болно гэсэн үг юм. Шийдвэр гаргах үйл явцад юу чухал вэ? Анхаарал, дахин анхаарал. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Материалыг бататгах хэд хэдэн жишээ

Жишээ 5

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд. Хэрэв системд хязгааргүй олон шийдэл байгаа бол хоёр тусгай шийдлийг олж, ерөнхий шийдлийг шалгана уу

Шийдэл: Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

(1) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид эхний мөрийг 3-аар үржүүлнэ.
(2) Гурав дахь мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -5-аар үржүүлнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -7-оор үржүүлнэ.
(3) Гурав, дөрөв дэх мөр нь адилхан, бид тэдгээрийн аль нэгийг нь устгана.

Энэ бол ийм гоо үзэсгэлэн юм:

Үндсэн хувьсагч нь алхам дээр суудаг тул үндсэн хувьсагч болно.
Алхам аваагүй цорын ганц чөлөөт хувьсагч байна:

Урвуу:
Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье:
Гурав дахь тэгшитгэлээс:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийлэлийг түүнд орлъё.

Эхний тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийлэлүүдийг орлуулъя.

Тийм ээ, энгийн бутархайг тооцдог тооны машин тохиромжтой хэвээр байна.

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Дахин хэлэхэд энэ нь яаж болсон бэ? Чөлөөт хувьсагч дангаараа дөрөв дэх байрандаа сууж байна. Үндсэн хувьсагчийн үр дүнгийн илэрхийллүүд нь мөн адил байр сууриа эзэлдэг.

Ерөнхий шийдлийг нэн даруй шалгацгаая. Энэ ажил нь хар арьстнууд, гэхдээ би үүнийг аль хэдийн хийчихсэн байгаа тул барьж аваарай =)

Бид системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд гурван баатрыг , , орлуулна.

Тэгшитгэлийн баруун талын харгалзах талуудыг олж авсан тул ерөнхий шийдийг зөв олно.

Одоо олдсон ерөнхий шийдлээс Бид хоёр тусгай шийдлийг олж авдаг. Энд байгаа цорын ганц үнэгүй хувьсагч бол тогооч юм. Тархиа шатаах шаардлагагүй.

Тэгээд байг - хувийн шийдэл.
Тэгээд байг - өөр нэг хувийн шийдэл.

Хариулт: Нийтлэг шийдвэр: , хувийн шийдлүүд: , .

Би хар арьстнуудын тухай санахгүй байх ёстой байсан... ... учир нь янз бүрийн гунигтай санаанууд толгойд орж ирээд, хар хөлбөмбөгчний араас цагаан дээлтэй Ку Клюкс Клансменууд талбай дээгүүр гүйж байсан алдартай фотошопыг санав. Би чимээгүйхэн суугаад инээмсэглэнэ. Ямар их анхаарал сарниулдгийг чи мэднэ...

Маш олон тооны математик нь хортой тул үүнийг өөрөө шийдэх эцсийн жишээ юм.

Жишээ 6

Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдийг ол.

Би ерөнхий шийдлийг аль хэдийн шалгаж үзсэн тул хариултанд итгэж болно. Таны шийдэл миний шийдлээс ялгаатай байж магадгүй, гол зүйл бол ерөнхий шийдлүүд давхцаж байгаа явдал юм.

Магадгүй олон хүмүүс шийдлүүдийн таагүй мөчийг анзаарсан байх: Гауссын аргын урвуу явцад бид ердийн бутархай хэсгүүдтэй ажиллах шаардлагатай болдог. Практикт энэ нь үнэхээр тийм тохиолдол байдаг бөгөөд энэ нь фракц байхгүй тохиолдолд хамаагүй бага байдаг. Оюун санааны хувьд, хамгийн чухал нь техникийн хувьд бэлтгэлтэй байх.

Шийдвэрлэсэн жишээн дээр олдоогүй шийдлийн зарим шинж чанарууд дээр би анхаарлаа хандуулах болно.

Системийн ерөнхий шийдэлд заримдаа тогтмол (эсвэл тогтмол) орно, жишээлбэл: . Энд үндсэн хувьсагчийн нэг нь тогтмол тоотой тэнцүү байна: . Үүнд чамин зүйл байхгүй, ийм зүйл тохиолддог. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд аливаа тодорхой шийдэл нь эхний байрлалд тавыг агуулна.

Ховор, гэхдээ ийм системүүд байдаг тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос их байна. Гауссын арга нь хамгийн хүнд нөхцөлд ажилладаг; стандарт алгоритмыг ашиглан системийн өргөтгөсөн матрицыг аажмаар бууруулах хэрэгтэй. Ийм систем нь үл нийцэх, хязгааргүй олон шийдэлтэй, хачирхалтай нь нэг шийдэлтэй байж болно.