t хугацааны хурдатгалыг ол. Нарийн төвөгтэй цэгийн хөдөлгөөн

Хурд гэдэг нь зөвхөн бөөмийн траекторын дагуух хөдөлгөөний хурдыг төдийгүй цаг мөч бүрт бөөмийн хөдөлж буй чиглэлийг тодорхойлдог вектор хэмжигдэхүүн юм.

Цаг хугацааны дундаж хурд -аас t 1 өмнө t 2нь тухайн үеийн хөдөлгөөнийг тухайн үеийн хөдөлгөөнд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Дундаж утгыг өнцгийн хаалтанд оруулснаар энэ нь дундаж хурд гэдгийг бид тэмдэглэх болно.<...>, дээр дурдсанчлан.

Дундаж хурдны векторын дээрх томъёо нь дундаж утгын ерөнхий математик тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм<f(x)> дурын функц f(x)интервал дээр [ а,б]:

Үнэхээр

Дундаж хурд нь хөдөлгөөний хэт бүдүүлэг хэмжүүр байж болно. Жишээлбэл, хэлбэлзлийн үеийн дундаж хурд нь эдгээр хэлбэлзлийн шинж чанараас үл хамааран үргэлж тэг байдаг бөгөөд энгийн шалтгаанаар тодорхой хугацааны дараа хэлбэлзэж буй бие нь эхлэлийн цэг рүү буцаж ирдэг. , хугацааны шилжилт үргэлж тэг байна. Энэ болон бусад хэд хэдэн шалтгааны улмаас агшин зуурын хурдыг нэвтрүүлсэн - тухайн агшин дахь хурд. Ирээдүйд, агшин зуурын хурдыг ойлгохын тулд бид "хурд" гэж бичих бөгөөд энэ нь үл ойлголцолд хүргэж чадахгүй бол "агшин зуурын" эсвэл "цаг хугацааны өгөгдсөн агшинд" гэсэн үгсийг орхих болно тБид тодорхой зүйлийг хийх хэрэгтэй: хугацааны интервалын хандлагатай харьцааны хязгаарыг тооцоолох t 2 – t 1тэг хүртэл. Зарим дахин төлөвлөлт хийцгээе: t 1 = tТэгээд t 2 = t +дээд харьцааг дараах байдлаар дахин бичнэ.

Цагийн хурд тцаг хугацааны хөдөлгөөний харьцааны хязгаартай тэнцүү, учир нь сүүлийнх нь тэг байх хандлагатай байдаг.

Цагаан будаа. 2.5. Агшин зуурын хурдны тодорхойлолт руу.

Одоогийн байдлаар бид энэ хязгаар байгаа гэж үзвэл энэ хязгаар байгаа эсэх асуудлыг авч үзэхгүй байна. Хэрэв хязгаарлагдмал шилжилт ба хязгаарлагдмал хугацаа байгаа бол тэдгээрийн хязгаарлагдмал утга нь хязгаарлагдмал бага шилжилт ба хязгааргүй жижиг хугацаа гэдгийг анхаарна уу. Тэгэхээр хурдны тодорхойлолтын баруун тал

Энэ нь бутархайгаас өөр зүйл биш - хуваах коэффициент, тиймээс сүүлчийн хамаарлыг дахин бичиж болох бөгөөд энэ хэлбэрээр ихэвчлэн ашиглагддаг.

Деривативын геометрийн утгын дагуу траекторийн цэг бүр дээрх хурдны вектор нь хөдөлгөөний чиглэлд энэ цэгт траектор руу шүргэгчээр чиглэнэ.

Видео 2.1. Хурдны вектор нь траекторийн чиглэл рүү тангенциал чиглэгддэг. Ирлэгчээр турших.

Аливаа векторыг суурь болгон өргөжүүлж болно (суурийн нэгж векторуудын хувьд, өөрөөр хэлбэл тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлийг тодорхойлдог нэгж векторуудын хувьд). ҮХЭР,Өө,О.Збид , , эсвэл , гэсэн тэмдэглэгээг тус тус ашигладаг). Энэ тэлэлтийн коэффициентүүд нь векторын харгалзах тэнхлэгүүд дээрх проекцууд юм. Дараах нь чухал юм: вектор алгебрийн хувьд суурьтай холбоотой тэлэлт нь өвөрмөц байдаг нь батлагдсан. Зарим хөдөлж буй материалын цэгийн радиус векторыг суурь болгон өргөжүүлье

Декартын нэгж векторуудын тогтмол байдлыг харгалзан , , , бид энэ илэрхийллийг цаг хугацааны хувьд ялгадаг.

Нөгөө талаас хурдны векторын суурь хэлбэрийн тэлэлт нь хэлбэртэй байна

Суурьтай холбоотой аливаа векторын тэлэлтийн өвөрмөц байдлыг харгалзан сүүлийн хоёр илэрхийллийг зэрэгцүүлэн үзвэл дараах үр дүн гарна: хурдны векторын декартын тэнхлэгүүд дээрх проекцууд нь харгалзах координатын хугацааны деривативуудтай тэнцүү байна. байна

Хурдны векторын модуль нь тэнцүү байна

Хурдны векторын хэмжээг тодорхойлох өөр нэг чухал илэрхийлэлийг олж авцгаая.

Хэзээ үнэ цэнэ || гэдгийг аль хэдийн тэмдэглэсэн харгалзах замаас бага ба бага ялгаатай (2-р зургийг үз). Тийм ч учраас

ба хязгаарт (>0)

Өөрөөр хэлбэл хурдны модуль нь цаг хугацааны хувьд туулсан зайн дериватив юм.

Эцэст нь бидэнд байна:

Хурдны векторын дундаж хэмжээ, дараах байдлаар тодорхойлогддог.

Хурдны векторын модулийн дундаж утга нь туулсан зайг энэ замыг туулсан хугацаатай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Энд s(t 1 , t 2)- цаг хугацааны зам t 1өмнө t 2мөн үүний дагуу, s(t 0 , t 2)- цаг хугацааны зам t 0өмнө t 2Тэгээд s(t 0 , t 2)- цаг хугацааны зам t 0өмнө t 1.

Дундаж хурдны вектор буюу дээр дурдсанчлан дундаж хурд нь байна

Юуны өмнө энэ нь вектор, түүний модуль - дундаж хурдны векторын модулийг хурдны векторын модулийн дундаж утгатай андуурч болохгүй гэдгийг анхаарна уу. Ерөнхий тохиолдолд тэдгээр нь тэнцүү биш юм: дундаж векторын модуль нь энэ векторын дундаж модультай огт тэнцүү биш юм. Хоёр үйлдлийг: модулийг тооцоолох ба дундажийг тооцоолох ерөнхий тохиолдолд сольж болохгүй.

Нэг жишээ авч үзье. Цэгийг нэг чиглэлд хөдөлгө. Зураг дээр. 2.6. түүний туулсан замын графикийг харуулж байна сцаг хугацааны дотор (цагаас хойш 0 өмнө т). Хурдны физик утгыг ашиглан тухайн цэгийн хөдөлгөөний эхний секундэд агшин зуурын хурд нь газрын дундаж хурдтай тэнцүү байх агшинг олохын тулд энэ графикийг ашиглана.

Цагаан будаа. 2.6. Биеийн агшин зуурын болон дундаж хурдыг тодорхойлох

Тухайн үед хурдны модуль

цаг хугацааны хувьд замын дериватив нь цаг хугацааны агшинд харгалзах цэгийн хамаарлын графикт дүүжин өнцгийн коэффициенттэй тэнцүү байна. т*. -аас тодорхой хугацааны дундаж хурдны модуль 0 өмнө т*нь эхэнд харгалзах ижил графикийн цэгүүдийг дайран өнгөрөх секантын өнцгийн коэффициент юм t = 0ба төгсгөл t = t*хугацааны интервал. Бид ийм мөчийг цаг тухайд нь олох хэрэгтэй т*, хоёр налуу давхцах үед. Үүнийг хийхийн тулд гарал үүслийн шугам руу шүргэгч шулуун шугамыг зур. Зурагнаас харахад энэ шулуун графикийн шүргэлтийн цэг нь байна s(t)мөн өгдөг т*. Бидний жишээн дээр энэ нь харагдаж байна

Зааварчилгаа

Чиглэлийг тодорхойлох координатын системийг оруулна уу модуль. Хэрэв даалгавар аль хэдийн хамаарлыг агуулж байгаа бол хурдүе үе координатын системд орох шаардлагагүй - энэ нь аль хэдийн бий болсон гэж үздэг.

Одоо байгаа хамаарлын функцын дагуу хурдтэр цагаас хойш та үнэ цэнийг олж чадна хурдямар ч үед т. Жишээлбэл, v=2t²+5t-3 гэж үзье. Хэрэв та олох хэрэгтэй бол модуль хурд t=1 үед энэ утгыг орлуулан v: v=2+5-3=4 гэж тооцно.

Эх сурвалжууд:

• Замын хамаарлыг цаг хугацааны хувьд хэрхэн олох вэ

Модуль тоо n нь эхлэлээс n цэг хүртэлх нэгж сегментийн тоог илэрхийлнэ. Түүнээс гадна, энэ зайг аль чиглэлд тоолох нь хамаагүй - тэгээс баруун эсвэл зүүн тийш.

Зааварчилгаа

Модуль тоомөн үүнийг үнэмлэхүй утга гэж нэрлэдэг тоо. Энэ нь зүүн ба баруун талд богино босоо шугамаар зурсан байна тоо. Жишээлбэл, модуль тоо 15-ыг дараах байдлаар бичнэ: |15|.

Модуль нь зөвхөн эерэг тоо эсвэл байж болно гэдгийг санаарай. Модульэерэг тоотоотой тэнцүү. Модультэг. Энэ нь хэнд ч гэсэн тоо n, тэгээс их буюу тэнцүү бол дараах үнэн байх болно |n| = n. Жишээлбэл, |15| = 15, өөрөөр хэлбэл модуль тоо 15 нь 15-тай тэнцүү.

Сөрөг модуль тооижил тоо байх болно, гэхдээ эсрэг тэмдэгтэй. Энэ нь хэнд ч гэсэн тоо n, тэгээс бага, томьёо |n| = -n. Жишээлбэл, |-28| = 28. Модуль тоо-28 нь 28-тай тэнцүү.

Та зөвхөн бүхэл тоонуудаас гадна тоонуудыг олох боломжтой. Түүнээс гадна бутархай тоонд ижил дүрэм үйлчилнэ. Жишээлбэл, |0.25| = 25, өөрөөр хэлбэл модуль тоо 0.25 нь 0.25-тай тэнцүү байх болно. A |-¾| = ¾, өөрөөр хэлбэл модуль тоо-¾ нь ¾-тай тэнцүү байх болно.

Ажиллаж байхдаа модулиуд нь бие биетэйгээ үргэлж тэнцүү байдаг гэдгийг мэдэх нь ашигтай байдаг, өөрөөр хэлбэл |n| =|-n|. Энэ бол гол өмч юм. Жишээлбэл, |10| = |-10|. Модуль тоо 10 нь модуль шиг 10-тай тэнцүү тоо-10. Үүнээс гадна |a - b| = |b - a|, учир нь а цэгээс b цэг хүртэлх зай, b цэгээс а хүртэлх зай нь хоорондоо тэнцүү байна. Жишээлбэл, |25 - 5| = |5 - 25|, энэ нь |20| = |- 20|.

Өөрчлөлтийг олохын тулд хурдбиеийн хөдөлгөөний төрлийг шийдэх. Хэрэв бие жигд хөдөлж байвал өөрчлөх хурдтэгтэй тэнцүү. Хэрэв бие нь хурдатгалтай хөдөлж байвал өөрчлөхтүүний хурдагшин зуураас хасах юм бол цаг мөч бүрт олж болно хурдтухайн цаг мөчид түүний анхны хурд.

Танд хэрэгтэй болно

• секундомер, хурд хэмжигч, радар, соронзон хэмжүүр, акселерометр.

Зааварчилгаа

Өөрчлөлтийн тодорхойлолт хурддур мэдэн хөдөлж буй зам Хурд хэмжигч эсвэл радар ашиглан замын сегментийн эхэн ба төгсгөлд биеийн хурдыг хэмжинэ. Дараа нь эцсийн үр дүнгээс анхны үр дүнг хасвал энэ нь болно өөрчлөх хурдбие.

Өөрчлөлтийн тодорхойлолт хурдхурдатгалтай хөдөлж буй биеийн хурдатгалыг ол. Акселерометр эсвэл динамометр ашиглана уу. Хэрэв биеийн масс нь мэдэгдэж байгаа бол биед үйлчлэх хүчийг массаар нь хуваана (a=F/m). Үүний дараа өөрчлөлт гарсан хугацааг хэмжинэ хурд. Олох өөрчлөх хурд, хурдатгалын утгыг энэ болсон хугацаанд үржүүлнэ өөрчлөх(Δv=a t). Хэрэв хурдатгалыг секундэд метрээр, цагийг секундээр хэмждэг бол хурдыг секундэд метрээр хэмждэг. Хэрэв цаг хугацааг хэмжих боломжгүй, гэхдээ замын тодорхой хэсэгт хурд өөрчлөгдсөн бол спидометр эсвэл радар ашиглан энэ хэсгийн эхэнд хурдыг хэмжиж, дараа нь соронзон хальсны хэмжүүр эсвэл зай хэмжигч ашиглан уртыг хэмжинэ. энэ зам. Дээр дурдсан аргуудын аль нэгийг ашиглан биед нөлөөлсөн хурдатгалыг хэмжинэ. Үүний дараа замын төгсгөлд биеийн эцсийн хурдыг ол. Үүнийг хийхийн тулд эхний хурдыг - хүртэл өсгөж, үүн дээр зүсэлтийн үржвэрийг хурдатгал ба 2-ын тоог нэмнэ. Үр дүнгээс . Олох өөрчлөх хурд, олж авсан үр дүнгээс эхний утгыг хасна хурд.

Өөрчлөлтийн тодорхойлолт хурдэргэх үед биетүүд Хэрэв зөвхөн хэмжээ биш, харин чиглэл хурд, дараа нь олоорой өөрчлөхЭхний болон эцсийн векторын ялгаа хурд. Үүнийг хийхийн тулд векторуудын хоорондох өнцгийг хэмжинэ. Дараа нь хурдны квадратуудын нийлбэрээс тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар үржүүлсэн давхар үржвэрийг хасна: v1²+v2²-2v1v2 Cos(α). Үүссэн тооны квадрат язгуурыг авна.

Сэдвийн талаархи видео

Төрөл бүрийн төрлийн хурдыг тодорхойлох хөдөлгөөнтанд өөр өөр томъёо хэрэгтэй болно. Тодорхойлох хурджигд хөдөлгөөн, зайг явахад шаардагдах хугацаанд хуваана. Хөдөлгөөний нийт хугацаанд биеийн өнгөрсөн бүх сегментийг нэмж хөдөлгөөний дундаж хурдыг ол. Хөдөлгөөн жигд хурдассан тохиолдолд бие ямар хурдатгалтай хөдөлж байгааг олж, чөлөөт уналтанд түүний хөдөлж эхэлсэн өндрийг олоорой.

Танд хэрэгтэй болно

• зай хэмжигч, секунд хэмжигч, хурдатгал хэмжигч.

Зааварчилгаа

Нэг жигд хөдөлгөөний хурд ба дундаж хурд Биеийн туулсан зайг алсын зай хэмжигчээр хэмжиж, секунд хэмжигчээр түүнийг туулахад зарцуулсан хугацааг хэмжинэ. Үүний дараа биеийн туулсан зайг түүний явах хугацаанд хуваавал жигд хөдөлгөөний хурд (v=S/t) гарна. Хэрэв бие жигд бус хөдөлж байвал ижил хэмжилт хийж, ижил томъёог хэрэглэвэл та биеийн дундаж хурдыг авах болно. Энэ нь хэрэв бие нь замын өгөгдсөн сегментийн дагуу олж авсан хурдаар хөдөлсөн бол хэмжсэнтэй тэнцүү хугацаанд замд байх болно гэсэн үг юм. Хэрэв бие нь хөдөлж байвал түүнийг болон эргэлтийг дуусгахад шаардагдах хугацааг хэмжиж, радиусыг 6.28-аар үржүүлж, хугацаанд хуваана (v=6.28 R/t). Бүх тохиолдолд үр дүн нь секундэд метр болно. Цаг болгон хөрвүүлэхийн тулд 3.6-аар үржүүлнэ.

Нэг жигд хурдасгасан хөдөлгөөний хурд Биеийн масс мэдэгдэж байгаа бол хурдатгал хэмжигч эсвэл динамометр ашиглан биеийн хурдатгалыг хэмжинэ. Секундомер ашиглан биеийн хөдөлгөөний цаг, хэрэв бие тайван байдлаас хөдөлж эхлээгүй бол түүний анхны хурдыг хэмжинэ. Хэрэв бие нь тайван байдлаас хөдөлж байвал 0-тэй тэнцүү байна. Үүний дараа хурдатгал ба цаг хугацааны үржвэрийг (v=v0+at) анхны хурд дээр нэмж биеийн хурдыг ол.

Чөлөөт унасан биеийн хурдыг хэмжигч ашиглан биеийн хурдыг метрээр хэмжинэ. Дэлхийн гадаргууд хүрэх хурдыг (тацалтыг үл тоомсорлож) мэдэхийн тулд өндрийг 2, 9.81 тоог (таталцлын хурдатгал) үржүүлнэ. Үр дүнгээс квадратыг гаргаж ав. Ямар ч өндөрт байгаа биеийн хурдыг олохын тулд ижил аргыг ашиглан зөвхөн эхнийхээс одоогийнхыг хасч, өндрийн оронд үүссэн утгыг орлуулна.

Сэдвийн талаархи видео

Хүн ойлголтыг хүлээн зөвшөөрч дассан " хурд"Жинхэнэ байгаагаас илүү энгийн зүйл шиг. Уулзвараар давхиж буй машин тодорхой хэмжигдэхүүнтэй хөдөлдөг. хурдЮ, харин тэр хүн зогсоод түүнийг харж байна. Гэхдээ хэрэв хүн хөдөлгөөнд байгаа бол үнэмлэхүй хурдны тухай биш харин түүний харьцангуй үнэ цэнийн талаар ярих нь илүү утга учиртай юм. Хамаатан садангаа олоорой хурдмаш амархан.

Зааварчилгаа

Та уулзвар руу хөдөлж буй машины сэдвийг үргэлжлүүлэн авч үзэж болно. Улаан гэрлэн дохион дээр зогсож буй хүн хажуугаар өнгөрч буй машин дээр зогсдог. Тэр хүн хөдөлгөөнгүй байгаа тул түүнийг лавлагааны хүрээ болгон авч үзье. Лавлах систем нь аливаа бие эсвэл бусад материалын цэг хөдөлдөг харьцангуй систем юм.

Машин явж байна гэж бодъё хурд 50 км/цаг. Гэхдээ тэр машины араас гүйсэн гэж бодъё (жишээлбэл, та машины оронд микроавтобус эсвэл хажуугаар өнгөрч буй хүнийг төсөөлж болно). Гүйлтийн хурд 12 км/цаг. Тиймээс, хурдЭнэ механик машин нь өмнөх шигээ хурдан санагдахгүй байх болно! Энэ бол харьцангуй хурдны бүх цэг юм. хурдүргэлж хөдөлж буй лавлах хүрээтэй харьцуулахад хэмждэг. Тиймээс, хурдявган хүний ​​хувьд машин байхгүй болно 50 км / цаг, харин 50 - 12 = 38 км / цаг.

Та дахиад нэгийг бодож болно. Автобусны цонхны дэргэд суугаа хүн хажуугаар нь гүйх машинуудыг харж байсан мөчүүдийг эргэн санахад хангалттай. Үнэхээр автобусны цонхноос тэд хурдЭнэ нь зүгээр л гайхалтай санагдаж байна. Энэ нь гайхах зүйл биш юм, учир нь хэрэв бид автобусыг лавлагааны систем болгон авах юм бол хурдмашин ба хурдавтобусыг эвхэх шаардлагатай болно. Автобус хөдөлж байна гэж бодъё хурд u 50 км/цаг, ба 60 км/цаг. Дараа нь 50 + 60 = 110 км / цаг. Яг үүнтэй хамт хурдЭдгээр машинууд автобус болон доторх зорчигчдын хажуугаар яаран өнгөрдөг.
Үүнтэй адил хурдавтобусны хажуугаар өнгөрч буй машинуудын аль нэгийг нь лавлагааны систем болгон авсан ч шударга бөгөөд хүчинтэй байх болно.

Кинематик нь хөдөлгөөний янз бүрийн хэлбэрийг судалдаг биеөгөгдсөн хурд, чиглэл, замналтай. Замын эхлэлтэй харьцуулахад түүний байрлалыг тодорхойлохын тулд та олох хэрэгтэй хөдөлж байна бие.

Зааварчилгаа

Хөдөлгөөн биетодорхой траекторийн дагуу явагддаг. Шугамын шулуун хөдөлгөөнтэй тохиолдолд олно хөдөлж байна биемаш энгийн: энэ нь явсан зайтай тэнцүү. Үгүй бол орон зай дахь анхны болон эцсийн байрлалаар тодорхойлж болно.

Ерөнхий зорилгоор объектын хурдыг (v) олох нь энгийн ажил юм: та тодорхой хугацаанд (с) нүүлгэн шилжүүлэлтийг (s) энэ хугацаанд (t) хуваах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл v = s томъёог ашиглана. /т. Гэсэн хэдий ч ийм байдлаар биеийн дундаж хурдыг олж авдаг. Зарим тооцоог ашиглан та замын аль ч хэсэгт биеийн хурдыг олох боломжтой. Үүнийг хурд гэж нэрлэдэг агшин зуурын хурдба томъёогоор тооцоолно v = (ds)/(dt), өөрөөр хэлбэл энэ нь биеийн дундаж хурдыг тооцоолох томъёоны дериватив юм. .

Алхам

1-р хэсэг

1. Агшин зуурын хурдыг тооцоолохын тулд та биеийн хөдөлгөөнийг (цаг хугацааны тодорхой мөч дэх байрлал), өөрөөр хэлбэл нэг талд нь s (биеийн хөдөлгөөн) байгаа тэгшитгэлийг мэдэх хэрэгтэй. нөгөө талд нь t (цаг хугацаа) хувьсагчтай нөхцлүүд байдаг. Жишээлбэл:
   

   s = -1.5т 2 + 10т + 4

   • Энэ тэгшитгэлд: Шилжилт = с. Нүүлгэн шилжүүлэлт нь объектын туулсан зам юм. Жишээлбэл, хэрэв бие нь 10 м урагш, 7 м хойш хөдөлдөг бол биеийн нийт шилжилт нь 10 - 7 = 3 м (мөн 10 + 7 = 17 м) байна. Цаг = т. Ихэвчлэн секундээр хэмжигддэг.

2. Дээрх тэгшитгэлээр шилжилт хөдөлгөөнийг тодорхойлсон биеийн агшин зуурын хурдыг олохын тулд та энэ тэгшитгэлийн деривативыг тооцоолох хэрэгтэй. Дериватив нь графикийн налууг аль ч цэгт (цаг хугацааны аль ч үед) тооцоолох боломжийг олгодог тэгшитгэл юм. Үүсмэлийг олохын тулд функцийг дараах байдлаар ялгана: хэрэв y = a*x n бол дериватив = a*n*x n-1. Энэ дүрэм нь олон гишүүнтийн гишүүн бүрт хамаарна.

   • Өөрөөр хэлбэл t хувьсагчтай нэр томьёо бүрийн дериватив нь тухайн хүчин зүйлийн үржвэр (хувьсагчийн урд талд) болон хувьсагчийн хүчийг хувьсагчаар үржүүлсэнтэй тэнцүү бөгөөд анхны хүчин чадлын хасах 1-тэй тэнцүү байна. дамми гишүүн (хувьсагчгүй нэр томъёо, өөрөөр хэлбэл тоо) 0-ээр үржүүлснээр алга болно. Манай жишээнд:
     

     s = -1.5т 2 + 10т + 4
     (2)-1.5т (2-1) + (1)10т 1 - 1 + (0)4т 0
     -3т 1 + 10т 0
     -3т+10

3. Шинэ тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлийн дериватив (өөрөөр хэлбэл s-ийн t-тэй дериватив) болохыг харуулахын тулд "s"-ийг "ds/dt"-ээр солино. Дериватив нь графикийн тодорхой цэг дэх (цаг хугацааны тодорхой цэг дэх) налуу юм. Жишээлбэл, t = 5 үед s = -1.5t 2 + 10t + 4 функцээр тодорхойлсон шулууны налууг олохын тулд үүсмэл тэгшитгэлд 5-ыг орлуулахад хангалттай.

   • Бидний жишээн дээр дериватив тэгшитгэл дараах байдлаар харагдах ёстой.
     

     ds/dt = -3t + 10

4. Тодорхой цаг хугацааны агшин зуурын хурдыг олохын тулд үүсмэл тэгшитгэлд тохирох t утгыг орлуулна. Жишээлбэл, хэрэв та t = 5 үед агшин зуурын хурдыг олохыг хүсвэл ds/dt = -3 + 10 дериватив тэгшитгэлд 5-ыг (t-ийн хувьд) орлуулахад хангалттай. Дараа нь тэгшитгэлийг шийд:
   

   ds/dt = -3t + 10
   ds/dt = -3(5) + 10
   ds/dt = -15 + 10 = -5 м/с

   • Агшин зуурын хурдыг хэмжих нэгжийг анхаарна уу: м/с. Бидэнд шилжилтийн утгыг метрээр, хугацааг секундээр өгөгдсөн бөгөөд хурд нь шилжилт ба цаг хугацааны харьцаатай тэнцүү тул хэмжилтийн нэгж м/с зөв байна.

   2-р хэсэг

   Агшин зуурын хурдны график үнэлгээ

   1. Биеийн шилжилтийн графикийг байгуул.Өмнөх бүлэгт та томьёо (тодорхой цэг дээрх графикийн налууг олох боломжийг олгодог дериватив тэгшитгэл) ашиглан агшин зуурын хурдыг тооцоолсон. Биеийн хөдөлгөөний графикийг зурснаар та түүний аль ч цэг дэх налууг олох боломжтой тул тодорхой цаг хугацааны агшин зуурын хурдыг тодорхойлж болно.

      • Y тэнхлэг нь шилжилт хөдөлгөөн, X тэнхлэг нь цаг хугацаа юм. Анхны шилжилтийн тэгшитгэлд t-ийн янз бүрийн утгыг орлуулж, s-ийн харгалзах утгыг тооцоолох замаар цэгүүдийн координатыг (x, y) олж авна.
      • График нь X тэнхлэгээс доош унаж болно Хэрэв биеийн хөдөлгөөний график X тэнхлэгээс доош буувал энэ нь биеийн хөдөлгөөний эхлэлийн цэгээс эсрэг чиглэлд хөдөлж байна гэсэн үг юм. Ер нь график нь Y тэнхлэгээс хэтрэхгүй (сөрөг x утгууд) - бид цаг хугацааны хувьд ухарч буй объектуудын хурдыг хэмждэггүй!

   2. График (муруй) дээр P цэгийг сонгоод түүнд ойрхон Q цэгийг сонгоно.Р цэг дээрх графикийн налууг олохын тулд бид хязгаар гэсэн ойлголтыг ашигладаг. Хязгаар – муруй дээр байрлах P ба Q 2 цэгээр дамжсан секантын утга тэг болох хандлагатай төлөв.

      • Жишээлбэл, P(1,3) ба Q(4,7) цэгүүдийг авч үзээд P цэг дээрх агшин зуурын хурдыг тооцоол.

   3. PQ сегментийн налууг ол. PQ сегментийн налуу нь P ба Q цэгүүдийн "y" координатын утгын зөрүүг P ба Q цэгүүдийн "x" координатын утгын зөрүүтэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, H = (y Q - y P)/(x Q - x P), энд H – PQ сегментийн налуу. Бидний жишээнд PQ сегментийн налуу нь:
      

      H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
      H = (7 - 3)/(4 - 1)
      H = (4)/(3) = 1.33

   4. Процессыг хэд хэдэн удаа давтаж, Q цэгийг P цэг рүү ойртуулна.Хоёр цэгийн хоорондох зай бага байх тусам үүссэн хэрчмүүдийн налуу нь P цэг дээрх графикийн налуутай ойр байх болно. Бидний жишээн дээр бид Q цэгийн координаттай (2,4.8), (1.5,3.95) тооцоог хийх болно. ) ба (1.25,3.49) (P цэгийн координатууд хэвээр байна):
      

      Q = (2,4.8): H = (4.8 - 3)/(2 - 1)
      H = (1.8)/(1) = 1.8

      Q = (1.5,3.95): H = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)
      H = (.95)/(.5) = 1.9

      Q = (1.25,3.49): H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)
      H = (.49)/(.25) = 1.96

   5. P ба Q цэгүүдийн хоорондох зай бага байх тусам H-ийн утга P цэг дээрх графикийн налуутай ойр байна.Хэрэв P ба Q цэгүүдийн хоорондох зай маш бага бол H-ийн утга нь P цэг дээрх графикийн налуутай тэнцүү байх болно. Бид хоёр цэгийн хоорондох маш бага зайг хэмжих эсвэл тооцоолох боломжгүй тул график арга нь дараах тооцоог өгдөг. P цэг дээрх графикийн налуу.

      • Бидний жишээн дээр Q P-д ойртох үед бид H-ийн дараах утгыг авсан: 1.8; 1.9 ба 1.96. Эдгээр тоо нь 2 байх хандлагатай тул P цэг дээрх графикийн налууг 2 гэж хэлж болно.
      • Графикийн өгөгдсөн цэг дэх налуу нь тухайн цэг дэх функцийн деривативтай (графикийг зурсан) тэнцүү гэдгийг санаарай. График нь биеийн цаг хугацааны хөдөлгөөнийг харуулсан бөгөөд өмнөх хэсэгт дурдсанчлан биеийн агшин зуурын хурд нь энэ биеийн шилжилтийн тэгшитгэлийн деривативтай тэнцүү байна. Тиймээс бид t = 2 үед агшин зуурын хурд 2 м/с байна гэж хэлж болно (энэ нь тооцоолол).

   3-р хэсэг

   Жишээ

   1. Биеийн хөдөлгөөнийг s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9 тэгшитгэлээр дүрсэлсэн бол t = 4 үед агшин зуурын хурдыг тооцоол.Энэ жишээ нь эхний хэсгийн асуудалтай төстэй бөгөөд цорын ганц ялгаа нь энд бид гуравдахь эрэмбийн тэгшитгэлтэй байна (хоёр дахь нь биш).

      • Эхлээд энэ тэгшитгэлийн деривативыг тооцоолъё.
        

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3)5т (3 - 1) - (2)3т (2 - 1) + (1)2т (1 - 1) + (0)9т 0 - 1
        15 тонн (2) - 6 тонн (1) + 2 тонн (0)
        15т (2) - 6т + 2

        t = 1.01: s = 4(1.01) 2 - (1.01)
        4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, тэгэхээр Q = (1.01,3.0704)

      • Одоо H-г тооцоолъё:
        

        Q = (2.14): H = (14 - 3)/(2 - 1)
        H = (11)/(1) = 11

        Q = (1.5,7.5): H = (7.5 - 3)/(1.5 - 1)
        H = (4.5)/(.5) = 9

        Q = (1.1,3.74): H = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)
        H = (.74)/(.1) = 7.3

        Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
        H = (.0704)/(.01) = 7.04

      • Хүлээн авсан H утгууд нь 7 байх хандлагатай байдаг тул (1.3) цэг дэх биеийн агшин зуурын хурд нь 7 м / с (тооцоолсон утга) -тай тэнцүү байна гэж хэлж болно.
   • Хурдатгал (цаг хугацааны явцад хурдны өөрчлөлт) олохын тулд нүүлгэн шилжүүлэлтийн функцийн деривативыг олохын тулд нэгдүгээр хэсгийн аргыг ашиглана. Дараа нь үүссэн деривативын деривативыг дахин авна. Энэ нь тухайн цаг үеийн хурдатгалыг олох тэгшитгэлийг өгөх болно - таны хийх ёстой зүйл бол тухайн хугацааны утгыг залгахад л хангалттай.
   • Y (нүүлгэн шилжүүлэлт) х (хугацаа) -ийг тайлбарлах тэгшитгэл нь маш энгийн байж болно, жишээлбэл: y = 6x + 3. Энэ тохиолдолд налуу нь тогтмол бөгөөд үүнийг олохын тулд дериватив авах шаардлагагүй. Шугаман графикийн онолын дагуу тэдгээрийн налуу нь х хувьсагчийн коэффициенттэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл бидний жишээнд = 6 байна.
   • Шилжилт нь зайтай адил боловч тодорхой чиглэлтэй тул вектор хэмжигдэхүүн болдог. Нүүлгэн шилжүүлэлт нь сөрөг байж болох бөгөөд зай нь зөвхөн эерэг байх болно.

Сүүлийн нийтлэлд бид механик гэж юу болох, яагаад хэрэгтэй байгаа талаар бага зэрэг олж мэдсэн. Лавлах систем, хөдөлгөөний харьцангуй байдал, материаллаг цэг гэж юу болохыг бид аль хэдийн мэддэг болсон. За, цаашаа явах цаг боллоо! Энд бид кинематикийн үндсэн ойлголтуудыг авч үзэж, кинематикийн үндсүүдийн хамгийн ашигтай томъёог нэгтгэж, асуудлыг шийдвэрлэх практик жишээг өгөх болно.

Аристотель кинематикийг судалжээ. Үнэн, тэр үед үүнийг кинематик гэж нэрлэдэггүй байсан. Дараа нь механик, ялангуяа кинематикийн хөгжилд маш том хувь нэмэр оруулсан Галилео Галилей биетүүдийн чөлөөт уналт ба инерцийг судалсан.

Тиймээс кинематик нь бие хэрхэн хөдөлдөг вэ гэсэн асуултыг шийддэг. Энэ нь яагаад хөдөлсөн шалтгаан нь түүнд сонирхолгүй байна. Кинематикт машин өөрөө явсан уу, эсвэл аварга үлэг гүрвэл түлхсэн эсэх нь хамаагүй. Энэ нь огт хамаагүй.

Траектор, радиус вектор, биеийн хөдөлгөөний хууль

Одоо бид хамгийн энгийн кинематикийг авч үзэх болно - цэгийн кинематик. Бие (материалын цэг) хөдөлж байна гэж төсөөлье. Энэ нь ямар төрлийн биетэй байх нь хамаагүй, бид үүнийг материаллаг цэг гэж үздэг. Магадгүй энэ нь тэнгэрт нисдэг нисдэг биет юм уу, эсвэл бидний цонхоор хөөргөсөн цаасан онгоц байж магадгүй юм. Илүү сайн, энэ нь бидний аялалд явах шинэ машин байх болтугай. А цэгээс В цэг рүү шилжихэд бидний цэг нь хөдөлгөөний траектор гэж нэрлэгддэг төсөөллийн шугамыг дүрсэлдэг. Траекторын өөр нэг тодорхойлолт бол ходограф, радиус вектор, өөрөөр хэлбэл хөдөлгөөний үед материаллаг цэгийн радиус векторын төгсгөлийг дүрсэлсэн шугам юм.

Радиус вектор - орон зай дахь цэгийн байрлалыг тодорхойлдог вектор .

Сансар огторгуй дахь биеийн байрлалыг цаг хугацааны аль ч үед олж мэдэхийн тулд биеийн хөдөлгөөний хууль - координатуудын (эсвэл цэгийн радиус вектор) цаг хугацааны хамаарлыг мэдэх хэрэгтэй.

Бие А цэгээс В цэг рүү шилжсэн. Энэ тохиолдолд биеийн хөдөлгөөн - эдгээр цэгүүдийг шууд холбосон сегмент нь вектор хэмжигдэхүүн юм. Биеийн туулсан зам нь түүний траекторийн урт юм. Хөдөлгөөн, замыг андуурч болохгүй нь ойлгомжтой. Шилжилтийн векторын хэмжээ ба замын урт нь зөвхөн шулуун хөдөлгөөнтэй үед давхцдаг.

SI системд шилжилт ба замын уртыг метрээр хэмждэг.

Шилжилт нь цаг хугацааны эхний ба эцсийн мөчид радиус векторуудын зөрүүтэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл энэ нь векторын радиусын өсөлт юм.

Хурд ба хурдатгал

Дундаж хурд гэдэг нь нүүлгэн шилжүүлэх векторыг түүний үүссэн цаг хугацааны харьцаатай тэнцүү вектор физик хэмжигдэхүүн юм.

Одоо цаг хугацаа багасч, багасч, маш богино болж, тэг болж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ тохиолдолд дундаж хурдны талаар ярих шаардлагагүй болно. Математик анализын үндсийг санаж байгаа хүмүүс ирээдүйд деривативгүйгээр хийх боломжгүй гэдгийг шууд ойлгох болно.

Агшин зуурын хурд нь радиус векторын цаг хугацааны деривативтай тэнцүү вектор физик хэмжигдэхүүн юм. Агшин зуурын хурд нь үргэлж траекторийн чиглэлд тангенциал чиглэгддэг.

SI системд хурдыг секундэд метрээр хэмждэг.

Хэрэв бие жигд, шулуун хөдөлдөггүй бол энэ нь зөвхөн хурд төдийгүй хурдатгалтай байдаг.

Хурдатгал (эсвэл агшин зуурын хурдатгал) нь вектор физик хэмжигдэхүүн бөгөөд цаг хугацааны хувьд радиус векторын хоёр дахь дериватив ба үүний дагуу агшин зуурын хурдны эхний дериватив юм.

Хурдатгал нь биеийн хурд хэр хурдан өөрчлөгдөж байгааг харуулдаг. Тэгш шугаман хөдөлгөөний хувьд хурд ба хурдатгалын векторуудын чиглэлүүд давхцдаг. Муруй шугамын хөдөлгөөний хувьд хурдатгалын векторыг хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг болгон задалж болно. тангенциал хурдатгал, Тэгээд хурдатгал хэвийн байна .

Тангенциал хурдатгал нь биеийн хурд хэр хурдан өөрчлөгдөж, траекторийн чиглэл рүү тангенциал чиглүүлж байгааг харуулдаг.

Хэвийн хурдатгал нь хурдыг чиглэлд өөрчлөх хурдыг тодорхойлдог. Хэвийн ба тангенциал хурдатгалын векторууд нь харилцан перпендикуляр бөгөөд хэвийн хурдатгалын вектор нь тухайн цэгийн дагуу хөдөлж буй тойргийн төв рүү чиглэнэ.

Энд R нь биеийн хөдөлж буй тойргийн радиус юм

Энд - x тэг - анхны координат. v тэг - анхны хурд. Цаг хугацаагаар нь ялгаж хурдаа авъя

Цаг хугацааны хурдны дериватив нь хурдатгалын утгыг a өгөх бөгөөд энэ нь тогтмол юм.

Асуудлыг шийдэх жишээ

Одоо бид кинематикийн физик үндсийг судалж үзсэн тул практик дээр мэдлэгээ нэгтгэж, зарим асуудлыг шийдэх цаг болжээ. Түүнээс гадна, хурдан байх тусмаа сайн.

Жишээ нь энэ: цэг нь 4 метр радиустай тойрог дотор хөдөлдөг. Түүний хөдөлгөөний хуулийг S=A+Bt^2 тэгшитгэлээр илэрхийлнэ. A=8м, B=-2м/с^2. Цаг хугацааны аль үед цэгийн хэвийн хурдатгал 9 м/с^2-тэй тэнцүү вэ? Цаг хугацааны энэ агшин дахь цэгийн хурд, тангенциал болон нийт хурдатгалыг ол.

Шийдэл: Бид хурдыг олохын тулд хөдөлгөөний хуулийн анхны деривативыг авах хэрэгтэй гэдгийг мэдэж байгаа бөгөөд хэвийн хурдатгал нь хурдны квадратын коэффициент ба цэгийн дагуух тойргийн радиустай тэнцүү байна. хөдөлж байна. Энэхүү мэдлэгээр зэвсэглэснээр бид шаардлагатай тоо хэмжээг олох болно.

Эрхэм найзууд аа, баяр хүргэе! Хэрэв та кинематикийн үндсүүдийн талаар энэ нийтлэлийг уншсан бөгөөд үүнээс гадна шинэ зүйл сурсан бол та аль хэдийн сайн үйлс хийсэн байна! Манай "даммигийн кинематик" танд хэрэг болно гэж бид чин сэтгэлээсээ найдаж байна. Зоригтой, санаж байгаарай - бид танд хямдхан урхи ашиглан таавар шийдвэрлэхэд туслахад үргэлж бэлэн байна. . Механик сурахад амжилт хүсье!