Нийгэмлэг

x 1 (x 2 x 3) = (x 1 x 2) x 3;

x 1 Ú (x 2 Ú x 3) = (x 1 Ú x 2) Ú x 3.

Солих чадвар

x 1 x 2 = x 2 x 1

x 1 Ú x 2 = x 2 Ú x 1

Дизьюнкцтэй харьцуулахад холболтын тархалт

x 1 (x 2 Ú x 3) = x 1 x 2 Ú x 1 x 3.

Холбогчтой харьцуулахад дизьюнкцийн тархалт

x 1 Ú(x 2 × x 3) = (x 1 Úx 2) × (x 1 Úx 3). *

Идпотенци (таутологи)

Хоёр удаа үгүй

Тогтмолуудын шинж чанарууд

x & 1 = x; (бүх нийтийн олонлогийн хууль)

x & 0 = 0; (тогтоосон хууль хүчингүй)

Де Морганы дүрэм (хууль)

Зөрчилдөөний хууль (нэмэлт)

Гурав дахь хэсгийг хасах тухай хууль (нэмэлт)

Эдгээр бүх томъёоны нотолгоо нь өчүүхэн юм. Нэг сонголт бол зүүн ба баруун талын үнэний хүснэгтийг байгуулж, харьцуулах явдал юм.

Наалт хийх дүрэм

Энгийн холбоосыг наах дүрэм нь тархалтын хууль, нэмэлтийн хууль, бүх нийтийн олонлогийн хуулиас хамаарна. зэргэлдээх хоёр холбоосын салангид холбоосыг эх холбоосын нийтлэг хэсэг болох нэг энгийн холбоогоор сольж болно. .

Анхан шатны нийлбэрийг наах дүрэм нь хоёр дахь төрлийн хуваарилалтын хууль, нэмэлт байдлын хууль ба тэг олонлогийн хуулиас хамаарна. хоёр зэргэлдээ дизьюнкцийн холбоосыг нэг элементар дизъюнкцаар сольж болох бөгөөд энэ нь анхны дизьюнкцийн нийтлэг хэсэг юм .

Хүлээн авах дүрэм

Хоёр энгийн бүтээгдэхүүний нийлбэрийг шингээх дүрэм нь эхний төрлийн тархалтын хууль ба бүх нийтийн олонлогийн хуулиас хамаарна. Нэг нь нөгөөгийнхөө салшгүй хэсэг болох хоёр энгийн холболтын дизъюнкцийг цөөн тооны операндтой холбогчоор сольж болно. .

Энгийн нийлбэрийн үржвэрийн шингээлтийн дүрэм нь хоёр дахь төрлийн тархалтын хууль ба тэг олонлогийн хуулиас хамаарна. Нэг нь нөгөөгийнхөө бүрэлдэхүүн хэсэг болох хоёр элементийн дизъюнкцийн холболтыг цөөн тооны операндтой элементар дизъюнкцаар сольж болно.

Байршуулах дүрэм

Энэ дүрэм нь наалт хийх эсрэг үйлдлийг тодорхойлдог.

Энгийн бүтээгдэхүүнийг дээд зэрэглэлийн үндсэн бүтээгдэхүүнүүдийн логик нийлбэр болгон өргөжүүлэх дүрэм (r = n хүртэлх хязгаарт, өөрөөр хэлбэл эв нэгдлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг доор авч үзэх болно) бүх нийтийн олонлогийн хуулиас хамаарна. Эхний төрлийн хуваарилалтын хууль бөгөөд гурван үе шаттайгаар явагдана.

r зэрэглэлийн өргөтгөсөн анхан шатны бүтээгдэхүүнд n-r нэгжийг хүчин зүйл болгон нэвтрүүлсэн бөгөөд энд n нь нэгжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн зэрэг юм;

Нэгж бүрийг анхны анхан шатны бүтээгдэхүүнд байхгүй хувьсагчийн логик нийлбэр ба түүний үгүйсгэлээр орлуулна. x i v `x i = 1;

Бүх хаалтуудыг эхний төрлийн тархалтын хуульд үндэслэн өргөтгөсөн бөгөөд энэ нь r зэрэглэлийн анхны анхан шатны бүтээгдэхүүнийг нэгдмэл байдлын 2 n-r бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн логик нийлбэр болгон өргөжүүлэхэд хүргэдэг.

Бүтээгдэхүүнийг өргөтгөх үндсэн дүрмийг логик алгебрын (FAL) функцийг багасгахад ашигладаг.

r зэрэглэлийн анхан шатны нийлбэрийг n зэрэглэлийн анхан шатны нийлбэрүүдийн үржвэр болгон нэмэгдүүлэх дүрэм (тэг бүрдүүлэгч) нь тэг олонлогийн хууль (6) ба хоёр дахь төрлийн тархалтын хуулийг (14) дагаж мөрддөг. гурван үе шат:

r зэрэглэлийн өргөтгөсөн нийлбэрт n-r тэгийг нэр томъёо болгон оруулсан;

Тэг бүрийг анхны нийлбэр болон түүний үгүйсгэлтэд байхгүй зарим хувьсагчийн логик үржвэрээр илэрхийлнэ. x i·` x i = 0;

Үүссэн илэрхийлэл нь хоёр дахь төрлийн (14) тархалтын хуулийн үндсэн дээр r зэрэглэлийн анхны нийлбэр нь тэгийн 2 n-r бүрэлдэхүүний логик үржвэр болж хувирах байдлаар өөрчлөгдөнө.

16. Бүрэн системийн тухай ойлголт. Бүрэн системийн жишээ (баталгаатай)

Тодорхойлолт.Логикийн алгебрын аль нэг функцийг А-аас дээш томьёогоор илэрхийлж болох юм бол А логикийн алгебрийн функцүүдийн багцыг бүрэн систем (Р2-д) гэнэ.

Функцийн систем A=( f 1, f 1,…, f m), бүрэн гүйцэд гэж нэрлэдэг суурь.

Хамгийн бага суурь нь дор хаяж нэг функцийг арилгах үндэс суурь юм f 1, энэ үндсийг бүрдүүлж, функцүүдийн системийг өөрчилдөг (f 1 , f 1 ,…, f m)бүрэн бус.

Теорем. A = (∨, &, ) систем дууссан.

Баталгаа. Хэрэв логик алгебрийн функц f нь яг тэг биш бол f нь зөвхөн дизьюнкц, коньюнкц, үгүйсгэлийг багтаасан төгс дизьюнктив хэвийн хэлбэрийн хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ. Хэрэв f ≡ 0 бол f = x & x болно. Теорем нь батлагдсан.

Лемма.Хэрэв А систем бүрэн бөгөөд А системийн аливаа функцийг бусад В системийн эсрэг томьёогоор илэрхийлэх боломжтой бол В нь мөн бүрэн систем болно.

Баталгаа. Дурын логик алгебрийн функц f (x 1 , ..., x n) ба A = (g 1 , g 2 , ...) ба B = (h 1 , h 2 , ...) хоёр функцийн системийг авч үзье. ). А систем бүрэн хийгдсэн тул f функцийг түүн дээр томъёогоор илэрхийлж болно.

f (x 1 , …, x n) = ℑ

Энд g i = ℜ i

өөрөөр хэлбэл f функцийг дараах байдлаар илэрхийлнэ

f (x 1 , …, x n)=ℑ[ℜ1,ℜ2,...]

өөрөөр хэлбэл В-ийн дээгүүр томьёогоор дүрсэлж болно.Ийм байдлаар логикийн алгебрын бүх функцийг судалснаар бид В систем мөн бүрэн бүтэн болохыг олж мэднэ. Лемма нь батлагдсан.

Теорем.Дараах системүүд нь P2-д бүрэн хийгдсэн:

4) (&, ⊕ , 1) Жегалкины үндэс.

Баталгаа.

1) А = (&, V, ) систем бүрэн болсон нь мэдэгдэж байна (теорем 3). B = ( V, . систем нь үнэхээр де Морганы хуулиас (x& y) = (x ∨ y) бид x & y = (x ∨ y) гэдгийг олж авлаа, өөрөөр хэлбэл коньюнкц нь дизьюнкцээр илэрхийлэгдэнэ гэдгийг харуулъя. болон үгүйсгэх ба А системийн бүх функцийг В систем дээрх томъёогоор илэрхийлнэ. Леммийн дагуу В систем бүрэн байна.

2) 1-р цэгтэй төстэй: (x ∨ y) = x & y ⇔ x ∨ y =(x & y) ба Лемма 2-оос 2-р цэг дэх мэдэгдлийн үнэнийг дагана.

3) x | y=(x&y), x | x = x ; x & y = (x | y) = (x | y) | (x | y) ба Лемма 2-ын дагуу систем бүрэн дууссан.

4) x = x ⊕1 ба Лемма 2-ын дагуу систем бүрэн дууссан.

Теорем нь батлагдсан.

17. Жегалкин алгебр. Үйл ажиллагааны шинж чанар, бүрэн бүтэн байдал

Жегалкины суурь S4=(⊕,&,1)-д тодорхойлсон Булийн функцүүдийн багцыг гэнэ. Жегалкин алгебр.

Үндсэн шинж чанарууд.

1. шилжих чадвар

h1⊕h2=h2⊕h1 h1&h2=h2&h1

2. нэгдэл

h1⊕(h2⊕h3)=(h1⊕h2)⊕h3 h1&(h2&h3)=(h1&h2)&h3

3. хуваарилалт

h1&(h2⊕h3)=(h1&h2)⊕(h1&h3)

4. тогтмолуудын шинж чанарууд

5. h⊕h=0 h&h=h
Мэдэгдэл. Бусад бүх булийн функцийг Жегалкины алгебрийн үйлдлээр илэрхийлж болно.

x→y=1⊕x⊕xy

x↓y=1⊕x⊕y⊕xy

18. Жегалкины олон гишүүнт. Барилга угсралтын аргууд. Жишээ.

Zhegalkin олон гишүүнт (олон гишүүн модуль 2) -аас n x 1 ,x 2 ... x n хувьсагчийг дараах хэлбэрийн илэрхийлэл гэнэ.

c 0 ⊕c 1 x 1 ⊕c 2 x 2 ⊕ ... ⊕c n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n ,

Энд C k тогтмолууд 0 эсвэл 1 утгыг авч болно.

Хэрэв Жегалкины олон гишүүнт хувьсагчийн үржвэрийг агуулаагүй бол шугаман (шугаман функц) гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, f=x⊕yz⊕xyz ба f 1 =1⊕x⊕y⊕z нь олон гишүүнт, хоёр дахь нь шугаман функц юм.

Теорем. Булийн функц бүрийг Жегалкины олон гишүүнт хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлдэг.

Өгөгдсөн функцээс Жегалкины олон гишүүнт байгуулах үндсэн аргуудыг танилцуулъя.

1. Тодорхойгүй коэффициентийн арга. P(x 1 ,x 2 ... x n) нь өгөгдсөн f(x 1 ,x 2 ... x n) функцийг хэрэгжүүлэх хүссэн Жегалкины олон гишүүнт байг. Үүнийг маягтаар бичье

P=c 0 ⊕c 1 x 1 ⊕c 2 x 2 ⊕ ... ⊕c n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n

C k коэффициентүүдийг олцгооё. Үүнийг хийхийн тулд бид үнэний хүснэгтийн мөр бүрээс x 1, x 2 ... x n хувьсагчдыг дараалан оноодог. Үүний үр дүнд бид өвөрмөц шийдэлтэй 2 n үл мэдэгдэх 2 n тэгшитгэлийн системийг олж авдаг. Үүнийг шийдсэний дараа бид олон гишүүнт P(X 1 ,X 2 ... X n) коэффициентүүдийг олно.

2. Холбогч (,&) олонлог дээр томъёог хувиргахад үндэслэсэн арга. Зарим томьёо бүтээ ФӨгөгдсөн f(X 1 ,X 2 ... X n) функцийг гүйцэтгэгч (,&) холболтын олонлог дээр. Дараа нь А хэлбэрийн дэд томьёог хаа сайгүй A⊕1-ээр сольж, хуваарилалтын хуулийг ашиглан хаалтуудыг нээж (3-р өмчийг үзнэ үү), дараа нь 4 ба 5-р шинж чанарыг ашиглана.

Жишээ. f(X,Y)=X→Y функцийн Жегалкины олон гишүүнтийг байгуул

Шийдэл.
1. (тодорхойгүй итгэлцүүрийн арга). Шаардлагатай олон гишүүнтийг дараах хэлбэрээр бичье.

P=c 0 ⊕c 1 x⊕c 2 y⊕c 12 xy

Үр дагаварын үнэний хүснэгтийг ашигласнаар бид үүнийг олж мэднэ

f(0,0)=P(0,0)=C 0 =1

f(0,1)=P(0,1)=C 0 ⊕C 2 =1

f(1,0)=P(1,0)=C 0 ⊕C 1 =0

f(1,1)=P(1,1)=C 0 ⊕C 1 ⊕C 2 ⊕C 12 =1

Бидний байнга олдог газраас C 0 =1, C 1 =1, C 2 =0, C 12 =1 байна.

Иймд: x→y=1⊕X⊕XY.

2. (Томьёо хувиргах арга.). Бидэнд: x→y=xvy=(xy)=(x(y⊕1)) ⊕1=1⊕x⊕xy байна
Жегалкин алгебрийн давуу тал нь (бусад алгебруудтай харьцуулахад) логикийн арифметизаци бөгөөд энэ нь Boolean функцүүдийн хувиргалтыг маш энгийнээр хийх боломжтой болгодог гэдгийг анхаарна уу. Булийн алгебртай харьцуулахад түүний сул тал нь томьёоны төвөгтэй байдал юм.

Холбогдох мэдээлэл.

Шингээлтийн теоремхоёр хэлбэрээр бичигдсэн - салгах ба

холболт, тус тус:

A + AB = A (16)

A(A + B)=A (17)

Эхний теоремыг баталъя. А үсгийг хаалтнаас гаргая.

А + AB= A(1 + B)

Теоремын дагуу (3) 1 + B = 1, тиймээс

A(1 + B) = A 1 = A

Хоёр дахь теоремыг батлахын тулд хаалтуудыг нээцгээе.

A(A + B) = A A + AB = A + AB

Үр дүн нь саяхан батлагдсан илэрхийлэл юм.

Шингээлтийн теоремыг хэрэглэх хэд хэдэн жишээг авч үзье

Булийн томъёог хялбарчлах.

Наалт хийх теореммөн хоёр хэлбэртэй байдаг - салгах ба

холболт:

Эхний теоремыг баталъя:

(5) ба (4) теоремуудын дагуу

Хоёр дахь теоремыг батлахын тулд хаалтуудыг нээцгээе.

Теорем (6)-ын дагуу дараах байдалтай байна.

Шингээлтийн теоремын дагуу (16) A+AB = A

Шингээлтийн теоремыг наах теоремын нэгэн адил хялбарчлахдаа ашигладаг

Булийн томъёо, жишээ нь:

Де Морганы теоремБулийн алгебрын үндсэн гурван үйлдлийг холбодог

Дизюнкц, коньюнкц ба урвуу:

Эхний теорем нь дараах байдалтай байна: холболтын урвуу нь дизюнкц юм

урвуу байдал. Хоёрдугаарт: дизьюнкцийн урвуу байдал нь урвуу байдлын нэгдэл юм. Морганы теоремуудыг баруун ба зүүн талын үнэний хүснэгтийг ашиглан баталж болно.

Де Морганы теорем нь илүү олон хувьсагчдад хамаарна:

Лекц 5

Нарийн төвөгтэй илэрхийллүүдийг урвуулах

Де Морганы теорем нь зөвхөн бие даасан холболтод хамаарахгүй

эсвэл салгах, гэхдээ бас илүү төвөгтэй илэрхийллүүд.

Илэрхийллийн урвуу байдлыг олъё AB + CD , холболтын дизьюнкц хэлбэрээр толилуулж байна. Зөвхөн хувьсагчийн дээр сөрөг тэмдэг гарч ирвэл бид урвуу байдлыг бүрэн гүйцэд гэж үзнэ. Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя. AB = X;

CD = YДараа нь

Олоод илэрхийллийг (22) орлуулъя:

Тиймээс:

Холболтын хэлбэрээр үзүүлсэн илэрхийллийг авч үзье.

(A + B) (C + D)

Түүний урвуу хэлбэрийг олъё

Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя. A + B = X; C + D = Y,Дараа нь

Тэдгээрийг олж, илэрхийлэлд орлъё

Тиймээс:

Нарийн төвөгтэй илэрхийллийг урвуу оруулахдаа дараах дүрмийг ашиглаж болно. Инверсийг олохын тулд холбогч тэмдгийг салгах тэмдгээр, салгах тэмдгийг холбогч тэмдгээр сольж хувьсагч бүр дээр урвуу оруулах шаардлагатай.

Булийн функцийн тухай ойлголт

INерөнхийдөө функц (лат. functio - гүйцэтгэл, дагаж мөрдөх,

зураглал) нь багцын элемент бүрийн дагуу тодорхой дүрэм (хууль) юм X, бие даасан хувьсагчийн утгын мужийг төлөөлдөг X, багцын тодорхой элементийг томилсон F,

Энэ нь хамааралтай хувьсагчийн утгын мужийг хэлнэ е . Булийн функцүүдийн хувьд X = F = (0,1). Функцийг тодорхойлох дүрэм нь ямар ч Булийн томъёо байж болно, жишээлбэл:

Тэмдэг е Энд функцийг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь А аргументууд шиг, B, C,хоёртын хувьсагч.

Аргументууд нь бие даасан хувьсагчид бөгөөд 0 эсвэл 1 гэсэн ямар ч утгыг авч болно. Функц е - хамааралтай хувьсагч. Үүний утга нь хувьсагчийн утга ба тэдгээрийн хоорондын логик холболтоор бүрэн тодорхойлогддог.

Функцийн гол шинж чанар: түүний утгыг тодорхойлохын тулд ерөнхийдөө түүний хамаарах бүх аргументуудын утгыг мэдэх шаардлагатай. Жишээлбэл, дээрх функц нь A гэсэн гурван аргументаас хамаарна. В, С.Хэрэв бид A = 1-ийг авбал бид авна

өөрөөр хэлбэл, тэгтэй ч тэнцүү биш ч шинэ илэрхийлэл гарна

нэгж. Одоо больё IN= 1. Дараа нь

өөрөөр хэлбэл, энэ тохиолдолд функц нь тэг эсвэл нэгтэй тэнцүү байх нь тодорхойгүй байна.

Эцэст нь хүлээн авцгаая ХАМТ= 0. Дараа нь бид дараахь зүйлийг авна. е = 0. Тиймээс хэрэв анхны илэрхийлэлд бид A = 1 гэж авбал, IN= 1, ХАМТ = 0 бол функц тэг утгыг авна: f = 0.

Ингээд авч үзье хувьсах утгуудын багцын тухай ойлголт .

Хэрэв функцээс хамаардаг бүх аргументуудад зарим утгыг өгсөн бол бид аргументуудын багц утгын талаар ярьдаг.

зүгээр л багц гэж нэрлэ. Аргументуудын утгуудын багц нь тэг ба нэгүүдийн дараалал, жишээлбэл 110 бөгөөд эхний цифр нь эхний аргументтай, хоёр дахь нь хоёр дахь, гурав дахь нь гурав дахь аргументтай тохирч байна. Мэдээжийн хэрэг, эхний, хоёр дахь эсвэл тав дахь аргумент гэж юу болохыг урьдчилан тохиролцох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд үсгүүдийн цагаан толгойн дарааллыг ашиглах нь тохиромжтой.

Жишээлбэл, хэрэв

Дараа нь латин үсгийн дагуу эхнийх нь аргумент юм R, хоёр дахь -

Q,гурав дахь - X, дөрөв дэх - U. Дараа нь аргументуудын утгуудын багц дээр үндэслэн энэ нь хялбар юм

функцийн утгыг ол. Жишээ нь 1001 багцыг өгье. Үүний дагуу

бичлэгүүд, өөрөөр хэлбэл 1001-р багц дээр өгөгдсөн функц нэгтэй тэнцүү байна.

Аргументуудын утгуудын багц нь цуглуулга гэдгийг дахин анхаарна уу

тэг ба нэг. Хоёртын тоо нь тэг ба нэгийн олонлог юм.

Эндээс асуулт гарч ирнэ: олонлогийг хоёртын систем гэж үзэхгүй байж болох уу?

тоо? Энэ нь боломжтой бөгөөд олон тохиолдолд энэ нь маш тохиромжтой, ялангуяа хоёртын хувилбар юм

Тоог аравтын бутархай систем рүү хөрвүүл. Жишээлбэл, хэрэв

A = 0, B = 1, C = 1, Д = 0,

0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0 = 4+2 = 6

өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн олонлог нь аравтын бутархайн систем дэх 6 дугаар юм.

Хэрэв та аргументуудын утгыг аравтын бутархайн тоог ашиглан олох шаардлагатай бол

Бид урвуу дарааллаар явагдана: эхлээд аравтын бутархай тоог хоёртын тоо руу хөрвүүлж, дараа нь зүүн талд аль болох олон тэг нэмээд нийт цифрүүд аргументуудын тоотой тэнцүү байхаар аргументуудын утгыг олно.

Жишээлбэл, та А аргументуудын утгыг олох хэрэгтэй. B, C, D, E, F 23 тоогоор залгах замаар. Бид 23 гэсэн тоог хоёртын системд хөрвүүлдэг

хоёр хуваах:

Үүний үр дүнд бид 23 10 = 10111 2 болно. Энэ тоо нь таван оронтой тоо боловч нийтдээ

Зургаан аргумент байгаа тул та зүүн талд нэг тэг бичих хэрэгтэй.

23 10 = 010111 2. Эндээс бид олж мэднэ:

A = 0, B = 1, C = 0, D = 1, E = 1, F = 1.

Тоо нь мэдэгдэж байгаа бол нийт хэдэн багц байх вэ? П аргументууд? Мэдээжийн хэрэг, олон тооны n-бит хоёртын тоо байдаг, өөрөөр хэлбэл 2 n.

Лекц 6

Булийн функцийг зааж өгч байна

Бид аль хэдийн нэг арга замыг мэддэг. Энэ нь аналитик, өөрөөр хэлбэл хоёртын хувьсагч, логик үйлдлүүдийг ашиглан математик илэрхийлэл хэлбэрээр байдаг. Үүнээс гадна өөр аргууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн хамгийн чухал нь хүснэгт юм. Хүснэгтэнд аргументуудын бүх боломжит багцуудыг жагсааж, багц тус бүрийн функцийн утгыг зааж өгсөн болно. Ийм хүснэгтийг захидал харилцааны (үнэн) хүснэгт гэж нэрлэдэг.

Функцийг жишээ болгон ашиглах

Үүний тулд захидал харилцааны хүснэгтийг хэрхэн бүтээхийг олж мэдье.

Функц нь гурван аргументаас хамаарна A, B, C. Тиймээс хүснэгтэд

Бид A, B, C аргументуудад гурван багана, f функцийн утгуудад нэг багана өгдөг. А баганын зүүн талд өөр багана байрлуулах нь ашигтай. Үүнд бид гурван оронтой хоёртын тоо гэж үзвэл олонлогт тохирох аравтын тоог бичих болно. Энэ аравтын

Хүснэгттэй ажиллахад хялбар болгох үүднээс баганыг нэвтрүүлсэн тул зарчмын хувьд,

үүнийг үл тоомсорлож болно.

Хүснэгтийг бөглөцгөөе. ХХК-ийн дугаартай мөрөнд дараахь зүйлийг бичсэн болно.

A = B = C = 0.

Энэ олонлог дээрх функцийн утгыг тодорхойлъё.

f баганад бид 000 залгах мөрөнд тэг бичнэ.

Дараагийн багц: 001, i.e. e. A = B = 0, C = 1. Функцийн утгыг ол

энэ багц дээр:

001 олонлогт функц 1 байна, тиймээс c мөрөнд f баганад

001 дугаарыг нэгийг бичихэд ашигладаг.

Үүний нэгэн адил бид бусад бүх багц дээрх функцүүдийн утгыг тооцоолно

хүснэгтийг бүхэлд нь бөглөнө үү.

Де Морганы хуулиуд нь Шотландын математикч Август де Морганы тогтоосон логик дүрэм бөгөөд логик үгүйсгэлийг ашиглан логик үйлдлүүдийг холбодог.

Август де Морган сонгодог логикт дараахь хамаарал хүчинтэй гэж тэмдэглэжээ.

биш (А ба В) = (А биш) эсвэл (В биш)

биш (А эсвэл В) = (А биш) ба (В биш)

Бидний хувьд илүү танил хэлбэрээр эдгээр харилцааг дараах хэлбэрээр бичиж болно.

Де Морганы хуулиудыг дараах байдлаар томъёолж болно.

I де Морганы хууль:Хоёр энгийн өгүүлбэрийн салангид үгийг үгүйсгэх нь эдгээр мэдэгдлийн үгүйсгэлийн холболттой тэнцэнэ.

II де Морганы хууль:Хоёр энгийн өгүүлбэрийн холболтыг үгүйсгэх нь эдгээр мэдэгдлийн үгүйсгэлийг салгахтай тэнцүү юм.

Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан Де Морганы хуулиудын хэрэглээг авч үзье.

Жишээ 1.Нарийн төвөгтэй хэллэгийг үгүйсгэхгүй байхаар томьёог өөрчил.

Де Морганы анхны хуулийг ашиглаад дараахь зүйлийг олж авцгаая.

Бид Де Морганы хоёр дахь хуулийг энгийн B ба C өгүүлбэрүүдийн холболтыг үгүйсгэхэд хэрэглэж, бид дараахь зүйлийг олж авна.

,

Тиймээс:

.

Үүний үр дүнд бид нийлмэл мэдэгдлийн үгүйсгэл байхгүй, бүх үгүйсгэлт нь зөвхөн энгийн мэдэгдлүүдтэй ижил төстэй мэдэгдлийг хүлээн авсан.

Та шийдлийн үнэн зөвийг үнэний хүснэгт ашиглан шалгаж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид анхны мэдэгдлийн үнэний хүснэгтийг эмхэтгэх болно.

Де Морганы хуулиудыг ашиглан хийсэн өөрчлөлтийн үр дүнд олж авсан мэдэгдлийн хувьд:

.

Хүснэгт 1.

Хүснэгтүүдээс харахад Де Морганы хуулиудыг ашиглан олж авсан анхны логик мэдэгдэл болон логик мэдэгдэл нь тэнцүү байна. Үнэний хүснэгтэд бид ижил утгыг хүлээн авсан нь үүнийг нотолж байна.

8-р бүлэгт бүдэг ба санамсаргүй олонлог гэх мэт тоон бус шинж чанартай объектуудыг авч үзсэн. Энэхүү хэрэглээний зорилго нь бүдэг олонлогийн шинж чанарыг илүү гүнзгий судалж, тодорхой утгаараа бүдэг олонлогийн онол санамсаргүй олонлогийн онол болгон бууруулж байгааг харуулах явдал юм. Энэ зорилгод хүрэхийн тулд теоремуудын гинжин хэлхээг томъёолж, нотолсон болно.

Дараах зүйлд, авч үзэж буй бүх бүдэг олонлогууд нь ижил олонлогийн дэд олонлогууд гэж үздэг. Ю.

P2-1. Тодорхой бус олонлогт зориулсан Де Морганы хуулиуд

Мэдэгдэж байгаагаар олонлогийн алгебрийн дараах ижил төстэй байдлыг Морганы хууль гэж нэрлэдэг

Теорем 1.Тодорхой бус олонлогуудын хувьд дараах таних тэмдэгтүүдийг агуулна.

(3)

Теорем 1-ийн баталгаа нь 8-р бүлэгт өгөгдсөн тодорхойлолтууд дээр үндэслэн эдгээр харилцаанд орсон бүдэг олонлогийн гишүүнчлэлийн функцүүдийн утгыг тооцоолох замаар (2) ба (3) харилцааны үнэн зөвийг шууд шалгахаас бүрдэнэ.

(2) ба (3) таних тэмдэгүүдийг нэрлэе. Тодорхой бус олонлогт зориулсан Де Морганы хуулиуд. Сонгодог харилцааны тохиолдлоос (1) ялгаатай нь тэдгээр нь дөрвөн ижил төстэй байдлаас бүрддэг бөгөөд нэг хос нь нэгдэл ба огтлолцлын үйлдлүүдтэй, хоёр дахь нь бүтээгдэхүүн ба нийлбэрийн үйлдлүүдтэй холбоотой байдаг. Олонлог алгебр дахь (1) хамаарлын нэгэн адил бүдэг олонлогийн алгебр дахь де Морганы хуулиуд нь үгүйсгэх үйлдлийг агуулсан илэрхийлэл, томъёог хувиргах боломжийг олгодог.

P2-2. Тодорхой бус олонлогийн тархалтын хууль

Тодорхой бус олонлогт олонлог үйлдлийн зарим шинж чанар тохирохгүй. Тиймээ, хэзээнээс бусад тохиолдолд А- "цэвэр" багц (өөрөөр хэлбэл гишүүнчлэлийн функц нь зөвхөн 0 ба 1 утгыг авдаг).

Тодорхой бус олонлогийн хувьд тархалтын хууль үнэн үү? Уран зохиолд заримдаа "үргэлж биш" гэж бүрхэг хэлдэг. Бүрэн тодорхой болъё.

Теорем 2.Аливаа бүдэг олонлогийн хувьд A, B, C

Үүний зэрэгцээ тэгш байдал

шударга бол зөвхөн бүхний төлөө

Баталгаа. Дурын элементийг засах. Тэмдэглэгээг богиносгохын тулд бид (4)-ийг нотлохын тулд үүнийг харуулах шаардлагатай

Гурван тооны өөр өөр дарааллыг авч үзье a, b, c.Эхлээд үзье Дараа нь харилцааны зүүн тал (6) бөгөөд баруун тал нь, i.e. тэгш байдал (6) үнэн.

Let Дараа нь хамааралтай (6) зүүн талд is, баруун талд, i.e. (6) харьцаа нь дахин тэгш байдал юм.

Хэрэв харьцаанд (6) зүүн талд байгаа бол баруун талд, i.e. хоёр хэсэг нь дахин таарч байна.

Үлдсэн гурван дугаарын захиалга a, b, c(6) тоонуудтай холбоотой тул задлах шаардлагагүй бТэгээд втэгш хэмтэй оруулна. Бие (4) нь батлагдсан.

Теорем 2-ын хоёр дахь мэдэгдэл нь тодорхой бус олонлог дээрх үйлдлүүдийн тодорхойлолтын дагуу (8-р бүлгийг үзнэ үү)

Эдгээр хоёр илэрхийлэл нь зөвхөн, хэзээ, юуг нотлох шаардлагатай байсан бол давхцдаг.

Тодорхойлолт 1.А бүдэг олонлогийн зөөгч нь бүх цэгүүдийн олонлог юм , Үүний төлөө

Теорем 2-ын үр дүн.Хэрэв B ба C бүдэг олонлогийн зөөгчүүд нь Y-тэй давхцаж байвал (5) тэгш байдал нь зөвхөн А нь "яруу" (жишээ нь, энгийн, сонгодог, бүдэг биш) олонлог байвал л биелнэ.

Баталгаа.Нөхцөлөөр хүн бүрийн өмнө. Дараа нь теорем 2-оос ийм зүйл гарч ирнэ тэдгээр. эсвэл , энэ нь гэсэн үг А- тодорхой багц.

P2-3. Тодорхой бус олонлогууд нь санамсаргүй олонлогуудын проекцууд юм

1960-аад оны орчин үеийн бүдэг бадаг онолын эхэн үеэс түүний магадлалын онолтой харилцах харилцааны талаар хэлэлцүүлэг эхэлсэн. Баримт нь бүдэг олонлогийн гишүүнчлэлийн функц нь магадлалын тархалттай төстэй байдаг. Цорын ганц ялгаа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын магадлалын нийлбэр (эсвэл интеграл, хэрэв боломжтой утгуудын багц тоолох боломжгүй бол) үргэлж 1-тэй тэнцүү байх ба нийлбэр нь Сгишүүнчлэлийн функцийн утгууд (тасралтгүй тохиолдолд гишүүнчлэлийн функцийн интеграл) ямар ч сөрөг бус тоо байж болно. Гишүүнчлэлийн функцийг хэвийн болгох уруу таталт байдаг, i.e. бүх утгыг нь хуваана С(цагт С 0) магадлалын тархалт (эсвэл магадлалын нягт) хүртэл бууруулах. Гэсэн хэдий ч бүдэг бадаг (тодорхой бус олонлог) тус бүрийг тусад нь хийдэг тул бүдэг бадаг байдлын мэргэжилтнүүд ийм "анхны" бууралтыг эсэргүүцэж байгаа бөгөөд энэ нь бүдэг бадаг олонлог дээрх энгийн үйлдлийн тодорхойлолтууд нь үүнтэй нийцэхгүй байна. Тодорхой бус олонлогийн гишүүнчлэлийн функцийг заасан олонлогийн дагуу хувиргая АТэгээд IN. Гишүүнчлэлийн чиг үүрэг хэрхэн өөрчлөгдсөн бэ? Үүнийг суулгана уу зарчмын хувьд боломжгүй.Гишүүнчлэлийн функцүүдийн утгуудын ижил нийлбэртэй бүдэг бадаг олонлогуудын хэд хэдэн жишээг авч үзсэний дараа сүүлийн мэдэгдэл бүрэн тодорхой болно, гэхдээ тэдгээрт олонлогийн онолын үйлдлүүдийн үр дүн, харгалзах гишүүнчлэлийн функцүүдийн утгын нийлбэр өөр өөр байна. олонлогийн онолын үйлдлүүдийн эдгээр үр дүнгийн хувьд, жишээлбэл, олонлогуудын огтлолцлын хувьд мөн өөр өөр байдаг.

Бүдэг олонлогийн талаархи бүтээлүүдэд бүдэг бадаг байдлын онол нь хэрэглээний математикийн бие даасан салбар бөгөөд магадлалын онолтой холбоогүй гэж ихэвчлэн дурдсан байдаг (жишээлбэл, монографи дахь уран зохиолын тоймыг үзнэ үү). Тодорхой бус онол болон магадлалын онолыг харьцуулсан зохиолчид онолын болон хэрэглээний судалгааны эдгээр чиглэлүүдийн ялгааг ихэвчлэн онцлон тэмдэглэсэн байдаг. Ихэвчлэн аксиоматикийг харьцуулж, хэрэглээний талбаруудыг харьцуулдаг. Магадлалын статистикийн аргууд гэх мэт удаан хугацаанд тогтсон шинжлэх ухааны салбарыг ашиглах боломжийн хязгаарын талаар янз бүрийн санал бодол байдаг тул хоёр дахь төрлийн харьцуулалтын аргументууд нь нотлох хүчин чадалгүй гэдгийг нэн даруй тэмдэглэх нь зүйтэй. Францын хамгийн алдартай математикчдын нэг Анри Лебесгийн арифметикийн хэрэглээний хязгаарын талаархи үндэслэлийн үр дүн нь "Арифметик хэрэглэх боломжтой үед хэрэглэгдэх болно" (түүний нэг сэдэвт зохиолыг үзнэ үү) гэдгийг эргэн санацгаая.

Тодорхой бус онол ба магадлалын онолын янз бүрийн аксиоматикийг харьцуулахдаа аксиомуудын жагсаалт өөр өөр байдгийг харахад хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч эндээс харахад эдгээр онолуудын хооронд холбоо тогтоох боломжгүй, тухайлбал хавтгай дээрх Евклидийн геометрийг арифметик болгон бууруулсан (илүү нарийвчлалтай, тооллын системийн онол руу - үзнэ үү. жишээ нь монографи). Эдгээр хоёр аксиоматик - Евклидийн геометр ба арифметик нь эхлээд харахад тэс өөр гэдгийг эргэн санацгаая.

Шинжлэх ухааны аппаратын үндсэн шинэлэг байдлыг онцлон тэмдэглэх шинэ чиглэлийн сонирхогчдын хүслийг ойлгож болно. Гэсэн хэдий ч шинэ хандлага болон өмнө нь мэдэгдэж байсан арга барилын хооронд холбоо тогтоох нь адил чухал юм.

Эндээс харахад бүдэг олонлогийн онол нь санамсаргүй олонлогийн онолтой нягт холбоотой юм. 1974 онд бүрхэг олонлогийг санамсаргүй олонлогийн “проекц” гэж үзэх нь ойлгомжтой гэдгийг уг бүтээлд харуулсан. Бүдэг олонлогын онолыг санамсаргүй олонлогийн онол болгон бууруулах энэ аргыг авч үзье.

Тодорхойлолт 2.Болъё - Хязгаарлагдмал Y олонлогийн санамсаргүй дэд олонлог. Y дээр тодорхойлогдсон бүдэг B олонлогийг А проекц гэж нэрлэдэг ба хэрэв Proj A гэж тэмдэглэнэ.

(7)

хүн бүрийн өмнө

Мэдээжийн хэрэг, санамсаргүй багц бүр А(7) томъёог ашиглан тодорхой бус олонлогтой уялдуулж болно B = Төсөл А.Энэ нь бас эсрэгээрээ үнэн болж хувирав.

Теорем 3. Хязгаарлагдмал Y олонлогийн ямар ч бүдэг бадаг В дэд олонлогын хувьд Y-ийн санамсаргүй А дэд олонлог байдаг бөгөөд B = Proj A байна.

Баталгаа.Санамсаргүй олонлогийн тархалтыг тохируулахад хангалттай А. Болъё U 1- тээвэрлэгч IN(дээрх тодорхойлолт 1-ийг үзнэ үү). Ерөнхий байдлыг алдагдуулахгүйгээр бид үүнийг таамаглаж болно заримд нь мболон элементүүд U 1гэсэн дарааллаар дугаарласан

Ингээд багцуудыг танилцуулъя

Бусад бүх дэд бүлгийн хувьд Xбагц Утавья P(A=X)=0. Элементээс хойш y тбагцад багтсан Ү(1), Ү(2),..., Ү(t)бөгөөд үүнд ороогүй болно багц Y(t+1),…, Y(m),Тэр Дээрх томъёоллуудаас харахад ийм байна Хэрэв тэгвэл 3-р теорем батлагдсан болно.

Бие даасан элементүүдтэй санамсаргүй олонлогийн тархалтыг 8-р бүлэгт дурдсан зүйлсээс үзэхэд түүний проекцоор бүрэн тодорхойлно. Ерөнхий хэлбэрийн хязгаарлагдмал санамсаргүй олонлогийн хувьд энэ нь тийм биш юм. Дээрх зүйлийг тодруулахын тулд бидэнд дараах теорем хэрэгтэй.

Теорем 4. Төгсгөлөөс Y олонлогийн санамсаргүй А дэд олонлогийн хувьд элементийн тоо тооны багц Тэгээд нэг нэгээр нь нөгөөгөөр илэрхийлэгддэг.

Баталгаа.Хоёрдахь багцыг эхнийхээр дараах байдлаар илэрхийлнэ.

Эхний багцын элементүүдийг албан ёсны логикоос оруулах, хасах томъёог ашиглан хоёр дахь багцаар илэрхийлж болно.

Энэ томъёонд эхний нийлбэрээр цагтолонлогийн бүх элементүүдээр дамждаг Y\X,хоёр дахь нийлбэрт нийлбэрийн хувьсагчид 1 цагтТэгээд 2 цагтдавхцахгүй, мөн энэ багцыг давах гэх мэт. Оруулсан болон хассан томъёоны ишлэл нь теорем 4-ийн нотолгоог гүйцээнэ.

Теорем 4-ийн дагуу санамсаргүй А олонлогийг зөвхөн тархалтаар бус, мөн тооны олонлогоор тодорхойлж болно. Энэ олонлогт тэгш байдлын төрлийн өөр харилцаа байхгүй. Энэ багц тоонуудыг багтаасан тул санамсаргүй олонлогийн проекцийг засах нь засахтай тэнцүү юм k = Карт(Y)-аас параметрүүд (2к-1)санамсаргүй олонлогийн тархалтыг тодорхойлсон параметрүүд Аерөнхийдөө.

Дараах теорем нь ашигтай байх болно.

Теорем 5. Хэрэв Төсөл A = B, Тэр

Үүнийг батлахын тулд санамсаргүй олонлогийн онолын адилтгал, 8-р бүлгийн хамрах магадлалын томъёо, бүдэг олонлогийн үгүйсгэлийн тодорхойлолт, бүх P(A=) нийлбэрийг ашиглахад хангалттай. X) нь 1-тэй тэнцүү.

P2-4. Бүдэг ба санамсаргүй олонлогуудын уулзвар ба бүтээгдэхүүнүүд

Санамсаргүй олонлог дээрх үйлдлүүд нь тэдгээрийн төсөөлөл дээрх үйлдлүүдтэй хэрхэн холбогдож байгааг олж мэдье. Де Морганы хуулиуд (Теорем 1) ба теорем 5-ын ачаар санамсаргүй олонлогуудын огтлолцлын үйлдлийг авч үзэх нь хангалттай юм.

Теорем 6. Хэрэв төгсгөлтэй олонлогийн санамсаргүй дэд олонлогууд А 1 ба А 2 y нь бие даасан, дараа нь бүдэг олонлог бүтээл юм бүдэг олонлогууд Төсөл А 1 ба Төсөл А 2 .

Баталгаа.Үүнийг аль ч хүнд харуулах ёстой

Санамсаргүй олонлогоор цэгийг хамрах магадлалын томъёоны дагуу (8-р бүлэг)

Мэдэгдэж байгаагаар санамсаргүй олонлогуудын огтлолцлын тархалтыг тэдгээрийн хамтарсан тархалтаар дараах байдлаар илэрхийлж болно.

(9) ба (10) харилцаанаас санамсаргүй олонлогуудын огтлолцлын хамрах магадлалыг давхар нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Томъёоны (11) баруун талыг дараах байдлаар дахин бичиж болохыг анхаарна уу.

(12)

Үнэн хэрэгтээ (11) томъёо нь нийлбэрийн хувьсагчдын огтлолцол тогтмол утгыг авдаг нэр томьёог бүлэглэдгээрээ (12) томъёоноос ялгаатай. Санамсаргүй олонлогуудын бие даасан байдлын тодорхойлолт ба нийлбэрийг үржүүлэх дүрмийг ашиглан бид (11) ба (12) -аас тэгшитгэлийг олж авна.

Теорем 6-ын нотолгоог гүйцээхийн тулд цэгийг санамсаргүй олонлогоор хамрах магадлалын томьёог (8-р бүлэг) дахин лавлахад хангалттай.

Тодорхойлолт 3. Санамсаргүй C олонлогийн дэмжлэг нь эдгээр бүх элементүүдийн цуглуулга юм Үүний төлөө

Теорем 7.Тэгш байдал

Санамсаргүй олонлогуудын тулгууруудын огтлолцол зөвхөн үнэн Тэгээд хоосон.

Баталгаа.Ямар нөхцөлд байгааг олж мэдэх шаардлагатай

Дараа нь тэгш байдал (13) нь нөхцөл рүү буурна

(14) хамаарал нь зөвхөн, зөвхөн тохиолдолд л хангагдах нь тодорхой байна х 2 х 3=0 бүгдэд нь өөрөөр хэлбэл. нэгэн зэрэг тийм нэг элемент байдаггүй Тэгээд , мөн энэ нь санамсаргүй олонлог ба тулгууруудын огтлолцлын хоосон байдалтай тэнцүү юм. . Теорем 7 батлагдсан.

P2-5. Тодорхой бус олонлог дээрх үйлдлийн дарааллыг багасгах

санамсаргүй олонлог дээрх үйлдлүүдийн дараалалд

Дээр бид бүдэг ба санамсаргүй олонлогуудын хоорондох зарим холболтыг олж авсан. Ажлын эдгээр холболтыг судлах нь (энэ ажил нь 1974 онд хийгдсэн бөгөөд 1974 оны 12-р сарын 18-нд болсон "Олон хэмжээст статистикийн шинжилгээ ба бодит үйл явцын магадлалын загварчлал" семинарт мэдээлсэн - үзнэ үү) бүдэг олонлогийг боловсруулах, ерөнхийлөн тогтоох аппаратад зориулсан санамсаргүй олонлогууд Л.Задех. Баримт нь бүдэг олонлогийн математик аппарат нь түүний тусламжтайгаар загварчлагдсан ойлголтуудын (объектуудын) хамаарлын янз бүрийн хувилбаруудыг зохих ёсоор авч үзэх боломжийг олгодоггүй; Тиймээс хоёр бүдэг олонлогийн "нийтлэг хэсэг" -ийг тодорхойлохын тулд зөвхөн хоёр үйлдэл байдаг - бүтээгдэхүүн ба огтлолцол. Хэрэв тэдгээрийн эхнийх нь хэрэглэгдэж байгаа бол уг олонлогууд бие даасан санамсаргүй олонлогийн төсөөлөл шиг ажилладаг гэж үздэг (дээрх теорем 6-г үзнэ үү). Уулзварын ажиллагаа нь олонлог хоорондын хамаарлын төрөлд маш тодорхой хязгаарлалт тавьдаг (дээрх теорем 7-г үзнэ үү), энэ тохиолдолд шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлүүд ч олдсон. Олонлог (үзэл баримтлал, объект) хоорондын хамаарлыг загварчлах өргөн боломжуудтай байх нь зүйтэй юм. Санамсаргүй олонлогийн математик аппаратыг ашиглах нь ийм боломжийг олгодог.

Бүдэг олонлогийг санамсаргүй олон болгон багасгахын зорилго нь магадлалын тархалтын нягтралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг харж байгаатай адил эхнийх нь шинж чанарыг тодорхойлдог санамсаргүй олонлогуудын бүтцийг олж харах явдал юм. Энэ хэсэгт бид бүдэг олонлогийн алгебрийг санамсаргүй олонлогийн алгебр болгон бууруулах үр дүнг танилцуулж байна.

Тодорхойлолт 4.Магадлалын орон зай { В, G, P)хэмжигдэхүйц X G олонлог болон эерэг тооны хувьд бид үүнийг хуваагддаг гэж нэрлэдэг, P(X)-ээс бага бол бид хэмжигдэхүйц олонлогийг зааж өгч болно

Жишээ.Хязгаарлагдмал хэмжээст шугаман орон зайн нэгж шоо байг, Гнь Борелийн олонлогуудын сигма алгебр, ба П- Лебесгийн хэмжүүр. Дараа нь { В, G, P)- хуваагдах магадлалын орон зай.

Тиймээс хуваагдах магадлалын орон зай нь чамин биш юм. Энгийн шоо бол ийм орон зайн жишээ юм.

Жишээн дээр томъёолсон мэдэгдлийн нотолгоо нь хэмжигдэхүйц олонлогийг нээлттэй олонлогоор хүссэний дагуу нарийвчлалтайгаар ойртуулж болох бөгөөд сүүлийнх нь тоолж болох тооноос илүүгүй нийлбэрээр илэрхийлэгдэх боломжтой гэсэн үндсэн дээр стандарт математикийн аргуудыг ашиглан хийгдсэн болно. задгай бөмбөлгүүдийн хувьд, мөн бөмбөгний хувьд хуваагдах чадварыг шууд шалгадаг (Х бөмбөгөөс эзэлхүүний биеийг харгалзах хавтгайгаар тусгаарласан).

Теорем 8.Санамсаргүй А олонлогийг хуваагдах магадлалын орон зайд өгье (В, G, P) хязгаарлагдмал тооны элементээс Y олонлогийн бүх дэд олонлогуудын олонлог дахь утгууд ба Y дээр тодорхой бус D олонлогтой. Дараа нь C 1 санамсаргүй олонлогууд байна., C 2, C 3, Ийм магадлалын ижил орон зайд C 4

Энд B = Төсөл А.

Баталгаа.Де Морганы хуулиуд бүдэг бадаг (дээрх теорем 1-ийг үзнэ үү) болон санамсаргүй олонлогын хувьд, мөн дээрх теорем 5-ын хувьд (үгүйцлийн тухай) хүчинтэй байдаг тул санамсаргүй олонлог байгааг нотлоход хангалттай. C 1Тэгээд C 2 .

Олонлогийн бүх дэд олонлогийн магадлалын тархалтыг авч үзье У, санамсаргүй олонлогт харгалзах ХАМТтиймэрхүү Төсөл C = D(энэ нь теорем 3-ын ачаар оршин тогтнодог). Санамсаргүй олонлог бүтээцгээе C 2 Бид зөвхөн элементийг хасдаг ижил Y олонлогийн ийм

ба үүнээс гадна олонлогийн онолын үйлдлүүдийн үр дүн нь ижил төстэй хамаарлаар холбогддог

Хэрэв тэмдэг нь тухайн газарт санамсаргүй олонлогуудын огтлолцлын тэмдэг байгааг илтгэнэ, хэрэв B m-ийн тодорхойлолтод огтлолцлын тэмдэг эсвэл бүдэг олонлогийн үржвэрийн тэмдэг, үүний дагуу -ийн тэмдэг байгаа бол санамсаргүй олонлогуудын нэгдэл, хэрэв B m-д нэгдэх тэмдэг эсвэл бүдэг олонлогийн нийлбэрийн тэмдэг байвал.

Логикийн томьёо ба хуулиуд

дээр танилцуулах хичээлийн үеэр математик логикийн үндэс, бид математикийн энэ салбарын үндсэн ойлголтуудтай танилцаж, одоо энэ сэдэв байгалийн үргэлжлэлийг хүлээн авч байна. Шинэ онолын, бүр онолын хувьд ч биш, гэхдээ ерөнхий боловсролын материалаас гадна практик даалгаврууд биднийг хүлээж байгаа тул хэрэв та хайлтын системээс энэ хуудсанд ирсэн бөгөөд / эсвэл материалыг муу мэддэг бол дээрх холбоосыг дагана уу. мөн өмнөх нийтлэлээс эхэлье. Үүнээс гадна дадлага хийхийн тулд бидэнд 5 хэрэгтэй болно үнэний хүснэгтүүд логик үйлдлүүдаль би маш их зөвлөж байна гараар дахин бичих.

БИТГИЙ БИТГИЙ, хэвлэж болохгүй, харин үүнийг дахин ойлгож, өөрийн гараар цаасан дээр хуулж ав, ингэснээр тэд таны нүдний өмнө болно.

- хүснэгт ҮГҮЙ;
- хүснэгт I;
– OR хүснэгт;
- нөлөөллийн хүснэгт;
- эквивалентийн хүснэгт.

Энэ нь маш чухал юм. Зарчмын хувьд тэдгээрийг дугаарлах нь тохиромжтой байх болно "Хүснэгт 1", "Хүснэгт 2" гэх мэт., гэхдээ би энэ аргын дутагдлыг олон удаа онцлон тэмдэглэсэн - тэдний хэлснээр, нэг эх сурвалжид хүснэгт нь эхнийх, нөгөөд нь нэг зуун, эхнийх байх болно. Тиймээс бид "байгалийн" нэрийг ашиглах болно. Үргэлжлүүлье:

Үнэн хэрэгтээ та логик томъёоны тухай ойлголтыг аль хэдийн мэддэг болсон. Би танд стандарт өгөх болно, гэхдээ нэлээд ухаантай тодорхойлолт: томъёоСаналын алгебруудыг:

1) аливаа энгийн (энгийн) мэдэгдэл;

2) хэрэв ба нь томьёо бол томъёо нь мөн хэлбэрийн илэрхийлэл болно
.

Өөр томъёо байхгүй.

Ялангуяа томъёо нь логик үржүүлэх гэх мэт аливаа логик үйлдэл юм. Хоёр дахь цэг дээр анхаарлаа хандуулаарай - энэ нь зөвшөөрдөг рекурсивдур зоргоороо урт томъёог "бүтээх" арга. Учир нь - томъёо, дараа нь - мөн томъёо; оноос хойш ба томъёонууд, тэгвэл – мөн томъёо гэх мэт. Аливаа энгийн мэдэгдэл (тодорхойлолтын дагуу дахин)томъёонд нэгээс олон удаа оруулж болно.

Томъёо Үгүйжишээ нь тэмдэглэгээ - энд "алгебрийн хог хаягдал" -тай тодорхой зүйрлэл байдаг бөгөөд үүнээс тоо нэмэх эсвэл үржүүлэх шаардлагатай эсэх нь тодорхойгүй байна.

Логик томъёог гэж үзэж болно логик функц. Үүнтэй ижил холболтыг функциональ хэлбэрээр бичье.

Энэ тохиолдолд анхан шатны мэдэгдлүүд нь аргумент (бие даасан хувьсагч) үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд сонгодог логикт 2 утгыг агуулж болно. үнэнэсвэл худлаа. Тохиромжтой болгохын тулд доороос би заримдаа энгийн хэллэгүүдийг нэрлэх болно хувьсагч.

Логик томъёог (функцийг) тодорхойлсон хүснэгтийг аль хэдийн дурдсанчлан гэж нэрлэдэг. үнэний хүснэгт. Танил зураг:

Үнэний хүснэгтийг бүрдүүлэх зарчим нь дараах байдалтай байна: "оролтод" та жагсаах хэрэгтэй бүх боломжит хослолуудэнгийн мэдэгдэл (аргумент) авч болох үнэн ба худал. Энэ тохиолдолд томъёонд хоёр мэдэгдэл багтсан бөгөөд ийм дөрвөн хослол байгааг олж мэдэхэд хялбар байдаг. "Гаралтад" бид бүх томъёоны (функц) харгалзах логик утгыг авдаг.

Эндээс "гарах" нь "нэг алхамаар" болсон гэж хэлэх ёстой, гэхдээ ерөнхий тохиолдолд логик томъёо нь илүү төвөгтэй байдаг. Ийм "хэцүү тохиолдолд" та дагаж мөрдөх хэрэгтэй логик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дараалал:

– эхлээд үгүйсгэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ;
- хоёрдугаарт - холболт;
– дараа нь – салгах;
- дараа нь утга санаа;
– эцэст нь, эквивалент нь хамгийн бага ач холбогдолтой.

Жишээлбэл, оруулга нь эхлээд логик үржүүлэх, дараа нь логик нэмэх шаардлагатай гэсэн үг юм. Яг л "энгийн" алгебрийн нэгэн адил - "эхлээд бид үржүүлж, дараа нь нэмнэ."

Үйлдлийн дарааллыг ердийн аргаар өөрчилж болно - хаалтаар:
Энд юуны түрүүнд салгах, дараа нь "илүү хүчтэй" ажиллагаа явагдана.

Хүн бүр ойлгож байгаа байх, гэхдээ ямар ч тохиолдолд гал сөнөөгч: бөгөөд энэ нь хоёр өөртомъёонууд! (албан ёсны болон үндсэн хувьд)

Томъёоны үнэний хүснэгтийг байгуулъя. Энэ томьёо нь хоёр энгийн хэллэгийг агуулдаг бөгөөд "оролтод" бид нэг ба тэгийн бүх боломжит хослолыг жагсаах хэрэгтэй. Төөрөгдөл, зөрүүгээс зайлсхийхийн тулд бид хослолуудыг жагсаахыг зөвшөөрнө яг тэр дарааллаар (Би үүнийг анхнаасаа бодитоор ашиглаж байсан):

Томъёо нь хоёр логик үйлдлүүдийг багтаасан бөгөөд тэдгээрийн тэргүүлэх чиглэлийн дагуу та эхлээд хийх хэрэгтэй үгүйсгэхмэдэгдэл. За, "pe" баганыг үгүйсгэцгээе - бид нэгийг тэг болгож, тэгийг нэг болгон хувиргана:

Хоёр дахь шатанд бид баганыг харж, тэдгээрт хэрэглэнэ ЭСВЭЛ үйл ажиллагаа. Бага зэрэг урагшаа харвал би салгах нь солигддог гэж хэлэх болно (мөн ижил зүйл), тиймээс багануудыг ердийн дарааллаар шинжилж болно - зүүнээс баруун тийш. Логик нэмэлтийг хийхдээ дараахь үндэслэлийг ашиглах нь тохиромжтой. "Хэрэв хоёр тэг байвал бид тэг, ядаж нэг байвал нэгийг тавина.":

Үнэний хүснэгтийг байгууллаа. Одоо хуучин сайн санааг санацгаая:

... болгоомжтой, болгоомжтой ... нийт багануудыг хараад .... Санал алгебрт ийм томъёог нэрлэдэг тэнцүүэсвэл адилхан:

(гурван хэвтээ шугам нь таних тэмдэг)

Хичээлийн 1-р хэсэгт би үндсэн логик үйлдлүүдийн тусламжтайгаар утгыг илэрхийлнэ гэж амласан бөгөөд амлалт биелэх нь тийм ч удаан байсангүй! Хүссэн хүмүүс далд утгыг утга учиртай болгож чадна (жишээ нь, "Хэрэв бороо орж байвал гадаа чийгтэй байна")мөн адилтгах мэдэгдлийг бие даан шинжлэх.

Томьёолъё ерөнхий тодорхойлолт: хоёр томьёог дуудна тэнцүү (ижил), хэрэв тэдгээр нь эдгээр хувьсах томьёонд орсон аливаа багц утгуудын хувьд ижил утгыг авдаг бол (анхан шатны мэдэгдэл). Бас тэгж хэлдэг "томъёо нь үнэний хүснэгтүүд нь давхцаж байвал тэнцүү байна", гэхдээ би энэ хэллэгт үнэхээр дургүй.

Дасгал 1

Томъёоны үнэний хүснэгтийг үүсгэж, таны мэддэг таних тэмдэг зөв эсэхийг шалгаарай.

Асуудлыг шийдэх дарааллыг дахин давтъя:

1) Томъёонд хоёр хувьсагч багтсан тул тэг ба нэгийн нийт 4 боломжит багц байх болно. Бид тэдгээрийг дээр дурдсан дарааллаар бичдэг.

2) Үр дагавар нь холбоо үгээс "сул" боловч хаалтанд бичдэг. Бид баганыг бөглөж, дараахь үндэслэлийг ашиглахад тохиромжтой. "Хэрэв нэгээс тэг гарч байвал бид тэгийг, бусад бүх тохиолдолд нэгийг тавина.". Дараа нь далд утга бүхий баганыг бөглөж, нэгэн зэрэг, анхаарал!- багануудыг "баруунаас зүүн тийш" шинжлэх хэрэгтэй!

3) Эцсийн шатанд эцсийн баганыг бөглөнө үү. Энд ингэж бодоход тохиромжтой. "Хэрэв баганад хоёр нэгж байгаа бол бид нэгийг нь, бусад бүх тохиолдолд - тэг".

Эцэст нь бид үнэний хүснэгтийг шалгана эквивалент .

Санал алгебрын үндсэн эквивалентууд

Бид тэдний хоёртой дөнгөж танилцсан ч асуудал мэдээж тэднээр хязгаарлагдахгүй. Цөөн хэдэн таних тэмдэг байдаг бөгөөд би тэдгээрийн хамгийн чухал, хамгийн алдартайг нь жагсаах болно.

Коньюнкцийн солилцоо, дизъюнкцийн шилжих чадвар

Солих чадвар- энэ бол шилжих чадвар юм:

1-р ангиасаа мэддэг дүрэм: "Хүчин зүйлүүдийг дахин цэгцлэх замаар бүтээгдэхүүн (нийлбэр) өөрчлөгддөггүй (нэмдэг)". Гэхдээ энэ өмчийн бүх энгийн шинж чанарыг үл харгалзан энэ нь үргэлж үнэн байдаггүй, ялангуяа энэ нь өөрчлөгддөггүй; матрицын үржүүлэх (ерөнхийдөө тэдгээрийг дахин зохион байгуулах боломжгүй), А векторуудын вектор үржвэр- антикоммутатив (векторуудын дахин зохион байгуулалт нь тэмдгийн өөрчлөлтийг дагуулдаг).

Үүнээс гадна би энд дахин математик логикийн формализмыг онцлон тэмдэглэхийг хүсч байна. Жишээлбэл, хэллэгүүд "Оюутан шалгалтанд тэнцэж, архи уусан"Тэгээд "Оюутан архи ууж, шалгалт өгсөн"агуулгын үүднээс ялгаатай боловч албан ёсны үнэний байр сууринаас ялгагдахгүй. ...Бидний хүн бүр ийм оюутнуудыг мэддэг, ёс зүйн шалтгаанаар тодорхой нэрсийг дуугарахгүй =)

Логик үржүүлэх ба нэмэхийн холбоо

Эсвэл, хэрэв "сургуулийн хэв маяг" бол зохицуулалтын шинж чанартай бол:

Тархалтын шинж чанарууд

2-р тохиолдолд "хаалт нээх" тухай ярих нь буруу байх болно гэдгийг анхаарна уу, энэ нь "зохиомол" юм - эцэст нь тэдгээрийг бүхэлд нь арилгаж болно: , учир нь үржүүлэх нь илүү хүчтэй үйлдэл юм.

Дахин хэлэхэд эдгээр "учирхай" шинж чанарууд нь бүх алгебрийн системд биелдэггүй бөгөөд үүнээс гадна нотлох баримт шаарддаг. (энэ тухай бид тун удахгүй ярих болно). Дашрамд хэлэхэд, хоёр дахь тархалтын хууль нь манай "энгийн" алгебрт ч хүчингүй. Тэгээд үнэндээ:

Эрх чөлөөний тухай хууль

Юу хийх вэ, Латин ...

Зүгээр л эрүүл сэтгэцийн зарим зарчим: "Би, би бол би", "би эсвэл би ч бас би" =)

Мөн энд хэд хэдэн ижил төстэй таних тэмдэг байна:

...хмм, би гацаад байна... тиймээс маргааш докторын зэрэг хамгаалж магадгүй =)

Давхар үгүйсгэлийн хууль

Орос хэл дээрх жишээ эндээс харагдаж байна - "үгүй" гэсэн хоёр бөөмс нь "тийм" гэсэн утгатай гэдгийг бүгд сайн мэддэг. Мөн үгүйсгэх сэтгэл хөдлөлийн утгыг сайжруулахын тулд гурван "үгүй" үгийг ихэвчлэн ашигладаг.
- өчүүхэн нотлох баримттай ч гэсэн энэ нь ажилласан!

Шингээх хуулиуд

- "Тэнд хүү байсан уу?" =)

Зөв таних тохиолдолд хашилтыг орхиж болно.

Де Морганы хуулиуд

Хатуу багш гэж бодъё (та хэний нэрийг бас мэддэг :))шалгалт өгдөг бол - Оюутан 1-р асуултанд хариулав Тэгээд – Оюутан 2-р асуултанд хариулав. Дараа нь ийм мэдэгдэл гарсан Оюутан Үгүйшалгалтанд тэнцсэн, мэдэгдэлтэй тэнцэх болно - Оюутан Үгүй 1-р асуултанд хариулав эсвэл 2-р асуулт руу.

Дээр дурьдсанчлан, эквивалент нь нотлогдох ёстой бөгөөд үүнийг ихэвчлэн үнэний хүснэгт ашиглан хийдэг. Үнэн хэрэгтээ бид импликаци ба эквивалентыг илэрхийлдэг эквивалентуудыг аль хэдийн нотолсон бөгөөд одоо энэ асуудлыг шийдэх арга техникийг нэгтгэх цаг болжээ.

Хэн болохыг баталъя. Энэ нь нэг өгүүлбэр агуулсан тул оролтод нэг эсвэл тэг гэсэн хоёр л боломжит сонголт байна. Дараа нь бид нэг баганыг хуваарилж, тэдгээрт хэрэглэнэ дүрэм I:

Үүний үр дүнд гаралт нь томъёолол бөгөөд түүний үнэн нь мэдэгдлийн үнэнтэй давхцдаг. Тэнцүү байдал нь батлагдсан.

Тийм ээ, энэ нотолгоо нь анхдагч юм (мөн зарим нь "тэнэг" гэж хэлэх болно), гэхдээ ердийн математикийн багш түүний төлөө сэтгэлээ сэгсэрнэ. Тиймээс ийм энгийн зүйлд ч үл тоомсорлож болохгүй.

Одоо жишээ нь де Морганы хуулийн хүчинтэй эсэхийг шалгая.

Эхлээд зүүн талын үнэний хүснэгтийг байгуулъя. Салалт нь хаалтанд байгаа тул бид эхлээд үүнийг хийж, дараа нь баганыг үгүйсгэдэг.

Дараа нь баруун талын үнэний хүснэгтийг байгуулъя. Энд бас бүх зүйл ил тод байна - юуны өмнө бид "илүү хүчтэй" үгүйсгэлүүдийг хийж, дараа нь тэдгээрийг баганад хэрэглэнэ. дүрэм I:

Үр дүн нь давхцсан тул хэн болохыг нь батлав.

Аливаа эквивалентыг маягтаар илэрхийлж болно жинхэнэ томъёотой ижил байна. Энэ нь тийм гэсэн үг Анхдагч тэг болон нэгүүдийн аль ч багцад"Гарц" нь яг нэг юм. Үүний маш энгийн тайлбар бий: үнэний хүснэгтүүд давхцаж байгаа тул мэдээжийн хэрэг тэд тэнцүү байна, жишээлбэл, зүгээр л батлагдсан де Морганы ижил төстэй байдлын зүүн ба баруун талыг тэнцүү байдлаар холбоно уу.

Эсвэл илүү авсаархан:

Даалгавар 2

Дараахь тэгшитгэлүүдийг батална уу.

б)

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл. Залхуурахгүй байцгаая! Зөвхөн үнэний хүснэгт үүсгэхийг хичээгээрэй, гэхдээ бас тодорхойдүгнэлт гаргах. Би саяхан тэмдэглэсэнчлэн энгийн зүйлсийг үл тоомсорлох нь маш их үнэтэй байж болно!

Логикийн хуулиудтай үргэлжлүүлэн танилцацгаая!

Тийм ээ, энэ нь үнэхээр зөв - бид тэдэнтэй аль хэдийн шаргуу ажиллаж байна:

Үнэнцагт , дуудсан жинхэнэ томъёотой ижил байнаэсвэл логикийн хууль.

Эквивалентаас ижил үнэн томьёо руу урьд нь зөвтгөгдсөн шилжилтийн улмаас дээр дурдсан бүх таних тэмдгүүд нь логикийн хуулиудыг төлөөлдөг.

Үнэ цэнийг авдаг томьёо Худлаацагт үүнд багтсан хувьсагчдын утгын багц, дуудсан адилхан худал томъёоэсвэл зөрчилдөөн.

Эртний Грекчүүдийн зөрчилдөөний тод жишээ:
- ямар ч мэдэгдэл нэгэн зэрэг үнэн, худал байж болохгүй.

Нотолгоо нь өчүүхэн юм:

"Гаралт" нь зөвхөн тэгийг агуулдаг тул томъёо нь үнэхээр юм адилхан худал.

Гэсэн хэдий ч аливаа зөрчилдөөн нь логикийн хууль юм, тухайлбал:

Нэг өгүүлэлд ийм өргөн хүрээтэй сэдвийг хамрах боломжгүй тул би өөр хэдэн хуулиар хязгаарлах болно.

Оруулсан дундын хууль

- сонгодог логикт аливаа мэдэгдэл үнэн эсвэл худал бөгөөд гуравдахь хувилбар байдаггүй. "Байх уу, эс байх уу" гэдэг нь асуулт юм.

Үнэний тэмдгийг өөрөө хийж, үнэн эсэхийг шалгаарай яг адилхан үнэнтомъёо.

Эсрэг заалтын хууль

Энэ хуулийн мөн чанарыг хэлэлцэх үед идэвхтэй яригдсан шаардлагатай нөхцөл, бид санаж байна: "Хэрэв бороо орж байхад гадаа чийгтэй байвал гадаа хуурай бол бороо ороогүй гэсэн үг.".

Мөн энэ хуулиас харахад шударга байвал Чигээрээ теорем, дараа нь заримдаа гэж нэрлэдэг мэдэгдэл эсрэгтеорем.

Хэрэв үнэн бол урвуутеорем бол эсрэг заалтын хуулийн дагуу теорем нь бас хүчинтэй, эсрэгээрээ:

Дахин утга учиртай жишээнүүддээ эргэн оръё: мэдэгдлийн хувьд – тоо 4-т хуваагдана, – тоо 2-т хуваагданашударга ЧигээрээТэгээд эсрэгтеоремууд, гэхдээ худал урвууТэгээд эсрэгээрээтеоремууд. Пифагорын теоремын "насанд хүрсэн" томъёоллын хувьд бүх 4 "чиглэл" нь үнэн юм.

Силлогизмын хууль

Мөн энэ төрлийн сонгодог: "Бүх царс бол мод, бүх мод бол ургамал, тиймээс бүх царс бол ургамал юм.".

За, би энд дахин математикийн логикийн формализмыг тэмдэглэхийг хүсч байна: хэрвээ манай хатуу багш тодорхой Оюутан бол царс мод гэж бодож байгаа бол албан ёсны үүднээс авч үзвэл энэ оюутан бол ургамал юм =) ... Та бодоод үз л дээ, тэгвэл албан бус үүднээс ч байж магадгүй =)

Томъёоны үнэний хүснэгтийг байгуулъя. Логик үйлдлүүдийн тэргүүлэх чиглэлийн дагуу бид дараах алгоритмыг баримтална.

1) бид үр дагавар болон . Ерөнхийдөө та 3-р далд утгыг шууд хийж болно, гэхдээ энэ нь илүү тохиромжтой (мөн зөвшөөрөгдөх боломжтой!)үүнийг хэсэг хугацааны дараа ойлгох;

2) баганад хэрэглэнэ дүрэм I;

3) одоо бид гүйцэтгэж байна;

4) ба эцсийн шатанд бид багананд нөлөөллийг хэрэглэнэ Мөн .

Долоовор болон дунд хуруугаараа үйл явцыг чөлөөтэй удирдаарай :))


Сүүлийн баганаас харахад бүх зүйл тайлбаргүйгээр тодорхой байна гэж би бодож байна:
, энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.

Даалгавар 3

Дараахь томъёо нь логикийн хууль мөн эсэхийг олж мэд.

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл. Өө, би бараг мартчихаж - силлогизмын хуулийг нотлохтой яг ижил дарааллаар тэг, нэгийн анхны багцуудыг жагсаацгаая. Мэдээжийн хэрэг, мөрүүдийг дахин зохион байгуулж болно, гэхдээ энэ нь миний шийдэлтэй харьцуулахад маш хэцүү байх болно.

Логик томъёог хөрвүүлэх

"Логик" зорилгоос гадна эквивалент нь томьёог хувиргах, хялбарчлахад өргөн хэрэглэгддэг. Товчоор хэлбэл, таних тэмдгийн нэг хэсгийг нөгөөгөөр сольж болно. Жишээлбэл, хэрэв та логик томъёонд фрагменттэй таарвал идемпотентын хуулийн дагуу түүний оронд та зүгээр л бичиж болно (мөн хийх ёстой). Хэрэв та харж байгаа бол шингээлтийн хуулийн дагуу тэмдэглэгээг хялбаршуулна уу. гэх мэт.

Нэмж дурдахад өөр нэг чухал зүйл бий: таних тэмдэг нь зөвхөн энгийн мэдэгдлүүдэд төдийгүй дурын томъёонд ч хүчинтэй байдаг. Жишээлбэл:

, хаана - дурын (хүссэнээрээ нарийн төвөгтэй)томъёо.

Жишээлбэл, нарийн төвөгтэй далд утгыг өөрчилье (1-р таних тэмдэг):

Дараа нь бид "цогцолбор" де Морганы хуулийг хаалтанд хэрэглэдэг бөгөөд үйл ажиллагааны тэргүүлэх чиглэлийн улмаас энэ нь хууль юм. :

Учир нь хашилтыг арилгаж болно дотор нь "илүү хүчтэй" холбоос байдаг:

За, ерөнхийдөө шилжих чадвартай бол бүх зүйл энгийн байдаг - та юу ч тодорхойлох шаардлагагүй ... силлогизмын хуулийн талаар миний сэтгэлд ямар нэгэн зүйл шингэсэн :))

Тиймээс хуулийг илүү төвөгтэй хэлбэрээр дахин бичиж болно:

“Царс, мод, ургамалтай” гэсэн логик хэлхээг чангаар хэлвэл уг хуулийн утга агуулга нь үр дагаварыг дахин цэгцлэх замаар огт өөрчлөгдөөгүй гэдгийг ойлгох болно. Үг хэллэг нь илүү эх болсон гэдгийг эс тооцвол.

Дасгалын хувьд томъёог хялбаршуулж үзье.

Хаанаас эхлэх вэ? Юуны өмнө үйлдлүүдийн дарааллыг ойлгох хэрэгтэй: энд үгүйсгэх нь бүхэл бүтэн хаалтанд хэрэглэгддэг бөгөөд энэ нь мэдэгдэлд "бага зэрэг сул" холбоосоор "бэхлэгдсэн". Үндсэндээ бидний өмнө хоёр хүчин зүйлийн логик үр дүн байна: . Үлдсэн хоёр үйлдлээс импликац нь хамгийн бага ач холбогдолтой тул томъёо бүхэлдээ дараах бүтэцтэй байна: .

Дүрмээр бол, эхний алхам (үүд) нь тэгшитгэл, нөлөөллөөс ангижрах явдал юм (хэрэв тэд байгаа бол)томъёог гурван үндсэн логик үйлдэл болгон бууруулна. Би юу хэлэх вэ ... Логик.

(1) Бид таних тэмдгийг ашигладаг . Мөн бидний тохиолдолд.

Үүний дараа ихэвчлэн хаалт бүхий “үзүүлбэрүүд” гардаг. Эхлээд бүх шийдэл, дараа нь тайлбар. "Цөцгийн тос, цөцгийн тос" -оос зайлсхийхийн тулд би "тогтмол" тэгш байдлын тэмдгийг ашиглана:

(2) Бид Де Морганы хуулийг гадна хаалтанд хэрэглэнэ.