Тооны дохих ба нок нь хэд хэдэн тооны хамгийн их нийтлэг хуваагч ба хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм. Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM)

Ерөнхий боловсролын 5-р ангид “Олон тоо” сэдвийг судалдаг. Үүний зорилго нь бичгийн болон аман математикийн тооцооллын ур чадварыг сайжруулах явдал юм. Энэ хичээлээр "олон тоо" ба "хуваагч" гэсэн шинэ ойлголтуудыг танилцуулж, натурал тооны хуваагч ба үржвэрийг олох арга техник, LCM-ийг янз бүрийн аргаар олох чадварыг дадлагажуулж байна.

Энэ сэдэв маш чухал юм. Үүний талаархи мэдлэгийг бутархайтай жишээг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Үүнийг хийхийн тулд хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) тооцоолох замаар нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй.

А-ийн үржвэр нь А-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг бүхэл тоо юм.

Натурал тоо бүр нь хязгааргүй олон үржвэртэй байдаг. Энэ нь өөрөө хамгийн жижиг гэж тооцогддог. Үржвэр нь тооноос бага байж болохгүй.

125 тоо 5-ын үржвэр гэдгийг батлах хэрэгтэй.Үүний тулд эхний тоог хоёрт хуваах хэрэгтэй. 125 нь 5-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг бол тийм гэж хариулна.

Энэ аргыг цөөн тоонд хэрэглэнэ.

LOC-ийг тооцоолоход онцгой тохиолдол байдаг.

1. Хэрэв та 2 тооны нийтлэг үржвэрийг (жишээлбэл, 80 ба 20) олох шаардлагатай бол тэдгээрийн аль нэг нь (80) нь нөгөөдөө (20) хуваагддаг бол энэ тоо (80) эдгээрийн хамгийн бага үржвэр юм. хоёр тоо.

LCM(80, 20) = 80.

2. Хэрэв хоёрт нийтлэг хуваагч байхгүй бол тэдгээрийн LCM нь эдгээр хоёр тооны үржвэр гэж хэлж болно.

LCM(6, 7) = 42.

Сүүлийн жишээг харцгаая. 42-той холбоотой 6 ба 7 нь хуваагч юм. Тэд тооны үржвэрийг үлдэгдэлгүйгээр хуваана.

Энэ жишээнд 6 ба 7 нь хосолсон хүчин зүйлүүд юм. Тэдний бүтээгдэхүүн нь хамгийн олон тооны (42) тэнцүү байна.

Зөвхөн өөртөө эсвэл 1-д хуваагддаг тоог анхны тоо гэнэ (3:1=3; 3:3=1). Үлдсэнийг нь нийлмэл гэж нэрлэдэг.

Өөр нэг жишээ бол 9 нь 42-ын хуваагч мөн эсэхийг тодорхойлох явдал юм.

42:9=4 (үлдэгдэл 6)

Хариулт: Хариулт нь үлдэгдэлтэй тул 9 нь 42-ын хуваагч биш.

Хуваагч нь натурал тоог хуваах тоог хуваагч бөгөөд үржвэр нь өөрөө энэ тоонд хуваагддагаараа ялгаатай.

Тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч аТэгээд б, тэдгээрийн хамгийн бага үржвэрээр үржүүлбэл тоонуудын үржвэр нь өөрөө гарна аТэгээд б.

Тухайлбал: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Илүү төвөгтэй тоонуудын нийтлэг үржвэрийг дараах байдлаар олно.

Жишээлбэл, 168, 180, 3024-ийн LCM-ийг ол.

Бид эдгээр тоонуудыг энгийн хүчин зүйлд тооцож, хүч чадлын үржвэр болгон бичнэ.

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Гэхдээ олон натурал тоонууд бусад натурал тоонд хуваагддаг.

Жишээ нь:

12-ын тоо нь 1, 2, 3, 4, 6, 12-т хуваагддаг;

36 тоо нь 1-д, 2-т, 3-т, 4-т, 6-д, 12-т, 18-д, 36-д хуваагдана.

Тоо нь бүхэлд хуваагддаг тоонуудыг (12-ын хувьд эдгээр нь 1, 2, 3, 4, 6, 12) гэж нэрлэдэг. тоо хуваагч. Натурал тооны хуваагч а- өгөгдсөн тоог хуваах натурал тоо юм аул мөргүй. Хоёроос илүү хуваагчтай натурал тоог дуудна нийлмэл .

12 ба 36 тоо нь нийтлэг хүчин зүйлтэй болохыг анхаарна уу. Эдгээр тоонууд нь: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Эдгээр тоонуудын хамгийн том хуваагч нь 12. Энэ хоёр тооны нийтлэг хуваагч нь аТэгээд б- энэ нь өгөгдсөн тоог хоёуланг нь үлдэгдэлгүйгээр хуваах тоо юм аТэгээд б.

Нийтлэг үржвэрүүдхэд хэдэн тоо нь эдгээр тоо бүрт хуваагддаг тоо юм. Жишээ нь, 9, 18, 45 тоонууд нь 180-ын нийтлэг үржвэртэй. Гэхдээ 90 ба 360 нь мөн тэдний нийтлэг үржвэр юм. Бүх нийтлэг үржвэрүүдийн дунд үргэлж хамгийн бага нь байдаг бөгөөд энэ тохиолдолд 90 байна. Энэ тоог дууддаг хамгийн жижигнийтлэг олон (CMM).

LCM нь үргэлж натурал тоо бөгөөд түүний тодорхойлсон тоонуудын хамгийн томоос их байх ёстой.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM). Үл хөдлөх хөрөнгө.

Солих чадвар:

Нийгэмлэг:

Ялангуяа, хэрэв ба анхны тоонууд бол:

Хоёр бүхэл тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр мТэгээд nнь бусад бүх нийтлэг үржвэрийн хуваагч юм мТэгээд n. Түүнээс гадна нийтлэг үржвэрийн олонлог м, н LCM-ийн үржвэрийн олонлогтой давхцаж байна( м, н).

Асимптотикийг зарим тооны онолын функцээр илэрхийлж болно.

Тэгэхээр, Чебышев функц. Мөн түүнчлэн:

Энэ нь Ландау функцийн тодорхойлолт, шинж чанараас үүдэлтэй g(n).

Анхны тооны тархалтын хуулиас юу гарах вэ.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) олох.

NOC( а, б) хэд хэдэн аргаар тооцоолж болно:

1. Хэрэв хамгийн том нийтлэг хуваагч нь мэдэгдэж байгаа бол та түүний LCM-тэй холболтыг ашиглаж болно:

2. Хоёр тооны анхны үржүүлэгчид болох каноник задралыг мэдэгдье.

Хаана p 1 ,...,p k- янз бүрийн анхны тоо, ба d 1 ,...,d kТэгээд e 1 ,...,e k— сөрөг бус бүхэл тоо (харгалзах анхны тоо өргөтгөлд байхгүй бол тэг байж болно).

Дараа нь ҮОХ ( а,б)-ийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Өөрөөр хэлбэл, LCM задрал нь тоонуудын хамгийн багадаа нэг задралд багтсан бүх анхны хүчин зүйлийг агуулна. а, б, мөн энэ үржүүлэгчийн хоёр илтгэгчийн хамгийн томыг нь авна.

Жишээ:

Хэд хэдэн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолохдоо хоёр тооны LCM-ийн хэд хэдэн дараалсан тооцоолол болгон бууруулж болно.

Дүрэм.Цуврал тоонуудын LCM-ийг олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

- тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах;

- хамгийн том задралыг (өгөгдсөн хамгийн олон тооны хүчин зүйлийн үржвэр) хүссэн бүтээгдэхүүний хүчин зүйл рүү шилжүүлж, дараа нь эхний тоонд харагдахгүй эсвэл дотор нь гарч ирэх бусад тоонуудын задралаас хүчин зүйлсийг нэмнэ. цөөн удаа;

- анхны хүчин зүйлүүдийн үржвэр нь өгөгдсөн тооны LCM болно.

Аль ч хоёр ба түүнээс дээш натурал тоо нь өөрийн LCM-тэй байдаг. Хэрэв тоонууд нь бие биенийхээ үржвэр биш эсвэл тэлэлтийн үед ижил хүчин зүйл байхгүй бол тэдгээрийн LCM нь эдгээр тоонуудын үржвэртэй тэнцүү байна.

28 (2, 2, 7) тооны анхдагч хүчин зүйлсийг 3-ын хүчин зүйлээр (21 тоо) нэмсэн бөгөөд үр дүн нь (84) нь 21 ба 28-д хуваагдах хамгийн бага тоо байх болно.

Хамгийн олон тооны 30-ын анхны үржвэрүүд нь 25-ын тооны 5-р хүчин зүйлээр нэмэгддэг ба 150-ийн үржвэр нь хамгийн их тоо 30-аас их бөгөөд өгөгдсөн бүх тоонд үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана. Энэ бол өгөгдсөн бүх тоонуудын үржвэр болох хамгийн бага үржвэр (150, 250, 300...) юм.

2,3,11,37 тоонууд нь анхны тоо тул тэдгээрийн LCM нь өгөгдсөн тооны үржвэртэй тэнцүү байна.

Дүрэм. Анхны тоонуудын LCM-ийг тооцоолохын тулд та эдгээр бүх тоог хамтад нь үржүүлэх хэрэгтэй.

Өөр нэг сонголт:

Хэд хэдэн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) олохын тулд танд хэрэгтэй:

1) тоо бүрийг анхны хүчин зүйлийн үржвэр болгон төлөөлнө, жишээлбэл:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) бүх үндсэн хүчин зүйлийн хүчийг бичнэ үү.

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) эдгээр тоо тус бүрийн анхны хуваагч (үржүүлэгч) -ийг бичих;

4) эдгээр тоонуудын бүх өргөтгөлүүдээс олдсон тус бүрийн хамгийн их зэргийг сонгох;

5) эдгээр хүчийг үржүүлэх.

Жишээ. 168, 180, 3024 гэсэн тоонуудын LCM-ийг ол.

Шийдэл. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Бид бүх анхны хуваагчдын хамгийн их хүчийг бичээд үржүүлнэ.

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Хамгийн том нийтлэг хуваагч

Тодорхойлолт 2

Хэрэв а натурал тоо нь $b$ натурал тоонд хуваагддаг бол $b$-г $a$-ын хуваагч, $a$-г $b$-ын үржвэр гэнэ.

$a$ ба $b$ натурал тоо байг. $c$ тоог $a$ ба $b$ хоёрын нийтлэг хуваагч гэж нэрлэдэг.

Эдгээр хуваагчдын аль нь ч $a$-аас их байж болохгүй тул $a$ ба $b$ тоонуудын нийтлэг хуваагчдын олонлог хязгаарлагдмал байна. Энэ нь эдгээр хуваагчдын дунд хамгийн том нь байгаа гэсэн үг бөгөөд үүнийг $a$ ба $b$ тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах тэмдэглэгээгээр тэмдэглэнэ.

$GCD\(a;b)\ эсвэл \D\(a;b)$

Хоёр тооны хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олохын тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

1. 2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг ол. Үр дүнд хүрсэн тоо нь хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.

Жишээ 1

$121$ ба $132.$ тоонуудын gcd-г ол

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Эдгээр тоонуудын өргөтгөлд багтсан тоог сонгоно уу

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг ол. Үр дүнд хүрсэн тоо нь хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.

$GCD=2\cdot 11=22$

Жишээ 2

$63$ ба $81$ мономиалуудын gcd-ийг ол.

Бид танилцуулсан алгоритмын дагуу олох болно. Үүнийг хийхийн тулд:

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон авч үзье

$63=3\cdot 3\cdot 7$

81$=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Бид эдгээр тоонуудын өргөтгөлд багтсан тоонуудыг сонгоно

$63=3\cdot 3\cdot 7$

81$=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг олцгооё. Гарсан тоо нь хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.

$GCD=3\cdot 3=9$

Та хоёр тооны gcd-ийг тоо хуваагчийн багцыг ашиглан өөр аргаар олох боломжтой.

Жишээ 3

$48$ ба $60$ тоонуудын gcd-г ол.

Шийдэл:

$48$ тооны хуваагчийн олонлогийг олцгооё: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Одоо $60$ тооны хуваагчийн олонлогийг олцгооё:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) доллар

Эдгээр олонлогуудын огтлолцлыг олцгооё: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - энэ олонлог нь $48$ ба $60 тоонуудын нийтлэг хуваагчдыг тодорхойлно. доллар. Энэ багцын хамгийн том элемент нь $12$ байх болно. Энэ нь $48$ ба $60$ тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч нь $12$ гэсэн үг юм.

Чанаргүй зээлийн тодорхойлолт

Тодорхойлолт 3

Натурал тоонуудын нийтлэг үржвэрүүд$a$ ба $b$ нь $a$ ба $b$ хоёрын үржвэр болох натурал тоо юм.

Тоонуудын нийтлэг үржвэрүүд нь анхны тоонуудад үлдэгдэлгүй хуваагддаг тоонууд юм. Жишээлбэл, $25$ ба $50$ тоонуудын хувьд нийтлэг үржвэр нь $50,100,150,200$ гэх мэт тоонууд байх болно.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг хамгийн бага нийтлэг үр гэж нэрлэх ба LCM$(a;b)$ эсвэл K$(a;b)$ гэж тэмдэглэнэ.

Хоёр тооны LCM-ийг олохын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

1. Хүчин зүйлийн тоог анхны хүчин зүйл болгох
2. Эхний тооны нэг хэсэг болох хүчин зүйлсийг бичээд, хоёр дахь тоонд багтахгүй, эхний тоонд хамаарахгүй хүчин зүйлсийг нэмж бич.

Жишээ 4

$99$ ба $77$ тоонуудын LCM-ийг ол.

Бид танилцуулсан алгоритмын дагуу олох болно. Үүний төлөө

Хүчин зүйлийн тоог анхны хүчин зүйл болгох

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Эхний хэсэгт орсон хүчин зүйлсийг бич

тэдэнд эхнийх биш харин хоёр дахь хэсэг болох үржүүлэгчийг нэмнэ

2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг ол. Үр дүнд нь хүссэн хамгийн бага нийтлэг үржвэр болно

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Тоон хуваагчдын жагсаалтыг гаргах нь ихэвчлэн маш их хөдөлмөр шаарддаг ажил юм. Евклидийн алгоритм гэж нэрлэгддэг GCD-ийг олох арга бий.

Евклидийн алгоритм дээр үндэслэсэн мэдэгдлүүд:

Хэрэв $a$ ба $b$ нь натурал тоо бөгөөд $a\vdots b$ бол $D(a;b)=b$

Хэрэв $a$ ба $b$ нь натурал тоонууд бол $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$-г ашигласнаар бид аль нэг нь нөгөөдөө хуваагдах хос тоонд хүрэх хүртэл авч үзэж буй тоонуудыг дараалан багасгаж болно. Дараа нь эдгээр тоонуудаас бага нь $a$ ба $b$ тоонуудын хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч байх болно.

GCD болон LCM-ийн шинж чанарууд

1. $a$ ба $b$-ын аливаа нийтлэг үржвэр нь K$(a;b)$-д хуваагдана
2. Хэрэв $a\vdots b$ бол К$(a;b)=a$

Хэрэв K$(a;b)=k$ ба $m$ натурал тоо бол K$(am;bm)=km$

Хэрэв $d$ нь $a$ ба $b$-ийн нийтлэг хуваагч бол K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

Хэрэв $a\vdots c$ болон $b\vdots c$ бол $\frac(ab)(c)$ нь $a$ ба $b$-н нийтлэг үржвэр болно.

$a$ ба $b$ ямар ч натурал тоонуудын хувьд тэнцүү байна

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ ба $b$ тоонуудын нийтлэг хуваагч нь $D(a;b)$ тооны хуваагч юм.

Үржвэр гэдэг нь өгөгдсөн тоонд үлдэгдэлгүй хуваагдах тоог хэлнэ. Бүлгийн тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM) нь бүлгийн тоо бүрт үлдэгдэл үлдээлгүй хуваагддаг хамгийн бага тоо юм. Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохын тулд өгөгдсөн тооны анхны үржвэрүүдийг олох хэрэгтэй. LCM-ийг хоёр ба түүнээс дээш тооны бүлэгт хамаарах өөр хэд хэдэн аргыг ашиглан тооцоолж болно.

Алхам

Үржвэрийн цуврал

Эдгээр тоонуудыг хараарай.Энд тайлбарласан аргыг тус бүр нь 10-аас бага хоёр тоо өгсөн тохиолдолд ашиглах нь хамгийн тохиромжтой. Хэрэв илүү том тоо өгөгдсөн бол өөр аргыг хэрэглээрэй.

• Жишээлбэл, 5 ба 8-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол. Эдгээр нь жижиг тоо тул та энэ аргыг ашиглаж болно.

1. Үржвэр гэдэг нь өгөгдсөн тоонд үлдэгдэлгүй хуваагдах тоог хэлнэ. Үржүүлэх хүснэгтээс үржвэрийг олж болно.

   • Жишээлбэл, 5-ын үржвэр болох тоонууд нь: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Эхний тооны үржвэр болох хэд хэдэн тоог бич.Хоёр багц тоог харьцуулахын тулд эхний тооны үржвэрийн дор үүнийг хий.

   • Жишээлбэл, 8-ын үржвэр болох тоонууд нь: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64.

3. Хоёр үржвэрийн олонлогт байгаа хамгийн бага тоог ол.Нийт тоог олохын тулд үржвэрийн урт цуваа бичих хэрэгтэй болж магадгүй. Хоёр үржвэрийн олонлогт байгаа хамгийн бага тоо нь хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.

   • Жишээлбэл, 5 ба 8-ын үржвэрийн цувралд гарч буй хамгийн бага тоо нь 40. Иймээс 40 нь 5 ба 8-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.

   Ерөнхий хүчин зүйлчлэл

   1. Эдгээр тоонуудыг хараарай.Энд тайлбарласан аргыг тус бүр нь 10-аас их гэсэн хоёр тоо өгөхөд илүү тохиромжтой. Хэрэв бага тоо өгөгдсөн бол өөр аргыг хэрэглэнэ.

      • Жишээлбэл, 20 ба 84 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол. Тоо бүр 10-аас их тул та энэ аргыг ашиглаж болно.

   2. Эхний тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваа.Өөрөөр хэлбэл, үржүүлснээр өгөгдсөн тоо гарах тийм анхны тоог олох хэрэгтэй. Үндсэн хүчин зүйлсийг олсны дараа тэдгээрийг тэнцүү гэж бич.

      • Жишээлбэл, 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2) ) \ дахин 10 = 20)Тэгээд 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\удаа (\mathbf (5) )=10). Ингээд 20-ийн тооны анхдагч хүчин зүйлүүд нь 2, 2, 5 гэсэн тоонууд юм. Тэдгээрийг илэрхийлэл болгон бич: .

   3. Хоёр дахь тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваа.Үүнийг эхний тоог үржүүлсэнтэй ижил аргаар хий, өөрөөр хэлбэл үржүүлснээр өгөгдсөн тоог гаргах анхны тоог ол.

      • Жишээлбэл, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ дахин 42=84), 7 × 6 = 42 (\ Displaystyle (\ mathbf (7) ) \ дахин 6 = 42)Тэгээд 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\удаа (\mathbf (2) )=6). Иймд 84-ийн тооны анхдагч хүчин зүйлүүд нь 2, 7, 3, 2 тоонууд юм. Тэдгээрийг илэрхийлэл болгон бич: .

   4. Хоёр тоонд нийтлэг хүчин зүйлсийг бич.Үржүүлэх үйлдэл гэх мэт хүчин зүйлсийг бич. Хүчин зүйл бүрийг бичихдээ хоёр илэрхийлэлд (тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваахыг тайлбарласан илэрхийлэл) зурж зур.

      • Жишээлбэл, хоёр тоо нь 2-ын нийтлэг хүчин зүйлтэй тул бичээрэй 2 × (\displaystyle 2\ дахин)мөн хоёр илэрхийлэл дэх 2-ыг таслана.
      • Хоёр тооны нийтлэг зүйл бол 2-ын өөр хүчин зүйл тул бичээрэй 2 × 2 (\displaystyle 2\ дахин 2)мөн хоёр дахь илэрхийлэлд хоёр дахь 2-ыг таслана.

   5. Үлдсэн хүчин зүйлсийг үржүүлэх үйл ажиллагаанд нэмнэ.Эдгээр нь хоёр илэрхийлэлд хасагдаагүй хүчин зүйлүүд, өөрөөр хэлбэл хоёр тоонд нийтлэг биш хүчин зүйлүүд юм.

      • Жишээлбэл, илэрхийлэлд 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ 2\ дахин 5)Хоёр (2) хоёулаа нийтлэг хүчин зүйл учраас хасагдсан байна. 5-ын хүчин зүйлийг хасаагүй тул үржүүлэх үйлдлийг дараах байдлаар бичнэ үү. 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 2\ дахин 2\ дахин 5)
      • Илэрхийлэлд 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ Displaystyle 84 = 2 \ дахин 7 \ 3 \ дахин 2)хоёулаа хоёуланг нь (2) зурсан байна. 7 ба 3-р хүчин зүйлсийг хасаагүй тул үржүүлэх үйлдлийг дараах байдлаар бичнэ үү. 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\ дахин 2\ дахин 5\ дахин 7\ дахин 3).

   6. Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоол.Үүнийг хийхийн тулд бичгээр үржүүлэх үйлдлээр тоонуудыг үржүүлнэ.

      • Жишээлбэл, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ Displaystyle 2 \ дахин 2 \ 5 \ 7 \ дахин 3 = 420). Тэгэхээр 20 ба 84-ийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 420 байна.

   Нийтлэг хүчин зүйлсийг олох

   1. Тик-так-тое тоглоом шиг тор зур.Ийм тор нь өөр хоёр зэрэгцээ шугамтай огтлолцох (зөв өнцгөөр) хоёр зэрэгцээ шугамаас бүрдэнэ. Энэ нь танд гурван мөр, гурван багана өгөх болно (сүлжээ нь # дүрстэй маш төстэй харагдаж байна). Эхний мөр, хоёр дахь баганад эхний тоог бичнэ. Эхний мөр, гурав дахь баганад хоёр дахь тоог бичнэ үү.

      • Жишээ нь: 18 ба 30 гэсэн тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.18-ын тоог эхний мөр, хоёр дахь баганад, 30-ын тоог эхний мөр, гуравдугаар баганад бич.

   2. Хоёр тооны нийтлэг хуваагчийг ол.Үүнийг эхний мөр, эхний баганад бичнэ үү. Үндсэн хүчин зүйлсийг хайх нь илүү дээр юм, гэхдээ энэ нь шаардлага биш юм.

      • Жишээлбэл, 18 ба 30 нь тэгш тоо тул тэдгээрийн нийтлэг хүчин зүйл нь 2. Тиймээс эхний мөр, эхний баганад 2 гэж бичнэ үү.

   3. Тоо бүрийг эхний хуваагчаар хуваа.Тохиромжтой тоон доор категори бүрийг бич. Хоёр тоог хуваах үр дүн нь хуваалт юм.

      • Жишээлбэл, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), тиймээс 18-аас доош 9 гэж бичнэ.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), тиймээс 30-аас доош 15-ыг бич.

   4. Аль аль хэсэгт нийтлэг хуваагчийг ол.Хэрэв ийм хуваагч байхгүй бол дараагийн хоёр алхамыг алгасах хэрэгтэй. Үгүй бол хоёр дахь мөр, эхний баганад хуваагчийг бичнэ.

      • Жишээлбэл, 9 ба 15 нь 3-т хуваагддаг тул хоёр дахь мөр, эхний баганад 3 гэж бичнэ.

   5. Хэсэг бүрийг хоёр дахь хуваагчаар нь хуваа.Хуваалтын үр дүн бүрийг харгалзах хуваалтын доор бичнэ үү.

      • Жишээлбэл, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), тиймээс 9-ээс доош 3 гэж бичнэ.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), тиймээс 15-аас доош 5 гэж бичнэ.

   6. Шаардлагатай бол сүлжээнд нэмэлт нүд нэмнэ.Хэмжилтүүд нийтлэг хуваагчтай болтол тайлбарласан алхмуудыг давтана.

   7. Сүлжээний эхний багана ба сүүлчийн эгнээнд байгаа тоонуудыг дугуйл.Дараа нь сонгосон тоонуудыг үржүүлэх үйлдэл болгон бич.

      • Жишээлбэл, эхний баганад 2 ба 3 тоонууд, сүүлчийн мөрөнд 3 ба 5 тоонууд байгаа тул үржүүлэх үйлдлийг дараах байдлаар бичнэ үү. 2 × 3 × 3 × 5 (\ displaystyle 2\ дахин 3 \ дахин 3 \ дахин 5).

   8. Тоонуудыг үржүүлсний үр дүнг ол.Энэ нь өгөгдсөн хоёр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох болно.

      • Жишээлбэл, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ Displaystyle 2 \ дахин 3 \ дахин 3 \ дахин 5 = 90). Тэгэхээр 18 ба 30-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 90 байна.

   Евклидийн алгоритм

   1. Хуваах үйл ажиллагаатай холбоотой нэр томъёог санаарай.Ногдол ашиг нь хуваагдаж байгаа тоо юм. Хуваагч нь хуваагдаж буй тоо юм. Хоёр тоог хуваах үр дүн нь хуваалт юм. Үлдэгдэл гэдэг нь хоёр тоог хуваахад үлдсэн тоо юм.

      • Жишээлбэл, илэрхийлэлд 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 бол ногдол ашиг
        6 нь хуваагч юм
        2 нь коэффициент юм
        3 нь үлдсэн.

Натурал тоонд хуваагдах шалгуур.

2-т үлдэгдэлгүй хуваагддаг тоонуудыг дууднабүр .

2-т тэгш хуваагддаггүй тоонуудыг дууднахачин .

2-т хуваагдах эсэхийг шалгах

Хэрэв натурал тоо тэгш оронтой тоогоор төгссөн бол энэ тоо 2-т үлдэгдэлгүй хуваагдана, хэрэв тоо сондгой цифрээр төгссөн бол энэ тоо 2-т тэгш хуваагдахгүй.

Жишээлбэл, 6 тоо0 , 30 8 , 8 4 2-т үлдэгдэлгүй хуваагддаг ба тоонууд нь 51 , 8 5 , 16 7 2-т үлдэгдэлгүйгээр хуваагдахгүй.

3-т хуваагдах эсэхийг шалгах

Хэрэв тооны цифрүүдийн нийлбэр нь 3-т хуваагддаг бол тухайн тоо 3-т хуваагдана; Хэрэв тухайн тооны цифрүүдийн нийлбэр 3-т хуваагдахгүй бол тухайн тоо 3-т хуваагдахгүй.

Жишээ нь 2772825 тоо 3-т хуваагдах эсэхийг олж мэдье.Үүний тулд энэ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг бодъё: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - 3-т хуваагдах. Энэ нь 2772825 тоо нь 3-т хуваагддаг гэсэн үг юм.

5-д хуваагдах тест

Хэрэв натурал тооны бичлэг 0 эсвэл 5 цифрээр төгссөн бол энэ тоо 5-д үлдэгдэлгүй хуваагдана. Хэрэв тухайн тооны бичлэг өөр цифрээр төгссөн бол 5-т үлдэгдэлгүй хуваагдахгүй.

Жишээлбэл, тоо 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 5-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг ба тоонууд нь 17 , 37 8 , 9 1 бүү хуваалц.

9-д хуваагдах тест

Хэрэв тооны цифрүүдийн нийлбэр 9-д хуваагддаг бол тухайн тоо 9-д хуваагдана; Хэрэв тухайн тооны цифрүүдийн нийлбэр 9-д хуваагдахгүй бол тухайн тоо 9-д хуваагдахгүй.

Жишээ нь: 5402070 тоо 9-д хуваагдах эсэхийг олж мэдье.Үүний тулд энэ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг бодъё: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - 9-д хуваагдахгүй 5402070 тоо 9-д хуваагддаггүй гэсэн үг.

10-д хуваагдах тест

Хэрэв натурал тоо 0 цифрээр төгссөн бол энэ тоо 10-д үлдэгдэлгүй хуваагдана. Хэрэв натурал тоо өөр цифрээр төгссөн бол 10-т тэгш хуваагдахгүй.

Жишээлбэл, 4 тоо0 , 17 0 , 1409 0 10-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг ба тоонууд нь 17 , 9 3 , 1430 7 - бүү хуваалц.

Хамгийн их нийтлэг хуваагчийг (GCD) олох дүрэм.

Хэд хэдэн натурал тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олохын тулд та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй.

2) эдгээр тоонуудын аль нэгийг өргөтгөхөд багтсан хүчин зүйлсээс бусад тоонуудын өргөтгөлд ороогүй зүйлийг хасах;

3) үлдсэн хүчин зүйлсийн үржвэрийг ол.

Жишээ. GCD-г олцгооё (48;36). Дүрмийг ашиглая.

1. 48 ба 36 тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болгон авч үзье.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. 48-ын тооны өргөтгөлд орсон хүчин зүйлсээс бид 36-ын тоог өргөтгөхөд ороогүй хүчин зүйлсийг хасна.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Үлдсэн хүчин зүйлүүд нь 2, 2, 3 байна.

3. Үлдсэн хүчин зүйлсийг үржүүлээд 12-г ол.Энэ тоо нь 48 ба 36 тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч юм.

GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) олох дүрэм.

Хэд хэдэн натурал тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

1) тэдгээрийг үндсэн хүчин зүйл болгон тооцох;

2) тоонуудын аль нэгийг өргөтгөхөд орсон хүчин зүйлсийг бичих;

3) үлдсэн тоонуудын өргөтгөлөөс дутуу хүчин зүйлсийг нэмж оруулах;

4) үүсэх хүчин зүйлсийн үржвэрийг ол.

Жишээ. LOC (75;60) -ийг олъё. Дүрмийг ашиглая.

1. 75 ба 60 тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болгон авч үзье.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. 75 тооны тэлэлтэд хамаарах хүчин зүйлсийг бичье: 3, 5, 5.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Тэдэнд 60-ийн тооны тэлэлтээс алга болсон хүчин зүйлсийг нэмнэ үү, i.e. 2, 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Үүссэн хүчин зүйлсийн үржвэрийг ол

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.