Олон шинж чанараараа урвуутай төстэй.

Урвуу матрицын шинж чанарууд

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Хаана det (\displaystyle \\det)тодорхойлогчийг илэрхийлдэг.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))хоёр квадрат урвуу матрицын хувьд A (\displaystyle A)Тэгээд B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Хаана (... .) T (\displaystyle (...)^(T))шилжүүлсэн матрицыг илэрхийлнэ.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))аливаа коэффициентийн хувьд k ≠ 0 (\displaystyle k\ =0 биш).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай бол (b нь тэг биш вектор) энд x (\displaystyle x)нь хүссэн вектор бөгөөд хэрэв A − 1 (\displaystyle A^(-1))байдаг, тэгвэл x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Үгүй бол шийдлийн орон зайн хэмжээ тэгээс их байна, эсвэл шийдэл огт байхгүй.

Сэдвийн талаархи видео

Урвуу матрицыг олох аргууд

Хэрэв матриц урвуу бол урвуу матрицыг олохын тулд та дараах аргуудын аль нэгийг ашиглаж болно.

Яг (шууд) аргууд

Жордан-Гаусын арга

Хоёр матрицыг авч үзье: the Аба ганц бие Э. Матрицыг танилцуулъя АГаусс-Жорданы аргыг ашиглан мөрийн дагуу хувиргалтыг ашиглан таних матриц руу оруулна (та баганын дагуух хувиргалтыг бас ашиглаж болно). Эхний матрицад үйлдэл бүрийг хэрэглэсний дараа хоёр дахь матрицад ижил үйлдлийг хийнэ. Эхний матрицыг нэгж хэлбэрт буулгаж дуусахад хоёр дахь матриц нь тэнцүү болно A−1.

Гауссын аргыг ашиглах үед эхний матрицыг зүүн талд нь энгийн матрицуудын аль нэгээр үржүүлнэ. Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(нэг байрлалаас бусад нь үндсэн диагональ дээр байгаа хөндлөн огтлол эсвэл диагональ матриц):

Бүх үйлдлийг хэрэгжүүлсний дараа хоёр дахь матриц нь тэнцүү байх болно Λ (\displaystyle \Lambda), энэ нь хүссэн зүйл байх болно. Алгоритмын нарийн төвөгтэй байдал - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Алгебрийн нэмэлт матрицыг ашиглах

Матрицын урвуу матриц A (\displaystyle A), хэлбэрээр төлөөлж болно

Хаана adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- залгаа матриц (шилжүүлсэн матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэгдлүүдээс бүрдэх матриц).

Алгоритмын нарийн төвөгтэй байдал нь тодорхойлогч O det-ийг тооцоолох алгоритмын нарийн төвөгтэй байдлаас хамаарах ба O(n²)·O det-тэй тэнцүү байна.

LU/LUP задралыг ашиглах

Матрицын тэгшитгэл A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))урвуу матрицын хувьд X (\displaystyle X)цуглуулга гэж үзэж болно n (\displaystyle n)хэлбэрийн системүүд A x = b (\displaystyle Ax=b). гэж тэмдэглэе би (\displaystyle i)матрицын багана X (\displaystyle X)дамжуулан X i (\displaystyle X_(i)); Дараа нь A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n), учир нь би (\displaystyle i)матрицын багана I n (\displaystyle I_(n))нэгж вектор юм e i (\displaystyle e_(i)). өөрөөр хэлбэл урвуу матрицыг олох нь ижил матрицтай, баруун гар тал нь өөр өөр n тэгшитгэлийг шийдэхэд хүрдэг. LUP задралыг (O(n³) хугацаа) хийсний дараа n тэгшитгэл бүрийг шийдвэрлэхэд O(n²) хугацаа шаардагдах тул ажлын энэ хэсэгт мөн O(n³) хугацаа шаардагдана.

Хэрэв А матриц нь ганц бие биш бол түүнд зориулж LUP задралыг тооцоолж болно P A = L U (\displaystyle PA=LU). Болъё P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Дараа нь урвуу матрицын шинж чанаруудаас бид дараахь зүйлийг бичиж болно. D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Хэрэв та энэ тэгшитгэлийг U ба L-ээр үржүүлбэл та хэлбэрийн хоёр тэгшитгэлийг авч болно U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))Тэгээд D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Эдгээр тэгшитгэлүүдийн эхнийх нь n² шугаман тэгшитгэлийн систем юм n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))баруун талууд нь мэдэгдэж байгаа (гурвалжин матрицын шинж чанараас). Хоёр дахь нь мөн n² шугаман тэгшитгэлийн системийг төлөөлдөг n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))баруун тал нь мэдэгдэж байгаа (мөн гурвалжин матрицын шинж чанараас). Тэд хамтдаа n² тэгш байдлын системийг төлөөлдөг. Эдгээр тэгш байдлыг ашиглан бид D матрицын бүх n² элементийг рекурсив аргаар тодорхойлж болно. Дараа нь тэгшитгэлээс (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. тэгш байдлыг олж авна. A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

LU задралыг ашиглах тохиолдолд D матрицын багануудыг солих шаардлагагүй, гэхдээ А матриц ганц биш байсан ч шийдэл нь зөрөөтэй байж болно.

Алгоритмын нарийн төвөгтэй байдал нь O(n³) юм.

Давталтын аргууд

Шульцын аргууд

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\эхлэх(тохиолдлууд)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_() k+1)=U_(k)\нийлбэр _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\төгсгөл(тохиолдлууд)))

Алдааны тооцоо

Анхны ойролцоо тооцоог сонгох

Энд авч үзсэн давталттай матрицын урвуу процессын анхны ойролцооллыг сонгох асуудал нь тэдгээрийг жишээлбэл матрицын LU задралд суурилсан шууд инверцийн аргуудтай өрсөлдөх бие даасан бүх нийтийн арга гэж үзэх боломжийг бидэнд олгодоггүй. Сонгох зарим зөвлөмжүүд байдаг U 0 (\displaystyle U_(0)), нөхцөлийн биелэлтийг хангах ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (матрицын спектрийн радиус нь нэгдлээс бага) бөгөөд энэ нь процессыг нэгтгэхэд шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм. Гэсэн хэдий ч, энэ тохиолдолд, нэгдүгээрт, урвуу матрицын спектрийн тооцооллыг дээрээс мэдэх шаардлагатай. A A T (\displaystyle AA^(T))(жишээлбэл, хэрэв А нь тэгш хэмт эерэг тодорхой матриц ба ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), дараа нь та авч болно U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\альфа )E), Хаана; хэрэв А нь дурын ганц биш матриц ба ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), дараа нь тэд итгэдэг U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\альфа )A^(T)), бас хаана α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \left(0,(\frac (2)(\бета ))\баруун)); Мэдээжийн хэрэг та нөхцөл байдлыг хялбаршуулж, давуу талыг ашиглаж болно ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\маткал (k))AA^(T)(\маткал (k))), тавих U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Хоёрдугаарт, анхны матрицыг ийм байдлаар зааж өгөхөд баталгаа байхгүй ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)жижиг байх болно (магадгүй энэ нь бүр болж хувирах болно ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), мөн нийлэх хурдны өндөр дарааллыг шууд илрүүлэхгүй.

Матриц гэдэг нь тэгш өнцөгт тооны хүснэгт хэлбэрээр бичигдсэн математик объект бөгөөд түүнтэй ижил төстэй объектуудын хооронд алгебрийн үйлдлүүд (нэмэх, хасах, үржүүлэх гэх мэт) хийх боломжийг олгодог. Матрицууд дээр үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дүрмийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.

шугаман тэгшитгэлийн системийг бичихэд тохиромжтой болгох. Ихэвчлэн матрицыг латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэж, "(...)" хаалтаар тусгаарладаг (мөн олдсон)

дөрвөлжин хаалтаар “[…], давхар шулуун шугамаар “||…||”) тодруулсан ба матрицыг (матрицын элементүүд) бүрдүүлдэг тоонуудыг матрицтай ижил үсгээр тэмдэглэсэн боловч жижиг. матрицын элемент бүр 2 дэд тэмдэгттэй (a ij) - эхний "i" нь тэмдэглэнэ

элемент байрлаж буй эгнээний дугаар, хоёр дахь "j" нь баганын дугаар юм.

Матриц дээрх үйлдлүүд

А матрицыг тоогоор үржүүлэх

В матрицын элемент бүрийг энэ тоогоор үржүүлснээр элементүүдийг олж авдаг, өөрөөр хэлбэл В матрицын элемент бүр нь тэнцүү байна.

b ij= λ a ij

Матрицын нэмэлт А

С матрицын элемент нь тэнцүү байна

c ij= a ij+ b ij

Матрицыг хасах А

c ij= a ij- b ij

A + Θ = A

Матрицын үржүүлэх(тэмдэглэгээ: AB, үржүүлэх тэмдэг багатай) - элементүүд нь эхний хүчин зүйлийн харгалзах мөр ба баганын элементүүдийн бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү C матрицыг тооцоолох үйлдэл юм. хоёрдугаарт.

c ij= ∑ a ikb kj

Эхний хүчин зүйл нь хоёр дахь мөрийн тоотой ижил тооны баганатай байх ёстой. Хэрэв А матриц нь B - хэмжээстэй бол тэдгээрийн үржвэрийн хэмжээ нь AB = C байна

Байна. Матрицын үржүүлэх нь солигддоггүй. Хэрэв матрицууд дөрвөлжин биш бол зөвхөн нэгийг нь нөгөөгөөр нь үржүүлж болно, харин эсрэгээр нь үржүүлж болохгүй гэдгийг эндээс харж болно. Учир нь

квадрат матрицын үржүүлгийн үр дүн нь хүчин зүйлийн дарааллаас хамаарна.

Зөвхөн дөрвөлжин матрицуудыг зэрэглэлд шилжүүлж болно.

Таних матриц

Квадрат матрицын хувьд байдаг таних матриц E тийм ямар ч үржвэр

үүн дээрх матриц нь үр дүнд нөлөөлөхгүй, тухайлбал

EA = AE = A

Таних матрицын хувьд нэгжүүд нь зөвхөн тэнцүү байна

диагональ, бусад элементүүд нь тэг байна

Зарим дөрвөлжин матрицын хувьд гэж нэрлэгддэг зүйлийг олж болноурвуу матриц.

Урвуу матриц A - 1 нь матрицыг түүгээр үржүүлбэл таних матрицыг авна.

AA − 1 = E

Урвуу матриц үргэлж байдаггүй. Урвуу нь байгаа матрицуудыг дуудна

доройтдоггүй, харин доройтдог хүмүүсийн хувьд - доройтдог. Хэрэв бүх мөрүүд (баганууд) векторын хувьд шугаман бие даасан байвал матриц нь ганц бие биш юм. Шугаман бие даасан мөрүүдийн хамгийн их тоо

(баганууд) матрицын зэрэглэл гэж нэрлэдэг. Матрицын тодорхойлогч нь матрицын эгнээн дээрх нормчлогдсон хазайлттай тэгш хэмтэй шугаман функц юм. Матриц

тодорхойлогч нь тэг байвал л доройтно.

Матрицын шинж чанарууд

1. A + (B +C) = (A +B) +C

2. A + B= B+ A

3. A (BC) = (AB)C

4. A (B+ C) = AB+ AC

5. (B+ C) A= BA+ CA

9. Симметрик матрицА нь эерэг тодорхой (A > 0) бөгөөд хэрэв түүний бүх үндсэн өнцгийн жижиг хэсгүүд нь A k > 0 утгатай бол

10. Симметрик матрицА нь сөрөг тодорхой (А< 0), если матрица (−A )

эерэг тодорхой, өөрөөр хэлбэл, хэрэв аль нэг k-ийн хувьд k-р зэрэглэлийн үндсэн минор нь A k тэмдэгтэй бол (− 1)k

Шугаман тэгшитгэлийн системүүд

n үл мэдэгдэх m тэгшитгэлийн систем

a11 x1 +a12 x2 +…+a1n xn =b1 a21 x1 +a22 x2 +…+a2n xn =b2

am x1 +am x2 +…+am xn =bm

матриц хэлбэрээр илэрхийлж болно

тэгээд бүхэл системийг ингэж бичиж болно: AX = B

Матриц дээрх үйлдлүүд

a ij нь А матрицын элементүүд, b ij нь В матрицын элементүүд байг.

А матрицыг тоогоор үржүүлэхλ (тэмдэг: λA) нь матриц байгуулахаас бүрдэнэ

А матрицын элемент бүрийг энэ тоогоор үржүүлснээр олж авсан B, өөрөөр хэлбэл В матрицын элемент бүр b ij = λa ij-тэй тэнцүү байна.

А матрицыг бичье

А матрицын эхний элементийг 2-оор үржүүлнэ

Матрицын нэмэлт А+ B нь бүх элементүүд нь А ба В матрицын харгалзах бүх элементүүдийн хосын нийлбэртэй тэнцүү байх С матрицыг олох үйл ажиллагаа юм.

С матрицын элемент нь тэнцүү байна

c ij= a ij+ b ij

A+B А ба В матрицуудыг бичье

Матрицын эхний элементүүдийн нэмэх үйлдлийг хийцгээе

Эхлээд хэвтээ, дараа нь босоо (эсвэл эсрэгээр) утгуудыг сунгацгаая.

Матрицыг хасах А− B нь нэмэхтэй адил тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь элементүүд нь С матрицыг олох үйлдэл юм

c ij= a ij- b ij

Зөвхөн ижил хэмжээтэй матрицад нэмэх, хасах үйлдлийг зөвшөөрдөг.

Тэг матриц Θ байгаа бөгөөд үүнийг өөр А матрицад нэмэхэд А нь өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл

A + Θ = A

Тэг матрицын бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байна.

Тиймээс, матрицыг онлайнаар шийдвэрлэх үйлчилгээ:

Матрицтай ажиллах үйлчилгээ нь матрицын үндсэн хувиргалтыг хийх боломжийг олгодог.
Хэрэв танд илүү төвөгтэй өөрчлөлт хийх даалгавар байгаа бол энэ үйлчилгээг бүтээгч болгон ашиглах хэрэгтэй.

Жишээ. Өгөгдсөн матрицууд АТэгээд Б, олох хэрэгтэй C = А -1 * Б + БТ,

1. Та эхлээд олох хэрэгтэй урвуу матрицA1 = А-1, урвуу матрицыг олох үйлчилгээг ашиглах;
2. Дараа нь бид матрицыг олсны дараа A1хийцгээе матрицын үржүүлэхА2 = A1 * Бматрицыг үржүүлэх үйлчилгээг ашиглан;
3. Үүнийг хийцгээе матрицын шилжүүлэгA3 = Б T (шилжүүлсэн матрицыг олох үйлчилгээ);
4. Эцэст нь матрицуудын нийлбэрийг олъё ХАМТ = А2 + A3(матрицын нийлбэрийг тооцоолох үйлчилгээ) - бид хамгийн нарийвчилсан шийдлийн хариултыг авдаг!;

Матрицын бүтээгдэхүүн

Энэ бол онлайн үйлчилгээ юм хоёр алхам:

• Эхний хүчин зүйлийн матрицыг оруулна уу А
• Хоёрдахь хүчин зүйлийн матриц эсвэл баганын векторыг оруулна уу Б

Матрицыг вектороор үржүүлэх

Матрицыг вектороор үржүүлэхийг үйлчилгээг ашиглан олж болно Матрицын үржүүлэх
(Эхний хүчин зүйл нь энэ матриц, хоёр дахь хүчин зүйл нь энэ векторын элементүүдээс бүрдэх багана байх болно)

Энэ бол онлайн үйлчилгээ юм хоёр алхам:

• Матрицыг оруулна уу А, үүний тулд бид урвуу матрицыг олох хэрэгтэй
• Урвуу матрицыг олох нарийвчилсан шийдлийн хариултыг аваарай

Матрицын тодорхойлогч

Энэ бол онлайн үйлчилгээ юм нэг алхам:

• Матрицыг оруулна уу А, үүний тулд бид матрицын тодорхойлогчийг олох хэрэгтэй

Матрицын шилжүүлэг

Эндээс та матрицыг шилжүүлэх алгоритмыг дагаж, ижил төстэй асуудлуудыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжтой.
Энэ бол онлайн үйлчилгээ юм нэг алхам:

• Матрицыг оруулна уу А, үүнийг шилжүүлэх ёстой

Матрицын зэрэглэл

Энэ бол онлайн үйлчилгээ юм нэг алхам:

• Матрицыг оруулна уу А, үүний тулд та зэрэглэлийг олох хэрэгтэй

Матрицын хувийн утга ба матрицын хувийн векторууд

Энэ бол онлайн үйлчилгээ юм нэг алхам:

• Матрицыг оруулна уу А, үүний тулд та хувийн вектор ба хувийн утгыг олох хэрэгтэй (хувь утга)

Матрицын экспоненциал

Энэ бол онлайн үйлчилгээ юм хоёр алхам:

• Матрицыг оруулна уу А, та үүнийг эрх мэдэлд хүргэх болно
• Бүхэл тоо оруулна уу q- зэрэг

Заавар. Онлайнаар шийдэхийн тулд та тэгшитгэлийн төрлийг сонгож, харгалзах матрицуудын хэмжээг тохируулах хэрэгтэй.

Жишээ №1. Дасгал хийх. Матрицын тэгшитгэлийн шийдийг ол
Шийдэл. гэж тэмдэглэе:
Дараа нь матрицын тэгшитгэлийг A·X·B = C хэлбэрээр бичнэ.
А матрицын тодорхойлогч нь detA=-1-тэй тэнцүү
А нь ганц биш матриц учраас урвуу матриц A -1 байна. Зүүн талд байгаа тэгшитгэлийн хоёр талыг А -1-ээр үржүүлнэ: Зүүн талд байгаа тэгшитгэлийн хоёр талыг А -1, баруун талд B -1-ээр үржүүлнэ: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . A A -1 = B B -1 = E ба E X = X E = X учраас X = A -1 C B -1

Урвуу матриц A -1:
В -1 урвуу матрицыг олъё.
Хөрвүүлсэн матриц B T:
Урвуу матриц B -1:
Бид X матрицыг дараах томъёогоор хайдаг: X = A -1 ·C·B -1

Хариулт:

Жишээ №2. Дасгал хийх.Матрицын тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл. гэж тэмдэглэе:
Дараа нь матрицын тэгшитгэлийг A·X = B хэлбэрээр бичнэ.
А матрицын тодорхойлогч нь detA=0 байна
А нь дан матриц (тодорхойлогч нь 0) тул тэгшитгэлд шийдэл байхгүй.

Жишээ №3. Дасгал хийх. Матрицын тэгшитгэлийн шийдийг ол
Шийдэл. гэж тэмдэглэе:
Дараа нь матрицын тэгшитгэлийг X A = B хэлбэрээр бичнэ.
А матрицын тодорхойлогч нь detA=-60 байна
А нь ганц биш матриц учраас урвуу матриц A -1 байна. Баруун талд байгаа тэгшитгэлийн хоёр талыг A -1-ээр үржүүлье: X A A -1 = B A -1, эндээс X = B A -1 болохыг олж мэдье.
А -1 урвуу матрицыг олъё.
Шилжүүлсэн матриц A T:
Урвуу матриц A -1:
Бид X матрицыг дараах томъёогоор хайдаг: X = B A -1


Хариулт: >

Урвуу матриц- тийм матриц А −1 , аль нь үржүүлбэл анхны матриц Аүр дүнд хүргэдэг таних матриц Э:

Квадрат матрицзөвхөн доройтоогүй тохиолдолд л буцах боломжтой, өөрөөр хэлбэл түүний тодорхойлогчтэгтэй тэнцүү биш. Квадрат бус матрицын хувьд ба ганц бие матрицуудурвуу матриц байхгүй. Гэхдээ энэ ойлголтыг ерөнхийд нь нэгтгэж, нэвтрүүлэх боломжтой псевдоурвуу матрицууд, олон шинж чанараараа урвуутай төстэй.

Матрицын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Матрицын тэгшитгэлүүд дараах байдлаар харагдаж болно.

AX = B, HA = B, AXB = C,

Энд A, B, C нь заасан матрицууд, X нь хүссэн матриц юм.

Матрицын тэгшитгэлийг урвуу матрицаар үржүүлэх замаар шийддэг.

Жишээлбэл, тэгшитгэлээс матрицыг олохын тулд та энэ тэгшитгэлийг зүүн талд үржүүлэх хэрэгтэй.

Иймд тэгшитгэлийн шийдийг олохын тулд урвуу матрицыг олж, тэгшитгэлийн баруун талд байгаа матрицаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Бусад тэгшитгэлийг ижил аргаар шийддэг.

Жишээ 2

AX = B тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл: Урвуу матриц нь тэнцүү тул (1-р жишээг үзнэ үү)

Шугаман орон зай

Шугаман орон зайн тодорхойлолт

Болъё В- хоосон бус олонлог (бид түүний элементүүдийг вектор гэж нэрлээд ... гэж тэмдэглэнэ), үүнд дүрмүүд бий:

1) дурын хоёр элемент нь элементүүдийн нийлбэр (дотоод ажиллагаа) гэж нэрлэгддэг гурав дахь элементтэй тохирч байна;

2) хүн бүр тодорхой элементтэй тохирдог (гадаад үйл ажиллагаа).

Олон ВХэрэв аксиомууд хангагдсан бол бодит шугаман (вектор) орон зай гэж нэрлэнэ.

I.

III. (тэг элемент ийм ).

IV. (элементийн эсрэг талын элемент), ийм

В.

VIII. Нарийн төвөгтэй шугаман орон зайг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог (орондР C).

авч үзэж байна

Шугаман орон зайн дэд орон зай ВОлонлогийг шугаман орон зайн дэд орон зай гэж нэрлэдэг

1)

, Хэрэв: Шугаман сансрын вектор систем Л хэлбэрүүд суурь Шугаман сансрын вектор систем В Шугаман сансрын вектор систем хэрэв энэ векторын систем дараалалтай бол шугаман хамааралгүй ба дурын вектор

системийн вектороор шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, векторуудын шугаман бие даасан эрэмбэлэгдсэн систем 1 , ..., Өөрөөр хэлбэл, векторуудын шугаман бие даасан эрэмбэлэгдсэн систем д n Шугаман сансрын вектор систем -д үндэс суурийг бүрдүүлдэг Хэрэв ямар нэгэн вектор x Шугаман сансрын вектор систем -аас

Хэрэв ямар нэгэн векторхэлбэрээр танилцуулж болно Өөрөөр хэлбэл, векторуудын шугаман бие даасан эрэмбэлэгдсэн систем= C 1 · 1 +C 2·e д · Өөрөөр хэлбэл, векторуудын шугаман бие даасан эрэмбэлэгдсэн систем д .

2 + ...+С

Үндэслэлийг өөрөөр тодорхойлж болно. Өөрөөр хэлбэл, векторуудын шугаман бие даасан эрэмбэлэгдсэн систем 1 , ..., Өөрөөр хэлбэл, векторуудын шугаман бие даасан эрэмбэлэгдсэн систем дАливаа дараалсан шугаман бие даасан систем векторууд n- Шугаман сансрын вектор систем д хэмжээст шугаман орон зай

энэ орон зайн үндэс суурийг бүрдүүлдэг. дУчир нь Шугаман сансрын вектор систем д , орон зайн хэмжээ Хэрэв ямар нэгэн вектор,Өөрөөр хэлбэл, векторуудын шугаман бие даасан эрэмбэлэгдсэн систем 1 , ..., Өөрөөр хэлбэл, векторуудын шугаман бие даасан эрэмбэлэгдсэн систем дорон зайн шугаман бие даасан векторуудын хамгийн их тоо, дараа нь векторуудын систем Хэрэв ямар нэгэн векторшугаман хамааралтай ба тэгэхээр вектор Өөрөөр хэлбэл, векторуудын шугаман бие даасан эрэмбэлэгдсэн систем 1 , ..., Өөрөөр хэлбэл, векторуудын шугаман бие даасан эрэмбэлэгдсэн систем д :

Хэрэв ямар нэгэн вектор = Хэрэв ямар нэгэн векторвектороор шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ Өөрөөр хэлбэл, векторуудын шугаман бие даасан эрэмбэлэгдсэн систем 1 + Хэрэв ямар нэгэн вектор 2 1 +C 2 2 + ...+ Хэрэв ямар нэгэн вектор д · Өөрөөр хэлбэл, векторуудын шугаман бие даасан эрэмбэлэгдсэн систем д .

1 · Суурийн хувьд векторын энэ задрал.

зөвхөн Теорем 1. (Шугаман бие даасан болон үүсгэгч вектор системийн векторын тооны тухай.) Аливаа шугаман бие даасан векторын системийн векторын тоо нь ижил векторуудын аль ч үүсгэгч системийн векторын тооноос ихгүй байна.вектор

орон зай.

Баталгаа. Дурын шугаман бие даасан векторуудын системийг дурын үүсгэгч систем гэж үзье. Ингэж бодъё. Учир нь үүсгэх систем бол энэ нь орон зайн дурын вектор, түүний дотор векторыг төлөөлдөг. Үүнийг энэ системд холбоно. Бид шугаман хамааралтай, үүсгэгч векторын системийг олж авдаг.

. Дараа нь энэ системийн өмнөх векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлэгдсэн энэ системийн вектор байгаа бөгөөд леммын тусламжтайгаар үүнийг системээс хасах боломжтой бөгөөд үлдсэн векторын систем нь үүсгэгдсэн хэвээр байх болно. Үлдсэн векторуудын системийг дахин дугаарлая:

Дараа нь бүх зүйл давтагдана. Энэ системд өмнөх үзүүлэлтүүдээр шугаман илэрхийлэгдсэн вектор байдаг бөгөөд энэ нь вектор байж болохгүй, учир нь анхны систем нь шугаман хамааралгүй бөгөөд векторыг вектороор шугаман байдлаар илэрхийлдэггүй. Энэ нь зөвхөн векторуудын нэг байж болно гэсэн үг юм. Үүнийг системээс устгаснаар бид дахин дугаарласны дараа үүсгэгч систем болох системийг олж авна. Энэ процессыг үргэлжлүүлж, алхам алхмаар бид векторуудын үүсгэгч системийг олж авна: , хаана, учир нь бидний таамагласнаар. Энэ нь энэ систем нь генераторын хувьд мөн векторыг төлөөлдөг гэсэн үг бөгөөд энэ нь системийн шугаман бие даасан байдлын нөхцөлтэй зөрчилддөг.

Теорем 1 батлагдсан.

Теорем 2. (Суурь дахь векторуудын тоон дээр.) Аливаа вектор суурь дээр зайижил тооны векторуудыг агуулна.

Баталгаа. Вектор орон зайн дурын хоёр суурь ба байг. Аливаа суурь нь шугаман бие даасан, үүсгэгч векторын систем юм.

Учир нь Эхний систем нь шугаман хамааралгүй, хоёр дахь нь үүсгэдэг, тэгвэл теорем 1-ийн дагуу.

Үүний нэгэн адил хоёр дахь систем нь шугаман хамааралгүй бөгөөд эхнийх нь үүсгэгч, дараа нь . Үүний дараагаар гэх мэт.

Теорем 2 батлагдсан.

Энэ теоремдараах тодорхойлолтыг оруулах боломжийг танд олгоно.

Тодорхойлолт. K талбар дээрх V вектор орон зайн хэмжээс нь түүний суурь дахь векторуудын тоо юм.

Тэмдэглэл: эсвэл .

Вектор координат- цорын ганц боломжтой коэффициент шугаман хослол үндсэн векторуудсонгосон хэсэгт координатын систем, энэ вектортой тэнцүү.