Синус (sin x) ба косинус (cos x) тригонометрийн функцүүдийн талаархи лавлагаа мэдээлэл. Геометрийн тодорхойлолт, шинж чанар, график, томьёо. Синус ба косинусын хүснэгт, дериватив, интеграл, цуваа тэлэлт, секант, косекант. Нарийн төвөгтэй хувьсагчаар дамжуулан илэрхийлсэн илэрхийллүүд. Гиперболик функцуудтай холболт.

Синус ба косинусын геометрийн тодорхойлолт

|BD|- нэг цэг дээр төвтэй тойргийн нумын урт А.
α - радианаар илэрхийлсэн өнцөг.

Тодорхойлолт
Синус (нүгэл α)нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд эсрэг талын хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |BC| гипотенузын уртыг |AC|.

Косинус (cos α)нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд зэргэлдээх хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |AB| гипотенузын уртыг |AC|.

Зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ

;
;
.

;
;
.

Синусын функцийн график, y = sin x

Косинусын функцийн график, y = cos x

Синус ба косинусын шинж чанарууд

Үе үе

y = функцууд гэм хба у = cos xүетэй үе үе 2π.

Паритет

Синусын функц нь сондгой юм. Косинусын функц тэгш байна.

Тодорхойлолт ба утгын домэйн, экстремум, өсөлт, бууралт

Синус болон косинусын функцууд нь тодорхойлолтын муждаа, өөрөөр хэлбэл бүх x-ийн хувьд тасралтгүй байдаг (тасралтгүй байдлын баталгааг үзнэ үү). Тэдний үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв (n - бүхэл тоо).

Үндсэн томъёо

Синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр

Нийлбэр ба ялгавараас синус ба косинусын томъёо

;
;

Синус ба косинусын үржвэрийн томъёо

Нийлбэр ба ялгааны томъёо

Косинусаар дамжуулан синусыг илэрхийлэх

;
;
;
.

Косинусыг синусаар илэрхийлэх

;
;
;
.

Шүргэгчээр илэрхийлэх

; .

Хэзээ, бидэнд байна:
; .

:
; .

Синус ба косинус, тангенс ба котангентын хүснэгт

Энэ хүснэгтэд аргументийн тодорхой утгуудын синус ба косинусын утгыг харуулав.

Нарийн төвөгтэй хувьсагчаар дамжуулан илэрхийлсэн илэрхийллүүд

;

Эйлерийн томъёо

{ -∞ < x < +∞ }

Секант, косекант

Урвуу функцууд

Синус ба косинусын урвуу функцууд нь арксин ба арккосинус юм.

Арксин, арксин

Арккосин, аркос

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.

Улсын нэгдсэн шалгалт 4? Та аз жаргалдаа умбахгүй гэж үү?

Асуулт нь тэдний хэлснээр сонирхолтой юм ... Энэ нь боломжтой, 4-тэй тэнцэх боломжтой! Үүний зэрэгцээ хагарахгүй байх ... Гол нөхцөл нь тогтмол дасгал хийх явдал юм. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын үндсэн бэлтгэлийг энд оруулав. Сурах бичгээс уншихгүй Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх нууц, нууцуудтай хамт ... Энэ хэсгийг судалж, янз бүрийн эх сурвалжаас илүү олон даалгавруудыг шийдээрэй - тэгвэл бүх зүйл бүтнэ! Энэ нь үндсэн хэсэг гэж таамаглаж байна "A C танд хангалттай!" энэ нь танд ямар ч асуудал үүсгэхгүй. Гэхдээ хэрэв гэнэт ... Холбоосуудыг дагаж, залхуурах хэрэггүй!

Мөн бид гайхалтай, аймшигтай сэдвээр эхлэх болно.

Тригонометр

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
555-р тусгай хэсгийн материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Энэ сэдэв нь оюутнуудад маш их асуудал үүсгэдэг. Энэ нь хамгийн хүнд хэлбэрийн нэг гэж тооцогддог. Синус ба косинус гэж юу вэ? Тангенс ба котангенс гэж юу вэ? Тоон тойрог гэж юу вэ?Эдгээр хор хөнөөлгүй асуултуудыг асуухад л тэр хүн цонхийж, яриаг өөр тийш нь өөрчлөхийг оролддог ... Гэвч дэмий хоосон. Эдгээр нь энгийн ойлголтууд юм. Мөн энэ сэдэв бусдаас илүү хэцүү биш юм. Та эдгээр асуултын хариултыг эхнээс нь тодорхой ойлгох хэрэгтэй. Энэ нь маш чухал юм. Хэрэв та ойлговол тригонометрт дуртай байх болно. Тэгэхээр,

Синус ба косинус гэж юу вэ? Тангенс ба котангенс гэж юу вэ?

Эрт дээр үеэс эхэлцгээе. Санаа зоволтгүй, бид 15 минутын дотор 20 зууны турш тригонометрийг даван туулж, үүнийг анзааралгүйгээр 8-р ангиасаа геометрийн хэсгийг давтах болно.

Хажуу талуудтай тэгш өнцөгт гурвалжинг зуръя a, b, cболон өнцөг X. Энэ байна.

Тэгш өнцөг үүсгэсэн талуудыг хөл гэж нэрлэдэг гэдгийг сануулъя. а ба в- хөл. Тэдний хоёр нь бий. Үлдсэн талыг гипотенуз гэж нэрлэдэг. -тай- гипотенуз.

Гурвалжин ба гурвалжин, зүгээр л бодоорой! Түүнтэй юу хийх вэ? Гэхдээ эртний хүмүүс юу хийхээ мэддэг байсан! Тэдний үйлдлийг давтъя. Хажуу талыг нь хэмжиж үзье В. Зураг дээр улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварт гардаг шиг нүдийг тусгайлан зурсан байна. Хажуу тал Вдөрвөн нүдтэй тэнцүү. БОЛЖ БАЙНА УУ. Хажуу талыг нь хэмжиж үзье А.Гурван эс.

Одоо хажуугийн уртыг хувааж үзье Ахажуугийн урт бүрт В. Эсвэл тэдний хэлснээр хандлагыг авч үзье Аруу В. a/v= 3/4.

Эсрэгээр нь хувааж болно Вдээр А.Бид 4/3-ийг авдаг. Чадах Вхуваах -тай.Гипотенуз -тайЭнэ нь нүдээр тоолох боломжгүй, гэхдээ энэ нь 5-тай тэнцүү. Бид авдаг өндөр чанартай= 4/5. Товчхондоо, та талуудын уртыг бие биенээсээ хувааж, хэдэн тоо гаргаж болно.

Тэгээд юу гэж? Энэ сонирхолтой үйл ажиллагааны утга учир юу вэ? Одоохондоо алга. Шулуухан хэлэхэд утгагүй дасгал.)

Одоо үүнийг хийцгээе. Гурвалжинг томруулж үзье. Хажуу талыг нь сунгацгаая дотор болон хамт, гэхдээ гурвалжин тэгш өнцөгт хэвээр байх болно. Булан Xмэдээж өөрчлөгдөхгүй. Үүнийг харахын тулд хулганаа зурган дээр аваачиж эсвэл дарна уу (хэрэв танд таблет байгаа бол). Намууд a, b ба cболж хувирна м, н, к, мөн мэдээжийн хэрэг, талуудын урт өөрчлөгдөх болно.

Гэхдээ тэдний харилцаа тийм биш юм!

Хандлага a/vбайсан: a/v= 3/4, болсон м/н= 6/8 = 3/4. Бусад холбогдох талуудын харилцаа ч мөн адил өөрчлөгдөхгүй . Та тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын уртыг хүссэнээрээ өөрчлөх, нэмэгдүүлэх, багасгах, x өнцгийг өөрчлөхгүйгээр – холбогдох талуудын харилцаа өөрчлөгдөхгүй . Та үүнийг шалгаж болно, эсвэл эртний хүмүүсийн үгийг авч болно.

Гэхдээ энэ нь аль хэдийн маш чухал юм! Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын харьцаа нь талуудын уртаас (ижил өнцгөөр) ямар ч байдлаар хамаардаггүй. Энэ нь талуудын хоорондын харилцаа өөрийн гэсэн тусгай нэрийг олж авсан нь маш чухал юм. Таны нэрс, тэгж яривал.) Надтай уулзаарай.

x өнцгийн синус хэд вэ ? Энэ нь эсрэг талын гипотенузын харьцаа юм.

sinx = a/c

x өнцгийн косинус хэд вэ ? Энэ нь зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаа юм.

-тайosx= өндөр чанартай

Тангенс x гэж юу вэ ? Энэ нь эсрэг талын зэргэлдээ талын харьцаа юм:

tgx =a/v

x өнцгийн котангенс хэд вэ ? Энэ нь зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа юм:

ctgx = v/a

Бүх зүйл маш энгийн. Синус, косинус, тангенс, котангенс нь зарим тоо юм. Хэмжээгүй. Зүгээр л тоо. Өнцөг бүр өөрийн гэсэн онцлогтой.

Би яагаад бүх зүйлийг уйтгартай давтаж байна вэ? Тэгвэл энэ юу вэ санах хэрэгтэй. Үүнийг санах нь чухал. Цээжлэх ажлыг хөнгөвчлөх боломжтой. "Алсаас эхэлцгээе ..." гэсэн хэллэг танил болсон уу? Тиймээс холоос эхэл.

Синусөнцөг нь харьцаа юм алс холхөлний өнцгөөс гипотенуз хүртэл. Косинус– хөрш ба гипотенузын харьцаа.

Тангенсөнцөг нь харьцаа юм алс холхөлний өнцгөөс ойрын өнцөг хүртэл. Котангенс- эсрэгээрээ.

Энэ нь илүү хялбар, тийм үү?

Хэрэв та шүргэгч ба котангенст зөвхөн хөл байдаг, синус ба котангент дээр гипотенуз гарч ирдэг гэдгийг санаж байвал бүх зүйл маш энгийн болно.

Энэ бүхэл бүтэн гэр бүлийг синус, косинус, тангенс, котангенс гэж нэрлэдэг тригонометрийн функцууд.

Одоо авч үзэх асуулт байна.

Яагаад бид синус, косинус, тангенс, котангенс гэж хэлдэг вэ? булан?Талуудын харилцааг яриад байгаа юм шиг... Үүнд ямар хамаатай юм бэ? булан?

Хоёр дахь зургийг харцгаая. Эхнийхтэй яг адилхан.

Зурган дээр хулганаа хулганаа ав. Би өнцгийг өөрчилсөн X. -аас нэмэгдүүлсэн x-ээс x хүртэл.Бүх харилцаа өөрчлөгдсөн! Хандлага a/v 3/4 байсан ба харгалзах харьцаа t/v 6/4 болсон.

Мөн бусад бүх харилцаа өөр болсон!

Тиймээс талуудын харьцаа нь тэдгээрийн уртаас (нэг өнцгөөр x) ямар ч байдлаар хамаардаггүй, харин яг энэ өнцгөөс эрс хамаардаг! Зөвхөн түүнээс.Иймээс синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн нэр томъёог хэлнэ булан.Энд байгаа өнцөг нь гол зүйл юм.

Өнцөг нь түүний тригонометрийн функцтэй салшгүй холбоотой гэдгийг тодорхой ойлгох ёстой. Өнцөг бүр өөрийн гэсэн синус ба косинустай. Мөн бараг бүх хүн өөрийн шүргэгч, котангенстай байдаг.Энэ нь чухал юм. Хэрэв бидэнд өнцөг өгвөл түүний синус, косинус, тангенс, котангенс гэж үздэг бид мэднэ ! Мөн эсрэгээр. Синус эсвэл бусад тригонометрийн функцийг өгвөл бид өнцгийг мэддэг гэсэн үг юм.

Өнцөг бүрийн хувьд тригонометрийн функцийг тайлбарласан тусгай хүснэгтүүд байдаг. Тэдгээрийг Брадисын ширээ гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг маш удаан хугацаанд эмхэтгэсэн. Тооны машин, компьютер байхгүй байхад...

Мэдээжийн хэрэг, бүх өнцгийн тригонометрийн функцийг санах боломжгүй юм. Та тэдгээрийг зөвхөн цөөн хэдэн өнцгөөс нь мэдэх шаардлагатай, дараа нь энэ талаар дэлгэрэнгүй ярих болно. Гэхдээ шившлэг Би өнцгийг мэддэг, энэ нь би түүний тригонометрийн функцийг мэддэг гэсэн үг юм" -үргэлж ажилладаг!

Тиймээс бид 8-р ангиасаа геометрийн хэсгийг давтлаа. Улсын нэгдсэн шалгалтанд хэрэгтэй юу? Шаардлагатай. Улсын нэгдсэн шалгалтын ердийн асуудал энд байна. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд 8-р анги хангалттай. Өгөгдсөн зураг:

Бүгд. Өөр өгөгдөл алга. Бид онгоцны хажуугийн уртыг олох хэрэгтэй.

Эсүүд нэг их тус болохгүй, гурвалжин нь ямар нэг байдлаар буруу байрлалтай.... Зориулалтын хувьд, би таамаглаж байна ... Мэдээллийн дагуу гипотенузын урт байдаг. 8 эс. Яагаад ч юм өнцөг өгсөн.

Энд та тригонометрийн талаар нэн даруй санах хэрэгтэй. Өнцөг байдаг бөгөөд энэ нь бид түүний бүх тригонометрийн функцийг мэддэг гэсэн үг юм. Бид дөрвөн функцийн алийг нь ашиглах ёстой вэ? Харцгаая, бид юу мэддэг вэ? Бид гипотенуз ба өнцгийг мэддэг ч олох хэрэгтэй зэргэлдэээнэ булан руу катетер! Косинусыг ажиллуулах шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтой! Энд байна. Бид зүгээр л косинусын тодорхойлолтоор бичдэг (харьцаа зэргэлдээхөл нь гипотенуз руу):

cosC = BC/8

Бидний C өнцөг нь 60 градус, косинус нь 1/2. Та үүнийг ямар ч хүснэгтгүйгээр мэдэх хэрэгтэй! Тэр бол:

1/2 = МЭӨ/8

Анхан шатны шугаман тэгшитгэл. Үл мэдэгдэх - Нар. Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мартсан хүмүүс холбоосыг хараарай, бусад нь шийднэ.

BC = 4

Эртний хүмүүс өнцөг бүр өөрийн гэсэн тригонометрийн функцтэй байдгийг мэдээд тэдэнд үндэслэлтэй асуулт гарч ирэв. Синус, косинус, тангенс, котангенс нь хоорондоо ямар нэгэн байдлаар холбоотой байдаг уу?Нэг өнцгийн функцийг мэдсэнээр бусдыг нь олох боломжтой юу? Өнцгийг өөрөө тооцоолохгүйгээр?

Тэд маш тайван бус байсан ...)

Нэг өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарал.

Мэдээжийн хэрэг, ижил өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс нь хоорондоо холбоотой байдаг. Илэрхийллийн хоорондох аливаа холболтыг математикт томъёогоор өгдөг. Тригонометрт асар олон тооны томъёо байдаг. Гэхдээ энд бид хамгийн энгийн зүйлийг авч үзэх болно. Эдгээр томъёог дараах байдлаар нэрлэдэг. үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг.Тэд энд байна:

Та эдгээр томъёог сайтар мэдэх хэрэгтэй. Тэдгээргүйгээр тригонометрт ерөнхийдөө хийх зүйл байхгүй. Эдгээр үндсэн таних тэмдгүүдээс өөр гурван туслах таних тэмдэг гарч ирдэг:

Сүүлийн гурван томъёо таны ой санамжаас хурдан унадаг гэдгийг би шууд анхааруулж байна. Зарим шалтгааны улмаас.) Мэдээжийн хэрэг, та эдгээр томъёог эхний гурваас гаргаж болно. Гэхдээ хэцүү үед ... Та ойлгож байна.)

Доорхтой адил стандарт асуудлуудад эдгээр мартагдах томъёоноос зайлсхийх арга зам байдаг. БА алдааг эрс багасгахмартамхайн улмаас, мөн тооцоололд ч гэсэн. Энэ дасгалыг "Ижил өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарал" хичээлийн 555-р хэсэгт оруулсан болно.

Тригонометрийн үндсэн таних тэмдгүүдийг ямар даалгаварт, хэрхэн ашигладаг вэ? Хамгийн түгээмэл даалгавар бол өөр нэг өнцгийн функц өгөгдсөн бол олох явдал юм. Улсын нэгдсэн шалгалтад ийм даалгавар жилээс жилд байдаг.) ​​Жишээ нь:

x нь хурц өнцөг, cosx=0.8 бол sinx-ийн утгыг ол.

Даалгавар нь бараг энгийн зүйл юм. Бид синус болон косинус агуулсан томъёог хайж байна. Энд томъёо байна:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Бид энд мэдэгдэж буй утгыг, тухайлбал косинусын оронд 0.8-ыг орлуулж байна:

нүгэл 2 х + 0.8 2 = 1

За, бид ердийнхөөрөө тоолно:

нүгэл 2 х + 0.64 = 1

нүгэл 2 x = 1 - 0.64

Энэ бол бараг бүх зүйл. Бид синусын квадратыг тооцоолсон, зөвхөн квадрат язгуурыг гаргаж авахад л үлдсэн бөгөөд хариулт бэлэн боллоо! 0.36-ийн үндэс нь 0.6 байна.

Даалгавар нь бараг энгийн зүйл юм. Гэхдээ “бараг” гэдэг үг учир шалтгаантай... Баримт нь sinx= - 0.6 гэсэн хариулт бас тохирно... (-0.6) 2 бас 0.36 болно.

Хоёр өөр хариулт байна. Мөн танд нэг хэрэгтэй. Хоёр дахь нь буруу. Яаж байх вэ!? Тиймээ, ердийнхөөрөө.) Даалгаврыг анхааралтай уншина уу. Зарим шалтгааны улмаас энэ нь: ... Хэрэв x нь хурц өнцөг бол ...Мөн даалгаврууд дээр үг бүр утгатай байдаг, тиймээ ... Энэ хэллэг нь шийдлийн нэмэлт мэдээлэл юм.

Хурц өнцөг нь 90 ° -аас бага өнцөг юм. Мөн ийм булангуудад Бүгдтригонометрийн функцууд - синус, косинус, котангенстай шүргэгч - эерэг.Тэдгээр. Бид зүгээр л сөрөг хариултыг энд хаядаг. Бидэнд эрх бий.

Үнэндээ наймдугаар ангийн хүүхдүүдэд ийм нарийн ширийн зүйл хэрэггүй. Тэд зөвхөн тэгш өнцөгт гурвалжинтай ажилладаг бөгөөд булан нь зөвхөн хурц өнцөгтэй байж болно. 1000°-ын сөрөг өнцөг, өнцөг хоёулаа байдгийг тэд мэдэхгүй, баяртай... Мөн эдгээр бүх аймшигт өнцгүүд өөрийн гэсэн тригонометрийн функцтэй, нэмэх, хасах аль аль нь байдаг ...

Гэхдээ ахлах сургуулийн сурагчдын хувьд тэмдгийг харгалзахгүйгээр - ямар ч боломжгүй. Маш их мэдлэг нь уй гашууг үржүүлдэг, тийм ээ ...) Мөн зөв шийдлийн хувьд нэмэлт мэдээлэл нь даалгаварт заавал байх ёстой (хэрэв шаардлагатай бол). Жишээлбэл, үүнийг дараах оруулгад өгч болно.

Эсвэл өөр аргаар. Та доорх жишээнүүдээс харах болно.) Ийм жишээг шийдэхийн тулд та мэдэх хэрэгтэй Өгөгдсөн x өнцөг аль дөрөвний нэгд багтах ба энэ улиралд хүссэн тригонометрийн функц ямар тэмдэгтэй байна вэ?

Тригонометрийн эдгээр үндсийг тригонометрийн тойрог гэж юу болох, энэ тойрог дээрх өнцгийн хэмжилт, өнцгийн радиан хэмжүүр зэрэг хичээлүүдэд авч үзнэ. Заримдаа та синусуудын хүснэгт, тангенс ба котангентын косинусыг мэдэх хэрэгтэй.

Тиймээс, хамгийн чухал зүйлийг тэмдэглэе:

Практик зөвлөмжүүд:

1. Синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг санаарай. Энэ нь маш ашигтай байх болно.

2. Бид тодорхой ойлгодог: синус, косинус, тангенс, котангенс нь өнцөгтэй нягт холбоотой байдаг. Бид нэг зүйлийг мэддэг бөгөөд энэ нь өөр нэг зүйлийг мэддэг гэсэн үг юм.

3. Бид тодорхой ойлгодог: нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс нь тригонометрийн үндсэн таних тэмдгүүдээр хоорондоо холбоотой байдаг. Бид нэг функцийг мэддэг бөгөөд энэ нь (хэрэв бидэнд шаардлагатай нэмэлт мэдээлэл байгаа бол) бусад бүх функцийг тооцоолж чадна гэсэн үг юм.

Одоо ердийнхөөрөө шийдье. Нэгдүгээрт, 8-р ангийн хүрээнд хийх даалгавар. Гэхдээ ахлах сургуулийн сурагчид ч үүнийг хийж чадна ...)

1. ctgA = 0.4 бол tgA-ийн утгыг тооцоол.

2. β нь тэгш өнцөгт гурвалжин дахь өнцөг юм. sinβ = 12/13 бол tanβ-ийн утгыг ол.

3. tgх = 4/3 бол цочмог өнцгийн синусыг тодорхойл.

4. Илэрхийллийн утгыг ол:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Илэрхийллийн утгыг ол:

(1-cosx)(1+cosx), хэрэв sinx = 0.3

Хариултууд (цэг таслалаар тусгаарлагдсан, эмх замбараагүй):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Болсон уу? Агуу их! Наймдугаар ангийнхан аль хэдийн А үнэлгээгээ авах боломжтой.)

Бүх зүйл болсонгүй гэж үү? Даалгавар 2, 3 нь ямар нэг байдлаар тийм ч сайн биш байна ...? Асуудалгүй! Ийм даалгаварт зориулсан нэг сайхан техник байдаг. Бүх зүйлийг томъёололгүйгээр бараг шийдэж болно! Тиймээс, алдаагүй. Энэ аргыг 555-р хэсэгт "Нэг өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарал" хичээлд тайлбарласан болно. Бусад бүх ажлыг мөн тэнд шийддэг.

Эдгээр нь Улсын нэгдсэн шалгалт гэх мэт асуудлууд байсан боловч хасагдсан хувилбартай байсан. Улсын нэгдсэн шалгалт - гэрэл). Одоо бараг ижил даалгавар, гэхдээ бүрэн форматтай. Мэдлэгт ачаалал ихтэй ахлах сургуулийн сурагчдад зориулсан.)

6. sinβ = 12/13 бол tanβ-ийн утгыг ол, ба

7. tgх = 4/3, x нь интервалд (- 540°; - 450°) хамаарах бол sinхыг тодорхойл.

8. ctgβ = 1 бол sinβ cosβ илэрхийллийн утгыг ол.

Хариултууд (эмх замбараагүй):

0,8; 0,5; -2,4.

Энд 6-р бодлогод өнцгийг маш тодорхой заагаагүй байна... Харин 8-р бодлогод огт заагаагүй байна! Энэ бол зориудаар). Нэмэлт мэдээллийг зөвхөн даалгавараас гадна толгойноос авдаг.) ​​Гэхдээ хэрэв та шийдсэн бол нэг зөв даалгавар баталгаатай болно!

Хэрэв та шийдээгүй бол яах вэ? Хмм... За 555-р хэсэг энд тусална. Тэнд эдгээр бүх даалгаврын шийдлүүдийг нарийвчлан тайлбарласан байгаа тул ойлгохгүй байх нь хэцүү байдаг.

Энэ хичээл нь тригонометрийн функцүүдийн талаар маш хязгаарлагдмал ойлголтыг өгдөг. 8-р ангидаа. Мөн ахмадуудад асуулт байсаар байна...

Жишээлбэл, хэрэв өнцөг X(энэ хуудасны хоёр дахь зургийг хар) - үүнийг тэнэг болго!? Гурвалжин бүрэн нурах болно! Тэгэхээр бид яах ёстой вэ? Хөл байхгүй, гипотенуз байхгүй болно ... Синус алга болсон ...

Хэрэв эртний хүмүүс энэ байдлаас гарах арга замыг олоогүй бол бид одоо гар утас, зурагт, цахилгаангүй байх байсан. Тийм тийм! Тригонометрийн функцгүй эдгээр бүх зүйлийн онолын үндэс нь саваагүйгээр тэг юм. Гэвч эртний хүмүүс урам хугарсангүй. Тэд хэрхэн гарсан талаар дараагийн хичээл дээр.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, надад танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Википедиагийн материал - үнэгүй нэвтэрхий толь

Тригонометрийн функцууд- тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг авч үзэхэд түүхэнд үүссэн энгийн функцууд бөгөөд эдгээр гурвалжны талуудын гипотенуз дахь хурц өнцгөөс хамаарлыг илэрхийлсэн (эсвэл үүнтэй адилаар хөвч ба өндрийн тойрог дахь төв өнцгөөс (нуман) хамааралтай). Эдгээр функцууд нь шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Дараа нь тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг өргөжүүлсэн бөгөөд тэдгээрийн аргумент нь одоо дурын бодит эсвэл бүр нарийн төвөгтэй тоо байж болно. Тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарыг судалдаг шинжлэх ухааныг тригонометр гэж нэрлэдэг.

Тригонометрийн функцууд нь:

Шууд тригонометрийн функцууд

• синус ( $\backslash sin\; x$)
• косинус ( $\backslash cos\; x$)

• шүргэгч ( $\backslash mathrm(tg)\backslash ,\; x$)
• котангенс ( $\backslash mathrm(ctg)\backslash ,\; x$)

• секант ( $\backslash сек\; х$)
• косекант ( $\backslash матрм(косек)\backslash ,\; x$)

Барууны уран зохиолд тангенс, котангенс, косекант гэж тэмдэглэсэн байдаг $\backslash tan\; x,\; \backslash cot\; x,\; \backslash csc\; x$.

Эдгээр зургаагаас гадна зарим нэг ховор хэрэглэгддэг тригонометрийн функцууд (версин гэх мэт), мөн урвуу тригонометрийн функцууд (нумын синус, нуман косинус гэх мэт) тус тусад нь өгүүллээр авч үзэх болно.

Бодит аргументийн синус ба косинус нь үе үе ба хязгааргүй бодит үнэ цэнэтэй функцууд юм. Бодит тэнхлэг дээрх үлдсэн дөрвөн функц нь мөн бодит үнэ цэнэтэй, үечилсэн бөгөөд тодорхойлолтын хүрээнд хязгааргүй ялгаатай боловч тасралтгүй биш юм. Тангенс ба секант нь цэгүүдэд хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байдаг $\backslash pm\; \backslash pi\; n\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(2)$, мөн котангенс ба косекант цэгүүд дээр байна $\backslash pm\backslash pi\; n$.
Тригонометрийн функцүүдийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 1.

Тодорхойлох аргууд

Геометрийн тодорхойлолт

Ихэвчлэн тригонометрийн функцийг геометрийн аргаар тодорхойлдог. Хавтгай дээр декартын координатын системийг өгөөд радиустай тойрог байгуулъя $Р$гарал үүсэл дээр төвлөрсөн $О$. Аливаа өнцгийг x тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс зарим туяа руу эргүүлэх гэж үзэж болно $О.Б.$, харин цагийн зүүний эсрэг эргэх чиглэлийг эерэг, цагийн зүүний эсрэг чиглэлийг сөрөг гэж үзнэ. Абсцисса цэгүүд $Б$гэж тэмдэглэе $x\_B$, бид ординатыг тэмдэглэнэ $y\_B$(зураг харна уу).

• Синус нь харьцаа юм $\backslash sin\; \backslash alpha=\backslash frac(y\_B)(R).$
• Косинус нь харьцаа юм $\backslash cos\; \backslash alpha=\backslash frac(x\_B)(R).$
• Тангенс гэж тодорхойлогддог $\backslash operatorname(tg)\; \backslash alpha=\backslash frac(\backslash sin\backslash alpha)(\backslash cos\backslash alpha)=\backslash frac(y\_B)(x\_B).$
• Котангенс гэж тодорхойлогддог $\backslash operatorname(ctg)\; \backslash alpha=\backslash frac(\backslash cos\backslash alpha)(\backslash sin\backslash alpha)=\backslash frac(x\_B)(y\_B).$
• Секантыг дараах байдлаар тодорхойлно $\backslash sec\; \backslash alpha=\backslash frac(1)(\backslash cos\backslash alpha)=\backslash frac(R)(x\_B).$
• Косекантыг дараах байдлаар тодорхойлно $\backslash operatorname(cosec)\; \backslash alpha=\backslash frac(1)(\backslash sin\backslash alpha)=\backslash frac(R)(y\_B).$

Тригонометрийн функцүүдийн утга нь тойргийн радиусын хэмжээнээс хамаардаггүй нь тодорхой байна. $Р$ижил төстэй тоонуудын шинж чанараас шалтгаална. Ихэнхдээ энэ радиусыг нэгж сегментийн хэмжээтэй тэнцүү авдаг бол синус нь ординаттай тэнцүү байдаг. $y\_B$, мөн косинус нь абсцисса юм $x\_B$. Зураг 3-т нэгж тойргийн тригонометрийн функцүүдийн хэмжээг харуулав.

Тригонометрийн функцууд нь үетэй функцууд юм $2\backslash pi\; ~\; (360^\backslash circ)$синус, косинус, секант ба косекант, ба $\backslash pi~(180^\backslash circ)$тангенс ба котангенсийн хувьд.
Аль ч өнцгийн тригонометрийн функцийг тэдгээрийн давтамжийг ашиглан хурц өнцгийн тригонометрийн функц болгон бууруулж болно. Жишээлбэл, хүснэгтүүд нь зөвхөн хурц өнцгийн утгыг өгдөг тул тригонометрийн функцүүдийн утгыг хүснэгтээс олоход шаардлагатай байдаг.

Математик анализ дахь функцүүдийн судалгаа

Дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл болох тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт

Функцүүд косинусТэгээд синусдифференциал тэгшитгэлийн тэгш (косинус) ба сондгой (синус) шийдэл гэж тодорхойлж болно

$\backslash frac(d^2)(d\backslash varphi^2)R(\backslash varphi)\; =\; -\; R(\backslash varphi),$

нэмэлт нөхцөлтэй $R(0)\; =\; 1$косинус ба $R"(0)\; =\; 1$синусын хувьд, өөрөөр хэлбэл нэг хувьсагчийн функцууд, хоёр дахь дериватив нь хасах тэмдгээр авсан функцтэй тэнцүү байна.

$\backslash \; \backslash зүүн(\backslash cos\; x\backslash баруун)$= - \cos x, $\backslash \; \backslash зүүн(\backslash sin\; x\backslash баруун)$= - \sin x.

Тригонометрийн функцийг функциональ тэгшитгэлийн шийдэл болгон тодорхойлох

Функцүүд косинусТэгээд синусшийдэл гэж тодорхойлж болно ( $е$Тэгээд $g$тус тус) функциональ тэгшитгэлийн системүүд:

нэмэлт нөхцлөөр

$f(x)^2\; +\; g(x)^2\; =\; 1,$ $g(\backslash pi/2)\; =\; 1,$Тэгээд

Тригонометрийн функцийг цувралаар тодорхойлох

Геометр ба хязгаарын шинж чанарыг ашиглан синусын дериватив нь косинустай, косинусын дериватив нь хасах синустай тэнцүү гэдгийг баталж чадна. Дараа нь та Тейлорын цувралын онолыг ашиглаж, синус ба косинусыг хүч чадлын цуваа болгон төлөөлж болно.

$\backslash sin\; x=x-\backslash frac(x^3)(3+\backslash frac\{x^5\}\{5!\}-\backslash frac\{x^7\}\{7!\}+\backslash frac\{x^9\}\{9!\}-\backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^nx^\{2n+1\}\}\{(2n+1)!\},!\}$ $\backslash cos\; x=1-\backslash frac(x^2)(2+\backslash frac\{x^4\}\{4!\}-\backslash frac\{x^6\}\{6!\}+\backslash frac\{x^8\}\{8!\}-\backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^nx^\{2n\}\}\{(2n)!\}.!\}$

Эдгээр томъёог ашиглах, түүнчлэн тэгш байдал $\backslash operatorname(tg)\backslash ,x=\backslash frac(\backslash sin\; x)(\backslash cos\; x),$ $\backslash operatorname(ctg)\backslash ,x=\backslash frac(\backslash cos\; x)(\backslash sin\; x),$ $\backslash сек\; x=\backslash frac(1)(\backslash cos\; x)$Тэгээд $\backslash operatorname(cosec)\backslash ,x=\backslash frac(1)(\backslash sin\; x),$Та бусад тригонометрийн функцүүдийн цуврал өргөтгөлүүдийг олж болно:

$\backslash int\backslash sin\; x\backslash ,\; dx\; =\; -\backslash cos\; x\; +\; C\backslash ,$

$\backslash int\backslash cos\; x\backslash ,\; dx\; =\; \backslash sin\; x\; +\; C\backslash ,$

$\backslash int\backslash mathop(\backslash operatorname(tg))\backslash ,\; x\backslash ,\; dx\; =\; -\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash cos\; x\backslash right|\; +C\backslash ,$

$\backslash int\backslash mathop(\backslash operatorname(ctg))\backslash ,\; x\backslash ,\; dx\; =\; \backslash ln\; \backslash left|\; \backslash sin\; x\; \backslash right|\; +C\backslash ,$

$\backslash int\backslash sec\; x\backslash ,\; dx=\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash ,\; \backslash left(\backslash frac\; (\backslash pi)(4)+\backslash frac(x)(2)\backslash right)\; \backslash right|+\; C\; \backslash ,$

$\backslash int\; \backslash operatorname(cosec)~\; x\backslash ,\; dx=\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash ,\; \backslash frac(x)(2)\; \backslash right|+\; C.$

Зарим өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгууд

Зарим өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс, секант, косекантын утгыг хүснэгтэд үзүүлэв. (“∞” гэдэг нь заасан цэг дээрх функц тодорхойлогдоогүй, харин түүний ойролцоо хязгааргүйд хүрэх хандлагатай гэсэн үг).

Стандарт бус өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгууд

Бусад өнцгүүдийн хувьд тригонометрийн функцүүдийн утгууд

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 87^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)-1)-2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)$

}{16},

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 87^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)-1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)(16),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 87^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(2(\backslash sqrt(5)+2)-\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+3)+(2-\backslash sqrt(3))(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt\; (5)+1)-2)\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5)(2),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 87^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(2(\backslash sqrt(5)+2)+\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+3))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1)\; +2)\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash sin\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 84^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(6(5)\; -\backslash sqrt(5)))-\backslash sqrt(5)-1)(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash cos\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 84^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(5)\; -\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+1))(8),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 84^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(5-\backslash sqrt(5)))-\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1))(2),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 84^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+3))(2),$

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 81^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(5)+1)-2\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 81^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(5)+1)+2\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)(8),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 81^\; \backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)+1-\backslash sqrt(5+2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 81^\; \backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)+1+\backslash sqrt(5+2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 78^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(5)\; +\backslash sqrt(5)))-\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 78^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(6(5)\; +\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(5)-1)(8),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 78^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5))-\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 78^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+1)+\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt)\; (2)(\backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)+1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)(16),$

$\backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)+1)+2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)(16),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; )\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(2(2(\backslash sqrt(5)-2)-\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; +1)-2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg)\; )\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(2(2(\backslash sqrt(5)-2)+\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; +1)+2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 3)(\backslash sqrt(5)+1)-\backslash sqrt(2(5-\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 5)+1+\backslash sqrt(6(5-\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; )\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt(3)(3+\backslash sqrt(5))+\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg)\; )\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1)+\backslash sqrt(2(5-\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash sin\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 63^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt)\; (2)(\backslash sqrt(5)-1)+2\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 63^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(5)-1)+2\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)(8),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; )\; 63^\backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)-1-\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg)\; )\; 63^\backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)-1+\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash sin\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)-1)+2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)(16),$

$\backslash cos\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt)\; (2)(\backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)-1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)(16),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; )\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(\backslash sqrt(5)+2)+\backslash sqrt(3)(3+\backslash sqrt(5))+(2-\backslash sqrt(3))(\backslash sqrt(3)\; )(\backslash sqrt(5)+1)-2)\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5)(2),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg)\; )\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(2(\backslash sqrt(5)+2)+\backslash sqrt(3)(3+\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; )-1)+2)\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)+1)-2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)(16),$

$\backslash cos\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)+1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)(16),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; )\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(2(\backslash sqrt(5)-2)+\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; )+1)+2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg)\; )\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(2(\backslash sqrt(5)-2)-\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; )+1)-2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-(\backslash )\; sqrt(5)-1)+\backslash sqrt(6(5+\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 3)(\backslash sqrt(5)-1)+\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; )\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+1)-\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg)\; )\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5))+\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(120)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(59\backslash ,\backslash pi)(120)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 1.5^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 88.5^\; \backslash circ\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac(8-\backslash sqrt(2(2-\backslash sqrt(3))(3-\backslash sqrt(5)))\; -\; \backslash sqrt(\; 2(2+\backslash sqrt(3))(5)\; +\backslash sqrt(5))))(8+\backslash sqrt(2(2-\backslash sqrt(3))(3-\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(2(2+\backslash sqrt(3))(\; 5+\backslash sqrt(5)))\; )),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(240)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(119\backslash ,\backslash pi)(240)\; =\; \backslash cos\; 0.75^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 89.25^\backslash circ\; =\; \backslash frac(1)(16)\; \backslash \; зүүн(\backslash sqrt(2-\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2)))\; \backslash зүүн(\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(3)(1-\backslash sqrt(5)\; )\; \backslash right)\; +\; \backslash right.$ $\backslash left.\; +\; \backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2)))\; \backslash зүүн\; (\backslash sqrt(6(5+\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(5)\; -\; 1\; \backslash баруун)\; \backslash баруун),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(17)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(15\backslash ,\backslash pi)(34)\; =\; \backslash frac(1)(8)\backslash sqrt(2\; \backslash left(2\backslash sqrt(3\backslash sqrt)\; 17)-\backslash sqrt(2(85+19\backslash sqrt(17)))\; +17)+\backslash sqrt(2(17-\backslash sqrt(17)))+\backslash sqrt(17)+15\; \backslash баруун)).$

$\backslash sin(\backslash pi\backslash over2^(n+1))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2-\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(2))))\_(n),\; n\backslash \; in\backslash mathbb\; Н$

$\backslash cos(\backslash pi\backslash over2^(n+1))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(2))))\_(n),\; n\backslash \; in\backslash mathbb\; Н$

$\backslash sin(\backslash pi\backslash over3\backslash cdot2^(n))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2-\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(3))))\_(n),\; n\backslash \; geq\; 2$

$\backslash cos(\backslash pi\backslash over3\backslash cdot2^(n))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(3))))\_(n),\; n\backslash \; geq\; 2$ }}

Тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарууд

Хамгийн энгийн таних тэмдэг

Синус ба косинус нь нэгж тойрог дээрх α өнцөгт харгалзах цэгийн ординат ба абсцисса байдаг тул нэгж тойргийн тэгшитгэл буюу Пифагорын теоремын дагуу бид дараах байдалтай байна.

$\backslash sin^2\; \backslash alpha\; +\; \backslash cos^2\; \backslash alpha\; =\; 1.$

Энэ харьцааг нэрлэдэг үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг.

Энэ тэгшитгэлийг тус тусад нь косинус ба синусын квадратад хуваахад бид дараах байдалтай байна.

$1\; +\; \backslash mathop(\backslash mathrm(tg))\backslash ,^2\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac(1)(\; \backslash cos^2\; \backslash alpha),$ $1\; +\; \backslash mathop(\backslash mathrm(ctg))\backslash ,^2\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac(1)(\; \backslash sin^2\; \backslash alpha),$ $\backslash mathop(\backslash mathrm(tg))\backslash ,\backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash mathop(\backslash mathrm(ctg))\backslash ,\backslash alpha=1.$

Тасралтгүй байдал

Хагас өнцгийн томъёо:

$\backslash sin\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1-\backslash cos\backslash alpha)(2)),\backslash quad\; 0\; \backslash leqslant\; \backslash alpha\; \backslash leqslant\; 2\backslash pi,$ $\backslash cos\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1+\backslash cos\backslash alpha)(2)),\backslash quad\; -\backslash pi\; \backslash leqslant\; \backslash alpha\; \backslash leqslant\; \backslash pi,$ $\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash frac(1-\backslash cos\backslash alpha)(\backslash sin\backslash alpha)=\backslash frac(\backslash sin\backslash alpha)(1+\backslash cos\backslash alpha)\; ,$ $\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash frac(\backslash sin\backslash alpha)(1-\backslash cos\backslash alpha)=\backslash frac(1+\backslash cos\backslash alpha)(\backslash sin\backslash alpha)\; ,$

Ажилладаг

Хоёр өнцгийн функцүүдийн бүтээгдэхүүний томъёо:

$\backslash sin\backslash alpha\; \backslash sin\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash альфа-\backslash бета)\; -\; \backslash cos(\backslash альфа+\backslash бета))(2),$ $\backslash sin\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash альфа-\backslash бета)\; +\; \backslash sin(\backslash альфа+\backslash бета))(2),$ $\backslash cos\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash альфа-\backslash бета)\; +\; \backslash cos(\backslash альфа+\backslash бета))(2),$ $\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(\backslash cos(\backslash alpha-\; \backslash бета)\; +\; \backslash cos(\backslash альфа+\backslash бета)),$ $\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta))(\backslash sin(\backslash alpha+\backslash )\; бета)\; -\backslash sin(\backslash альфа-\backslash бета)),$ $\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(\backslash cos(\backslash alpha-\; \backslash бета)\; -\; \backslash cos(\backslash альфа+\backslash бета)).$

Гурван өнцгийн синус ба косинусын бүтээгдэхүүний ижил төстэй томъёо:

$\backslash sin\backslash alpha\; \backslash sin\backslash beta\; \backslash sin\backslash gamma\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash альфа+\backslash бета-\backslash гамма)\; +\; \backslash sin(\backslash бета+\backslash гамма-\backslash альфа)\; +\; \backslash sin(\backslash альфа-\backslash бета+\backslash гамма)\; )\; -\; \backslash sin(\backslash альфа+\backslash бета+\backslash гамма))(4),$ $\backslash sin\backslash alpha\; \backslash sin\backslash beta\; \backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash frac(-\backslash cos(\backslash альфа+\backslash бета-\backslash гамма)\; +\; \backslash cos(\backslash бета+\backslash гамма-\backslash альфа)\; +\; \backslash cos(\backslash альфа-\backslash бета+\backslash \; гамма)\; -\; \backslash cos(\backslash альфа+\backslash бета+\backslash гамма))(4),$ $\backslash sin\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; \backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash альфа+\backslash бета-\backslash гамма)\; -\; \backslash sin(\backslash бета+\backslash гамма-\backslash альфа)\; +\; \backslash sin(\backslash альфа-\backslash бета+\backslash гамма)\; )\; -\; \backslash sin(\backslash альфа+\backslash бета+\backslash гамма))(4),$ $\backslash cos\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; \backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash альфа+\backslash бета-\backslash гамма)\; +\; \backslash cos(\backslash бета+\backslash гамма-\backslash альфа)\; +\; \backslash cos(\backslash альфа-\backslash бета+\backslash гамма)\; )\; +\; \backslash cos(\backslash альфа+\backslash бета+\backslash гамма))(4).$

Гурван өнцгийн шүргэгч ба котангентын үржвэрийн томъёог дээр дурдсан харгалзах тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг хуваах замаар олж авч болно.

Зэрэг

Дүн

төлөөлөл байна:

$A\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; B\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash sqrt(A^2\; +\; B^2)\backslash ;\backslash sin(\backslash alpha\; +\; \backslash phi),$

өнцөг хаана байна $\backslash phi$харилцаанаас олж болно:

$\backslash sin\; \backslash phi\; =\; \backslash frac(B)(\backslash sqrt(A^2\; +\; B^2)),\; \backslash quad\; \backslash cos\; \backslash phi\; =\; \backslash frac(A)(\backslash sqrt(A^2\; +\; B^2)).$

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт

Бүх тригонометрийн функцийг хагас өнцгийн шүргэгчээр илэрхийлж болно.

$\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac(\backslash sin\; x)(1)\; =\; \backslash frac(2\backslash sin\; \backslash frac(x)(2)\backslash cos\; \backslash frac(x)(2))(\backslash sin^2\; \backslash frac(x)\; (2)\; +\; \backslash cos^2\; \backslash frac(x)(2))\; =\backslash frac(2\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(x)(2))(1\; +\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x)\; )(2))$

$\backslash cos\; x\; =\; \backslash frac(\backslash cos\; x)(1)\; =\; \backslash frac(\backslash cos^2\; \backslash frac(x)(2)\; -\; \backslash sin^2\; \backslash frac(x)(2))(\backslash cos^2\; \backslash \; frac(x)(2)\; +\; \backslash sin^2\; \backslash frac(x)(2))\; =\backslash frac(1\; -\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))(1\; +\; \backslash operatorname(tg)\; )^2\; \backslash frac(x)(2))$

$\backslash operatorname(tg)~x\; =\; \backslash frac(\backslash sin\; x)(\backslash cos\; x)\; =\; \backslash frac(2\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(x)(2))(1\; -\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash \; frac(x)(2))$

$\backslash operatorname(ctg)~x\; =\; \backslash frac(\backslash cos\; x)(\backslash sin\; x)\; =\; \backslash frac(1\; -\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))(2\backslash operatorname(tg)\; \backslash \; frac(x)(2))$

$\backslash sec\; x\; =\; \backslash frac(1)(\backslash cos\; x)\; =\; \backslash frac(1\; +\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))(1\; -\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x)\; )(2))$

$\backslash operatorname(cosec)~x\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sin\; x)\; =\; \backslash frac(1\; +\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))\; (2\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(\; x)(2))$

Нарийн төвөгтэй аргументуудын тригонометрийн функцууд

Тодорхойлолт

Энэ нь нарийн төвөгтэй аргументуудын тригонометрийн функцийг экспоненциал эсвэл (цуврал ашиглан) тэдгээрийн бодит аналогуудын аналитик үргэлжлэл болгон тодорхойлох боломжийг танд олгоно.

$\backslash sin\; z\; =\; \backslash нийлбэр\_(n=0)^\backslash infty\; \backslash frac((-1)^(n))((2n+1)z^\{2n+1\}\; =\; \backslash frac\{e^\{i\; z\}\; -\; e^\{-i\; z\}\}\{2i\}\backslash ,\; =\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{sh\}\; i\; z\; \}\{i\};\; !\}$ $\backslash cos\; z\; =\; \backslash sum\_(n=0)^\backslash infty\; \backslash frac((-1)^(n))((2n)z^\{2n\}\; =\; \backslash frac\{e^\{i\; z\}\; +\; e^\{-i\; z\}\}\{2\}\backslash ,\; =\; \backslash operatorname\{ch\}\; i\; z;\; !\}$ $\backslash operatorname(tg)\backslash ,\; z\; =\; \backslash frac(\backslash sin\; z)(\backslash cos\; z)\; =\; \backslash frac(e^(i\; z)\; -\; e^(-i\; z))(i(e^(i\; z)\; +\; e^(\; -i\; z)));$ $\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\; z\; =\; \backslash frac(\backslash cos\; z)(\backslash sin\; z)\; =\; \backslash frac(i(e^(i\; z)\; +\; e^(-i\; z))))(e^(i\; z)\; -\; e^\; (-i\; z));$ $\backslash sec\; z\; =\; \backslash frac(1)(\backslash cos\; z)\; =\; \backslash frac(2)(e^(i\; z)\; +\; e^(-i\; z));$ $\backslash operatorname(cosec)\backslash ,\; z\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sin\; z)\; =\; \backslash frac(2i)(e^(i\; z)\; -\; e^(-i\; z)),$Хаана $i^2=-1.$

Үүний дагуу бодит байдал дээр x,

$\backslash cos\; x\; =\; \backslash operatorname(Re)(e^(i\; x)),$ $\backslash sin\; x\; =\; \backslash operatorname(Im)(e^(i\; x)).$

Нарийн төвөгтэй синус ба косинус нь гиперболын функцтэй нягт холбоотой байдаг.

$\backslash sin\; (x\; +\; iy)\; =\; \backslash sin\; x\backslash ,\; \backslash operatorname(ch)\backslash ,\; y\; +\; i\; \backslash cos\; x\backslash ,\; \backslash operatorname(sh)\backslash ,\; y,$ $\backslash cos\; (x\; +\; iy)\; =\; \backslash cos\; x\backslash ,\; \backslash operatorname(ch)\backslash ,\; y\; -\; i\; \backslash sin\; x\backslash ,\; \backslash operatorname(sh)\backslash ,\; y.$

Тригонометрийн функцүүдийн дээрх шинж чанаруудын ихэнх нь нарийн төвөгтэй тохиолдолд хадгалагдана. Зарим нэмэлт шинж чанарууд:

• нарийн төвөгтэй синус ба косинус нь бодит байдлаас ялгаатай нь абсолют утгаараа дур зоргоороо том утгыг авах боломжтой;
• нийлмэл синус ба косинусын бүх тэг нь бодит тэнхлэг дээр байрладаг.

Нарийн төвөгтэй графикууд

Дараах графикууд нь нарийн төвөгтэй хавтгайг харуулсан бөгөөд функцийн утгуудыг өнгөөр ​​тодруулсан болно. Гэрэлтүүлэг нь үнэмлэхүй утгыг илэрхийлдэг (хар - тэг). Өнгө нь газрын зургийн дагуу аргумент болон өнцгийн дагуу өөрчлөгддөг.

$$ \sin\,z	$$ \cos\,z	$$ \operatorname(tg)\, z	$$ \operatorname(ctg)\, z	$$ \сек\,з	$$ \operatorname(cosec)\, z

Нэрийн түүх

Синус шугам(AB мөр дээр) Энэтхэгийн математикчид анх "арха-жива" (хагас утас, өөрөөр хэлбэл хагас хөвч) гэж нэрлэдэг байсан бөгөөд дараа нь "арча" гэдэг үгийг хаяж, синус шугамыг "жива" гэж нэрлэж эхэлсэн. Араб хэлээр орчуулагчид жива гэдэг үгийг нум, хөвч гэсэн утгыг илэрхийлдэг араб үгтэй “ватар” гэж орчуулаагүй, харин араб үсгээр буулгаж, синусын шугамыг “жиба” гэж нэрлэх болжээ. Араб хэлэнд богино эгшгийг тэмдэглээгүй бөгөөд "жиба" гэдэг үгийн урт "и" нь "y" хагас эгшигтэй ижил утгатай тул арабууд синус шугамын нэрийг Араб гэж дуудаж эхлэв. . جيب ‎ - "jaib" нь шууд утгаараа "хөндий", "синус" гэсэн утгатай. Араб хэл дээрх бичээсүүдийг латин хэл рүү хөрвүүлэхдээ Европын орчуулагчид "жэйб" гэдэг үгийг латин хэлний лат гэж орчуулсан байдаг. синус - "синус", ижил утгатай. Хугацаа "косинус"(лат. косинус) нь Лат хэлний товчлол юм. нэмэлт синус- нэмэлт синус.

Орчин үеийн товчилсон тэмдэглэгээ $\backslash sin,\; ~\; \backslash cos$ B. Cavalieri, William Oughtred нар танилцуулж, Эйлерийн бүтээлүүдэд тусгагдсан байдаг.

Хожим нь урвуу тригонометрийн функцүүдийн нэр томъёог нэвтрүүлсэн. арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксекант, арксекант- угтвар нэмэх замаар "авдар"(лат. нум- нуман), - J. Lagrange et al.

бас үзнэ үү

• Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүд (Брадисын хүснэгтүүд)

"Тригонометрийн функцууд" өгүүллийн талаар тойм бичнэ үү.

Уран зохиол

• Бермант А.Ф. Люстерник Л.А. Тригонометр. - М.: Наука, 1967.
• Тригонометрийн функцууд- Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичгийн нийтлэл. - М.: "Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь", 1977. - T. 26. - х. 204-206.
• Бронштейн И.Н., Семендяев К.А.Шулуун тригонометр // Математикийн гарын авлага. - Эд. 7, хэвшмэл. - М.: Улсын Техник, онолын уран зохиолын хэвлэлийн газар, 1967. - P. 179-184.
• Выгодский М.Я.. - М .: Шинжлэх ухаан, 1978.
  • Дахин хэвлэх: М.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6, www.alleng.ru/d/math/math42.htm, 509 х.
• Дуайт Г.Б.Тригонометрийн функцууд // Интеграл болон бусад математикийн томъёоны хүснэгтүүд. - 4-р хэвлэл. - М.: Наука, 1973. - P. 70-102.
• Кожеуров П.А. Тригонометр. - М.: Физматгиз, 1963.
• Маркушевич A.I. Гайхамшигтай синусууд. - М.: Наука, 1974.
• Математик нэвтэрхий толь / Ч. ed. I. M. Виноградов. - М.: “Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь”, 1984. - .
• Тригонометрийн функцууд // Залуу математикчдын нэвтэрхий толь бичиг / Ed. коллеги, Гнеденко B.V. (ахлах ред.), Савин A.P. болон бусад - М.: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, 1985 (1989). - P. 299-301-305. - 352 х, өвчтэй. ISBN 5-7155-0218-7 (хуудас , - 0°-90° тригонометрийн функцын хүснэгтүүд, радианаар)
• Тригонометрийн функцууд // Математикийн гарын авлага (Дунд боловсролын байгууллагуудад зориулсан) / Цыпкин A. G., ed. Степанова С.А. - 3-р хэвлэл. - М.: Шинжлэх ухаан, Ч. физик, математикийн редакц. уран зохиол, 1983. - 240-258 х. - 480 с.

Холбоосууд

• - тодруулсан нэгж тойрог, тригонометрийн болон гиперболын функцууд (Java Web Start)
• Вайсштейн, Эрик В.(Англи хэлээр) Wolfram MathWorld вэбсайт дээр.
• - нийтлэлийн орчуулга (Англи хэл)

Тэмдэглэл

Тригонометрийн функцийг тодорхойлсон ишлэл

Завсарлагааны үеэр Хелений хайрцганд хүйтэн үнэр үнэртэж, хаалга онгойж, бөхийж, хэнийг ч барихгүй байхыг хичээн Анатол орж ирэв.
"Би чамайг ахтайгаа танилцуулъя" гэж Хелен сандарсан байдалтай Наташагаас Анатол руу нүдээ анив. Наташа хөөрхөн толгойгоо нүцгэн мөрөн дээгүүрээ царайлаг эр рүү эргүүлээд инээмсэглэв. Алс холоос ч юм шиг царайлаг Анатоль түүний хажууд суугаад, Нарышкины бөмбөгөнд тоглосон цагаасаа хойш ийм таашаал авахыг эртнээс хүсч байсан, тэр ч бүү хэл. мартсан, түүнийг харсан. Курагин эрэгтэй нийгмийг бодвол эмэгтэйчүүдэд илүү ухаалаг, энгийн байсан. Тэр зоригтой бөгөөд энгийнээр ярьдаг байсан бөгөөд Наташа тэдний маш их ярьдаг байсан энэ хүнд тийм аймшигтай зүйл байгаагүй төдийгүй, харин ч эсрэгээрээ түүнд хамгийн гэнэн, хөгжилтэй, сайхан сэтгэлтэй байсан нь хачирхалтай бөгөөд тааламжтай байв. төрөлхийн инээмсэглэл.
Курагин тоглолтын сэтгэгдлийн талаар асууж, Семенова сүүлчийн тоглолтод тоглож байхдаа хэрхэн унасан талаар хэлэв.
"Чи мэдэж байна уу, Гүнж авхай" гэж тэр гэнэтхэн хуучин танилынхаа адил түүнд хандаж, "Бид хувцастай тойруулгыг зохион байгуулж байна; Та үүнд оролцох ёстой: энэ нь маш хөгжилтэй байх болно. Бүгд Карагинд цуглардаг. Ирээрэй, тийм үү? - тэр хэлсэн.
Тэр ингэж хэлэхэд Наташагийн нүүр, хүзүү, нүцгэн гарнаас инээмсэглэсэн нүдээ салгасангүй. Наташа түүнийг биширдэг гэдгээ мэдэж байсан нь дамжиггүй. Тэр үүнд сэтгэл хангалуун байсан ч яагаад ч юм түүний оршихуй түүнд давчуу, хүнд мэдрэмж төрүүлэв. Бүсгүй түүн рүү хараагүй байхдаа мөр рүү нь харж байгааг мэдэрч, нүд рүү нь илүү сайн харахын тулд өөрийн эрхгүй түүний харцыг таслав. Гэвч түүний нүд рүү харахад тэр хоёрын хооронд өөртэйгөө болон бусад эрчүүдийн хооронд үргэлж мэдэрдэг байсан даруу байдлын ямар ч саад тотгор байхгүй гэдгийг эмээж байв. Тэр яаж гэдгийг нь ч мэдэлгүй таван минутын дараа энэ хүнтэй үнэхээр дотно санагдсан. Бүсгүй эргэж харвал нүцгэн гарыг нь араас нь атгаад хүзүүг нь үнсчих вий гэж айж байлаа. Тэд хамгийн энгийн зүйлийн талаар ярилцаж, тэр хоёр эрэгтэй хүнтэй хэзээ ч байгаагүй юм шиг дотно байгааг мэдэрсэн. Наташа энэ нь юу гэсэн үг вэ гэж асуух мэт Хелен болон түүний аав руу эргэж харав; гэвч Хелен ямар нэгэн генералтай ярилцах завгүй байсан бөгөөд түүний харцанд хариулсангүй, аавынх нь харц түүнд үргэлж "Хөгжилтэй байна, би баяртай байна" гэхээс өөр зүйл хэлсэнгүй.
Анатолий тайвширч, зөрүүдлэн түүн рүү товойсон нүдээрээ харж байсан эвгүй чимээгүй мөчүүдийн нэгэнд Наташа энэ чимээгүй байдлыг эвдэхийн тулд Москвад хэр таалагдаж байгааг асуув. гэж Наташа асуугаад улайв. Түүнтэй ярилцахдаа тэр ямар нэгэн зохисгүй зүйл хийж байгаа юм шиг санагддаг. Анатоль түүнд урам өгөх мэт инээмсэглэв.
– Эхэндээ энэ нь надад тийм ч их таалагддаггүй байсан, яагаад гэвэл хот юугаараа тааламжтай байдаг вэ, ce sont les jolies femmes, [хөөрхөн эмэгтэйчүүд,] тийм үү? За, одоо надад үнэхээр таалагдаж байна" гэж тэр түүн рүү мэдэгдэхүйц харав. - Гүнж ээ, та тойруул руу явах уу? "Яв" гэж тэр хэлээд, түүний баглаа руу гараа сунган, дуугаа намсгаж, "Vous serez la plus jolie" гэж хэлэв. Венес, Чере Comtesse, and comme Gage Donnez moi Cette Fleur. [Чи хамгийн хөөрхөн нь байх болно. Явж, эрхэм гүнж, надад энэ цэцгийг барьцаанд өг.]
Наташа түүний хэлсэн зүйлийг яг л өөртэй нь адил ойлгоогүй ч түүний ойлгомжгүй үгэнд зохисгүй санаа байгаа мэт санагдав. Бүсгүй юу гэж хэлэхээ мэдэхгүй, түүний хэлсэн үгийг сонсоогүй юм шиг эргэж харав. Гэвч тэр эргэж харангуутаа түүнийг ард нь байгаа, өөрт нь маш ойрхон байна гэж бодов.
"Тэр одоо юу вэ? Тэр андуурч байна уу? Ууртай юу? Би үүнийг засах ёстой юу? гэж тэр өөрөөсөө асуув. Тэр эргэж харахгүй байж чадсангүй. Бүсгүй түүний нүд рүү эгцлэн харвал түүний ойр дотно байдал, өөртөө итгэлтэй байдал, түүний инээмсэглэл дэх эелдэг зөөлөн сэтгэл түүнийг ялав. Тэр яг түүн шиг инээмсэглэн түүний нүд рүү эгцлэн харав. Тэгээд тэр хоёрын хооронд ямар ч саад тотгор байхгүй гэдгийг тэр дахин аймшигтайгаар мэдэрсэн.
Хөшиг дахин бослоо. Анатол тайван, хөгжилтэй байдлаар хайрцгаа орхив. Наташа эцгийнхээ хайрцагт буцаж ирээд, өөрийгөө олж мэдсэн ертөнцөд бүрэн захирагдаж байв. Түүний өмнө болсон бүх зүйл түүнд аль хэдийн байгалийн жамаар санагдаж байв; Харин үүний төлөө түүний хүргэний тухай, гүнж Марьяагийн тухай, тосгоны амьдралын тухай өмнөх бүх бодол түүний толгойд нэг ч удаа орж байгаагүй бөгөөд энэ бүхэн эрт дээр үед байсан юм шиг санагдав.
Дөрөвдүгээр бүлэгт ямар нэгэн чөтгөр дуулж, доороос нь банз таттал гараа даллаж, тэндээ суув. Наташа дөрөв дэх үйлдлээс үүнийг л олж харсан: ямар нэгэн зүйл түүнийг зовоож, зовоож байсан бөгөөд энэ сэтгэлийн хөөрлийн шалтгаан нь Курагин байсан бөгөөд түүнийг өөрийн эрхгүй нүдээрээ дагасан юм. Тэднийг театраас гарч явахад Анатоль тэдэнд ойртож, сүйх тэргийг нь дуудаж, тэднийг авав. Тэр Наташаг суулгаад гараа тохойноос нь дээш сэгсрэв. Наташа догдолж, улайсан түүн рүү эргэж харав. Тэр түүн рүү хараад нүд нь гялалзаж, эелдэгээр инээмсэглэв.

Зөвхөн гэртээ ирсний дараа Наташа өөрт тохиолдсон бүх зүйлийг сайтар бодож, хунтайж Андрейг санаж, айж сандарч, театрын дараа бүгд сууж байсан цайны өмнө тэр чангаар амьсгалж, гараад гүйв. өрөөнийхөө, улайсан. - "Бурхан минь! Би үхсэн! гэж тэр өөртөө хэлэв. Би яаж ийм зүйл хийхийг зөвшөөрөх юм бэ?" тэр бодсон. Бүсгүй улайсан нүүрээ гараараа даран, өөрт тохиолдсон явдлын талаар тодорхой тайлбарлахыг хичээн удаан сууж, өөрт юу тохиолдсоныг ч, юу мэдэрч байгааг ч ойлгохгүй байв. Түүнд бүх зүйл харанхуй, тодорхойгүй, аймшигтай санагдсан. Тэнд, гэрэлтдэг асар том танхимд Дупорт гялтганасан хүрэмтэй нүцгэн хөлтэй хөгжимд нойтон самбар дээр үсэрч, охид, хөгшин эрчүүд, нүцгэн Хелен тайван, бардам инээмсэглэлтэй "браво" гэж хашгирав. баярласандаа - тэнд, энэ Хелений сүүдэр дор бүх зүйл тодорхой бөгөөд энгийн байсан; Харин одоо ганцаараа, өөртэйгээ байх нь ойлгомжгүй байв. - "Энэ юу вэ? Би түүний төлөө мэдэрсэн энэ айдас юу байсан бэ? Одоо миний мэдэрч байгаа энэ гэмшил юу вэ? тэр бодсон.
Наташа хөгшин гүнжид шөнө орондоо ганцаараа бодсон бүхнээ хэлж чадна. Соня, тэр ширүүн, салшгүй харцаараа юу ч ойлгохгүй байх болно, эсвэл түүний гэм буруугаа хүлээхээс айх болно гэдгийг тэр мэдэж байв. Наташа ганцаараа өөрийг нь зовоож буй зүйлийг шийдэх гэж оролдов.
"Би хунтайж Андрейгийн хайрын төлөө үхсэн үү, үгүй ​​юу? гэж тэр өөрөөсөө асууж, тайвширсан инээмсэглэлээр өөрөөсөө хариулав: Би ямар тэнэг хүн бэ? Надад юу тохиолдсон бэ? Юу ч биш. Би юу ч хийгээгүй, үүнд хүргэхийн тулд юу ч хийгээгүй. Хэн ч мэдэхгүй, би түүнийг дахиж хэзээ ч харахгүй гэж тэр өөртөө хэлэв. Юу ч болоогүй, гэмших зүйл байхгүй, хунтайж Андрей намайг ингэж хайрлаж чадах нь тодорхой болов. Гэхдээ ямар төрлийн? Бурхан минь, бурхан минь! Тэр яагаад энд байхгүй байгаа юм бэ?" Наташа хэсэг зуур тайвширсан боловч энэ бүхэн үнэн байсан ч юу ч болоогүй байсан ч зөн совин түүнд хунтайж Андрейд хайртай байсан бүх цэвэр ариун байдал нь үгүй ​​болсон гэж түүнд дахин хэлэв. Тэр дахин төсөөлөндөө Курагинтай хийсэн бүх яриагаа давтаж, гар барих зуураа энэ царайлаг, зоригтой эрийн царай, дохио зангаа, эелдэг инээмсэглэлийг төсөөлөв.

Анатол Курагин Москвад амьдардаг байсан учир аав нь түүнийг Санкт-Петербургээс хөөж явуулсан бөгөөд тэрээр жилдээ хорин мянга гаруй мөнгө, зээлдүүлэгчид эцгээсээ нэхэж байсан тэр хэмжээний өрөнд амьдардаг байжээ.
Эцэг нь хүүдээ сүүлийн удаа өрийнхөө талыг төлж байгаагаа зарлав; гэхдээ тэр Москвад өөрт нь худалдаж авсан ерөнхий командлагчийн туслахын албан тушаалд очиж, эцэст нь тэнд сайн тохирохыг хичээх болно. Тэр түүнийг Марья гүнж, Жули Карагина хоёр руу заажээ.
Анатол зөвшөөрч, Москвад очиж, Пьертэй хамт үлдэв. Пьер Анатолийг эхэндээ дурамжхан хүлээж авсан боловч дараа нь түүнд дасаж, заримдаа түүнтэй хамт зугаалж, зээл авах нэрийдлээр түүнд мөнгө өгдөг байв.
Анатол, Шиншин түүний тухай зөв хэлсэнчлэн Москвад ирснээсээ хойш Москвагийн бүх бүсгүйчүүдийг галзууруулахад хүргэсэн, ялангуяа тэр тэднийг үл тоомсорлож, цыган, Францын жүжигчдийг илүүд үздэг байсан нь илт бөгөөд тэдний толгойлогч Мадемуазель Жоржийн хэлснээр. тэр дотно харилцаатай байсан. Тэрээр Данилов болон Москвагийн бусад хөгжилтэй хүмүүстэй нэг ч удаа зугаацсангүй, шөнөжин ууж, хүн бүрийг ууж, өндөр нийгмийн бүх үдэш, үдэшлэгт оролцдог байв. Тэд Москвагийн бүсгүйчүүдтэй түүний сонирхлыг татсан хэд хэдэн зүйлийн талаар ярилцаж, бөмбөг тоглоход тэр заримыг нь сонирхдог байв. Гэвч тэрээр охид, тэр дундаа баян сүйт бүсгүйчүүдтэй ойртож чаддаггүй, тэр тусмаа хамгийн дотны найзуудаас нь өөр хэн ч мэдэхгүй Анатолийг хоёр жилийн өмнө гэрлэснээс хойш тэд бүгд муу байдаг. Хоёр жилийн өмнө түүний дэглэм Польшид байрлаж байх үед Польшийн ядуу газрын эзэн Анатолийг охинтойгоо гэрлүүлэхийг албадав.
Анатол удалгүй эхнэрээ орхиж, хадам аав руугаа илгээхээр тохиролцсон мөнгөний төлөө тэрээр ганц бие эр гэж тооцогдох эрхийг өөртөө тохиролцов.
Анатолий байр суурь, өөртөө болон бусдад үргэлж сэтгэл хангалуун байсан. Өөрийнх нь амьдарч байснаас өөрөөр амьдарч чадахгүй, амьдралдаа хэзээ ч муу зүйл хийж байгаагүй гэдэгтээ зөнгөөрөө бүх сэтгэлээрээ итгэсэн. Тэр өөрийн үйлдлүүд бусдад хэрхэн нөлөөлж болох, ийм эсвэл ийм үйлдлээс юу гарч болох талаар бодож чадахгүй байв. Нугас үргэлж усанд байхаар бүтээгдсэний адил гучин мянган орлоготой амьдарч, нийгэмд үргэлж дээд байр суурийг эзэлдэг байхаар бурхан бүтээсэн гэдэгтээ итгэлтэй байв. . Тэр үүнд маш хатуу итгэж байсан тул түүнийг харахад бусад хүмүүс үүнд итгэлтэй байсан бөгөөд түүнд дэлхийн өндөр албан тушаал, түүнтэй уулзсан хүмүүсээс болон түүнтэй уулзсан хүмүүсээс буцалтгүй зээлсэн мөнгийг үгүйсгэсэнгүй.
Тэр мөрийтэй тоглоомчин биш, ядаж хожихыг хэзээ ч хүсдэггүй байсан. Тэр дэмий хоосон байгаагүй. Хүмүүс түүний тухай юу гэж бодох нь түүнд огтхон ч хамаагүй байв. Тэр амбицын буруутай ч байж болох юм. Тэрээр аавыгаа хэд хэдэн удаа шоолж, түүний карьерыг сүйтгэж, бүх хүндэтгэлийг инээж байсан. Тэр харамч биш, өөрийг нь асуусан хэнээс ч татгалздаггүй байв. Түүний дуртай цорын ганц зүйл бол зугаа цэнгэл, эмэгтэйчүүд байсан бөгөөд түүний үзэл баримтлалын дагуу эдгээр амтанд үл тоомсорлох зүйл байдаггүй тул бусад хүмүүсийн амтыг хангахын тулд юу гарах талаар бодож чадахгүй байсан тул сэтгэлдээ өөрийгөө өөрийгөө гэж үздэг байв. өө сэвгүй хүн, новш, муу хүмүүсийг чин сэтгэлээсээ үл тоомсорлож, тайван мөс чанараараа толгойгоо өндөрт өргөж явсан.
Хөгжилтэй хүмүүс, эдгээр эрэгтэй Магдаленачууд уучлалын найдвар дээр тулгуурлан эмэгтэй Магдаленачууд шиг гэм зэмгүй байдлын нууцлаг мэдрэмжтэй байдаг. "Түүнд бүх зүйл өршөөгдөх болно, учир нь тэр маш их хайртай байсан бөгөөд тэр маш их хөгжилтэй байсан тул түүнд бүх зүйл уучлагдах болно."
Цөллөг, Персийн адал явдлынхаа дараа энэ жил Москвад дахин гарч ирж, мөрийтэй тоглоом тоглож, тансаг амьдралаар явсан Долохов Петербургийн хуучин нөхөр Курагинтай ойртож, түүнийг өөрийн зорилгодоо ашигласан байна.
Анатоль Долоховыг ухаалаг, зоригтойгоор чин сэтгэлээсээ хайрладаг байв. Баян залуучуудыг мөрийтэй тоглоомын нийгэмдээ татахын тулд Анатолий Курагины нэр, язгууртан, холбоо шаардлагатай байсан Долохов түүнд үүнийг мэдрүүлэхгүйгээр Курагиныг ашиглаж, зугаацуулж байв. Түүнд Анатол хэрэгтэй байсан тооцооноос гадна хэн нэгний хүслийг хянах үйл явц нь таашаал, зуршил, Долоховын хэрэгцээ байв.
Наташа Курагинд хүчтэй сэтгэгдэл төрүүлэв. Театрын дараа оройн зоог барих үеэр тэрээр мэргэн ухаантны арга барилаар Долоховын өмнө түүний гар, мөр, хөл, үсний нэр төрийг шалгаж, түүний араас чирэх шийдвэрээ зарлав. Энэ үерхэхээс юу гарах вэ - Анатолий үйлдэл бүрээс юу гарахыг хэзээ ч мэддэггүй шигээ энэ тухай бодож, мэдэж чадахгүй байв.
"Сайн байна, ах аа, гэхдээ бидний тухай биш" гэж Долохов хэлэв.
"Би эгчдээ оройн хоол идэхээр дууд гэж хэлье" гэж Анатол хэлэв. -А?
- Түүнийг гэрлэх хүртэл нь хүлээсэн нь дээр...
"Чи мэдэж байгаа" гэж Анатол хэлэв, "j"adore les petites filles: [Би охидыг биширдэг:] - одоо тэр төөрч магадгүй.
Анатолийн гэрлэлтийн талаар мэддэг Долохов "Чи аль хэдийн жижигхэн [охин] хайранд автсан" гэж хэлэв. - Хараач!
- За, та үүнийг хоёр удаа хийж чадахгүй! А? - гэж Анатоль сайхан сэтгэлээр инээв.

Театрын дараа маргааш нь Ростовчууд хаашаа ч явсангүй, хэн ч тэдэн дээр ирсэнгүй. Марья Дмитриевна Наташагаас ямар нэгэн зүйл нууж, аавтайгаа ярилцаж байв. Наташа тэднийг хөгшин хунтайжийн тухай ярьж, ямар нэгэн зүйл зохиож байна гэж таамаглаж, энэ нь түүнийг зовоож, гомдоожээ. Тэр минут тутамд хунтайж Андрейг хүлээж байсан бөгөөд тэр өдөртөө хоёр удаа тэрээр Вздвиженка руу ирсэн эсэхийг мэдэхийн тулд жижүүрийг явуулжээ. Тэр ирээгүй. Энэ нь түүнд ирсэн эхний өдрүүдээс илүү хэцүү байсан. Түүний тэвчээргүй байдал, түүний тухай гунигтай байдал нь Марья гүнж, хөгшин хунтайж нартай уулзсан тухай таагүй дурсамж, мөн учрыг нь мэдэхгүй айдас, түгшүүртэй холбоотой байв. Нэг бол тэр хэзээ ч ирэхгүй юм шиг, эсвэл түүнийг ирэхээс өмнө түүнд ямар нэгэн зүйл тохиолдох юм шиг санагдаж байв. Тэр өмнөх шигээ тайван, тасралтгүй, ганцаараа, түүний тухай бодож чадахгүй байв. Түүнийг бодож эхэлмэгц түүний дурсамж хөгшин хунтайж, Марья гүнж, сүүлчийн тоглолт, Курагины дурсамжаар нэгдэв. Тэр өөрийгөө буруутай эсэх, хунтайж Андрейд үнэнч байх нь аль хэдийн зөрчигдсөн эсэх талаар дахин гайхаж, энэ хүний ​​​​нүүрний үг бүр, дохио зангаа, өнгө аяс бүрийг өчүүхэн төдий ч нарийвчлан санаж байв. түүнд үл ойлгогдох зүйл, аймшигтай мэдрэмжийг хэрхэн өдөөх вэ. Түүний гэр бүлийнхний нүдэнд Наташа ердийнхөөсөө илүү сэргэлэн цовоо харагдаж байсан ч өмнөх шигээ тайван, аз жаргалтай байсангүй.
Ням гарагийн өглөө Марья Дмитриевна зочдоо Могилцы дахь Успенскийн сүмд цугларахад урив.
"Би эдгээр загварлаг сүмүүдэд дургүй" гэж тэр чөлөөт сэтгэлгээгээрээ бахархсан бололтой. - Хаа сайгүй ганц л бурхан байдаг. Манай тахилч бол гайхамшигтай, зохих ёсоор үйлчилдэг, энэ нь маш эрхэм хүн, дикон ч мөн адил. Энэ нь хүмүүс найрал дуугаар концерт дуулахыг тийм ариун нандин зүйл болгож байна уу? Би үүнд дургүй, энэ бол зүгээр л өөрийгөө өөгшүүлэх явдал юм!
Марья Дмитриевна ням гарагт дуртай байсан бөгөөд үүнийг хэрхэн тэмдэглэхээ мэддэг байв. Бямба гарагт түүний байшинг бүхэлд нь угааж, цэвэрлэв; Хүмүүс, тэр ажил хийдэггүй, бүгд баяр ёслолоор хувцаслаж, бүгд цуглаанд оролцож байв. Эзний оройн хоолон дээр хоол нэмж, архи, шарсан галуу эсвэл гахай өгдөг байв. Гэхдээ энэ өдөр Марья Дмитриевнагийн өргөн цар хүрээтэй, ширүүн царайнаас илүү баяр ёслол нь бүхэл бүтэн байшингийн хаана ч байсангүй.
Тэд цуглааны дараа кофе ууж байхдаа бүрээсийг нь тайлсан зочны өрөөнд Марья Дмитриевнад сүйх тэрэг бэлэн болсныг мэдээд тэрээр ширүүн харцаар зочлохдоо ёслолын алчуураа өмсөж, босож мэдэгдэв. тэр хунтайж Николай Андреевич Болконскийд Наташагийн талаар тайлбарлахаар очив.
Марья Дмитриевнаг явсны дараа Чалмет хатагтайн тээрэмчин Ростовынхонд ирж, Наташа зочны өрөөний хажуугийн өрөөний хаалгыг хааж, зугаа цэнгэлд сэтгэл хангалуун байсан тул шинэ даашинз өмсөж эхлэв. Тэрээр ханцуйгүй хэвээрээ цөцгийтэй энгэр өмсөж, толгойгоо бөхийлгөж, ар тал нь хэрхэн сууж байгааг толинд харж байхдаа зочны өрөөнд аавынхаа дуу чимээ болон өөр нэг эмэгтэй хүний ​​хоолой сонсогдов. улайх. Энэ бол Хелений хоолой байв. Наташа өмсөж байсан нөмрөгөө тайлж амжаагүй байтал хаалга онгойж, хар ягаан, өндөр захтай хилэн даашинз өмсөн сайхан сэтгэлтэй, энхрийлэл дүүрэн инээмсэглэл тодруулан өрөөнд гүн гүнж Безухая орж ирэв.
- Аа, амттан эмээ! [Өө, миний дур булаам хүн!] гэж тэр улайсан Наташад хэлэв. - Шарманте! [Дур булаам!] Үгүй ээ, энэ юутай ч адилгүй, хайрт гүн минь гэж тэр араас орж ирсэн Илья Андреичт хэлэв. – Москвад яаж амьдрах вэ, хаашаа ч явахгүй байх вэ? Үгүй ээ, би чамайг ганцааранг чинь орхихгүй! Энэ орой Млле Жорж уншиж байгаа бөгөөд зарим хүмүүс цугларах болно; Хэрэв та Жоржоос илүү гоо үзэсгэлэнгээ авчрахгүй бол би чамайг танихыг хүсэхгүй байна. Нөхөр маань явсан, тэр Тверь явсан, тэгэхгүй бол би түүнийг чам руу явуулах байсан. Заавал есөн цагт заавал ирээрэй. "Тэр өөрийн таньдаг тээрэмчин рүү толгой дохин хүндэтгэлтэйгээр суугаад толины дэргэдэх сандал дээр суугаад хилэн даашинзныхаа нугалааг үзэсгэлэнтэйгээр дэлгэв. Тэрээр Наташагийн гоо үзэсгэлэнг байнга биширч, эелдэг, хөгжилтэйгээр чатлахаа больсонгүй. Тэрээр даашинзнуудаа шалгаж үзээд магтаж, Парисаас авсан шинэ даашинз en gaz metallique [металл өнгөтэй хийгээр хийсэн] талаар сайрхаж, Наташад ч мөн адил хийхийг зөвлөжээ.
"Гэхдээ бүх зүйл чамд тохирсон, хонгор минь" гэж тэр хэлэв.
Таашаалын инээмсэглэл Наташагийн нүүрнээс салсангүй. Өмнө нь өөрт нь тийм ч ойртохын аргагүй, чухал хатагтай мэт санагдаж байсан, одоо түүнд эелдэг ханддаг энэ эрхэм гүнж Безуховагийн магтаал дор тэрээр аз жаргалтай, цэцэглэн хөгжиж байв. Наташа үнэхээр хөгжилтэй, ийм сайхан, сайхан сэтгэлтэй эмэгтэйд бараг л дурлаж байгаагаа мэдэрсэн. Хелен түүний хувьд Наташаг чин сэтгэлээсээ биширч, түүнийг зугаацуулахыг хүссэн. Анатол түүнийг Наташатай хамт байлгахыг хүссэн бөгөөд үүний тулд тэрээр Ростов руу ирэв. Ахыгаа Наташатай суулгана гэсэн бодол түүнийг хөгжилтэй болгосон.
Урьд нь Петербургт Борисыг өөрөөсөө авч явсандаа Наташад эгдүүцэж байсан ч тэр одоо энэ тухай бодох ч үгүй, өөрийнхөөрөө Наташад сайн сайхныг хүсэн ерөөж байв. Ростовчуудыг орхин одохдоо тэрээр хамгаалагчаа эргүүлэн татав.
- Өчигдөр ах надтай хамт хооллосон - бид инээж үхэж байсан - тэр юу ч идээгүй, чиний төлөө санаа алдлаа, хонгор минь. Il est fou, mais fou amoureux de vous, ma chere. [Тэр галзуурдаг, гэхдээ тэр чамайг хайрлахдаа галзуурдаг, хонгор минь.]
Наташа эдгээр үгийг сонсоод улайв.
- Тэр яаж улайж, яаж улайдаг вэ, амттан минь! [Миний эрдэнэ!] - гэж Хелен хэлэв. -Мэдээж ирээрэй. Si vous aimez quelqu"un, ma delicieuse, ce n"est pas une raison pour se cloitrer. Si meme vous etes амлалт, je suis sure que votre promis aurait desire que vous alliez dans le monde en son absence plutot que de deperir d"ennui. [Хэн нэгэнд хайртай болохоороо, хонгор минь, чи гэлэнмаа шиг амьдрах ёсгүй. Тэр ч байтугай. Хэрэв та сүйт бүсгүй бол уйтгарлаж үхэхээс илүү таныг түүний эзгүйд нийгэмд гарахыг хүргэн тань илүүд үзнэ гэдэгт би итгэлтэй байна.]
"Тиймээс тэр намайг сүйт бүсгүй гэдгийг мэдэж байгаа тул тэр болон түүний нөхөр Пьертэй, энэ сайхан Пьертэй хамт" гэж Наташа бодож, ярьж, инээв. Тэгэхээр юу ч биш." Дахин хэлэхэд Хелений нөлөөн дор урьд нь аймшигтай мэт санагдаж байсан зүйл энгийн бөгөөд байгалийн юм шиг санагдаж байв. "Тэгээд тэр үнэхээр агуу хатагтай, [чухал хатагтай,] үнэхээр эелдэг бөгөөд намайг бүх зүрх сэтгэлээрээ хайрладаг нь ойлгомжтой" гэж Наташа бодов. Тэгээд яагаад хөгжилдөж болохгүй гэж? гэж Наташа бодов, Хелен рүү гайхсан, том нүдээр харав.
Марья Дмитриевна хөгшин хунтайжид ялагдсан нь илт чимээгүй, нухацтай оройн хоолондоо буцаж ирэв. Тэр мөргөлдөөнөөс болж түүхийг тайвнаар ярьж чадахгүй дэндүү догдолж байв. Гүнгийн асуултад тэр бүх зүйл сайхан байна, маргааш түүнд хэлнэ гэж хариулав. Гүнж Безуховагийн айлчлал, үдшийн урилгыг мэдээд Марья Дмитриевна хэлэв.
"Би Безуховатай цагийг өнгөрөөх дургүй бөгөөд үүнийг хийхийг зөвлөдөггүй; Хэрэв та амласан бол яв, анхаарал сарних болно гэж тэр нэмж хэлээд Наташа руу эргэв.

Гүн Илья Андреич охидоо гүнж Безухова руу аваачив. Орой нь нэлээд олон хүн байсан. Гэвч нийгэм бүхэлдээ Наташад бараг танил биш байв. Гүн Илья Андреич энэ нийгэм бүхэлдээ эмчилгээ хийх эрх чөлөөгөөрөө алдартай эрэгтэй, эмэгтэй хүмүүсээс бүрддэгийг дургүйцэн тэмдэглэв. Залуу хүмүүсээр хүрээлэгдсэн М лле Жорж зочны өрөөний буланд зогсож байв. Хэд хэдэн франц хүн байсан бөгөөд тэдний дунд Хеленийг ирснээс хойш түүний гэрийн найз байсан Метивье байв. Гүн Илья Андреич хөзөр тоглохгүй, охидоо орхихгүй, Жоржийн тоглолт дуусмагц явахаар шийдэв.
Анатолий үүдэнд Ростовынхныг орохыг хүлээж байгаа нь ойлгомжтой. Тэр шууд л гvнтэй мэндлээд Наташа руу ойртон араас нь явав. Наташа түүнийг харсан даруйдаа яг л театрт байсан шиг түүнд таалагдсан гэсэн дэмий таашаал, тэр хоёрын хооронд ёс суртахууны саад тотгор байхгүйгээс эмээж байв. Хелен Наташаг баяртайгаар хүлээн авч, түүний гоо үзэсгэлэн, даашинзыг чангаар биширэв. Тэднийг ирсний дараахан М лле Жорж хувцаслахаар өрөөнөөс гарав. Зочны өрөөнд тэд сандал зохион байгуулж, сууж эхлэв. Анатоль Наташад зориулж сандал гаргаж ирээд хажууд нь суухыг хүссэн ч Наташагаас нүд салгалгүй байсан граф түүний хажууд суув. Анатол ард талд суув.
Нүцгэн, хонхорхойтой, бүдүүн гартай, нэг мөрөн дээрээ улаан алчуураа өмссөн Мле Жорж сандлын завсар өөрт нь үлдээсэн хоосон орон зайд гарч ирэн, ер бусын байдлаар зогсов. Урам зоригтой шивнээ сонсогдов. Млле Жорж үзэгчид рүү ширүүн, гунигтай харан, хүүгээ хайрлах хайрын тухай франц хэлээр хэдэн шүлэг ярьж эхлэв. Зарим газарт тэр дуугаа өндөрсгөж, заримд нь шивнэж, толгойгоо өндийлгөж, зарим нь зогсоод, нүдээ эргэлдүүлэв.
- Гайхалтай, дивин, амттай! [Гайхалтай, бурханлаг, гайхалтай!] - бүх талаас сонсогдов. Наташа тарган Жорж руу харав, гэхдээ түүний өмнө юу болж байгааг юу ч сонссонгүй, хараагүй, ойлгосонгүй; Юу нь сайн, юу нь муу, юу нь үндэслэлтэй, юу нь галзуу болохыг мэдэхийн аргагүй, өмнөхөөсөө хол, хачирхалтай, галзуу ертөнцөд тэр дахин эргэлт буцалтгүй мэдэрсэн. Анатоль түүний ард сууж байсан бөгөөд тэр түүний ойр дотно байгааг мэдэрч, ямар нэг зүйл хүлээж байв.
Эхний монологийн дараа бүх хүмүүс босож Жоржийг тойрон, түүнд баярлаж байгаагаа илэрхийлэв.
- Тэр ямар сайн юм бэ! - гэж Наташа аавдаа хэлэв, тэр бусадтай хамт босч, олны дундуур жүжигчний зүг хөдөллөө.
"Би чамайг хараад олохгүй байна" гэж Анатол Наташаг дагаж хэлэв. Тэр үүнийг ганцаараа сонсож байх үед хэлэв. "Чи хөөрхөн юмаа... чамайг харсан цагаасаа хойш би зогсоогүй..."
"Алив, явцгаая, Наташа" гэж гvн охиныхоо төлөө буцаж ирэв. - Хэр сайн!
Наташа юу ч хэлэлгүй аав руугаа очин түүн рүү асуусан, гайхсан нүдээр харав.
Хэд хэдэн уншлага хүлээн авсны дараа М ле Жорж явахад гүнгийн авхай Безухая танхимд хамт байхыг хүсэв.
Гүн явахыг хүссэн ч Хелен түүнээс өөрийн бэлдсэн бөмбөгийг бүү сүйтгэхийг гуйв. Ростовчууд үлдсэн. Анатоль Наташаг вальст урьсан бөгөөд вальсын үеэр тэр бэлхүүс, гарыг нь сэгсэрч, түүнийг дур булаам гэж, түүнд хайртай гэдгээ хэлэв. Курагинтай дахин бүжиглэсэн эко хуралдааны үеэр тэд ганцаараа үлдэхэд Анатол түүнд юу ч хэлээгүй бөгөөд зөвхөн түүн рүү харав. Наташа зүүдэндээ вальс тоглож байхдаа түүний хэлсэн зүйлийг харсан эсэхэд эргэлзэж байв. Эхний дүрсийн төгсгөлд тэр дахин гар барив. Наташа айсан харцаараа түүн рүү харсан ч түүний энхрий харц, инээмсэглэлд өөртөө итгэлтэй энхрийлэл байсан тул түүн рүү харж, түүнд хэлэх үгээ хэлж чадахгүй байв. Тэр нүдээ доошлуулав.
"Надад битгий ийм юм яриад бай, би өөр хүнд хайртай, сүйд байгаа" гэж тэр хурдан хэлэв ... "Тэр түүн рүү харав. Анатолий хэлсэн үгэндээ ичиж, бухимдсангүй.
- Энэ тухай надад битгий хэлээрэй. Надад юу хамаатай юм бэ? - тэр хэлсэн. "Би чамд галзуу, ухаангүй дурласан гэж хэлж байна." Чи гайхалтай байгаа нь миний буруу гэж үү? Эхэлцгээе.
Хөгжилтэй, түгшүүртэй Наташа айсан нүдээрээ эргэн тойрноо хараад ердийнхөөсөө илүү хөгжилтэй харагдаж байв. Тэр орой болсон явдлын талаар бараг юу ч санасангүй. Тэд Ecossaise болон Gros Vater бүжиглэв, аав нь түүнийг явахыг урьсан тул тэр үлдэхийг хүсэв. Тэр хаана ч байсан, хэнтэй ч ярьсан түүний харц өөрийг нь харж байгааг мэдэрсэн. Дараа нь тэр ааваасаа хувцас солих өрөөнд орох зөвшөөрөл хүссэнээ, Хелен түүнийг дагаж, дүүгийнхээ хайрын тухай инээж байснаа, жижиг буйдангийн өрөөнд Анатольтой дахин уулзаж, Хелен хаа нэгтээ алга болсныг санав. , тэд ганцаараа үлдэж, Анатолий гараас нь атган, зөөлөн дуугаар хэлэв:
- Би чам дээр очиж чадахгүй, гэхдээ би чамайг хэзээ ч харахгүй гэж үү? Би чамд ухаангүй хайртай. Үнэхээр хэзээ ч гэж үү?...” гэж хэлээд түүний замыг хааж, нүүрээ түүнд ойртуулжээ.
Түүний гялалзсан, том, эрэгтэй нүд нь түүнд маш ойрхон байсан тул тэр эдгээр нүднээс өөр юу ч олж харсангүй.
- Натали?! гэж түүний хоолой асуусан шинжтэй шивнэхэд хэн нэгэн түүний гарыг өвдөж шахав.
- Натали?!
"Би юу ч ойлгохгүй байна, надад хэлэх зүйл алга" гэж тэр хэлэв.
Халуухан уруул түүний уруул дээр дарагдсан бөгөөд яг тэр мөчид тэр дахин эрх чөлөөтэй болж, Хелений алхам, хувцасны чимээ өрөөнд сонсогдов. Наташа Хелен рүү эргэж хараад, улайсан, чичирч, айсан асуултаар түүн рүү хараад хаалга руу явав.
"Un mot, un seul, au nom de Dieu, [Бурхны төлөө ганцхан үг" гэж Анатол хэлэв.
Тэр зогсов. Түүнд юу болсныг тайлбарлаж, түүнд хариулах энэ үгийг хэлэх нь түүнд үнэхээр хэрэгтэй байв.
"Nathalie, un mot, un seul" гэж тэр юу гэж хэлэхээ мэдэхгүй байгаа бололтой давтан хэлээд Хелен тэдэн рүү дөхөх хүртэл давтан хэлэв.
Хелен, Наташа хоёр дахин зочны өрөөнд гарав. Оройн хоолонд ч үлдэхгүй Ростовчууд явлаа.
Гэртээ буцаж ирэхэд Наташа шөнөжин унтсангүй: Анатоль эсвэл хунтайж Андрей хэнд хайртай вэ гэсэн шийдэгдээгүй асуултанд зовж шаналж байв. Тэр хунтайж Андрейд хайртай байсан - тэр түүнд ямар их хайртай гэдгээ тодорхой санаж байв. Гэхдээ тэр Анатольд бас хайртай байсан нь гарцаагүй. "Үгүй бол энэ бүхэн яаж болох байсан бэ?" тэр бодсон. "Хэрэв тэрний дараа би түүнтэй салах ёс гүйцэтгэхдээ түүний инээмсэглэлд инээмсэглэн хариулж чадах юм бол, хэрэв би үүнийг зөвшөөрч чадвал эхний минутаас л түүнд дурласан гэсэн үг. Энэ нь тэр эелдэг, эрхэмсэг, үзэсгэлэнтэй, түүнийг хайрлахгүй байх боломжгүй гэсэн үг юм. Би түүнд хайртай, өөр хүнийг хайрладаг бол яах ёстой вэ? гэж тэр аймшигт асуултын хариуг олж чадалгүй өөртөө хэлэв.

Санаа зоволт, бужигнаантай өглөө ирлээ. Бүгд босож, хөдөлж, ярьж эхлэв, тээрэмчид дахин ирж, Марья Дмитриевна дахин гарч ирэн цай дуудав. Наташа том нүдтэй, түүн рүү чиглэсэн харц бүрийг таслан зогсоохыг хүсч байгаа мэт эргэн тойрноо тайван бус харан, урьдынх шигээ харагдахыг хичээв.
Өглөөний цайны дараа Марья Дмитриевна (энэ бол түүний хамгийн сайхан үе байсан) сандал дээрээ суугаад Наташаг дуудаж, хөгшин хүн түүн рүү залгав.
"За найзуудаа, би одоо бүх зүйлийн талаар бодсон бөгөөд та нарт өгөх миний зөвлөгөө байна" гэж тэр эхлэв. - Өчигдөр би хунтайж Николайтай хамт байсан; За, би түүнтэй ярьсан ... Тэр хашгирахаар шийдэв. Чи намайг хашгирч чадахгүй! Би түүнд бүх зүйлийг дуулсан!
- Тэр юу вэ? - гэж тоологч асуув.
- Тэр юу вэ? галзуу хүн ... сонсохыг хүсэхгүй байна; За, би юу хэлэх вэ, тэгээд бид хөөрхий охиныг тарчлаалаа" гэж Марья Дмитриевна хэлэв. "Тэгээд миний чамд өгөх зөвлөгөө бол ажлаа дуусгаад Отрадное руу гэртээ хариад... тэнд хүлээж бай...
- Өө үгүй ​​ээ! гэж Наташа хашгирав.
"Үгүй ээ, явцгаая" гэж Марья Дмитриевна хэлэв. - Тэгээд тэнд хүлээ. "Хэрэв хүргэн одоо энд ирвэл хэрүүл маргаан гарахгүй, гэхдээ тэр өвгөнтэй ганцаараа бүх зүйлийг ярилцаад чам дээр ирнэ."
Илья Андрейч энэ саналыг зөвшөөрч, үндэслэлтэйг нь шууд ойлгов. Хэрэв өвгөн тайвшрах юм бол Москвад эсвэл Халзан ууланд түүн дээр ирэх нь дээр байх болно; Хэрэв тийм биш бол зөвхөн Отрадное хотод түүний хүслийн эсрэг гэрлэх боломжтой болно.
"Мөн жинхэнэ үнэн" гэж тэр хэлэв. "Би түүн дээр очоод түүнийг авсандаа харамсаж байна" гэж хөгшин гvн хэлэв.
- Үгүй ээ, яагаад харамсаад байгаа юм бэ? Энд ирсэн болохоор хүндэтгэл үзүүлэхгүй байхын аргагүй байлаа. За, хэрэв тэр хүсэхгүй байгаа бол энэ бол түүний ажил" гэж Марья Дмитриевна торноосоо ямар нэгэн зүйл хайж хэлэв. - Тийм ээ, инж бэлэн болсон, өөр юу хүлээх хэрэгтэй вэ? бэлэн биш байгаа зүйл байвал би танд илгээх болно. Хэдийгээр би чамайг өрөвдөж байгаа ч Бурхантай хамт явсан нь дээр. "Тэр торлогоос хайж байсан зүйлээ олоод Наташа руу өгөв. Энэ бол Марья гүнжээс ирсэн захидал байв. - Тэр танд бичдэг. Тэр яаж зовж байна, хөөрхий! Тэр чамайг хайрлахгүй гэж бодохоос айж байна.
"Тийм ээ, тэр надад хайргүй" гэж Наташа хэлэв.
"Дэмий юм, битгий ярь" гэж Марья Дмитриевна хашгирав.
- Би хэнд ч итгэхгүй; "Тэр надад хайргүй гэдгийг би мэдэж байна" гэж Наташа зоригтойгоор захидлыг аваад, царай нь хуурай, ууртай шийдэмгий байдлыг илэрхийлсэн нь Марья Дмитриевна түүн рүү илүү ойроос харж, хөмсгөө зангидахад хүргэв.
"Ээж ээ, ингэж хариулж болохгүй" гэж тэр хэлэв. -Миний хэлж байгаа зүйл үнэн. Хариу бичнэ үү.
Наташа хариулсангүй, Марьяа гүнжийн захидлыг уншихаар өрөөндөө оров.
Марья гүнж тэдний хооронд үүссэн үл ойлголцлоос болж цөхрөнгөө барсан тухайгаа бичжээ. Гүнж Марья аавынх нь сэтгэл ямар ч байсан, аз жаргалын төлөө бүх зүйлийг золиослоход бэлэн байсан дүүгийнхээ сонгосон хүн шиг түүнийг хайрлахгүй байхын аргагүй гэдэгт итгэхийг Наташагаас гуйжээ.
"Гэхдээ" гэж тэр бичжээ, "Аав минь чамд муухай хандсан гэж битгий бодоорой. Тэр бол өвчтэй, хөгшин хүн бөгөөд түүнийг зөвтгөх шаардлагатай; гэхдээ тэр эелдэг, өгөөмөр бөгөөд хүүгээ баярлуулах нэгнийг хайрлах болно." Марья гүнж цааш Наташа өөртэй нь дахин уулзах цагийг зааж өгөхийг хүсэв.
Наташа захидлыг уншсаны дараа "Чере гүнж ээ" гэж хариу бичихээр ширээний ард суугаад хурдан, механикаар бичээд зогсов. “Өчигдөр болсон бүхний дараа тэр юу бичиж чадах вэ? Тийм ээ, тийм ээ, энэ бүхэн тохиолдсон, одоо бүх зүйл өөр болсон" гэж тэр бодож, эхлүүлсэн захидалдаа суув. "Би түүнээс татгалзах ёстой юу? Энэ үнэхээр шаардлагатай юу? Энэ аймшигтай!" ... Тэгээд эдгээр аймшигт бодлуудыг бодохгүйн тулд Соня руу очиж, түүнтэй хамт хэв маягийг ялгаж эхлэв.
Оройн хоолны дараа Наташа өрөөндөө орж Марья гүнжийн захидлыг дахин авав. -"Үнэхээр бүх зүйл дууссан гэж үү? тэр бодсон. Энэ бүхэн үнэхээр хурдан болж, өмнөх бүх зүйлийг устгасан гэж үү"! Тэрээр хунтайж Андрейд хайртай байсан гэдгээ бүх хүч чадлаараа санаж, Курагиныг хайрладаг гэдгээ мэдэрсэн. Тэрээр өөрийгөө хунтайж Андрейгийн эхнэр гэж тод томруунаар төсөөлж, түүнтэй хамт байгаа аз жаргалын дүр төрхийг төсөөлөндөө олон удаа давтахыг төсөөлж, тэр үед догдолж улайж, өчигдөр Анатолтой хийсэн уулзалтынхаа бүх нарийн ширийн зүйлийг төсөөлж байв.
"Яагаад хамт байж болохгүй гэж? Заримдаа, бүрэн хиртэлтийн үед гэж тэр бодов. Тэр үед л би бүрэн аз жаргалтай байх байсан, гэхдээ одоо би сонгох ёстой бөгөөд аль аль нь байхгүй бол би аз жаргалтай байж чадахгүй. Нэг зүйл бол хунтайж Андрейд юу хэлэхийг хэлэх эсвэл нуух боломжгүй юм гэж тэр бодлоо. Мөн үүнтэй холбоотой юу ч мууддаггүй. Гэхдээ миний удаан амьдарсан хунтайж Андрейгийн хайрын аз жаргалаас үүрд салах боломжтой юу?"
"Залуу хатагтай" гэж охин нууцлаг харцаар шивнээд өрөөнд орж ирэв. -Нэг хүн надад хэл гэж хэлсэн. Охин захидлыг өгөв. Наташа юу ч бодолгүй механик хөдөлгөөнөөр лацыг эвдэж, Анатолийн хайрын захидлыг уншихад тэр ганцхан зүйлийг ойлгосон бөгөөд энэ захидал нь зөвхөн Христийн төлөө л гэж "Зөвхөн Христийн төлөө" гэж хэлэв. түүнийг, тэр хайртай хүнээс. "Тийм ээ, тэр хайртай, тэгэхгүй бол юу болсон бэ? Түүний гарт түүнээс хайрын захидал байж болох уу?

Хэрэв бид төв нь эхэн дээрээ байгаа нэгж тойрог байгуулж, аргументад дурын утгыг тогтоовол x 0ба тэнхлэгээс тоол Үхэрбулан x 0, тэгвэл нэгж тойрог дээрх энэ өнцөг нь тодорхой цэгтэй тохирч байна А(Зураг 1) ба түүний тэнхлэг дээрх проекц Өөцэг байх болно М. Хэсгийн урт ОМцэгийн абсциссагийн үнэмлэхүй утгатай тэнцүү А. Өгөгдсөн аргументийн үнэ цэнэ x 0функцийн утгыг дүрсэлсэн y=cos x 0 абсцисса цэгүүд шиг А. Үүний дагуу цэг IN(x 0 ;цагт 0) функцийн графикт хамаарна цагт= cos X(Зураг 2). Хэрэв цэг бол Атэнхлэгийн баруун талд байна OU, Одоогийн синус эерэг байх боловч зүүн талд байвал сөрөг байна. Гэхдээ ямар ч байсан, хугацаа Атойргоос гарч чадахгүй. Тиймээс косинус нь -1-ээс 1 хүртэлх мужид оршдог.

–1 = cos x = 1.

Ямар ч өнцгөөр нэмэлт эргэлт, 2-ын үржвэр х, цэгийг буцаана Аижил газар. Тиймээс функц у = cos xх:

учир нь( x+ 2х) = cos x.

Хэрэв бид аргументийн хоёр утгыг авбал үнэмлэхүй утгаараа тэнцүү, гэхдээ тэмдгээр эсрэгээрээ, xТэгээд - x, тойрог дээрх харгалзах цэгүүдийг ол А хТэгээд А -х. Зураг дээр харж болно. 3 тэнхлэг дээрх тэдгээрийн проекц Өөижил цэг юм М. Тийм ч учраас

учир нь(- x) = cos ( x),

тэдгээр. косинус бол тэгш функц, е(–x) = е(x).

Энэ нь бид функцийн шинж чанарыг судлах боломжтой гэсэн үг юм y= cos Xсегмент дээр , дараа нь түүний паритет, үе үеийг харгалзан үзнэ.

At X= 0 оноо Атэнхлэг дээр байрладаг Өө, түүний абсцисса нь 1, тиймээс cos 0 = 1. Өсөх тусам Xцэг Атойргийг тойрон дээш, зүүн тийш хөдөлж, түүний проекц нь мэдээжийн хэрэг зөвхөн зүүн тийш, х = дээр байна. х/2 косинус 0-тэй тэнцүү болно.Цэг Аэнэ мөчид энэ нь хамгийн дээд өндөрт хүрч, дараа нь зүүн тийшээ хөдөлж байгаа боловч аль хэдийн доошилж байна. Түүний абсцисса нь -1 at-тай тэнцүү хамгийн бага утгад хүрэх хүртэл буурдаг X= х. Тиймээс интервал дээр функц цагт= cos X 1-ээс –1 хүртэл монотон буурдаг (Зураг 4, 5).

Косинусын паритетаас үзэхэд интервал дээр [– х, 0] функц нь -1-ээс 1 хүртэл монотон нэмэгдэж, тэг утгыг авна x =–х/2. Хэрэв та хэд хэдэн сарын тэмдэг авбал долгион муруй болно (Зураг 6).

Тиймээс функц y= cos xцэгүүдэд тэг утгыг авдаг X= х/2 + кп, Хаана к -дурын бүхэл тоо. Цэг дээр 1-тэй тэнцүү дээд цэгт хүрнэ X= 2кп, өөрөөр хэлбэл 2 алхамаар х, хамгийн бага нь цэгүүд дээр -1-тэй тэнцүү X= х + 2кп.

y = sin x функц.

Нэгжийн тойргийн буланд x 0 нь цэгтэй тохирч байна А(Зураг 7), ба түүний тэнхлэг дээрх проекц OUцэг байх болно Н.Зфункцийн утга y 0 =нүгэл x 0цэгийн ординатаар тодорхойлогддог А. Цэг IN(булан x 0 ,цагт 0) функцийн графикт хамаарна y= нүгэл x(Зураг 8). Функц нь тодорхой байна у =нүгэл xүе үе, түүний хугацаа нь 2 х:

нүгэл( x+ 2х) = нүгэл ( x).

Хоёр аргументын утгын хувьд, XМөн -, тэдгээрийн харгалзах цэгүүдийн төсөөлөл А хТэгээд А -хтэнхлэг бүрт OUцэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрлалтай ТУХАЙ. Тийм ч учраас

нүгэл(- x) = -нүгэл ( x),

тэдгээр. синус нь сондгой функц, f(– x) = –f( x) (Зураг 9).

Хэрэв цэг бол Ацэгтэй харьцуулахад эргүүлэх ТУХАЙөнцгөөр х/2 цагийн зүүний эсрэг (өөрөөр хэлбэл, хэрэв өнцөг X-ээр нэмэгдүүлнэ х/2), тэгвэл түүний шинэ байрлал дахь ординат нь хуучин байрлал дахь абсциссатай тэнцүү байна. Юу гэсэн үг вэ гэхээр

нүгэл( x+ х/2) = cos x.

Үгүй бол синус нь косинус "хожуу" байна х/2, учир нь аргумент нэмэгдэхэд аливаа косинусын утга синус дотор “давтагдах” болно. х/2. Синусын график байгуулахын тулд косинусын графикийг өөр тийш шилжүүлэхэд хангалттай х/2 баруун тийш (Зураг 10). Синусын маш чухал шинж чанар нь тэгш байдалаар илэрхийлэгддэг

Тэгш байдлын геометрийн утгыг Зураг дээрээс харж болно. 11. Энд X -энэ бол хагас нум юм AB, шиг X -харгалзах хөвчний хагас. Оноо ойртох тусам энэ нь ойлгомжтой АТэгээд INхөвчний урт нь нумын уртад улам ойртож байна. Ижил дүрсээс тэгш бус байдлыг гаргахад хялбар байдаг

|нүгэл x| x|, аль ч тохиолдолд үнэн X.

Математикчид (*) томъёог гайхалтай хязгаар гэж нэрлэдэг. Үүнээс ялангуяа тэр гэм нүглийг дагадаг X» Xбагадаа X.

Функцүүд цагт= тг x, y=ctg X. Бусад хоёр тригонометрийн функцууд болох тангенс ба котангенс нь бидний аль хэдийн мэдэгдэж байсан синус ба косинусын харьцаагаар хамгийн амархан тодорхойлогддог.

Синус ба косинусын нэгэн адил тангенс ба котангенс нь үечилсэн функц боловч тэдгээрийн үеүүд тэнцүү байна х, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь синус ба косинусын хагас хэмжээтэй байна. Үүний шалтгаан нь тодорхой: хэрэв синус ба косинус хоёулаа тэмдгийг өөрчилвөл тэдгээрийн харьцаа өөрчлөгдөхгүй.

Шүргэгчийн хуваагч нь косинус агуулдаг тул косинус 0 байх үед тангенс нь тодорхойлогддоггүй. X= х/2 +kp. Бусад бүх цэгүүдэд энэ нь монотоноор нэмэгддэг. Шууд X= х/2 + кпУчир нь шүргэгч нь босоо асимптотууд юм. Цэгүүд дээр кпшүргэгч ба налуу нь тус тус 0 ба 1 байна (Зураг 12).

Котангенс нь синус 0 байх үед тодорхойлогдоогүй (хэзээ x = kp). Бусад цэгүүдэд энэ нь монотон, шулуун шугамаар буурдаг x = kp – түүний босоо асимптотууд. Цэгүүд дээр x = p/2 +kpкотангенс 0 болж, эдгээр цэгүүдийн налуу нь -1 (Зураг 13).

Паритет ба үе үе.

Функцийг ч гэсэн дууддаг е(–x) = е(x). Косинус ба секантын функцууд тэгш, синус, тангенс, котангенс, косекант функцууд нь сондгой байна.

Паритын шинж чанарууд нь цэгүүдийн тэгш хэмээс хамаарна Па ба Р-а (Зураг 14) тэнхлэгтэй харьцуулахад X. Ийм тэгш хэмтэй бол цэгийн ординат тэмдэг өөрчлөгддөг (( X;цагт) руу явдаг ( X; –у)). Бүх функцууд - үе үе, синус, косинус, секант, косекант нь 2 үетэй байна х, ба тангенс ба котангенс - х:

Синус ба косинусын үечилсэн байдал нь бүх цэгүүд байдаг П a+2 кп, Хаана к= 0, ±1, ±2,…, давхцах ба шүргэгч ба котангенсийн үечлэл нь цэгүүдтэй холбоотой байдаг. П a+ кптойргийн диаметрийн эсрэг хоёр цэгт ээлжлэн унаж, шүргэгч тэнхлэгт ижил цэгийг өгнө.

Тригонометрийн функцүүдийн үндсэн шинж чанаруудыг хүснэгтэд нэгтгэн дүгнэж болно.

Бууруулах томъёо.

Эдгээр томьёоны дагуу a аргументийн тригонометрийн функцийн утга, энд х/2 a p , 0 a p /2 нь үүнтэй ижил эсвэл нэмэлт функц болох a аргументын утга болгон бууруулж болно.

Аргумент b	-а	+ a	х-а	х+ a	+ a	+ a	2х-а
нүгэл б	учир нь а	учир нь а	нүгэл а	– нүгэл а	– cos a	– cos a	– нүгэл а
cos b	нүгэл а	– нүгэл а	– cos a	– cos a	– нүгэл а	нүгэл а	учир нь а

Тиймээс тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтэд утгыг зөвхөн хурц өнцгийн хувьд өгдөг бөгөөд жишээлбэл, синус ба шүргэгчээр өөрсдийгөө хязгаарлахад хангалттай. Хүснэгтэнд зөвхөн синус ба косинусын хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг томъёог харуулав. Эдгээрээс шүргэгч ба котангенсийн томъёог олж авахад хялбар байдаг. Маягтын аргументаас функцийг дамжуулах үед кп/2 ± a, хаана к– бүхэл тоо, a аргументийн функцэд:

1) хэрэв функцийн нэр хадгалагдана ктэгш, хэрэв "нэмэлт" болж өөрчлөгдөнө ксондгой;

2) баруун талд байгаа тэмдэг нь цэг дээрх бууруулж болох функцын тэмдэгтэй давхцаж байна кп/2 ± a өнцөг a хурц байвал.

Жишээлбэл, ctg (a -) дамжуулах үед х/2) бид a – гэдгийг баталгаажуулдаг. х/2 at 0 a p /2 нь котангенс сөрөг байх дөрөв дэх квадратад байрлах ба 1-р дүрмийн дагуу бид функцийн нэрийг өөрчилнө: ctg (a –) х/2) = –tg a .

Нэмэлт томъёо.

Олон өнцөгт зориулсан томъёо.

Эдгээр томъёог нэмэлт томъёоноос шууд гаргаж авсан болно:

sin 2a = 2 sin a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

нүгэл 3а = 3 нүгэл а – 4 нүгэл 3 a ;

cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;

Куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ cos 3a-ийн томъёог Франсуа Вьет ашигласан. Тэрээр cos-ийн илэрхийлэлийг анх олсон хүн юм nа ба нүгэл n a, дараа нь Мойврын томъёоноос илүү хялбар аргаар олж авсан.

Хэрэв та давхар аргументын томъёонд a-г /2-р сольсон бол тэдгээрийг хагас өнцгийн томьёо болгон хувиргаж болно:

Бүх нийтийн орлуулах томъёо.

Эдгээр томьёог ашиглан ижил аргументийн өөр өөр тригонометрийн функцийг агуулсан илэрхийллийг tg (a /2) нэг функцийн оновчтой илэрхийлэл болгон дахин бичиж болно, энэ нь зарим тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрэг болно.

Нийлбэрийг бүтээгдэхүүн, бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хувиргах томъёо.

Компьютер гарч ирэхээс өмнө эдгээр томъёог тооцооллыг хялбарчлахад ашигладаг байсан. Тооцооллыг логарифмын хүснэгт ашиглан хийсэн бөгөөд дараа нь слайдын дүрэм, учир нь логарифмууд нь тоог үржүүлэхэд хамгийн тохиромжтой байдаг тул бүх анхны илэрхийлэлүүдийг логарифмжуулахад тохиромжтой хэлбэрт оруулав. ажиллах, жишээлбэл:

2 гэм анүгэл b = cos ( а–б) - учир нь ( a+b);

2cos а cos б=cos( а–б) + учир ( a+b);

2 гэм а cos б= нүгэл ( а–б) + нүгэл ( a+b).

Тангенс ба котангенсийн функцүүдийн томъёог дээрхээс авч болно.

Зэрэг бууруулах томъёо.

Олон аргументын томъёоноос дараах томъёог гаргаж авсан болно.

Эдгээр томъёог ашиглан тригонометрийн тэгшитгэлийг бага зэрэгтэй тэгшитгэл болгон бууруулж болно. Үүнтэй адилаар бид синус ба косинусын өндөр хүчийг бууруулах томъёог гаргаж авч болно.

Тригонометрийн функц бүр өөрийн тодорхойлолтын хүрээний цэг бүрт тасралтгүй бөгөөд хязгааргүй дифференциал байдаг. Түүгээр ч зогсохгүй тригонометрийн функцүүдийн деривативууд нь тригонометрийн функцууд бөгөөд интегралдсан тохиолдолд тригонометрийн функцууд эсвэл тэдгээрийн логарифмуудыг олж авдаг. Тригонометрийн функцүүдийн оновчтой хослолын интеграл нь үргэлж энгийн функцууд байдаг.

Тригонометрийн функцуудыг чадлын цуваа ба хязгааргүй үржвэрийн хэлбэрээр илэрхийлэх.

Бүх тригонометрийн функцуудыг хүчирхэг цуваагаар өргөжүүлж болно. Энэ тохиолдолд функцууд нь нүгэл үйлддэг x bcos xэгнээнд үзүүлэв. бүх утгыг нэгтгэх x:

Эдгээр цувралыг нүглийн ойролцоо илэрхийллийг олж авахад ашиглаж болно xболон cos xжижиг утгууд дээр x:

дээр | x| p/2;

0 x|-д х

(Б n - Бернулли тоо).

нүгэл үйлдлүүд xболон cos xхязгааргүй бүтээгдэхүүн хэлбэрээр төлөөлж болно:

Тригонометрийн систем 1, cos x,нүгэл x, cos 2 x, гэм 2 x,¼,cos nx,нүгэл nx, ¼, сегмент дэх хэлбэрүүд [– х, х] функцүүдийн ортогональ систем бөгөөд энэ нь функцийг тригонометрийн цуваа хэлбэрээр дүрслэх боломжийг олгодог.

Бодит аргументийн харгалзах тригонометрийн функцүүдийн цогц хавтгайд аналитик үргэлжлэл гэж тодорхойлогддог. Тийм ээ, нүгэл zболон cos zнүгэлд зориулсан цувралыг ашиглан тодорхойлж болно xболон cos x, оронд нь бол xтавих z:

Эдгээр цувралууд бүхэл бүтэн хавтгайд нийлдэг тул нүгэл үйлддэг zболон cos z- бүхэл бүтэн функцууд.

Тангенс ба котангенсыг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

tg функцууд zба ctg z- мероморф функцууд. тг шон zболон сек z– энгийн (1-р дараалал) ба цэгүүдэд байрладаг z = p/2 + pn,туйл ctg zболон косек z- бас энгийн бөгөөд цэгүүдэд байрладаг z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Бодит аргументын тригонометрийн функцэд хүчинтэй бүх томъёо нь нарийн төвөгтэй аргументын хувьд бас хүчинтэй байна. Тухайлбал,

нүгэл(- z) = -нүгэл z,

учир нь(- z) = cos z,

тг(- z) = –тг z,

ctg(- z) = –ctg z,

тэдгээр. тэгш ба сондгой паритет хадгалагдана. Томъёо бас хадгалагдана

нүгэл( z + 2х) = нүгэл z, (z + 2х) = cos z, (z + х) = тг z, (z + х) = ctg z,

тэдгээр. үечлэл нь мөн хадгалагдаж, цэгүүд нь бодит аргументийн функцуудтай ижил байна.

Тригонометрийн функцуудыг цэвэр төсөөллийн аргументийн экспоненциал функцээр илэрхийлж болно.

Буцах, e iz cos-ээр илэрхийлэгдэнэ zмөн нүгэл zтомъёоны дагуу:

e iz=cos z + бинүгэл z

Эдгээр томъёог Эйлерийн томъёо гэж нэрлэдэг. Леонхард Эйлер тэдгээрийг 1743 онд боловсруулсан.

Тригонометрийн функцийг мөн гипербол функцээр илэрхийлж болно.

z = –биШ из, cos z = ch iz, z = –i th iz.

Энд sh, ch ба th нь гиперболын синус, косинус ба тангенс юм.

Нарийн төвөгтэй аргументуудын тригонометрийн функцууд z = x + iy, Хаана xТэгээд y– бодит тоонуудыг бодит аргументуудын тригонометрийн болон гиперболын функцээр илэрхийлж болно, жишээлбэл:

нүгэл( x + iy) = нүгэл x ch y + би cos xШ y;

учир нь( x + iy) = cos x ch y + бинүгэл xШ y.

Нарийн төвөгтэй аргументийн синус ба косинус нь үнэмлэхүй утгаараа 1-ээс их бодит утгыг авч болно. Жишээлбэл:

Хэрэв үл мэдэгдэх өнцөг нь тригонометрийн функцуудын аргумент болгон тэгшитгэлд орвол тэгшитгэлийг тригонометр гэж нэрлэдэг. Ийм тэгшитгэл нь маш түгээмэл тул тэдгээрийн аргууд шийдлүүд нь маш нарийн бөгөөд сайтар боловсруулсан. ХАМТТөрөл бүрийн техник, томьёог ашиглан тригонометрийн тэгшитгэлийг хэлбэрийн тэгшитгэл болгон бууруулдаг е(x)= a, Хаана е- хамгийн энгийн тригонометрийн функцүүдийн аль нэг нь: синус, косинус, тангенс эсвэл котангенс. Дараа нь аргументыг илэрхийл xэнэ функц нь мэдэгдэж буй утгаараа А.

Тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг тул адилхан Аутгуудын хүрээнээс аргументийн хязгааргүй олон утгууд байдаг бөгөөд тэгшитгэлийн шийдлүүдийг нэг функц болгон бичих боломжгүй. А. Тиймээс үндсэн тригонометрийн функц тус бүрийн тодорхойлолтын мужид өөрийн бүх утгыг зөвхөн нэг удаа авах хэсгийг сонгосон бөгөөд энэ хэсэгт урвуу функцийг олох болно. Ийм функцийг анхны функцийн нэрэнд нуман (нум) угтварыг нэмж тэмдэглэж, урвуу тригонометр гэж нэрлэдэг. функцууд эсвэл зүгээр л нуман функцууд.

Урвуу тригонометрийн функцууд.

Нүглийн төлөө X, cos X, тг Xба ctg Xурвуу функцийг тодорхойлж болно. Тэдгээрийг зохих ёсоор arcsin-ээр тэмдэглэв X("arcsine"-г уншина уу x"), аркос x, арктан xболон arcctg x. Тодорхойлолтоор, arcsin Xийм тоо байдаг у,Юу

нүгэл цагт = X.

Бусад урвуу тригонометрийн функцүүдийн хувьд мөн адил. Гэхдээ энэ тодорхойлолт нь зарим нэг алдаатай байдаг.

Хэрэв та нүглийг тусгах юм бол X, cos X, тг Xба ctg XКоординатын хавтгайн эхний ба гурав дахь квадратуудын биссектрисатай харьцуулахад функцууд нь үечилсэн байдлаасаа болж хоёрдмол утгатай болдог: хязгааргүй тооны өнцөг нь ижил синустай (косинус, тангенс, котангенс) тохирдог.

Хоёрдмол утгатай байдлаас ангижрахын тулд өргөнтэй муруйн хэсэг х, энэ тохиолдолд аргумент ба функцийн утгын хооронд нэг нэгээр нь харьцах шаардлагатай. Координатын гарал үүслийн ойролцоох газруудыг сонгосон. Синусын хувьд "Нэгээс нэг интервал" болгон бид сегментийг авдаг [– х/2, х/2], үүн дээр синус монотоноор нэмэгддэг -1-ээс 1, косинусын хувьд – сегмент, шүргэгч ба котангенсийн хувьд интервалууд (–) х/2, х/2) ба (0, х). Интервал дээрх муруй бүр нь биссектрисатай харьцуулахад тусгагдсан бөгөөд одоо урвуу тригонометрийн функцийг тодорхойлж болно. Жишээлбэл, аргументийн утгыг өгье x 0, 0 Ј x 0 Ј 1. Дараа нь функцийн утга y 0 = арксин x 0 ганцхан утга байх болно цагт 0 , ийм - х/2 Ј цагт 0 Ј х/2 ба x 0 = нүгэл y 0 .

Тиймээс арксин нь арксинын функц юм А, [–1, 1] интервал дээр тодорхойлогдсон бөгөөд тус бүрдээ тэнцүү байна Аийм үнэ цэнэ, - х/2 a p /2 that sin a = А.Үүнийг нэгж тойрог ашиглан дүрслэх нь маш тохиромжтой (Зураг 15). Хэзээ | a| 1 тойрог дээр ординаттай хоёр цэг байна а, тэнхлэгийн тэгш хэмтэй у.Тэдний нэг нь өнцөгтэй тохирч байна а= арксин А, нөгөө нь булан юм p - a. ХАМТсинусын үечлэлийг харгалзан син тэгшитгэлийг шийдвэрлэх x= Адараах байдлаар бичигдсэн байна.

x =(–1)nарксин а + 2p n,

Хаана n= 0, ±1, ±2,...

Бусад энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг ижил аргаар шийдэж болно.

cos x = а, –1 =а= 1;

x =±аркос а + 2p n,

Хаана П= 0, ±1, ±2,... (Зураг 16);

тг X = а;

x= арктан а + х n,

Хаана n = 0, ±1, ±2,... (Зураг 17);

ctg X= А;

X= arcctg а + х n,

Хаана n = 0, ±1, ±2,... (Зураг 18).

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн үндсэн шинж чанарууд:

арксин X(Зураг 19): тодорхойлолтын домэйн – сегмент [–1, 1]; хүрээ – [– х/2, х/2], монотон нэмэгдэж буй функц;

arccos X(Зураг 20): тодорхойлолтын домэйн – сегмент [–1, 1]; хүрээ –; монотон буурах функц;

arctg X(Зураг 21): тодорхойлолтын домэйн - бүх бодит тоо; утгын хүрээ – интервал (– х/2, х/2); монотон нэмэгдэж буй функц; Чигээрээ цагт= –х/2 ба y = p /2 -хэвтээ асимптотууд;

arcctg X(Зураг 22): тодорхойлолтын домэйн - бүх бодит тоо; утгын хүрээ - интервал (0, х); монотон буурах функц; Чигээрээ y= 0 ба y = p- хэвтээ асимптотууд.

Хэнд ч зориулав z = x + iy, Хаана xТэгээд yнь бодит тоо, тэгш бус байдал хамаарна

½| e\e y–э-y| ≤|нүгэл z|≤½( e y +e-y),

½| e y–э-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

үүнээс цагт y® Ґ асимптотик томьёо (хэрэгцээ жигд x)

|нүгэл z| » 1/2 д |у| ,

|cos z| » 1/2 д |у| .

Тригонометрийн функцүүд анх одон орон, геометрийн судалгаатай холбоотой гарч ирсэн. Гурвалжин ба тойрог дахь сегментүүдийн харьцаа нь үндсэндээ тригонометрийн функцууд болох 3-р зуунд аль хэдийн олдсон байдаг. МЭӨ д. Эртний Грекийн математикчдын бүтээлүүдэд – Евклид, Архимед, Пергийн Аполлониус болон бусад боловч эдгээр харилцаа нь бие даасан судалгааны объект биш байсан тул тригонометрийн функцийг судлаагүй. Тэдгээрийг анх сегмент гэж үздэг байсан бөгөөд энэ хэлбэрээр Аристарх (МЭӨ 4-р зууны сүүлч - 3-р зууны 2-р хагас), Гиппарх (МЭӨ 2-р зуун), Менелаус (МЭ 1-р зуун) ба Птолемей (МЭ 2-р зуун) ашиглаж байжээ бөмбөрцөг гурвалжныг шийдвэрлэх. Птолемей цочмог өнцгийн хөвчүүдийн эхний хүснэгтийг 30" тутамд 10-6 нарийвчлалтайгаар эмхэтгэсэн. Энэ бол синусын анхны хүснэгт байсан. Харьцааны хувьд sin a функц нь Арьябхатад (5-р зууны төгсгөл) аль хэдийн олдсон байдаг. tg a ба ctg a функцууд нь аль-Баттани (9-р зууны 2-р хагас - 10-р зууны эхэн) ба Абул-Вефа (10-р зууны) -д байдаг бөгөөд тэд мөн сек a, cosec a-г ашигладаг Арьябхата (sin 2 a) томъёог аль хэдийн мэддэг байсан. + cos 2 a) = 1, түүнчлэн хагас өнцгийн нүгэл ба cos-ийн томьёо, тэдгээрийн тусламжтайгаар би 3°45" хүртэлх өнцгийн синусын хүснэгтүүдийг барьсан; хамгийн энгийн аргументуудын хувьд тригонометрийн функцүүдийн мэдэгдэж буй утгууд дээр үндэслэсэн. Бхаскара (12-р зуун) нэмэх томъёог ашиглан хүснэгтийг 1-ийн нөхцлөөр байгуулах аргыг өгсөн. Төрөл бүрийн аргументуудын тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба зөрүүг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах томъёог Региомонтанус (15-р зуун) ба Ж.Напиер нар логарифмийг (1614) зохион бүтээсэнтэй холбогдуулан гаргаж авсан. Региомонтан синусын утгуудын хүснэгтийг 1"-ээр өгсөн. Тригонометрийн функцуудыг зэрэглэлийн цуваа болгон өргөжүүлэхийг И.Ньютон (1669) олж авсан. Тригонометрийн функцүүдийн онолыг орчин үеийн хэлбэрт Л. Эйлер ( 18-р зуунд).

Тригонометрийн функцууд нь одон орон, геометрийн судалгаатай холбоотойгоор Эртний Грекд үүссэн. Тригонометрийн функцууд болох тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын харьцаа 3-р зуунд аль хэдийн олдсон байдаг. МЭӨ д. Евклид, Архимед, Пергийн Аполлониус болон бусад хүмүүсийн бүтээлүүдэд. Тригонометрийн функц, ерөнхийдөө тригонометрийн онолын орчин үеийн хэлбэрийг Л.Эйлер өгсөн. Тэрээр тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт, өнөөдөр хүлээн зөвшөөрөгдсөн бэлгэдлийг эзэмшдэг.

Тригонометрийн функцууд (Грек хэлний trigonon - "гурвалжин" ба metreo - "хэмжих" гэсэн үгнээс гаралтай) нь функцүүдийн хамгийн чухал ангиллын нэг юм.

Тригонометрийн функцийг тодорхойлохын тулд радиус 1 ба төв нь гарал үүсэл дээр байрладаг тригонометрийн тойрог (тойрог) авч үзье (Зураг 1). Хэрэв φ нь радианаар илэрхийлсэн OS ба OA радиусуудын хоорондох өнцөг, 0 ≤ φ ≤ 2π (өнцгийг OS-ээс OA хүртэлх чиглэлд хэмждэг) байвал А цэгийн координатыг өнцгийн косинус ба синус гэнэ. φ тус тус ба x = cos φ ба n = sin φ гэж тэмдэглэнэ. Эндээс харахад |cos φ| ≤ 1, |sin φ| ≤ 1 ба cos 2 φ + sin 2 φ = 1.

Хурц булангийн хувьд (0< φ < π/2) тригонометрические функции cos φ и sin φ можно рассматривать как отношения катета прямоугольного треугольника (прилежащего к углу и противолежащего углу соответственно) к гипотенузе (рис. 2), длина которой уже не обязательно равна единице. Исходя из этого определения, составим таблицу для значений тригонометрических функций некоторых углов; кроме того, ясно, что

cos 0 = sin π/2 = 1 ба cos π/2 = sin 0 = 0.

0 ≤ φ ≤ 2π-ийн тригонометрийн функцүүдийн графикийг байгуулахын тулд бид дараах байдлаар ажиллана. Тригонометрийн тойргийг 16 тэнцүү хэсэгт хувааж, координатын системийг ойролцоо байрлуулъя. 3, энд Oφ тэнхлэг дээрх 2π урттай сегмент мөн 16 тэнцүү хэсэгт хуваагдана. Тойргийн хуваах цэгүүдээр дамжуулан Oφ тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам зурж, эдгээр шулуун шугамын огтлолцол дээр Oφ тэнхлэг дээрх сегментийг хуваах харгалзах цэгүүдээс босгосон перпендикуляраар бид координат нь синусуудтай тэнцүү цэгүүдийг олж авна. харгалзах өнцөг (Зураг 3); Ойролцоогоор дараах тэгшитгэлүүд байна гэдгийг анхаарна уу.

нүгэл π/8 ≈ 0.4, нүгэл π/4 ≈ 0.7, нүгэл 3π/8 ≈ 0.9.

Хэрэв бид 16 биш, 32, 64 гэх мэтийг авбал. Хэрэв та y = sin φ функцийн график дээр хэвтээд хэдэн ч цэг байгуулж болно. Тэдгээрийн дундуур гөлгөр муруй зурж, бид сегмент дээрх y = sin φ функцийн нэлээд хангалттай графикийг олж авна. Бүх тооны мөрөнд тодорхойлсон y = sin φ функцийг олж авахын тулд эхлээд маягтын бүх сегментүүд дээр тодорхойлно n ≥ 1 - бүхэл тоо, өөрөөр хэлбэл. φ, φ + 2π, φ + 4π, ... цэгүүд дэх утгууд нь (0 ≤ φ ≤ 2π) тэнцүү гэж үзвэл сөрөг φ хувьд sin (-φ) = -sin φ тэгш байдлыг ашиглана. . Энэ бүгдийг хийсний дараа бид Зураг дээр үзүүлсэн графикийг олж авна. 4. Үүний үр дүнд бид үечилсэн (2 πn, n-бүхэл тоо ба n ≠ 0 үетэй), сондгой y = sin φ функцийг олж авдаг бөгөөд энэ нь φ-ийн бүх бодит утгуудад тодорхойлогддог; түүний хүрээ нь [-1, 1] байна.

y = cos φ (бүх φ-ийн хувьд) функцийг тодорхойлохдоо бид эхлээд 0 ≤ φ ≤ π/2-ын хувьд cos φ = sin (π/2 - φ) болохыг анхаарна уу, энэ нь sin φ тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтоос шууд гардаг. ба cos φ. y = sin φ функцийг бид бүх φ-ийн хувьд аль хэдийн тодорхойлсон тул энэ тэгш байдал нь бүх φ-ийн хувьд y = cos φ функцийг тодорхойлно гэж тодорхойлолтоор үзэх болно. Энэхүү тодорхойлолтоос y = cos φ функцийн графикийг олоход хэцүү биш бөгөөд энэ нь жигд бөгөөд үе үе байх нь ойлгомжтой, учир нь түүний графикийг y = sin φ функцийн графикаас зүүн тийш параллель орчуулгатайгаар олж авсан болно. π/2 урттай сегмент дээр y = sin φ функцийн нэг бүхэл график хэлбэрээр (Зураг 5).

Хамгийн энгийн дүн шинжилгээ (график ашиглан) нь дээр дурдсанаас гадна дараахь бууралтын томъёолол хүчинтэй болохыг харуулж байна.

нүгэл (φ + nπ) = ± sin φ, cos (φ + nπ) = ± cos φ,

нүгэл (φ + nπ/2) = ± cos φ, cos (φ + nπ/2) = ∓ sin φ,

Эхний мөрийн томъёонд n нь ямар ч бүхэл тоо байж болох ба дээд тэмдэг нь n = 2k, доод тэмдэг нь n = 2k + 1 утгатай, хоёр дахь мөрийн томъёонд зөвхөн n байж болно. сондгой тоо бөгөөд дээд тэмдгийг n = 4k + 1, доод тэмдгийг n = 4k - 1 гэж авна, k нь бүхэл тоо юм.

Sin φ ба cos φ үндсэн тригонометрийн функцуудыг ашиглан та бусад тригонометрийн функцуудыг тодорхойлж болно - тангенс ба котангенс:

tan φ = sin φ / cos φ,

cot φ = cos φ / sin φ;

Энэ тохиолдолд тангенс нь зөвхөн cos φ ≠ 0, өөрөөр хэлбэл φ ≠ π/2 + nπ, n = 0, ±1, + 2, ..., котангентын хувьд зөвхөн φ-ийн утгуудын хувьд тодорхойлогддог. функц - ийм φ-ийн хувьд нүгэл φ ≠ 0, өөрөөр хэлбэл. φ ≠ nπ, n = 0, ±1, ±2, .... Хурц өнцгийн эдгээр функцийг мөн геометрийн чиглэлтэй шулуун шугамын хэрчмүүдээр илэрхийлж болно (Зураг 6):

tg φ = |AB|, ор φ = |CD|.

Синус ба косинусын нэгэн адил цочмог өнцгийн тангенс ба котангенсын функцийг хөлүүдийн харьцаа гэж үзэж болно: шүргэгчийн хувьд зэргэлдээх, котангентын хувьд зэргэлдээх. y = tg φ ба y = ctg φ функцуудын графикуудыг Зураг дээр үзүүлэв. 7 ба 8; Таны харж байгаагаар эдгээр функцууд нь сондгой, үечилсэн бөгөөд үе нь nπ тоотой, n = +1, ±2, ....

Хамгийн чухал тригонометрийн томъёо - нэмэх томъёо:

нүгэл (φ 1 ± φ 2) = sin φ 1 cos φ 2 ± cos φ 1 sin φ 2,

cos (φ 1 ± φ 2) = cos φ 1 cos φ 2 ∓ sin φ 1 sin φ 2,

tg(φ 1 ± φ 2) = (tg φ 1 ± tg φ 2)/(1 ∓ tg φ 1 tan φ 2)

томъёоны зүүн ба баруун талд байгаа тэмдгүүд нь нийцэж байгаа, i.e. Зүүн талын дээд тэмдэгт нь баруун талын дээд тэмдэгттэй тохирч байна. Тэдгээрээс, ялангуяа олон аргументуудын томъёог гаргаж авдаг:

sin 2φ = 2 sin φ cos φ,

cos 2φ = cos 2 φ - sin 2 φ,

tg 2 φ = 2tg φ (1 - tg 2 φ).

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба зөрүүг тригонометрийн функцүүдийн үржвэр болгон төлөөлж болно (эхний болон дөрөв дэх томьёоны тэмдэгтүүд нийцэж байна):

sin φ 1 sin φ 2 = 2sin ((φ 1 ± φ 2)/2) cos ((φ 1 ∓ φ 2)/2),

cos φ 1 + cos φ 2 = 2cos ((φ 1 + φ 2)/2) cos ((φ 1 - φ 2)/2),

cos φ 1 - cos φ 2 = -2sin ((φ 1 + φ 2)/2) нүгэл ((φ 1 - φ 2)/2),

tan φ 1 ± tan φ 2 = нүгэл (φ 1 ± φ 2)/(cos φ 1 cos φ 2).

Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийг нийлбэрээр дараах байдлаар илэрхийлнэ.

sin φ 1 cos φ 2 = 1/2,

нүгэл φ 1 нүгэл φ 2 = 1/2,

cos φ 1 cos φ 2 = 1/2.

Тригонометрийн функцүүдийн деривативуудыг тригонометрийн функцээр илэрхийлдэг (дараах зүйлд бид φ хувьсагчийг х-ээр солих болно).

(нүгэл х)" = cos x, (cos x)" = -sin x,

(tgx)" = 1/cos 2 x, (ctgx)" = -1/sin 2 x.

Тригонометрийн функцуудыг нэгтгэхдээ бид тригонометрийн функцууд эсвэл тэдгээрийн логарифмуудыг (0< х < π/2, С - абсолютная постоянная):

∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C,

∫tg xdx = -ln cos x + C, ∫ctg x dx = ln sin x + C.

Бидний үзсэнээр u = cos x ба v = sin x гэсэн үндсэн тригонометрийн функцүүд нь дараах хамаарлаар холбогдож байна.

u" = -v, v" = u.

Эдгээр тэгш байдлыг хоёр дахь удаагаа ялгаж үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

ба" = -v"= -u, v" = u"= -V.

Иймд x хувьсагчийн u ба v функцийг ижил (дифференциал) тэгшитгэлийн y" + y = 0 шийдэл гэж үзэж болно.

Энэ тэгшитгэл, эс тэгвээс, эерэг тогтмол k 2, y "+ k 2 y = 0 (түүний шийдлүүд нь cos kx ба sin kx функцууд) -ийг агуулсан ерөнхий томъёолол нь хэлбэлзлийг судлахад байнга тулгардаг. , өөрөөр хэлбэл хэлбэлзлийн хөдөлгөөнийг гүйцэтгэдэг эсвэл үүсгэдэг механизмын загварыг судлах үед.

cos x функцийг 1 - x 2 /2 гэсэн хязгааргүй цувралаар илэрхийлж болно! + x 4/4! - x 6 /6!.... Хэрэв бид энэ цувралын эхний хэдэн гишүүнийг авбал олон гишүүнтийг ашиглан cos x функцийн ойролцоо утгыг олж авна. Зураг дээр. Зураг 9-д эдгээр олон гишүүнтүүдийн графикууд нь тэдгээрийн зэрэг нэмэгдэх тусам cosx функцийг хэрхэн ойртуулж, илүү сайн болохыг харуулж байна.

"Синусын" нэр нь Латин синусын "нугалах", "синус" гэсэн үгнээс гаралтай бөгөөд Энэтхэгийн математикчид синусын утгыг илэрхийлэхийн тулд араб хэлний "жива" ("нумын утас") гэсэн үгийн орчуулга юм. Латин үг tangens нь "шүргэх" гэсэн утгатай (6-р зургийг үз; AB-тойрог шүргэгч). "Косинус" ба "котангенс" гэсэн нэр томъёо нь complementi sinus, complementi tangens ("комплементийн синус", "комплементийн шүргэгч") гэсэн нэр томъёоны товчлол бөгөөд cos φ ба ctg φ нь тус тус тэнцүү болохыг илэрхийлдэг. φ-аас π/2-д нэмэлт аргументийн синус ба тангенс: cos φ = sin (π/2 - φ), cot φ = tan(π/2 - φ).