Параболын тэгшитгэлийн ерөнхий дүр төрх. Гипербола ба түүний каноник тэгшитгэл

Парабол гэдэг нь өгөгдсөн цэгээс ижил зайд орших хавтгайн цэгүүдийн багц юм(анхаарлаа төвлөрүүл)мөн өгөгдсөн цэгээр дамжихгүй өгөгдсөн шулуунаас (дарга нар), нэг хавтгайд байрладаг(Зураг 5).

Энэ тохиолдолд координатын системийг тэнхлэгтэй байхаар сонгоно
фокусаар дамжих чиглүүрт перпендикуляр дамжих ба түүний эерэг чиглэлийг фокус руу чиглүүлэх чиглэлээс сонгоно. Ординатын тэнхлэг нь чиглүүлэлттэй параллель гүйдэг, директриц ба фокусын дунд байрладаг ба эндээс директорын тэгшитгэл үүсдэг.
, фокусын координат
. Гарал үүсэл нь параболын орой, x тэнхлэг нь тэгш хэмийн тэнхлэг юм. Параболагийн хазгай байдал
.

Хэд хэдэн тохиолдолд тэгшитгэлээр тодорхойлсон параболуудыг авч үздэг

A)

б)
(бүх тохиолдолд
)

V)
.

a) тохиолдолд парабол тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна
ба түүний сөрөг чиглэлд чиглэсэн байна (Зураг 6).

b) ба в) тохиолдолд тэгш хэмийн тэнхлэг нь тэнхлэг юм
(Зураг 6). Эдгээр тохиолдлуудад фокусын координатууд:

A)
б)
V)
.

Directrix тэгшитгэл:

A)
б)
V)
.

Жишээ 4.Эхэндээ оройтой парабола цэгээр дамжин өнгөрдөг
ба тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна
. Түүний тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл:

Парабола нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдаг тул
мөн цэгээр дамжин өнгөрдөг эерэг абсциссатай бол 5-р зурагт үзүүлсэн хэлбэртэй байна.

Орлуулах цэгийн координат ийм параболын тэгшитгэлд оруулав
, бид авдаг
, өөрөөр хэлбэл
.

Тиймээс шаардлагатай тэгшитгэл

,

Энэ параболын төвлөрөл
, Directrix тэгшитгэл
.

4. Хоёрдугаар эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт шилжүүлэх.

Хоёрдугаар зэргийн ерөнхий тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

коэффициентүүд хаана байна
нэгэн зэрэг тэг рүү бүү оч.

(6) тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон аливаа шугамыг хоёрдугаар эрэмбийн шугам гэнэ. Координатын системийн хувиргалтыг ашиглан хоёр дахь эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийг хамгийн энгийн (каноник) хэлбэрт оруулж болно.

1. Тэгшитгэлд (6)
. Энэ тохиолдолд (6) тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Томъёоны дагуу координатын тэнхлэгүүдийн зэрэгцээ орчуулгыг ашиглан хамгийн энгийн хэлбэрт шилжүүлдэг

(8)

Хаана
- шинэ эхлэлийн координатууд
(хуучин координатын системд). Шинэ тэнхлэгүүд
Тэгээд
хуучинтай зэрэгцээ. Цэг
нь эллипс эсвэл гиперболын төв ба параболын хувьд орой юм.

(7) тэгшитгэлийг тойрогт хийсэнтэй адил бүрэн квадратуудыг тусгаарлах аргыг ашиглан хамгийн энгийн хэлбэрт оруулах нь тохиромжтой.

Жишээ 5.Хоёрдахь эрэмбийн шулууны тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруул. Энэ шугамын төрөл, байршлыг тодорхойлно уу. Фокусуудын координатыг ол. Зураг зурах.

Шийдэл:

Бид зөвхөн гишүүдийг агуулдаг гэхдээ зөвхөн , -ын коэффициентүүдийг гаргаж авах Тэгээд хаалтны ард:

Бид квадратуудыг дуусгахын тулд хаалт доторх илэрхийлэлүүдийг бөглөнө:

Тиймээс энэ тэгшитгэл нь хэлбэрт шилждэг

Бид томилдог

эсвэл

Тэгшитгэл (8)-тай харьцуулбал эдгээр томъёо нь координатын тэнхлэгүүдийг цэг рүү параллель шилжүүлэхийг тодорхойлдог болохыг бид харж байна.
. Шинэ координатын системд тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.

Чөлөөт нэр томъёог баруун тийш шилжүүлж, түүгээр нь хуваахад бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

Тэгэхээр энэ хоёр дахь эрэмбийн шугам нь хагас тэнхлэгтэй эллипс юм
,
. Зуувангийн төв нь шинэ эхлэл дээр байна
, түүний фокусын тэнхлэг нь тэнхлэг юм
. Төвөөс фокусуудын зай, тиймээс баруун фокусын шинэ координатууд
. Ижил фокусын хуучин координатуудыг зэрэгцээ орчуулгын томъёоноос олж болно.

Үүнтэй адилаар зүүн тийш чиглэсэн шинэ координатууд
,
. Түүний хуучин координатууд:
,
.

Сэтгэгдэл. Зургийг тодруулахын тулд хуучин координатын тэнхлэгүүдтэй энэ шугамын (7) огтлолцох цэгүүдийг олох нь зүйтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд (7) томъёог оруулах ёстой.
, Тэгээд
ба үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

Нарийн төвөгтэй үндэс гарч ирэх нь шугам (7) нь харгалзах координатын тэнхлэгтэй огтлолцохгүй гэсэн үг юм.

Жишээлбэл, саяхан хэлэлцсэн асуудлын эллипсийн хувьд дараахь тэгшитгэлийг олж авна.

Эдгээр тэгшитгэлийн хоёр дахь нь нийлмэл үндэстэй тул эллипс тэнхлэг
гатлахгүй. Эхний тэгшитгэлийн үндэс:

Цэгүүд дээр
Тэгээд
эллипс тэнхлэгтэй огтлолцдог
(Зураг 7).

Жишээ 6.Хоёрдахь эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруул. Шугамын төрөл, байршлыг тодорхойлж, фокусын координатыг ол.

Шийдэл:

-тэй гишүүнээс хойш байхгүй бол та зөвхөн бүрэн квадратыг сонгох хэрэгтэй :

Бид мөн коэффициентийг гаргаж авдаг

.

Бид томилдог

эсвэл

Үүний үр дүнд координатын системийг цэг рүү зэрэгцээ шилжүүлнэ
. Орчуулсны дараа тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

.

Тиймээс фокус шинэ координаттай болсон

.

Түүний хуучин координатууд

Хэрэв бид энэ тэгшитгэлийг оруулбал
эсвэл
, дараа нь бид парабол тэнхлэгийг огтолж байгааг олж мэднэ
цэг дээр
, болон тэнхлэг
тэр хөндлөн гардаггүй.

2. Тэгшитгэлд (1)
. Хоёр дахь зэрэглэлийн ерөнхий тэгшитгэл (1) нь (2) хэлбэрт шилжсэн, өөрөөр хэлбэл. 1 дэх хэсэгт хэлэлцсэн зүйлд. тохиолдолд координатын тэнхлэгүүдийг өнцгөөр эргүүлэх замаар
томъёоны дагуу

(9)

Хаана
- шинэ координатууд. Булан
тэгшитгэлээс олно

Координатын тэнхлэгүүд нь шинэ тэнхлэгүүд байхаар эргэлддэг
Тэгээд
хоёр дахь эрэмбийн шугамын тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй параллель байв.

Мэдэх
, олж болно
Тэгээд
тригонометрийн томъёог ашиглах

,
.

Хэрэв эргэлтийн өнцөг
цочмог гэж үзэхийг зөвшөөрвөл эдгээр томъёонд бид нэмэх тэмдгийг авах ёстой
Бид мөн (5) тэгшитгэлийн эерэг шийдлийг авах ёстой.

Ялангуяа хэзээ
координатын системийг өнцгөөр эргүүлэх ёстой
. Нүүрсний эргэлтийн томъёо нь дараах байдалтай байна.

(11)

Жишээ 7.Хоёрдахь эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруул. Энэ шугамын төрөл, байршлыг тохируулна уу.

Шийдэл:

Энэ тохиолдолд
, 1
,
, тэгэхээр эргэлтийн өнцөг
тэгшитгэлээс олно

.

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл
Тэгээд
. Хурц өнцгөөр хязгаарлах
, эхнийхийг нь авч үзье. Дараа нь

,

,
.

Эдгээр утгыг орлуулах Тэгээд энэ тэгшитгэлд

Хаалтуудыг онгойлгож, ижил төстэй зүйлсийг авчрахад бид авдаг

.

Эцэст нь хуурамч нэр томъёонд хуваахад бид эллипсийн тэгшитгэлд хүрнэ

.

Үүнийг дагадаг
,
, мөн эллипсийн гол тэнхлэг нь тэнхлэгийн дагуу чиглэнэ
, жижиг нь - тэнхлэгийн дагуу
.

Та оноо авна
, хэний радиус
тэнхлэгт налуу
өнцгөөр
, Үүний төлөө
. Тиймээс, энэ цэгээр дамжуулан
мөн шинэ x тэнхлэг өнгөрөх болно. Дараа нь бид тэнхлэг дээр тэмдэглэнэ
Тэгээд
зуувангийн оройнууд ба эллипс зурна (зураг 9).

Энэ эллипс нь квадрат тэгшитгэлээс олдсон цэгүүдэд хуучин координатын тэнхлэгүүдийг огтолж байгааг анхаарна уу (хэрэв бид энэ тэгшитгэлд оруулбал).
эсвэл
):

Тэгээд
.

Параболыг хэрхэн бүтээх вэ? Квадрат функцийн графикийг зурах хэд хэдэн арга байдаг. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн давуу болон сул талуудтай. Хоёр аргыг авч үзье.

y=x²+bx+c ба y= -x²+bx+c хэлбэрийн квадрат функцийг зурж эхэлье.

Жишээ.

y=x²+2x-3 функцийн графикийг зур.

Шийдэл:

y=x²+2x-3 нь квадрат функц юм. График нь дээшээ салбарласан парабол юм. Парабола оройн координатууд

Оройноос (-1;-4) y=x² (координатын гарал үүслийн дагуу. (0;0)-ийн оронд - орой (-1;-4)) (-1;-4) параболын графикийг байгуулна. -4) бид баруун тийш 1 нэгжээр, дараа нь 1-ээр зүүн тийш, дараа нь: 2 - баруун, 4 - дээш, 2 - зүүн, 3 - дээш; зүүн, 9 - дээш Хэрэв эдгээр 7 оноо хангалтгүй бол баруун тийш 4, дээд талд 16 гэх мэт).

y= -x²+bx+c квадрат функцийн график нь салбарууд нь доош чиглэсэн парабол юм. График байгуулахдаа оройн координатыг хайж, түүнээс y= -x² параболыг байгуулна.

Жишээ.

y= -x²+2x+8 функцийн графикийг зур.

Шийдэл:

y= -x²+2x+8 нь квадрат функц юм. График нь доошоо салбарласан парабол юм. Парабола оройн координатууд

Дээд талаас бид параболыг y= -x² (1 - баруун тийш, 1- доош; 1 - зүүн, 1 - доош; 2 - баруун, 4 - доош; 2 - зүүн, 4 - доош гэх мэт) байгуулна.

Энэ арга нь y=x², y= -x² функцүүдийн графикийг хэрхэн зурахыг мэддэг бол параболыг хурдан бүтээх боломжийг олгодог бөгөөд хүндрэл учруулахгүй. Сул тал: хэрэв оройн координатууд нь бутархай тоо байвал график байгуулах нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Хэрэв та графикийн Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн яг утгыг мэдэх шаардлагатай бол x²+bx+c=0 (эсвэл -x²+bx+c=0) тэгшитгэлийг нэмэлтээр шийдэх шаардлагатай болно. эдгээр цэгүүдийг зургаас шууд тодорхойлох боломжтой байсан ч.

Парабол байгуулах өөр нэг арга бол цэгүүд юм, өөрөөр хэлбэл та график дээр хэд хэдэн цэгийг олж, тэдгээрийн дундуур парабола зурж болно (х=хₒ шулуун нь түүний тэгш хэмийн тэнхлэг гэдгийг харгалзан). Үүний тулд ихэвчлэн параболын орой, графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд, 1-2 нэмэлт цэгүүдийг авдаг.

y=x²+5x+4 функцийн графикийг зур.

Шийдэл:

y=x²+5x+4 нь квадрат функц юм. График нь дээшээ салбарласан парабол юм. Парабола оройн координатууд

өөрөөр хэлбэл параболын орой нь цэг (-2.5; -2.25).

хайж байна. Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгт y=0: x²+5x+4=0. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд x1=-1, x2=-4, өөрөөр хэлбэл бид график дээр (-1; 0) ба (-4; 0) хоёр цэгийг авсан.

Графикийн Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгт x=0: y=0²+5∙0+4=4. Бид цэгийг олж авлаа (0; 4).

Графикийг тодруулахын тулд та нэмэлт цэгийг олж болно. x=1, тэгвэл y=1²+5∙1+4=10, өөрөөр хэлбэл график дээрх өөр нэг цэг (1; 10) байна. Бид эдгээр цэгүүдийг координатын хавтгайд тэмдэглэдэг. Параболын оройг дайран өнгөрөх шугамтай харьцуулахад тэгш хэмийг харгалзан бид өөр хоёр цэгийг тэмдэглэв: (-5; 6) ба (-6; 10) ба тэдгээрийн дундуур парабола зурна.

y= -x²-3x функцийн графикийг зур.

Шийдэл:

y= -x²-3x нь квадрат функц юм. График нь доошоо салбарласан парабол юм. Парабола оройн координатууд

Орой (-1.5; 2.25) нь параболын эхний цэг юм.

Графикийн х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдэд y=0, өөрөөр хэлбэл -x²-3x=0 тэгшитгэлийг шийднэ. Үүний үндэс нь x=0 ба x=-3, өөрөөр хэлбэл (0;0) ба (-3;0) - график дээрх хоёр цэг. (o; 0) цэг нь мөн параболын ордны тэнхлэгтэй огтлолцох цэг юм.

x=1 y=-1²-3∙1=-4 үед, өөрөөр хэлбэл (1; -4) график зурах нэмэлт цэг болно.

Цэгүүдээс параболыг бүтээх нь эхнийхтэй харьцуулахад илүү их хөдөлмөр шаарддаг арга юм. Хэрэв парабол нь Үхрийн тэнхлэгтэй огтлолцохгүй бол нэмэлт нэмэлт цэгүүд шаардлагатай болно.

y=ax²+bx+c хэлбэрийн квадрат функцүүдийн графикийг үргэлжлүүлэн байгуулахын өмнө геометрийн хувиргалтыг ашиглан функцүүдийн график байгуулах талаар авч үзье. Мөн y=x²+c хэлбэрийн функцүүдийн графикийг эдгээр хувиргалтын аль нэг буюу параллель орчуулгыг ашиглан байгуулах нь хамгийн тохиромжтой.

Энэ бүлгийн туршид хавтгайд тодорхой хуваарийг сонгосон гэж үздэг (доор авч үзсэн бүх тоонууд энд байна); Зөвхөн ийм масштабтай тэгш өнцөгт координатын системийг авч үздэг.

§ 1. Парабола

Параболыг уншигчдад сургуулийн математикийн хичээлээс муруй гэж мэддэг бөгөөд энэ нь функцийн график юм.

(Зураг 76). (1)

Аливаа квадрат гурвалжны график

мөн парабола; Энэ нь координатын системийг зүгээр л (зарим OO вектороор) шилжүүлэх, өөрөөр хэлбэл хувиргах замаар боломжтой юм

функцийн график (хоёр дахь координатын системд) график (2)-тай (эхний координатын системд) давхцаж байгаа эсэхийг шалгана.

Үнэн хэрэгтээ (3) -ийг тэгш байдал (2) гэж орлуулъя. Бид авдаг

Бид энэ тэгшитгэлийн баруун талд байрлах олон гишүүнтийн at коэффициент ба чөлөөт гишүүн (-тэй харьцуулахад) тэгтэй тэнцүү байхаар сонгохыг хүсч байна. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлээс тодорхойлно

өгдөг

Одоо бид нөхцөл байдлаас тодорхойлж байна

Үүнд бид аль хэдийн олдсон утгыг орлуулна. Бид авдаг

Тиймээс, ээлжээр (3), аль нь

Бид параболын тэгшитгэл (2) хэлбэрийг авсан шинэ координатын системд шилжсэн.

(Зураг 77).

(1) тэгшитгэл рүү буцъя. Энэ нь параболын тодорхойлолт болж чадна. Түүний хамгийн энгийн шинж чанарыг эргэн санацгаая. Муруй нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй: хэрэв цэг нь тэгшитгэлийг (1) хангаж байвал ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад M цэгтэй тэгш хэмтэй цэг мөн тэгшитгэлийг (1) хангана - муруй нь ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна (Зураг 76). .

Хэрэв бол парабол (1) нь абсцисса тэнхлэгтэй нэг нийтлэг О цэгтэй дээд хагас хавтгайд байрладаг.

Абсциссагийн үнэмлэхүй утга хязгааргүй өсөхөд ординат нь мөн хязгааргүй нэмэгддэг. Муруйн ерөнхий дүр төрхийг Зураг дээр үзүүлэв. 76, а.

Хэрэв (Зураг 76, б) бол муруй нь муруйн абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй доод хагас хавтгайд байрлана.

Хэрэв бид ординатын тэнхлэгийн эерэг чиглэлийг эсрэгээр сольж хуучин координатын шинэ системд шилжвэл хуучин систем дэх у тэгшитгэлтэй парабола шинэ системд y тэгшитгэлийг хүлээн авна. координатын систем. Тиймээс параболыг судлахдаа бид (1) тэгшитгэлээр өөрсдийгөө хязгаарлаж болно.

Эцэст нь тэнхлэгүүдийн нэрийг өөрчилье, өөрөөр хэлбэл ординатын тэнхлэг нь хуучин абсцисса тэнхлэг, абсцисса тэнхлэг нь хуучин ординатын тэнхлэг байх шинэ координатын системд шилжих болно. Энэхүү шинэ системд (1) тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ

Эсвэл тоогоор тэмдэглэсэн бол хэлбэрээр

(4) тэгшитгэлийг аналитик геометрт параболын каноник тэгшитгэл гэж нэрлэдэг; Өгөгдсөн парабол (4) тэгшитгэлтэй тэгш өнцөгт координатын системийг каноник координатын систем (энэ параболын хувьд) гэж нэрлэдэг.

Одоо бид коэффициентийн геометрийн утгыг тогтоох болно. Үүнийг хийхийн тулд бид цэгийг авдаг

тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон параболын фокус (4) ба шулуун d шулуун гэж нэрлэдэг

Энэ шугамыг параболын директрис (4) гэж нэрлэдэг (78-р зургийг үз).

(4) параболын дурын цэг байя. (4) тэгшитгэлээс үзэхэд М цэгийн d чиглүүлэлтийн зай нь тоо юм.

М цэгийн F фокусаас зай нь

Гэхдээ тиймээс

Тиймээс параболын бүх М цэгүүд нь түүний фокус ба чиглүүлэлтээс ижил зайд байна.

Үүний эсрэгээр (8) нөхцөлийг хангаж буй M цэг бүр парабол (4) дээр байрладаг.

Үнэхээр,

Тиймээс,

мөн хашилтыг нээж ижил нэр томъёог оруулсны дараа

Парабол (4) бүр нь F фокус ба энэ параболын d чиглүүлэлтээс ижил зайд орших цэгүүдийн байрлал гэдгийг бид нотолсон.

Үүний зэрэгцээ бид (4) тэгшитгэл дэх коэффициентийн геометрийн утгыг тогтоосон: тоо нь фокус ба параболын чиглүүлэлтийн хоорондох зайтай тэнцүү байна.

Одоо F цэг ба энэ цэгийг дайрахгүй d шулууныг хавтгайд дур мэдэн өгсөн гэж үзье. Фокус F ба d чиглүүлэлттэй парабола байдгийг баталцгаая.

Үүнийг хийхийн тулд d шугамтай перпендикуляр F цэгээр (Зураг 79) g шугамыг зурна; хоёр шулууны огтлолцох цэгийг D гэж тэмдэглэе; зайг (өөрөөр хэлбэл F цэг ба шулуун d шугамын хоорондох зай) -аар тэмдэглэнэ.

Шулуун g шулууныг тэнхлэг болгон эргүүлж түүн дээрх DF чиглэлийг эерэг гэж авцгаая. Энэ тэнхлэгийг тэгш өнцөгт координатын системийн абсцисса тэнхлэг болгоцгооё, түүний гарал үүсэл нь сегментийн дундах O цэг юм.

Дараа нь d шулуун шугам мөн тэгшитгэлийг хүлээн авна.

Одоо бид сонгосон координатын системд параболын каноник тэгшитгэлийг бичиж болно.

Энд F цэг нь фокус байх ба d шулуун шугам нь параболын (4) директрис болно.

Парабола нь F цэг ба d шулуунаас ижил зайд орших М цэгүүдийн байрлал гэдгийг бид дээр тогтоосон. Тиймээс бид параболын ийм геометрийн (өөрөөр хэлбэл координатын системээс хамааралгүй) тодорхойлолтыг өгч болно.

Тодорхойлолт. Парабол гэдэг нь зарим нэг тогтмол цэгээс (параболын "фокус") болон зарим тогтмол шугамаас (параболын "шууд") ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм.

Параболын фокус ба директрисын хоорондох зайг -ээр тэмдэглэснээр бид өгөгдсөн параболын хувьд каноник, өөрөөр хэлбэл параболын тэгшитгэл нь канон хэлбэртэй байдаг тэгш өнцөгт координатын системийг үргэлж олж болно.

Эсрэгээр, зарим тэгш өнцөгт координатын системд ийм тэгшитгэлтэй аливаа муруй нь парабол юм (геометрийн утгаараа сая тогтоогдсон).

Параболын фокус ба директрисын хоорондох зайг фокусын параметр буюу зүгээр л параболын параметр гэж нэрлэдэг.

Параболын чиглүүлэлтийн перпендикуляр фокусыг дайран өнгөрөх шугамыг түүний фокусын тэнхлэг (эсвэл энгийн тэнхлэг) гэж нэрлэдэг; энэ нь параболын тэгш хэмийн тэнхлэг юм - энэ нь параболын тэнхлэг нь координатын систем дэх абсцисса тэнхлэг бөгөөд үүнтэй харьцуулахад параболын тэгшитгэл (4) хэлбэртэй байна.

Хэрэв цэг (4) тэгшитгэлийг хангаж байвал абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад М цэгт тэгш хэмтэй цэг мөн энэ тэгшитгэлийг хангана.

Параболын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг параболын орой гэж нэрлэдэг; Энэ нь өгөгдсөн параболын каноник координатын системийн гарал үүсэл юм.

Параболын параметрийн өөр геометрийн тайлбарыг өгье.

Параболын тэнхлэгт перпендикуляр параболын фокусаар шулуун шугам татъя; энэ нь параболыг хоёр цэгээр огтолж (79-р зургийг үз) параболын фокусын хөвч гэж нэрлэгддэг хэсгийг (өөрөөр хэлбэл, параболын директрикстэй параболын фокусаар дамжин өнгөрөх хөвчийг) тодорхойлно. Фокусын хөвчний уртын хагас нь параболын параметр юм.

Үнэн хэрэгтээ фокусын хөвчний уртын хагас нь аль ч цэгийн ординатын үнэмлэхүй утга бөгөөд тус бүрийн абсцисса нь фокусын абсциссатай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. Тиймээс бид цэг бүрийн ординатын хувьд

Q.E.D.

- (Грекийн парабол, параболло гэдэг үгнээс гаралтай. 1) зүйрлэл, зүйрлэл. 2) конусын хэсгүүдээс түүнийг үүсгэгч зарим хавтгайтай параллель хавтгайгаар үүссэн муруй шугам. 3) бөмбөг, их бууны сум гэх мэт нисэх үед үүссэн муруй шугам Толь бичиг... ... Орос хэлний гадаад үгсийн толь бичиг

Аллегори, сургаалт зүйрлэл (Дал) Жишээ харна уу... Синоним толь бичиг

- (Грек парабол) хавтгай муруй (2-р дараалал). Парабол гэдэг нь өгөгдсөн F цэг (фокус) ба өгөгдсөн D1D2 шулуун шугам (шууд) хүртэлх зай нь тэнцүү M цэгүүдийн багц юм. Зохих координатын системд параболын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: y2=2px, энд p=2OF.… … Том нэвтэрхий толь бичиг

ПАРАБОЛА, математикийн муруй, цэгийн тогтмол цэг болох фокус хүртэлх зай нь түүний тогтмол шулуун шугам хүртэлх зайтай тэнцүү байхаар хөдөлж буй КОНИК ХЭСЭГ. Конусыг огтлох үед парабола үүсдэг ... ... Шинжлэх ухаан, техникийн нэвтэрхий толь бичиг

Эмэгтэй, Грек зүйрлэл, зүйрлэл. | дэвсгэр. муруй шугам, конус хэсгүүдийн дундаас; чихрийн талхыг ташуу, эсрэг талдаа параллель зүснэ. Параболик тооцоолол. Параболик яриа, гетеролог, гадаад яриа, дүрслэл ... ... Далын тайлбар толь бичиг

парабол- y, w. парабол f. гр. парабол. 1. хуучирсан Сургаалт зүйрлэл, зүйрлэл. ҮНДСЭН 1. Франц хүн Парист ирж буй оросуудыг хараад инээх гэсэндээ: Парабол, фарибол, обол юу гэсэн үг вэ? Гэвч тэр удалгүй түүнд хариулав: Парабол, чамд ойлгохгүй байгаа зүйл байна;... ... Орос хэлний галликизмын түүхэн толь бичиг

ПАРАБОЛА- (1) хавтгай дээрх 2-р эрэмбийн нээлттэй муруй шугам, энэ нь y2 = 2px функцийн график бөгөөд p нь параметр юм. Дугуй хавтгай (харна уу) оройгоороо дамждаггүй, генераторуудын аль нэгтэй нь параллель байгаа хавтгайтай огтлолцох үед параболыг олж авна.... ... Том Политехникийн нэвтэрхий толь бичиг

- (Грек параболоос), хавтгай муруй, дурын M цэгээс өгөгдсөн F цэг (фокус) ба өгөгдсөн шулуун D 1D1 (шууд) хүртэлх зай нь тэнцүү (MD=MF) ... Орчин үеийн нэвтэрхий толь бичиг

ПАРАБОЛА, парабола, эмэгтэйчүүд. (Грек: парабол). 1. Генератрисийн аль нэгтэй параллель хавтгайгаар баруун дугуй конусын конус огтлолыг дүрсэлсэн хоёрдугаар эрэмбийн муруй. || Дотор шидсэн хүнд биений (жишээ нь сум) дүрсэлсэн зам ... ... Ушаковын тайлбар толь бичиг

ПАРАБОЛА, s, эмэгтэй. Математикийн хувьд: конус гадаргуу нь хавтгайтай огтлолцох үед үүсдэг нэг салбараас бүрдэх нээлттэй муруй. | adj. параболик, өө, өө. Ожеговын тайлбар толь бичиг. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949, 1992 ... Ожеговын тайлбар толь бичиг

- “ПАРАБОЛА”, Орос, 1992, өнгө, 30 мин. Баримтат эссе. Ижил мөрний жижиг ард түмэн болох Удмуртуудын үлгэрийн ид шидийн мөн чанарыг ойлгох оролдлого. Найруулагч: Светлана Стасенко (Светлана СТАСЕНКО-г үзнэ үү). Зохиолч: Светлана Стасенко (STASENKO-г үзнэ үү... ... Кино нэвтэрхий толь бичиг

Номууд

• Мөрөөдлийн ажил хайх төлөвлөгөөний парабола. Хүний нөөцийн менежерүүдийн архетипүүд..., Марина Зорина. Марина Зоринагийн "Мөрөөдлийн ажил хайх төлөвлөгөөний парабола" ном нь зохиогчийн бодит туршлага дээр үндэслэсэн бөгөөд дотоод ажилд авах үйл явцын талаархи хэрэгтэй мэдээллээр дүүрэн байдаг.
• Миний амьдралын парабола, Титта Руффо. Номын зохиогч нь Италийн хамгийн алдартай дуучин, дэлхийн тэргүүлэгч дуурийн театруудын гоцлол дуучин юм. Титта Руффогийн тод бөгөөд шууд бичсэн дурсамжууд нь анхны...

Анги 10 . Хоёр дахь эрэмбийн муруй.

10.1. Зууван. Каноник тэгшитгэл. Хагас тэнхлэг, хазгай, график.

10.2. Гипербола. Каноник тэгшитгэл. Хагас тэнхлэг, хазгай, асимптот, график.

10.3. Парабола. Каноник тэгшитгэл. Параболын параметр, график.

Хавтгай дээрх хоёр дахь эрэмбийн муруйнууд нь далд тодорхойлолт нь дараах хэлбэртэй байна.

Хаана
- бодит тоо өгөгдсөн,
- муруйн цэгүүдийн координатууд. Хоёрдахь эрэмбийн муруйнуудын хамгийн чухал шугамууд нь эллипс, гипербол, парабол юм.

10.1. Зууван. Каноник тэгшитгэл. Хагас тэнхлэг, хазгай, график.

Эллипсийн тодорхойлолт.Зуйван гэдэг нь хоёр тогтмол цэгээс хол зайн нийлбэр нь хавтгай муруй юм
ямар ч цэг рүү онгоц

(тэдгээр). Оноо
эллипсийн голомт гэж нэрлэдэг.

Каноник эллипсийн тэгшитгэл:
. (2)

(эсвэл тэнхлэг
) заль мэх дамждаг
, мөн гарал үүсэл нь цэг юм - сегментийн төвд байрладаг
(Зураг 1). Эллипс (2) нь координатын тэнхлэгүүд болон гарал үүслийн (зуувангийн төв) тэгш хэмтэй байна. Байнгын
,
гэж нэрлэдэг эллипсийн хагас тэнхлэгүүд.

Хэрэв эллипс (2) тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол эллипсийн голомтууд нь иймэрхүү байна.

1) Эхлээд бид голомтууд хаана байгааг тодорхойлно: голомт нь гол хагас тэнхлэгүүд байрладаг координатын тэнхлэг дээр байрладаг.

2) Дараа нь фокусын уртыг тооцоолно (голомтоос гарал үүсэл хүртэлх зай).

At
голомт нь тэнхлэг дээр байрладаг
;
;
.

At
голомт нь тэнхлэг дээр байрладаг
;
;
.

Хачирхалтай байдалэллипсийг хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг: (цагт
);(цагт
).

Үргэлж эллипс
. Хачирхалтай байдал нь эллипсийн шахалтын шинж чанар юм.

Зууван (2)-ыг зөөвөрлөж, зуувангийн төв цэгт хүрэхээр байвал

,
, дараа нь үүссэн эллипсийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

.

10.2. Гипербола. Каноник тэгшитгэл. Хагас тэнхлэг, хазгай, асимптот, график.

Гиперболын тодорхойлолт.Гипербола гэдэг нь хоёр тогтмол цэгээс зайны зөрүүний абсолют утга болох хавтгай муруй юм
ямар ч цэг рүү онгоц
Энэ муруй нь цэгээс хамааралгүй тогтмол утгатай байна
(тэдгээр). Оноо
гиперболын голомт гэж нэрлэдэг.

Каноник гиперболын тэгшитгэл:
эсвэл
. (3)

Хэрэв координатын тэнхлэг бол энэ тэгшитгэлийг олж авна
(эсвэл тэнхлэг
) заль мэх дамждаг
, мөн гарал үүсэл нь цэг юм - сегментийн төвд байрладаг
. Гипербола (3) нь координатын тэнхлэгүүд болон эхлэлийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Байнгын
,
гэж нэрлэдэг гиперболын хагас тэнхлэгүүд.

Гиперболын голомтууд иймэрхүү байдлаар илэрдэг.

Гипербол дээр
голомт нь тэнхлэг дээр байрладаг
:
(Зураг 2.a).

Гипербол дээр
голомт нь тэнхлэг дээр байрладаг
:
(Зураг 2.b)

Энд - фокусын урт (голомтоос гарал үүсэл хүртэлх зай). Үүнийг дараах томъёогоор тооцоолно.
.

Хачирхалтай байдалгипербола нь тоо хэмжээ юм:

(Тийм
);(Тийм
).

Гипербол үргэлж байдаг
.

Гиперболын асимптотууд(3) хоёр шулуун шугам байна:
. Гиперболын хоёр салаа асимптотуудад хязгааргүй ойртдог .

Гиперболын график байгуулах ажлыг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ: эхлээд хагас тэнхлэгийн дагуу
бид координатын тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ талуудтай туслах тэгш өнцөгтийг барьдаг; дараа нь энэ тэгш өнцөгтийн эсрэг талын оройгоор шулуун шугамыг зур, эдгээр нь гиперболын асимптотууд юм; Эцэст нь бид гиперболын мөчрүүдийг дүрсэлж, тэдгээр нь туслах тэгш өнцөгтийн харгалзах талуудын дунд цэгүүдэд хүрч, ургах тусам ойртож байна. асимптотуудад (Зураг 2).

Хэрэв гипербол (3)-ыг төв цэгт нь хүрэхээр шилжүүлбэл
, хагас тэнхлэгүүд нь тэнхлэгүүдтэй параллель хэвээр байх болно
,
, дараа нь үүссэн гиперболын тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ

,
.

10.3. Парабола. Каноник тэгшитгэл. Параболын параметр, график.

Параболын тодорхойлолт.Парабол нь аль ч цэгийн хувьд хавтгай муруй юм
Энэ муруй нь түүнээс хол зай юм
тогтмол цэг рүү онгоц (параболын фокус гэж нэрлэдэг) нь хүртэлх зайтай тэнцүү байна
хавтгай дээрх тогтмол шулуун шугам руу(параболын директрис гэж нэрлэдэг) .

Каноник параболын тэгшитгэл:
, (4)

Хаана - тогтмол гэж нэрлэдэг параметрпарабол.

Цэг
параболыг (4) параболын орой гэж нэрлэдэг. Тэнхлэг
тэгш хэмийн тэнхлэг юм. Параболын фокус (4) цэг дээр байна
, Directrix тэгшитгэл
. Утгатай параболын графикууд (4).
Тэгээд
Зурагт үзүүлэв. 3.a ба 3.b тус тус.

Тэгшитгэл
Мөн хавтгайд параболыг тодорхойлно
, тэнхлэгүүд нь парабол (4)-тай харьцуулахад
,
газар сольсон.

Хэрэв парабол (4)-ийг орой нь цэгт хүрэхээр хөдөлгөвөл
, тэгш хэмийн тэнхлэг нь тэнхлэгтэй параллель хэвээр байх болно
, тэгвэл үүссэн параболын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

.

Жишээнүүд рүү шилжье.

Жишээ 1. Хоёр дахь эрэмбийн муруй нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн
. Энэ муруйнд нэр өгнө үү. Түүний голомт ба хазгай байдлыг ол. Хавтгай дээр муруй ба түүний голомтыг зур
.

Шийдэл. Энэ муруй нь цэг дээр төвлөрсөн эллипс юм
болон тэнхлэгийн босоо ам
. Үүнийг солих замаар амархан шалгаж болно
. Энэ хувиргалт нь өгөгдсөн декартын координатын системээс шилжилтийг хэлнэ
шинэ декартын координатын систем рүү
, хэний тэнхлэг
тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ
,
. Энэхүү координатын өөрчлөлтийг системийн шилжилт гэж нэрлэдэг
яг . Шинэ координатын системд
муруйн тэгшитгэлийг эллипсийн каноник тэгшитгэл болгон хувиргана
, түүний графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 4.

Заль мэх олцгооё.
, тэгэхээр заль мэх
тэнхлэгт байрлах эллипс
.. Координатын системд
:
. Учир нь
, хуучин координатын системд
голомт нь координаттай байдаг.

Жишээ 2. Хоёрдугаар эрэмбийн муруйны нэрийг өгч, графикийг нь өг.

Шийдэл. Хувьсагч агуулсан нэр томъёонд үндэслэн төгс квадратуудыг сонгоцгооё Тэгээд .

Одоо муруйн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Тиймээс өгөгдсөн муруй нь цэг дээр төвлөрсөн эллипс юм
болон тэнхлэгийн босоо ам
. Хүлээн авсан мэдээлэл нь түүний графикийг зурах боломжийг бидэнд олгодог.

Жишээ 3. Шугамын нэр, графикийг өгнө үү
.

Шийдэл. . Энэ нь цэг дээр төвлөрсөн эллипсийн каноник тэгшитгэл юм
болон тэнхлэгийн босоо ам
.

Учир нь,
, бид дүгнэж байна: өгөгдсөн тэгшитгэл нь хавтгай дээр тодорхойлогддог
эллипсийн доод хагас (Зураг 5).

Жишээ 4. Хоёрдахь эрэмбийн муруйны нэрийг өгнө үү
. Түүний фокус, хазгай байдлыг ол. Энэ муруйн графикийг өг.

- хагас тэнхлэгтэй гиперболын каноник тэгшитгэл
.

Фокусын урт.

Хасах тэмдэг нь нэр томьёоны өмнө байна , тэгэхээр заль мэх
гиперболууд тэнхлэг дээр байрладаг
:. Гиперболын мөчрүүд нь тэнхлэгээс дээш ба доор байрладаг
.

- гиперболын хазгай байдал.

Гиперболын асимптотууд: .

Энэхүү гиперболын графикийг бүтээх нь дээр дурдсан журмын дагуу хийгддэг: бид туслах тэгш өнцөгтийг барьж, гиперболын асимптотуудыг зурж, гиперболын мөчрүүдийг зурдаг (2.б-р зургийг үз).

Жишээ 5. Тэгшитгэлээр өгөгдсөн муруйн төрлийг ол
мөн үүнийг төлөвлө.

- цэг дээр төвтэй гипербол
болон тэнхлэгийн босоо ам.

Учир нь , бид дүгнэж байна: өгөгдсөн тэгшитгэл нь шулуун шугамын баруун талд байрлах гиперболын хэсгийг тодорхойлдог.
. Туслах координатын системд гипербол зурах нь дээр
, координатын системээс авсан
ээлж
, дараа нь гиперболын хүссэн хэсгийг тод зураасаар тодруулна

Жишээ 6. Муруйн төрлийг олж, графикийг нь зур.

Шийдэл. Хувьсагчтай нөхцлүүд дээр үндэслэн бүтэн квадратыг сонгоцгооё :

Муруйн тэгшитгэлийг дахин бичье.

Энэ нь цэг дээрх оройтой параболын тэгшитгэл юм
. Шилжилтийн хувиргалтыг ашиглан параболын тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулна
, үүнээс энэ нь параболын параметр болох нь тодорхой байна. Төвлөр систем дэх параболууд
координаттай
, болон системд
(ээлжийн өөрчлөлтийн дагуу). Парабола графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 7.

Гэрийн даалгавар.

1. Тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипсийг зур.
Тэдний хагас тэнхлэг, фокусын урт, хазгай байдлыг олж, эллипсийн график дээр тэдгээрийн голомтуудын байршлыг зааж өгнө үү.

2. Тэгшитгэлээр өгөгдсөн гиперболыг зур.
Тэдний хагас тэнхлэг, фокусын урт, хазгай байдлыг олж, гиперболын график дээр тэдгээрийн голомтуудын байршлыг зааж өгнө үү. Өгөгдсөн гиперболын асимптотуудын тэгшитгэлийг бич.

3. Тэгшитгэлээр өгөгдсөн параболыг зур.
. Тэдний параметр, фокусын уртыг олж, фокусын байршлыг параболын график дээр зааж өгнө үү.

4. Тэгшитгэл
муруйн 2-р эрэмбийн хэсгийг тодорхойлно. Энэ муруйн каноник тэгшитгэлийг олж, нэрийг нь бичиж, графикийг нь зурж, түүн дээр муруйн анхны тэгшитгэлд тохирох хэсгийг тодруул.