K(x 0 ; y 0) цэгийг дайрч y = kx + a шулуунтай параллель шулууныг дараах томъёогоор олно.

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Энд k нь шугамын налуу юм.

Альтернатив томъёо:
M 1 (x 1 ; y 1) цэгийг дайрч, Ax+By+C=0 шулуунтай параллель шулууныг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Жишээ №2. 2x + 5y = 0 шулуунтай параллель шулууны тэгшитгэлийг бичээд координатын тэнхлэгүүдийн хамт талбай нь 5 хэмжээтэй гурвалжин үүсгэ.
Шийдэл . Шугамууд зэрэгцээ байгаа тул хүссэн шугамын тэгшитгэл нь 2x + 5y + C = 0. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай, энд a ба b нь түүний хөл юм. Хүссэн шугамын огтлолцох цэгүүдийг координатын тэнхлэгүүдтэй олъё.
;
.
Тэгэхээр A(-C/2,0), B(0,-C/5). Үүнийг талбайн томъёонд орлъё: . Бид 2х + 5у + 10 = 0 ба 2х + 5у - 10 = 0 гэсэн хоёр шийдлийг авдаг.

Жишээ №3. (-2; 5) цэгийг дайрч 5x-7y-4=0 шулуунтай параллель шулууны тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Энэ шулуун шугамыг y = 5/7 x – 4/7 (энд a = 5/7) тэгшитгэлээр илэрхийлж болно. Хүссэн шугамын тэгшитгэл нь y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), i.e. 7(y-5)=5(x+2) эсвэл 5x-7y+45=0 .

Жишээ № 4. 3-р жишээг (A=5, B=-7) (2) томъёогоор шийдсэний дараа бид 5(x+2)-7(y-5)=0-г олно.

Жишээ №5. 7х+10=0 шулуунтай параллель (-2;5) цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Энд A=7, B=0. Томъёо (2) нь 7(x+2)=0, өөрөөр хэлбэл. x+2=0. Энэ тэгшитгэлийг y-ийн хувьд шийдвэрлэх боломжгүй тул (1) томъёог ашиглах боломжгүй (энэ шулуун шугам нь ордны тэнхлэгтэй параллель байна).

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлууд:

мөн хэрэв C= 0, тэгшитгэл (2) нь хэлбэртэй байна

Сүх + By = 0,

ба эхийн координатууд нь тул энэ тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун шугам нь эхийг дайран өнгөрдөг x = 0, y= 0 нь энэ тэгшитгэлийг хангана.

b) Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд (2) Б= 0 бол тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Сүх + ХАМТ= 0, эсвэл .

Тэгшитгэлд хувьсагч байхгүй y, мөн энэ тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна Өө.

c) Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд (2) А= 0 бол энэ тэгшитгэл хэлбэрийг авна

By + ХАМТ= 0, эсвэл ;

тэгшитгэл нь хувьсагч агуулаагүй байна x, мөн түүний тодорхойлсон шулуун нь тэнхлэгтэй параллель байна Үхэр.

Үүнийг санаж байх хэрэгтэй: хэрэв шулуун шугам нь зарим координатын тэнхлэгтэй параллель байвал түүний тэгшитгэлд энэ тэнхлэгтэй ижил нэртэй координат агуулсан нэр томъёо байхгүй болно.

г) Хэзээ C= 0 ба А= 0 тэгшитгэл (2) хэлбэрийг авна By= 0, эсвэл y = 0.

Энэ бол тэнхлэгийн тэгшитгэл юм Үхэр.

г) Хэзээ C= 0 ба Б= 0 тэгшитгэл (2) хэлбэрээр бичигдэнэ Сүх= 0 эсвэл x = 0.

Энэ бол тэнхлэгийн тэгшитгэл юм Өө.

Хавтгай дээрх шугамуудын харьцангуй байрлал. Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг. Зэрэгцээ шугамын нөхцөл. Шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөл.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 S 1 ба S 2 векторуудыг шугамын чиглүүлэгч гэж нэрлэдэг.

l 1 ба l 2 шулуун шугамуудын хоорондох өнцгийг чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгөөр тодорхойлно.
Теорем 1: l 1 ба l 2 хоорондох өнцгийн cos = cos(l 1 ; l 2) =

Теорем 2: 2 мөр тэнцүү байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

Теорем 3: 2 шулуун шугам перпендикуляр байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл ба түүний онцгой тохиолдлууд. Сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл.

Ерөнхий хавтгай тэгшитгэл:

Ax + By + Cz + D = 0

Онцгой тохиолдлууд:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – онгоц эхийг дайран өнгөрнө

2. С=0 Ax+By+D = 0 – хавтгай || О.З

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – хавтгай || Өө

4. A=0 By+Cz+D = 0 – хавтгай || ҮХЭР

5. A=0 ба D=0 By+Cz = 0 – онгоц OX-ээр дамжин өнгөрнө

6. B=0 ба D=0 Ax+Cz = 0 – онгоц OY-ээр дамжин өнгөрнө

7. C=0 ба D=0 Ax+By = 0 – онгоц OZ-ээр дамжин өнгөрнө

Орон зай дахь хавтгай ба шулуун шугамуудын харьцангуй байрлал:

1. Орон зайн шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг юм.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг тэдгээрийн хэвийн векторуудын хоорондох өнцгөөр тодорхойлно.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Шугамын чиглэлийн вектор ба хавтгайн хэвийн векторын хоорондох өнцгийн нүгэлээр дамжуулан шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийн косинусыг олж болно.

4. 2 шулуун || сансарт тэдний || вектор хөтөч

5. 2 онгоц || хэзээ || хэвийн векторууд

6. Шулуун ба хавтгайн перпендикуляр байдлын тухай ойлголтыг ижил төстэй байдлаар оруулсан болно.

Асуулт № 14

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийн янз бүрийн хэлбэр (сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл, өнцгийн коэффициент гэх мэт)

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл:
Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд дараахь зүйлийг хийцгээе.

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – шулуун шугам эхийг дайран өнгөрнө.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл:

Оп-амп тэнхлэгтэй тэнцүү биш аливаа шулуун шугамыг (B биш = 0) дараагийн мөрөнд бичиж болно. хэлбэр:

k = tanα α – шулуун ба эерэг чиглэлтэй OX шугамын хоорондох өнцөг

b – op-amp-ийн тэнхлэгтэй шулуун шугамын огтлолцох цэг

Баримт бичиг:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Хоёр цэг дээр суурилсан шулуун шугамын тэгшитгэл:

Асуулт №16

Нэг цэг дэх функцийн хязгаарлагдмал хязгаар ба x→∞

Төгсгөлийн хязгаар x0:

Хэрэв ямар нэгэн E > 0-ийн хувьд b > 0 байвал x ≠x 0-ийн хувьд |x – x 0 | тэгш бус байдлыг хангахуйц b > 0 байвал x→x 0-ийн хувьд А тоог y = f(x) функцийн хязгаар гэнэ.< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Хязгаарыг дараах байдлаар илэрхийлнэ: = A

+∞ цэг дээрх төгсгөлийн хязгаар:

А тоог x-ийн y = f(x) функцийн хязгаар гэнэ → + ∞ , хэрэв ямар нэгэн E > 0-ийн хувьд C > 0 байгаа тул x > C-ийн хувьд |f(x) - A|< Е

Хязгаарыг дараах байдлаар илэрхийлнэ: = A

-∞ цэг дээрх төгсгөлийн хязгаар:

А тоог y = f(x) функцийн хязгаар гэнэ x→-∞,хэрэв ямар нэг E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Орон зай дахь шулууны каноник тэгшитгэл нь чиглэлийн вектортой өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх шулууныг тодорхойлох тэгшитгэл юм.

Цэг ба чиглэлийн векторыг өгье. Дурын цэг нь шулуун дээр байрладаг лЗөвхөн векторууд нь коллинеар байвал, өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн хувьд нөхцөл хангагдсан бол:

.

Дээрх тэгшитгэлүүд нь шулуун шугамын каноник тэгшитгэлүүд юм.

Тоонууд м , nТэгээд хнь координатын тэнхлэгүүд дээрх чиглэлийн векторын проекцууд юм. Вектор нь тэг биш тул бүх тоонууд м , nТэгээд хнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Гэхдээ нэг хоёр нь тэг болж хувирч магадгүй. Жишээлбэл, аналитик геометрийн хувьд дараахь оруулгыг зөвшөөрдөг.

,

тэнхлэг дээрх векторын проекцууд гэсэн үг ӨөТэгээд Озтэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс каноник тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон вектор ба шулуун шугам хоёулаа тэнхлэгт перпендикуляр байна. ӨөТэгээд Оз, өөрөөр хэлбэл онгоцууд yOz .

Жишээ 1.Хавтгайд перпендикуляр огторгуйн шулууны тэгшитгэлийг бич мөн энэ хавтгайн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгээр дамжин өнгөрөх Оз .

Шийдэл. Энэ хавтгайн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олъё Оз. тэнхлэгт хэвтэж байгаа ямар ч цэгээс хойш Оз, координаттай байна, тэгвэл хавтгайн өгөгдсөн тэгшитгэлд тооцвол x = y = 0, бид 4-ийг авна z- 8 = 0 эсвэл z= 2 . Тиймээс энэ хавтгайн тэнхлэгтэй огтлолцох цэг Озкоординаттай (0; 0; 2) . Хүссэн шугам нь хавтгайд перпендикуляр тул түүний хэвийн вектортой параллель байна. Тиймээс шулуун шугамын чиглүүлэх вектор нь хэвийн вектор байж болно өгсөн онгоц.

Одоо цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын шаардлагатай тэгшитгэлийг бичье А= (0; 0; 2) векторын чиглэлд:

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Шулуун шугамыг түүн дээр байрлах хоёр цэгээр тодорхойлж болно Тэгээд Энэ тохиолдолд шулуун шугамын чиглүүлэх вектор нь вектор байж болно. Дараа нь шугамын каноник тэгшитгэлүүд хэлбэрийг авна

.

Дээрх тэгшитгэлүүд нь өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шугамыг тодорхойлно.

Жишээ 2.болон цэгүүдийг дайран өнгөрөх огторгуйн шулууны тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. Онолын лавлагаанд дээр өгөгдсөн хэлбэрээр шаардлагатай шулуун шугамын тэгшитгэлүүдийг бичье.

.

, тэгвэл хүссэн шулуун шугам нь тэнхлэгт перпендикуляр байна Өө .

Онгоцуудын огтлолцлын шугам шиг шулуун

Орон зайн шулуун шугамыг хоёр зэрэгцээ бус хавтгайн огтлолцлын шугам, өөрөөр хэлбэл хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг хангадаг цэгүүдийн багц гэж тодорхойлж болно.

Системийн тэгшитгэлийг мөн огторгуй дахь шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Жишээ 3.Ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн орон зай дахь шулууны канон тэгшитгэлийг зохио

Шийдэл. Шугамын каноник тэгшитгэл эсвэл өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бичихийн тулд шулуун дээрх дурын хоёр цэгийн координатыг олох хэрэгтэй. Эдгээр нь жишээлбэл, дурын хоёр координатын хавтгайтай шулуун шугамын огтлолцох цэг байж болно yOzТэгээд xOz .

Шугаман ба хавтгайн огтлолцох цэг yOzабсциссатай x= 0. Тиймээс энэ тэгшитгэлийн системд таамаглаж байна x= 0, бид хоёр хувьсагчтай системийг авна:

Түүний шийдвэр y = 2 , z= 6-тай хамт x= 0 цэгийг тодорхойлно А(0; 2; 6) хүссэн мөр. Дараа нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн системд тооцно y= 0, бид системийг авна

Түүний шийдвэр x = -2 , z= 0-тэй хамт y= 0 цэгийг тодорхойлно Б(-2; 0; 0) хавтгайтай шулууны огтлолцол xOz .

Одоо цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлүүдийг бичье А(0; 2; 6) ба Б (-2; 0; 0) :

,

эсвэл хуваагчийг -2-т хуваасны дараа:

,

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Чиглэлийн вектор шулуун байна. Ердийн вектор

Хавтгай дээрх шулуун шугам бол бага сургуулиасаа танил болсон хамгийн энгийн геометрийн дүрсүүдийн нэг бөгөөд өнөөдөр бид аналитик геометрийн аргуудыг ашиглан үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно. Материалыг эзэмшихийн тулд та шулуун шугам барих чадвартай байх ёстой; Шулуун шугамыг, ялангуяа координатын эхийг дайран өнгөрөх шулуун ба координатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг ямар тэгшитгэлээр тодорхойлохыг мэдэх. Энэ мэдээллийг гарын авлагаас олж болно График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд, Би үүнийг Матанд зориулж бүтээсэн боловч шугаман функцийн тухай хэсэг нь маш амжилттай, дэлгэрэнгүй болсон. Иймд эрхэм цайны савнуудаа эхлээд тэндээ дулаацаарай. Үүнээс гадна, та үндсэн мэдлэгтэй байх ёстой векторууд, эс бөгөөс материалын талаарх ойлголт бүрэн бус байх болно.

Энэ хичээлээр бид хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийг үүсгэх аргуудыг авч үзэх болно. Би практик жишээнүүдийг үл тоомсорлохгүй байхыг зөвлөж байна (энэ нь маш энгийн мэт санагдаж байсан ч) би тэдэнд ирээдүйд шаардагдах энгийн, чухал баримт, арга техникийг, түүний дотор дээд математикийн бусад хэсгүүдэд өгөх болно.

• Өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?
• Хэрхэн ?
• Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглан чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?
• Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

мөн бид эхэлнэ:

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамын тэгшитгэлийн алдартай "сургууль" хэлбэрийг нэрлэдэг налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл. Жишээлбэл, шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгвөл түүний налуу нь: . Энэ коэффициентийн геометрийн утга, түүний утга нь шугамын байршилд хэрхэн нөлөөлж байгааг авч үзье.

Энэ нь геометрийн хичээлээр батлагдсан шулуун шугамын налуу нь тэнцүү байна өнцгийн тангенсэерэг тэнхлэгийн чиглэлийн хоорондмөн энэ мөр: , ба өнцөг нь цагийн зүүний эсрэг "эрэг тайлна".

Зургийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд би зөвхөн хоёр шулуун шугамын өнцгийг зурсан. "Улаан" шугам ба түүний налууг авч үзье. Дээр дурдсанчлан: ("альфа" өнцгийг ногоон нумаар заана). Өнцгийн коэффициент бүхий "цэнхэр" шулуун шугамын хувьд тэгш байдал нь үнэн юм ("бета" өнцгийг хүрэн нумаар тэмдэглэсэн). Хэрэв өнцгийн тангенс мэдэгдэж байгаа бол шаардлагатай бол олоход хялбар болно мөн булан өөрөөурвуу функцийг ашиглан - артангенс. Тэдний хэлснээр таны гарт тригонометрийн хүснэгт эсвэл микро тооцоолуур байдаг. Тиймээс, өнцгийн коэффициент нь абсцисса тэнхлэгт шулуун шугамын хазайлтын түвшинг тодорхойлдог..

Дараах тохиолдлууд боломжтой.

1) Хэрэв налуу нь сөрөг байвал: шугам нь дээрээс доошоо явна. Жишээ нь зураг дээрх "цэнхэр", "бөөрөлзгөнө" шулуун шугамууд юм.

2) Хэрэв налуу эерэг байвал: , дараа нь шугам нь доороос дээш гарна. Жишээ нь зураг дээрх "хар", "улаан" шулуун шугамууд.

3) Хэрэв налуу нь тэг бол: , тэгшитгэл нь хэлбэрийг авах ба харгалзах шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна. Жишээ нь "шар" шулуун шугам юм.

4) Тэнхлэгтэй параллель шугамын гэр бүлийн хувьд (зураг дээр тэнхлэгээс бусад жишээ байхгүй) өнцгийн коэффициент байдаггүй (90 градусын тангенс тодорхойлогдоогүй).

Налуугийн коэффициент үнэмлэхүй утгаараа их байх тусам шулуун шугамын график илүү эгц болно..

Жишээлбэл, хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Тиймээс энд шулуун шугам нь илүү эгц налуутай байна. Модуль нь тэмдгийг үл тоомсорлох боломжийг олгодог гэдгийг танд сануулъя, бид зөвхөн сонирхож байна үнэмлэхүй утгуудөнцгийн коэффициентүүд.

Хариуд нь шулуун шугам нь шулуун шугамаас илүү эгц байдаг .

Эсрэгээр нь: налуугийн коэффициент үнэмлэхүй утгын хувьд бага байх тусам шулуун шугам илүү тэгш болно.

Шулуун шугамын хувьд тэгш бус байдал үнэн тул шулуун шугам илүү тэгш байна. Өөртөө хөхөрсөн, овойлт өгөхгүйн тулд хүүхдийн слайд.

Энэ яагаад хэрэгтэй вэ?

Зовлон зүдгүүрээ уртасга. Дээрх баримтуудын талаархи мэдлэг нь таны алдаа, тухайлбал график байгуулах явцад гарсан алдааг шууд харах боломжийг олгодог - хэрэв зураг нь "мэдээж буруу" байвал. Энэ нь танд зөвлөж байна шууджишээ нь, шулуун шугам нь маш эгц бөгөөд доороос дээш явдаг, шулуун шугам нь маш хавтгай, тэнхлэгт ойрхон дарагдсан, дээрээс доошоо явдаг нь тодорхой байв.

Геометрийн асуудлуудад хэд хэдэн шулуун шугамууд ихэвчлэн гарч ирдэг тул тэдгээрийг ямар нэгэн байдлаар тодорхойлоход тохиромжтой.

Тэмдэглэлүүд: шулуун шугамыг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ: . Түгээмэл сонголт бол тэдгээрийг байгалийн доод үсэгтэй ижил үсгээр тэмдэглэх явдал юм. Жишээлбэл, бидний саяхан үзсэн таван мөрийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно .

Аливаа шулуун шугам нь хоёр цэгээр тодорхойлогддог тул дараахь цэгүүдээр тэмдэглэж болно. гэх мэт. Тэмдэглэгээ нь цэгүүд нь шугаманд хамаарахыг тодорхой харуулж байна.

Бага зэрэг дулаарах цаг боллоо:

Өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв тодорхой шугамд хамаарах цэг ба энэ шугамын өнцгийн коэффициент нь мэдэгдэж байгаа бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Жишээ 1

Хэрэв цэг нь энэ шулуун шугамд хамаарах нь мэдэгдэж байгаа бол өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл: Томъёог ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя . Энэ тохиолдолд:

Хариулах:

Шалгалтэнгийн байдлаар хийгддэг. Эхлээд бид үүссэн тэгшитгэлийг хараад бидний налуу байгаа эсэхийг шалгаарай. Хоёрдугаарт, цэгийн координат нь энэ тэгшитгэлийг хангах ёстой. Тэдгээрийг тэгшитгэлд оруулъя:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байна гэсэн үг юм.

Дүгнэлт: Тэгшитгэл зөв олдсон.

Өөрөө шийдэх илүү төвөгтэй жишээ:

Жишээ 2

Шулуун шугамын тэнхлэгийн эерэг чиглэлд хазайх өнцөг нь , цэг нь энэ шулуунд хамаарах нь мэдэгдэж байвал түүний тэгшитгэлийг бич.

Хэрэв танд бэрхшээл тулгарвал онолын материалыг дахин уншина уу. Илүү нарийн, илүү практик, би маш олон нотлох баримтыг алгасдаг.

Сүүлчийн хонх дуугарч, төгсөлтийн баяр дуусч, төрөлх сургуулийнхаа гадаа аналитик геометр биднийг хүлээж байна. онигоо дууслаа... Эсвэл тэд дөнгөж эхэлж байгаа байх =)

Бид танил тал руугаа үзгээ даллаж, шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй танилцдаг. Учир нь аналитик геометрт үүнийг яг ашигладаг:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна: , зарим тоо хаана байна. Үүний зэрэгцээ коэффициентүүд нэгэн зэрэгтэгшитгэл утгаа алддаг тул тэгтэй тэнцүү биш байна.

Костюм өмсөж, тэгшитгэлийг налуугийн коэффициенттэй холбоно. Эхлээд бүх нэр томъёог зүүн тал руу шилжүүлье:

"X" бүхий нэр томъёог эхний ээлжинд оруулах ёстой:

Зарчмын хувьд тэгшитгэл нь аль хэдийн хэлбэртэй байна , гэхдээ математикийн ёс зүйн дүрмийн дагуу эхний нэр томъёоны коэффициент (энэ тохиолдолд) эерэг байх ёстой. Өөрчлөгдсөн тэмдгүүд:

Энэ техникийн шинж чанарыг санаарай!Бид эхний коэффициентийг (ихэнхдээ) эерэг болгодог!

Аналитик геометрийн хувьд шулуун шугамын тэгшитгэлийг бараг үргэлж ерөнхий хэлбэрээр өгөх болно. За, шаардлагатай бол өнцгийн коэффициент бүхий "сургууль" хэлбэрт амархан буулгаж болно (ординатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамуудаас бусад).

Юу гэж өөрөөсөө асууцгаая хангалттайшулуун шугам барихыг мэдэх үү? Хоёр оноо. Гэхдээ энэ бага насны үйл явдлын талаар одоо сумны дүрмийг баримталж байна. Шулуун шугам бүр нь маш тодорхой налуутай байдаг бөгөөд үүнийг "дасан зохицоход" хялбар байдаг. вектор.

Шугамантай параллель байх векторыг тухайн шугамын чиглэлийн вектор гэнэ. Аливаа шулуун шугам нь хязгааргүй олон чиглэлтэй векторуудтай байх нь ойлгомжтой бөгөөд тэдгээр нь бүгд хоорондоо уялдаа холбоотой байх болно (хамтран чиглэх эсэх нь хамаагүй).

Би чиглэлийн векторыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: .

Гэхдээ нэг вектор нь шулуун шугам барихад хангалтгүй бөгөөд вектор нь чөлөөтэй бөгөөд хавтгайн аль ч цэгтэй холбогддоггүй. Тиймээс шугамд хамаарах зарим цэгийг мэдэх шаардлагатай.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах тодорхой цэг ба энэ шугамын чиглэлийн векторыг мэддэг бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Заримдаа үүнийг дууддаг шугамын каноник тэгшитгэл .

Хэзээ юу хийх вэ координатуудын нэгтэгтэй тэнцүү бол бид доорх практик жишээн дээр ойлгох болно. Дашрамд хэлэхэд, анхаарна уу - хоёулаа нэгэн зэрэгТэг вектор нь тодорхой чиглэлийг заагаагүй тул координатууд тэгтэй тэнцүү байж болохгүй.

Жишээ 3

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Шийдэл: Томъёог ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя. Энэ тохиолдолд:

Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид бутархай хэсгүүдээс сална.

Мөн бид тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт нь авчирдаг:

Хариулах:

Дүрмээр бол ийм жишээн дээр зураг зурах шаардлагагүй, гэхдээ ойлгохын тулд:

Зураг дээр бид эхлэлийн цэг, анхны чиглэлийн вектор (үүнийг хавтгайн аль ч цэгээс зурж болно) болон баригдсан шулуун шугамыг харж байна. Дашрамд хэлэхэд, олон тохиолдолд өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлийг ашиглан шулуун шугам барих нь хамгийн тохиромжтой. Бидний тэгшитгэлийг хэлбэр болгон хувиргаж, шулуун шугам барих өөр цэгийг сонгоход хялбар байдаг.

Догол мөрний эхэнд дурьдсанчлан шулуун шугам нь хязгааргүй олон чиглэлийн векторуудтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд коллинеар байдаг. Жишээлбэл, би ийм гурван вектор зурсан: . Ямар ч чиглэлийн векторыг сонгохоос үл хамааран үр дүн нь үргэлж ижил шулуун шугамын тэгшитгэл байх болно.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя:

Пропорцийг шийдвэрлэх:

Хоёр талыг -2-т хувааж, танил тэгшитгэлийг ол.

Сонирхсон хүмүүс векторуудыг ижил аргаар шалгаж болно эсвэл бусад коллинеар вектор.

Одоо урвуу асуудлыг шийдье:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглан чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?

Маш энгийн:

Тэгш өнцөгт координатын системд шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн бол вектор нь энэ шулууны чиглэлийн вектор болно.

Шулуун шугамын чиглэлийн векторуудыг олох жишээ:

Энэхүү мэдэгдэл нь бидэнд хязгааргүй тооноос зөвхөн нэг чиглэлийн векторыг олох боломжийг олгодог боловч бидэнд илүү их зүйл хэрэггүй. Хэдийгээр зарим тохиолдолд чиглэлийн векторуудын координатыг багасгахыг зөвлөж байна.

Тиймээс тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зааж өгсөн бөгөөд үүссэн чиглэлийн векторын координатыг -2-т хувааснаар яг үндсэн векторыг чиглэлийн вектор болгон авна. Логик.

Үүний нэгэн адил тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зааж өгөх ба векторын координатыг 5-д хуваах замаар бид нэгж векторыг чиглэлийн вектор болгон авна.

Одоо хийцгээе Жишээ 3-ыг шалгаж байна. Жишээ нь дээшилсэн тул бид цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг эмхэтгэсэн гэдгийг би танд сануулж байна.

Нэгдүгээрт, шулуун шугамын тэгшитгэлийг ашиглан бид түүний чиглэлийн векторыг сэргээнэ. – бүх зүйл хэвийн байна, бид анхны векторыг хүлээн авлаа (зарим тохиолдолд үр дүн нь анхныхтай коллинеар вектор байж болох бөгөөд үүнийг харгалзах координатын пропорциональ байдлаар анзаарахад хялбар байдаг).

Хоёрдугаарт, цэгийн координат нь тэгшитгэлийг хангах ёстой. Бид тэдгээрийг тэгшитгэлд орлуулна:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд үүнд бид маш их баяртай байна.

Дүгнэлт: Даалгаврыг зөв гүйцэтгэсэн.

Жишээ 4

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна. Сая ярилцсан алгоритмыг ашиглан шалгахыг зөвлөж байна. Ноорог үргэлж (боломжтой бол) шалгахыг хичээ. 100% зайлсхийх боломжтой алдаа гаргах нь тэнэг хэрэг.

Хэрэв чиглэлийн векторын координатуудын аль нэг нь тэг байвал маш энгийнээр ажиллана уу:

Жишээ 5

Шийдэл: Баруун талын хуваагч нь тэг учраас томьёо тохиромжгүй. Гарах гарц байна! Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид томъёог хэлбэрээр дахин бичиж, үлдсэн хэсэг нь гүн нүхний дагуу эргэлддэг.

Хариулах:

Шалгалт:

1) Шугамын чиглүүлэх векторыг сэргээнэ үү:
– үүссэн вектор нь анхны чиглэлийн вектортой конлинеар байна.

2) Тэгшитгэлд цэгийн координатыг орлуулна.

Зөв тэгш байдлыг олж авна

Дүгнэлт: даалгаврыг зөв гүйцэтгэсэн

Ямар ч тохиолдолд ажиллах бүх нийтийн хувилбар байгаа бол яагаад томьёогоор санаа зовох ёстой вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. Хоёр шалтгаан бий. Нэгдүгээрт, томъёо нь бутархай хэлбэртэй байна илүү сайн санаж байна. Хоёрдугаарт, бүх нийтийн томъёоны сул тал нь төөрөлдөх эрсдэл ихээхэн нэмэгддэгкоординатыг орлуулах үед.

Жишээ 6

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Хаа сайгүй байдаг хоёр цэг рүү буцъя:

Хоёр цэгийг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Үнэн хэрэгтээ энэ бол томъёоны нэг төрөл бөгөөд яагаад гэвэл: хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол вектор нь өгөгдсөн шугамын чиглэлийн вектор байх болно. Хичээл дээр Дамми нарт зориулсан векторуудБид хамгийн энгийн асуудлыг авч үзсэн - хоёр цэгээс векторын координатыг хэрхэн олох вэ. Энэ асуудлын дагуу чиглэлийн векторын координатууд нь:

Анхаарна уу : цэгүүдийг "солих" боломжтой бөгөөд томъёог ашиглаж болно . Ийм шийдэл нь тэнцүү байх болно.

Жишээ 7

Хоёр цэгийг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич .

Шийдэл: Бид томъёог ашигладаг:

Хуваарилагчдыг нэгтгэх нь:

Тэгээд тавцангаа холь:

Одоо бутархай тооноос салах цаг болжээ. Энэ тохиолдолд та хоёр талыг 6-аар үржүүлэх хэрэгтэй.

Хаалтуудыг нээгээд тэгшитгэлийг сана:

Хариулах:

Шалгалттодорхой байна - эхний цэгүүдийн координатууд нь үүссэн тэгшитгэлийг хангах ёстой.

1) Цэгийн координатыг орлуулна уу:

Жинхэнэ тэгш байдал.

2) Цэгийн координатыг орлуулна:

Жинхэнэ тэгш байдал.

Дүгнэлт: Шугамын тэгшитгэл зөв бичигдсэн байна.

Хэрэв ядаж нэгоноо нь тэгшитгэлийг хангахгүй бол алдааг хай.

Шулуун шугам барьж, цэгүүд нь түүнд хамаарах эсэхийг харах тул энэ тохиолдолд график баталгаажуулалт хийхэд хэцүү гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. , тийм ч энгийн биш.

Би шийдлийн хэд хэдэн техникийн талыг тэмдэглэх болно. Магадгүй энэ асуудалд толин тусгал томъёог ашиглах нь илүү ашигтай байж болох юм мөн ижил цэгүүдэд тэгшитгэл хийх:

Цөөн тооны бутархай. Хэрэв та хүсвэл шийдлийг эцэс хүртэл хийж болно, үр дүн нь ижил тэгшитгэлтэй байх ёстой.

Хоёрдахь зүйл бол эцсийн хариултыг харж, үүнийг илүү хялбарчилж болох эсэхийг олж мэдэх явдал юм. Жишээлбэл, хэрэв та тэгшитгэлийг олж авбал үүнийг хоёроор багасгахыг зөвлөж байна: - тэгшитгэл нь ижил шулуун шугамыг тодорхойлно. Гэсэн хэдий ч энэ бол аль хэдийн ярианы сэдэв юм шугамуудын харьцангуй байрлал.

Хариуг нь хүлээн авлаа Жишээ 7-д, би тэгшитгэлийн БҮХ коэффициентүүд 2, 3 эсвэл 7-д хуваагдах эсэхийг шалгасан. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ ийм бууралтыг шийдлийн явцад хийдэг.

Жишээ 8

Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич .

Энэ бол тооцооны техникийг илүү сайн ойлгож, дадлага хийх боломжийг танд олгох бие даасан шийдлийн жишээ юм.

Өмнөх догол мөртэй төстэй: хэрэв томъёонд байгаа бол хуваагчдын нэг нь (чиглэлийн векторын координат) тэг болж, бид үүнийг хэлбэрээр дахин бичнэ. Дахин хэлэхэд тэр ямар эвгүй, будлиантай харагдаж байгааг анзаараарай. Бид энэ асуудлыг аль хэдийн шийдчихсэн учраас практик жишээ өгөх нь утгагүй гэж би олж харахгүй байна (№ 5, 6-г үзнэ үү).

Шууд хэвийн вектор (хэвийн вектор)

Ердийн гэж юу вэ? Энгийнээр хэлбэл, хэвийн бол перпендикуляр юм. Өөрөөр хэлбэл, шугамын хэвийн вектор нь өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байна. Мэдээжийн хэрэг, дурын шулуун шугамд хязгааргүй тооны (түүнчлэн чиглэлийн векторууд) байдаг бөгөөд шулуун шугамын бүх хэвийн векторууд нь коллинеар байх болно (хоорондын чиглэлтэй эсэх нь ялгаагүй).

Тэдэнтэй харьцах нь чиглүүлэгч векторуудтай харьцуулахад илүү хялбар байх болно:

Тэгш өнцөгт координатын системд шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн бол вектор нь энэ шулууны хэвийн вектор болно.

Хэрэв чиглэлийн векторын координатыг тэгшитгэлээс болгоомжтой "сугалах" шаардлагатай бол хэвийн векторын координатыг зүгээр л "арилгаж" болно.

Хэвийн вектор нь шугамын чиглэлийн вектортой үргэлж ортогональ байна. Эдгээр векторуудын ортогональ байдлыг ашиглан шалгацгаая цэгийн бүтээгдэхүүн:

Би чиглэлийн вектортой ижил тэгшитгэл бүхий жишээг өгөх болно.

Нэг цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулах боломжтой юу? Би үүнийг гэдэс дотроо мэдэрч байна, энэ нь боломжтой. Хэрэв хэвийн вектор нь мэдэгдэж байгаа бол шулуун шугамын чиглэл өөрөө тодорхой тодорхойлогддог - энэ нь 90 градусын өнцөг бүхий "хатуу бүтэц" юм.

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах тодорхой цэг ба энэ шугамын хэвийн векторыг мэддэг бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Энд бүх зүйл бутархай болон бусад гэнэтийн зүйлгүйгээр бүтсэн. Энэ бол бидний ердийн вектор юм. Түүнд хайртай. Бас хүндэлдэг =)

Жишээ 9

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич. Шугамын чиглэлийн векторыг ол.

Шийдэл: Бид томъёог ашигладаг:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг олж авлаа, шалгацгаая.

1) Тэгшитгэлээс хэвийн векторын координатыг "хасах": – тийм ээ, үнэхээр анхны векторыг нөхцөлөөс авсан (эсвэл коллинеар векторыг авах ёстой).

2) Энэ цэг нь тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Жинхэнэ тэгш байдал.

Тэгшитгэл зөв зохиогдсон гэдэгт итгэлтэй болсны дараа бид даалгаврын хоёр дахь, хялбар хэсгийг дуусгах болно. Бид шулуун шугамын чиглүүлэгч векторыг гаргаж авдаг.

Хариулах:

Зураг дээр нөхцөл байдал дараах байдалтай байна.

Сургалтын зорилгоор бие даан шийдвэрлэх ижил төстэй даалгавар:

Жишээ 10

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич. Шугамын чиглэлийн векторыг ол.

Хичээлийн эцсийн хэсэг нь хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэлийн бага түгээмэл боловч чухал хэлбэрүүдэд зориулагдсан болно.

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Параметр хэлбэрийн шугамын тэгшитгэл

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл нь тэгээс өөр тогтмолууд гэсэн хэлбэртэй байна. Зарим төрлийн тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй, жишээлбэл, шууд пропорциональ (чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд баруун талд нь нэгийг авах арга байхгүй).

Энэ нь дүрслэлээр хэлбэл "техникийн" төрлийн тэгшитгэл юм. Нийтлэг даалгавар бол шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг сегмент дэх шугамын тэгшитгэл болгон дүрслэх явдал юм. Энэ нь хэр тохиромжтой вэ? Сегмент дэх шугамын тэгшитгэл нь координатын тэнхлэгүүдтэй шугамын огтлолцлын цэгүүдийг хурдан олох боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь дээд математикийн зарим асуудалд маш чухал байж болно.

Шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олъё. Бид "y"-г дахин тохируулах ба тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна. Хүссэн цэгийг автоматаар авна: .

Тэнхлэгтэй адилхан – шулуун шугамын ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэг.

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр хязгааргүй тооны шулуун шугам зурж болно.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр нэг шулуун шугам зурж болно.

Хавтгайн хоёр салангид шугам нь нэг цэг дээр огтлолцдог эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шугамын харьцангуй байрлалын гурван сонголт байдаг.

• шугамууд огтлолцдог;

• шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам— нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын систем дэх шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно

Ax + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, БТэгээд ХАМТДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- шулуун шугам эхийг дайран өнгөрдөг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг аливаа өгөгдсөн байдлаас хамааран янз бүрийн хэлбэрээр үзүүлж болно

анхны нөхцөл.

Нэг цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэл ба хэвийн вектор.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.

тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. Цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A = 3 ба B = -1 байвал шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд

Үүссэн илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулъя: 3 - 2 + С = 0

C = -1. Нийт: шаардлагатай тэгшитгэл: 3x - y - 1 = 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Тэгээд M2 (x 2, y 2, z 2),Дараа нь шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэг байвал харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Асаалттай

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

Хэрэв x 1 ≠ x 2Тэгээд x = x 1, Хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуу Чигээрээ.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээр бичсэн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Цэг ба налууг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ax + Wu + C = 0хүргэж байна:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Нэг цэгээс шулуун шугам ба чиглэлийн векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x = 1, y = 2бид авдаг C/A = -3, өөрөөр хэлбэл шаардлагатай тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ах + Ву + С = 0 С≠0 байвал -С-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,А б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шугамын тэгшитгэлийг сегментээр ол.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ax + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ*C< 0.

Р- эхлэлээс шулуун шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

А φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв 12x - 5y - 65 = 0. Төрөл бүрийн тэгшитгэл бичихэд шаардлагатай

энэ шулуун шугам.

сегмент дэх энэ шугамын тэгшитгэл:

Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

Шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шугам перпендикуляр байна

Хэрэв k 1 = -1/ k 2 .

Теорем.

Шууд Ax + Wu + C = 0Тэгээд A 1 x + B 1 y + C 1 = 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель

A 1 = λA, B 1 = λB. Хэрэв бас С 1 = λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (x 1, y 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шулуун шугам хүртэлх зай Ax + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (x 1, y 1)- цэгээс унасан перпендикулярын суурь Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай МТэгээд М 1:

(1)

Координатууд x 1Тэгээд 1 цагттэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

шулуун шугам өгөгдсөн. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.