Шугаман хамаарлыг тодорхойлох. Векторын системийн шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдал

Энэ нийтлэлд бид:

• коллинеар вектор гэж юу вэ;
• векторуудын коллинеар байх нөхцөл юу вэ;
• коллинеар векторуудын ямар шинж чанарууд байдаг;
• коллинеар векторуудын шугаман хамаарал гэж юу вэ.

Коллинеар векторууд нь нэг шулуунтай параллель эсвэл нэг шулуун дээр байрладаг векторууд юм.

Жишээ 1

Векторуудын коллинеар байх нөхцөл

Дараах нөхцлүүдийн аль нэг нь үнэн бол хоёр вектор коллинеар байна.

• нөхцөл 1 . a = λ b байх λ тоо байвал a ба b векторууд коллинеар байна;
• нөхцөл 2 . a ба b векторууд ижил координатын харьцаатай коллинеар байна:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• нөхцөл 3 . Хөндлөн үржвэр ба тэг вектор тэнцүү байх тохиолдолд a ба b векторууд нь хоорондоо уялдаатай байна.

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Тайлбар 1

Нөхцөл 2 векторын координатуудын аль нэг нь тэг байвал хамаарахгүй.

Тайлбар 2

Нөхцөл 3 зөвхөн орон зайд заасан векторуудад хамаарна.

Векторуудын коллинеар байдлыг судлах асуудлын жишээ

Бид a = (1; 3) ба b = (2; 1) векторуудыг хоорондоо уялдаа холбоотой эсэхийг шалгадаг.

Хэрхэн шийдэх вэ?

Энэ тохиолдолд 2-р коллинеарийн нөхцлийг ашиглах шаардлагатай. Өгөгдсөн векторуудын хувьд дараах байдалтай байна.

Тэгш байдал нь худлаа. Эндээс бид a, b векторууд коллинеар биш гэж дүгнэж болно.

Хариулах : a | | б

Жишээ 2

Векторууд коллинеар байхын тулд a = (1; 2) ба b = (- 1; m) векторын m ямар утга шаардлагатай вэ?

Хэрхэн шийдэх вэ?

Хоёр дахь коллинеар байдлын нөхцлийг ашиглан координатууд нь пропорциональ байвал векторууд коллинеар болно.

Энэ нь m = - 2 гэдгийг харуулж байна.

Хариулт: m = - 2.

Вектор системийн шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдлын шалгуур

Системийн векторуудын аль нэгийг энэ системийн үлдсэн векторуудаар илэрхийлж чадвал векторын орон зай дахь векторуудын систем нь шугаман хамааралтай болно.

Баталгаа

Системийг e 1 , e 2 , гэж үзье. . . , e n нь шугаман хамааралтай. Энэ системийн тэг вектортой тэнцэх шугаман хослолыг бичье.

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

нийлмэл коэффициентуудын дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байх.

a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Бид тэгш байдлын хоёр талыг тэгээс өөр коэффициентээр хуваана.

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

гэж тэмдэглэе:

A k - 1 a m , энд m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Энэ тохиолдолд:

β 1 e 1 + . . . + β к - 1 э к - 1 + β к + 1 э к + 1 +. . . + β n e n = 0

эсвэл e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Үүнээс үзэхэд системийн векторуудын аль нэг нь системийн бусад бүх векторуудаар илэрхийлэгдэнэ. Энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм (гэх мэт).

Хангалттай байдал

Векторуудын аль нэгийг системийн бусад бүх векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлье.

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Бид e k векторыг энэ тэгш байдлын баруун тал руу шилжүүлнэ.

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

e k векторын коэффициент нь - 1 ≠ 0-тэй тэнцүү тул e 1, e 2, векторуудын системээр тэгийн өчүүхэн бус дүрслэлийг олж авна. . . , e n ба энэ нь эргээд энэ векторын систем шугаман хамааралтай гэсэн үг. Энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм (гэх мэт).

Үр дагавар:

• Векторуудын аль нь ч системийн бусад бүх вектороор илэрхийлэгдэх боломжгүй үед векторын систем нь шугаман бие даасан байна.
• Тэг вектор эсвэл хоёр тэнцүү вектор агуулсан векторуудын систем нь шугаман хамааралтай байна.

Шугаман хамааралтай векторуудын шинж чанарууд

1. 2 ба 3 хэмжээст векторуудын хувьд дараах нөхцөл хангагдсан: шугаман хамааралтай хоёр вектор нь коллинеар байна. Хоёр коллинеар вектор нь шугаман хамааралтай байна.
2. 3 хэмжээст векторуудын хувьд дараах нөхцөл хангагдсан байна: гурван шугаман хамааралтай векторууд хоорондоо уялдаатай байна. (3 coplanar вектор нь шугаман хамааралтай).
3. n хэмжээст векторуудын хувьд дараах нөхцөл хангагдана: n + 1 векторууд үргэлж шугаман хамааралтай байдаг.

Векторуудын шугаман хамаарал эсвэл шугаман бие даасан байдалтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 векторуудын шугаман бие даасан байдлыг шалгая.

Шийдэл. Векторуудын хэмжээ нь векторуудын тооноос бага байдаг тул векторууд нь шугаман хамааралтай байдаг.

Жишээ 4

a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 векторуудын шугаман бие даасан байдлыг шалгая.

Шийдэл. Шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцэх коэффициентүүдийн утгыг олно.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Бид вектор тэгшитгэлийг шугаман хэлбэрээр бичнэ.

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Бид энэ системийг Гауссын аргыг ашиглан шийддэг.

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2-р мөрөнд бид 1-ийг, 3-аас 1-ийг хасна.

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1-р мөрөнд бид 2-ыг хасч, 3-р мөрөнд 2-ыг нэмнэ.

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Уг шийдлээс харахад систем нь олон шийдэлтэй байдаг. Энэ нь x 1, x 2, x 3 тоонуудын утгуудын тэгээс ялгаатай хослол байгаа бөгөөд a, b, c-ийн шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү байна гэсэн үг юм. Тиймээс a, b, c векторууд байна шугаман хамааралтай.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Манайхаас танилцуулсан векторууд дээрх шугаман үйлдлүүд-д зориулж янз бүрийн илэрхийлэл үүсгэх боломжтой болгоно вектор хэмжигдэхүүнүүдмөн эдгээр үйлдлүүдэд тохируулсан шинж чанаруудыг ашиглан тэдгээрийг хувиргана.

Өгөгдсөн a 1, ..., a n векторуудын багц дээр үндэслэн та хэлбэрийн илэрхийлэл үүсгэж болно

a 1, ..., n нь дурын бодит тоо юм. Энэ илэрхийлэл гэж нэрлэдэг векторуудын шугаман хослол a 1, ..., a n. α i, i = 1, n, тоонуудыг төлөөлдөг шугаман хослолын коэффициентууд. Векторуудын багцыг мөн нэрлэдэг векторуудын систем.

Векторуудын шугаман хослолын тухай ойлголттой холбогдуулан өгөгдсөн a 1, ..., a n векторуудын системийн шугаман хослолоор бичиж болох векторуудын багцыг тайлбарлах асуудал гарч ирж байна. Үүнээс гадна шугаман хослол хэлбэрээр векторын дүрслэл байгаа нөхцөл байдал, ийм дүрслэлийн өвөрмөц байдлын талаархи байгалийн асуултууд байдаг.

Тодорхойлолт 2.1. a 1, ..., n векторуудыг дуудна шугаман хамааралтай, хэрэв α 1 , ... , α n гэсэн коэффициентүүдийн багц байвал

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

ба эдгээр коэффициентуудын ядаж нэг нь тэг биш байна. Хэрэв заасан коэффициентүүдийн багц байхгүй бол векторуудыг дуудна шугаман бие даасан.

Хэрэв α 1 = ... = α n = 0 бол α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 байх нь ойлгомжтой. Үүнийг харгалзан бид дараах зүйлийг хэлж болно: a 1, ..., ба векторууд. Хэрэв тэгшитгэлээс (2.2) бүх α 1 , ... , α n коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байна гэж үзвэл n нь шугаман бие даасан байна.

Дараах теорем нь шинэ ойлголтыг яагаад "хамаарал" (эсвэл "бие даасан байдал") гэж нэрлэхийг тайлбарлаж, шугаман хамаарлын энгийн шалгуурыг өгдөг.

Теорем 2.1. a 1, ..., n, n > 1 векторууд шугаман хамааралтай байхын тулд тэдгээрийн аль нэг нь бусдын шугаман хослол байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

◄ Шаардлагатай. a 1, ..., n векторууд шугаман хамааралтай гэж үзье. Шугаман хамаарлын 2.1-ийн тодорхойлолтын дагуу тэгш байдлын (2.2) зүүн талд дор хаяж нэг тэгээс бусад коэффициент, жишээ нь α 1 байна. Эхний нэр томъёог тэгш байдлын зүүн талд үлдээж, үлдсэн хэсгийг нь ердийнх шигээ тэмдэглэгээг нь өөрчилж, баруун тал руу шилжүүлнэ. Үүссэн тэгш байдлыг α 1-д хуваавал бид олж авна

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

тэдгээр. a 1 векторыг үлдсэн a 2, ..., a n векторуудын шугаман хослолоор дүрслэх.

Хангалттай байдал. Жишээлбэл, эхний вектор a 1-ийг үлдсэн векторуудын шугаман хослолоор дүрсэлж болно: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Бүх нэр томъёог баруун талаас зүүн тийш шилжүүлснээр бид 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, i.e. α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n коэффициент бүхий a 1, ..., a n векторуудын шугаман хослол, тэнцүү тэг вектор.Энэ шугаман хослолд бүх коэффициентүүд тэг биш байна. Тодорхойлолт 2.1-ийн дагуу a 1, ..., n векторууд шугаман хамааралтай байна.

Шугаман хамаарлын тодорхойлолт ба шалгуурыг хоёр ба түүнээс дээш вектор байгааг илтгэх үүднээс томъёолсон болно. Гэсэн хэдий ч бид нэг векторын шугаман хамаарлын тухай ярьж болно. Энэ боломжийг ойлгохын тулд "векторууд шугаман хамааралтай" гэхийн оронд "векторуудын систем шугаман хамааралтай" гэж хэлэх хэрэгтэй. "Нэг векторын систем нь шугаман хамааралтай" гэсэн илэрхийлэл нь энэ ганц вектор тэг (шугаман хослолд зөвхөн нэг коэффициент байдаг бөгөөд энэ нь тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй) гэсэн үг болохыг харахад хялбар байдаг.

Шугаман хамаарлын тухай ойлголт нь геометрийн энгийн тайлбартай байдаг. Дараах гурван мэдэгдэл энэ тайлбарыг тодруулж байна.

Теорем 2.2.Хоёр вектор нь шугаман хамааралтай, хэрэв зөвхөн, хэрэв тэд collinear.

◄ Хэрэв a ба b векторууд нь шугаман хамааралтай бол тэдгээрийн аль нэг нь, жишээ нь a, нөгөөгөөр нь илэрхийлэгдэнэ, өөрөөр хэлбэл. Зарим бодит тоо λ-ийн хувьд a = λb. Тодорхойлолтын дагуу 1.7 ажилладагнэг тоонд ногдох векторууд, a ба b векторууд нь коллинеар байна.

Одоо a, b векторуудыг коллинеар болгоё. Хэрэв тэдгээр нь хоёулаа тэг байвал тэдгээрийн шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү тул шугаман хамааралтай болох нь тодорхой байна. Эдгээр векторуудын аль нэг нь 0-тэй тэнцүү байж болохгүй, жишээлбэл b вектор. Векторын уртын харьцааг λ гэж тэмдэглэе: λ = |a|/|b|. Коллинеар векторууд байж болно нэг чиглэлтэйэсвэл эсрэг чиглэсэн. Сүүлчийн тохиолдолд бид λ тэмдгийг өөрчилдөг. Дараа нь тодорхойлолт 1.7-г шалгаснаар a = λb гэдэгт итгэлтэй байна. Теорем 2.1-д зааснаар a ба b векторууд шугаман хамааралтай байна.

Тайлбар 2.1.Шугаман хамаарлын шалгуурыг харгалзан хоёр векторын хувьд батлагдсан теоремыг дараах байдлаар дахин томъёолж болно: хоёр вектор нь тэдгээрийн аль нэг нь нөгөөгийнхөө үржвэрээр тоогоор илэрхийлэгдсэн тохиолдолд л хоёр вектор нь коллинеар болно. Энэ нь хоёр векторын уялдаа холбоотой байх тохиромжтой шалгуур юм.

Теорем 2.3.Гурван вектор нь шугаман хамааралтай, хэрэв тэд л байвал хавтгай.

◄ Хэрэв a, b, c гурван вектор шугаман хамааралтай бол 2.1 теоремийн дагуу тэдгээрийн аль нэг нь, жишээ нь a нь бусдын шугаман хослол болно: a = βb + γс. b ба c векторуудын эхийг А цэгт нэгтгэе. Тэгвэл βb, γс векторууд А цэг ба дагуух нийтлэг эхтэй болно. Параллелограммын дүрмийн дагуу тэдгээрийн нийлбэр нь байнатэдгээр. a вектор нь A ба эхтэй вектор байх болно төгсгөл, энэ нь бүрэлдэхүүн векторууд дээр баригдсан параллелограммын орой юм. Тиймээс бүх векторууд нэг хавтгайд оршдог, өөрөөр хэлбэл, coplanar.

a, b, c векторууд хос хавтгай байцгаая. Хэрэв эдгээр векторуудын аль нэг нь тэг байвал бусад векторуудын шугаман хослол байх нь ойлгомжтой. Шугаман хослолын бүх коэффициентийг тэгтэй тэнцүү байхад хангалттай. Тиймээс бид бүх гурван векторыг тэг биш гэж үзэж болно. Тохиромжтой эхэлсэнЭдгээр векторуудын нийтлэг O цэгт. Тэдний төгсгөлүүд нь тус тус A, B, C цэгүүд байг (Зураг 2.1). С цэгээр дамжуулан бид хос O, A, O, B цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуунуудтай параллель шугамуудыг татдаг. Уулзваруудын цэгүүдийг A" ба B" гэж тэмдэглэснээр бид OA"CB" параллелограммыг олж авдаг, тиймээс OC" = OA" + OB". Вектор OA" ба тэгээс бусад вектор a = OA нь коллинеар тул хоёр дахь нь α:OA" = αOA бодит тоогоор үржүүлснээр тэдгээрийн эхнийхийг гаргаж болно. Үүнтэй адилаар OB" = βOB, β ∈ R. Үүний үр дүнд бид OC" = α OA болно. + βOB, өөрөөр хэлбэл в вектор c нь a ба b векторуудын шугаман хослол юм. 2.1 теоремын дагуу a, b, c векторууд шугаман хамааралтай байна.

Теорем 2.4.Аливаа дөрвөн вектор нь шугаман хамааралтай байна.

◄ Бид нотлох баримтыг теорем 2.3-тай ижил схемийн дагуу гүйцэтгэнэ. a, b, c, d дурын дөрвөн векторыг авч үзье. Дөрвөн векторын аль нэг нь тэг, эсвэл тэдгээрийн дотор хоёр коллинеар вектор байгаа эсвэл дөрвөн векторын гурав нь копланар байвал эдгээр дөрвөн вектор нь шугаман хамааралтай байна. Жишээлбэл, хэрэв a ба b векторууд нь коллинеар байвал тэдгээрийн шугаман хослолыг αa + βb = 0 гэж тэгээс өөр коэффициенттэй болгож, дараа нь энэ хослолд үлдсэн хоёр векторыг нэмж тэгийг коэффициент болгон авч болно. Бид 0-тэй тэнцүү дөрвөн векторын шугаман хослолыг олж авдаг бөгөөд үүнд тэгээс ялгаатай коэффициентүүд байдаг.

Тиймээс бид сонгосон дөрвөн векторын дунд нэг ч вектор тэг, хоёр нь коллинеар биш, гурав нь coplanar биш гэж үзэж болно. Дараа нь a, b, c, d векторуудын төгсгөлүүд нь зарим A, B, C, D цэгүүд болно (Зураг 2.2). D цэгээр дамжуулан бид OBC, OCA, OAB хавтгайтай параллель гурван хавтгайг зурж, A, B, C" нь эдгээр хавтгайн OA, OB, OS шулуун шугамуудтай огтлолцох цэгүүд байх болно. Бид олж авна. параллелепипед OA" C "B" C" B"DA" ба a, b, c векторууд нь О оройноос гарч буй түүний ирмэг дээр байрладаг. OC"DC" дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм тул OD = OC" + OC " Хариуд нь, OC" сегмент нь диагональ OA"C"B", тиймээс OC" = OA" + OB" ба OD = OA" + OB" + OC" .

OA ≠ 0 ба OA" , OB ≠ 0 ба OB" , OC ≠ 0 ба OC" хос векторууд хоорондоо уялдаатай байдаг тул α, β, γ коэффициентүүдийг сонгох боломжтой гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. OA" = αOA , OB" = βOB ба OC" = γOC. Бид эцэст нь OD = αOA + βOB + γOC авна. Иймээс OD вектор нь бусад гурван вектороор илэрхийлэгдэх ба теорем 2.1-ийн дагуу бүх дөрвөн вектор нь шугаман хамааралтай байна.

а 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, а 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, а 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Шийдэл.Бид тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдлийг хайж байна

а 1 x 1 + а 2 x 2 + а 3 x 3 = Θ

Гауссын арга. Үүнийг хийхийн тулд бид нэгэн төрлийн системийг координатаар бичнэ.

Системийн матриц

Зөвшөөрөгдсөн систем нь дараах хэлбэртэй байна. (р А = 2, n= 3). Систем нь хамтын ажиллагаатай, тодорхойгүй байна. Үүний ерөнхий шийдэл ( x 2 – чөлөөт хувьсагч): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o =. Жишээ нь тэгээс өөр тодорхой шийдэл байгаа нь векторууд байгааг харуулж байна а 1 , а 2 , а 3 шугаман хамааралтай.

Жишээ 2.

Өгөгдсөн векторын систем шугаман хамааралтай эсвэл шугаман хамааралгүй эсэхийг олж мэд.

1. а 1 = { -20, -15, - 4 }, а 2 = { –7, -2, -4 }, а 3 = { 3, –1, –2 }.

Шийдэл.Нэг төрлийн тэгшитгэлийн системийг авч үзье а 1 x 1 + а 2 x 2 + а 3 x 3 = Θ

эсвэл өргөтгөсөн хэлбэрээр (координатаар)

Систем нь нэгэн төрлийн. Хэрэв энэ нь доройтдоггүй бол өвөрмөц шийдэлтэй байдаг. Нэг төрлийн системийн хувьд тэг (жижиг) шийдэл байдаг. Энэ нь энэ тохиолдолд векторуудын систем бие даасан байна гэсэн үг юм. Хэрэв систем нь доройтсон бол энэ нь тэгээс ялгаатай шийдэлтэй тул хамааралтай болно.

Бид системийг доройтсон эсэхийг шалгадаг:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Систем нь доройтдоггүй тул векторууд юм а 1 , а 2 , а 3 шугаман бие даасан.

Даалгавар.Өгөгдсөн векторын систем шугаман хамааралтай эсвэл шугаман хамааралгүй эсэхийг олж мэд.

1. а 1 = { -4, 2, 8 }, а 2 = { 14, -7, -28 }.

2. а 1 = { 2, -1, 3, 5 }, а 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. а 1 = { -7, 5, 19 }, а 2 = { -5, 7 , -7 }, а 3 = { -8, 7, 14 }.

4. а 1 = { 1, 2, -2 }, а 2 = { 0, -1, 4 }, а 3 = { 2, -3, 3 }.

5. а 1 = { 1, 8 , -1 }, а 2 = { -2, 3, 3 }, а 3 = { 4, -11, 9 }.

6. а 1 = { 1, 2 , 3 }, а 2 = { 2, -1 , 1 }, а 3 = { 1, 3, 4 }.

7. а 1 = {0, 1, 1 , 0}, а 2 = {1, 1 , 3, 1}, а 3 = {1, 3, 5, 1}, а 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. а 1 = {-1, 7, 1 , -2}, а 2 = {2, 3 , 2, 1}, а 3 = {4, 4, 4, -3}, а 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Векторын систем нь дараахь зүйлийг агуулж байвал шугаман хамааралтай болохыг батал.

a) хоёр тэнцүү вектор;

б) хоёр пропорциональ вектор.

Даалгавар 1.Векторын систем шугаман хамааралгүй эсэхийг олж мэд. Векторуудын системийг багана нь векторуудын координатаас бүрдэх системийн матрицаар тодорхойлно.

.

Шийдэл.Шугаман хослолыг үзье тэгтэй тэнцүү. Энэ тэгшитгэлийг координатаар бичсэний дараа бид дараах тэгшитгэлийн системийг олж авна.

.

Ийм тэгшитгэлийн системийг гурвалжин гэж нэрлэдэг. Түүнд ганц л шийдэл бий . Тиймээс векторууд шугаман бие даасан.

Даалгавар 2.Векторын систем шугаман бие даасан эсэхийг олж мэд.

.

Шийдэл.Векторууд шугаман бие даасан байна (1-р асуудлыг үзнэ үү). Вектор нь векторуудын шугаман хослол гэдгийг баталцгаая . Вектор тэлэлтийн коэффициентүүд тэгшитгэлийн системээр тодорхойлогддог

.

Энэ систем нь гурвалжин шиг өвөрмөц шийдэлтэй.

Тиймээс векторуудын систем шугаман хамааралтай.

Сэтгэгдэл. 1-р бодлоготой ижил төрлийн матрицуудыг дуудна гурвалжин , 2-р асуудалд - шаталсан гурвалжин . Хэрэв эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх матриц нь шаталсан гурвалжин байвал векторуудын системийн шугаман хамаарлын тухай асуудал амархан шийдэгдэнэ. Хэрэв матриц нь тусгай хэлбэргүй бол хэрэглэнэ энгийн мөрийн хөрвүүлэлтүүд , баганын хоорондох шугаман харилцааг хадгалж, үүнийг алхам гурвалжин хэлбэр болгон бууруулж болно.

Анхан шатны стринг хөрвүүлэлтматрицууд (EPS) матриц дээрх дараах үйлдлүүдийг гэнэ.

1) мөрүүдийг дахин зохион байгуулах;

2) мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;

3) өөр тэмдэгт мөрийг дурын тоогоор үржүүлсэн мөрөнд нэмэх.

Даалгавар 3.Шугаман бие даасан хамгийн дээд дэд системийг олж, векторын системийн зэрэглэлийг тооцоол

.

Шийдэл. EPS ашиглан системийн матрицыг шаталсан гурвалжин хэлбэрт оруулъя. Процедурыг тайлбарлахын тулд бид хувиргах матрицын дугаар бүхий мөрийг тэмдгээр тэмдэглэнэ. Сумны дараах багана нь шинэ матрицын мөрүүдийг олж авахын тулд хөрвүүлж буй матрицын мөрүүд дээрх үйлдлүүдийг заана.

.

Мэдээжийн хэрэг, үүссэн матрицын эхний хоёр багана нь шугаман хамааралгүй, гурав дахь багана нь тэдгээрийн шугаман хослол, дөрөв дэх багана нь эхний хоёроос хамаарахгүй. Векторууд үндсэн гэж нэрлэдэг. Эдгээр нь системийн хамгийн дээд шугаман бие даасан дэд системийг бүрдүүлдэг , системийн зэрэглэл нь гурван байна.

Суурь, координат

Даалгавар 4.Координат нь нөхцөлийг хангасан геометрийн векторуудын олонлог дээр энэ суурь дээрх векторуудын суурь ба координатыг ол. .

Шийдэл. Багц нь эхийг дайран өнгөрөх онгоц юм. Хавтгай дээрх дурын суурь нь хоёр коллинеар бус вектороос бүрдэнэ. Сонгосон суурь дахь векторуудын координатыг шугаман тэгшитгэлийн холбогдох системийг шийдэх замаар тодорхойлно.

Координатыг ашиглан үндсийг нь олоход энэ асуудлыг шийдэх өөр нэг арга бий.

Координатууд орон зай нь хамаарлаар холбогддог тул хавтгай дээрх координат биш юм , өөрөөр хэлбэл тэд бие даасан биш юм. Бие даасан хувьсагч ба (тэдгээрийг үнэгүй гэж нэрлэдэг) нь хавтгай дээрх векторыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог тул тэдгээрийг координат болгон сонгож болно. Дараа нь суурь нь чөлөөт хувьсагчийн олонлогт байрлах ба тэдгээрт тохирох векторуудаас бүрдэнэ Тэгээд , тэр нь .

Даалгавар 5.Орон зайн сондгой координат нь хоорондоо тэнцүү бүх векторуудын олонлог дээр энэ суурь дээрх векторуудын суурь ба координатыг ол.

Шийдэл. Өмнөх асуудлын нэгэн адил орон зай дахь координатуудыг сонгоцгооё.

Учир нь , дараа нь чөлөөт хувьсагч -аас векторыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлох ба тиймээс координат болно. Харгалзах суурь нь векторуудаас бүрдэнэ.

Даалгавар 6.Хэлбэрийн бүх матрицын олонлог дээр энэ суурь дээрх векторуудын суурь ба координатыг ол , Хаана - дурын тоо.

Шийдэл. Матриц бүрийг дараах хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно:

Энэ хамаарал нь суурьтай харьцуулахад векторын тэлэлт юм
координатуудтай .

Даалгавар 7.Векторын системийн шугаман их биеийн хэмжээс ба суурийг ол

.

Шийдэл. EPS ашиглан бид системийн векторуудын координатаас матрицыг шаталсан гурвалжин хэлбэрт шилжүүлдэг.

.

Багана сүүлийн матрицууд нь шугаман хамааралгүй, баганууд тэдгээрээр дамжуулан шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Тиймээс векторууд суурь бүрдүүлнэ , Мөн .

Сэтгэгдэл. Суурь нь хоёрдмол утгатай сонгосон. Жишээлбэл, векторууд бас суурь болдог .

Векторууд, тэдгээрийн шинж чанар, тэдгээрийн үйл ажиллагаа

Вектор, вектортой үйлдэл, шугаман вектор орон зай.

Векторууд нь хязгаарлагдмал тооны бодит тоонуудын дараалсан цуглуулга юм.

Үйлдлүүд: 1.Векторыг тоогоор үржүүлэх: lambda*вектор x=(lambda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. Вектор нэмэх (ижил вектор орон зайд хамаарах) вектор х + вектор у = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Вектор 0=(0,0…0)---n E n – n хэмжээст (шугаман орон зай) вектор x + вектор 0 = вектор х

Теорем. n хэмжээст шугаман орон зай болох n векторын систем шугаман хамааралтай байхын тулд векторуудын аль нэг нь бусдын шугаман хослол байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Теорем. Үзэгдлийн n хэмжээст шугаман орон зайн n+ 1-р векторын дурын олонлог. шугаман хамааралтай.

Вектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх. Векторуудыг хасах.

Хоёр векторын нийлбэр нь эхлэл нь векторын төгсгөлтэй давхцаж байвал векторын эхлэлээс төгсгөл хүртэл чиглэсэн вектор юм. Хэрэв векторуудыг суурь нэгж векторуудад өргөтгөлөөр нь өгөгдсөн бол векторуудыг нэмэхэд тэдгээрийн харгалзах координатуудыг нэмнэ.

Үүнийг декартын координатын системийн жишээн дээр авч үзье. Болъё

Үүнийг харуулъя

Зураг 3-аас харахад энэ нь тодорхой байна

Дурын хязгаарлагдмал тооны векторуудын нийлбэрийг олон өнцөгт дүрмийг ашиглан олж болно (Зураг 4): хязгаарлагдмал тооны векторын нийлбэрийг байгуулахын тулд дараагийн вектор бүрийн эхлэлийг өмнөх векторын төгсгөлтэй нэгтгэхэд хангалттай. эхний векторын эхлэлийг сүүлчийн векторын төгсгөлтэй холбосон векторыг байгуулна.

Вектор нэмэх үйлдлийн шинж чанарууд:

Эдгээр илэрхийлэлд m, n нь тоонууд юм.

Векторуудын ялгааг вектор гэж нэрлэдэг Хоёр дахь гишүүн нь векторын эсрэг чиглэлтэй боловч урттай тэнцүү байна.

Тиймээс векторуудыг хасах үйлдлийг нэмэх үйлдлээр солино

Эхлэл нь А цэгт төгсгөл нь (x1, y1, z1) байх векторыг А цэгийн радиус вектор гэж нэрлээд энгийнээр тэмдэглэнэ. Түүний координатууд нь А цэгийн координатуудтай давхцаж байгаа тул нэгж вектор дахь тэлэлт нь дараах хэлбэртэй байна.

A(x1, y1, z1) цэгээс эхэлж B(x2, y2, z2) цэгт төгсдөг векторыг дараах байдлаар бичиж болно.

энд r 2 нь В цэгийн радиус вектор; r 1 - А цэгийн радиус вектор.

Тиймээс нэгж вектор дахь векторын тэлэлт нь хэлбэртэй байна

Түүний урт нь А ба В цэгүүдийн хоорондох зайтай тэнцүү байна

ҮРЖҮҮЛЭХ

Тэгэхлээр хавтгайн бодлогын хувьд векторын a = (ax; ay) үржвэрийг b тоогоор томъёогоор олно.

a b = (ax b; ay b)

Жишээ 1. a = (1; 2) векторын үржвэрийг 3-аар ол.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Тэгэхээр орон зайн бодлогын хувьд a = (ax; ay; az) векторын b тооны үржвэрийг томъёогоор олно.

a b = (ax b; ay b; az b)

Жишээ 1. a = (1; 2; -5) векторын үржвэрийг 2-оор ол.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Векторуудын цэгийн үржвэр ба ба векторуудын хоорондох өнцөг хаана байна; хэрэв аль нь ч байвал

Скаляр үржвэрийн тодорхойлолтоос харахад ийм байна

Энд жишээ нь векторын чиглэл рүү чиглэсэн векторын проекцын хэмжээ.

Скаляр квадрат вектор:

Цэг бүтээгдэхүүний шинж чанарууд:

Координат дахь цэгийн бүтээгдэхүүн

Хэрэв Тэр

Векторуудын хоорондох өнцөг

Векторуудын хоорондох өнцөг - эдгээр векторуудын чиглэлүүдийн хоорондох өнцөг (хамгийн бага өнцөг).

Хөндлөн бүтээгдэхүүн (Хоёр векторын хөндлөн үржвэр.) -Энэ нь хоёр хүчин зүйлээс үүссэн хавтгайд перпендикуляр псевдовектор бөгөөд энэ нь гурван хэмжээст Евклидийн орон зай дахь векторууд дээр "вектор үржүүлэх" хоёртын үйлдлийн үр дүн юм. Бүтээгдэхүүн нь шилжих ба ассоциатив ч биш (энэ нь коммутацийн эсрэг) бөгөөд векторуудын цэгийн үржвэрээс ялгаатай. Инженерийн болон физикийн олон асуудалд та одоо байгаа хоёр перпендикуляр векторыг бүтээх чадвартай байх хэрэгтэй - вектор бүтээгдэхүүн нь энэ боломжийг олгодог. Хөндлөн үржвэр нь векторуудын перпендикуляр байдлыг "хэмжихэд" ашигтай байдаг - хоёр векторын хөндлөн үржвэрийн урт нь перпендикуляр байвал тэдгээрийн уртын үржвэртэй тэнцүү байх ба векторууд параллель эсвэл эсрэг параллель байвал тэг болж буурдаг.

Хөндлөн бүтээгдэхүүн нь зөвхөн гурван хэмжээст ба долоон хэмжээст орон зайд тодорхойлогддог. Скаляр үржвэрийн нэгэн адил вектор бүтээгдэхүүний үр дүн нь Евклидийн орон зайн хэмжигдэхүүнээс хамаарна.

Гурван хэмжээст тэгш өнцөгт координатын систем дэх координатаас скаляр үржвэрийн векторыг тооцоолох томъёоноос ялгаатай нь хөндлөн үржвэрийн томъёо нь тэгш өнцөгт координатын системийн чиг баримжаа эсвэл өөрөөр хэлбэл түүний "чирал байдал" -аас хамаардаг.

Векторуудын коллинеар байдал.

Хоёр тэгээс өөр (0-тэй тэнцүү биш) векторууд зэрэгцээ шулуун дээр эсвэл нэг шулуун дээр хэвтэж байвал тэдгээрийг коллинеар гэж нэрлэдэг. Зөвшөөрөгдөх боловч зөвлөдөггүй синоним нь "параллель" векторууд юм. Коллинеар векторууд нь ижил чиглэлтэй ("codirectional") эсвэл эсрэг чиглэлтэй байж болно (сүүлийн тохиолдолд тэдгээрийг заримдаа "антиколлинеар" эсвэл "эсрэг параллель" гэж нэрлэдэг).

Векторуудын холимог бүтээгдэхүүн( a, b, c)- а векторын скаляр үржвэр ба b ба в векторуудын вектор үржвэр:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

Үүнийг заримдаа векторуудын гурвалсан цэгийн үржвэр гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь үр дүн нь скаляр (илүү нарийвчлалтай, псевдоскаляр) юм.

Геометрийн утга: Холимог бүтээгдэхүүний модуль нь векторуудын үүсгэсэн параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тоогоор тэнцүү байна. (a,b,c) .

Үл хөдлөх хөрөнгө

Холимог бүтээгдэхүүн нь бүх аргументуудын хувьд хазайлттай тэгш хэмтэй байдаг: i.e. e. дурын хоёр хүчин зүйлийг дахин зохион байгуулах нь бүтээгдэхүүний тэмдгийг өөрчилдөг. Эндээс үзэхэд зөв декартын координатын систем дэх холимог үржвэр (ортонормаль суурь) нь векторуудаас бүрдэх матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү ба:

Зүүн декартын координатын систем дэх холимог бүтээгдэхүүн (ортонормаль суурь) нь векторуудаас бүрдэх матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү бөгөөд хасах тэмдгээр авсан:

Ялангуяа,

Хэрэв аль нэг хоёр вектор параллель байвал гурав дахь векторын хамт тэгтэй тэнцүү холимог үржвэрийг үүсгэдэг.

Хэрэв гурван вектор шугаман хамааралтай бол (өөрөөр хэлбэл, ижил хавтгайд хэвтэж байгаа) тэдгээрийн холимог бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна.

Геометрийн утга - Холимог бүтээгдэхүүн нь үнэмлэхүй утгаараа параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна (зураг харна уу) векторууд ба үүсгэсэн; тэмдэг нь энэ гурвалсан векторууд баруун гартай эсвэл зүүн гартай эсэхээс хамаарна.

Векторуудын харьцуулалт.

Гурван (эсвэл түүнээс дээш) векторыг нийтлэг гарал үүслээр бууруулснаар нэг хавтгайд оршдог бол тэдгээрийг копланар гэж нэрлэдэг.

Хавсарсан байдлын шинж чанарууд

Гурван векторын ядаж нэг нь тэг байвал гурван векторыг мөн ижил хавтгай гэж үзнэ.

Хос коллинеар вектор агуулсан гурвалсан вектор нь копланар байна.

Компланар векторуудын холимог бүтээгдэхүүн. Энэ нь гурван векторын давхцах шалгуур юм.

Хавсарсан векторууд нь шугаман хамааралтай байдаг. Энэ нь мөн адил тэгш байдлын шалгуур юм.

3 хэмжээст орон зайд 3 хосгүй вектор суурь болдог

Шугаман хамааралтай ба шугаман бие даасан векторууд.

Шугаман хамааралтай ба бие даасан вектор систем.Тодорхойлолт. Вектор систем гэж нэрлэдэг шугаман хамааралтай, хэрэв тэг вектортой тэнцүү эдгээр векторуудын ядаж нэг чухал бус шугаман хослол байвал. Үгүй бол, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв зөвхөн өгөгдсөн векторуудын өчүүхэн шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү бол векторуудыг дуудна шугаман бие даасан.

Теорем (шугаман хамаарлын шалгуур). Шугаман орон зай дахь векторуудын систем шугаман хамааралтай байхын тулд эдгээр векторуудын ядаж нэг нь бусдын шугаман хослол байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

1) Хэрэв векторуудын дунд дор хаяж нэг тэг вектор байгаа бол векторын систем бүхэлдээ шугаман хамааралтай байна.

Үнэн хэрэгтээ, жишээ нь, байвал бид .▲ гэсэн утгагүй шугаман хослол байна гэж үзвэл.

2) Хэрэв векторуудын зарим нь шугаман хамааралтай систем үүсгэдэг бол бүхэл систем нь шугаман хамааралтай байна.

Үнэхээр , , векторууд шугаман хамааралтай байг. Энэ нь тэг вектортой тэнцэх утгын бус шугаман хослол байна гэсэн үг. Гэхдээ дараа нь таамаглаж байна , бид мөн тэг вектортой тэнцэх утгагүй шугаман хослолыг олж авдаг.

2. Суурь ба хэмжээс. Тодорхойлолт. Шугаман бие даасан векторуудын систем вектор орон зай гэж нэрлэдэг суурьЭнэ зайны аль нэг векторыг энэ системийн векторуудын шугаман хослолоор төлөөлж болох юм бол, i.e. вектор бүрийн хувьд бодит тоонууд байдаг тэгш байдлыг хангахын тулд энэ тэгш байдлыг нэрлэдэг вектор задралүндсэн болон тоонуудын дагуу гэж нэрлэдэг суурьтай харьцуулахад векторын координатууд(эсвэл үндсэн дээр) .

Теорем (суурьтай холбоотой тэлэлтийн өвөрмөц байдлын тухай). Сансар дахь вектор бүрийг суурь болгон өргөжүүлж болно цорын ганц арга замаар, өөрөөр хэлбэл. суурь дахь вектор бүрийн координат хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлогддог.