1. Тэнхлэгийн хэсэгцилиндр нь цилиндрийн тэнхлэгийг дайран өнгөрч буй хавтгайн хэсэг юм. Цилиндрийн тэнхлэгийн хөндлөн огтлол нь тэгш өнцөгт.
2. Суурьтай параллель хавтгайтай цилиндрийн хэсэг.
Энэ тохиолдолд хөндлөн огтлол нь суурьтай тэнцүү ба параллель тойрог юм.
Конус
Конус бол тойрогоос бүрдэх геометрийн бие юм. үндэслэлконус, энэ тойргийн хавтгайд ороогүй цэг, − оргилуудконус ба конусын дээд хэсгийг суурийн цэгүүдтэй холбосон бүх сегментүүд.
Конусын оройг суурийн тойргийн цэгүүдтэй холбосон сегментүүдийг нэрлэдэг бүрдүүлэхконус
Конус гэж нэрлэдэг шууд, хэрэв конусын оройг суурийн төвтэй холбосон шулуун шугам нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал.
Асаалттай будаа. А) шулуун конус, б) налуу конус.
Дараахь зүйлд бид зөвхөн шулуун конусыг авч үзэх болно!
С- конусын дээд хэсэг.
Төвүүдтэй тойрог ТУХАЙ- конусын суурь.
С.А.,C.B., SC- конус үүсгэх.
Өндөрконусын оройгоос суурийн хавтгайд буусан перпендикуляр гэж нэрлэдэг.
Тэнхлэгконусын өндрийг агуулсан шулуун шугамыг ( SO).
Конусын шинж чанарууд:
Конусын генераторууд тэнцүү байна.
Конусыг хажуугийнхаа эргэн тойронд тэгш өнцөгт гурвалжинг эргүүлснээр олж авсан бие гэж үзэж болно.
Конусын хамгийн энгийн хэсгүүд.
1. Тэнхлэгийн хэсэгконус нь конусын тэнхлэгийг дайран өнгөрч буй хавтгайн хэсэг юм. Конусын тэнхлэгийн хэсэг нь гурвалжин.
2. Суурьтай параллель хавтгайтай конусын зүсэлт.
Энэ тохиолдолд хөндлөн огтлол нь суурьтай төстэй ба параллель тойрог юм.
Бөмбөлөг нь өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн цэгээс ихгүй зайд байрлах орон зайн бүх цэгүүдээс бүрдэх геометрийн бие юм.
Энэ цэг ( ТУХАЙ) гэж нэрлэдэг төвбөмбөг, энэ зай байна радиусбөмбөг.
Бөмбөгний хил хязгаарыг нэрлэдэг бөмбөрцөг гадаргууэсвэл бөмбөрцөг.
Бөмбөлөгний төвийг бөмбөрцөг гадаргуу дээрх цэгтэй холбосон аливаа сегментийг нэрлэдэг радиусбөмбөг ( О.Д., ОБ, О.А).
Бөмбөгний диаметрБөмбөрцөг гадаргуу дээрх хоёр цэгийг холбож, бөмбөгний төвийг дайран өнгөрдөг сегмент ( AB).
Бөмбөгний шинж чанар:
Бөмбөгний радиус нь тэнцүү;
Бөмбөгний диаметрүүд тэнцүү байна.
Бөмбөгийг диаметрийг тойрон хагас тойргийг эргүүлснээр олж авсан бие гэж үзэж болно.
Бөмбөгний хамгийн энгийн хэсгүүд
1. Бөмбөгийг төвөөр нь дайран өнгөрөх онгоцоор зүсэх. Энэ тохиолдолд хэсэг нь байна том тойрог.
2. Бөмбөгийг онгоцоор зүсэх Үгүйтүүний төвөөр дамжин өнгөрдөг. Энэ тохиолдолд хэсэг нь байна тойрог.
Цилиндр (шулуун дугуй цилиндр)параллель орчуулгатай хосолсон хоёр тойрог (цилиндрийн суурь), зэрэгцээ хөрвүүлэх явцад эдгээр тойргийн харгалзах цэгүүдийг холбосон бүх сегментээс бүрдсэн бие юм. Суурийн тойргийн харгалзах цэгүүдийг холбосон сегментүүдийг цилиндрийн генератор гэж нэрлэдэг.
Энд өөр нэг тодорхойлолт байна:
Цилиндр- битүү чиглүүлэгч бүхий цилиндр гадаргуугаар хязгаарлагдах бие ба энэ гадаргуугийн генераторуудыг огтолж буй хоёр зэрэгцээ хавтгай.
Цилиндр гадаргуу- тодорхой муруй дагуу шулуун шугамын хөдөлгөөнөөс үүссэн гадаргуу. Шулуун шугамыг цилиндр гадаргуугийн генератор гэж нэрлэдэг ба муруй шугамыг цилиндр гадаргуугийн чиглүүлэгч гэж нэрлэдэг.
Цилиндрийн хажуугийн гадаргуу- зэрэгцээ хавтгайгаар хязгаарлагдсан цилиндр гадаргуугийн хэсэг.
Цилиндрийн суурь- цилиндрийн хажуугийн гадаргуугаар таслагдсан зэрэгцээ хавтгайн хэсгүүд.
Зураг 1 мини
Цилиндр гэж нэрлэдэг шууд(см. Зураг 1), хэрэв түүний генераторууд суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал. Үгүй бол цилиндрийг дуудна налуу.
Дугуй хэлбэртэй цилиндр- суурь нь дугуй хэлбэртэй цилиндр.
Баруун дугуй цилиндр (зүгээр л цилиндр)тэгш өнцөгтийг нэг талыг тойруулан эргүүлснээр олж авсан бие юм. см. Зураг 1.
Цилиндрийн радиуснь түүний суурийн радиус юм.
Цилиндрийн генератор- цилиндр гадаргуугийн генератор.
Цилиндрийн өндөрсуурийн хавтгай хоорондын зай гэж нэрлэдэг. Цилиндрийн тэнхлэгсуурийн төвүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам гэж нэрлэдэг. Цилиндрийн тэнхлэгийг дайран өнгөрч буй хавтгайн хэсгийг цилиндр гэж нэрлэдэг тэнхлэгийн хэсэг.
Цилиндрийн тэнхлэг нь түүний үүсгэгчтэй параллель бөгөөд цилиндрийн тэгш хэмийн тэнхлэг юм.
Шулуун цилиндрийн үүсгэгчийг дайран өнгөрч, тэнхлэгийн хэсэгт перпендикуляр байрладаг онгоцыг энэ генератрикс гэж нэрлэдэг. цилиндрийн шүргэгч хавтгай. см. Зураг 2.
Цилиндрийн хажуугийн гадаргууг хөгжүүлэх- цилиндрийн өндөр ба суурийн тойрогтой тэнцүү талуудтай тэгш өнцөгт.
Цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбай- хажуугийн гадаргуугийн хөгжлийн талбай. $$S_(тал)=2\pi\cdot rh$$, хаана hнь цилиндрийн өндөр, ба r- суурийн радиус.
Цилиндрийн нийт гадаргуугийн талбай- цилиндрийн хоёр суурийн талбайн нийлбэр ба түүний хажуугийн гадаргуугийн нийлбэртэй тэнцүү талбай, өөрөөр хэлбэл. томъёогоор илэрхийлэгдэнэ: $$S_(бүтэн)=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , энд hнь цилиндрийн өндөр, ба r- суурийн радиус.
Аливаа цилиндрийн эзэлхүүнсуурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү: $$V = S\cdot h$$ Дугуй цилиндрийн эзэлхүүн: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , хаана ( r- суурь радиус).
Призм бол тусгай төрлийн цилиндр юм (генераторууд нь хажуугийн хавиргатай зэрэгцээ байрладаг; чиглүүлэгч нь суурь дээр байрладаг олон өнцөгт юм). Нөгөө талаас дурын цилиндрийг маш олон тооны маш нарийн нүүртэй, доройтсон ("гөлгөр") призм гэж үзэж болно. Практикт цилиндрийг ийм призмээс ялгах боломжгүй юм. Призмийн бүх шинж чанар нь цилиндрт хадгалагдана.
Цилиндр гадаргуу m Муруйн дагуу хөдөлж буй зарим шулуун m нь цилиндр гадаргууг дүрсэлдэг. Хэрэв энэ муруй хаалттай бол цилиндр хэлбэртэй хаалттай гадаргууг дүрсэлсэн болно. Хэрэв хаалттай муруй нь тойрог хэлбэртэй бол дугуй цилиндрийг дүрсэлсэн болно. Шулуун шугам m нь муруйн хавтгайд перпендикуляр байвал зөв дугуй цилиндрийг дүрсэлсэн ЦИЛИНДРИЙН ТӨРӨЛ Зууван цилиндр ЦИЛИНДРИЙН ТӨРӨЛ Гипербол цилиндр ЦИЛИНДРИЙН ТӨРӨЛ Параболик цилиндр 07/26 cylinder of Definition. Цилиндр гэдэг нь нэг хавтгайд оршдоггүй, параллель орчуулгаар нийлсэн хоёр тойрог, эдгээр тойргийн харгалзах цэгүүдийг холбосон бүх сегментээс бүрдсэн бие юм. Цилиндр Цилиндрийн аль нэг элементийг агуулсан тэгш өнцөгтийг шулуун шугамын эргэн тойронд эргүүлснээр цилиндрийг авч болно. Цилиндрийн радиус нь түүний суурийн радиус юм. Цилиндрийн өндөр нь түүний суурийн хавтгай хоорондын зай юм. Цилиндрийн тэнхлэг нь суурийн төвүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм. Цилиндрийн шинж чанарууд. 1) Суурь нь тэнцүү ба зэрэгцээ байна. 2) Цилиндрийн бүх генераторууд хоорондоо параллель, тэнцүү байна Цилиндрийн хөгжил Цилиндрийн хажуугийн гадаргуу нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй, нэг тал нь цилиндрийн өндөр, нөгөө тал нь суурийн тойргийн урт юм. Тэнхлэгийн хэсэг нь цилиндрийн дөрвөлжин хэсэг болох цилиндрийг тэгш талт цилиндр гэнэ. Тэнхлэгтэйгээ параллель хавтгайтай цилиндрийн хөндлөн огтлол нь тэгш өнцөгт юм. Түүний хоёр тал нь цилиндрийн генераторууд, нөгөө хоёр нь суурийн зэрэгцээ хөвч юм. Цилиндрийн тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хэсгийг тэнхлэгийн хэсэг гэж нэрлэдэг бөгөөд мөн тэгш өнцөгт юм. Цилиндрийн суурийн хавтгайтай параллель хавтгай нь түүний хажуугийн гадаргууг суурийн тойрогтой тэнцүү тойргийн дагуу огтолж байна. Шүргэх хавтгай Хэрвээ хавтгай нь хажуугийн гадаргуутай нийтлэг шулуун шугамтай бол энэ хавтгайг шүргэгч хавтгай гэнэ. Шүргэх шугам нь цилиндрийн бүрэн ба хажуугийн гадаргуу нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй, нэг тал нь цилиндрийн өндөр, нөгөө тал нь тойрог юм. Цилиндрийн бүрэн гадаргуу нь хоёр тойрог, хажуугийн гадаргуугаас бүрдэнэ. L H 2 RH S цилиндрийн хажуугийн гадаргуу ба S тойргийн R 2 R 2 RH 2 R (R H) 2 S тойргийн S хажуугийн S 2-р цилиндрийн бүрэн гадаргуу ба 2-р цилиндрийн гадаргуу ба цилиндрийн эзэлхүүн цилиндр нь суурийн талбай ба цилиндрийн өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна. V S суурь V R 2 H H Зөв дугуй цилиндр гэж юу болохыг тайлбарлана уу? Цилиндрийн радиус, өндөр, генератор, тэнхлэг гэж юу вэ? Цилиндрийн тэнхлэгийн хэсэг гэж юу вэ? Аль цилиндрийг тэгш талт гэж нэрлэдэг вэ? Цилиндрийн тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайд ямар хэсэг байх вэ? Цилиндрийн хажуу ба нийт гадаргуу гэж юуг хэлэх вэ? Цилиндрийн хажуугийн болон нийт гадаргуугийн талбайг хэрхэн олох вэ? ЦИЛИНДРИЙН ЭЛЕМЕНТҮҮД Бодлого 1. Цилиндрийн тэнхлэгийн хэсэг нь дөрвөлжин бөгөөд талбай нь Q. Цилиндрийн суурийн талбайг ол. Өгөгдсөн: цилиндр, тэнхлэгийн хэсэг - дөрвөлжин Хэсэг = Q Ол: Sbas = тойрог Шийдэл: Бодлого 2. Цилиндрийн хажуугийн гадаргуу нь 4 см2 талбайтай дөрвөлжин болж хувирна. Цилиндрийн нийт гадаргуу ба эзэлхүүнийг ол. 3 N l тойрог гэж үзье Өгөгдсөн: цилиндр Sq = 4 см2 Олно: Sp.p., Vcyl. Шийдэл: Лабораторийн болон практик ажил Сэдэв: Цилиндр 1. Тодорхойлолт, шинж чанар. 2. Зураг, мм-ийн хэмжээс. 3. Тооцоолох: а) суурийн талбай б) цилиндрийн хажуугийн гадаргуу. в) цилиндрийн бүрэн гадаргуу. г) цилиндрийн эзэлхүүн. Асуудал Тэнхлэгийн хэсгийн диагональ нь 48 см байна. Цилиндрийн диагональ ба генераторын хоорондох өнцөг нь 60o байна. 1) цилиндрийн өндрийг ол; 2) цилиндрийн радиус; 3) Sbas Цилиндрийн өндөр нь 8 см, радиус нь 5 см. Энэ хавтгай ба цилиндрийн тэнхлэг хоорондын зай 3 см бол түүний тэнхлэгтэй параллель хавтгайн хөндлөн огтлолын талбайг ол. Тэнхлэгийн хөндлөн огтлолыг ол. цилиндрийн огтлолын талбай. Цилиндрийг α талтай квадратыг нэг талыг тойруулан эргүүлэх замаар олж авна. Талбайг ол: 1) цилиндрийн тэнхлэгийн хэсэг; 2) цилиндрийн бүтэн гадаргуу Цилиндр Дизайн ба архитектурын өвөрмөц байдал Асуудал: Поршений диаметр 10 см, поршений цохилт 9 см бол ГАЗ-53 автомашины хөдөлгүүрийн шатаах камерын эзэлхүүн хэр их нэмэгдэх вэ? Шийдэл V=пR2H: V=3.14 52 9=706.5 (см3) Бодлого: ЗИЛ130 автомашины жолооны насосны тосны савны диаметр нь 126 мм, өндөр нь 140 мм бол түүний багтаамжийг тодорхойл. Шийдэл V=пR2H =3.14. 3969.140=174477.24
Стереометр бол орон зай дахь дүрсийг судалдаг геометрийн салбар юм. Сансар огторгуйн гол дүрсүүд нь цэг, шулуун шугам, хавтгай юм. Стереометрийн хувьд шугамын харьцангуй зохицуулалтын шинэ төрөл гарч ирдэг: огтлолцох шугамууд. Энэ нь стереометр ба планиметрийн цөөн хэдэн чухал ялгаануудын нэг юм, учир нь ихэнх тохиолдолд стереометрийн асуудлыг планиметрийн хуулиудыг хангасан янз бүрийн хавтгайг авч үзэх замаар шийддэг.
Бидний эргэн тойрон дахь байгальд энэ дүрсийн физик загвар болох олон объект байдаг. Жишээлбэл, машины олон эд анги нь цилиндр хэлбэртэй эсвэл тэдгээрийн зарим нэг хослол бөгөөд цилиндр хэлбэрээр хийсэн сүм, сүм хийдийн сүрлэг багана нь тэдний эв найрамдал, гоо үзэсгэлэнг онцолж өгдөг.
Грек - килиндрос. Эртний нэр томъёо. Өдөр тутмын амьдралд - папирус гүйлгэх, галзуу, өнхрөх (үйл үг - мушгих, өнхрөх).
Евклидийн хувьд тэгш өнцөгтийг эргүүлэх замаар цилиндрийг олж авдаг. Кавальерид - генераторын хөдөлгөөнөөр (дурын гарын авлагатай - "цилиндр").
Энэхүү эссэний зорилго нь геометрийн бие буюу цилиндрийг авч үзэх явдал юм.
Энэ зорилгод хүрэхийн тулд дараахь ажлуудыг авч үзэх шаардлагатай.
- цилиндрийн тодорхойлолтыг өгөх;
− цилиндрийн элементүүдийг авч үзэх;
− цилиндрийн шинж чанарыг судлах;
− цилиндрийн хэсгүүдийн төрлийг авч үзэх;
- цилиндрийн талбайн томьёог гаргаж авах;
− цилиндрийн эзэлхүүний томъёог гаргана;
− цилиндр ашиглан асуудлыг шийдэх.
1.1. Цилиндрийн тодорхойлолт
Аль нэг α хавтгайд хэвтэж буй зарим шулуун (муруй, хугарсан эсвэл холимог) l, мөн энэ хавтгайг огтолж буй S шулуун шугамыг авч үзье. Өгөгдсөн l шугамын бүх цэгүүдээр бид S шулуун шугамтай параллель шулуун шугамуудыг зурна; эдгээр шулуун шугамуудаас үүссэн α гадаргууг цилиндр гадаргуу гэж нэрлэдэг. l шугамыг энэ гадаргуугийн чиглүүлэгч гэж нэрлэдэг бөгөөд s 1, s 2, s 3,... шугамууд нь түүний генераторууд юм.
Хэрэв чиглүүлэгч эвдэрсэн бол ийм цилиндр гадаргуу нь хос параллель шулуун шугамын хооронд бэхлэгдсэн хэд хэдэн хавтгай туузаас бүрдэх бөгөөд үүнийг призматик гадаргуу гэж нэрлэдэг. Чиглүүлэгчийн эвдэрсэн шугамын оройгоор дамжин өнгөрдөг генератрисуудыг призмийн гадаргуугийн ирмэг гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн хоорондох хавтгай туузууд нь түүний нүүр юм.
Хэрэв бид ямар нэгэн цилиндр гадаргууг генераторуудтай параллель биш дурын хавтгайгаар огтолж авбал энэ гадаргуугийн чиглүүлэгч болгон авч болох шугамыг олж авна. Хөтөчүүдийн дотроос онцлох зүйл бол гадаргуугийн генератрицуудтай перпендикуляр хавтгайгаар гадаргууг огтолж авах замаар олж авсан зүйл юм. Ийм хэсгийг ердийн хэсэг гэж нэрлэдэг ба харгалзах удирдамжийг ердийн хөтөч гэж нэрлэдэг.
Хэрэв чиглүүлэгч нь битүү (гүдгэр) шугам (эвдэрсэн эсвэл муруй) байвал харгалзах гадаргууг хаалттай (гүдгэр) призм буюу цилиндр гадаргуу гэж нэрлэдэг. Цилиндр гадаргуунуудын хамгийн энгийн нь тойрог хэлбэртэй байдаг. Генераторуудтай параллель биш харин хоорондоо параллель хоёр хавтгайтай битүү гүдгэр призматик гадаргууг задлан үзье.
Хэсэг дээр бид гүдгэр олон өнцөгтүүдийг олж авдаг. Одоо призмийн гадаргуугийн α ба α" хавтгайн хооронд бэхлэгдсэн хэсэг ба эдгээр хавтгайд үүссэн хоёр олон өнцөгт хавтан нь призмийн бие гэж нэрлэгддэг биеийг хязгаарлаж байна - призм.
Цилиндр бие - цилиндрийг призмтэй төстэй байдлаар тодорхойлдог.
Цилиндр гэдэг нь хажуу талдаа битүү (гүдгэр) цилиндр гадаргуу, төгсгөлд нь хоёр хавтгай зэрэгцээ сууриар хүрээлэгдсэн бие юм. Цилиндрийн суурь хоёулаа тэнцүү бөгөөд цилиндрийн бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. суурийн хавтгайн хоорондох цилиндр гадаргуугийн генераторуудын сегментүүд.
Цилиндр (илүү нарийвчлалтай, дугуй цилиндр) нь нэг хавтгайд оршдоггүй, зэрэгцээ хөрвүүлгээр нийлдэг хоёр тойрог, эдгээр тойргийн харгалзах цэгүүдийг холбосон бүх сегментээс бүрдэх геометрийн бие юм (Зураг 1). .
Тойрог цилиндрийн суурь гэж нэрлэдэг ба тойргийн тойргийн харгалзах цэгүүдийг холбосон сегментүүдийг цилиндрийн генераторууд гэж нэрлэдэг.
Зэрэгцээ орчуулга нь хөдөлгөөн учраас цилиндрийн суурь нь тэнцүү байна.
Зэрэгцээ хөрвүүлэх үед хавтгай нь зэрэгцээ хавтгайд (эсвэл өөрөө) хувирдаг тул цилиндрийн суурь нь зэрэгцээ хавтгайд байрладаг.
Зэрэгцээ хөрвүүлгийн үед цэгүүд параллель (эсвэл давхцах) шугамын дагуу ижил зайд шилждэг тул цилиндрийн генераторууд параллель ба тэнцүү байна.
Цилиндрийн гадаргуу нь суурь ба хажуугийн гадаргуугаас бүрдэнэ. Хажуугийн гадаргуу нь генатрисуудаас бүрдэнэ.
Генераторууд нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал цилиндрийг шулуун гэж нэрлэдэг.
Шулуун цилиндрийг тэгш өнцөгтийг тэнхлэг болгон хажуу тийш нь эргүүлэх үед дүрсэлсэн геометрийн биет байдлаар төсөөлж болно (Зураг 2).
Цагаан будаа. 2 - Шулуун цилиндр
Дараах зүйлд бид зөвхөн шулуун цилиндрийг авч үзэх бөгөөд үүнийг товчилсон цилиндр гэж нэрлэх болно.
Цилиндрийн радиус нь түүний суурийн радиус юм. Цилиндрийн өндөр нь түүний суурийн хавтгай хоорондын зай юм. Цилиндрийн тэнхлэг нь суурийн төвүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм. Энэ нь генераторуудтай зэрэгцээ байрладаг.
Өндөр нь суурийн диаметртэй тэнцүү бол цилиндрийг тэгш талт гэж нэрлэдэг.
Хэрэв цилиндрийн суурь нь хавтгай бол (тиймээс тэдгээрийг агуулсан хавтгайнууд нь параллель байвал) цилиндрийг хавтгай дээр зогсож байна гэж нэрлэдэг. Хэрэв хавтгай дээр зогсож буй цилиндрийн суурь нь генатрикстай перпендикуляр байвал цилиндрийг шулуун гэж нэрлэдэг.
Ялангуяа, хэрэв хавтгай дээр зогсож байгаа цилиндрийн суурь нь тойрог бол бид дугуй (дугуй) цилиндрийн тухай ярьдаг; хэрэв энэ нь эллипс бол зууван хэлбэртэй байна.
1. 3. Цилиндрийн хэсгүүд
Тэнхлэгтэйгээ параллель хавтгайтай цилиндрийн хөндлөн огтлол нь тэгш өнцөгт юм (Зураг 3, а). Түүний хоёр тал нь цилиндрийн генераторууд, нөгөө хоёр нь суурийн зэрэгцээ хөвч юм.
A) 
б)
V) G)
Цагаан будаа. 3 - цилиндрийн хэсгүүд
Ялангуяа тэгш өнцөгт нь тэнхлэгийн хэсэг юм. Энэ нь цилиндрийн тэнхлэгийг дайран өнгөрч буй онгоц бүхий хэсэг юм (Зураг 3, b).
Суурьтай параллель хавтгайтай цилиндрийн хөндлөн огтлол нь тойрог юм (Зураг 3, в).
Суурь ба түүний тэнхлэгтэй параллель биш хавтгайтай цилиндрийн хөндлөн огтлол нь зууван хэлбэртэй байна (Зураг 3d).
Теорем 1. Цилиндрийн суурийн хавтгайтай параллель хавтгай нь түүний хажуугийн гадаргууг суурийн тойрогтой тэнцүү тойргийн дагуу огтолж байна.
Баталгаа. β нь цилиндрийн суурийн хавтгайтай параллель байна. Цилиндрийн тэнхлэгийн чиглэлд параллель орчуулга нь β хавтгайг цилиндрийн суурийн хавтгайтай хослуулж, хажуугийн гадаргуугийн огтлолыг β хавтгайгаар суурийн тойрогтой хослуулдаг. Теорем нь батлагдсан.
Цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбай.
Цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг энэ призмийн суурийн талуудын тоо тодорхой бус хугацаагаар нэмэгдэх үед цилиндрт сийлсэн ердийн призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг чиглүүлэх хязгаар гэж үздэг.
Теорем 2. Цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь түүний суурийн тойрог ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү (S тал.c = 2πRH, R нь цилиндрийн суурийн радиус, H нь H цилиндрийн өндөр).
A) 
б) 
Цагаан будаа. 4 − Цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбай
Баталгаа.
Цилиндр дотор сийлсэн ердийн n өнцөгт призмийн суурийн периметр ба өндрийг P n ба H гэж тус тус тэмдэглэе (Зураг 4, а). Дараа нь энэ призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь S тал байна.c − P n H. Суурь дээр бичигдсэн олон өнцөгтийн талуудын тоо хязгааргүй өснө гэж үзье (Зураг 4, b). Дараа нь P n периметр нь C = 2πR тойрог руу чиглэдэг бөгөөд R нь цилиндрийн суурийн радиус бөгөөд H өндөр нь өөрчлөгддөггүй. Тиймээс призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь 2πRH-ийн хязгаарт чиглэдэг, өөрөөр хэлбэл цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь S талтай тэнцүү байна.c = 2πRH. Теорем нь батлагдсан.
Цилиндрийн нийт гадаргуугийн талбай.
Цилиндрийн нийт гадаргуугийн талбай нь хажуугийн гадаргуу ба хоёр суурийн талбайн нийлбэр юм. Цилиндрийн суурь тус бүрийн талбай нь πR 2-тэй тэнцүү тул цилиндрийн S нийт гадаргуугийн талбайг S тал.c = 2πRH+ 2πR 2 томъёогоор тооцоолно.
|
|
|
|
|
|
|
|
Цагаан будаа. 5 - Цилиндрийн нийт гадаргуугийн талбай
Хэрэв цилиндрийн хажуугийн гадаргууг FT generatrix-ийн дагуу зүсэж (Зураг 5, а) бүх генераторууд нэг хавтгайд байхаар задалбал үр дүнд нь бид FTT1F1 тэгш өнцөгтийг авах бөгөөд үүнийг хөгжүүлэлт гэж нэрлэдэг. цилиндрийн хажуугийн гадаргуу. Тэгш өнцөгтийн FF1 тал нь цилиндрийн суурийн тойргийн хөгжил тул FF1=2πR, түүний FT тал нь цилиндрийн үүсгэгчтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл FT = H (Зураг 5, b). Тиймээс цилиндрийн хөгжлийн FT∙FF1=2πRH талбай нь түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайтай тэнцүү байна.
1.5. Цилиндрийн эзэлхүүн
Хэрэв геометрийн бие нь энгийн, өөрөөр хэлбэл түүнийг хязгаарлагдмал тооны гурвалжин пирамидуудад хувааж болох юм бол түүний эзэлхүүн нь эдгээр пирамидын эзэлхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна. Дурын биеийн хувьд эзлэхүүнийг дараах байдлаар тодорхойлно.
Тухайн биеийг агуулсан энгийн биетүүд болон V-ээс хүссэн хэмжээгээрээ өөр хэмжээтэй энгийн биетүүд байгаа бол V эзлэхүүнтэй байна.
Суурийн радиус R ба өндөр H цилиндрийн эзэлхүүнийг олоход энэ тодорхойлолтыг ашиглая.
Тойргийн талбайн томьёог гаргахдаа хоёр n-гоныг (нэг нь тойрог агуулсан, нөгөө нь тойрогт агуулагддаг) барьсан бөгөөд тэдгээрийн талбайнууд нь n-ийн хязгааргүй өсөлттэй, n-ийн талбайд ойртох болно. хязгааргүй тойрог. Цилиндрийн ёроолд байгаа тойрогт ийм олон өнцөгтүүдийг байгуулъя. P нь тойрог агуулсан олон өнцөгт, харин P" нь тойрогт агуулагдах олон өнцөгт байг (Зураг 6).
Цагаан будаа. 7 − Призмийг дүрсэлж, дотор нь бичсэн цилиндр
P ба P" суурьтай, H өндөртэй цилиндрийн өндөртэй тэнцүү хоёр шулуун призм байгуулъя. Эхний призм нь цилиндртэй, хоёр дахь призм нь цилиндрт агуулагддаг. n-ийн хэмжээ хязгааргүй өсөх тул Призмийн суурийн талбайнууд нь цилиндрийн S-ийн суурийн талбайд хязгааргүй ойртож, дараа нь тэдгээрийн эзэлхүүн нь цилиндрийн эзэлхүүний дагуу SH-д хязгааргүй ойртдог
V = SH = πR 2 H.
Тиймээс цилиндрийн эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Даалгавар 1.
Цилиндрийн тэнхлэгийн хэсэг нь Q талбайтай дөрвөлжин хэлбэртэй байна.
Цилиндрийн суурийн талбайг ол.
Өгөгдсөн: цилиндр, дөрвөлжин - цилиндрийн тэнхлэгийн хэсэг, S квадрат = Q.
Олно: S гол цилиндр
Талбайн тал нь . Энэ нь суурийн диаметртэй тэнцүү байна. Тиймээс суурийн талбай нь 
.
Хариулт: S гол цилиндр. =
Даалгавар 2.
Ердийн зургаан өнцөгт призмийг цилиндрт сийлсэн байна. Суурийн радиус нь цилиндрийн өндөртэй тэнцүү бол түүний хажуугийн диагональ ба цилиндрийн тэнхлэгийн хоорондох өнцгийг ол.
Өгөгдсөн: цилиндр, цилиндрт сийлсэн ердийн зургаан өнцөгт призм, суурийн радиус = цилиндрийн өндөр.
Ол: түүний хажуугийн нүүрний диагональ ба цилиндрийн тэнхлэгийн хоорондох өнцөг.
Шийдэл: Тойрог дотор сийлсэн ердийн зургаан өнцөгтийн тал нь радиустай тэнцүү тул призмийн хажуугийн нүүрүүд нь дөрвөлжин хэлбэртэй байна.
Призмийн ирмэгүүд нь цилиндрийн тэнхлэгтэй параллель байдаг тул нүүрний диагональ ба цилиндрийн тэнхлэгийн хоорондох өнцөг нь диагональ ба хажуугийн ирмэгийн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Нүүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй тул энэ өнцөг нь 45 ° байна.
Хариулт: түүний хажуугийн нүүрний диагональ ба цилиндрийн тэнхлэгийн хоорондох өнцөг = 45 °.
Даалгавар 3.
Цилиндрийн өндөр нь 6 см, суурийн радиус нь 5 см.
Цилиндрийн тэнхлэгээс 4 см зайд параллель зурсан хэсгийн талбайг ол.
Өгөгдсөн: H = 6см, R = 5см, OE = 4см.
Хайх: S сек.
S сек. = KM×KS,
OE = 4 см, KS = 6 см.
Гурвалжин OKM - ижил өнцөгт (OK = OM = R = 5 см),
гурвалжин OEK нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
OEK гурвалжингаас Пифагорын теоремын дагуу:
KM = 2EK = 2×3 = 6,
S сек. = 6×6 = 36 см 2.
Энэ эссений зорилго биелсэн, тухайлбал цилиндр гэх мэт геометрийн биетийг авч үзсэн.
Дараах ажлуудыг авч үзнэ.
- цилиндрийн тодорхойлолтыг өгсөн;
- цилиндрийн элементүүдийг авч үзэх;
− цилиндрийн шинж чанарыг судалсан;
− цилиндрийн хэсгүүдийн төрлийг авч үзсэн;
- цилиндрийн талбайн томьёог гаргаж авсан;
− цилиндрийн эзэлхүүний томъёог гаргаж авсан;
− цилиндр ашиглан асуудлыг шийдсэн.
1. Погорелов А.В. Геометр: Боловсролын байгууллагын 10-11-р ангийн сурах бичиг, 1995 он.
2. Бэскин Л.Н. Стереометр. Ерөнхий боловсролын сургуулийн багш нарт зориулсан гарын авлага, 1999 он.
3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометр: Боловсролын байгууллагуудын 10-11-р ангийн сурах бичиг, 2000 он.
4. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометр: Ерөнхий боловсролын сургуулийн 10-11-р ангийн сурах бичиг, 1998 он.
5. Киселев А.П., Рыбкин Н.А. Геометр: Стереометр: 10-11-р анги: Сурах бичиг, асуудлын ном, 2000 он.
Цилиндр бол тэгш хэмтэй орон зайн дүрс бөгөөд түүний шинж чанарыг ахлах сургуульд стереометрийн хичээлээр авч үздэг. Үүнийг тодорхойлохын тулд өндөр, суурийн радиус зэрэг шугаман шинж чанаруудыг ашигладаг. Энэ нийтлэлд бид цилиндрийн тэнхлэгийн хэсэг гэж юу болох, зургийн үндсэн шугаман шинж чанараар түүний параметрүүдийг хэрхэн тооцоолох талаархи асуултуудыг авч үзэх болно.
Геометрийн дүрс
Эхлээд нийтлэлд хэлэлцэх тоог тодорхойлъё. Цилиндр нь тодорхой муруй дагуу тогтмол урттай сегментийн зэрэгцээ хөдөлгөөнөөс үүссэн гадаргуу юм. Энэ хөдөлгөөний гол нөхцөл нь сегмент нь муруйн хавтгайд хамаарахгүй байх явдал юм.
Доорх зураг нь муруй (хөтөч) нь эллипс хэлбэртэй цилиндрийг харуулж байна.
Энд h урттай сегмент нь түүний генератор ба өндөр юм.
Цилиндр нь зэрэгцээ хавтгайд байрладаг хоёр ижил суурь (энэ тохиолдолд эллипс) ба хажуугийн гадаргуугаас бүрддэг болохыг харж болно. Сүүлийнх нь үүсэх шугамын бүх цэгүүдэд хамаарна.
Цилиндрийн тэнхлэгийн хэсгийг авч үзэхээсээ өмнө бид эдгээр тоонуудын ямар төрлүүд байгааг танд хэлэх болно.
Хэрэв үүсгэгч шугам нь зургийн суурьтай перпендикуляр байвал бид шулуун цилиндрийн тухай ярьж байна. Үгүй бол цилиндр нь налуу болно. Хэрэв та хоёр суурийн төв цэгүүдийг холбовол үүссэн шулуун шугамыг зургийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Доорх зураг нь шулуун ба налуу цилиндрийн ялгааг харуулж байна.
Шулуун дүрсийн хувьд үүсгэгч сегментийн урт нь h өндөртэй давхцаж байгааг харж болно. Налуу цилиндрийн хувьд өндөр, өөрөөр хэлбэл суурийн хоорондох зай нь генераторын шугамын уртаас үргэлж бага байдаг.
Шулуун цилиндрийн тэнхлэгийн хэсэг
Тэнхлэг нь цилиндрийн тэнхлэгийг агуулсан аль ч хэсэг юм. Энэ тодорхойлолт нь тэнхлэгийн хэсэг нь generatrix-тай үргэлж параллель байх болно гэсэн үг юм.
Шулуун цилиндрт тэнхлэг нь тойргийн төвөөр дамжин өнгөрч, түүний хавтгайд перпендикуляр байна. Энэ нь авч үзэж буй тойрог нь түүний диаметрийн дагуу огтлолцоно гэсэн үг юм. Зураг дээр хагас цилиндрийг харуулсан бөгөөд энэ нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайтай зургийн огтлолцлын үр дүн юм.
Шулуун дугуй цилиндрийн тэнхлэгийн хэсэг нь тэгш өнцөгт гэдгийг ойлгоход хэцүү биш юм. Түүний талууд нь суурийн d диаметр ба зургийн өндөр h юм.
Цилиндрийн тэнхлэгийн хөндлөн огтлолын талбай ба диагональ нь h d уртын томъёог бичье.
Тэгш өнцөгт нь хоёр диагональтай боловч хоёулаа тэнцүү байна. Хэрэв суурийн радиус нь мэдэгдэж байгаа бол энэ нь хагас диаметртэй тул эдгээр томъёог дахин бичихэд хэцүү биш юм.
Налуу цилиндрийн тэнхлэгийн хэсэг
Дээрх зураг нь цаасаар хийсэн налуу цилиндрийг харуулж байна. Хэрэв та түүний тэнхлэгийн хэсгийг хийвэл тэгш өнцөгт биш, харин параллелограммыг авах болно. Түүний талууд нь мэдэгдэж буй тоо хэмжээ юм. Тэдгээрийн нэг нь шулуун цилиндрийн хөндлөн огтлолын нэгэн адил суурийн d диаметртэй тэнцүү, нөгөө нь үүсгэгч сегментийн урт юм. Үүнийг тэмдэглэе b.
Параллелограммын параметрүүдийг хоёрдмол утгагүй тодорхойлохын тулд түүний хажуугийн уртыг мэдэх нь хангалтгүй юм. Тэдний хооронд өөр өнцөг хэрэгтэй. Хөтөч ба суурийн хоорондох хурц өнцөг α байна гэж үзье. Энэ нь мөн параллелограммын талуудын хоорондох өнцөг болно. Дараа нь налуу цилиндрийн тэнхлэгийн хөндлөн огтлолын томъёог дараах байдлаар бичиж болно.
Налуу цилиндрийн тэнхлэгийн хэсгийн диагональуудыг тооцоолоход арай илүү төвөгтэй байдаг. Параллелограмм нь өөр өөр урттай хоёр диагональтай байдаг. Мэдэгдэж буй талууд ба тэдгээрийн хоорондох хурц өнцгийг ашиглан параллелограммын диагональуудыг тооцоолох боломжийг олгодог илэрхийлэлийг гарал үүсээгүй илэрхийлэл болгон танилцуулж байна.
l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));
l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))
Энд l 1 ба l 2 нь жижиг ба том диагональуудын урт юм. Хэрэв бид тэгш өнцөгт координатын системийг хавтгайд оруулснаар диагональ бүрийг вектор гэж үзвэл эдгээр томъёог бие даан авч болно.
Шулуун цилиндртэй холбоотой асуудал
Дараах асуудлыг шийдвэрлэхэд олж авсан мэдлэгээ хэрхэн ашиглахыг бид танд үзүүлэх болно. Бидэнд дугуй шулуун цилиндр өгье. Цилиндрийн тэнхлэгийн хөндлөн огтлол нь дөрвөлжин гэдгийг мэддэг. Хэрэв бүх зураг 100 см 2 бол энэ хэсгийн талбай хэд вэ?
Шаардлагатай талбайг тооцоолохын тулд та цилиндрийн суурийн радиус эсвэл диаметрийг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид зургийн нийт талбайн S f томъёог ашиглана.
Тэнхлэгийн хэсэг нь дөрвөлжин хэлбэртэй тул суурийн r радиус нь h өндөртэй тэнцүү байна гэсэн үг юм. Үүнийг харгалзан бид дээрх тэгш байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2
Одоо бид r радиусыг илэрхийлж болно, бидэнд байна:
Дөрвөлжин огтлолын тал нь зургийн суурийн диаметртэй тэнцүү тул түүний S талбайг тооцоолоход дараах томьёо хүчинтэй байна.
S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)
Шаардлагатай талбай нь цилиндрийн гадаргуугийн талбайгаар тодорхойлогддог болохыг бид харж байна. Өгөгдлийг тэгш байдалд орлуулснаар бид хариултанд хүрнэ: S = 21.23 см 2.
