Гурвалжны тодорхойлолт, конгруент гурвалжин, гурвалжны төрлүүд. Төрөл бүрийн гурвалжинтай холбоотой асуудлууд

Өнөөдөр бид геометрийн орон руу явж, янз бүрийн төрлийн гурвалжинтай танилцах болно.

Геометрийн дүрсүүдийг анхаарч үзээд тэдгээрийн дундаас "нэмэлт" хэлбэрийг олоорой (Зураг 1).

Цагаан будаа. 1. Жишээ нь зураглал

№1, 2, 3, 5 тоонууд нь дөрвөлжин хэлбэртэй болохыг бид харж байна. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн нэртэй байдаг (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2. Дөрвөн өнцөгт

Энэ нь "нэмэлт" дүрс нь гурвалжин гэсэн үг юм (Зураг 3).

Цагаан будаа. 3. Жишээ нь зураглал

Гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг ба эдгээр цэгүүдийг хос хосоор нь холбосон гурван сегментээс бүрдсэн дүрс юм.

Цэгүүдийг дууддаг гурвалжны оройнууд, сегментүүд - түүний намууд. Гурвалжны талууд үүсдэг Гурвалжны орой дээр гурван өнцөг байдаг.

Гурвалжны үндсэн шинж чанарууд нь гурван тал, гурван булан.Өнцгийн хэмжээнээс хамааран гурвалжингууд байдаг хурц, тэгш өнцөгт, мохоо.

Гурвалжин гурвалжны гурвалжинг гурвууланг нь хурц өнцөгтэй, өөрөөр хэлбэл 90°-аас бага бол хурц өнцөгт гэж нэрлэдэг (Зураг 4).

Цагаан будаа. 4. Хурц гурвалжин

Гурвалжны аль нэг өнцөг нь 90° байвал тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг (Зураг 5).

Цагаан будаа. 5. Зөв гурвалжин

Гурвалжингийн аль нэг өнцөг нь мохоо, өөрөөр хэлбэл 90°-аас дээш байвал гурвалжинг мохоо гэнэ (Зураг 6).

Цагаан будаа. 6. Мохоо гурвалжин

Тэнцүү талуудын тоонд үндэслэн гурвалжин нь тэгш талт, тэгш өнцөгт, масштабтай байдаг.

Хоёр тал нь тэнцүү байх гурвалжныг ижил өнцөгт гурвалжин гэнэ (Зураг 7).

Цагаан будаа. 7. Хоёр талт гурвалжин

Эдгээр талуудыг нэрлэдэг хажуу, гуравдагч этгээд - суурь. Хоёр талт гурвалжинд суурийн өнцөг нь тэнцүү байна.

Хоёр талт гурвалжин байдаг хурц ба мохоо(Зураг 8) .

Цагаан будаа. 8. Хурц ба мохоо тэгш өнцөгт гурвалжин

Гурван тал нь тэнцүү байх тэгш талт гурвалжин юм (Зураг 9).

Цагаан будаа. 9. Тэгш талт гурвалжин

Тэгш талт гурвалжинд бүх өнцөг тэнцүү байна. Тэгш талт гурвалжинҮргэлж хурц өнцөгт.

Гурван тал нь өөр өөр урттай гурвалжин гурвалжин юм (Зураг 10).

Цагаан будаа. 10. Скален гурвалжин

Даалгавраа гүйцээнэ үү. Эдгээр гурвалжингуудыг гурван бүлэгт хуваа (Зураг 11).

Цагаан будаа. 11. Даалгаврын зураг

Эхлээд өнцгүүдийн хэмжээгээр хуваарилъя.

Цочмог гурвалжин: No1, No3.

Тэгш өнцөгт гурвалжин: No2, No6.

Мохоо гурвалжин: No4, No5.

Бид ижил гурвалжингуудыг тэнцүү талуудын тоогоор бүлэг болгон хуваана.

Скален гурвалжин: No4, No6.

Хоёр талт гурвалжин: No2, No3, No5.

Тэгш талт гурвалжин: No1.

Зургуудыг хар.

Гурвалжин бүрийг ямар утаснаас хийсэн талаар бодоорой (Зураг 12).

Цагаан будаа. 12. Даалгаврын зураг

Та ингэж бодож болно.

Эхний утас нь гурван тэнцүү хэсэгт хуваагдсан тул та түүнээс тэгш талт гурвалжин хийж болно. Тэр зураг дээр гуравдугаарт харагдаж байна.

Хоёр дахь утас нь гурван өөр хэсэгт хуваагдсан тул масштабтай гурвалжин хийхэд ашиглаж болно. Энэ нь зураг дээр хамгийн түрүүнд харагдаж байна.

Гурав дахь утас нь гурван хэсэгт хуваагддаг бөгөөд хоёр хэсэг нь ижил урттай байдаг бөгөөд үүнээс тэгш өнцөгт гурвалжинг хийж болно гэсэн үг юм. Зураг дээр түүнийг хоёрдугаарт харуулав.

Өнөөдөр бид ангид гурвалжны янз бүрийн төрлүүдийн талаар олж мэдсэн.

Лавлагаа

1. М.И. Моро, М.А. Бантова ба бусад: Сурах бичиг. 3-р анги: 2 хэсэг, 1-р хэсэг. - М.: “Гэгээрэл”, 2012 он.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова ба бусад: Сурах бичиг. 3-р анги: 2 хэсэг, 2-р хэсэг. - М.: "Гэгээрэл", 2012.
3. М.И. Моро. Математикийн хичээл: Багш нарт зориулсан арга зүйн зөвлөмж. 3-р анги. - М.: Боловсрол, 2012.
4. Зохицуулалтын баримт бичиг. Сургалтын үр дүнгийн хяналт-шинжилгээ, үнэлгээ. - М.: "Гэгээрэл", 2011 он.
5. "Оросын сургууль": Бага сургуульд зориулсан хөтөлбөрүүд. - М.: "Гэгээрэл", 2011 он.
6. С.И. Волкова. Математик: Туршилтын ажил. 3-р анги. - М.: Боловсрол, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Туршилтууд. - М.: "Шалгалт", 2012 он.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Гэрийн даалгавар

1. Өгүүлбэрүүдийг гүйцээнэ үү.

a) Гурвалжин гэдэг нь ... нэг шулуун дээр оршдоггүй, ... эдгээр цэгүүдийг хос хосоор нь холбосон дүрсийг хэлнэ.

б) Цэгүүдийг дуудна … , сегментүүд - түүний … . Гурвалжны талууд нь гурвалжны орой дээр үүсдэг ….

в) Өнцгийн хэмжээгээр гурвалжингууд нь ... , ... , ... байна.

г) Тэнцүү талуудын тоонд үндэслэн гурвалжин нь ... , ... , ... байна.

2. Зурах

а) тэгш өнцөгт гурвалжин;

б) хурц гурвалжин;

в) мохоо гурвалжин;

г) тэгш талт гурвалжин;

д) масштабтай гурвалжин;

д) тэгш өнцөгт гурвалжин.

3. Хичээлийн сэдвийн дагуу найз нөхөддөө зориулж даалгавар хий.

Сургуульд сурдаг хамгийн энгийн олон өнцөгт бол гурвалжин юм. Энэ нь оюутнуудад илүү ойлгомжтой бөгөөд бэрхшээл багатай тулгардаг. Хэдийгээр онцгой шинж чанартай гурвалжин нь өөр өөр төрлүүд байдаг.

Ямар дүрсийг гурвалжин гэж нэрлэдэг вэ?

Гурван цэг, сегментээс бүрддэг. Эхнийх нь орой гэж нэрлэгддэг, хоёр дахь нь талууд гэж нэрлэгддэг. Түүнээс гадна эдгээр гурван сегментийг хооронд нь өнцөг үүсгэхийн тулд холбох ёстой. Тиймээс "гурвалжин" дүрсийн нэр гарч ирэв.

Булан дээрх нэрсийн ялгаа

Тэд хурц, мохоо, шулуун байж болох тул гурвалжны төрлийг эдгээр нэрээр тодорхойлно. Үүний дагуу гурван бүлэг ийм тоо байдаг.

• Эхлээд. Хэрэв гурвалжны бүх өнцөг хурц байвал түүнийг хурц гэж нэрлэнэ. Бүх зүйл логиктой.

• Хоёрдугаарт. Нэг өнцөг нь мохоо, гурвалжин нь мохоо гэсэн үг. Энэ нь илүү энгийн байж болохгүй.

• Гуравдугаарт. 90 градустай тэнцэх өнцөг байдаг бөгөөд үүнийг зөв өнцөг гэж нэрлэдэг. Гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй болно.

Хажуу талын нэрсийн ялгаа

Хажуугийн шинж чанараас хамааран гурвалжны дараах төрлүүд ялгагдана.

ерөнхий тохиолдол нь скален бөгөөд бүх талууд нь дурын урттай байдаг;

хоёр тал нь ижил тоон утгатай ижил хажуу тал;

тэгш талт, түүний бүх талуудын урт ижил байна.

Хэрэв асуудалд гурвалжны тодорхой төрлийг заагаагүй бол дурын нэгийг зурах хэрэгтэй. Бүх булангууд нь хурц, талууд нь өөр өөр урттай байдаг.

Бүх гурвалжинд нийтлэг шинж чанарууд

1. Хэрэв та гурвалжны бүх өнцгийг нийлүүлбэл 180º-тай тэнцэх тоо гарна. Мөн ямар төрлийн байх нь хамаагүй. Энэ дүрэм үргэлж хэрэгждэг.
2. Гурвалжны аль ч талын тоон утга нь нөгөө хоёрыг нийлүүлснээс бага байна. Түүнээс гадна энэ нь тэдний ялгаанаас илүү юм.
3. Гаднах өнцөг бүр өөрт нь зэргэлдээгүй хоёр дотоод өнцгийг нэмснээр олж авсан утгатай байна. Түүнээс гадна энэ нь зэргэлдээх дотоод хэсгээс үргэлж том байдаг.
4. Хамгийн жижиг өнцөг нь гурвалжны жижиг талын эсрэг үргэлж байдаг. Мөн эсрэгээр, хэрэв тал нь том бол өнцөг нь хамгийн том байх болно.

Бодлогод ямар төрлийн гурвалжинг авч үзсэнээс үл хамааран эдгээр шинж чанарууд үргэлж хүчинтэй байдаг. Үлдсэн бүх зүйл нь тодорхой шинж чанаруудаас хамаарна.

Хоёр талт гурвалжны шинж чанарууд

• Суурийн зэргэлдээх өнцөг нь тэнцүү байна.
• Суурь руу татсан өндөр нь мөн медиан ба биссектрис юм.
• Гурвалжны хажуу талуудад баригдсан өндөр, медиан ба биссектриса нь хоорондоо тэнцүү байна.

Тэгш талт гурвалжны шинж чанарууд

Хэрэв ийм тоо байгаа бол дээр дурдсан бүх шинж чанарууд үнэн байх болно. Учир нь тэгш тал нь үргэлж ижил өнцөгт байх болно. Гэхдээ эсрэгээр биш, ижил өнцөгт гурвалжин нь тэгш талт байх албагүй.

• Түүний бүх өнцөг нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд 60º утгатай байна.
• Тэгш талт гурвалжны аль ч медиан нь түүний өндөр ба биссектриса юм. Түүнээс гадна тэд бүгд бие биентэйгээ адил тэгш байдаг. Тэдний утгыг тодорхойлохын тулд тал ба 3-ын квадрат язгуурыг 2-т хуваасан томъёо байдаг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарууд

• Хоёр хурц өнцөг нийлбэрээр 90º болно.
• Гипотенузын урт нь хөлнийхөөс үргэлж их байдаг.
• Гипотенуз руу татсан медианы тоон утга нь түүний хагастай тэнцүү байна.
• Хөл нь 30º өнцгийн эсрэг байвал ижил утгатай тэнцүү байна.
• Оройноос 90º утгатай зурсан өндөр нь хөлөөс тодорхой математик хамааралтай байдаг: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Энд: a, b - хөл, n - өндөр.

Төрөл бүрийн гурвалжинтай холбоотой асуудлууд

№1. Хоёр талт гурвалжин өгөгдсөн. Түүний периметр нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд 90 см-тэй тэнцүү байна. Нэмэлт нөхцөл болгон: хажуу тал нь суурийнхаас 1.2 дахин бага байна.

Периметрийн утга нь олох шаардлагатай хэмжигдэхүүнээс шууд хамаарна. Гурван талын нийлбэр нь 90 см-ийг өгнө. Энэ нь хоёр тал тэнцүү гэсэн үг юм. Та хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг үүсгэж болно: 2a + b = 90. Энд a нь тал, b нь суурь юм.

Одоо нэмэлт нөхцөл хийх цаг болжээ. Үүний дараа хоёр дахь тэгшитгэлийг олж авна: b = 1.2a. Та энэ илэрхийллийг эхнийх нь орлуулж болно. Эндээс харахад: 2a + 1.2a = 90. Өөрчлөлтийн дараа: 3.2a = 90. Тиймээс a = 28.125 (см). Одоо үндсийг нь олоход хялбар боллоо. Үүнийг хоёр дахь нөхцлөөс хамгийн сайн хийдэг: b = 1.2 * 28.125 = 33.75 (см).

Шалгахын тулд та гурван утгыг нэмж болно: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (см). Энэ нь зөв.

Хариулт: Гурвалжны талууд 28.125 см, 28.125 см, 33.75 см.

№2. Тэнцүү талт гурвалжны тал нь 12 см бөгөөд та түүний өндрийг тооцоолох хэрэгтэй.

Шийдэл. Хариултыг олохын тулд гурвалжны шинж чанарыг тодорхойлсон мөч рүү буцах нь хангалттай юм. Энэ бол тэгш талт гурвалжны өндөр, медиан ба биссектрисын олох томьёо юм.

n = a * √3 / 2, энд n нь өндөр, a нь тал юм.

Орлуулалт ба тооцоолол нь дараах үр дүнг өгнө: n = 6 √3 (см).

Энэ томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Өндөр нь гурвалжинг хоёр тэгш өнцөгт болгон хуваадаг гэдгийг санах нь хангалттай юм. Түүгээр ч барахгүй энэ нь хөл болж хувирдаг бөгөөд түүний доторх гипотенуз нь анхны талын тал, хоёр дахь хөл нь мэдэгдэж буй талын тал юм. Одоо та Пифагорын теоремыг бичиж, өндрийн томъёог гаргах хэрэгтэй.

Хариулт: өндөр нь 6 √3 см.

№3. Өгөгдсөн MKR нь гурвалжин бөгөөд K өнцөг нь MR ба KR нь мэдэгдэж байгаа тул тэдгээр нь 30 ба 15 см-тэй тэнцүү байна, бид P өнцгийн утгыг олох хэрэгтэй.

Шийдэл. Хэрэв та зураг зурвал MR нь гипотенуз болох нь тодорхой болно. Түүгээр ч барахгүй энэ нь КР-ийн талаас хоёр дахин том юм. Дахин та үл хөдлөх хөрөнгө рүү хандах хэрэгтэй. Тэдний нэг нь өнцөгтэй холбоотой байдаг. Үүнээс KMR өнцөг нь 30º байх нь тодорхой байна. Энэ нь хүссэн өнцөг P нь 60º-тай тэнцүү байна гэсэн үг юм. Энэ нь хоёр хурц өнцгийн нийлбэр нь 90º-тэй тэнцүү байх ёстой гэсэн өөр шинж чанараас үүдэлтэй.

Хариулт: P өнцөг нь 60º.

№4. Бид ижил өнцөгт гурвалжны бүх өнцгийг олох хэрэгтэй. Суурийн өнцөгөөс гаднах өнцөг нь 110º гэдгийг мэддэг.

Шийдэл. Зөвхөн гадаад өнцгийг өгөгдсөн тул үүнийг ашиглах хэрэгтэй. Энэ нь дотоод хэсэгтэй эвхээгүй өнцөг үүсгэдэг. Энэ нь нийтдээ 180º өгнө гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл гурвалжны суурь дахь өнцөг нь 70º-тай тэнцүү байх болно. Энэ нь ижил өнцөгт тул хоёр дахь өнцөг нь ижил утгатай байна. Гурав дахь өнцгийг тооцоолоход л үлддэг. Бүх гурвалжны нийтлэг шинж чанарын дагуу өнцгийн нийлбэр нь 180º байна. Энэ нь гурав дахь нь 180º - 70º - 70º = 40º гэж тодорхойлогдоно гэсэн үг юм.

Хариулт: өнцөг нь 70º, 70º, 40º.

№5. Адил өнцөгт гурвалжинд суурийн эсрэг талын өнцөг нь 90º байдаг нь мэдэгдэж байна. Суурь дээр тэмдэглэгдсэн цэг байдаг. Үүнийг тэгш өнцөгт холбосон сегмент нь 1-ээс 4-ийн харьцаагаар хуваагдана. Та жижиг гурвалжны бүх өнцгийг олох хэрэгтэй.

Шийдэл. Нэг өнцгийг нэн даруй тодорхойлж болно. Гурвалжин нь тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт тул түүний суурь дээр байрлах нь тус бүр нь 45º, өөрөөр хэлбэл 90º/2 байх болно.

Хоёр дахь нь нөхцөл байдалд мэдэгдэж буй хамаарлыг олоход тусална. Энэ нь 1-ээс 4-тэй тэнцүү тул хуваагдах хэсгүүд нь ердөө 5 байна. Энэ нь гурвалжны жижиг өнцгийг олохын тулд 90º/5 = 18º хэрэгтэй гэсэн үг юм. Гурав дахь нь олоход л үлдлээ. Үүнийг хийхийн тулд 180º-аас (гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр) 45º ба 18º-ийг хасах хэрэгтэй. Тооцоолол нь энгийн бөгөөд та 117º болно.

Өнөөдөр бид геометрийн орон руу явж, янз бүрийн төрлийн гурвалжинтай танилцах болно.

Геометрийн дүрсүүдийг анхаарч үзээд тэдгээрийн дундаас "нэмэлт" хэлбэрийг олоорой (Зураг 1).

Цагаан будаа. 1. Жишээ нь зураглал

№1, 2, 3, 5 тоонууд нь дөрвөлжин хэлбэртэй болохыг бид харж байна. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн нэртэй байдаг (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2. Дөрвөн өнцөгт

Энэ нь "нэмэлт" дүрс нь гурвалжин гэсэн үг юм (Зураг 3).

Цагаан будаа. 3. Жишээ нь зураглал

Гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг ба эдгээр цэгүүдийг хос хосоор нь холбосон гурван сегментээс бүрдсэн дүрс юм.

Цэгүүдийг дууддаг гурвалжны оройнууд, сегментүүд - түүний намууд. Гурвалжны талууд үүсдэг Гурвалжны орой дээр гурван өнцөг байдаг.

Гурвалжны үндсэн шинж чанарууд нь гурван тал, гурван булан.Өнцгийн хэмжээнээс хамааран гурвалжингууд байдаг хурц, тэгш өнцөгт, мохоо.

Гурвалжин гурвалжны гурвалжинг гурвууланг нь хурц өнцөгтэй, өөрөөр хэлбэл 90°-аас бага бол хурц өнцөгт гэж нэрлэдэг (Зураг 4).

Цагаан будаа. 4. Хурц гурвалжин

Гурвалжны аль нэг өнцөг нь 90° байвал тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг (Зураг 5).

Цагаан будаа. 5. Зөв гурвалжин

Гурвалжингийн аль нэг өнцөг нь мохоо, өөрөөр хэлбэл 90°-аас дээш байвал гурвалжинг мохоо гэнэ (Зураг 6).

Цагаан будаа. 6. Мохоо гурвалжин

Тэнцүү талуудын тоонд үндэслэн гурвалжин нь тэгш талт, тэгш өнцөгт, масштабтай байдаг.

Хоёр тал нь тэнцүү байх гурвалжныг ижил өнцөгт гурвалжин гэнэ (Зураг 7).

Цагаан будаа. 7. Хоёр талт гурвалжин

Эдгээр талуудыг нэрлэдэг хажуу, гуравдагч этгээд - суурь. Хоёр талт гурвалжинд суурийн өнцөг нь тэнцүү байна.

Хоёр талт гурвалжин байдаг хурц ба мохоо(Зураг 8) .

Цагаан будаа. 8. Хурц ба мохоо тэгш өнцөгт гурвалжин

Гурван тал нь тэнцүү байх тэгш талт гурвалжин юм (Зураг 9).

Цагаан будаа. 9. Тэгш талт гурвалжин

Тэгш талт гурвалжинд бүх өнцөг тэнцүү байна. Тэгш талт гурвалжинҮргэлж хурц өнцөгт.

Гурван тал нь өөр өөр урттай гурвалжин гурвалжин юм (Зураг 10).

Цагаан будаа. 10. Скален гурвалжин

Даалгавраа гүйцээнэ үү. Эдгээр гурвалжингуудыг гурван бүлэгт хуваа (Зураг 11).

Цагаан будаа. 11. Даалгаврын зураг

Эхлээд өнцгүүдийн хэмжээгээр хуваарилъя.

Цочмог гурвалжин: No1, No3.

Тэгш өнцөгт гурвалжин: No2, No6.

Мохоо гурвалжин: No4, No5.

Бид ижил гурвалжингуудыг тэнцүү талуудын тоогоор бүлэг болгон хуваана.

Скален гурвалжин: No4, No6.

Хоёр талт гурвалжин: No2, No3, No5.

Тэгш талт гурвалжин: No1.

Зургуудыг хар.

Гурвалжин бүрийг ямар утаснаас хийсэн талаар бодоорой (Зураг 12).

Цагаан будаа. 12. Даалгаврын зураг

Та ингэж бодож болно.

Эхний утас нь гурван тэнцүү хэсэгт хуваагдсан тул та түүнээс тэгш талт гурвалжин хийж болно. Тэр зураг дээр гуравдугаарт харагдаж байна.

Хоёр дахь утас нь гурван өөр хэсэгт хуваагдсан тул масштабтай гурвалжин хийхэд ашиглаж болно. Энэ нь зураг дээр хамгийн түрүүнд харагдаж байна.

Гурав дахь утас нь гурван хэсэгт хуваагддаг бөгөөд хоёр хэсэг нь ижил урттай байдаг бөгөөд үүнээс тэгш өнцөгт гурвалжинг хийж болно гэсэн үг юм. Зураг дээр түүнийг хоёрдугаарт харуулав.

Өнөөдөр бид ангид гурвалжны янз бүрийн төрлүүдийн талаар олж мэдсэн.

Лавлагаа

1. М.И. Моро, М.А. Бантова ба бусад: Сурах бичиг. 3-р анги: 2 хэсэг, 1-р хэсэг. - М.: “Гэгээрэл”, 2012 он.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова ба бусад: Сурах бичиг. 3-р анги: 2 хэсэг, 2-р хэсэг. - М.: "Гэгээрэл", 2012.
3. М.И. Моро. Математикийн хичээл: Багш нарт зориулсан арга зүйн зөвлөмж. 3-р анги. - М.: Боловсрол, 2012.
4. Зохицуулалтын баримт бичиг. Сургалтын үр дүнгийн хяналт-шинжилгээ, үнэлгээ. - М.: "Гэгээрэл", 2011 он.
5. "Оросын сургууль": Бага сургуульд зориулсан хөтөлбөрүүд. - М.: "Гэгээрэл", 2011 он.
6. С.И. Волкова. Математик: Туршилтын ажил. 3-р анги. - М.: Боловсрол, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Туршилтууд. - М.: "Шалгалт", 2012 он.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Гэрийн даалгавар

1. Өгүүлбэрүүдийг гүйцээнэ үү.

a) Гурвалжин гэдэг нь ... нэг шулуун дээр оршдоггүй, ... эдгээр цэгүүдийг хос хосоор нь холбосон дүрсийг хэлнэ.

б) Цэгүүдийг дуудна … , сегментүүд - түүний … . Гурвалжны талууд нь гурвалжны орой дээр үүсдэг ….

в) Өнцгийн хэмжээгээр гурвалжингууд нь ... , ... , ... байна.

г) Тэнцүү талуудын тоонд үндэслэн гурвалжин нь ... , ... , ... байна.

2. Зурах

а) тэгш өнцөгт гурвалжин;

б) хурц гурвалжин;

в) мохоо гурвалжин;

г) тэгш талт гурвалжин;

д) масштабтай гурвалжин;

д) тэгш өнцөгт гурвалжин.

3. Хичээлийн сэдвийн дагуу найз нөхөддөө зориулж даалгавар хий.

Гурвалжин

Гурвалжиннэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг, эдгээр цэгүүдийг хос хосоор нь холбосон гурван сегментээс бүрдэх дүрс юм. Цэгүүдийг дууддаг оргилуудгурвалжин бөгөөд хэрчмүүд нь түүнийх юм намууд.

Гурвалжны төрлүүд

гурвалжин гэж нэрлэдэг тэгш өнцөгт,хэрэв түүний хоёр тал тэнцүү бол. Эдгээр тэнцүү талууд гэж нэрлэгддэг талууд,мөн гуравдагч этгээдийг дууддаг суурьгурвалжин.

Бүх талууд тэнцүү гурвалжинг гэнэ тэгш талтэсвэл зөв.

гурвалжин гэж нэрлэдэг тэгш өнцөгт,Хэрэв энэ нь зөв өнцөгтэй бол 90 ° өнцөг байна. Тэгш өнцөгтийн эсрэг талын тэгш өнцөгт гурвалжны талыг гэнэ гипотенуз,нөгөө хоёр талыг дууддаг хөл.

гурвалжин гэж нэрлэдэг хурц өнцөгт,хэрэв түүний гурван өнцөг нь хурц, өөрөөр хэлбэл 90 ° -аас бага байвал.

гурвалжин гэж нэрлэдэг мохоо,хэрэв түүний аль нэг өнцөг нь мохоо, өөрөөр хэлбэл 90°-аас дээш байвал.

Гурвалжны үндсэн шугамууд

Медиан

Медиангурвалжны оройг энэ гурвалжны эсрэг талын дунд хэсэгтэй холбосон хэрчмийг гурвалжны гурвалжин гэнэ.

Гурвалжны медианы шинж чанарууд

Медиан нь гурвалжинг тэнцүү талбайтай хоёр гурвалжинд хуваана.

Гурвалжны медианууд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь оройноос нь тоолоход тус бүрийг 2:1 харьцаагаар хуваадаг. Энэ цэгийг нэрлэдэг хүндийн төвгурвалжин.

Гурвалжинг бүхэлд нь медиануудаараа тэнцүү зургаан гурвалжинд хуваана.

Биссектрис

Өнцгийн биссектрисань дээд талаас нь ялгарч, хажуугийн дундуур өнгөрч, өгөгдсөн өнцгийг хоёр хуваасан туяа юм. Гурвалжны биссектрисаоройг энэ гурвалжны эсрэг талын цэгтэй холбосон гурвалжны өнцгийн биссектрисын сегмент гэж нэрлэдэг.

Гурвалжны биссектрисын шинж чанарууд

Өндөр

Өндөргурвалжны оройгоос энэ гурвалжны эсрэг талыг агуулсан шулуун руу татсан перпендикулярыг гурвалжны дүрс гэнэ.

Гурвалжингийн өндрийн шинж чанарууд

IN зөв гурвалжинтэгш өнцөгтийн оройгоос татсан өндрийг хоёр гурвалжинд хуваана. төстэйэх.

IN хурц гурвалжинтүүний хоёр өндрийг түүнээс таслав төстэйгурвалжин.

Медиан перпендикуляр

Түүнд перпендикуляр хэрчмүүдийн дундуур дайран өнгөрөх шулуун шугамыг гэнэ перпендикуляр биссектриссегмент рүү .

Гурвалжны перпендикуляр биссектрисын шинж чанарууд

Хэсгийн перпендикуляр биссектрисын цэг бүр нь тухайн сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байна. Эсрэг заалт нь бас үнэн юм: сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа цэг бүр нь перпендикуляр биссектриса дээр байрладаг.

Гурвалжны талууд руу татсан перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг нь төв юм. энэ гурвалжны тойрог.

Дунд шугам

Гурвалжны дунд шугамтүүний хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент гэж нэрлэдэг.

Гурвалжингийн дунд шугамын шинж чанар

Гурвалжны дунд шугам нь түүний аль нэг талтай параллель бөгөөд энэ талын хагастай тэнцүү байна.

Томъёо ба харьцаа

Гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг

Хоёр гурвалжин нь тэнцүү бол тэнцүү байна:

хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг;

хоёр булан ба тэдгээрийн зэргэлдээ тал;

гурван тал.

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг

Хоёр зөв гурвалжинХэрэв тэдгээр нь тэнцүү бол тэнцүү байна:

гипотенузба хурц өнцөг;

хөлба эсрэг өнцөг;

хөлба зэргэлдээ өнцөг;

хоёр хөл;

гипотенузТэгээд хөл.

Гурвалжны ижил төстэй байдал

Хоёр гурвалжин төстэйдараах нөхцлүүдийн аль нэгийг нь дуудсан бол ижил төстэй шинж тэмдэг:

нэг гурвалжны хоёр өнцөг нь нөгөө гурвалжны хоёр өнцөгтэй тэнцүү;

нэг гурвалжны хоёр тал нь нөгөө гурвалжны хоёр талтай пропорциональ бөгөөд эдгээр талуудын үүсгэсэн өнцөг нь тэнцүү;

нэг гурвалжны гурван тал нь нөгөө гурвалжны гурван талтай тус тус пропорциональ байна.

Ижил төстэй гурвалжинд харгалзах шугамууд ( өндөр, медианууд, биссектрисагэх мэт) пропорциональ байна.

Синусын теорем

Гурвалжны талууд нь эсрэг талын өнцгүүдийн синусуудтай пропорциональ бөгөөд пропорциональ коэффициент нь тэнцүү байна. диаметр гурвалжингийн хүрээлэгдсэн тойрог:

Косинусын теорем

Гурвалжны хажуугийн квадрат нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэрээс эдгээр талуудын хоёр дахин үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусыг хассантай тэнцүү байна.

а 2 = б 2 + в 2 - 2МЭӨ cos

Гурвалжингийн талбайн томъёо

Чөлөөт гурвалжин

a, b, c -талууд; - талуудын хоорондох өнцөг аТэгээд б;- хагас периметр; R-хязгаарлагдмал тойргийн радиус; r-бичээстэй тойргийн радиус; S-дөрвөлжин; h а - хажуу тийш татсан өндөр а.

Стандарт тэмдэглэгээ

Оройтой гурвалжин А, БТэгээд Cгэж тодорхойлсон (зураг харна уу). Гурвалжин гурван талтай:

Гурвалжны талуудын уртыг латин жижиг үсгээр (a, b, c) тэмдэглэнэ.

Гурвалжин нь дараах өнцөгтэй байна.

Харгалзах орой дээрх өнцгийн утгыг уламжлалт байдлаар Грек үсгээр (α, β, γ) тэмдэглэдэг.

Гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг

Евклидийн хавтгай дээрх гурвалжинг дараах үндсэн элементүүдийн гурвалсан гурвалжаар (тохирох хүртэл) өвөрмөц байдлаар тодорхойлж болно.

1. a, b, γ (хоёр талын тэгш байдал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг);
2. a, β, γ (хажуугийн тэгш байдал ба хоёр зэргэлдээ өнцөг);
3. a, b, c (гурван талын тэгш байдал).

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг:

1. хөл ба гипотенузын дагуу;
2. хоёр хөл дээр;
3. хөл ба хурц өнцгийн дагуу;
4. гипотенуз ба хурц өнцгийн дагуу.

Гурвалжингийн зарим цэгүүд "хосолсон". Жишээлбэл, бүх талууд нь 60 ° эсвэл 120 ° өнцгөөр харагдах хоёр цэг байдаг. Тэднийг дууддаг Торричелли цэгүүд. Тогтмол гурвалжны орой дээр хажуугийн проекцууд нь байрладаг хоёр цэг байдаг. Энэ - Аполлониус оноо. Оноо гэх мэтийг нэрлэдэг Brocard оноо.

Шууд

Аливаа гурвалжинд хүндийн төв, тойрог төв, тойргийн төв нь ижил шулуун шугам дээр байрладаг. Эйлерийн шугам.

Тойргийн төв ба Лемойн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг нэрлэдэг Brocard тэнхлэг. Аполлонийн цэгүүд үүн дээр байрладаг. Торричелли цэг ба Лемойн цэг нь нэг шулуун дээр байрладаг. Гурвалжны өнцгүүдийн гадаад биссектрисийн сууриуд нь нэг шулуун дээр оршдог гадаад биссектрисын тэнхлэг. Дунд гурвалжны талуудыг агуулсан шугамуудын огтлолцох цэгүүд нь гурвалжны талуудыг агуулсан шулуунууд нь мөн ижил шулуун дээр байрладаг. Энэ мөрийг нэрлэдэг ортоцентрик тэнхлэг, энэ нь Эйлерийн шулуун шугамтай перпендикуляр байна.

Хэрэв бид гурвалжны тойрог дээрх цэгийг авбал гурвалжны хажуу тал дээрх проекцууд нь ижил шулуун шугам дээр байх болно. Симсон шулуун байнаэнэ цэг. Симсоны диаметрийн эсрэг цэгүүдийн шугамууд перпендикуляр байна.

Гурвалжин

• Өгөгдсөн цэгээр татсан суурийн оройтой гурвалжинг гэнэ cevian гурвалжинэнэ цэг.
• Өгөгдсөн цэгийн хажуугийн проекцууд дахь оройтой гурвалжинг гэнэ содэсвэл дөрөө гурвалжинэнэ цэг.
• Оройгоор нь татсан шугамын огтлолцлын хоёр дахь цэгт оройтой гурвалжныг тойрогтой өгөгдсөн цэг гэнэ. тойргийн гурвалжин. Тойрог гурвалжин нь содын гурвалжинтай төстэй.

Тойрог

• Бичсэн тойрог- гурвалжны гурван тал дээр хүрч байгаа тойрог. Тэр цорын ганц. Бичсэн тойргийн төвийг нэрлэдэг төвлөрсөн.
• Тойрог- гурвалжны бүх гурван оройг дайран өнгөрөх тойрог. Хязгаарлагдмал тойрог нь бас өвөрмөц юм.
• Дугуйлах- гурвалжны нэг талд хүрч буй тойрог ба нөгөө хоёр талын үргэлжлэл. Гурвалжинд ийм гурван тойрог бий. Тэдний радикал төв нь дунд гурвалжингийн бичээстэй тойргийн төв юм Спикерийн санаа.

Гурвалжны гурван талын дунд цэг, гурван өндрийн суурь ба оройг нь ортот төвтэй холбосон гурван сегментийн дунд цэгүүд нь нэг тойрог дээр байрладаг. есөн цэгийн тойрогэсвэл Эйлерийн тойрог. Есөн цэгийн тойргийн төв нь Эйлерийн шугам дээр байрладаг. Есөн цэгийн тойрог нь бичээстэй тойрог, гурван тойрогт хүрдэг. Бүрээстэй тойрог ба есөн цэгийн тойргийн хоорондох шүргэлтийн цэгийг нэрлэдэг Фейербах цэг. Хэрэв орой бүрээс бид гурвалжны гадна талд эсрэг талуудтай тэнцүү урттай талуудыг агуулсан шулуун шугамууд дээр байрлуулсан бол үүссэн зургаан цэг нь нэг тойрог дээр байрладаг. Конвейн тойрог. Гурван тойргийг дурын гурвалжинд гурвалжны хоёр тал болон бусад хоёр тойргийг шүргэх байдлаар бичиж болно. Ийм тойрог гэж нэрлэдэг Малфатти тойрог. Гурвалжныг медианаар хуваасан зургаан гурвалжны хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүд нь нэг тойрог дээр оршдог. Ламуны тойрог.

Гурвалжин нь гурвалжны хоёр тал ба тойргийг шүргэх гурван тойрогтой. Ийм тойрог гэж нэрлэдэг хагас бичээстэйэсвэл Верьерийн тойрог. Верьерийн тойргийн шүргэлтийн цэгүүдийг тойрогтой холбосон хэрчмүүд нь нэг цэг дээр огтлолцдог. Верьерийн санаа. Энэ нь тойргийг бичээстэй тойрог болгон хувиргадаг гомотетийн төв болж үйлчилдэг. Верриерийн тойргийн талуудтай холбогдох цэгүүд нь бичээстэй тойргийн төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугам дээр байрладаг.

Бичсэн тойргийн шүргэлтийн цэгүүдийг оройтой холбосон хэрчмүүд нь нэг цэг дээр огтлолцдог. Гергонн цэг, мөн оройг тойргийн шүргэлтийн цэгүүдтэй холбосон сегментүүд дотор байна Нагелийн цэг.

Эллипс, парабол, гипербол

Бичсэн конус (зууван) ба түүний хэтийн төлөв

Хязгааргүй олон тооны конус (зууван, парабол эсвэл гипербол) гурвалжинд бичигдэж болно. Хэрэв бид дурын конусыг гурвалжинд дүрсэлж, шүргэгч цэгүүдийг эсрэг оройтой холбовол үүссэн шулуун шугамууд нь нэг цэг дээр огтлолцоно. хэтийн төлөвдавхаргууд. Хавтгайн хажуу болон түүний суналт дээр хэвтдэггүй аль ч цэгийн хувьд энэ цэг дээр ажиглагчтай конус бичээстэй байдаг.

Тодорхойлсон Штайнер эллипс ба түүний голомтыг дайран өнгөрдөг

Та гурвалжин руу эллипс бичиж, дундуур нь хажуу тийшээ хүрч болно. Ийм эллипсийг нэрлэдэг бичээстэй Штайнер эллипс(түүний хэтийн төлөв нь гурвалжны төв байх болно). Хажуу талдаа параллель оройнуудыг дайран өнгөрч буй шугамуудыг шүргэж буй хүрээлэгдсэн эллипсийг гэнэ. Штайнерийн эллипсээр дүрсэлсэн. Хэрэв бид гурвалжинг аффин хувиргалтаар ("ташуу") ашиглан ердийн гурвалжин болгон хувиргавал түүний бичээстэй ба хүрээлэгдсэн Штайнер эллипс нь бичээстэй, хүрээлэгдсэн тойрог болж хувирна. Тайлбарласан Штайнер эллипсийн голомтоор (Скутины цэгүүд) татсан Чевийн шугамууд тэнцүү байна (Скутиний теорем). Тайлбарласан бүх эллипсийн дотроос тайлбарласан Штайнер эллипс нь хамгийн бага талбайтай, бүх бичээстэй эллипс нь хамгийн том талбайтай байдаг.

Brocard эллипс ба түүний хэтийн төлөв - Лемойн цэг

Брокардын цэгүүдэд голомт бүхий эллипсийг нэрлэдэг Brocard эллипс. Түүний хэтийн төлөв нь Лемойн цэг юм.

Бичсэн параболын шинж чанарууд

Киперт парабол

Бичсэн параболын хэтийн төлөв нь тайлбарласан Штайнер эллипс дээр байрладаг. Бичсэн параболын фокус нь тойрог дээр байрладаг ба директрикс нь ортоцентрээр дамждаг. Гурвалжинд бичээстэй, Эйлерийн чиглүүлэлттэй параболыг гэнэ. Киперт парабол. Түүний ажиглагч нь хүрээлэгдсэн тойрог ба хүрээлэгдсэн Штайнер эллипсийн огтлолцлын дөрөв дэх цэг юм. Штайнерын цэг.

Кипертийн гипербол

Хэрэв тайлбарласан гипербол нь өндрийн огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрвөл энэ нь тэгш талт байна (өөрөөр хэлбэл түүний асимптотууд перпендикуляр). Адил талт гиперболын асимптотуудын огтлолцох цэг нь есөн цэгийн тойрог дээр байрладаг.

Өөрчлөлтүүд

Хэрэв оройг дайран өнгөрч буй шугамууд ба хажуу тал дээр хэвтээгүй зарим цэгүүд ба тэдгээрийн өргөтгөлүүд нь харгалзах биссектриссуудтай харьцуулахад тусгагдсан бол тэдгээрийн дүрс нь мөн нэг цэгт огтлолцох болно. изогональ коньюгатанхных нь (хэрэв цэг нь тойрог дээр байрладаг бол үүссэн шулуун шугамууд зэрэгцээ байх болно). Олон хос гайхалтай цэгүүд нь изогональ коньюгат байдаг: тойргийн төв ба orthocenter, centroid болон Lemoine цэг, Brocard цэгүүд. Аполлонийн цэгүүд нь Торричелли цэгүүдтэй изогональ коньюгат, бичээстэй тойргийн төв нь өөртэйгээ изогональ коньюгат байна. Изогональ коньюгацийн үйл ажиллагааны дор шулуун шугамууд нь хүрээлэгдсэн конус хэлбэрт, хүрээлэгдсэн конус нь шулуун шугам болж хувирдаг. Тиймээс Киперт гипербола ба Брокардын тэнхлэг, Жензабек гипербола ба Эйлерийн шулуун шугам, Фейербах гипербол болон бичээстэй ба хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүдийн шугам нь изогональ коньюгат юм. Изогональ коньюгат цэгүүдийн гурвалжны тойрог нь давхцдаг. Бичсэн эллипсийн голомтууд нь изогональ коньюгат байдаг.

Хэрэв тэгш хэмтэй цэвийн оронд суурь нь хажуугийн дундаас анхны суурьтай адил зайтай цэвианыг авбал ийм цэвонууд бас нэг цэгт огтлолцох болно. Үр дүнд нь хувиргах гэж нэрлэдэг изотомын коньюгаци. Энэ нь мөн шулуун шугамыг дүрсэлсэн конус болгон хувиргадаг. Gergonne болон Nagel цэгүүд нь изотомын хувьд нэгддэг. Аффины хувиргалтын үед изотомын коньюгат цэгүүд изотомын коньюгат цэг болж хувирдаг. Изотомын коньюгацийн тусламжтайгаар тайлбарласан Штайнер эллипс нь хязгааргүй алслагдсан шулуун шугам руу орох болно.

Хэрэв гурвалжны хажуугаар тойргоос таслагдсан сегментүүдэд бид тодорхой цэгээр татсан хөхний ёроолд хажуу талуудтай хүрч буй тойргийг бичээд дараа нь эдгээр тойргийн шүргэгч цэгүүдийг эсрэг талын оройтой тойрогтой холбоно. тэгвэл ийм шулуун шугамууд нэг цэгт огтлолцоно. Анхны цэгийг үүссэн цэгтэй тааруулах хавтгай хувиргалтыг гэнэ изоцикуляр хувиргалт. Изогональ ба изотомын коньюгатуудын найрлага нь өөртэйгөө изоцикуляр хувирах найрлага юм. Энэхүү найрлага нь гурвалжны талуудыг хэвээр нь үлдээж, гаднах биссектрисын тэнхлэгийг хязгааргүйд шулуун шугам болгон хувиргадаг проекцийн хувиргалт юм.

Хэрэв бид тодорхой цэгийн Chevian гурвалжны талуудыг үргэлжлүүлж, тэдгээрийн огтлолцлын цэгүүдийг харгалзах талуудтай нь авбал үүссэн огтлолцлын цэгүүд нь нэг шулуун дээр байх болно. гурвалсан туйлэхлэх цэг. Ортоцентрик тэнхлэг нь ортоцентрийн гурвалсан туйл юм; бичээстэй тойргийн төвийн гурвалсан туйл нь гадаад биссектрисын тэнхлэг юм. Хязгаарлагдмал конус дээр байрлах цэгүүдийн гурвалсан туйлууд нь нэг цэгт огтлолцдог (хязгаарлагдмал тойргийн хувьд энэ нь Лемуйн цэг, хязгаарлагдмал Штайнер эллипсийн хувьд энэ нь төв юм). Изогональ (эсвэл изотомын) коньюгат ба гурвалсан туйлын найрлага нь хоёр талт хувирал юм (хэрэв цэгтэй изогональ (изотомын) нийлсэн цэг нь цэгийн гурвалсан туйл дээр байрладаг бол цэгийн гурвалсан туйл нь изогональ (изотомын хувьд) юм. цэгийн гурвалсан туйл дээр нийлдэг).

Шоо шоо

Гурвалжин дахь харьцаа

Жич:энэ хэсэгт, , гурвалжны гурван талын урт ба , эдгээр гурван талын эсрэг талд байрлах өнцөг (эсрэг өнцөг).

Гурвалжингийн тэгш бус байдал

Муухай бус гурвалжинд түүний хоёр талын уртын нийлбэр нь гурав дахь талын уртаас их, доройтсон гурвалжинд тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл гурвалжны талуудын урт нь дараах тэгш бус байдлаар хамааралтай болно.

Гурвалжны тэгш бус байдал нь хэмжүүрийн аксиомуудын нэг юм.

Гурвалжны өнцгийн нийлбэр теорем

Синусын теорем

Энд R нь гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм. Теоремоос үзвэл хэрэв а< b < c, то α < β < γ.

Косинусын теорем

Тангенс теорем

Бусад харьцаа

Гурвалжин дахь хэмжүүрийн харьцааг дараахь байдлаар өгсөн болно.

Гурвалжин шийдвэрлэх

Гурвалжны үл мэдэгдэх талууд ба өнцгийг мэдэгдэж байгаа зүйл дээр үндэслэн тооцоолохыг түүхэнд "гурвалжны тайлах" гэж нэрлэдэг. Дээрх ерөнхий тригонометрийн теоремуудыг ашигладаг.

Гурвалжны талбай

Талбайн хувьд дараахь тэгш бус байдал хүчинтэй байна.

Вектор ашиглан огторгуй дахь гурвалжны талбайг тооцоолох

Гурвалжны оройг , , цэгүүд дээр байг.

Талбайн векторыг танилцуулъя. Энэ векторын урт нь гурвалжны талбайтай тэнцүү бөгөөд гурвалжны хавтгайд хэвийн байна.

Гурвалжны координатын хавтгай дээрх проекцууд нь , , байна гэж тохируулъя. Үүний зэрэгцээ

мөн адил

Гурвалжны талбай нь .

Өөр нэг хувилбар бол талуудын уртыг (Пифагорын теоремыг ашиглан) тооцоолж, дараа нь Хероны томъёог ашиглана.

Гурвалжингийн теоремууд

Дезаргусын теорем: хэрэв хоёр гурвалжин нь хэтийн төлөвтэй бол (гурвалжны харгалзах оройг дайран өнгөрөх шулуунууд нэг цэгт огтлолцдог), тэдгээрийн харгалзах талууд нь нэг шулуун дээр огтлолцоно.

Сондагийн теорем: хэрэв хоёр гурвалжин нь хэтийн ба ortologous бол (нэг гурвалжны оройгоос гурвалжны харгалзах оройнуудын эсрэг тал руу татсан перпендикуляр ба эсрэгээр), орфологийн төвүүд (эдгээр перпендикуляруудын огтлолцох цэгүүд) ба төв нь хоёулаа байна. хэтийн төлөв нь хэтийн тэнхлэгт перпендикуляр ижил шулуун дээр байрладаг (Дезаргусын теоремоос шулуун шугам).