Дундаж утгын теорем. Хэрэв f(x) нь интервал дээр тасралтгүй байвал ийм цэг байна 
. Док. Интервал дээр үргэлжилсэн функц нь энэ сегмент дээрх хамгийн бага m ба хамгийн том M утгуудыг авдаг. Дараа нь 
. Тоо 
сегмент дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн их утгуудын хооронд дүгнэгдэнэ. Интервал дээр үргэлжилдэг функцийн нэг шинж чанар нь энэ функц нь m ба M хооронд байрлах ямар ч утгыг авдаг явдал юм. Иймд ийм цэг байдаг. 
. Энэ шинж чанар нь энгийн геометрийн тайлбартай: хэрвээ сегмент дээр тасралтгүй байвал ABCD муруйн трапецын талбай нь суурь ба өндөр f(c) тэгш өнцөгтийн талбайтай тэнцүү байх цэг байна. зураг дээр).
7. Хувьсах дээд хязгаартай интеграл. Түүний тасралтгүй байдал, ялгаатай байдал.
Интервал дээр Риманы интеграл болох f (x) функцийг авч үзье. дээр интегралчлах боломжтой тул ∀x ∈ дээр ч мөн интегралдах боломжтой. Дараа нь x ∈ бүрийн хувьд илэрхийлэл нь утга учиртай бөгөөд x бүрийн хувьд тодорхой тоотой тэнцүү байна.
Тиймээс x ∈ бүр нь тодорхой тоотой холбоотой байдаг.
тэдгээр. функц өгөгдсөн:
(3.1)
Тодорхойлолт:
(3.1)-д тодорхойлсон F (x) функцийг мөн илэрхийлэл нь өөрөө дуудагдана
хувьсах дээд хязгаартай интеграл. Энэ нь бүхэл бүтэн сегментээр тодорхойлогддог
f (x) функцийн интегралчлал.
Нөхцөл: f (t) нь дээр тасралтгүй байх ба F (x) функцийг (3.1) томъёогоор тодорхойлно.
Тайлбар: F(x) функц нь дээр дифференциал болох ба F (x) = f (x).
(а цэгт энэ нь зөв, b цэг дээр зүүн ялгах боломжтой.)
Нотолгоо:
Нэг хувьсагчийн функцийн хувьд F (x) ялгах чадвар нь бүх цэгт (баруун талын а цэг, зүүн талын b цэг дээр) дериватив байгаатай тэнцүү тул бид F (x) -ийн деривативыг олох болно. . Ялгааг нь авч үзье
Тиймээс,
Энэ тохиолдолд ξ цэг нь сегмент дээр байрладаг (эсвэл ∆x< 0).
Өгөгдсөн x ∈ цэг дээрх F(x) функцийн дериватив нь ялгаварын харьцааны хязгаартай тэнцүү гэдгийг одоо санаарай: . Бидэнд байгаа тэгш байдлаас:
,
Одоо ∆x → 0-ийг чиглүүлэхэд энэ тэгшитгэлийн зүүн талд F’(x), баруун талд нь авна.
x цэг дээрх f (t) функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.
Энэ тодорхойлолт дахь x1 нь ξ-тэй тэнцүү байг. ξ ∈ (ξ ∈ ) тул ба
∆x → 0, дараа нь |x − ξ| → 0 ба тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор f (ξ) → f (x). Эндээс бидэнд:
F’(x) = f (x).
Үр дагавар:
Нөхцөл: f (x) дээр тасралтгүй байна.
Тайлбар: f (x) функцийн аливаа эсрэг дериватив нь хэлбэртэй байна
Энд C ∈ R нь тогтмол байна.
Баталгаа. Теорем 3.1-ийн дагуу функц нь эсрэг дериватив юм f(x). G(x) нь f (x)-ийн өөр эсрэг дериватив гэж бодъё. Дараа нь G’(x) = f(x) ба F(x) − G(x) функцийн хувьд бид: (F (x) + G(x))' = F'(x)−G'(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Эндээс F (x)−G функцийн дериватив байна. (x)
тэгтэй тэнцүү тул энэ функц тогтмол байна: F(x) − G(x) = const.
8. Тодорхой интегралын Ньютон-Лейбницийн томъёо.
Теорем:
Нөхцөл: f(t) нь дээр тасралтгүй байх ба F(x) нь түүний эсрэг дериватив юм.
Мэдэгдэл:
Нотолгоо: f (x) функцийн зарим эсрэг дериватив F (x) -ийг авч үзье. "Хувьсах дээд хязгаартай интегралын ялгах чадварын тухай" теоремийн үр дүнд (өмнөх асуултыг үзнэ үү) энэ нь хэлбэртэй байна. Эндээс
=>
в=
Ф(а)
, Мөн
Сүүлийн тэгшитгэлийн F(a)-г зүүн тийш шилжүүлж, интеграцийн хувьсагчийг дахин x гэж нэрлээд Ньютон-Лейбницийн томьёог гаргацгаая.
Теорем. Хэрэв функц бол f(x)интервал дээр интегралдах [ а, б], Хаана а< b , мөн хүн бүрт x ∈тэгш бус байдал бий
Теоремын тэгш бус байдлыг ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолж болно, өөрөөр хэлбэл. түүний утга агуулагдаж буй хил хязгаарыг заана. Эдгээр тэгш бус байдал нь тодорхой интегралын тооцоог илэрхийлдэг.
Теорем [Дундаж теорем]. Хэрэв функц бол f(x)интервал дээр интегралдах [ а, б] мөн хүн бүрт x ∈тэгш бус байдал хангагдсан байна m ≤ f(x) ≤ M, Тэр
Хаана m ≤ μ ≤ M.
Сэтгэгдэл. Хэрэв функц байгаа бол f(x)интервал дээр тасралтгүй байна [ а, б], теоремын тэгш байдал хэлбэрийг авна
Хаана c ∈. Тоо μ=f(c), энэ томъёогоор тодорхойлогддог, гэж нэрлэдэг дундаж утгафункцууд f(x)сегмент дээр [ а, б]. Энэ тэгш байдал нь дараах байдалтай байна геометрийн утга: тасралтгүй шугамаар хүрээлэгдсэн муруй трапецын талбай y=f(x) (f(x) ≤ 0), ижил суурьтай тэгш өнцөгтийн талбай, энэ шулуун дээрх зарим цэгийн ординаттай тэнцүү өндөртэй тэнцүү байна.
Үргэлжилсэн функцийн эсрэг дериватив байгаа эсэх
Эхлээд бид хувьсах дээд хязгаартай интеграл гэсэн ойлголтыг танилцуулж байна.
Функцийг зөвшөөр f(x)интервал дээр интегралдах [ а, б]. Дараа нь ямар ч тоо байсан x-аас [ а, б], функц f(x)интервал дээр интегралдах [ а, б]. Тиймээс интервал дээр [ а, б] функцийг тодорхойлсон
хувьсах дээд хязгаартай интеграл гэж нэрлэдэг.
Теорем. Хэрэв интеграл нь [ интервал дээр тасралтгүй байвал а, б], тэгвэл хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интегралын дериватив байгаа бөгөөд энэ хязгаарын интегралын утгатай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл
Үр дагавар. Хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интеграл нь тасралтгүй интегралын эсрэг деривативуудын нэг юм. Өөрөөр хэлбэл интервал дээр үргэлжилсэн аливаа функцийн хувьд эсрэг дериватив байдаг.
Тайлбар 1. Хэрэв функц байвал анхаарна уу f(x)интервал дээр интегралдах [ а, б], тэгвэл хувьсах дээд хязгаартай интеграл нь дээд хязгаарын функц бөгөөд энэ сегмент дээр тасралтгүй байна. Үнэн хэрэгтээ, St.2-аас болон дундаж утгын теорем бидэнд байна
Тайлбар 2. Интеграцийн хувьсах дээд хязгаартай интегралыг олон шинэ функцийг тодорхойлоход ашигладаг, жишээлбэл, 
. Эдгээр функцууд нь үндсэн биш юм; Өмнө дурьдсанчлан, заасан интегралуудын эсрэг деривативуудыг энгийн функцээр илэрхийлдэггүй.
Интеграцийн үндсэн дүрмүүд
Ньютон-Лейбницийн томъёо
Аливаа хоёр эсрэг дериватив функцээс хойш f(x)тогтмолоор ялгаатай бол өмнөх теоремын дагуу аливаа эсрэг дериватив гэж үзэж болно. Φ(x)сегмент дээр тасралтгүй [ а, б] функцууд f(x)шиг харагдаж байна
Хаана C- зарим тогтмол.
Энэ томъёогоор тооцвол x=aТэгээд x=b, st.1 тодорхой интегралыг ашиглан бид олдог
Эдгээр тэгш байдал нь харилцааг илэрхийлдэг
гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёо.
Тиймээс бид дараах теоремыг нотолсон.
Теорем. Тасралтгүй функцийн тодорхой интеграл нь интегралын дээд ба доод хязгаарын эсрэг деривативуудын утгын зөрүүтэй тэнцүү байна.
Ньютон-Лейбницийн томъёог дахин бичиж болно
Тодорхой интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх
Теорем. Хэрэв
- функц f(x)интервал дээр тасралтгүй байна [ а, б];
- шугамын хэсэг [ а, б] нь функцийн утгуудын багц юм φ(t), сегмент дээр тодорхойлогдсон α ≤ t ≤ βмөн үүн дээр тасралтгүй дериватив байх;
- φ(α)=a, φ(β)=b
тэгвэл томъёо зөв байна
Хэсэгээр нь нэгтгэх томъёо
Теорем. Хэрэв функцууд u=u(x), v=v(x)интервал дээр тасралтгүй деривативтай байна [ а, б] байвал томъёо хүчинтэй байна
Хэрэглээний үнэ цэнэ дундаж утгын теоремууд
Энэ нь тодорхой интегралын үнэ цэнийн чанарын үнэлгээг тооцоолохгүйгээр олж авах боломж юм. Томьёолъё
: хэрэв функц интервал дээр тасралтгүй байвал энэ интервал дотор ийм цэг байна 
.
Энэ томъёо нь нарийн төвөгтэй эсвэл төвөгтэй функцийн интегралыг ойролцоогоор тооцоолоход тохиромжтой. Томьёог гаргадаг цорын ганц цэг ойролцоогоор , зайлшгүй шаардлагатай бие даасан сонголт цэгүүд Хэрэв бид хамгийн энгийн замыг сонговол - интеграцийн интервалын дунд (олон тооны сурах бичигт санал болгосон) алдаа нь нэлээд ач холбогдолтой байж болно. Илүү нарийвчлалтай үр дүнд хүрэхийн тулд бид санал болгож байна тооцоог дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ.
Функцийн графикийг интервал дээр байгуулах;
Тэгш өнцөгтийн дээд хилийг функцийн графикийн таслагдсан хэсгүүдтэй байхаар зур талбайн хувьд ойролцоогоор тэнцүү байна (энэ нь дээрх зурагт яг юу харагдаж байна - хоёр муруй гурвалжин нь бараг адилхан);
Зураг дээр үндэслэн тодорхойлох;
Дундаж утгын теоремыг ашигла.
Жишээ болгон энгийн интегралыг тооцоолъё:
Тодорхой үнэ цэнэ;
Интервалын дундын хувьд 
бид мөн ойролцоо утгыг олж авдаг, өөрөөр хэлбэл. үр дүн нь тодорхой бус;
Зөвлөмжийн дагуу тэгш өнцөгтийн дээд талыг зурсан графикийг байгуулснаар бид ойролцоогоор утгыг олж авна. Маш хангалттай үр дүн, алдаа нь 0.75% байна.
Трапец хэлбэрийн томъёо
Дундаж утгын теоремыг ашиглан тооцооллын нарийвчлал нь дээр дурдсанчлан ихээхэн хамаарна харааны зорилго цэгийн хуваарийн дагуу. Үнэн хэрэгтээ, ижил жишээн дээр оноо эсвэл -г сонгосноор та интегралын бусад утгыг авах боломжтой бөгөөд алдаа нэмэгдэж магадгүй юм. Субъектив хүчин зүйлүүд, графикийн цар хүрээ, зургийн чанар нь үр дүнд ихээхэн нөлөөлдөг. Энэ хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй чухал тооцоололд, тиймээс дундаж утгын теорем нь зөвхөн хурданд хамаарна чанар интеграл тооцоо.
Энэ хэсэгт бид ойролцоогоор нэгтгэх хамгийн алдартай аргуудын нэгийг авч үзэх болно. трапец хэлбэрийн томъёо . Энэхүү томьёог бүтээх гол санаа нь зурагт үзүүлсэн шиг муруйг ойролцоогоор тасархай шугамаар сольж болох явдал юм.
Тодорхой байдлын хувьд (болон зургийн дагуу) интеграцийн интервалыг дараахь байдлаар хуваана гэж үзье. тэнцүү (энэ нь нэмэлт, гэхдээ маш тохиромжтой) хэсгүүд. Эдгээр хэсгүүдийн уртыг томъёогоор тооцоолж, дууддаг алхам . Хэрэв өгөгдсөн бол хуваах цэгүүдийн абсциссыг томъёогоор тодорхойлно, энд . Мэдэгдэж буй абсциссуудыг ашиглан ординатуудыг тооцоолоход хялбар байдаг. Тиймээс,
Энэ бол тухайн тохиолдолд трапец хэлбэрийн томъёо юм. Хаалтанд байгаа эхний гишүүн нь эхний болон эцсийн ординатуудын хагас нийлбэр бөгөөд үүнд бүх завсрын ординатууд нэмэгддэг болохыг анхаарна уу. Интеграцийн интервалын дурын тооны хуваалтуудын хувьд трапецын ерөнхий томъёо хэлбэртэй байна: квадрат томъёо: тэгш өнцөгт, Симпсон, Гаусс гэх мэт. Эдгээр нь муруй шугаман трапецийг янз бүрийн хэлбэрийн энгийн хэсгүүдээр илэрхийлэх ижил санаан дээр суурилдаг тул трапецын томъёог эзэмшсэний дараа ижил төстэй томъёог ойлгоход хэцүү байх болно. Олон томьёо нь трапец хэлбэрийн томъёо шиг энгийн биш боловч цөөн тооны хуваалттай өндөр нарийвчлалтай үр дүнг авах боломжийг олгодог.
Трапец хэлбэрийн томъёог (эсвэл үүнтэй төстэй) ашиглан та практикт шаардлагатай нарийвчлалтайгаар "гүйцэтгэдэггүй" интеграл ба нарийн төвөгтэй эсвэл төвөгтэй функцүүдийн интегралуудыг хоёуланг нь тооцоолж болно.
Тодорхой интегралаар тасралтгүй функцээс е(x) эцсийн сегмент дээр [ а, б] (энд ) нь энэ сегмент дээрх зарим эсрэг деривативуудын өсөлт юм. (Ерөнхийдөө тодорхойгүй интегралын сэдвийг давтвал ойлгоход мэдэгдэхүйц хялбар байх болно) Энэ тохиолдолд тэмдэглэгээг ашиглана.
Доорх графикуудаас харж болно (эсрэг дериватив функцийн өсөлтийг -ээр илэрхийлнэ), тодорхой интеграл нь эерэг эсвэл сөрөг тоо байж болно(Үүнийг дээд хязгаар дахь эсрэг деривативын утга ба доод хязгаар дахь утгын зөрүүгээр тооцоолно. Ф(б) - Ф(а)).
Тоонууд аТэгээд бинтеграцийн доод ба дээд хязгаар гэж нэрлэдэг ба сегмент [ а, б] – интеграцийн сегмент.
Тиймээс, хэрэв Ф(x) – зарим эсрэг дериватив функц е(x), дараа нь тодорхойлолтын дагуу,
(38)
Тэгш байдлыг (38) гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёо . Ялгаа Ф(б) – Ф(а) дараах байдлаар товч бичигдсэн байна.
Тиймээс бид Ньютон-Лейбницийн томъёог дараах байдлаар бичнэ.
(39)
Тодорхой интеграл нь түүнийг тооцохдоо түүний эсрэг деривативыг авахаас хамаарахгүй гэдгийг баталъя. Болъё Ф(x) ба F( X) нь интегралын дурын эсрэг деривативууд юм. Эдгээр нь ижил функцийн эсрэг деривативууд тул тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай: Ф( X) = Ф(x) + C. Тийм ч учраас
Энэ нь сегмент дээр [ а, б] функцийн бүх эсрэг деривативуудын өсөлт е(x) тааруулна.
Тиймээс тодорхой интегралыг тооцоолохын тулд интегралын эсрэг деривативыг олох шаардлагатай. Эхлээд та тодорхойгүй интегралыг олох хэрэгтэй. Тогтмол ХАМТ дараагийн тооцооноос хассан. Дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ: дээд хязгаарын утгыг деривативын эсрэг функцээр орлуулна. б , цааш нь - доод хязгаарын утга а мөн ялгааг тооцно F(b) - F(a) . Үр дүнгийн тоо нь тодорхой интеграл байх болно..
At а = бтодорхойлолтоор хүлээн зөвшөөрсөн
Жишээ 1.
Шийдэл. Эхлээд тодорхойгүй интегралыг олъё:
Ньютон-Лейбницийн томъёог эсрэг деривативт хэрэглэх
(цагт ХАМТ= 0), бид олж авна
Гэхдээ тодорхой интегралыг тооцоолохдоо эсрэг деривативыг тусад нь олохгүй, харин интегралыг нэн даруй (39) хэлбэрээр бичих нь дээр.
Жишээ 2.Тодорхой интегралыг тооцоолох
Шийдэл. Томьёог ашиглах
Тодорхой интегралын шинж чанарууд
Теорем 2.Тодорхой интегралын утга нь интеграцийн хувьсагчийн тэмдэглэгээнээс хамаардаггүй, өөрөөр хэлбэл
(40)
Болъё Ф(x) – эсрэг дериватив е(x). Учир нь е(т) эсрэг дериватив нь ижил функцтэй Ф(т), бие даасан хувьсагчийг зөвхөн өөрөөр тэмдэглэдэг. Тиймээс,
Томъёо (39) дээр үндэслэн сүүлчийн тэгшитгэл нь интегралуудын тэгш байдлыг илэрхийлнэ
Теорем 3.Тогтмол хүчин зүйлийг тодорхой интегралын тэмдгээс гаргаж авч болно, өөрөөр хэлбэл
(41)
Теорем 4.Хязгаарлагдмал тооны функцын алгебрийн нийлбэрийн тодорхой интеграл нь эдгээр функцүүдийн тодорхой интегралуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна., өөрөөр хэлбэл
(42)
Теорем 5.Хэрэв интегралын сегментийг хэсгүүдэд хуваасан бол бүх сегмент дэх тодорхой интеграл нь түүний хэсгүүдийн тодорхой интегралуудын нийлбэртэй тэнцүү байна., өөрөөр хэлбэл Хэрэв
(43)
Теорем 6.Интегралын хязгаарыг өөрчлөх үед тодорхой интегралын үнэмлэхүй утга өөрчлөгдөхгүй, зөвхөн тэмдэг нь өөрчлөгддөг., өөрөөр хэлбэл
(44)
Теорем 7(дундаж утгын теорем). Тодорхой интеграл нь интеграцийн сегментийн урт ба түүний доторх хэсэг дэх интегралын утгын үржвэртэй тэнцүү байна., өөрөөр хэлбэл
(45)
Теорем 8.Хэрэв интегралын дээд хязгаар нь доод хязгаараас их бөгөөд интеграл нь сөрөг биш (эерэг) байвал тодорхой интеграл нь мөн сөрөг биш (эерэг), өөрөөр хэлбэл. Хэрэв
Теорем 9.Хэрэв интегралын дээд хязгаар нь доод хэмжээ ба функцүүдээс их бөгөөд тасралтгүй байвал тэгш бус байдал
нэр томьёогоор нэгтгэж болно, өөрөөр хэлбэл
(46)
Тодорхой интегралын шинж чанарууд нь интегралын шууд тооцоог хялбарчлах боломжийг олгодог.
Жишээ 5.Тодорхой интегралыг тооцоолох
4 ба 3-р теоремуудыг ашиглан эсрэг деривативуудыг олохдоо (7) ба (6) хүснэгтийн интегралуудыг олж авна.
Хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интеграл
Болъё е(x) – сегмент дээр тасралтгүй [ а, б] функц, ба Ф(x) нь түүний эсрэг дериватив юм. Тодорхой интегралыг авч үзье
(47)
ба дамжуулан тИнтеграцийн хувьсагчийг дээд хязгаартай андуурахгүйн тулд тодорхойлсон. Энэ нь өөрчлөгдөхөд Xтодорхой интеграл (47) мөн өөрчлөгддөг, i.e. энэ нь интеграцийн дээд хязгаарын функц юм X, бид үүнийг тэмдэглэдэг Ф(X), i.e.
(48)
Функц гэдгийг баталцгаая Ф(X) нь эсрэг дериватив юм е(x) = е(т). Үнэхээр ялгаж салгаж байна Ф(X), бид авдаг
учир нь Ф(x) – эсрэг дериватив е(x), А Ф(а) нь тогтмол утга юм.
Чиг үүрэг Ф(X) – хязгааргүй тооны эсрэг деривативуудын нэг е(x), тухайлбал тэр x = атэг рүү очдог. Хэрэв бид (48) тэгш байдалд оруулбал энэ мэдэгдлийг олж авна x = амөн өмнөх догол мөрийн 1-р теоремыг ашигла.
Тодорхой интегралыг хэсэгчилсэн интегралын аргаар, хувьсагчийг өөрчлөх аргаар тооцоолох
хаана, тодорхойлолтоор, Ф(x) – эсрэг дериватив е(x). Хэрэв бид интеграл дахь хувьсагчийг өөрчилвөл
дараа нь (16) томъёоны дагуу бид бичиж болно
Энэ илэрхийлэлд
эсрэг дериватив функц
Үнэн хэрэгтээ, дагуу түүний дериватив нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрэм, тэнцүү байна
α ба β нь хувьсагчийн утгууд байг т, үүнд зориулсан функц
дагуу утгыг авдаг аТэгээд б, өөрөөр хэлбэл
Гэхдээ Ньютон-Лейбницийн томъёоны дагуу ялгаа Ф(б) – Ф(а) Байна
Трапец хэлбэрийн арга
Үндсэн нийтлэл:Трапец хэлбэрийн арга
Хэсэгчилсэн сегмент тус бүрийн функцийг төгсгөлийн утгуудаар дамжин өнгөрөх шулуун шугамаар ойролцоолсон бол бид трапецын аргыг олж авна.
Сегмент тус бүрийн трапецын талбай:
Сегмент тус бүрийн ойролцоолсон алдаа:
Хаана 
Интеграцийн бүх интервалыг ижил урттай сегментүүдэд хуваах тохиолдолд трапецын бүрэн томъёо:
Хаана
Трапец хэлбэрийн алдаа:
Хаана 
Симпсоны арга.
Интеграл f(x)хоёрдугаар зэргийн интерполяцийн олон гишүүнтээр солигдоно P(x)– гурван зангилааг дайран өнгөрөх парабол, жишээлбэл, зурагт үзүүлсэн шиг ((1) – функц, (2) – олон гишүүнт).
Интеграцийн хоёр үе шатыг авч үзье ( h= const = x i+1 – x i), өөрөөр хэлбэл гурван зангилаа x 0 , x 1 , x 2, үүгээр бид Ньютоны тэгшитгэлийг ашиглан параболыг зурна:
Болъё z = x - x 0,
Дараа нь
Одоо олж авсан хамаарлыг ашиглан интегралыг энэ интервалаар тооцоолно.
.
Учир нь жигд торТэгээд тэгш тоо nСимпсоны томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
Энд 
, А 
интегралын дөрөв дэх деривативын тасралтгүй байдлын таамаглалын дагуу.
[засварлах] Нарийвчлал нэмэгдсэн
Бүх интегралын интервалд функцийг нэг олон гишүүнтээр ойртуулах нь дүрмээр бол интегралын утгыг тооцоолоход том алдаа гаргадаг.
Алдааг багасгахын тулд интеграцийн сегментийг хэсэг болгон хувааж, тус бүр дээр интегралыг үнэлэхийн тулд тоон аргыг ашигладаг.
Хуваалтын тоо хязгааргүй байх хандлагатай байдаг тул интегралын үнэлгээ нь аливаа тоон аргын аналитик функцүүдийн жинхэнэ утга руу чиглэдэг.
Дээрх аргууд нь алхам бүрийг зөвхөн шинээр нэмэгдсэн зангилаануудад функцийн утгыг тооцоолохыг шаарддаг алхамыг хоёр дахин багасгах энгийн процедурыг зөвшөөрдөг. Тооцооллын алдааг тооцоолохын тулд Runge-ийн дүрмийг ашиглана.
Рунжийн дүрмийн хэрэглээ
засварлах]Тодорхой интегралыг тооцоолох үнэн зөвийг үнэлэх
Интегралыг сонгосон томьёо (тэгш өнцөгт, трапец, Симпсон парабол) ашиглан n-тэй тэнцүү алхмын тоо, дараа нь 2n-тэй тэнцүү алхмын тоогоор тооцоолно. 2n-тэй тэнцүү хэд хэдэн алхам бүхий интегралын утгыг тооцоолох алдааг Runge томъёогоор тодорхойлно.
, тэгш өнцөгт ба трапецын томьёо, Симпсоны томъёоны хувьд.
Тиймээс интегралыг алхамуудын дараалсан утгуудын хувьд тооцдог бөгөөд n 0 нь эхний алхамуудын тоо юм. Дараагийн N утгын нөхцөл хангагдсанаар тооцооны процесс дуусна, энд ε нь заасан нарийвчлал юм.
Алдааны зан үйлийн онцлог.
Хэрэв бид интеграцийн алхамын хэмжээг багасгах замаар өндөр нарийвчлалд хүрч чадвал яагаад интеграцийн янз бүрийн аргуудад дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй гэж бодож байна. Гэсэн хэдий ч арын алдааны зан үйлийн графикийг анхаарч үзээрэй Рхамааран тоон тооцооны үр дүн 
мөн дугаараас nинтервал хуваалтууд (өөрөөр хэлбэл алхам дээр . (1) хэсэгт h алхам багассанаас алдаа багасна. Харин (2) хэсэгт тооцооллын алдаа давамгайлж эхэлдэг бөгөөд олон тооны арифметик үйлдлүүдийн үр дүнд хуримтлагддаг. Тиймээс. , арга бүр өөрийн гэсэн байдаг Рмин, энэ нь олон хүчин зүйлээс хамаардаг боловч үндсэндээ аргын алдааны априори утгаас хамаарна Р.
Ромбергийн тодруулсан томъёо.
Ромбергийн арга нь хуваалтын тоог хэд хэдэн удаа нэмэгдүүлэх замаар интегралын утгыг дараалан сайжруулахаас бүрдэнэ. Нэг төрлийн алхамтай трапецын томъёог суурь болгон авч болно h.
Интегралыг хуваалтын тоогоор тэмдэглэе n= 1 зэрэг 
.
Алхам алхмыг хагасаар бууруулснаар бид олж авдаг 
.
Хэрэв бид алхамыг 2 n удаа дараалан бууруулбал тооцоолох давталтын хамаарлыг олж авна.
