Үндсэн арифметик тригонометр ба урвуу тригонометрийн функцууд. Урвуу тригонометрийн функц, тэдгээрийн график, томьёо

Хичээл 32-33. Урвуу тригонометрийн функцууд

Зорилтот: урвуу тригонометрийн функцууд ба тэдгээрийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдийг бичихэд ашиглах талаар авч үзэх.

I. Хичээлийн сэдэв, зорилгыг мэдээлэх

II. Шинэ материал сурах

1. Урвуу тригонометрийн функцууд

Дараах жишээгээр энэ сэдвийн тухай яриагаа эхэлцгээе.

Жишээ 1

Тэгшитгэлийг шийдье: a) нүгэл x = 1/2; б) нүгэл x = a.

a) Ординатын тэнхлэг дээр бид 1/2 утгыг зурж, өнцгийг байгуулна x 1 болон x2, үүний төлөөгэм х = 1/2. Энэ тохиолдолд x1 + x2 = π, үүнээс x2 = π – x 1 . Тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтийг ашиглан бид x1 = π/6 утгыг олоод дараа ньСинусын функцийн үечлэлийг харгалзан үзээд энэ тэгшитгэлийн шийдлүүдийг бичье.Энд k ∈ Z.

б) Мэдээжийн хэрэг, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмнүгэл x = a өмнөх догол мөртэй ижил байна. Мэдээжийн хэрэг, одоо a утгыг ординатын тэнхлэгийн дагуу зурсан. Ямар нэгэн байдлаар x1 өнцгийг тодорхойлох шаардлагатай байна. Бид энэ өнцгийг тэмдгээр тэмдэглэхээр тохиролцсонарксин А. Дараа нь энэ тэгшитгэлийн шийдлүүдийг хэлбэрээр бичиж болноЭдгээр хоёр томъёог нэг дор нэгтгэж болно:тэнд

Үлдсэн урвуу тригонометрийн функцуудыг ижил төстэй байдлаар танилцуулсан.

Маш олон удаа өнцгийн хэмжээг түүний тригонометрийн функцийн мэдэгдэж буй утгаас тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Ийм асуудал нь олон утгатай - тригонометрийн функцүүд нь ижил утгатай тэнцүү тоо томшгүй олон өнцөг байдаг. Иймд тригонометрийн функцүүдийн монотон байдалд үндэслэн өнцгийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлохын тулд дараах урвуу тригонометрийн функцуудыг нэвтрүүлсэн.

a тооны арксинус (arcsin , түүний синус нь a-тай тэнцүү, i.e.

Тооны нуман косинус a(arccos a) косинус нь a-тай тэнцүү интервалаас a өнцөг, i.e.

Тооны арктангенс a(arctg a) - интервалаас ийм өнцөг aшүргэгч нь a-тай тэнцүү, i.e.tg a = a.

Тооны арккотангенс a(arcctg a) нь (0; π) интервалаас a өнцөг, котангенс нь a-тай тэнцүү, i.e. ctg a = a.

Жишээ 2

Олъё:

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Жишээ 3

Тооцоолъё

a = нуман өнцөг гэж үзье 3/5, дараа нь тодорхойлолтоор sin a = 3/5 ба . Тиймээс бид олох хэрэгтэй cos А. Үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.cos a ≥ 0 гэдгийг харгалзан үзнэ. Тэгэхээр,

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт, үндсэн шинж чанаруудтай холбоотой хэд хэдэн ердийн жишээг өгье.

Жишээ 4

Функцийн тодорхойлолтын мужийг олъё

y функцийг тодорхойлохын тулд тэгш бус байдлыг хангах шаардлагатайЭнэ нь тэгш бус байдлын системтэй тэнцүү юмЭхний тэгш бус байдлын шийдэл нь x интервал юм∈ (-∞; +∞), хоёр дахь -Энэ интервал тэгш бус байдлын системийн шийдэл, тиймээс функцийг тодорхойлох муж

Жишээ 5

Функцийн өөрчлөлтийн талбайг олцгооё

Функцийн зан төлөвийг авч үзье z = 2x - x2 (зураг харна уу).

z ∈ гэдэг нь тодорхой байна (-∞; 1]. Аргумент гэж үзээд z нуман котангентын функц нь заасан хязгаарт өөрчлөгддөг бөгөөд үүнийг хүснэгтийн өгөгдлөөс олж авдагТиймээс өөрчлөлтийн талбар

Жишээ 6

y = функц болохыг баталцгаая arctg x сондгой. БолъёДараа нь tg a = -x эсвэл x = - tg a = tg (- a), ба Иймд - a = arctg x эсвэл a = - arctg X. Тиймээс бид үүнийг харж байнаөөрөөр хэлбэл y(x) нь сондгой функц юм.

Жишээ 7

Бүх урвуу тригонометрийн функцээр илэрхийлье

Болъё Энэ нь ойлгомжтой Тэрнээс хойш

Өнцгийг танилцуулъя Учир нь Тэр

Үүнтэй адилаар Тэгээд

Тэгэхээр,

Жишээ 8

y = функцийн графикийг байгуулъя cos(arcsin x).

Тэгвэл a = arcsin x гэж тэмдэглэе x = sin a ба y = cos a, өөрөөр хэлбэл x 2 гэдгийг анхаарч үзье + y2 = 1 ба x дээрх хязгаарлалтууд (x∈ [-1; 1]) ба y (y ≥ 0). Тэгвэл у = функцийн график cos(arcsin x) нь хагас тойрог юм.

Жишээ 9

y = функцийн графикийг байгуулъя arccos (cos x).

cos функцээс хойш x интервал дээр өөрчлөгддөг [-1; 1], дараа нь y функц нь бүхэл тоон тэнхлэгт тодорхойлогддог ба сегмент дээр өөрчлөгдөнө. y = гэдгийг санаарай arccos (cosx) = х сегмент дээр; y функц нь тэгш ба 2π үетэй үечилсэн байна. Функц нь эдгээр шинж чанартай байдаг гэдгийг харгалзан үзвэл cos x Одоо график бүтээхэд хялбар боллоо.

Зарим ашигтай тэгш байдлыг тэмдэглэе:

Жишээ 10

Функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг олцгооёгэж тэмдэглэе Дараа нь Функцийг авч үзье Энэ функц нь цэг дээр хамгийн бага байна z = π/4 бөгөөд энэ нь тэнцүү байна Функцийн хамгийн их утга нь цэг дээр хүрдэг z = -π/2 ба энэ нь тэнцүү байна Тиймээс, ба

Жишээ 11

Тэгшитгэлээ шийдье

Үүнийг анхаарч үзье Дараа нь тэгшитгэл дараах байдалтай байна.эсвэл хаана Артангенсийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олж авна.

2. Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

1-р жишээтэй адил та хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийг олж авах боломжтой.

Жишээ 12

Тэгшитгэлээ шийдье

Синусын функц нь сондгой тул тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэЭнэ тэгшитгэлийн шийдлүүд:бид хаанаас олох вэ?

Жишээ 13

Тэгшитгэлээ шийдье

Өгөгдсөн томъёог ашиглан бид тэгшитгэлийн шийдлүүдийг бичнэ.тэгээд бид олох болно

Онцгой тохиолдолд (a = 0; ±1) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед анхаарна уу sin x = a ба cos x = бөгөөд ерөнхий томьёо ашиглах биш харин нэгжийн тойрог дээр үндэслэн шийдлүүдийг бичих нь илүү хялбар бөгөөд илүү тохиромжтой.

sin x = 1 шийдэлтэй тэгшитгэлийн хувьд

тэгшитгэлийн хувьд sin x = 0 шийдэл x = π k;

тэгшитгэлийн хувьд sin x = -1 шийдэл

cos тэгшитгэлийн хувьд x = 1 шийдэл x = 2π k ;

cos x = 0 тэгшитгэлийн шийдэл

cos x = -1 шийдлийн тэгшитгэлийн хувьд

Жишээ 14

Тэгшитгэлээ шийдье

Энэ жишээнд тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол байгаа тул бид тохирох томъёог ашиглан шийдлийг бичнэ.бид хаанаас олох вэ?

III. Хяналтын асуултууд (урд талын судалгаа)

1. Урвуу тригонометрийн функцүүдийн үндсэн шинж чанарыг тодорхойлж жагсаа.

2. Урвуу тригонометрийн функцүүдийн графикийг өг.

3. Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

IV. Хичээлийн даалгавар

§ 15, No3 (a, b); 4 (c, d); 7(а); 8(а); 12 (б); 13(а); 15 (в); 16(а); 18 (а, б); 19 (в); 21;

§ 16, No 4 (a, b); 7(а); 8 (б); 16 (а, б); 18(а); 19 (в, г);

§ 17, No3 (a, b); 4 (c, d); 5 (а, б); 7 (c, d); 9 (б); 10 (а, в).

V. Гэрийн даалгавар

§ 15, No3 (c, d); 4 (a, b); 7 (в); 8 (б); 12(а); 13(б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;

§ 16, No 4 (c, d); 7 (б); 8(а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);

§ 17, No3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).

VI. Бүтээлч даалгавар

1. Функцийн домайныг ол:

Хариултууд:

2. Функцийн мужийг ол:

Хариултууд:

3. Функцийн графикийг зур:

VII. Хичээлүүдийг дүгнэж байна

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт, тэдгээрийн графикийг өгөв. Урвуу тригонометрийн функцийг холбосон томьёо, нийлбэр ба ялгааны томъёо.

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт

Тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг тул урвуу функцууд нь өвөрмөц биш юм. Тэгэхээр y = тэгшитгэл гэм х, өгөгдсөн , хязгааргүй олон үндэстэй. Үнэн хэрэгтээ, синусын үечилсэн байдлаас шалтгаалан x нь ийм язгуур юм бол тийм байх болно x + 2πn(n нь бүхэл тоо) нь мөн тэгшитгэлийн үндэс болно. Тиймээс, урвуу тригонометрийн функцууд нь олон утгатай. Тэдэнтэй ажиллахад хялбар болгохын тулд тэдгээрийн үндсэн утгын тухай ойлголтыг танилцуулсан. Жишээлбэл, синусыг авч үзье: y = гэм х. Хэрэв бид х аргументыг интервалаар хязгаарлавал үүн дээр y = функц байна гэм хмонотоноор нэмэгддэг. Иймээс энэ нь өвөрмөц урвуу функцтэй бөгөөд үүнийг нумын синус гэж нэрлэдэг: x = арксин у.

Өөрөөр заагаагүй бол урвуу тригонометрийн функц гэж бид дараахь тодорхойлолтоор тодорхойлогддог тэдгээрийн үндсэн утгыг хэлнэ.

Арксин ( у = arcsin x) нь синусын урвуу функц ( x = гэмтэй

Нуман косинус ( у = arccos x) косинусын урвуу функц ( x = cos y), тодорхойлолтын домэйн болон утгын багцтай байх.

Арктангенс ( у = арктан х) шүргэгчийн урвуу функц ( x = tg y), тодорхойлолтын домэйн болон утгын багцтай байх.

арккотангенс ( у = arcctg x) котангентын урвуу функц ( x = ctg y), тодорхойлолтын домэйн болон утгын багцтай байх.

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн графикууд

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн графикийг y = x шулуун шугамын хувьд толин тусгал тусгах замаар тригонометрийн функцүүдийн графикаас гаргаж авдаг. Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн хэсгүүдийг харна уу.

у = arcsin x

у = arccos x

у = арктан х

у = arcctg x

Үндсэн томъёо

Энд та томъёонууд хүчинтэй байх интервалд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй.

arcsin(sin x) = xцагт
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xцагт
cos(arccos x) = x

arktan(tg x) = xцагт
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xцагт
ctg(arcctg x) = x

Урвуу тригонометрийн функцтэй холбоотой томъёо

Нийлбэр ба ялгааны томъёо

эсвэл

дээр болон

дээр болон

эсвэл

дээр болон

дээр болон

цагт

цагт

цагт

цагт

Урвуу тригонометрийн функцуудматематик шинжилгээнд өргөн хэрэглэгддэг. Гэсэн хэдий ч ихэнх ахлах сургуулийн сурагчдын хувьд энэ төрлийн функцтэй холбоотой даалгавар нь ихээхэн хүндрэл учруулдаг. Энэ нь гол төлөв олон сурах бичиг, сургалтын хэрэглэгдэхүүнд энэ төрлийн даалгаварт хэт бага анхаарал хандуулдагтай холбоотой юм. Хэрэв оюутнууд урвуу тригонометрийн функцүүдийн утгыг тооцоолох асуудлыг ямар нэгэн байдлаар даван туулж чадвал ийм функцийг агуулсан тэгшитгэл, тэгш бус байдал нь ихэнх тохиолдолд хүүхдүүдийг төөрөлдүүлдэг. Үнэн хэрэгтээ энэ нь гайхмаар зүйл биш юм, учир нь бараг ямар ч сурах бичиг урвуу тригонометрийн функц агуулсан хамгийн энгийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар тайлбарлаагүй болно.

Урвуу тригонометрийн функцтэй холбоотой хэд хэдэн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг авч үзээд дэлгэрэнгүй тайлбартайгаар шийдье.

Жишээ 1.

Тэгшитгэлийг шийд: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Шийдэл.

Тэгшитгэлээс урвуу тригонометрийн функцийг илэрхийлэхэд бид дараахь зүйлийг авна.

arccos (2x + 3) = 5π/6. Одоо нумын косинусын тодорхойлолтыг ашиглая.

-1-ээс 1 хүртэлх сегментэд хамаарах тодорхой тооны a нумын косинус нь 0-ээс π хүртэлх сегментээс y өнцөг бөгөөд косинус нь x тоотой тэнцүү байна. Тиймээс бид үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

2x + 3 = cos 5π/6.

Үүссэн тэгшитгэлийн баруун талыг багасгах томъёог ашиглан бичье.

2x + 3 = cos (π – π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2х = -3 – √3/2.

Баруун талыг нийтлэг хуваагч болгон бууруулъя.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Хариулт: -(6 + √3) / 4 .

Жишээ 2.

Тэгшитгэлийг шийд: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.

Шийдэл.

[-1-д хамаарах x-тэй cos (arcсos x) = x тул; 1] бол энэ тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна:

(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Системд орсон тэгшитгэлийг шийдье.

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

Энэ нь дөрвөлжин учраас бид үүнийг олж авдаг

x 2 – 9x + 14 = 0;

D = 81 – 4 14 = 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.

Системд орсон давхар тэгш бус байдлыг шийдье.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Бүх хэсгүүдэд 9-ийг нэмбэл:

8 ≤ 4x ≤ 10. Тоо бүрийг 4-т хуваавал бид дараахийг авна.

2 ≤ x ≤ 2.5.

Одоо хүлээн авсан хариултуудаа нэгтгэж үзье. Х = 7 язгуур нь тэгш бус байдлын хариултыг хангахгүй байгааг харахад хялбар байдаг. Тиймээс тэгшитгэлийн цорын ганц шийдэл нь x = 2 юм.

Хариулт: 2.

Жишээ 3.

Тэгшитгэлийг шийд: tg (arctg (0.5 – x)) = x 2 – 4x + 2.5.

Шийдэл.

Бүх бодит тоонуудын хувьд tg (arctg x) = x байх тул энэ тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

0.5 – x = x 2 – 4x + 2.5.

Үүссэн квадрат тэгшитгэлийг эхлээд стандарт хэлбэрт оруулсны дараа дискриминантын тусламжтайгаар шийдье.

x 2 – 3x + 2 = 0;

D = 9 – 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.

Хариулт: 1; 2.

Жишээ 4.

Тэгшитгэлийг шийд: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

Шийдэл.

acctg f(x) = arcctg g(x) учир зөвхөн f(x) = g(x) тохиолдолд л

2x – 1 = x 2 /2 + x/2. Үүссэн квадрат тэгшитгэлийг шийдье:

4x – 2 = x 2 + x;

x 2 – 3x + 2 = 0.

Виетийн теоремоор бид үүнийг олж авдаг

x = 1 эсвэл x = 2.

Хариулт: 1; 2.

Жишээ 5.

Тэгшитгэлийг шийд: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).

Шийдэл.

arcsin f(x) = arcsin g(x) хэлбэрийн тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү тул

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

анхны тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна:

(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Үүссэн системийг шийдье:

(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

Эхний тэгшитгэлээс Виетийн теоремыг ашиглан бид x = 1 эсвэл x = 7 байна. Системийн хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд бид 7 ≤ x ≤ 8 болохыг олж мэдэв. Тиймээс эцсийн хувилбарт зөвхөн x = 7 язгуур тохиромжтой. хариулах.

Хариулт: 7.

Жишээ 6.

Тэгшитгэлийг шийд: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.

Шийдэл.

arccos x = t байг, тэгвэл t нь сегментэд хамаарах ба тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

t 2 – 6t + 8 = 0. Үүссэн квадрат тэгшитгэлийг Виетийн теоремоор шийдвэл t = 2 эсвэл t = 4 болохыг олно.

t = 4 нь сегментэд хамаарахгүй тул бид t = 2, i.e. arccos x = 2, энэ нь x = cos 2 гэсэн үг.

Хариулт: cos 2.

Жишээ 7.

Тэгшитгэлийг шийд: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

Шийдэл.

arcsin x + arccos x = π/2 тэгшитгэлийг хэрэглэж тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье.

(arcsin x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

arcsin x = t, тэгвэл t нь [-π/2 хэрчимд хамаарна; π/2] ба тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.

Үүссэн тэгшитгэлийг шийдье:

t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Тэгшитгэл дэх бутархайг арилгахын тулд гишүүн бүрийг 9-ээр үржүүлбэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

18t 2 – 9πt + π 2 = 0.

Дискриминантыг олж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдье.

D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .

t = (9π – 3π) / 2 18 эсвэл t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 эсвэл t = 12π/36.

Буурсны дараа бидэнд:

t = π/6 эсвэл t = π/3. Дараа нь

arcsin x = π/6 эсвэл arcsin x = π/3.

Тиймээс x = sin π/6 эсвэл x = sin π/3. Энэ нь x = 1/2 эсвэл x =√3/2 гэсэн үг юм.

Хариулт: 1/2; √3/2.

Жишээ 8.

5nx 0 илэрхийллийн утгыг ол, энд n нь язгуурын тоо, x 0 нь 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2 тэгшитгэлийн сөрөг язгуур юм.

Шийдэл.

-π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2 тул -π ≤ 2 arcsin x ≤ π болно. Түүнээс гадна бүх бодит х-ийн хувьд (x + 1) 2 ≥ 0,
дараа нь -(x + 1) 2 ≤ 0 ба -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Тиймээс, тэгшитгэлийн хоёр тал нь нэгэн зэрэг -π-тэй тэнцүү байвал тэгшитгэл нь шийдэлтэй байж болно, өөрөөр хэлбэл. тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна:

(2 нуман х = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.

Үүссэн тэгшитгэлийн системийг шийдье.

(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид x = -1, n = 1, дараа нь 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5 байна.

Хариулт: -5.

Практикаас харахад урвуу тригонометрийн функц бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвар нь шалгалтыг амжилттай өгөх зайлшгүй нөхцөл юм. Тийм ч учраас ийм асуудлыг шийдвэрлэх сургалт нь улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхэд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд заавал байх ёстой.

Асуулт хэвээр байна уу? Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд -.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Урвуу тригонометрийн функцууд нь тригонометрийн функцүүдийн урвуу утгатай математик функцууд юм.

y=arcsin(x) функц

α тооны нумын синус нь [-π/2;π/2] интервалаас α тоо бөгөөд синус нь α-тай тэнцүү байна.
Функцийн график
[-π/2;π/2] интервал дээрх у= sin⁡(x) функц нь хатуу нэмэгдэж, тасралтгүй байна; тиймээс энэ нь урвуу функцтэй, хатуу нэмэгдэж, үргэлжилдэг.
y= sin⁡(x) функцийн урвуу функцийг x ∈[-π/2;π/2] бол нумын синус гэж нэрлэх ба y=arcsin(x), энд x∈[-1;1 ].
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу арксинусын тодорхойлолтын муж нь [-1;1] сегмент, утгын багц нь [-π/2;π/2] сегмент юм.
y=arcsin(x) функцийн график нь x ∈[-1;1] нь y= sin(⁡x) функцийн графиктай тэгш хэмтэй болохыг анхаарна уу, энд x∈[-π/2;π /2], координатын өнцгийн 1 ба 3-р улирлын биссектрисын хувьд.

Функцийн муж y=arcsin(x).

Жишээ №1.

arcsin(1/2)-г олох уу?

arcsin(x) функцийн утгын муж нь [-π/2;π/2] интервалд хамаарах тул зөвхөн π/6 утга тохиромжтой. Тиймээс arcsin(1/2) =π/. 6.
Хариулт:π/6

Жишээ №2.
arcsin(-(√3)/2) олох уу?

arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] утгын мужид зөвхөн -π/3 утга тохирох тул arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

y=arccos(x) функц

α тооны нумын косинус нь косинус нь α-тай тэнцүү интервалаас α тоо юм.

Функцийн график

Сегмент дээрх y= cos(⁡x) функц нь хатуу бууралттай ба тасралтгүй; тиймээс энэ нь урвуу функцтэй, хатуу буурч, үргэлжилдэг.
x ∈ y= cos⁡x функцийн урвуу функцийг дуудна нуман косинусба y=arccos(x)-ээр тэмдэглэнэ, энд x ∈[-1;1].
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу нумын косинусын тодорхойлолтын муж нь [-1;1] сегмент, утгын багц нь сегмент юм.
y=arccos(x) функцийн график нь x ∈[-1;1] нь y= cos(⁡x) функцийн графиктай тэгш хэмтэй байна, энд x ∈, биссектрисатай харьцаж байгааг анхаарна уу. эхний ба гуравдугаар улирлын координат өнцөг.

Функцийн муж y=arccos(x).

Жишээ №3.

Arccos(1/2) олох уу?

arccos(x) функцийн утгын муж нь интервалд хамаарах тул зөвхөн 3π/4 утга тохиромжтой. Тиймээс arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Хариулт: 3π/4

y=arctg(x) функц

α тооны артангенс нь [-π/2;π/2] интервалаас α тоо бөгөөд тангенс нь α-тай тэнцүү байна.

Функцийн график

Шүргэх функц нь тасралтгүй бөгөөд интервал дээр хатуу нэмэгддэг (-π/2;π/2); тиймээс энэ нь тасралтгүй бөгөөд хатуу өсөх урвуу функцтэй.
y= tan⁡(x) функцийн урвуу функц, энд x∈(-π/2;π/2); арктангенс гэж нэрлэгдэх ба y=arctg(x) гэж тэмдэглэсэн бөгөөд энд x∈R.
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу артангенсийн тодорхойлолтын муж нь интервал (-∞;+∞), утгын багц нь интервал юм.
(-π/2;π/2).
y=arctg(x) функцийн график нь x∈R нь y= tan⁡x функцийн графиктай тэгш хэмтэй, энд x ∈ (-π/2;π/2) -тай харьцуулахад тэгш хэмтэй болохыг анхаарна уу. эхний болон гуравдугаар улирлын координатын өнцгийн биссектрис.

Функцийн муж y=arctg(x).

Жишээ №5?

arctan((√3)/3)-ийг олоорой.

arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) утгын мужид зөвхөн π/6 утга тохиромжтой. Тиймээс arctg((√3)/3) =π/6.
Жишээ № 6.
arctg(-1)-г олох уу?

arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) утгын мужид зөвхөн -π/4 утга тохирох тул arctg(-1) = - π/4 байна.

y=arcctg(x) функц

Функцийн график

(0;π) интервал дээр котангентын функц хатуу буурдаг; үүнээс гадна энэ интервалын цэг бүрт тасралтгүй үргэлжилдэг; тиймээс (0;π) интервал дээр энэ функц нь урвуу функцтэй бөгөөд энэ нь хатуу буурч, үргэлжилдэг.
y=ctg(x) функцийн урвуу функцийг x ∈(0;π) гэж нэрлэх ба y=arcctg(x), энд x∈R гэж тэмдэглэнэ.
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу арккотангенсийн тодорхойлолтын муж нь R байх ба утгын олонлог нь y=arcctg(x) интервал байх болно. , энд x∈R нь y=ctg(x) x∈(0 ;π) функцийн графиктай тэгш хэмтэй, эхний ба гуравдугаар улирлын координатын өнцгийн биссектрисатай харьцуулахад.

Функцийн муж y=arcctg(x).

Жишээ № 8.
arcctg(-(√3)/3)-г олох уу?

Утгын муж нь arcctg(x) x∈(0;π) тул зөвхөн 2π/3 утга тохиромжтой. Тиймээс arccos(-(√3)/3) = 2π/3 байна.

Редактор: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна