Бөмбөг (бөмбөрцөг)
Бөмбөрцөг гадаргуу. Бөмбөг (бөмбөрцөг). Бөмбөгний хэсгүүд: тойрог.
Архимедийн теорем. Бөмбөгний хэсгүүд: бөмбөрцөг сегмент,
бөмбөрцөг давхарга, бөмбөрцөг бүс, бөмбөрцөг сектор.
Бөмбөрцөг гадаргуу - Энэ цэгүүдийн байршил(тэдгээр. олонбүх цэгийн тоо)орон зайд, нэг цэгээс ижил зайд О , бөмбөрцөг гадаргуугийн төв гэж нэрлэдэг (Зураг 90). Радиус AOi диаметр AB тойрог хэлбэрээр тодорхойлогддог.
Бөмбөг (бөмбөрцөг) - Энэ бөмбөрцөг гадаргуугаар хязгаарлагдсан бие.Чадах хагас тойргийг эргүүлж бөмбөг авах (эсвэл тойрог ) диаметр орчимд. Бөмбөгний бүх хавтгай хэсгүүд нь тойрог (Зураг.90 ). Хамгийн том тойрог нь бөмбөгний төвийг дайран өнгөрөх хэсэгт байрладаг бөгөөд үүнийг нэрлэдэг том тойрог. Түүний радиус нь бөмбөгний радиустай тэнцүү байна. Дурын хоёр том тойрог бөмбөгний диаметрийн дагуу огтлолцоно ( AB, зураг.91 ).Энэ диаметр нь мөн том тойргийн огтлолцох диаметр юм. Ижил диаметртэй төгсгөлд байрлах бөмбөрцөг гадаргуугийн хоёр цэгээр дамжуулан(А ба Б, Зураг 91 ), та тоо томшгүй олон том тойрог зурж болно. Жишээлбэл, дэлхийн туйлуудыг хязгааргүй олон тооны меридиануудыг зурж болно.
Бөмбөрцгийн эзэлхүүн нь түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн цилиндрийн эзэлхүүнээс нэг хагас дахин бага байна. (Зураг 92 ), А бөмбөгний гадаргуу нь ижил цилиндрийн нийт гадаргуугаас нэг хагас дахин бага ( Архимедийн теорем):
Энд С бөмбөг Тэгээд В бөмбөг - бөмбөгний гадаргуу ба эзэлхүүн тус тус;
С цилиндр Тэгээд В цилиндр - хязгаарлагдсан цилиндрийн нийт гадаргуу ба эзэлхүүн.
Бөмбөгний хэсгүүд. Бөмбөгний хэсэг (бөмбөрцөг) ), түүнээс ямар нэгэн онгоцоор таслагдсан ( ABC, Зураг 93), дуудсан бөмбөг(бөмбөрцөг хэлбэртэй ) сегмент. ABC дугуйл дуудсан суурьбөмбөг сегмент. Шугамын сегментМ.Н төвөөс татсан перпендикуляр N тойрог ABC бөмбөрцөг гадаргуутай огтлолцох хүртэл гэж нэрлэдэг өндөрбөмбөг сегмент. ЦэгМ дуудсан дээдбөмбөг сегмент.
Хоёр зэрэгцээ хавтгайн хооронд хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн хэсэг ABC ба DEF нь бөмбөрцөг гадаргуутай огтлолцдог (Зураг 93), дуудсан бөмбөрцөг давхарга; бөмбөрцөг давхаргын муруй гадаргууг гэж нэрлэдэг бөмбөг бүс(бүс). Тойрог ABC ба DEF – үндэслэлбөмбөг бүс. ЗайН.К. бөмбөрцөг туузны суурийн хооронд - түүний өндөр. Бөмбөрцөг сегментийн муруй гадаргуугаар хүрээлэгдсэн бөмбөгний хэсэг ( AMCB, Зураг.93) ба конус гадаргуу OABC , түүний суурь нь сегментийн суурь ( ABC ), орой нь бөмбөгний төв юмО , дуудсан бөмбөрцөг хэлбэртэй салбар.
Бөмбөг ба бөмбөрцөг нь юуны түрүүнд геометрийн дүрс бөгөөд хэрэв бөмбөг нь геометрийн бие бол бөмбөрцөг нь бөмбөгний гадаргуу юм. Эдгээр тоо баримтууд МЭӨ олон мянган жилийн өмнө сонирхолтой байсан.
Дараа нь дэлхий бол бөмбөг, тэнгэр бол огторгуйн бөмбөрцөг гэдгийг олж мэдсэнээр геометрийн шинэ сонирхолтой чиглэл - бөмбөрцөг дээрх геометр эсвэл бөмбөрцөг геометрийг бий болгосон. Бөмбөгний хэмжээ, эзэлхүүний талаар ярихын тулд эхлээд үүнийг тодорхойлох хэрэгтэй.
Бөмбөг
Геометрийн О цэгт төвтэй R радиустай бөмбөлөг нь орон зайн нийтлэг шинж чанартай бүх цэгүүдээс үүссэн бие юм. Эдгээр цэгүүд нь бөмбөгний радиусаас хэтрэхгүй зайд байрладаг, өөрөөр хэлбэл бөмбөгний радиусаас бага зайг түүний төвөөс бүх чиглэлд дүүргэдэг. Хэрэв бид зөвхөн бөмбөгний төвөөс ижил зайд байгаа цэгүүдийг авч үзвэл түүний гадаргуу эсвэл бөмбөгний бүрхүүлийг авч үзэх болно.
Би бөмбөгийг яаж авах вэ? Бид цаасан дээрээс тойрог хайчилж, түүний диаметрийг тойрон эргүүлж эхэлнэ. Өөрөөр хэлбэл, тойргийн диаметр нь эргэлтийн тэнхлэг байх болно. Үүссэн дүрс нь бөмбөг байх болно. Тиймээс бөмбөгийг хувьсгалын бие гэж нэрлэдэг. Яагаад гэвэл энэ нь хавтгай дүрсийг эргүүлэх замаар үүсгэж болно - тойрог.
Онгоц аваад бөмбөгөө түүгээр таслацгаая. Яг л бид жүржийг хутгаар зүссэн шиг. Бөмбөлөгөөс бидний тасалсан хэсгийг бөмбөрцөг сегмент гэж нэрлэдэг.
Эртний Грекд тэд бөмбөг, бөмбөрцөгтэй геометрийн дүрс хэлбэрээр хэрхэн ажиллахыг мэддэг байсан, жишээлбэл, тэдгээрийг барилгын ажилд ашиглахаас гадна бөмбөгний гадаргуугийн талбай, бөмбөгний эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолохыг мэддэг байв.
Бөмбөрцөг бол бөмбөгний гадаргуугийн өөр нэр юм. Бөмбөрцөг бол бие биш - энэ бол хувьсгалт биеийн гадаргуу юм. Гэсэн хэдий ч дэлхий болон олон биетүүд хоёулаа бөмбөрцөг хэлбэртэй байдаг, тухайлбал усны дусал байдаг тул бөмбөрцөг доторх геометрийн харилцааг судлах нь өргөн тархсан.
Жишээлбэл, хэрэв бид бөмбөрцгийн хоёр цэгийг хооронд нь шулуун шугамаар холбовол энэ шулуун шугамыг хөвч гэж нэрлэх бөгөөд хэрэв энэ хөвч нь бөмбөгний төвтэй давхцаж байгаа бөмбөрцгийн төвийг дайран өнгөрвөл дараа нь хөвчийг бөмбөрцгийн диаметр гэж нэрлэнэ.
Хэрэв бид бөмбөрцөгт зөвхөн нэг цэгт хүрч байгаа шулуун шугам татах юм бол энэ шугамыг шүргэгч гэж нэрлэнэ. Нэмж хэлэхэд, энэ цэг дэх бөмбөрцөгт шүргэгч нь контактын цэг рүү татсан бөмбөрцгийн радиустай перпендикуляр байх болно.
Хэрэв бид хөвчийг бөмбөрцөгөөс нэг чиглэлд эсвэл нөгөө чиглэлд шулуун шугам руу сунгавал энэ хөвчийг секант гэж нэрлэнэ. Эсвэл бид үүнийг өөрөөр хэлж болно - бөмбөрцөг рүү чиглүүлэх хэсэг нь хөвчийг агуулдаг.
Бөмбөгний хэмжээ
Бөмбөгний эзлэхүүнийг тооцоолох томъёо нь:
Энд R нь бөмбөгний радиус юм.
Хэрэв та бөмбөрцөг сегментийн эзлэхүүнийг олох шаардлагатай бол дараах томъёог ашиглана уу.
V seg =πh 2 (R-h/3), h нь бөмбөрцөг сегментийн өндөр.
Бөмбөг эсвэл бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай
Бөмбөрцгийн талбай эсвэл бөмбөгний гадаргуугийн талбайг тооцоолохын тулд (тэдгээр нь ижил зүйл):
Энд R нь бөмбөрцгийн радиус юм.
Архимед бөмбөг, бөмбөрцөгт маш их дуртай байсан бөгөөд тэр ч байтугай булшин дээрээ цилиндрт бөмбөг бичсэн зураг үлдээхийг хүссэн. Архимед бөмбөгний эзэлхүүн ба түүний гадаргуу нь бөмбөгийг сийлсэн цилиндрийн хэмжээ ба гадаргуугийн гуравны хоёртой тэнцүү гэж үздэг."
2-р бүлэгт бид "бүтцийн геометр" -ийг үргэлжлүүлж, хамгийн чухал орон зайн дүрсүүд - бөмбөлөг ба бөмбөрцөг, цилиндр ба конус, призм ба пирамидуудын тухай ярих болно гэх мэт ., гэх мэт нь эдгээр дүрстэй адил хэлбэртэй хэсгүүдээс бүрдэнэ.
§ 4. БӨМБӨГ БА БӨМБӨГ
Шулуун шугам ба хавтгайн дараа бөмбөрцөг ба бөмбөг нь янз бүрийн шинж чанараараа баялаг хамгийн энгийн боловч маш чухал орон зайн дүрс юм. Бөмбөлөг ба түүний гадаргуу - бөмбөрцгийн геометрийн шинж чанаруудын талаар бүхэл бүтэн ном бичсэн. Эдгээр шинж чанаруудын заримыг эртний Грекийн геометрүүд мэддэг байсан бол заримыг нь сүүлийн жилүүдэд олж илрүүлсэн. Эдгээр шинж чанарууд нь (байгалийн шинжлэх ухааны хуулиудын хамт) яагаад жишээлбэл, селестиел биетүүд болон загасны өндөгнүүд бөмбөрцөг хэлбэртэй байдаг, яагаад ванн, хөл бөмбөгийн бөмбөгийг бөмбөг хэлбэртэй хийдэг, яагаад бөмбөгний холхивч нь технологид ийм түгээмэл байдгийг тайлбарладаг. гэх мэт. Бид бөмбөгний хамгийн энгийн шинж чанарыг л баталж чадна. Бусад, маш чухал шинж чанаруудын нотолгоо нь ихэвчлэн бүрэн бус аргуудыг ашиглахыг шаарддаг боловч ийм шинж чанарыг томъёолох нь маш энгийн байж болно: жишээлбэл, өгөгдсөн гадаргуугийн талбайтай бүх биетүүдийн дунд бөмбөг хамгийн их эзэлхүүнтэй байдаг.
4.1. Бөмбөрцөг ба бөмбөгний тодорхойлолт.
Бөмбөрцөг ба бөмбөгийг огторгуйд хавтгай дээрх тойрог, тойрогтой яг ижил байдлаар тодорхойлдог. Бөмбөрцөг нь өгөгдсөн цэгээс алслагдсан орон зайн бүх цэгүүдээс бүрдсэн дүрс юм.
ижил (эерэг) зайд өөр өөр цэгүүд.
Энэ цэгийг бөмбөрцгийн төв гэж нэрлэдэг бөгөөд зай нь түүний радиус юм (Зураг 4.1).
Тэгэхээр төв O, радиус R бүхий бөмбөрцөг нь орон зайн бүх X цэгээс үүссэн дүрс юм
Бөмбөлөг нь өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн (эерэг) зайнаас ихгүй зайд байрлах орон зайн бүх цэгүүдээс үүссэн дүрс юм. Энэ цэгийг бөмбөгний төв гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ зай нь түүний радиус юм.
Тэгэхээр төв нь O, R радиустай бөмбөг нь орон зайн бүх X цэгүүдээс бүрдсэн дүрс юм
Бөмбөрцөг үүсгэдэг төв нь O, R радиустай бөмбөгний X цэгүүд. Тэд энэ бөмбөрцөг нь өгөгдсөн бөмбөгийг хүрээлдэг эсвэл энэ нь түүний гадаргуу гэж хэлдэг.
Бөмбөгний дотор хэвтдэг гэж хэлдэг бөмбөгний X оноотой ойролцоо байна.
Бөмбөрцгийн (болон бөмбөг) радиусыг зөвхөн зай төдийгүй бөмбөрцөг дээрх цэгтэй төвийг холбосон сегмент гэж нэрлэдэг.
ГЕометр
II хэсэг. СТЕРЕометр
§22. БӨМБӨГ. ХҮРЭЭ.
1. Бөмбөг ба бөмбөрцгийн тодорхойлолт. Бөмбөг ба бөмбөрцгийн элементүүд.
Сум нь түүний диаметрийг агуулсан тэнхлэгийн эргэн тойронд тойргийн эргэлтээс үүссэн геометрийн бие юм (Зураг 500).
Эргэдэг тойргийн төвийг бөмбөгний төв, тойргийн радиусыг бөмбөгний радиус, тойргийн диаметрийг бөмбөгний диаметр гэнэ. 500-р зурагт О цэг нь бөмбөгний төв, OA ба OB нь бөмбөгний радиус, AB нь бөмбөгний диаметр юм.
Бөмбөгний гадаргууг бөмбөрцөг гэж нэрлэдэг.
Бөмбөрцгийн төв, радиус, диаметр нь мөн бөмбөрцгийн төв, радиус, диаметр юм.
Бөмбөрцөг дээрх бүх цэгүүд бөмбөрцгийн төвөөс ижил зайд, радиустай тэнцүү байна. Бөмбөгний бусад цэгүүдийг бөмбөрцөгт хамааралгүй дотоод цэгүүд гэж нэрлэдэг. Бөмбөгний дотоод цэгүүд нь бөмбөгний төвөөс радиусаас бага зайд байрладаг.
Ийнхүү бид бөмбөрцөг, бөмбөг гэсэн өөр нэг тодорхойлолт руу орлоо.
Бөмбөрцөг гэдэг нь нэг цэгээс ижил зайд орших орон зайн бүх цэгүүдээс тогтсон гадаргуу юм. Энэ цэгийг бөмбөрцгийн төв гэж нэрлэдэг бөгөөд бөмбөрцгийн төвөөс түүний аль нэг цэг хүртэлх зай нь бөмбөрцгийн радиус юм.
Сум нь өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн цэгээс холгүй зайд байрлах орон зайн бүх цэгүүдээс бүрдэх геометрийн бие юм. Энэ цэгийг бөмбөгний төв гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ зайг бөмбөгний радиус гэж нэрлэдэг.
Жишээ. Бөмбөрцгийн радиус нь 3.5 см А цэг нь бөмбөрцгийн төвөөс хол байвал бөмбөрцгийн дотор эсвэл гадна талд байрлана: 1) см, 2)см.
Бөмбөг гэдэг нь өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн цэгээс ихгүй зайд байрлах орон зайн бүх цэгүүдээс бүрдсэн бие юм. Энэ цэгийг бөмбөгний төв гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ зайг бөмбөгний радиус гэж нэрлэдэг. Бөмбөгний хилийг бөмбөрцөг гадаргуу эсвэл бөмбөрцөг гэж нэрлэдэг. Бөмбөрцгийн цэгүүд нь радиустай тэнцүү зайд төвөөс хасагдсан бөмбөгний бүх цэгүүд юм. Бөмбөгний төвийг бөмбөрцөг гадаргуу дээрх цэгтэй холбосон аливаа сегментийг мөн радиус гэж нэрлэдэг. Бөмбөгний төвийг дайран өнгөрч, бөмбөрцөг гадаргуу дээрх хоёр цэгийг холбосон сегментийг диаметр гэж нэрлэдэг. Аливаа диаметрийн төгсгөлийг бөмбөгний диаметрийн эсрэг цэг гэж нэрлэдэг.
Бөмбөг бол конус, цилиндртэй адил хувьсгалт бие юм. Бөмбөгийг тэнхлэг болгон диаметрийг тойрон хагас тойргийг эргүүлэх замаар олж авдаг.
Бөмбөгний гадаргуугийн талбайг дараах томъёогоор олж болно.
Энд r нь бөмбөгний радиус, d нь бөмбөгний диаметр юм.
Бөмбөгний эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор олно.
V = 4/3 πr 3,
Энд r нь бөмбөгний радиус юм.
Теорем. Онгоцоор хийсэн бөмбөгний хэсэг бүр тойрог юм. Энэ тойргийн төв нь бөмбөгний төвөөс зүсэх хавтгай руу татсан перпендикулярын суурь юм.
Энэ теорем дээр үндэслэн хэрэв төв нь O, R радиустай бөмбөгийг α хавтгайтай огтлолцвол хөндлөн огтлолын үр дүнд К төвтэй r радиустай тойрог үүснэ. Бөмбөгийг онгоцоор огтлох радиусыг олж болно. томъёогоор
Томьёоноос харахад төвөөс ижил зайд байгаа онгоцууд бөмбөгийг тэнцүү тойрог хэлбэрээр огтолж байгаа нь тодорхой байна. Хэсгийн радиус их байх тусам зүсэх хавтгай нь бөмбөгний төв рүү ойртох тусам OK зай бага байх болно. Хамгийн том радиус нь бөмбөгний төвийг дайран өнгөрч буй хавтгайн хэсэгтэй. Энэ тойргийн радиус нь бөмбөгний радиустай тэнцүү байна.
Бөмбөгний төвөөр дамжин өнгөрөх онгоцыг төвийн хавтгай гэж нэрлэдэг. Бөмбөлгийн диаметрийн хавтгайд огтлолцсон хэсгийг том тойрог, бөмбөрцгийн огтлолыг их тойрог, бөмбөрцгийн огтлолыг том тойрог гэж нэрлэдэг.
Теорем. Бөмбөгний диаметраль хавтгай нь түүний тэгш хэмийн хавтгай юм. Бөмбөгний төв нь түүний тэгш хэмийн төв юм.
Бөмбөрцөг гадаргуугийн А цэгийг дайран өнгөрч, А цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр байрлах хавтгайг шүргэгч хавтгай гэнэ. А цэгийг шүргэгч цэг гэж нэрлэдэг.
Теорем. Шүргэдэг онгоц нь бөмбөгтэй зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй байдаг - холбоо барих цэг.
Энэ цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр бөмбөрцөг гадаргуугийн А цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг шүргэгч гэнэ.
Теорем. Бөмбөрцөг гадаргуу дээрх дурын цэгээр хязгааргүй тооны шүргэгч дамжих ба тэдгээр нь бүгд бөмбөгний шүргэгч хавтгайд оршдог.
Бөмбөрцөг сегмент нь бөмбөгөөс онгоцоор таслагдсан хэсэг юм. ABC тойрог нь бөмбөрцөг сегментийн суурь юм. ABC тойргийн N төвөөс бөмбөрцөг гадаргуутай огтлолцох цэг хүртэлх MN перпендикуляр хэрчмийг бөмбөрцөг сегментийн өндөр гэнэ. М цэг нь бөмбөрцөг сегментийн орой юм.
Бөмбөрцөг сегментийн гадаргуугийн талбайг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.
Бөмбөрцөг сегментийн эзлэхүүнийг дараах томъёогоор олж болно.
V = πh 2 (R – 1/3h),
Энд R нь том тойргийн радиус, h нь бөмбөрцөг сегментийн өндөр юм.
Бөмбөрцөг сегментийг бөмбөрцөг сегмент ба конусаас дараах байдлаар олж авна. Хэрэв бөмбөрцөг сегмент нь хагас бөмбөрцөгөөс бага бол бөмбөрцөг сегментийг конусаар нөхөж, орой нь бөмбөгний төвд байрладаг бөгөөд суурь нь сегментийн суурь юм. Хэрэв сегмент нь хагас бөмбөрцөгөөс том бол заасан конусыг түүнээс зайлуулна.
Бөмбөрцөг сектор нь бөмбөрцөг сегментийн муруй гадаргуу (бидний зураг дээр энэ нь AMCB) ба конус гадаргуу (бидний зураг дээр энэ нь OABC) -ээр хязгаарлагдах бөмбөгний хэсэг бөгөөд түүний суурь нь бөмбөрцөг хэлбэртэй хэсэг юм. сегмент (ABC), орой нь О бөмбөгний төв юм.
Бөмбөрцөг хэлбэрийн эзлэхүүнийг дараах томъёогоор олно.
V = 2/3 πR 2 H.
Бөмбөрцөг давхарга нь бөмбөрцөг гадаргууг огтолж буй хоёр зэрэгцээ хавтгай (зураг дээрх ABC ба DEF хавтгай) хооронд бэхлэгдсэн бөмбөгний хэсэг юм. Бөмбөрцөг давхаргын муруй гадаргууг бөмбөрцөг бүс (бүс) гэж нэрлэдэг. ABC ба DEF тойрог нь бөмбөрцөг бүслүүрийн суурь юм. Бөмбөрцөг туузны суурийн хоорондох NK зай нь түүний өндөр юм.
вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.
