Тригонометрийн функцууд- "Нүглийн" хүсэлтийг энд дахин чиглүүлсэн; бусад утгыг мөн үзнэ үү. "сек" хүсэлтийг энд дахин чиглүүлсэн; бусад утгыг мөн үзнэ үү. "Sine" хүсэлтийг энд дахин чиглүүлсэн; бусад утгыг бас үзнэ үү... Википедиа
Бор
Цагаан будаа. 1 Тригонометрийн функцүүдийн график: синус, косинус, тангенс, секант, косекант, котангенс Тригонометрийн функцууд нь энгийн функцүүдийн нэг төрөл юм. Эдгээрт ихэвчлэн синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Wikipedia орно.
Косинус- Будаа. 1 Тригонометрийн функцүүдийн график: синус, косинус, тангенс, секант, косекант, котангенс Тригонометрийн функцууд нь энгийн функцүүдийн нэг төрөл юм. Эдгээрт ихэвчлэн синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Wikipedia орно.
Котангенс- Будаа. 1 Тригонометрийн функцүүдийн график: синус, косинус, тангенс, секант, косекант, котангенс Тригонометрийн функцууд нь энгийн функцүүдийн нэг төрөл юм. Эдгээрт ихэвчлэн синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Wikipedia орно.
Секант- Будаа. 1 Тригонометрийн функцүүдийн график: синус, косинус, тангенс, секант, косекант, котангенс Тригонометрийн функцууд нь энгийн функцүүдийн нэг төрөл юм. Эдгээрт ихэвчлэн синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Wikipedia орно.
Тригонометрийн түүх- Геодезийн хэмжилт (XVII зуун) ... Википедиа
Хагас өнцгийн тангенсийн томъёо- Тригонометрийн хувьд хагас өнцгийн тангенс нь хагас өнцгийн тангенсыг бүтэн өнцгийн тригонометрийн функцуудтай холбодог: Энэ томьёоны өөрчлөлтүүд дараах байдалтай байна... Wikipedia
Тригонометр- (Грек хэлнээс τρίγονο (гурвалжин) ба Грекийн μετρειν (хэмжих), өөрөөр хэлбэл гурвалжны хэмжилт) нь тригонометрийн функцууд болон тэдгээрийн геометрийн хэрэглээг судалдаг математикийн салбар юм. Энэ нэр томьёо анх 1595 онд... ... Википедиа гэж гарч ирсэн
Гурвалжин шийдвэрлэх- (лат. solutio triangulorum) тригонометрийн үндсэн асуудлын шийдэл гэсэн утгатай түүхэн нэр томьёо: гурвалжингийн (тал, өнцөг гэх мэт) мэдэгдэж буй өгөгдлийг ашиглан түүний үлдсэн шинж чанарыг олох. Гурвалжин нь... ... Википедиа дээр байрлаж болно
Номууд
- Хүснэгтийн багц. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10-р анги. 17 хүснэгт + арга зүй, . Хүснэгтийг 680 х 980 мм хэмжээтэй зузаан хэвлэмэл картон дээр хэвлэв.
- Энэхүү хэрэгсэлд багш нарт зориулсан заах заавар бүхий товхимол багтсан болно.
Энэ нийтлэлд бид цогцоор нь авч үзэх болно. Тригонометрийн үндсэн адилтгалууд нь нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн хооронд холбоо тогтоож, эдгээр тригонометрийн функцүүдийн аль нэгийг нь мэдэгдэж буй нөгөө өнцгөөр олох боломжийг олгодог тэгшитгэлүүд юм.
Энэ нийтлэлд дүн шинжилгээ хийх үндсэн тригонометрийн шинж чанаруудыг нэн даруй жагсаацгаая. Тэдгээрийг хүснэгтэд бичээд доор нь эдгээр томъёоны гаралтыг өгч, шаардлагатай тайлбаруудыг өгнө.
Хуудасны навигаци.
Нэг өнцгийн синус ба косинусын хамаарал
Заримдаа тэд дээрх хүснэгтэд жагсаасан үндсэн тригонометрийн таних тэмдгүүдийн талаар ярьдаггүй, харин нэг ганц зүйлийн тухай ярьдаг үндсэн тригонометрийн таних тэмдэгтөрлийн 
. Энэ баримтын тайлбар нь маш энгийн: үндсэн тригонометрийн шинж чанараас түүний аль алиныг нь тус тусад нь хуваасны дараа тэгш байдлыг олж авдаг. 
Тэгээд 
синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоос дагана. Энэ талаар бид дараагийн догол мөрүүдэд илүү дэлгэрэнгүй ярих болно.
Өөрөөр хэлбэл, гол тригонометрийн таних тэмдэг гэж нэрлэгдсэн тэгш байдал нь онцгой анхаарал татаж байна.
Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг батлахын өмнө бид түүний томъёоллыг өгдөг: нэг өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр нь нэгтэй ижил байна. Одоо үүнийг баталъя.
Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг нь ихэвчлэн хэрэглэгддэг үед тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэх. Энэ нь нэг өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрийг нэгээр солих боломжийг олгодог. Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг урвуу дарааллаар ашигладаг: нэгжийг аль ч өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрээр солино.
Синус ба косинусын шүргэгч ба котангенс
Нэг харах өнцгийн синус ба котангенстай тангенс ба котангенсыг холбосон таних тэмдэг ба 
синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг шууд дагаж мөрдөөрэй. Үнэн хэрэгтээ, тодорхойлолтоор бол синус нь у-ийн ординат, косинус нь х-ийн абсцисса, тангенс нь ординатыг абсциссатай харьцуулсан харьцаа юм. 
, ба котангенс нь абсцисс ба ордны харьцаа, өөрөөр хэлбэл, 
.
Ийм тодорхой байдлын ачаар таних тэмдэг болон Тангенс ба котангенсыг ихэвчлэн абсцисса ба ординатын харьцаагаар биш, харин синус ба косинусын харьцаагаар тодорхойлдог. Тэгэхээр өнцгийн тангенс нь синусыг энэ өнцгийн косинусын харьцаа, котангенс нь косинусын синустай харьцуулсан харьцаа юм.
Энэ догол мөрийн төгсгөлд хэн болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй Эдгээрт багтсан тригонометрийн функцууд утга учиртай бүх өнцөгт явагдана. Тэгэхээр томьёо нь (эс тэгвэл хуваагч нь тэг байх болно, тэгээр хуваахыг бид тодорхойлоогүй) болон томьёоны хувьд хүчинтэй байна. - for all , өөр , энд z нь дурын .
Тангенс ба котангенс хоорондын хамаарал
Өмнөх хоёроос илүү тодорхой тригонометрийн ижилсэл нь хэлбэрийн нэг өнцгийн тангенс ба котангенсыг холбосон ижил төстэй байдал юм. . -ээс бусад өнцөгт тохирох нь ойлгомжтой, эс бөгөөс шүргэгч эсвэл котангенс тодорхойлогдоогүй болно.
Томъёоны баталгаа маш энгийн. Тодорхойлолтоор, хаанаас 
. Нотлох баримтыг арай өөрөөр хийж болох байсан. Түүнээс хойш , Тэр 
.
Тэгэхээр тэдгээрийн утга учиртай ижил өнцгийн тангенс ба котангенс нь .
Энэ бол В11 асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай сүүлчийн бөгөөд хамгийн чухал хичээл юм. Бид өнцгийг радиан хэмжигдэхүүнээс градусын хэмжигдэхүүн рүү хэрхэн хөрвүүлэхийг аль хэдийн мэддэг ("Өнцгийн радиан ба градусын хэмжүүр" хичээлийг үзнэ үү), мөн координатын дөрөвний нэг дээр анхаарлаа төвлөрүүлж тригонометрийн функцийн тэмдгийг хэрхэн тодорхойлохыг мэддэг. "Тригонометрийн функцүүдийн шинж тэмдгүүд" хичээлийг үзнэ үү).
Хийх цорын ганц зүйл бол функцийн утгыг өөрөө тооцоолох явдал юм - хариултанд бичигдсэн тоо. Эндээс тригонометрийн үндсэн шинж чанар нь аврах ажилд ирдэг.
Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг. Аливаа α өнцгийн хувьд дараах мэдэгдэл үнэн байна.
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Энэ томьёо нь нэг өнцгийн синус ба косинусыг холбодог. Одоо бид синусыг мэдэж байгаа тул косинусыг хялбархан олох боломжтой - мөн эсрэгээр. Квадрат язгуурыг авахад хангалттай:
Үндэсний урд байрлах "±" тэмдгийг анхаарна уу. Тригонометрийн үндсэн шинж чанараас харахад анхны синус ба косинус нь эерэг эсвэл сөрөг аль нь байсан нь тодорхойгүй байна. Эцсийн эцэст квадрат болгох нь бүх сул талыг (хэрэв байгаа бол) "шатдаг" тэгш функц юм.
Тийм ч учраас математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд орсон В11 бүх асуудалд шинж тэмдгүүдийн тодорхой бус байдлаас ангижрахад туслах нэмэлт нөхцөлүүд заавал байх ёстой. Ихэвчлэн энэ нь тэмдгийг тодорхойлж болох координатын улирлын үзүүлэлт юм.
Анхааралтай уншигч: "Шүргэгч ба котангенс яах вэ?" гэж асуух байх. Дээрх томъёоноос эдгээр функцийг шууд тооцоолох боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч, аль хэдийн шүргэгч ба котангенс агуулсан үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын чухал үр дагаварууд байдаг. Тухайлбал:
Чухал үр дүн: дурын α өнцгийн хувьд тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
Эдгээр тэгшитгэлийг үндсэн таних тэмдэгээс амархан гаргаж авдаг - хоёр талыг cos 2 α (шүргээ авахын тулд) эсвэл sin 2 α (котангенсыг олж авах) -аар хуваахад хангалттай.
Энэ бүхнийг тодорхой жишээн дээр авч үзье. 2012 оны Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын туршилтын хувилбаруудаас авсан бодит В11 бодлогуудыг доор харуулав.
Бид косинусыг мэддэг ч синусыг мэддэггүй. Гол тригонометрийн таних тэмдэг ("цэвэр" хэлбэрээр) эдгээр функцуудыг холбодог тул бид үүнтэй ажиллах болно. Бидэнд байгаа:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ син 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0.1.
Асуудлыг шийдэхийн тулд синусын тэмдгийг олох хэрэгтэй. Өнцөг α ∈ (π /2; π ) тул градусын хэмжүүрээр үүнийг дараах байдлаар бичнэ: α ∈ (90°; 180°).
Тиймээс α өнцөг нь координатын хоёрдугаар хэсэгт байрладаг - бүх синусууд эерэг байна. Тиймээс sin α = 0.1.
Тиймээс бид синусыг мэддэг ч косинусыг олох хэрэгтэй. Эдгээр функцууд хоёулаа тригонометрийн үндсэн шинж чанарт байдаг. Орлуулж үзье:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0.5.
Энэ нь бутархайн урд талын тэмдэгтэй харьцах хэвээр байна. Юу сонгох вэ: нэмэх эсвэл хасах уу? Нөхцөлөөр α өнцөг нь интервалд хамаарна (π 3π /2). Радиан хэмжигдэхүүнээс өнцгийг градус болгон хөрвүүлье - бид дараахийг авна: α ∈ (180°; 270°).
Мэдээжийн хэрэг, энэ нь косинусууд сөрөг байх III координатын улирал юм. Тиймээс cos α = -0.5.
Даалгавар. Дараах нь мэдэгдэж байгаа бол tan α-г ол.
Тангенс ба косинус нь үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын дараах тэгшитгэлээр холбогдоно.
Бид авна: tan α = ±3. Шүргэгчийн тэмдгийг α өнцгөөр тодорхойлно. α ∈ (3π /2; 2π ) гэдгийг мэддэг. Радиан хэмжигдэхүүнээс өнцгийг градус болгон хөрвүүлье - бид α ∈ (270°; 360°) авна.
Мэдээжийн хэрэг, энэ нь бүх шүргэгч сөрөг байх IV координатын улирал юм. Тиймээс tan α = -3.
Даалгавар. Дараах нь мэдэгдэж байгаа бол cos α-г ол.
Дахин синус нь мэдэгдэж, косинус нь тодорхойгүй байна. Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг бичье.
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0.64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0.36 ⇒ cos α = ±0.6.
Тэмдгийг өнцгөөр тодорхойлно. Бидэнд: α ∈ (3π /2; 2π ). Өнцгийг градусаас радиан руу хөрвүүлье: α ∈ (270°; 360°) нь IV координатын дөрөвний нэг, тэнд байгаа косинусууд эерэг байна. Тиймээс cos α = 0.6.
Даалгавар. Дараах нь мэдэгдэж байгаа бол нүгэл α-г ол.
Тригонометрийн үндсэн шинж чанараас үүссэн, синус ба котангенсыг шууд холбосон томьёог бичье.
Эндээс бид нүгэл 2 α = 1/25, i.e. sin α = ±1/5 = ±0.2. α ∈ (0; π /2) өнцөг гэдгийг мэддэг. Зэрэглэлийн хэмжүүрээр үүнийг дараах байдлаар бичнэ: α ∈ (0°; 90°) - I координат улирал.
Тиймээс өнцөг нь I координатын квадратад байна - тэнд байгаа бүх тригонометрийн функцууд эерэг тул sin α = 0.2 байна.
Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд түүн рүү нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com
Слайдын тайлбар:
Хэдий англи хэл хэн нэгэнд үнэ цэнэтэй байсан ч хими нь хэн нэгэнд чухал, Бид бүгдэд математикгүй ч энд ч, тэнд ч биш Тэгшитгэлүүд бидний хувьд шүлэг шиг, синусууд бидний сүнсийг дэмждэг Косинусууд нь бидний хувьд дуу шиг, Тригонометрийн томъёонууд Бидний чихийг энхрийлж байгаарай!
Хичээлийн сэдэв: “Үндсэн тригонометрийн адилтгалууд. Асуудал шийдэх." Мэдэх: Чадна: Хичээлийн зорилго:
БИ МЭДНЭ! БИ ЧАДНА! БИ ШИЙДЭХ БОЛНО! I
Нэгж тойргийг юу гэж нэрлэдэг вэ? x y α R
Нэгж радиусын эргэлтийн ямар чиглэлийг мэддэг вэ? x y α R
Нэгж радиусын эргэлтийн өнцгийг ямар нэгжээр хэмжих вэ? x y α R
Нэг радианы өнцөг гэж юу вэ? 1 радиантай өнцөгт ойролцоогоор хэдэн градус байх вэ? x y α R
Өнцгийн хэмжүүрээс радиан хэмжигдэхүүн рүү болон эсрэгээр нь хувиргах дүрмийг томъёол.
Өнцгийн хэмжүүрээс радиан хэмжигдэхүүн рүү болон эсрэгээр нь хувиргах дүрмийг томъёол. 30 0 π 45 0 π 2 2 π
Та ямар тригонометрийн функцүүдийг мэддэг вэ?
Та ямар тригонометрийн функцүүдийг мэддэг вэ? Тригонометрийн функцүүдийн утгыг юу тодорхойлдог вэ?
α =15° α =190° α =100° бол аль дөрөвний өнцөг α байх вэ?
α =-20° α =-110° α =289° бол аль дөрөвний өнцөг нь α өнцөг вэ?
Бүлэгт ажиллах Бүлэгт ажиллах дүрэм: Бүлэг хамтдаа хэлэлцэж шийдвэр гаргах, санал дэвшүүлэх, няцаах. Бүлгийн гишүүн бүр өөрийн чадлынхаа хэрээр ажиллах ёстой. Ажиллаж байхдаа хамт ажиллагсаддаа хүндэтгэлтэй ханд: аливаа санааг хүлээж авах эсвэл татгалзах, эелдэг байдлаар хий. Хүн бүр алдаа гаргах эрхтэй гэдгийг санаарай. Бүлгийн амжилт нь хүн бүр өөрийн хүч чадлаа хэр сайн харуулж байгаагаас хамаарна гэдгийг санаарай.
Бүлгийн ажил
0° 30° 45° 60° 90° sin cos tg ctg 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 Тригонометрийн функцийн утгын хүснэгт
1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 H 7 through K 8 L 9 through and M 10 through and N 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Үнэлгээний шалгуур: 10 даалгавар - “5” үнэлгээ. 8-9 даалгавар - "4" оноо. 5-7 даалгавар - "3" оноо. 1-4 даалгавар - "2" оноо. Баримт бичгийн зүүн ба баруун талуудын хооронд захидал харилцааг бий болгох.
1 M 2 L 3 N 4 E 5 B 6 C 7 through A 8 K 9 through and H 10 through and D 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Үнэлгээний шалгуур: 10 даалгавар - “5” үнэлгээ. 8-9 даалгавар - "4" оноо. 5-7 даалгавар - "3" оноо. 1-4 даалгавар - "2" оноо. Баримт бичгийн зүүн ба баруун хэсгүүдийн хооронд захидал харилцааг бий болгох.
Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг "тригонометрийн нэгж"
Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг “тригонометрийн нэгж” Косинусын квадрат Маш их баяртай байна. Сине талбай ах түүнтэй уулзахаар ирж байна! Тэд уулзах үед тойрог гайхах болно: Бүхэл бүтэн гэр бүл гарч ирэх болно, Өөрөөр хэлбэл, нэгж!
1. 3 sin 2 α + 3 cos 2 α 2. (1 – cos α)(1 + cos α) α =90° 3. 1- sin 2 40 0 5. tg α∙ ctg α 6. ( ctg 2 α + 1)(1 – sin 2 α) 7. tg α∙ ctg α -1 8. cos 2 α + ctg 2 α + sin 2 α ба s t P to 1 cos 2 40° 3 ctg 2 α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Номонд “тригонометр” гэсэн нэр томъёо анх орсон математикчийн нэрийг ол. 1 2 3 4 5 6 7 8 П и т и к у с 2-2 cos(-60 0)
Питискус
Аль-Батуни Аль-Хорезми
Бхаскара Насиреддин Туси
Леонард Эйлер
Тригонометрийн функцийн утгыг өгөгдсөн бол өөр функцийн утгыг ол Дөрөв Өгөгдсөн: Ол: Шийдэл: I sinα= 0.6 II cosα= sinα III tgα= ctgα IV cosα= tgα
Тригонометрийн функцийн утгыг өгөгдсөн бол өөр функцийн утгыг ол Уурь Өгөгдсөн: Ол: Шийдэл: I sinα= 0.6
Тригонометрийн функцийн утгыг өгөгдсөн бол өөр функцийн утгыг ол Уурь Өгөгдсөн: Ол: Шийдэл: II cosα= sinα = =
Тригонометрийн функцийн утгыг өгөгдсөн бол өөр функцийн утгыг ол Дөрөв Өгөгдсөн: Ол: Шийдэл: III tgα= ctgα ctgα = = =
Тригонометрийн функцийн утгыг өгөгдсөн бол өөр функцийн утгыг ол Уурь Өгөгдсөн: Ол: Шийдэл: IV cosα = tgα tgα = = = = = =
Хүний амьдралд тригонометрийн хэрэглээ.
Гэрийн даалгавар: “Хүний амьдрал дахь тригонометр” No304 111 х
y=sinx Хичээл өгсөнд баярлалаа!
1 син 240° 8 cos 290° 2 tg 98° 9 tg(-120°) 3 sin 70° 10 sin 4 ctg 200° 11 cos 5 cos 113° 12 cos 6 sin (- 140°) 13 sin 7 cos (- 300 °) 14 тг Илэрхийллийн тэмдгийг тодорхойл - - - - - - + + + + + + + +
Сэдвийн талаар: арга зүйн боловсруулалт, танилцуулга, тэмдэглэл
Энэхүү танилцуулга нь сургуулийн математикийн хичээлийн алгоритмын тусламжтайгаар сансар огторгуй дахь бүх төрлийн зай, өнцгийг олоход чиглэсэн гол асуудлуудын шийдлүүдийг танилцуулж, үүнийг судлахад ашиглах боломжийг олгодог ...
Хичээлийн танилцуулга: "Онгоц хоорондын өнцөг. Төрөл бүрийн аргуудыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх"
Энэхүү танилцуулгыг давтан хичээлд ойлгомжтой болгох, С-2 зэрэг асуудлыг шийдвэрлэхэд улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхэд ашиглаж болно....
