Зэрэгцээ шугамууд тэнцүү байна уу, үгүй ​​юу? Зэрэгцээ шугамууд

Зааварчилгаа

Баталгаажуулалтыг эхлүүлэхийн өмнө шугамууд нэг хавтгайд хэвтэж байгаа бөгөөд үүн дээр зурж болно гэдгийг анхаарна уу. Үүнийг батлах хамгийн энгийн арга бол захирагчаар хэмжих явдал юм. Үүнийг хийхийн тулд аль болох хол хэд хэдэн газарт шулуун шугамын хоорондох зайг хэмжүүрээр хэмжинэ. Хэрэв зай өөрчлөгдөхгүй бол өгөгдсөн шугамууд зэрэгцээ байна. Гэхдээ энэ арга нь хангалттай нарийвчлалтай биш тул бусад аргыг ашиглах нь дээр.

Гурав дахь шугамыг хоёр зэрэгцээ шугамтай огтлолцохоор зур. Тэдэнтэй хамт дөрвөн гадна, дөрвөн дотоод буланг үүсгэдэг. Дотоод булангуудыг анхаарч үзээрэй. Таслах шугамаар хэвтэхийг хөндлөн хэвтэх гэж нэрлэдэг. Нэг талдаа хэвтэж буй хүмүүсийг нэг талт гэж нэрлэдэг. Протектор ашиглан хоёр дотоод огтлолцох өнцгийг хэмжинэ. Хэрэв тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү бол шугамууд параллель байх болно. Хэрэв эргэлзэж байвал нэг талын дотоод өнцгийг хэмжиж, үүссэн утгыг нэмнэ. Нэг талын дотоод өнцгийн нийлбэр нь 180º-тэй тэнцүү бол шугамууд зэрэгцээ байна.

Хэрэв танд протектор байхгүй бол 90º квадрат ашиглана уу. Үүнийг ашиглан аль нэг шугамтай перпендикуляр байгуулна. Үүний дараа өөр шугамтай огтлолцохын тулд энэ перпендикулярыг үргэлжлүүлнэ. Ижил квадратыг ашиглан энэ перпендикуляр түүнийг ямар өнцгөөр огтолж байгааг шалгана уу. Хэрэв энэ өнцөг мөн 90º бол шугамууд хоорондоо параллель байна.

Хэрэв шугамууд декартын координатын системд өгөгдсөн бол тэдгээрийн чиглэл буюу хэвийн векторыг ол. Хэрэв эдгээр векторууд нь хоорондоо таарч байвал шугамууд параллель байна. Шугамын тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт оруулж, шугам бүрийн хэвийн векторын координатыг ол. Түүний координатууд нь A ба B коэффициентүүдтэй тэнцүү. Хэрэв хэвийн векторуудын харгалзах координатуудын харьцаа ижил байвал тэдгээр нь коллинеар, шулуунууд нь параллель байна.

Жишээлбэл, шулуун шугамыг 4x-2y+1=0 ба x/1=(y-4)/2 тэгшитгэлээр өгсөн. Эхний тэгшитгэл нь ерөнхий хэлбэртэй, хоёр дахь нь каноник юм. Хоёр дахь тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт нь оруул. Үүний тулд пропорц хувиргах дүрмийг ашигла, үр дүн нь 2x=y-4 болно. Ерөнхий хэлбэрт оруулсны дараа 2x-y+4=0 болно. Аливаа шулууны ерөнхий тэгшитгэлийг Ax+By+C=0 гэж бичдэг тул эхний мөрөнд: A=4, B=2, хоёрдугаар мөрөнд A=2, B=1 гэж бичнэ. Энгийн векторын эхний шууд координатын хувьд (4;2), хоёр дахь нь - (2;1). 4/2=2 ба 2/1=2 хэвийн векторуудын харгалзах координатуудын харьцааг ол. Эдгээр тоонууд нь тэнцүү бөгөөд энэ нь векторууд нь коллинеар гэсэн үг юм. Векторууд нь коллинеар байдаг тул шугамууд нь зэрэгцээ байна.

Тодорхойлолт 1

$c$ шулуун шугамыг нэрлэдэг секант$a$ ба $b$ шулуунуудын хувьд хэрэв тэдгээрийг хоёр цэгээр огтолж байвал.

$a$ ба $b$ хоёр мөр, $c$ таслагч мөрийг авч үзье.

Тэдгээрийг огтлолцох үед өнцгүүд үүсдэг бөгөөд бид үүнийг $1$-ээс $8$ хүртэлх тоогоор тэмдэглэдэг.

Эдгээр өнцөг бүр нь математикт ихэвчлэн хэрэглэгддэг нэртэй байдаг.

• $3$ ба $5$, $4$ ба $6$ гэсэн хос өнцгийг нэрлэнэ хөндлөн хэвтэх;
• $1$ ба $5$, $4$ ба $8$, $2$ ба $6$, $3$ ба $7$ гэсэн хос өнцгийг нэрлэнэ. тохиромжтой;
• $4$ ба $5$, $5$ ба $6$ гэсэн хос өнцгийг нэрлэнэ нэг талын.

Зэрэгцээ шугамын шинж тэмдэг

Теорем 1

$a$ ба $b$ шулуунууд ба $c$ секантын хос хөндлөн өнцгийн тэгш байдал нь $a$ ба $b$ шулуунууд зэрэгцээ байгааг харуулж байна.

Баталгаа.

$a$ ба $b$ ба хөндлөн $c$ шулуунуудын хөндлөн өнцгийг тэнцүү болго: $∠1=∠2$.

$a \параллель b$ гэдгийг харуулъя.

$1$ ба $2$ өнцгүүд нь зөв өнцгөөр байвал $a$ ба $b$ шулуунууд $AB$ шулуунтай перпендикуляр байх тул параллель байх болно.

$1$ ба $2$ өнцгүүд нь зөв өнцөг биш бол бид $O$ цэгээс - $AB$ сегментийн дунд, $a$ шулуунд перпендикуляр $OH$ зурна.

$b$ шулуун дээр бид $BH_1=AH$ сегментийг зурж, $OH_1$ сегментийг зурна. Бид хоёр талдаа $ОНА$ ба $ОH_1В$ тэнцүү хоёр гурвалжин ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ($∠1=∠2$, $АО=ВО$, $BH_1=AH$) авна, тиймээс $∠3=∠4$ ба $ ∠5=∠6$. Учир нь $∠3=∠4$, тэгвэл $H_1$ цэг нь $ON$ туяан дээр байрладаг тул $H$, $O$, $H_1$ цэгүүд нэг шулуунд хамаарна. Учир нь $∠5=∠6$, дараа нь $∠6=90^(\circ)$. Ийнхүү $HH_1$ шулуунтай перпендикуляр $a$ ба $b$ шулуунууд параллель байна. Теорем нь батлагдсан.

Теорем 2

$a$ ба $b$ шулуунууд болон $c$ таслагчийн харгалзах хос өнцгийн тэгш байдал нь $a$ ба $b$ шугамууд зэрэгцээ байгааг харуулж байна.

хэрэв $∠1=∠2$ бол $a \зэрэгцээ b$.

Баталгаа.

$а$ ба $b$ шулуун ба $с$ секантын харгалзах өнцгүүдийг тэнцүү болго: $∠1=∠2$. $2$ ба $3$ өнцөг нь босоо тул $∠2=∠3$. Тэгэхээр $∠1=∠3$. Учир нь $1$ ба $3$ өнцөгүүд хөндлөн, дараа нь $a$ ба $b$ шулуунууд параллель байна. Теорем нь батлагдсан.

Теорем 3

Хэрэв $a$ ба $b$ болон хөндлөн $c$ шулуунуудын нэг талт өнцгийн нийлбэр $180^(\circ)C$-тэй тэнцүү бол $a$ ба $b$ шулуунууд параллель байна:

хэрэв $∠1+∠4=180^(\circ)$ бол $a \зэрэгцээ b$.

Баталгаа.

$a$ ба $b$ шулуун ба хөндлөн $c$ шугамуудын нэг талт өнцгийг $180^(\circ)$ хүртэл нэмье.

$∠1+∠4=180^(\circ)$.

$3$ ба $4$ өнцөг нь зэргэлдээ байгаа тул

$∠3+∠4=180^(\circ)$.

Олж авсан тэгшитгэлээс харахад хөндлөн өнцгүүд $∠1=∠3$ байх нь тодорхой бөгөөд үүнээс $a$ ба $b$ шулуунууд параллель байна.

Теорем нь батлагдсан.

Үзсэн шинж чанаруудаас харахад шугамууд зэрэгцээ байна.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1

Уулзвар цэг нь $AB$ ба $CD$ сегментүүдийг хагасаар хуваана. $AC \параллель BD$ гэдгийг батал.

Өгсөн: $AO=OB$, $CO=OD$.

Нотлох: $AC \зэрэгцээ BD$.

Баталгаа.

Бодлогын нөхцлөөс $AO=OB$, $CO=OD$ ба босоо өнцгийн тэгш байдал $∠1=∠2$ гурвалжны тэгш байдлын эхний шалгуурын дагуу $\bigtriangleup COA=\bigtriangleup DOB$ байна. . Тиймээс $∠3=∠4$.

$3$ ба $4$ өнцгүүд нь $AC$ ба $BD$ хоёр шулуун ба хөндлөн $AB$ бүхий хөндлөн хэвтэнэ. Дараа нь шугамуудын параллелизмын эхний шалгуурын дагуу $AC \параллель BD$. Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.

Жишээ 2

Өгөгдсөн өнцөг $∠2=45^(\circ)$ ба $∠7$ нь өгөгдсөн өнцгөөс $3$ дахин том байна. $a \параллел b$ гэдгийг батал.

Өгсөн: $∠2=45^(\circ)$, $∠7=3∠2$.

Нотлох: $a \зэрэгцээ b$.

Баталгаа:

1. $7$ өнцгийн утгыг олъё:

$∠7=3 \cdot 45^(\circ)=135^(\circ)$.

1. Босоо өнцөг $∠5=∠7=135^(\circ)$, $∠2=∠4=45^(\circ)$.
2. Дотор өнцгүүдийн нийлбэрийг олъё $∠5+∠4=135^(\circ)+45^(\circ)=180^(\circ)$.

$a \параллел b$ шугамын параллелизмын гурав дахь шалгуурын дагуу. Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.

Жишээ 3

Өгсөн: $\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup ADB$.

Нотлох: $AC \зэрэгцээ BD$, $AD \зэрэгцээ BC$.

Баталгаа:

Харж байгаа зургийн хувьд $AB$ тал нь нийтлэг байдаг.

Учир нь $ABC$ ба $ADB$ гурвалжин тэнцүү, дараа нь $AD=CB$, $AC=BD$, түүнчлэн харгалзах өнцөг нь тэнцүү $∠1=∠2$, $∠3=∠4$, $∠ 5=∠6 $.

$3$ ба $4$ хос өнцгүүд нь $AC$ ба $BD$ шулуунуудын хувьд хөндлөн огтлолтой бөгөөд $AB$ харгалзах секантын хувьд $AC \параллель BD$ шугамуудын параллелизмын эхний шалгуурын дагуу байна.

$5$ ба $6$ хос өнцгүүд нь $AD$ ба $BC$ шулуунуудын хувьд хөндлөн огтлолтой бөгөөд $AB$ харгалзах секант нь $AD \параллель BC$ шугамуудын параллелизмын эхний шалгуурын дагуу байна.

Анги: 2

Хичээлийн зорилго:

• 2 шугамын параллелизмын тухай ойлголтыг бүрдүүлэх, шугамын параллелизмын эхний шинж тэмдгийг анхаарч үзэх;
• асуудлыг шийдвэрлэхдээ тэмдэг хэрэглэх чадварыг хөгжүүлэх.

Даалгаварууд:

1. Боловсрол: судалсан материалыг давтаж, нэгтгэх, 2 шугамын параллелизмын тухай ойлголтыг бий болгох, 2 шугамын параллелизмын 1-р тэмдгийн нотолгоо.
2. Боловсрол: тэмдэглэлийн дэвтэрт үнэн зөв тэмдэглэж, зураг зурах дүрмийг дагаж мөрдөх чадварыг хөгжүүлэх.
3. Хөгжлийн даалгавар: логик сэтгэлгээ, санах ой, анхаарал хөгжүүлэх.

Хичээлийн тоног төхөөрөмж:

• мультимедиа проектор;
• дэлгэц, танилцуулга;
• зургийн хэрэгсэл.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

Мэндлэх, хичээлд бэлэн байдлыг шалгах.

II. Идэвхтэй UPD-д бэлтгэх.

1-р шат.

Эхний геометрийн хичээлээр бид хавтгай дээрх 2 шулуун шугамын харьцангуй байрлалыг харлаа.

Асуулт.Хоёр шугамд хэдэн нийтлэг цэг байж болох вэ?
Хариулт.Хоёр шугам нь нэг нийтлэг цэгтэй эсвэл нэг нийтлэг цэггүй байж болно.

Асуулт.Хэрэв нэг нийтлэг цэгтэй бол 2 шулуун шугамууд бие биентэйгээ харьцуулахад хэрхэн байрлах вэ?
Хариулт.Хэрэв шугамууд нэг нийтлэг цэгтэй бол тэдгээр нь огтлолцоно

Асуулт.Хэрэв нийтлэг цэгүүд байхгүй бол 2 шугам хоорондоо хэрхэн харьцангуй байрладаг вэ?
Хариулт.Дараа нь энэ тохиолдолд эдгээр шугамууд огтлолцохгүй.

2-р шат.

Сүүлийн хичээл дээр та бидний амьдрал, байгальд огтлолцдоггүй шугамтай тулгардаг илтгэл тавих даалгавар авсан. Одоо бид эдгээр илтгэлүүдийг үзэж, хамгийн сайныг нь сонгох болно. (Шүүгчдийн бүрэлдэхүүнд оюун ухаан муутай тул илтгэл тавихад бэрхшээлтэй оюутнууд багтсан.)

Оюутнуудын хийсэн "Байгаль ба амьдралын параллель шугамууд" илтгэлүүдийг үзэж, шилдэгүүдийг сонго.

III. Идэвхтэй UPD (шинэ материалын тайлбар).

1-р шат.

Зураг 1

Тодорхойлолт.Нэг хавтгайд огтлолцдоггүй хоёр шулууныг параллель гэнэ.

Энэ хүснэгтэд 2 зэрэгцээ шугамыг хавтгай дээр байрлуулах янз бүрийн тохиолдлыг харуулав.

Аль сегментүүд параллель байхыг авч үзье.

Зураг 2

1) Хэрэв а шугам b-тэй параллель байвал AB ба CD хэрчмүүд параллель байна.

2) Хэсэг нь шулуунтай параллель байж болно. Тэгэхээр MN хэрчим нь a шулуунтай параллель байна.

Зураг 3

3) AB сегмент нь h цацрагтай параллель байна. h туяа k туяатай параллель байна.

4) Хэрэв а шулуун c шулуунтай перпендикуляр, b шулуун c шулуунтай перпендикуляр байвал a ба b шулуунууд параллель байна.

2-р шат.

Хоёр зэрэгцээ ба хөндлөн шугамаас үүссэн өнцөг.

Зураг 4

Хоёр зэрэгцээ шугам нь гурав дахь шугамыг хоёр цэгээр огтолж байна. Энэ тохиолдолд зураг дээрх тоогоор харуулсан найман өнцөг үүсдэг.

Эдгээр өнцгийн зарим хосууд тусгай нэртэй байдаг (Зураг 4-ийг үз).

Байдаг хоёр шугамын зэрэгцээ байдлын гурван шинж тэмдэгэдгээр өнцөгтэй холбоотой. Энэ хичээл дээр бид үзэх болно анхны тэмдэг.

3-р шат.

Энэ шинж чанарыг батлахад шаардлагатай материалыг давтан хэлье.

Зураг 5

Асуулт. 5-р зурагт үзүүлсэн өнцгүүдийн нэр юу вэ?
Хариулт. AOC ба COB өнцгийг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг.

Асуулт.Ямар өнцгийг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг вэ? Тодорхойлолт өгнө үү.
Хариулт.Нэг тал нь нийтлэг, нөгөө хоёр нь бие биенийхээ өргөтгөлтэй бол хоёр өнцгийг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг.

Асуулт.Зэргэлдээх өнцөг нь ямар шинж чанартай байдаг вэ?
Хариулт.Зэргэлдээх өнцөг нь 180 градус хүртэл нэмэгддэг.
AOC + COB = 180 °

Асуулт. 1 ба 2 өнцгийг юу гэж нэрлэдэг вэ?
Хариулт. 1 ба 2 өнцгийг босоо гэж нэрлэдэг.

Асуулт.Босоо өнцөг нь ямар шинж чанартай байдаг вэ?
Хариулт.Босоо өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна.

4-р шат.

Зэрэгцээ байдлын анхны шинж тэмдгийн нотолгоо.

Теорем.Хэрэв хоёр шулуун хөндлөн огтлолцох үед холбогдох өнцөг нь тэнцүү бол шугамууд параллель байна.

Зураг 6

Өгөгдсөн: a ба b нь шулуун шугамууд юм
AB - таслагч
1 = 2
Нотлох:а//б.

1-р тохиолдол.

Зураг 7

Хэрэв 1 ба 2 нь шулуун байвал a нь AB-д перпендикуляр, b нь AB-д перпендикуляр байвал a//b.

2 дахь тохиолдол.

Зураг 8

1 ба 2 нь шулуун биш байх тохиолдлыг авч үзье AB хэрчмийг О цэгээр хагасаар хуваа.

Асуулт. AO ба OB сегментүүдийн урт хэд вэ?
Хариулт. AO ба OB сегментүүд уртаараа тэнцүү байна.

1) О цэгээс бид a шулуунд перпендикуляр зурж, OH нь a-д перпендикуляр байна.

Асуулт. 3 өнцөг ямар байх вэ?
Хариулт. 3-р өнцөг зөв байх болно.

2) b шулуун шугамын А цэгээс бид AN 1 = ВН хэрчмийг луужингаар зурна.

3) OH 1 хэрчмийг зуръя.

Асуулт.Нотолгооны үр дүнд ямар гурвалжин үүссэн бэ?
Хариулт.Гурвалжин ONV ба гурвалжин OH 1 A.

Тэд тэнцүү гэдгийг баталъя.

Асуулт.Теоремын дагуу аль өнцөг нь тэнцүү вэ?
Хариулт. 1-р өнцөг нь 2-той тэнцүү байна.

Асуулт.Барилгын хувьд аль тал нь тэнцүү байна.
Хариулт. AO = OV ба AN 1 = VN

Асуулт.Гурвалжингууд ямар үндэслэлээр тохирдог вэ?
Хариулт.Гурвалжингууд нь хоёр талдаа тэнцүү ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг (гурвалжны тэгш байдлын эхний тэмдэг).

Асуулт.Тохирох гурвалжнууд ямар шинж чанартай байдаг вэ?
Хариулт.Тэнцүү гурвалжинд ижил өнцөг нь тэнцүү талуудын эсрэг байрладаг.

Асуулт.Ямар өнцөг нь тэнцүү байх вэ?
Хариулт. 5 = 6, 3 = 4.

Асуулт. 5 ба 6-гийн нэр юу вэ?
Хариулт.Эдгээр өнцгийг босоо гэж нэрлэдэг.

Үүнээс үзэхэд H 1, O, H цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг.
Учир нь 3 нь шулуун, 3 = 4 бол 4 нь шулуун байна.

Асуулт.Хэрэв 3 ба 4 өнцгүүд зөв байвал a ба b шулуунууд НН 1 шулуунтай харьцуулахад хэрхэн байрлах вэ?
Хариулт. a ба b шугамууд нь HH 1-тэй перпендикуляр байна.

Асуулт.Нэг шулууны хоёр перпендикулярын талаар бид юу хэлж чадах вэ?
Хариулт.Нэг шулууны хоёр перпендикуляр параллель байна.

Тэгэхээр, a//b. Теорем нь батлагдсан.

Одоо би бүх нотолгоог эхнээс нь давтах болно, та нар намайг анхааралтай сонсож, бүх зүйлийг ойлгож, санахыг хичээх болно.

IV. Шинэ материалыг нэгтгэх.

Оюун ухааны хөгжлийн янз бүрийн түвшний бүлгүүдэд хуваагдан ажиллаж, дараа нь дэлгэц, самбар дээр тест хийнэ. Самбар дээр 3 сурагч ажилладаг (бүлэг бүрээс нэг).

№1 (оюуны хөгжлийн түвшин буурсан оюутнуудад).

Өгөгдсөн: a ба b шулуун байна
в - таслагч
1 = 37 °
7 = 143 °
Нотлох:а//б.

Шийдэл.

7 = 6 (босоо) 6 = 143 °
1 + 4 = 180° (зэргэлдээх) 4 =180° – 37° = 143°
4 = 6 = 143 °, тэдгээр нь хөндлөн хэвтэх a//b 5 = 48 °, 3 ба 5 нь хөндлөн өнцөг бөгөөд тэдгээр нь a//b-тэй тэнцүү байна.

Зураг 11

V. Хичээлийн хураангуй.

Хичээлийг 1-8-р зураг ашиглан нэгтгэн харуулав.

Хичээл дэх оюутнуудын үйл ажиллагааг үнэлдэг (оюутан бүр тохирох эмотиконыг авдаг).

Гэрийн даалгавар:заах – 52-53-р тал; № 186 (б, в) шийдвэрлэх.

Энэ нийтлэл нь параллель болон зэрэгцээ шугамуудын тухай юм. Нэгдүгээрт, хавтгай ба орон зайд параллель шугамуудын тодорхойлолтыг өгч, тэмдэглэгээг танилцуулж, параллель шугамын жишээ, график дүрслэлийг өгсөн болно. Дараа нь шугамын параллелизмын шинж тэмдэг, нөхцөлийг авч үзнэ. Дүгнэж хэлэхэд, хавтгай ба гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт координатын систем дэх шугамын тодорхой тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамын параллелизмыг нотлох ердийн асуудлын шийдлүүдийг үзүүлэв.

Хуудасны навигаци.

Зэрэгцээ шугамууд - үндсэн мэдээлэл.

Тодорхойлолт.

Хавтгай дээрх хоёр шугамыг дууддаг Зэрэгцээ, хэрэв тэдэнд нийтлэг зүйл байхгүй бол.

Тодорхойлолт.

Гурван хэмжээст орон зай дахь хоёр шугамыг дууддаг Зэрэгцээ, хэрэв тэдгээр нь нэг хавтгайд хэвтэж, нийтлэг цэгүүд байхгүй бол.

Сансар огторгуй дахь параллель шугамын тодорхойлолтын "хэрэв нэг хавтгайд хэвтэж байвал" гэсэн заалт маш чухал болохыг анхаарна уу. Энэ цэгийг тодруулцгаая: гурван хэмжээст орон зайд нийтлэг цэггүй, нэг хавтгайд оршдоггүй хоёр шулуун параллель биш, огтлолцдог.

Зэрэгцээ шугамын зарим жишээ энд байна. Тэмдэглэлийн дэвтрийн хуудасны эсрэг талын ирмэгүүд нь зэрэгцээ шугамууд дээр байрладаг. Байшингийн хананы хавтгай нь тааз, шалны хавтгайг огтолж буй шулуун шугамууд нь параллель байна. Мөн тэгш газар дээрх төмөр замын төмөр замыг зэрэгцээ шугам гэж үзэж болно.

Зэрэгцээ шугамыг тэмдэглэхийн тулд "" тэмдгийг ашиглана уу. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв a ба b шугамууд параллель байвал бид a b гэж товч бичиж болно.

Анхаарна уу: хэрэв a ба b шугамууд параллель байвал a шугам b шугамтай параллель, b шугам нь а шугамтай параллель байна гэж хэлж болно.

Хавтгай дээрх параллель шугамыг судлахад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг мэдэгдлийг хэлье: өгөгдсөн шулуун дээр ороогүй цэгээр өгөгдсөнтэй параллель цорын ганц шулуун шугам өнгөрдөг. Энэхүү мэдэгдлийг баримт болгон хүлээн зөвшөөрсөн (энэ нь мэдэгдэж буй планиметрийн аксиомуудын үндсэн дээр нотлогдох боломжгүй) бөгөөд үүнийг параллель шугамын аксиом гэж нэрлэдэг.

Орон зай дахь тохиолдлын хувьд теорем хүчинтэй байна: өгөгдсөн шулуун дээр оршдоггүй орон зайн аль ч цэгээр өгөгдсөнтэй параллель нэг шулуун шугам дамждаг. Энэхүү теоремыг дээрх параллель шугамын аксиомыг ашиглан хялбархан нотолж болно (үүнийг та 10-11-р ангийн геометрийн сурах бичгээс олж болно. Үүнийг нийтлэлийн төгсгөлд лавлагааны жагсаалтад оруулсан болно).

Орон зай дахь тохиолдлын хувьд теорем хүчинтэй байна: өгөгдсөн шулуун дээр оршдоггүй орон зайн аль ч цэгээр өгөгдсөнтэй параллель нэг шулуун шугам дамждаг. Дээрх параллель шугамын аксиомыг ашиглан энэ теоремыг хялбархан баталж болно.

Шугамын параллелизм - параллелизмын шинж тэмдэг ба нөхцөл.

Шугамын параллелизмын шинж тэмдэгшугамууд зэрэгцээ байх хангалттай нөхцөл, өөрөөр хэлбэл биелэлт нь шугамууд зэрэгцээ байх баталгаа болдог нөхцөл юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ нөхцлийн биелэлт нь шугамууд зэрэгцээ байгааг батлахад хангалттай юм.

Хавтгай болон гурван хэмжээст орон зайд шугамыг параллель болгоход шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлүүд байдаг.

"Зэрэгцээ шугамын зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл" гэсэн хэллэгийн утгыг тайлбарлая.

Зэрэгцээ шугамын хангалттай нөхцөлийг бид аль хэдийн авч үзсэн. "Зэрэгцээ шугамын зайлшгүй нөхцөл" гэж юу вэ? "Шаардлагатай" гэсэн нэрнээс харахад параллель шугамын хувьд энэ нөхцлийг биелүүлэх шаардлагатай байна. Өөрөөр хэлбэл, шугамууд зэрэгцээ байх шаардлагатай нөхцөл хангагдаагүй бол шугамууд зэрэгцээ биш байна. Тиймээс, зэрэгцээ шугамын хувьд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлнь зэрэгцээ шугамын хувьд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай байх нөхцөл юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь нэг талаасаа шугамын параллелизмын шинж тэмдэг, нөгөө талаас энэ нь зэрэгцээ шугамууд байдаг шинж чанар юм.

Шугамын параллелизмд шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцлийг бүрдүүлэхийн өмнө хэд хэдэн туслах тодорхойлолтыг эргэн санах нь зүйтэй.

Таслах шугамөгөгдсөн давхцаагүй хоёр шугам тус бүрийг огтолж буй шугам юм.

Хоёр шулуун шугам нь хөндлөн шугамтай огтлолцох үед хөгжөөгүй найман шугам үүсдэг. Шугамын параллелизмд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлийг томъёолоход гэж нэрлэгддэг хөндлөн хэвтэх, харгалзахТэгээд нэг талын өнцөг. Тэднийг зурган дээр харуулъя.

Теорем.

Хэрэв хавтгайн хоёр шулуун шугамыг хөндлөн огтлолцсон бол тэдгээр нь параллель байхын тулд огтлолцох өнцөг нь тэнцүү, эсвэл харгалзах өнцөг нь тэнцүү, эсвэл нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180-тай тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. градус.

Хавтгай дээрх шугамуудын параллель байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл байдлын график дүрслэлийг үзүүлье.

Та 7-9-р ангийн геометрийн сурах бичгүүдээс шугамын параллель байдлын эдгээр нөхцлийн нотолгоог олж болно.

Эдгээр нөхцлийг гурван хэмжээст орон зайд ч ашиглаж болно гэдгийг анхаарна уу - гол зүйл бол хоёр шулуун шугам ба зүсэгч нь нэг хавтгайд байрладаг.

Шулуунуудын параллелизмыг батлахад ихэвчлэн ашигладаг хэд хэдэн теоремуудыг энд оруулав.

Теорем.

Хэрэв хавтгайн хоёр шулуун гурав дахь шулуунтай параллель байвал тэдгээр нь зэрэгцээ байна. Энэ шалгуурын баталгаа нь параллель шугамын аксиомоос үүдэлтэй.

Гурван хэмжээст орон зайд параллель шугамын хувьд ижил нөхцөл байдаг.

Теорем.

Хэрэв огторгуйн хоёр шулуун гурав дахь шулуунтай параллель байвал тэдгээр нь зэрэгцээ байна. Энэ шалгуурын баталгааг 10-р ангийн геометрийн хичээлээр хэлэлцдэг.

Өгөгдсөн теоремуудыг тайлбарлая.

Хавтгай дээрх шулуунуудын параллель байдлыг батлах өөр нэг теоремыг танилцуулъя.

Теорем.

Хэрэв хавтгайн хоёр шулуун гурав дахь шулуунтай перпендикуляр байвал тэдгээр нь параллель байна.

Орон зайн шугамын хувьд ижил төстэй теорем байдаг.

Теорем.

Гурван хэмжээст орон зай дахь хоёр шулуун нь нэг хавтгайд перпендикуляр байвал тэдгээр нь параллель байна.

Эдгээр теоремуудад тохирох зургуудыг зурцгаая.

Дээр дурдсан бүх теоремууд, шалгуурууд, шаардлагатай, хангалттай нөхцөлүүд нь геометрийн аргыг ашиглан шугамын параллель байдлыг батлахад маш сайн байдаг. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн хоёр шулууны параллель байдлыг батлахын тулд тэдгээрийг гурав дахь шугамтай параллель байгааг харуулах эсвэл хөндлөн хэвтэх өнцгийн тэгш байдлыг харуулах гэх мэтийг харуулах хэрэгтэй. Ахлах сургуулийн геометрийн хичээл дээр ижил төстэй олон асуудлыг шийддэг. Гэсэн хэдий ч олон тохиолдолд хавтгай эсвэл гурван хэмжээст орон зайд шугамын параллель байдлыг батлахын тулд координатын аргыг ашиглах нь тохиромжтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тэгш өнцөгт координатын системд заасан шугамын зэрэгцээ байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцлийг томъёолъё.

Тэгш өнцөгт координатын систем дэх шугамын параллелизм.

Өгүүллийн энэ догол мөрөнд бид томъёолох болно зэрэгцээ шугамд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлтэгш өнцөгт координатын системд эдгээр шугамыг тодорхойлсон тэгшитгэлийн төрлөөс хамаарч, мөн шинж чанарын асуудлуудын нарийвчилсан шийдлүүдийг өгөх болно.

Тэгш өнцөгт координатын Oxy систем дэх хавтгай дээрх хоёр шулууны параллель байх нөхцлөөс эхэлье. Түүний нотолгоо нь шулууны чиглэлийн векторын тодорхойлолт, хавтгай дээрх шулууны хэвийн векторын тодорхойлолт дээр суурилдаг.

Теорем.

Хавтгайд давхцдаггүй хоёр шулуун параллель байхын тулд эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторууд нь коллинеар, эсвэл эдгээр шулуунуудын хэвийн векторууд нь коллинеар, эсвэл нэг шулууны чиглэлийн вектор нь хэвийнд перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Хоёр дахь шугамын вектор.

Хавтгай дээрх хоёр шулууны параллель байх нөхцөл нь (шугамын чиглэлийн векторууд эсвэл шулууны хэвийн векторууд) эсвэл (нэг шугамын чиглэлийн вектор ба хоёр дахь шугамын хэвийн вектор) хүртэл буурдаг нь ойлгомжтой. Тиймээс, хэрэв ба бол a ба b шугамын чиглэлийн векторууд ба Тэгээд нь a ба b шугамын хэвийн векторууд байвал a ба b шугамын параллель байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцлийг дараах байдлаар бичнэ. , эсвэл , эсвэл , энд t нь бодит тоо юм. Хариуд нь чиглүүлэгчийн координат ба (эсвэл) a ба b шугамын хэвийн векторуудыг шугамын мэдэгдэж буй тэгшитгэлийг ашиглан олно.

Ялангуяа тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугам нь хавтгай дээрх Oxy нь ерөнхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлно. , ба шулуун шугам b - , тэгвэл эдгээр шулуунуудын хэвийн векторууд нь координаттай ба тус тустай байх ба a ба b шулуунуудын параллель байх нөхцөлийг гэж бичнэ.

Хэрэв а шугам нь өнцгийн коэффициент бүхий шулууны тэгшитгэл, b - гэсэн хэлбэртэй тохирч байвал эдгээр шулуунуудын хэвийн векторууд нь координаттай ба , эдгээр шулуунуудын параллель байх нөхцөл хэлбэрийг авна. . Үүний үр дүнд, тэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай дээрх шугамууд параллель бөгөөд өнцгийн коэффициент бүхий шугамын тэгшитгэлээр тодорхойлогддог бол шугамын өнцгийн коэффициентүүд тэнцүү байх болно. Мөн эсрэгээр: хэрэв тэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай дээрх давхцахгүй шугамыг ижил өнцгийн коэффициент бүхий шугамын тэгшитгэлээр тодорхойлж чадвал ийм шугамууд параллель байна.

Тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун a ба шулуун b шулуун шугамыг хавтгай дээрх шулуун шугамын каноник тэгшитгэлээр тодорхойлно. Тэгээд , эсвэл хэлбэрийн хавтгай дээрх шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл Тэгээд үүний дагуу эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторууд нь координат ба -тай байх ба a, b шулуунуудын параллель байх нөхцөлийг гэж бичнэ.

Хэд хэдэн жишээнүүдийн шийдлийг авч үзье.

Жишээ.

Шугамууд зэрэгцээ байна уу? Тэгээд ?

Шийдэл.

Шугамын тэгшитгэлийг сегмент дэх шугамын ерөнхий тэгшитгэл хэлбэрээр дахин бичье. . Одоо бид шугамын хэвийн вектор болохыг харж болно , a нь шугамын хэвийн вектор юм. Эдгээр векторууд нь хоорондоо уялдаа холбоогүй, учир нь тэгшитгэл (t) байх бодит тоо байхгүй. ). Иймээс хавтгай дээрх шугамуудын параллель байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл хангагдаагүй тул өгөгдсөн шугамууд параллель биш байна.

Хариулт:

Үгүй ээ, шугамууд зэрэгцээ биш байна.

Жишээ.

Шулуун ба параллель байна уу?

Шийдэл.

Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг өнцгийн коэффициенттэй шулуун шугамын тэгшитгэл болгон бууруулъя: . Мэдээжийн хэрэг, шугамын тэгшитгэлүүд нь ижил биш (энэ тохиолдолд өгөгдсөн шугамууд ижил байх болно) ба шугамын өнцгийн коэффициентүүд тэнцүү тул анхны шугамууд зэрэгцээ байна.

Хоёр дахь шийдэл.

Нэгдүгээрт, бид анхны шугамууд давхцдаггүй болохыг харуулж байна: шугамын аль ч цэгийг ав, жишээлбэл, (0, 1), энэ цэгийн координатууд нь шугамын тэгшитгэлийг хангадаггүй тул шугамууд давхцдаггүй. Одоо эдгээр шугамын параллелизмын нөхцлийн биелэлтийг шалгая. Шугамын хэвийн вектор нь вектор, чиглэлийн вектор нь вектор юм. Тооцоолбол: . Үүний үр дүнд ба векторууд нь перпендикуляр бөгөөд энэ нь өгөгдсөн шугамуудын параллелизмд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл хангагдсан гэсэн үг юм. Тиймээс шугамууд зэрэгцээ байна.

Хариулт:

Өгөгдсөн шугамууд зэрэгцээ байна.

Гурван хэмжээст орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын систем дэх шугамуудын параллель байдлыг батлахын тулд дараах шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлийг ашиглана уу.

Теорем.

Гурван хэмжээст орон зайд ялгаатай шугамуудын параллелизмын хувьд тэдгээрийн чиглэлийн векторууд коллинеар байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Тиймээс, хэрэв гурван хэмжээст орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуунуудын тэгшитгэлүүд мэдэгдэж байгаа бөгөөд эдгээр шулуунууд параллель байна уу, үгүй ​​юу гэсэн асуултанд хариулах шаардлагатай бол эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторуудын координатыг олох хэрэгтэй. чиглэлийн векторуудын коллинеар байдлын нөхцлийн биелэлтийг шалгах. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв Тэгээд - шулуун шугамын чиглэлийн векторууд Өгөгдсөн шулуун шугам нь координаттай ба . Учир нь , Тэр . Тиймээс орон зайд хоёр шугамын зэрэгцээ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл хангагдсан болно. Энэ нь шугамын параллель байдлыг нотолж байна Тэгээд .

Ном зүй.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометр. 7-9-р анги: Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометр. Ерөнхий боловсролын сургуулийн 10-11-р ангийн сурах бичиг.
• Погорелов А.В., Геометр. Ерөнхий боловсролын сургуулийн 7-11 дүгээр ангийн сурах бичиг.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Дээд математик. Нэгдүгээр боть: Шугаман алгебр ба аналитик геометрийн элементүүд.
• Ильин В.А., Позняк Е.Г. Аналитик геометр.

Эхлээд тэмдэг, өмч, аксиом гэсэн ойлголтуудын ялгааг харцгаая.

Тодорхойлолт 1

Гарын үсэг зурахТэд сонирхлын объектын талаарх шүүлтийн үнэнийг тодорхойлж болох тодорхой баримтыг нэрлэдэг.

Жишээ 1

Хэрэв тэдгээрийн хөндлөн хэлбэрүүд нь хөндлөн өнцөгтэй тэнцүү бол шугамууд зэрэгцээ байна.

Тодорхойлолт 2

ӨмчШүүхийн шийдвэр шударга гэдэгт итгэлтэй байгаа тохиолдолд томъёолсон болно.

Жишээ 2

Зэрэгцээ шугамууд параллель байвал тэдгээрийн хөндлөн хэлбэрүүд нь хөндлөн өнцөгтэй тэнцүү байна.

Тодорхойлолт 3

Аксиомтэд нотлох баримт шаарддаггүй, үүнгүйгээр үнэн гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн мэдэгдлийг нэрлэдэг.

Шинжлэх ухаан болгонд дараагийн дүгнэлтүүд болон тэдгээрийн нотолгоонд тулгуурласан аксиомууд байдаг.

Зэрэгцээ шугамын аксиом

Заримдаа параллель шугамын аксиомыг параллель шугамын шинж чанаруудын нэг гэж хүлээн зөвшөөрдөг боловч үүнтэй зэрэгцэн бусад геометрийн нотолгоо нь түүний хүчинтэй байдалд суурилдаг.

Теорем 1

Өгөгдсөн шулуун дээр оршдоггүй цэгээр дамжуулан зөвхөн нэг шулуун шугамыг хавтгай дээр зурж болох бөгөөд энэ нь өгөгдсөн шулуунтай параллель байх болно.

Аксиом нь нотлох баримт шаарддаггүй.

Зэрэгцээ шугамын шинж чанарууд

Теорем 2

Өмч 1. Зэрэгцээ шугамын шилжилтийн шинж чанар:

Хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэг нь гурав дахь шугамтай зэрэгцээ байвал хоёр дахь шугам нь түүнтэй параллель байх болно.

Үл хөдлөх хөрөнгө нь нотлох баримт шаарддаг.

Нотолгоо:

$a$ ба $b$ хоёр зэрэгцээ шугам байг. $c$ мөр нь $a$ мөртэй параллель байна. Энэ тохиолдолд $c$ шулуун нь $b$ шулуунтай параллель байх эсэхийг шалгая.

Үүнийг батлахын тулд бид эсрэг саналыг ашиглана:

$c$ шулуун нь аль нэг шулуунтай, жишээлбэл $a$ шулуунтай параллель байж, нөгөө шулуун болох $b$ мөрийг $K$ цэг дээр огтолж болно гэж төсөөлье.

Зэрэгцээ шугамын аксиомын дагуу бид зөрчилдөөнийг олж авдаг. Үүний үр дүнд хоёр шугам нэг цэгт огтлолцох, мөн $a$ шулуунтай параллель байх нөхцөл үүснэ. Энэ нөхцөл байдал боломжгүй тул $b$ болон $c$ шугамууд огтлолцож болохгүй;

Ийнхүү хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэг нь гурав дахь шулуунтай параллель байвал хоёр дахь шугам нь гурав дахь шулуунтай параллель байна гэдэг нь батлагдсан.

Теорем 3

Үл хөдлөх хөрөнгө 2.

Хэрэв хоёр зэрэгцээ шугамын нэг нь гуравны нэгээр огтлолцсон бол хоёр дахь шугам нь мөн түүнтэй огтлолцоно.

Нотолгоо:

$a$ ба $b$ хоёр зэрэгцээ шугам байг. Мөн параллель шулуунуудын аль нэгийг огтолж буй $c$ шулуун байг, жишээ нь $a$ шугам. $c$ шугам нь хоёр дахь шугам болох $b$ мөртэй огтлолцож байгааг харуулах шаардлагатай.

Зөрчилдөөнөөр нотлох баримт байгуулъя.

$c$ шулуун $b$ шулуунтай огтлолцдоггүй гэж төсөөлье. Дараа нь $a$ ба $c$ хоёр шулуун $K$ цэгийг дайран өнгөрдөг бөгөөд энэ нь $b$ шулуунтай огтлолцохгүй, өөрөөр хэлбэл түүнтэй параллель байна. Гэвч энэ байдал нь зэрэгцээ шугамын аксиомтой зөрчилдөж байна. Энэ нь таамаглал буруу байсан бөгөөд $c$ шугам $b$ шугамыг огтолно гэсэн үг.

Теорем нь батлагдсан.

Булангийн шинж чанарууд, хоёр зэрэгцээ шугам ба таслагчийг үүсгэдэг: эсрэг өнцөг нь тэнцүү,харгалзах өнцөг нь тэнцүү, * нэг талт өнцгийн нийлбэр нь $180^(\circ)$ байна.

Жишээ 3

Хоёр зэрэгцээ шугам, тэдгээрийн аль нэгэнд нь перпендикуляр гурав дахь шулуун өгөгдсөн. Энэ шугам нь нөгөө параллель шулуунтай перпендикуляр гэдгийг батал.

Баталгаа.

$a \зэрэгцээ b$ ба $c \perp a$ шулуун шугамууд байг.

$c$ шугам нь $a$ шулуунтай огтлолцдог тул параллель шулуунуудын шинж чанарын дагуу $b$ шулуунтай мөн огтлолцоно.

$a$ ба $b$ параллель шулуунуудыг огтолж буй $c$ секант нь тэдгээртэй хөндлөн хэвтэх тэнцүү дотоод өнцгийг үүсгэдэг.

Учир нь $c \perp a$, тэгвэл өнцөг нь $90^(\circ)$ болно.

Тиймээс $c \perp b$.

Нотлох баримт бүрэн байна.