Сайн байцгаана уу, Аргемона их сургуулийн эрхэм оюутнууд!

Өнөөдөр бид объектуудыг хэрхэн материалжуулах талаар үргэлжлүүлэн суралцах болно. Хамгийн сүүлд бид хавтгай дүрсүүдийг эргүүлж, эзэлхүүний биетэй болсон. Тэдний зарим нь маш сонирхолтой бөгөөд ашигтай байдаг. Шидтэний зохион бүтээсэн зүйлийн ихэнхийг ирээдүйд ашиглаж болно гэж би боддог.

Өнөөдөр бид муруйг эргүүлэх болно. Ийм маягаар бид маш нимгэн ирмэгтэй (конус эсвэл лонх, цэцгийн ваар, ундааны шил гэх мэт) олж авах боломжтой, учир нь эргэлдэх муруй нь яг ийм төрлийн объектуудыг үүсгэж чаддаг. Өөрөөр хэлбэл, муруйг эргүүлснээр бид ямар нэгэн төрлийн гадаргууг олж авах боломжтой - бүх талдаа хаалттай эсвэл үгүй. Сэр Шурф Лонли-Локли үргэлж ууж байсан гоожсон аягыг яагаад яг одоо санав.

Тиймээс бид нүхтэй сав, нүхгүй аяга үүсгэж, үүссэн гадаргуугийн талбайг тооцоолно. Энэ нь (ерөнхийдөө гадаргуугийн талбай) ямар нэгэн зүйлд хэрэгтэй болно гэж би бодож байна - ядаж тусгай шидэт будаг хэрэглэхэд хэрэгтэй болно. Нөгөөтэйгүүр, ид шидийн олдворуудын талбайнууд нь тэдгээрт эсвэл өөр зүйлд хэрэглэсэн ид шидийн хүчийг тооцоолох шаардлагатай байж болно. Бид үүнийг олж сурч, хаана хэрэглэхээ олох болно.

Тиймээс параболын нэг хэсэг нь аяганы хэлбэрийг өгч чадна. Интервал дээр хамгийн энгийн y=x 2-ыг авъя. Үүнийг OY тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд та зүгээр л нэг аяга авдаг болохыг харж болно. Доод тал байхгүй.

Эргэлтийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох шившлэг нь дараах байдалтай байна.

Энд |y| нь эргэлтийн тэнхлэгээс эргэдэг муруйн аль ч цэг хүртэлх зай юм. Таны мэдэж байгаагаар зай бол перпендикуляр юм.
Шившлэгийн хоёр дахь элементийн хувьд арай илүү хэцүү: ds бол нумын дифференциал юм. Эдгээр үгс бидэнд юу ч өгдөггүй тул санаа зовох хэрэггүй, харин бидний мэддэг бүх тохиолдлуудад энэхүү дифференциалыг тодорхой харуулсан томъёоны хэл рүү шилжье.
- Декартын координатын систем;
- муруйг параметрийн хэлбэрээр бүртгэх;
- туйлын координатын систем.

Манай тохиолдолд эргэлтийн тэнхлэгээс муруйн аль ч цэг хүртэлх зай нь x байна. Бид үүссэн нүхний савны гадаргуугийн талбайг тооцоолно.

Доод ёроолтой аяга хийхийн тулд та өөр нэг хэсгийг авах хэрэгтэй, гэхдээ өөр муруйтай: интервал дээр энэ нь y = 1 шугам юм.

Энэ нь OY тэнхлэгийг тойрон эргэх үед аяганы ёроол нь нэгж радиустай тойрог хэлбэртэй байх нь тодорхой байна. Тойргийн талбайг хэрхэн тооцдогийг бид мэднэ (pi*r^2 томъёог ашиглан. Манай тохиолдолд тойргийн талбай нь pi-тэй тэнцүү байх болно), гэхдээ үүнийг шинэ томъёогоор тооцоолъё - шалгах.
Эргэлтийн тэнхлэгээс муруйн энэ хэсгийн аль ч цэг хүртэлх зай нь мөн x-тэй тэнцүү байна.

За, бидний тооцоо зөв байгаа нь сайн мэдээ юм.

Тэгээд одоо гэрийн даалгавар.

1. A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2) байх ABC тасархай шугамыг OX тэнхлэгийг тойруулан эргүүлснээр олж авсан гадаргуугийн талбайг ол.
Зөвлөгөө. Бүх сегментүүдийг параметрийн хэлбэрээр бичнэ үү.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Дашрамд хэлэхэд, үүссэн зүйл ямар харагдаж байна вэ?

2. За, одоо өөрөө ямар нэг юм бодож ол. Гурван зүйл хангалттай байх болно гэж бодож байна.

Хэрэв муруйг параметрийн тэгшитгэлээр өгсөн бол энэ муруйг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан гадаргуугийн талбайг томъёогоор тооцоолно. . Энэ тохиолдолд нийтлэлд маш олон хуулбарыг эвдсэн шугамын "зураг зурах чиглэл" нь хайхрамжгүй ханддаг. Гэхдээ өмнөх догол мөрийн нэгэн адил муруйг байрлуулах нь чухал юм илүү өндөр abscissa тэнхлэг - эс тэгвээс "тоглоомыг хариуцдаг" функц нь сөрөг утгыг авах бөгөөд та интегралын өмнө "хасах" тэмдгийг тавих хэрэгтэй болно.

Жишээ 3

Тойрог тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлэх замаар олж авсан бөмбөрцгийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: нийтлэлээс параметрээр тодорхойлогдсон шугамын талбай ба эзэлхүүн дээрТэгшитгэлүүд нь 3-р радиусын эхэн дээр төвтэй тойргийг тодорхойлдог гэдгийг та мэднэ.

За бөмбөрцөг , мартсан хүмүүсийн хувьд энэ бол гадаргуу юм бөмбөг(эсвэл бөмбөрцөг гадаргуу).

Бид тогтоосон шийдлийн схемийг дагаж мөрддөг. Деривативуудыг олцгооё:

"Томъёо" язгуурыг зохиож, хялбарчилъя:

Чихэр болсон гэж хэлэх нь илүүц биз. Фихтенхольц энэ газартай хэрхэн толгойг нь тулгасныг харьцуулж үзээрэй хувьсгалын эллипсоид.

Онолын тайлбарын дагуу бид дээд хагас тойргийг авч үздэг. Параметрийн утга хязгаар дотор өөрчлөгдөх үед үүнийг "зурдаг" (үүнийг харахад хялбар байдаг энэ интервал дээр), ингэснээр:

Хариулах:

Хэрэв та асуудлыг ерөнхий хэлбэрээр шийдвэл бөмбөрцгийн талбайн радиус хаана байгаа талаар яг сургуулийн томъёог авах болно.

Энэ бол үнэхээр зовиуртай энгийн ажил байсан болохоор би бүр ичиж ч байсан... Энэ алдааг засахыг санал болгож байна =)

Жишээ 4

Циклоид эхний нумыг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан гадаргуугийн талбайг тооцоол.

Даалгавар нь бүтээлч. Ординатын тэнхлэгийн эргэн тойронд муруйг эргүүлснээр олж авсан гадаргуугийн талбайг тооцоолох томъёог гаргаж авах эсвэл зөн совингоор таахыг хичээ. Мэдээжийн хэрэг, параметрийн тэгшитгэлийн давуу талыг дахин тэмдэглэх нь зүйтэй - тэдгээрийг ямар ч байдлаар өөрчлөх шаардлагагүй; бусад интеграцийн хязгаарыг олох гэж санаа зовох шаардлагагүй.

Циклоид графикийг хуудаснаас харж болно Хэрэв мөрийг параметрийн дагуу зааж өгсөн бол талбай ба эзэлхүүн. Эргэлтийн гадаргуу нь төстэй байх болно ... Би үүнийг юутай харьцуулахаа ч мэдэхгүй байна ... ямар нэгэн ер бусын зүйл - дугуй хэлбэртэй, дунд хэсэгт нь үзүүртэй хонхорхойтой. Циклоидыг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлэх тохиолдолд тэр даруй холбоо санаанд орж ирэв - гонзгой регби бөмбөг.

Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Бид энэ хэргийн талаар сонирхолтой тоймоо дуусгаж байна туйлын координат. Тийм ээ, зүгээр л тойм, хэрэв та математикийн шинжилгээний сурах бичгүүдийг (Фихтенхольц, Бохан, Пискунов болон бусад зохиогчид) харвал та хэдэн арван (эсвэл бүр илүү олон) стандарт жишээг авч болох бөгөөд тэдгээрийн дотроос танд хэрэгтэй асуудлыг олж мэдэх боломжтой. .

Хувьсгалын гадаргуугийн талбайг хэрхэн тооцоолох,
Хэрэв шугамыг туйлын координатын системд өгсөн бол?

Хэрэв муруй өгөгдсөн бол туйлын координаттэгшитгэл, мөн функц нь өгөгдсөн интервал дээр тасралтгүй деривативтай бол туйлын тэнхлэгийн эргэн тойронд энэ муруйг эргүүлснээр олж авсан гадаргуугийн талбайг томъёогоор тооцоолно. , муруйн төгсгөлд тохирох өнцгийн утгууд хаана байна.

Бодлогын геометрийн утгын дагуу интеграл функц , мөн энэ нь зөвхөн нөхцлийн дагуу л хүрдэг (мөн сөрөг биш байх нь ойлгомжтой). Тиймээс, өнцгийн утгыг мужаас авч үзэх шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл муруйг байрлуулах ёстой илүү өндөртуйлын тэнхлэг ба түүний үргэлжлэл. Таны харж байгаагаар өмнөх хоёр догол мөртэй ижил түүх байна.

Жишээ 5

Кардиоидыг туйлын тэнхлэгт эргүүлснээр үүссэн гадаргуугийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: энэ муруйн графикийг тухай хичээлийн 6-р жишээнээс харж болно туйлын координатын систем. Кардиоид нь туйлын тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдаг тул бид түүний дээд талыг интервалаар авч үздэг (үнэндээ энэ нь дээрх тайлбараас үүдэлтэй).

Эргэлтийн гадаргуу нь бухын нүдтэй төстэй болно.

Шийдлийн техник нь стандарт юм. "phi"-тэй холбоотой деривативыг олъё:

Үндэсийг зохиож, хялбаршуулъя:

Би тогтмол гэж найдаж байна тригонометрийн томъёохэнд ч бэрхшээл байгаагүй.

Бид томъёог ашигладаг:

Энэ хооронд , тиймээс: (Би нийтлэлд үндсийг хэрхэн зөв арилгах талаар дэлгэрэнгүй ярьсан Муруй нумын урт).

Хариулах:

Таны бие даан шийдвэрлэх сонирхолтой бөгөөд богино даалгавар:

Жишээ 6

Бөмбөрцөг туузны талбайг тооцоолох,

Бөмбөгний бүс гэж юу вэ? Дугуй, хальсгүй жүржийг ширээн дээр тавиад хутга ав. Хоёр хий зэрэгцээтайрч, улмаар жимсийг дурын хэмжээтэй 3 хэсэгт хуваана. Одоо хоёр талдаа шүүслэг мах ил гарсан төвийг ав. Энэ биеийг гэж нэрлэдэг бөмбөрцөг давхарга, мөн түүнийг хүрээлж буй гадаргуу (жүржийн хальс) - бөмбөг бүс.

Танил уншигчид туйлын координат, бид асуудлын зургийг хялбархан үзүүлэв: тэгшитгэл нь радиусын туйл дээр төвтэй тойргийг тодорхойлдог. туяа таслах баганум. Энэ нум нь туйлын тэнхлэгийг тойрон эргэлдэж, улмаар бөмбөрцөг бүсийг үүсгэдэг.

Одоо та улбар шарыг мөс чанар, хөнгөн зүрх сэтгэлээр идэж болно, энэ амттай тэмдэглэл дээр бид хичээлээ дуусгах болно, бусад жишээнүүдээр хоолны дуршилаа бүү зовоо =)

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2:Шийдэл : дээд салааны эргэлтээс үүссэн гадаргуугийн талбайг тооцоол абсцисса тэнхлэгийн эргэн тойронд. Бид томъёог ашигладаг .
Энэ тохиолдолд: ;

Тиймээс:


Хариулах:

Жишээ 4:Шийдэл : томъёог ашиглана уу . Циклоидын эхний нумыг сегмент дээр тодорхойлно .
Деривативуудыг олцгооё:

Үндэсийг зохиож, хялбаршуулъя:

Тиймээс эргэлтийн гадаргуугийн талбай нь:

Энэ хооронд , Тийм учраас

Эхний интегралхэсгүүдээр нэгтгэх :

Хоёр дахь интегралд бид ашигладагтригонометрийн томъёо .


Хариулах:

Жишээ 6:Шийдэл : томъёог ашиглана уу:


Хариулах:

Захидлын оюутнуудад зориулсан дээд математик ба бусад >>>

(Үндсэн хуудас руу очих)

Тодорхой интегралыг хэрхэн тооцоолох
трапецын томьёо болон Симпсоны аргыг ашиглах уу?

Тоон аргууд нь дээд математикийн нэлээд том хэсэг бөгөөд энэ сэдвээр ноцтой сурах бичгүүд хэдэн зуун хуудас агуулдаг. Практикт тестийн баримт бичиг нь тоон аргыг ашиглан зарим асуудлыг шийдвэрлэхийг санал болгодог бөгөөд нийтлэг асуудлын нэг бол ойролцоо тооцоолол юм. тодорхой интеграл. Энэ нийтлэлд би тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолох хоёр аргыг авч үзэх болно. трапецын аргаТэгээд Симпсон арга.

Эдгээр аргуудыг эзэмшихийн тулд юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Энэ нь инээдтэй сонсогдож магадгүй ч та интегралыг огт авч чадахгүй байх магадлалтай. Та интеграл гэж юу байдгийг ч ойлгохгүй байна. Техникийн хэрэгслээс танд бичил тооцоолуур хэрэгтэй болно. Тийм ээ, тийм ээ, сургуулийн ердийн тооцоолол биднийг хүлээж байна. Илүү сайн, минийхийг татаж аваарай трапецын арга ба Симпсон аргын хагас автомат тооцоолуур. Тооцоологч нь Excel дээр бичигдсэн бөгөөд асуудлыг шийдвэрлэх, дуусгахад шаардагдах хугацааг хэдэн арван дахин багасгах болно. Excel дамми нарын хувьд видео гарын авлага багтсан болно! Дашрамд хэлэхэд миний хоолойгоор хийсэн анхны бичлэг.

Эхлээд өөрөөсөө асууя: яагаад ойролцоогоор тооцоолол хэрэгтэй байна вэ? Та функцийн эсрэг деривативыг олж Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралын яг утгыг тооцоолох боломжтой юм шиг санагдаж байна. Асуултанд хариулахын тулд нэн даруй зурагтай үзүүлэнгийн жишээг харцгаая.

Тодорхой интегралыг тооцоолох

Бүх зүйл сайхан байх болно, гэхдээ энэ жишээнд интегралыг аваагүй болно - таны өмнө авагдаагүй, гэж нэрлэгддэг интеграл логарифм. Энэ интеграл байдаг уу? Интеграл функцийн графикийг зураг дээр дүрсэлцгээе.

Бүх зүйл сайхан байна. Интеграл тасралтгүйсегмент ба тодорхой интеграл нь сүүдэрлэсэн талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна. Ганцхан зүйл бий: интегралыг авах боломжгүй. Ийм тохиолдолд тоон аргууд аврах ажилд ирдэг. Энэ тохиолдолд асуудал нь хоёр томъёололд тохиолддог:

1) Тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоол , үр дүнг тодорхой аравтын бутархай хүртэл дугуйруулна. Жишээлбэл, хоёр хүртэлх аравтын орон, гурав хүртэлх аравтын орон гэх мэт. Ойролцоогоор хариултыг 5.347 гэж үзье. Үнэн хэрэгтээ энэ нь бүхэлдээ зөв биш байж магадгүй юм (бодит байдал дээр илүү үнэн зөв хариулт нь 5.343 байна). Бидний даалгавар зөвхөн тэрүр дүнг аравтын бутархайн гурван орон хүртэл дугуйлах.

2) Тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолох, тодорхой нарийвчлалтайгаар. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг ойролцоогоор 0.001 нарийвчлалтайгаар тооцоол. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь хэрвээ ойролцоогоор хариулт нь 5.347 бол гэсэн үг юм Бүгдтоонууд нь төмөр бетон байх ёстой зөв. Илүү нарийвчлалтай хэлэхэд 5.347 гэсэн хариулт нь үнэнээс үнэмлэхүй утгаараа (нэг чиглэлд эсвэл нөгөө чиглэлд) 0.001-ээс ихгүй ялгаатай байх ёстой.

Асуудалд тохиолддог тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолох хэд хэдэн үндсэн аргууд байдаг.

Тэгш өнцөгтийн арга. Интеграцийн сегментийг хэд хэдэн хэсэгт хувааж, алхамын дүрсийг бүтээдэг ( гистограм), хүссэн хэсэгтээ ойрхон байгаа:

Зургийн дагуу хатуу шүүж болохгүй, нарийвчлал нь тийм ч тохиромжтой биш - тэдгээр нь зөвхөн аргын мөн чанарыг ойлгоход тусална.

Энэ жишээнд интеграцийн сегментийг гурван сегментэд хуваадаг.
. Мэдээжийн хэрэг, илүү олон удаа хуваах (илүү жижиг завсрын сегментүүд), нарийвчлал өндөр байх болно. Тэгш өнцөгтийн арга нь талбайн ойролцоо тооцоолол өгдөг бөгөөд энэ нь практикт маш ховор тохиолддог (би зөвхөн нэг практик жишээг санаж байна). Үүнтэй холбогдуулан би тэгш өнцөгтийн аргыг авч үзэхгүй бөгөөд энгийн томъёог ч өгөхгүй. Би залхуудаа биш, харин миний шийдлийн номны зарчмын улмаас: практик асуудалд маш ховор тохиолддог зүйлийг авч үзэхгүй.

Трапец хэлбэрийн арга. Санаа нь адилхан. Интеграцийн сегмент нь хэд хэдэн завсрын сегментүүдэд хуваагддаг бөгөөд интегралын функцийн график ойртож байна. эвдэрсэн шугаммөр:

Тиймээс бидний талбай (цэнхэр сүүдэр) нь трапецын (улаан) талбайн нийлбэрээр ойролцоо байна. Тиймээс аргын нэр гарч ирэв. Трапецын арга нь тэгш өнцөгтийн аргаас (ижил тооны хуваалтын сегменттэй) илүү сайн ойролцооллыг өгдөг болохыг харахад хялбар байдаг. Мэдээжийн хэрэг, бид илүү жижиг завсрын сегментүүдийг авч үзэх тусам нарийвчлал өндөр байх болно. Трапецын аргыг практик даалгаварт үе үе олдог бөгөөд энэ нийтлэлд хэд хэдэн жишээг авч үзэх болно.

Симпсоны арга (параболын арга). Энэ бол илүү дэвшилтэт арга юм - интегралын графикийг тасархай шугамаар биш, харин жижиг параболоор ойролцоолдог. Завсрын сегментүүдтэй адил олон жижиг параболууд байдаг. Хэрэв бид ижил гурван сегментийг авбал Симпсоны арга нь тэгш өнцөгтийн арга эсвэл трапецын аргаас илүү нарийвчлалтай ойролцоо дүгнэлт өгөх болно.

Функцийн график дээр (өмнөх догол мөрний тасархай шугам, тэр ч байтугай бараг давхцаж байсан) харагдахуйц ойролцоолсон байх тул зураг зурах нь утгагүй гэдгийг би олж харахгүй байна.

Симпсоны томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох асуудал нь практикт хамгийн түгээмэл ажил юм. Мөн параболын аргад ихээхэн анхаарал хандуулах болно.

Эргэлтийн гадаргуу- дурын шугамын (шулуун, хавтгай эсвэл орон зайн муруй) шулуун шугамын (гадаргуугийн тэнхлэг) эргэн тойронд эргэх замаар үүссэн гадаргуу. Жишээлбэл, шулуун шугам нь эргэлтийн тэнхлэгийг огтолж байвал тэнхлэгт параллель байвал конус гадаргуу үүснэ, нэг хуудасны гиперболоид; хувьсгал гарах болно. Олон төрлийн муруйг эргүүлэх замаар ижил гадаргууг олж авч болно. Төгсгөлийн урттай хавтгай муруйг муруйн хавтгайд байрлах боловч муруйтай огтлолцохгүй тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр үүссэн эргэлтийн гадаргуугийн талбай нь муруйн урт ба уртын үржвэртэй тэнцүү байна. тэнхлэгээс муруйн массын төв хүртэлх зайтай тэнцүү радиустай тойрог. Энэ мэдэгдлийг Гилдений хоёр дахь теорем буюу Паппусын центроид теорем гэж нэрлэдэг.

Нэг тэнхлэгийн эргэн тойронд муруйг эргүүлснээр үүссэн эргэлтийн гадаргуугийн талбайг томъёогоор тооцоолж болно.

Туйлтын координатын системд муруйг зааж өгсөн тохиолдолд томъёо хүчинтэй байна

Тодорхой интегралын механик хэрэглээ (хүчний ажил, статик момент, хүндийн төв).

Хүчний ажлын тооцоо

Материаллаг цэг нь тасралтгүй дифференциал болох муруй дагуу хөдөлдөг бол хөдөлгөөний чиглэлд траектор руу тангенциал чиглэсэн хүчээр үйлчилдэг. F(s) хүчээр гүйцэтгэсэн нийт ажил:

Хөдөлгөөний зам дээрх цэгийн байрлалыг өөр параметрээр тодорхойлсон бол томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Статик момент ба хүндийн төвийн тооцоо
Координатын хавтгайд Oxy-ийн зарим массыг тодорхой S цэгүүд дээр p = p(y) нягтралтайгаар тараацгаая (энэ нь муруй нум эсвэл хязгаарлагдмал хавтгай дүрс байж болно). Заасан багцын хэмжүүр (нумын урт эсвэл талбай) -ийг s(y) гэж тэмдэглэе.

Тодорхойлолт 2. Тоо Ox тэнхлэгтэй харьцуулахад M массын k-р момент гэнэ.
k = 0 үед M 0 = M - масс,
k = 1 M 1 - статик момент,
k = 2 M 2 - инерцийн момент.

Ой тэнхлэгтэй холбоотой мөчүүдийг мөн адил танилцуулсан. Сансар огторгуйд координатын хавтгайтай харьцуулахад массын моментуудын тухай ойлголтыг ижил төстэй байдлаар нэвтрүүлсэн.
Хэрэв p = 1 бол харгалзах моментуудыг геометр гэж нэрлэдэг. Нэг төрлийн (p - const) хавтгай дүрсийн хүндийн төвийн координатыг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Энд M 1 y, M 1 x нь Ой ба Үхрийн тэнхлэгтэй харьцуулахад дүрсийн геометрийн статик моментууд; S нь зургийн талбай юм.

Энэ томьёог параллель хэсгүүдийн талбайгаар биеийн эзэлхүүний томъёо гэж нэрлэдэг.

Жишээ. Эллипсоидын эзэлхүүнийг ол x 2 + y 2 + z 2 = 1. a 2b 2c 2

Эллипсоидыг Ойз хавтгайтай параллель, түүнээс хол зайд (-а ≤х ≤а) хавтгайгаар огтолсноор бид эллипсийг олж авна (15-р зургийг үз):

Энэ эллипсийн талбай нь

Тиймээс (16) томъёоны дагуу бид байна

Хувьсгалын гадаргуугийн талбайг тооцоолох

AB муруй нь y = f (x) ≥ 0 функцийн график байх ба энд x [a,b], y = f (x) функц ба түүний уламжлал y" = f" (x) тасралтгүй байна. сегмент.

Дараа нь АВ муруйг Ox тэнхлэгийг тойруулан эргүүлснээр үүссэн гадаргуугийн S талбайг томъёогоор тооцоолно.

Хэрэв AB муруй нь х = x (t), у = у (t), t 1 ≤t ≤t 2 параметрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол эргэлтийн гадаргуугийн талбайн томьёо хэлбэрийг авна.

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

Жишээ R радиустай бөмбөгний гадаргуугийн талбайг ол. Шийдэл:

Үхрийн тэнхлэгийг тойрон y = R 2 − x 2, - R ≤x ≤R хагас тойргийг эргүүлснээр бөмбөгний гадаргуу үүссэн гэж бид үзэж болно. (19) томъёог ашиглан бид олдог

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

-Р

Жишээ. Өгөгдсөн циклоид x = a (t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π. y = a (1− зардал) ,

Үхрийн тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр үүссэн гадаргууг ол. Шийдэл:

Циклоид нумын хагас нь Ox тэнхлэгийг тойрон эргэх үед эргэлтийн гадаргуугийн талбай тэнцүү байна.

Хавтгай муруйны нумын уртыг тооцоолох

Тэгш өнцөгт координатууд

Хагархай шугамын холбоосын тоо хязгааргүй нэмэгдэж, хамгийн том тэгш өнцөгт координатын уртыг тэгшитгэл нь y = f(x) тэгшитгэл нь a ≤ x≤ b тэгш өнцөгт AB муруй өгөгдсөн нуман дотор байг. .

AB нумын урт нь энэ холбоос дээр бичигдсэн тасархай шугамын урт тэг болох хандлагатай байх хязгаар гэж ойлгогддог. Хэрэв y = f(x) функц ба түүний дериватив y′ = f′ (x) нь [a ,b ] сегмент дээр тасралтгүй байвал AB муруй нь дараахтай тэнцүү урттай болохыг харуулъя.

Хэрэв AB муруйны тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр өгвөл

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t) ,

Энд x (t) ба у (t) нь тасралтгүй дериватив бүхий тасралтгүй функцууд ба x (α) = a, x (β) = b бол AB муруйны l уртыг томъёогоор олно.

Энэ нь l = 2π R гэсэн үг. Хэрэв тойргийн тэгшитгэлийг параметрт = R зардал, y = R sint (0 ≤t ≤ 2π ) хэлбэрээр бичвэл

Туйлын координат

AB муруйг туйлын координатаар r =r (ϕ),α ≤ ϕ ≤ β тэгшитгэлээр өгье. r (ϕ ) ба r" (ϕ ) нь [α , β ] интервал дээр тасралтгүй байна гэж үзье.

Хэрэв туйл ба декарт координатыг холбосон x = r cosϕ, y = r sinϕ тэнцүү бол,

ϕ өнцгийг параметр гэж үзвэл AB муруйг параметрийн дагуу тохируулж болноx = r (ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) sinϕ.

Томьёог (15) хэрэглэснээр бид l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ-ийг авна.

Жишээ Кардиоидын уртыг ол r =a (1 + cosϕ ). Шийдэл:

Кардиоид r =a (1 + cosϕ) нь 14-р зурагт үзүүлсэн хэлбэртэй байна. Энэ нь туйлын тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. Кардиоидын уртын хагасыг олъё.

Тиймээс 1 2 л = 4 a. Энэ нь l = 8a гэсэн үг юм.