Ромбын талбайн жишээ. Ромбын талбайг тооцоолоход ашиглаж болох дөрвөн томьёо

Математик бол шинжлэх ухааны хатан хаан, арифметик бол математикийн хатан хаан боловч геометр бол сургуулийн сурагчдад сурахад хамгийн хэцүү зүйл юм. Планиметр бол хавтгай дүрсийг судалдаг геометрийн салбар юм. Эдгээр дүрсүүдийн нэг нь ромб юм. Дөрвөн өнцөгтийг шийдвэрлэхэд тулгардаг ихэнх асуудал нь тэдгээрийн талбайг олоход ирдэг. Мэдэгдэж буй томьёо болон ромбын талбайг тооцоолох янз бүрийн аргуудыг системчилье.

Ромб бол дөрвөн тал нь тэнцүү параллелограмм юм. Параллелограмм нь дөрвөн өнцөгтэй, дөрвөн хос параллель тэнцүү талуудтай гэдгийг санаарай. Аливаа дөрвөн өнцөгтийн нэгэн адил ромб нь хэд хэдэн шинж чанартай байдаг бөгөөд эдгээр нь дараахь шинж чанартай байдаг: диагональууд огтлолцох үед тэдгээр нь 90 градустай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг (AC ⊥ BD), огтлолцлын цэг тус бүрийг хоёр тэнцүү сегмент болгон хуваадаг. Ромбын диагональууд нь мөн түүний өнцгийн биссектрис юм (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD гэх мэт). Үүнээс үзэхэд тэд ромбыг дөрвөн тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваадаг. Хоёрдахь зэрэглэлд өргөгдсөн диагональуудын уртын нийлбэр нь хоёр дахь зэрэглэлийн хажуугийн уртыг 4-ээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. BD 2 + AC 2 = 4AB 2.

Ромбусын талбайг тооцоолохдоо планиметрийн олон аргыг ашигладаг бөгөөд тэдгээрийн хэрэглээ нь эх сурвалжаас хамаарна. Хэрэв хажуугийн урт ба аль нэг өнцөг нь мэдэгдэж байвал та дараах томъёог ашиглаж болно: ромбын талбай нь хажуугийн квадратыг өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Тригонометрийн хичээлээс бид нүгэл (π – α) = sin α гэдгийг мэддэг бөгөөд энэ нь тооцоололд та хурц ба мохоо аль ч өнцгийн синусыг ашиглаж болно гэсэн үг юм. Онцгой тохиолдол бол бүх өнцөг нь зөв байдаг ромб юм. Энэ бол дөрвөлжин. Тэгш өнцгийн синус нь нэгтэй тэнцүү байдаг тул квадратын талбай нь түүний хажуугийн хоёр дахь зэрэгт өргөгдсөн урттай тэнцүү байна.

Диагональуудын мэдэгдэж буй урт ба дурын өнцгийн хэмжээг харгалзан ромбын талбайг хоёр аргаар тодорхойлно. Нэгдүгээрт: талбай нь том диагональ квадратын хагас, хурц өнцгийн хэмжүүрийн хагасын тангенсаар үржүүлсэн, өөрөөр хэлбэл. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), энд D нь гол диагональ, α нь хурц өнцөг юм. Хэрэв та бага диагональын хэмжээг мэдэж байгаа бол бид 1/2*d 2 *tg(β/2) томьёог ашиглана, энд d нь бага диагональ, β нь мохоо өнцөг юм. Цочмог өнцгийн хэмжүүр нь 90 градусаас бага (зөв өнцгийн хэмжүүр), мохоо өнцөг нь 90 0-ээс их гэдгийг санаарай.

Ромбын талбайг хажуугийн урт (ромбын бүх талууд тэнцүү гэдгийг санаарай) ба өндрийг ашиглан олж болно. Өндөр нь өнцгийн эсрэг талд эсвэл түүний өргөтгөлийн эсрэг талд доошлуулсан перпендикуляр юм. Өндөр суурийг ромб дотор байрлуулахын тулд мохоо өнцгөөс доош буулгах хэрэгтэй.

Заримдаа асуудал нь бичээстэй тойрогтой холбоотой өгөгдөл дээр үндэслэн ромбын талбайг олохыг шаарддаг. Энэ тохиолдолд та түүний радиусыг мэдэх хэрэгтэй. Тооцоолоход ашиглаж болох хоёр томьёо байдаг. Тиймээс, асуултанд хариулахын тулд та ромбын хажуугийн үржвэр ба бичээстэй тойргийн радиусыг хоёр дахин нэмэгдүүлж болно. Өөрөөр хэлбэл, та ромбын хажуугаар бичээстэй тойргийн диаметрийг үржүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв өнцгийн хэмжээг асуудлын тайлбарт үзүүлбэл талбайг радиусын квадратыг дөрөвөөр үржүүлсэн өнцгийн синусын хоорондох хуваарийг олж авна.

Таны харж байгаагаар ромбын талбайг олох олон арга бий. Мэдээжийн хэрэг, тус бүрийг санахын тулд тэвчээр, анхаарал халамж, мэдээжийн хэрэг цаг хугацаа шаардагдана. Гэхдээ ирээдүйд та даалгавартаа тохирсон аргыг хялбархан сонгох боломжтой бөгөөд геометр нь тийм ч хэцүү биш гэдгийг олж мэдэх болно.

бүх талууд тэнцүү байх параллелограмм юм.

Зөв өнцөгтэй ромбыг дөрвөлжин гэж нэрлэдэг бөгөөд ромбын онцгой тохиолдол гэж үздэг. Та ромбын талбайг түүний бүх элементүүдийг - тал, диагональ, өндрийг ашиглан янз бүрийн аргаар олж болно. Ромбын талбайн сонгодог томъёо бол өндрөөр дамжуулан утгыг тооцоолох явдал юм.

Энэ томъёог ашиглан ромбын талбайг тооцоолох жишээ нь маш энгийн. Та зөвхөн өгөгдлийг орлуулж, талбайг тооцоолох хэрэгтэй.

Диагональ дундуур ромбын талбай

Ромбын диагональууд нь зөв өнцгөөр огтлолцдог бөгөөд огтлолцох цэг дээр хагасаар хуваагддаг.

Ромбын талбайн диагональуудын томъёо нь түүний диагональуудыг 2-т хуваасан үржвэр юм.

Диагональ ашиглан ромбын талбайг тооцоолох жишээг харцгаая. Диагональтай ромбыг өгье
d1 =5 см ба d2 =4. Талбайг олцгооё.

Хажуугийн дундуур ромбын талбайн томъёо нь бусад элементүүдийг ашиглахыг хэлдэг. Хэрэв тойрог нь ромб хэлбэрээр бичигдсэн бол зургийн талбайг талууд болон түүний радиусаас тооцоолж болно.

Хажуугийн дундуур ромбын талбайг тооцоолох жишээ нь бас маш энгийн. Та зөвхөн бичээстэй тойргийн радиусыг тооцоолох хэрэгтэй. Үүнийг Пифагорын теоремоос гаргаж, томъёог ашиглан гаргаж болно.

Хажуу ба өнцгөөр дамжин ромбын талбай

Хажуу ба өнцгийн хувьд ромбын талбайн томъёог ихэвчлэн ашигладаг.

Хажуу ба өнцгийг ашиглан ромбын талбайг тооцоолох жишээг харцгаая.

Даалгавар:Диагональ нь d1 = 4 см, d2 = 6 см ромбус өгөгдсөн бол хурц өнцөг нь α = 30 ° байна. Хажуу ба өнцгийг ашиглан зургийн талбайг ол.
Эхлээд ромбын талыг олъё. Үүний тулд бид Пифагорын теоремыг ашигладаг. Бид огтлолцох цэг дээр диагональууд хоёр хуваагдаж, тэгш өнцөг үүсгэдэг гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс:
Утгыг орлуулъя:
Одоо бид тал болон өнцгийг мэддэг. Талбайг олцгооё:

Ромб бол геометрийн тусгай дүрс юм. Онцгой шинж чанаруудын ачаар ромбын талбайг тооцоолоход ашиглаж болох нэг биш, хэд хэдэн томъёо байдаг. Эдгээр шинж чанарууд юу вэ, энэ зургийн талбайг олох хамгийн түгээмэл томъёо юу вэ? Үүнийг олж мэдье.

Ямар геометрийн дүрсийг ромб гэж нэрлэдэг вэ?

Ромбын талбай гэж юу болохыг олж мэдэхийн өмнө энэ нь ямар дүрс болохыг олж мэдэх нь зүйтэй.

Евклидийн геометрийн үеэс эхлэн ромб нь тэгш хэмтэй дөрвөлжин бөгөөд дөрвөн тал нь ижил урттай, хос хосоороо параллель байдаг.

Нэр томъёоны гарал үүсэл

Энэ дүрсийн нэр орчин үеийн ихэнх хэлэнд Грек хэлнээс Латин хэлний зуучлалаар орж ирсэн. "Ромбус" гэдэг үгийн "өвлөгч" нь Грекийн нэр үг ῥόμβος (хэнгэрэг) байв. Бөөрөнхий хэнгэрэгт дассан 20-р зууны оршин суугчдад өөр ямар ч хэлбэрээр төсөөлөхөд хэцүү байсан ч Грекчүүдийн дунд эдгээр хөгжмийн зэмсгүүдийг дугуй биш, алмаазан хэлбэртэй хийдэг байжээ.

Орчин үеийн ихэнх хэлэнд энэ математик нэр томъёог Латин хэлээр ашигладаг: rombus. Гэсэн хэдий ч англи хэл дээр ромбусыг заримдаа алмаз (алмаз эсвэл алмаз) гэж нэрлэдэг. Энэ дүрс нь үнэт чулууг санагдуулам онцгой хэлбэрийн улмаас ийм хоч авсан. Дүрмээр бол ижил төстэй нэр томъёог бүх ромбуудад ашигладаггүй, гэхдээ зөвхөн түүний хоёр талын огтлолцлын өнцөг жаран эсвэл дөчин таван градустай тэнцүү байдаг.

Энэ тоог шинэ эриний нэгдүгээр зуунд амьдарч байсан Грекийн математикч - Александрын Хероны бүтээлүүдэд анх дурдсан байдаг.

Энэ геометрийн дүрс ямар шинж чанартай вэ?

Ромбын талбайг олохын тулд эхлээд энэ геометрийн дүрс ямар шинж чанартай болохыг мэдэх хэрэгтэй.

Ямар нөхцөлд параллелограммыг ромб гэж үздэг вэ?

Та бүхний мэдэж байгаагаар ромб бүр параллелограмм боловч параллелограмм бүр ромб биш юм. Үзүүлсэн дүрс нь энгийн параллелограмм биш харин ромб мөн гэдгийг үнэн зөвөөр илэрхийлэхийн тулд энэ нь ромбыг ялгах гурван үндсэн шинж чанарын аль нэгэнд тохирсон байх ёстой. Эсвэл гурвуулаа нэг дор.

Параллелограммын диагональууд ерэн градусын өнцгөөр огтлолцдог.
Диагональууд өнцгүүдийг хоёр хэсэгт хувааж, тэдгээрийн биссектрисын үүрэг гүйцэтгэдэг.
Зөвхөн зэрэгцээ төдийгүй зэргэлдээх талууд нь ижил урттай байдаг. Дашрамд хэлэхэд энэ нь ромб ба параллелограммын гол ялгаануудын нэг юм, учир нь хоёр дахь зураг нь зөвхөн зэрэгцээ талуудтай тэнцүү урттай, гэхдээ зэргэлдээх талуудтай байдаггүй.

Ямар нөхцөлд ромб нь дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг вэ?

Түүний шинж чанарын дагуу зарим тохиолдолд ромб нь нэгэн зэрэг дөрвөлжин хэлбэртэй болдог. Энэ мэдэгдлийг тодорхой батлахын тулд квадратыг аль ч чиглэлд дөчин таван градусаар эргүүлэхэд хангалттай. Үүссэн зураг нь өнцөг бүр нь ерэн градустай тэнцүү ромб байх болно.

Мөн дөрвөлжин нь ромб гэдгийг батлахын тулд эдгээр дүрсүүдийн шинж чанарыг харьцуулж болно: хоёр тохиолдолд бүх талууд тэнцүү, диагональууд нь биссектрис бөгөөд ерэн градусын өнцөгт огтлолцдог.

Диагональуудыг ашиглан ромбын талбайг хэрхэн олох вэ

Орчин үеийн ертөнцөд шаардлагатай тооцоолол хийх бараг бүх материалыг интернетээс олж болно. Тиймээс тодорхой дүрсийн талбайг автоматаар тооцоолох програмаар тоноглогдсон маш олон нөөц байдаг. Түүнээс гадна, хэрэв (ромбын хувьд) үүнд хэд хэдэн томъёо байгаа бол аль нь ашиглахад хамгийн тохиромжтойг сонгох боломжтой. Гэсэн хэдий ч, юуны өмнө та компьютерийн тусламжгүйгээр ромбын талбайг өөрөө тооцоолж, томъёог удирдах чадвартай байх хэрэгтэй. Ромбусын хувьд олон байдаг ч хамгийн алдартай нь дөрөв юм.

Энэ зургийн талбайг олж мэдэх хамгийн энгийн бөгөөд түгээмэл аргуудын нэг бол диагональуудын уртын талаархи мэдээлэлтэй байх явдал юм. Хэрэв асуудалд ийм өгөгдөл байгаа бол та талбайг олохын тулд дараах томъёог ашиглаж болно: S = KM x LN/2 (KM ба LN нь KLMN ромбын диагональууд).

Та энэ томъёоны найдвартай байдлыг практик дээр шалгаж болно. KLMN ромб нь диагональуудын аль нэгнийх нь урт KM - 10 см, хоёр дахь нь LN - 8 см байна гэж бодъё. Дараа нь бид эдгээр өгөгдлийг дээрх томъёонд орлуулж, дараах үр дүнг авна: S = 10 x 8/ 2 =. 40 см 2.

Параллелограммын талбайг тооцоолох томъёо

Өөр нэг томъёо бий. Дээр дурдсанчлан ромбын тодорхойлолтод энэ нь зөвхөн дөрвөлжин биш, мөн параллелограмм бөгөөд энэ дүрсийн бүх шинж чанарыг агуулсан байдаг. Энэ тохиолдолд түүний талбайг олохын тулд параллелограммд ашигласан томъёог ашиглах нь зүйтэй: S = KL x Z. Энэ тохиолдолд KL нь параллелограммын хажуугийн урт (ромбус), Z нь параллелограммын урт юм. энэ тал руу татсан өндрийн урт.

Зарим асуудалд хажуугийн уртыг заагаагүй боловч ромбын периметрийг мэддэг. Үүнийг олох томъёог дээр дурдсан тул та хажуугийн уртыг олохын тулд үүнийг ашиглаж болно. Тиймээс, зургийн периметр нь 10 см. Хажуугийн уртыг периметрийн томъёог эргүүлж, 10-ыг 4-т хуваах замаар олж болно. Үр дүн нь 2.5 см байх болно - энэ нь ромбын хажуугийн хүссэн урт юм.

Хажуу талд нь зурсан өндрийн урт нь мөн 2.5 см-тэй тэнцүү гэдгийг мэдэж байгаа тул энэ тоог томъёонд орлуулахыг хичээх нь зүйтэй болов уу параллелограмм. Ромбын талбай нь S = 2.5 x 2.5 = 6.25 см 2 байна.

Ромбын талбайг тооцоолох бусад аргууд

Синус болон косинусыг аль хэдийн эзэмшсэн хүмүүс ромбын талбайг олохын тулд тэдгээрийг агуулсан томъёог ашиглаж болно. Сонгодог жишээ бол дараах томъёо юм: S = KM 2 x Sin KLM. Энэ тохиолдолд зургийн талбай нь ромбын хоёр талын үржвэрийг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Ромбусын бүх талууд ижил тул томъёонд үзүүлсэн шиг нэг талыг дөрвөлжин болгох нь илүү хялбар байдаг.

Бид энэ схемийг практик дээр шалгаж үздэг бөгөөд зөвхөн ромбын хувьд биш, харин та бүхний мэдэж байгаагаар бүх тэгш өнцөгтэй дөрвөлжин хэлбэртэй бөгөөд энэ нь ерэн градустай тэнцүү гэсэн үг юм. Талуудын аль нэг нь 15 см гэж үзье 90 ° өнцгийн синус нь нэгтэй тэнцүү байна. Дараа нь томъёоны дагуу S = 15 x 15 x Sin 90 ° = 255x1 = 255 см 2 байна.

Дээр дурдсанаас гадна зарим тохиолдолд ромбын талбайг тодорхойлохын тулд синусыг ашиглан өөр томьёог ашигладаг: S = 4 x R 2 / Sin KLM. Энэ хувилбарт ромб дээр бичсэн тойргийн радиусыг ашигласан болно. Энэ нь дөрвөлжингийн хүч хүртэл өргөж, дөрөвөөр үржүүлнэ. Үр дүнг бүхэлд нь бичээстэй хамгийн ойрын өнцгийн синусаар хуваана.

Жишээлбэл, тооцооллыг хялбар болгохын тулд квадратыг дахин авъя (түүний өнцгийн синус нь үргэлж нэгтэй тэнцүү байх болно). Тэнд бичсэн тойргийн радиус нь 4.4 см байна Дараа нь ромбын талбайг дараах байдлаар тооцоолно: S = 4 x 4.4 2 / Sin 90 ° = 77.44 см 2.

Ромбусын радиусыг олох дээрх томъёонууд нь цорын ганц зүйлээс хол боловч тэдгээрийг ойлгох, тооцоолоход хамгийн хялбар байдаг.

Ромб бол параллелограммын онцгой тохиолдол юм. Энэ бол бүх тал нь тэнцүү хавтгай дөрвөлжин дүрс юм. Энэ шинж чанар нь ромбууд нь параллель эсрэг талуудтай, эсрэг талын өнцөгтэй тэнцүү болохыг тодорхойлдог. Ромбын диагональууд нь зөв өнцгөөр огтлолцдог бөгөөд тэдгээрийн огтлолцлын цэг нь диагональ бүрийн дунд байх ба тэдгээрийн гарч ирэх өнцгүүд нь хагасаар хуваагддаг. Өөрөөр хэлбэл, ромбын диагональууд нь өнцгийн биссектриса юм. Дээр дурдсан тодорхойлолтууд болон ромбусуудын жагсаасан шинж чанарууд дээр үндэслэн тэдгээрийн талбайг янз бүрийн аргаар тодорхойлж болно.

1. Хэрэв AC ба BD ромбын диагональ хоёулаа мэдэгдэж байвал ромбын талбайг диагональуудын хагас үржвэрээр тодорхойлж болно.

S = ½ ∙ А.С. ∙ Б.Д

Энд AC, BD нь ромбын диагональуудын урт юм.

Яагаад ийм байдгийг ойлгохын тулд тэгш өнцөгтийг ромбын хажуу тал нь ромбын диагональтай перпендикуляр байхаар оюун ухаандаа тааруулж болно. Ромбусын талбай нь ромбын диагональуудын хэмжээтэй тохирч байгаа тэгш өнцөгтийн талбайн хагастай тэнцүү байх нь тодорхой болж байна.

2. Параллелепипедтэй зүйрлэвэл ромбын талбайг түүний хажуугийн үржвэр ба эсрэг талын перпендикулярын өндрийг өгөгдсөн тал руу буулгасан байдлаар олж болно.

S = a ∙ h

a нь ромбын тал;
h нь өгөгдсөн тал руу унасан перпендикулярын өндөр.

3. Ромбын талбай нь түүний хажуугийн квадратыг α өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

S = a 2 ∙ нүгэл α

a нь ромбын тал;
α нь талуудын хоорондох өнцөг юм.

4. Мөн ромбын талбайг түүний хажуугаар болон дотор нь бичсэн тойргийн радиусыг олж болно.

S=2 ∙ а ∙ r

a нь ромбын тал;
r нь ромб дотор бичигдсэн тойргийн радиус юм.

Сонирхолтой баримтууд
Ромбус гэдэг үг нь эртний Грекийн ромбусаас гаралтай бөгөөд энэ нь "хэнгэрэг" гэсэн утгатай. Тэр үед хэнгэрэг яг одоо бидний харж заншсан шиг бөөрөнхий биш, алмаазан хэлбэртэй байсан. Үүний зэрэгцээ картын костюмны нэр "алмаз" гарч ирэв. Төрөл бүрийн алмазыг сүлд урлагт өргөн ашигладаг.

Ромбус гэж юу вэ? Ромб бол бүх талууд тэнцүү параллелограмм юм.

RHOMBUS, хавтгай дээрх дүрс, тэгш талуудтай дөрвөн өнцөгт. Зэргэлдээ хоёр тал нь тэнцүү, эсвэл диагональууд нь зөв өнцгөөр огтлолцдог, эсвэл диагональ нь өнцгийг хоёр хуваадаг ПАРАЛЛЕЛОГРАМ-ын онцгой тохиолдолыг ромбус гэнэ. Зөв өнцөгтэй ромбыг квадрат гэж нэрлэдэг.

Ромбын талбайн сонгодог томъёо бол өндрөөр дамжуулан утгыг тооцоолох явдал юм. Ромбын талбай нь нэг тал ба тэр тал руу татсан өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

1. Ромбын талбай нь тал ба энэ тал руу татсан өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

\[ S = a \cdot h \]

2. Хэрэв ромбын тал (ромбын бүх талууд тэнцүү) ба талуудын хоорондох өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг дараах томъёогоор олно.

\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]

3. Ромбын талбай нь диагональуудын хагас үржвэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Хэрэв ромб дотор бичээстэй тойргийн r радиус ба ромбын тал нь мэдэгдэж байгаа бол түүний талбайг дараах томъёогоор тооцоолно.

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Ромбын шинж чанарууд

Дээрх зурагт \(ABCD\) нь ромб, \(AC = DB = CD = AD\) . Ромб бол параллелограмм учраас параллелограммын бүх шинж чанарыг агуулсан боловч зөвхөн ромбт хамаарах шинж чанарууд бас байдаг.

Та ямар ч ромб руу тойрог хийж болно. Ромб дээр бичээстэй тойргийн төв нь түүний диагональуудын огтлолцох цэг юм. Тойргийн радиусромбын өндрийн хагастай тэнцүү:

\[ r = \frac( AH )(2) \]