Гурван талдаа трапецын талбай. Трапецын талбайг хэрхэн олох вэ: томъёо ба жишээ

Трапец бол эсрэг талын хоёр тал нь хоорондоо параллель байдаг, харин нөгөө хоёр нь тийм биш байдаг дөрвөлжингийн тусгай төрөл юм. Төрөл бүрийн бодит объектууд нь трапец хэлбэртэй байдаг тул өдөр тутмын болон сургуулийн асуудлыг шийдэхийн тулд ийм геометрийн дүрсийн периметрийг тооцоолох шаардлагатай байж магадгүй юм.

Трапец хэлбэрийн геометр

Трапец (Грек хэлнээс "трапец" - хүснэгт) нь дөрвөн сегментээр хязгаарлагдсан хавтгай дээрх дүрс бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь зэрэгцээ, хоёр нь биш юм. Зэрэгцээ хэрчмүүдийг трапецын суурь, параллель бус сегментийг зургийн талууд гэж нэрлэдэг. Хажуу тал ба тэдгээрийн налуу өнцөг нь трапецын төрлийг тодорхойлдог бөгөөд энэ нь масштабтай, тэгш өнцөгт эсвэл тэгш өнцөгт хэлбэртэй байж болно. Суурь ба хажуугаас гадна трапец нь өөр хоёр элементтэй.

• өндөр - зургийн зэрэгцээ суурийн хоорондох зай;
• дунд шугам - талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент.

Энэхүү геометрийн дүрс нь бодит амьдрал дээр өргөн тархсан байдаг.

Бодит байдал дээр трапец

Өдөр тутмын амьдралд олон бодит объектууд трапец хэлбэртэй байдаг. Хүний үйл ажиллагааны дараахь чиглэлээр трапецийг хялбархан олох боломжтой.

• интерьер дизайн, чимэглэл - буйдан, ширээний тавцан, хана, хивс, дүүжин тааз;
• ландшафтын дизайн - зүлэг, хиймэл усан сангийн хил хязгаар, гоёл чимэглэлийн элементийн хэлбэрүүд;
• загвар - хувцас, гутал, дагалдах хэрэгслийн хэлбэр;
• архитектур - цонх, хана, барилгын суурь;
• үйлдвэрлэл - төрөл бүрийн бүтээгдэхүүн, эд анги.

Трапецийг ийм өргөнөөр ашигласнаар мэргэжилтнүүд геометрийн дүрсийн периметрийг тооцоолох шаардлагатай болдог.

Трапецын периметр

Зургийн периметр нь n-gon-ийн бүх талуудын уртын нийлбэрээр тооцогдох тоон шинж чанар юм. Трапец бол дөрвөлжин бөгөөд ерөнхийдөө түүний бүх талууд өөр өөр урттай тул периметрийг дараах томъёогоор тооцоолно.

P = a + b + c + d,

a ба c нь зургийн суурь, b ба d нь түүний талууд юм.

Хэдийгээр бид трапецын периметрийг тооцоолохдоо өндрийг мэдэх шаардлагагүй ч тооны машины код нь энэ хувьсагчийг оруулахыг шаарддаг. Өндөр нь тооцоололд ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй тул манай онлайн тооцоолуурыг ашиглахдаа та 0-ээс их өндрийн утгыг оруулах боломжтой. Хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Бодит амьдралын жишээнүүд

Алчуур

Та трапец хэлбэрийн ороолттой байсан бөгөөд та үүнийг захаар засахыг хүсч байна гэж бодъё. Та нэмэлт материал худалдаж авахгүй, дэлгүүрт хоёр удаа очихгүйн тулд ороолтны периметрийг мэдэх хэрэгтэй. Таны ижил өнцөгт ороолтыг дараах параметртэй болго: a = 120 см, b = 60 см, c = 100 см, d = 60 см Бид эдгээр өгөгдлийг онлайн маягт руу оруулаад хариултыг маягтаар авна.

Тиймээс ороолтны периметр нь 340 см бөгөөд үүнийг дуусгахын тулд захын сүлжсэн урт нь яг энэ юм.

Налуу

Жишээлбэл, та трапец хэлбэрийн стандарт бус металл-хуванцар цонхны налууг хийхээр шийдсэн. Ийм цонхыг барилгын дизайнд өргөн ашигладаг бөгөөд хэд хэдэн салаа бүрээсийг бүрдүүлдэг. Ихэнхдээ ийм цонхыг тэгш өнцөгт трапец хэлбэрээр хийдэг. Ийм цонхны налууг хийхэд хэр их материал шаардагдахыг олж мэдье. Стандарт цонх нь дараах параметртэй байна a = 140 см, b = 20 см, c = 180 см, d = 50 см Бид эдгээр өгөгдлийг ашиглаж, үр дүнг хэлбэрээр авна

Тиймээс трапец хэлбэрийн цонхны периметр нь 390 см бөгөөд налууг үүсгэхийн тулд яг хэдэн хуванцар хавтан худалдаж авах шаардлагатай болно.

Дүгнэлт

Трапец бол өдөр тутмын амьдралд түгээмэл хэрэглэгддэг дүрс бөгөөд хамгийн гэнэтийн нөхцөл байдалд хэний параметрүүдийг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Трапецын периметрийг тооцоолох нь инженер, архитектороос эхлээд дизайнер, механикч хүртэл олон мэргэжилтнүүдэд шаардлагатай байдаг. Манай онлайн тооны машинуудын каталог нь аливаа геометрийн хэлбэр, биетийн тооцоолол хийх боломжийг танд олгоно.

Трапецын талбайг олох олон арга бий. Ихэвчлэн математикийн багш үүнийг тооцоолох хэд хэдэн аргыг мэддэг тул тэдгээрийг илүү нарийвчлан авч үзье.
1) , энд AD ба BC нь суурь, BH нь трапецын өндөр юм. Баталгаа: BD диагональ зурж, ABD ба CDB гурвалжнуудын талбайг суурь ба өндрийн хагас үржвэрээр илэрхийл.

, энд АН нь гадаад өндөр

Эдгээр тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нэмээд BH ба DP-ийн өндөр тэнцүү байгааг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үүнийг хаалтнаас гаргаж авцгаая

Q.E.D.

Трапецын талбайн томъёоны үр дүнд:
Суурийн хагас нийлбэр MN - трапецын дунд шугамтай тэнцүү тул

2) Дөрвөн өнцөгтийн талбайн ерөнхий томъёоны хэрэглээ.
Дөрвөн өнцөгтийн талбай нь диагональуудын үржвэрийн хагасыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
Үүнийг батлахын тулд трапецийг 4 гурвалжин болгон хувааж, тус бүрийн талбайг "диагональуудын хагасын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синус" -аар илэрхийлэхэд хангалттай (өнцөг болгон авч, үүссэн илэрхийлэлүүдийг нэмнэ, Тэдгээрийг хаалтнаас гаргаж, бүлэглэх аргыг ашиглан энэ хаалтанд үржүүлснээр илэрхийлэлтэй тэнцүү байна

3) Диагональ шилжих арга
Энэ бол миний нэр. Математикийн багш сургуулийн сурах бичигт ийм гарчигтай тааралдахгүй. Техникийн тайлбарыг зөвхөн нэмэлт сурах бичгүүдээс олж, асуудлыг шийдвэрлэх жишээ болгон авч болно. Планиметрийн талаархи сонирхолтой, хэрэгцээтэй баримтуудын ихэнхийг математикийн багш нар практик ажил хийх явцад оюутнуудад өгдөг гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна. Энэ нь туйлын дутуу юм, учир нь оюутан тэдгээрийг тусдаа теорем болгон тусгаарлаж, "том нэрс" гэж нэрлэх хэрэгтэй. Үүний нэг нь "диагональ шилжилт" юм. Энэ юуны тухай вэ? E цэгийн доод суурьтай огтлолцох хүртэл В оройгоор АС-тай параллель шугам татъя. Энэ тохиолдолд EBCA дөрвөлжин параллелограмм (тодорхойлолтоор) байх тул BC=EA ба EB=AC болно. Эхний тэгш байдал нь одоо бидэнд чухал юм. Бидэнд байгаа:

Талбай нь трапецын талбайтай тэнцүү гурвалжин BED нь хэд хэдэн гайхалтай шинж чанартай болохыг анхаарна уу.
1) Түүний талбай нь трапецын талбайтай тэнцүү байна
2) Түүний тэгш өнцөгт нь трапецын тэгш өнцөгттэй нэгэн зэрэг тохиолддог.
3) В орой дээрх түүний дээд өнцөг нь трапецын диагональуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү (энэ нь асуудалд ихэвчлэн ашиглагддаг)
4) Түүний дундаж BK нь трапецын суурийн дунд цэгүүдийн хоорондох QS зайтай тэнцүү байна. Би саяхан Ткачукийн 1973 оны сурах бичгийг ашиглан Москвагийн Улсын Их Сургуулийн механик, математикийн чиглэлээр оюутан бэлтгэхдээ энэ өмчийг ашиглахтай тулгарсан (асуудлыг хуудасны доод хэсэгт өгсөн).

Математикийн багшид зориулсан тусгай арга техник.

Заримдаа би трапецын талбайг олох маш төвөгтэй аргыг ашиглан асуудлыг санал болгодог. Практикт багш үүнийг маш ховор ашигладаг тул би үүнийг тусгай арга гэж ангилдаг. Хэрэв танд зөвхөн В хэсэгт математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх шаардлагатай бол тэдгээрийн талаар унших шаардлагагүй. Бусдын хувьд би цааш нь хэлье. Трапецын талбай нь нэг талын төгсгөл ба нөгөө талын дунд оройтой гурвалжны талбайгаас хоёр дахин их байна, өөрөөр хэлбэл зураг дээрх ABS гурвалжин:
Баталгаа: BCS ба ADS гурвалжинд SM ба SN өндрийг зурж, эдгээр гурвалжны талбайн нийлбэрийг илэрхийл.

S цэг нь CD-ийн дунд цэг тул (өөрөө батална уу) гурвалжны талбайн нийлбэрийг олъё:

Энэ нийлбэр нь трапецын талбайн тэн хагастай тэнцэж, дараа нь түүний хоёр дахь хагастай тэнцүү болсон. гэх мэт.

Би багшийн тусгай аргын цуглуулгад хажуугийн дагуух тэгш өнцөгт трапецын талбайг тооцоолох хэлбэрийг оруулах болно: p нь трапецын хагас периметр юм. Би нотлох баримт өгөхгүй. Тэгэхгүй бол математикийн багш чинь ажилгүй хоцорно :). Хичээлдээ ирээрэй!

Трапецын талбайн асуудал:

Математикийн багшийн тэмдэглэл: Доорх жагсаалт нь сэдвийн арга зүйн дагалдах хэрэгсэл биш бөгөөд энэ нь дээр дурдсан арга техник дээр суурилсан сонирхолтой даалгавруудын жижиг сонголт юм.

1) Трапецын доод суурь нь 13, дээд хэсэг нь 5. Трапецын диагональ нь хажуу тийш перпендикуляр байвал түүний талбайг ол.
2) Суурь нь 2см ба 5см, талууд нь 2см ба 3см бол трапецын талбайг ол.
3) Хоёр талт трапецын хувьд том суурь нь 11, тал нь 5, диагональ нь трапецын талбайг ол.
4) Хоёр талт трапецын диагональ нь 5, дунд шугам нь 4. Талбайг ол.
5) Хоёр талт трапецын суурь нь 12 ба 20, диагональууд нь харилцан перпендикуляр байна. Трапецын талбайг тооцоол
6) Хоёр талт трапецын диагональ нь түүний доод суурьтай өнцөг үүсгэдэг. Трапецын өндөр нь 6 см бол түүний талбайг ол.
7) Трапецын талбай нь 20, нэг тал нь 4 см бөгөөд эсрэг талын дундаас түүнд хүрэх зайг ол.
8) Хоёр талт трапецын диагональ нь 6 ба 14 талбайтай гурвалжинд хуваагдана.Хажуу тал нь 4 бол өндрийг ол.
9) Трапецын диагональ нь 3 ба 5-тай тэнцүү, суурийн дунд цэгүүдийг холбосон хэрчим нь 2-той тэнцүү байна. Трапецын талбайг ол (Мехмат МСУ, 1970).

Би хамгийн хэцүү асуудлуудыг сонгоогүй (механик инженерчлэлээс бүү ай!) Би тэдгээрийг бие даан шийдэж чадна гэсэн хүлээлттэй байсан. Эрүүл мэндийнхээ төлөө шийдээрэй! Хэрэв танд математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх шаардлагатай бол энэ үйл явцад трапецын талбайн томъёог оролцуулалгүйгээр В6, С4-тэй холбоотой ноцтой асуудал гарч болзошгүй. Сэдвийг бүү эхлээрэй, ямар нэгэн хүндрэл гарсан тохиолдолд тусламж хүс. Математикийн багш танд туслахдаа үргэлж баяртай байх болно.

Колпаков А.Н.
Москвад математикийн багш, Строгино дахь улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх.

Математикийн хувьд хэд хэдэн төрлийн дөрвөн өнцөгтийг мэддэг: дөрвөлжин, тэгш өнцөгт, ромб, параллелограмм. Тэдгээрийн дотроос трапец хэлбэрийн гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй бөгөөд хоёр тал нь зэрэгцээ, нөгөө хоёр нь огт байдаггүй. Зэрэгцээ эсрэг талын талуудыг суурь, нөгөө хоёрыг нь трапецын хажуу тал гэж нэрлэдэг. Хажуугийн дунд цэгүүдийг холбосон сегментийг дунд шугам гэж нэрлэдэг. Трапецын хэд хэдэн төрөл байдаг: тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, муруй. Трапецын төрөл бүрийн хувьд талбайг олох томъёо байдаг.

Трапецын талбай

Трапецын талбайг олохын тулд та түүний суурийн урт, өндрийг мэдэх хэрэгтэй. Трапецын өндөр нь суурийн перпендикуляр сегмент юм. Дээд суурь нь a, доод суурь нь b, өндөр нь h байна. Дараа нь та S талбайг томъёогоор тооцоолж болно.

S = ½ * (a+b) * h

тэдгээр. суурийн нийлбэрийг өндрөөр үржүүлсэн хагасыг авна.

Өндөр ба төвийн шугамыг мэддэг бол трапецын талбайг тооцоолох боломжтой болно. Дунд шугамыг тэмдэглэе - m. Дараа нь

Илүү төвөгтэй асуудлыг шийдье: трапецын дөрвөн талын урт нь мэдэгдэж байна - a, b, c, d. Дараа нь тухайн талбайг дараах томъёогоор олно.

Хэрэв диагональуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг дараах байдлаар хайна.

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Энд 1 ба 2 индекстэй d нь диагональ юм. Энэ томъёонд өнцгийн синусыг тооцоололд өгсөн болно.

a ба b суурийн мэдэгдэж буй урт, доод суурийн хоёр өнцгийг өгснөөр талбайг дараах байдлаар тооцоолно.

S = ½ * (b2 - a2) * (нүгэл α * нүгэл β / нүгэл(α + β))

Хоёр талт трапецын талбай

Трапецын онцгой тохиолдол нь ижил өнцөгт трапец юм. Үүний ялгаа нь ийм трапец нь эсрэг талын хоёр талын дунд цэгээр дамждаг тэгш хэмийн тэнхлэг бүхий гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг. Түүний талууд тэнцүү байна.

Хоёр талт трапецын талбайг олох хэд хэдэн арга байдаг.

• Гурван талын уртаар дамжин. Энэ тохиолдолд талуудын урт нь давхцах тул тэдгээрийг нэг утгаар - c, a ба b - суурийн уртаар тодорхойлно.

• Хэрэв дээд суурийн урт, хажуу ба доод суурийн өнцөг тодорхой байвал талбайг дараах байдлаар тооцоолно.

S = c * sin α * (a + c * cos α)

a нь дээд суурь, c нь тал юм.

• Хэрэв дээд суурийн оронд доод талын урт нь мэдэгдэж байгаа бол - b бол талбайг дараах томъёогоор тооцоолно.

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Хэрэв хоёр суурь ба доод суурийн өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг өнцгийн шүргэгчээр тооцоолно.

S = ½ * (b2 – a2) * бор α

• Талбайг мөн диагональ болон тэдгээрийн хоорондох өнцгөөр тооцдог. Энэ тохиолдолд диагональ нь ижил урттай тул бид тус бүрийг дэд тэмдэггүйгээр d үсгээр тэмдэглэнэ.

S = ½ * d2 * sin α

• Хажуугийн урт, төвийн шугам, доод суурийн өнцгийг мэдэхийн тулд трапецын талбайг тооцоолъё.

Хажуу тал нь c, дунд шугам нь m, өнцөг нь a байвал:

S = m * c * sin α

Заримдаа та радиус нь r байх ижил талт трапецын тойрогт тойрог бичиж болно.

Суурийн уртын нийлбэр нь түүний талуудын уртын нийлбэртэй тэнцүү бол тойрогыг дурын трапец хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг мэддэг. Дараа нь талбайг бичээстэй тойргийн радиус ба доод суурийн өнцгөөр олж болно.

S = 4r2 / sin α

Үүнтэй ижил тооцоог бичээстэй тойргийн D диаметрийг ашиглан хийдэг (дашрамд хэлэхэд энэ нь трапецын өндөртэй давхцдаг):

Суурь ба өнцгийг мэдэхийн тулд ижил өнцөгт трапецын талбайг дараах байдлаар тооцоолно.

S = a * b / sin α

(энэ болон дараагийн томьёо нь зөвхөн тойрог бүхий трапецын хувьд хүчинтэй).

Тойргийн суурь ба радиусыг ашиглан талбайг дараах байдлаар олно.

Хэрэв зөвхөн суурь нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Суурь ба хажуугийн шугамаар трапецын талбайг бичээстэй тойрог, суурь ба дунд шугамаар - м-ийг дараах байдлаар тооцоолно.

Тэгш өнцөгт трапецын талбай

Нэг тал нь сууринд перпендикуляр байвал трапецийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд хажуугийн урт нь трапецын өндөртэй давхцдаг.

Тэгш өнцөгт трапец нь дөрвөлжин ба гурвалжингаас бүрдэнэ. Зураг тус бүрийн талбайг олсны дараа үр дүнг нэмж, зургийн нийт талбайг олоорой.

Мөн трапецын талбайг тооцоолох ерөнхий томъёо нь тэгш өнцөгт трапецын талбайг тооцоолоход тохиромжтой.

• Хэрэв суурийн урт ба өндөр (эсвэл перпендикуляр хажуу тал) нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг дараах томъёогоор тооцоолно.

S = (a + b) * h / 2

Хажуу талын c нь h (өндөр) үүрэг гүйцэтгэж болно. Дараа нь томъёо дараах байдлаар харагдана.

S = (a + b) * c / 2

• Талбайг тооцоолох өөр нэг арга бол төв шугамын уртыг өндрөөр үржүүлэх явдал юм.

эсвэл хажуугийн перпендикуляр талын уртаар:

• Тооцоолох дараагийн арга бол диагональуудын хагас үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусыг тооцоолох явдал юм.

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Хэрэв диагональууд перпендикуляр байвал томъёог дараах байдлаар хялбаршуулна.

S = ½ * d1 * d2

• Тооцоолох өөр нэг арга бол хагас периметр (эсрэг хоёр талын уртын нийлбэр) болон бичээстэй тойргийн радиус юм.

Энэ томъёо нь суурийн хувьд хүчинтэй. Хэрэв бид талуудын уртыг авбал тэдгээрийн аль нэг нь радиусаас хоёр дахин их байх болно. Томъёо нь дараах байдлаар харагдах болно.

S = (2r + c) * r

• Хэрэв тойрог нь трапец хэлбэрээр бичигдсэн бол талбайг ижил аргаар тооцоолно.

энд m нь төвийн шугамын урт юм.

Муруй трапецын талбай

Муруй шугаман трапец гэдэг нь хэрчим, х тэнхлэг болон x = a, x = b шулуун шугамууд дээр тодорхойлогдсон сөрөг бус тасралтгүй функц y = f(x) графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм. Үндсэндээ түүний хоёр тал нь хоорондоо параллель (суурь), гурав дахь тал нь суурийн перпендикуляр, дөрөв дэх тал нь функцийн графикт тохирсон муруй юм.

Муруй шугаман трапецын талбайг Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан интегралаар хайж олно.

Төрөл бүрийн трапецын талбайг ингэж тооцдог. Гэхдээ талуудын шинж чанараас гадна трапецууд нь өнцгийн ижил шинж чанартай байдаг. Одоо байгаа бүх дөрвөн өнцөгтийн нэгэн адил трапецын дотоод өнцгийн нийлбэр нь 360 градус байна. Мөн хажуугийн хажуугийн өнцгийн нийлбэр нь 180 градус байна.

БА . Одоо бид трапецын талбайг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултыг авч үзэж болно. Энэ даалгавар нь өдөр тутмын амьдралд маш ховор тохиолддог боловч заримдаа орчин үеийн орон сууц барихад улам бүр ашиглагддаг трапец хэлбэрийн өрөөний талбайг олох шаардлагатай болдог. дизайн засварын төслүүд.

Трапец гэдэг нь огтлолцсон дөрвөн сегментээс үүссэн геометрийн дүрс бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь хоорондоо параллель бөгөөд трапецын суурь гэж нэрлэгддэг. Нөгөө хоёр сегментийг трапецын талууд гэж нэрлэдэг. Үүнээс гадна бидэнд дараа нь өөр тодорхойлолт хэрэгтэй болно. Энэ нь трапецын дунд шугам бөгөөд талуудын дунд цэгүүд ба трапецын өндрийг холбосон сегмент бөгөөд суурийн хоорондох зайтай тэнцүү байна.
Гурвалжингийн нэгэн адил трапецууд нь хажуугийн урт нь ижил тэгш өнцөгт (тэнцүү талт) трапец хэлбэртэй, талуудын аль нэг нь суурьтай тэгш өнцөг үүсгэдэг тэгш өнцөгт трапец хэлбэртэй байдаг.

Трапецууд нь зарим сонирхолтой шинж чанартай байдаг.

1. Трапецын дунд шугам нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү бөгөөд тэдгээртэй параллель байна.
   
2. Хоёр талт трапецын талууд нь тэгш өнцөгтүүдтэй бөгөөд тэдгээрийн суурьтай үүсгэсэн өнцөгүүд байдаг.
   
3. Трапецын диагональуудын дунд цэг ба диагональуудын огтлолцох цэг нь нэг шулуун дээр байна.
   
4. Хэрэв трапецын талуудын нийлбэр нь суурийн нийлбэртэй тэнцүү бол түүнд тойрог бичиж болно.
   
5. Хэрэв трапецын аль нэг сууринд талуудын үүсгэсэн өнцгийн нийлбэр нь 90 байвал суурийн дунд цэгүүдийг холбосон хэрчмийн урт нь тэдгээрийн хагасын зөрүүтэй тэнцүү байна.
   
6. Хоёр талт трапецийг тойрог хэлбэрээр дүрсэлж болно. Мөн эсрэгээр. Хэрэв трапец тойрогт багтах юм бол энэ нь тэгш өнцөгт юм.
   
7. Адил өнцөгт трапецын суурийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрөх сегмент нь түүний суурийн перпендикуляр байх ба тэгш хэмийн тэнхлэгийг илэрхийлнэ.
   

Трапецын талбайг хэрхэн олох вэ.

Трапецын талбай нь түүний суурийн нийлбэрийг өндрөөр нь үржүүлсэнтэй тэнцүү байх болно. Томъёоны хэлбэрээр үүнийг дараах илэрхийлэл болгон бичнэ.

Энд S нь трапецын талбай, a, b нь трапецын суурь тус бүрийн урт, h нь трапецын өндөр юм.

Та ямар ч трапецийг илүү энгийн дүрс болгон задалж болно: тэгш өнцөгт ба нэг эсвэл хоёр гурвалжин, хэрэв танд илүү хялбар бол трапецын талбайг түүнийг бүрдүүлэгч дүрсүүдийн талбайн нийлбэрээр ол.

Түүний талбайг тооцоолох өөр нэг энгийн томъёо байдаг. Үүний дагуу трапецын талбай нь трапецын өндрийн дунд шугамын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд S = m * h, S нь талбайн урт, m нь урт юм. дунд шугам, h нь трапецын өндөр. Энэ томьёо нь өдөр тутмын асуудлаас илүү математикийн асуудалд илүү тохиромжтой, учир нь бодит нөхцөлд та урьдчилсан тооцоололгүйгээр төвийн шугамын уртыг мэдэхгүй болно. Мөн та зөвхөн суурь ба хажуугийн уртыг мэдэх болно.

Энэ тохиолдолд трапецын талбайг дараах томъёогоор олж болно.

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

Энд S - талбай, a, b - суурь, c, d - трапецын талууд.

Трапецын талбайг олох өөр хэд хэдэн арга бий. Гэхдээ эдгээр нь сүүлчийн томъёо шиг тохиромжгүй байдаг бөгөөд энэ нь тэдэнд анхаарлаа хандуулах нь утгагүй гэсэн үг юм. Тиймээс бид өгүүллийн эхний томъёог ашиглахыг зөвлөж, үргэлж үнэн зөв үр дүнд хүрэхийг хүсч байна.

Өнгөрсөн жилийн Улсын нэгдсэн шалгалт, улсын шалгалтын туршлагаас харахад геометрийн асуудал олон сургуулийн хүүхдүүдэд хүндрэл учруулдаг. Хэрэв та шаардлагатай бүх томъёог цээжилж, асуудлыг шийдвэрлэх дадлага хийвэл тэдгээрийг амархан даван туулж чадна.

Энэ нийтлэлд та трапецын талбайг олох томъёо, түүнчлэн шийдлийн асуудлын жишээг үзэх болно. Та ижил төстэй зүйлтэй KIM-д гэрчилгээ олгох шалгалт эсвэл олимпиадын үеэр таарч болно. Тиймээс тэдэнд болгоомжтой хандах хэрэгтэй.

Трапецын талаар юу мэдэх хэрэгтэй вэ?

Эхлэхийн тулд үүнийг санацгаая трапецСуурь гэж нэрлэгддэг эсрэг талын хоёр тал нь зэрэгцээ, нөгөө хоёр нь параллель байх дөрвөн өнцөгт гэж нэрлэгддэг.

Трапецын хувьд өндрийг (суурьтай перпендикуляр) мөн доошлуулж болно. Дунд шугамыг зурсан - энэ нь суурьтай параллель, тэдгээрийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү шулуун шугам юм. Түүнчлэн огтлолцож, хурц ба мохоо өнцөг үүсгэдэг диагональууд. Эсвэл зарим тохиолдолд зөв өнцгөөр. Нэмж дурдахад, хэрэв трапецын тэгш өнцөгт хэлбэртэй бол түүнд тойрог бичиж болно. Мөн түүний эргэн тойрон дахь тойргийг дүрсэл.

Трапец хэлбэрийн талбайн томъёо

Эхлээд трапецын талбайг олох стандарт томъёог авч үзье. Доор бид хоёр талт ба муруй шугаман трапецын талбайг тооцоолох арга замыг авч үзэх болно.

Тиймээс, та a ба b суурьтай трапец байна гэж төсөөлөөд үз дээ, түүний өндөр нь h том суурь руу доошилно. Энэ тохиолдолд дүрсний талбайг тооцоолох нь лийрийг цохихтой адил хялбар юм. Та зүгээр л суурийн уртын нийлбэрийг хоёроор хувааж, үр дүнг өндрөөр үржүүлэх хэрэгтэй. S = 1/2(a + b)*h.

Өөр нэг тохиолдлыг авч үзье: трапецын өндрөөс гадна дунд шугам m байна гэж бодъё. Дунд шугамын уртыг олох томъёог бид мэднэ: m = 1/2 (a + b). Тиймээс бид трапецын талбайн томъёог дараах хэлбэрээр хялбарчилж болно. S = m* h. Өөрөөр хэлбэл, трапецын талбайг олохын тулд та төвийн шугамыг өндрөөр үржүүлэх хэрэгтэй.

Өөр нэг хувилбарыг авч үзье: трапец нь α зөв өнцгөөр огтлолцдоггүй d 1 ба d 2 диагональуудыг агуулдаг. Ийм трапецын талбайг тооцоолохын тулд та диагональуудын үржвэрийг хоёр хувааж, үр дүнг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн гэмээр үржүүлэх хэрэгтэй. S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Одоо трапецын талбайг олох томъёог авч үзье: a, b, c, d гэсэн бүх талуудын уртаас өөр зүйл мэдэгдээгүй бол. Энэ бол төвөгтэй бөгөөд төвөгтэй томъёо боловч дараах тохиолдолд үүнийг санах нь танд ашигтай байх болно. S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Дашрамд дурдахад, дээрх жишээнүүд нь тэгш өнцөгт трапецын талбайн томьёо хэрэгтэй тохиолдолд бас үнэн юм. Энэ бол трапец бөгөөд түүний хажуу тал нь суурьтай зөв өнцгөөр залгагдсан байдаг.

Хоёр талт трапец

Хажуу тал нь тэнцүү трапецийг ижил хажуу тал гэж нэрлэдэг. Бид ижил өнцөгт трапецын талбайн томъёоны хэд хэдэн сонголтыг авч үзэх болно.

Эхний сонголт: r радиустай тойрог нь ижил өнцөгт трапецын дотор бичигдсэн, хажуу ба том суурь нь α хурц өнцөг үүсгэдэг тохиолдолд. Суурийн уртын нийлбэр нь талуудын уртын нийлбэртэй тэнцүү байх тохиолдолд дугуйг трапец хэлбэрээр бичиж болно.

Хоёр талт трапецын талбайг дараах байдлаар тооцоолно: бичээстэй тойргийн радиусын квадратыг дөрөвөөр үржүүлж, бүгдийг нь sinα-д хуваана. S = 4r 2 / sinα. Өөр нэг талбайн томьёо бол том суурь ба хажуугийн хоорондох өнцөг 30 0 байх тохиолдолд сонголт хийх онцгой тохиолдол юм. S = 8r2.

Хоёрдахь хувилбар: энэ удаад бид ижил өнцөгт трапецийг авч, үүнээс гадна d 1 ба d 2 диагональ, түүнчлэн h өндөрийг зурсан болно. Хэрэв трапецын диагональууд харилцан перпендикуляр байвал өндөр нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна: h = 1/2 (a + b). Үүнийг мэдсэнээр танд аль хэдийн танил болсон трапецын талбайн томъёог ийм хэлбэрт шилжүүлэхэд хялбар байдаг. S = h 2.

Муруй трапецын талбайн томъёо

Муруй трапец гэж юу болохыг олж мэдээд эхэлцгээе. Х тэнхлэгт өгөгдсөн сегмент дотор тэмдэг өөрчлөгддөггүй тасралтгүй ба сөрөг биш f функцийн координатын тэнхлэг ба графикийг төсөөлөөд үз дээ. Муруй шугаман трапецийг y = f(x) функцийн графикаар үүсгэнэ - дээд талд, x тэнхлэг нь доод талд (сегмент), хажуу талдаа - a ба b цэгүүдийн хооронд зурсан шулуун шугамууд ба графын графикаар үүсдэг. функц.

Дээрх аргуудыг ашиглан ийм стандарт бус зургийн талбайг тооцоолох боломжгүй юм. Энд та математик анализ хийж, интегралыг ашиглах хэрэгтэй. Тухайлбал: Ньютон-Лейбницийн томъёо - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Энэ томъёонд F нь сонгосон сегмент дээрх бидний функцийн эсрэг дериватив юм. Мөн муруй шугаман трапецын талбай нь тухайн сегмент дээрх эсрэг деривативын өсөлттэй тохирч байна.

Жишээ асуудлууд

Эдгээр бүх томъёог таны толгойд ойлгоход хялбар болгохын тулд трапецын талбайг олоход зориулсан зарим асуудлын жишээг энд оруулав. Хэрэв та эхлээд асуудлаа өөрөө шийдэж, дараа нь хүлээн авсан хариултаа бэлэн шийдэлтэй харьцуулах нь дээр.

Даалгавар №1:Трапец өгөгдсөн. Түүний том суурь нь 11 см, жижиг нь 4 см. Трапец нь диагональтай, нэг нь 12 см урт, хоёр дахь нь 9 см.

Шийдэл: Трапец хэлбэрийн AMRS-ийг байгуул. P оройгоор РХ шулуун шугамыг диагональ MC-тэй параллель байх ба X цэг дээр АС шулуун шугамыг огтолно. Та APХ гурвалжин авна.

Бид эдгээр заль мэхийн үр дүнд олж авсан хоёр зургийг авч үзэх болно: гурвалжин APX ба CMRX параллелограмм.

Параллелограммын ачаар бид PX = MC = 12 см, CX = MR = 4 см гэдгийг олж мэдсэн. ARX ​​гурвалжны AX талыг хаанаас тооцоолж болно: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 см.

Бид мөн APX гурвалжин тэгш өнцөгт гэдгийг баталж чадна (үүнийг хийхийн тулд Пифагорын теоремыг хэрэглэнэ - AX 2 = AP 2 + PX 2). Мөн түүний талбайг тооцоол: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 см 2.

Дараа нь та AMP ба PCX гурвалжин талбайн хувьд тэнцүү гэдгийг батлах хэрэгтэй. Үүний үндэс нь MR ба CX талуудын тэгш байдал байх болно (дээр аль хэдийн батлагдсан). Мөн эдгээр тал дээр доош буулгах өндөр нь AMRS трапецын өндөртэй тэнцүү юм.

Энэ бүхэн нь S AMPC = S APX = 54 см 2 гэж хэлэх боломжийг танд олгоно.

Даалгавар №2: KRMS трапецийг өгсөн. Түүний хажуу тал дээр O ба E цэгүүд байдаг бол OE ба KS параллель байна. Мөн ORME ба OKSE трапецын талбайнууд 1:5 харьцаатай байдаг нь мэдэгдэж байна. RM = a ба KS = b. Та OE олох хэрэгтэй.

Шийдэл: М цэгээр дамжин RK-тай параллель шугам татах ба түүний OE-тэй огтлолцох цэгийг T гэж тэмдэглэ. A нь RK-тай параллель Е цэгээр татсан шугамын KS суурьтай огтлолцох цэг юм.

Өөр нэг тэмдэглэгээг танилцуулъя - OE = x. Мөн TME гурвалжны хувьд h 1 өндөр, AEC гурвалжны хувьд h 2 өндөр (та эдгээр гурвалжны ижил төстэй байдлыг бие даан баталж болно).

Бид b > a гэж таамаглах болно. ORME ба OKSE трапецын талбайнууд 1:5 харьцаатай байгаа нь дараах тэгшитгэлийг үүсгэх эрхийг бидэнд олгоно: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Хувиргаад авч үзье: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

TME ба AEC гурвалжин ижил төстэй тул бидэнд h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x) байна. Хоёр оруулгыг нэгтгэж аваад: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Тиймээс OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Дүгнэлт

Геометр бол шинжлэх ухааны хамгийн хялбар биш боловч шалгалтын асуултуудыг даван туулж чадна. Бэлтгэлдээ бага зэрэг тэвчээр гаргахад л хангалттай. Мэдээжийн хэрэг, шаардлагатай бүх томъёог санаарай.

Бид трапецын талбайг тооцоолох бүх томъёог нэг дор цуглуулахыг хичээсэн бөгөөд ингэснээр та шалгалтанд бэлдэж, материалыг засахдаа ашиглах боломжтой болно.

Нийгмийн сүлжээн дэх ангийнхан, найз нөхөддөө энэ нийтлэлийн талаар хэлэхээ мартуузай. Улсын нэгдсэн шалгалт, улсын шалгалтын сайн дүн улам их байх болтугай!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.