Экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын сонголт, шийдэл. Экспоненциал тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдал нь үл мэдэгдэх нь экспонентт агуулагддаг тэгшитгэл юм.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх нь ихэвчлэн a x = a b тэгшитгэлийг шийдэхэд хүрдэг бөгөөд a > 0, a ≠ 1, x нь үл мэдэгдэх юм. Дараах теорем үнэн тул энэ тэгшитгэл нь x = b язгууртай.

Теорем. Хэрэв a > 0, a ≠ 1 ба a x 1 = a x 2 байвал x 1 = x 2 болно.

Үзсэн мэдэгдлийг үндэслэлтэй болгоё.

x 1 = x 2 тэгш байдал биелэхгүй гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, дараа нь экспоненциал функц y = a x нэмэгдэх тул a x 1 тэгш бус байдлыг хангах ёстой.< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Аль ч тохиолдолд бид a x 1 = a x 2 нөхцөлтэй зөрчилдсөн.

Хэд хэдэн асуудлыг авч үзье.

4 ∙ 2 x = 1 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийг 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 хэлбэрээр бичье, үүнээс x + 2 = 0, өөрөөр хэлбэл. x = -2.

Хариулт. x = -2.

2 3x ∙ 3 x = 576 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 тул тэгшитгэлийг 8 x ∙ 3 x = 24 2 эсвэл 24 x = 24 2 гэж бичиж болно.

Эндээс бид x = 2 болно.

Хариулт. x = 2.

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Зүүн талын хаалтнаас 3 x - 2 нийтлэг хүчин зүйлийг авбал бид 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 болно.

эндээс 3 x - 2 = 1, өөрөөр хэлбэл. x – 2 = 0, x = 2.

Хариулт. x = 2.

3 x = 7 x тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

7 x ≠ 0 тул тэгшитгэлийг 3 x /7 x = 1 гэж бичиж болно, үүнээс (3/7) x = 1, x = 0 байна.

Хариулт. x = 0.

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

3 x = a-г орлуулснаар энэ тэгшитгэлийг a 2 – 4a – 45 = 0 квадрат тэгшитгэл болгон бууруулна.

Энэ тэгшитгэлийг шийдэж бид түүний үндсийг олно: a 1 = 9, 2 = -5, үүнээс 3 x = 9, 3 x = -5.

Экспоненциал функц сөрөг утгыг авч чадахгүй тул 3 x = 9 тэгшитгэл нь 2 үндэстэй, 3 x = -5 тэгшитгэл нь үндэсгүй.

Хариулт. x = 2.

Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдэх нь ихэвчлэн a x > a b эсвэл a x тэгш бус байдлыг шийдэхэд хүргэдэг.< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Зарим асуудлыг авч үзье.

3 x тэгш бус байдлыг шийд< 81.

Шийдэл.

Тэгш бус байдлыг 3 x хэлбэрээр бичье< 3 4 . Так как 3 >1 бол y = 3 x функц нэмэгдэж байна.

Тиймээс x-ийн хувьд< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Тиймээс x дээр< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Хариулт. X< 4.

16 x +4 x – 2 > 0 тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл.

4 x = t гэж тэмдэглээд t2 + t – 2 > 0 квадрат тэгш бус байдлыг олж авна.

Энэ тэгш бус байдал нь t-д хамаарна< -2 и при t > 1.

t = 4 x тул бид 4 x хоёр тэгш бус байдлыг олж авна< -2, 4 х > 1.

Бүх x € R-д 4 x > 0 байх тул эхний тэгш бус байдлын шийдэл байхгүй.

Хоёрдахь тэгш бус байдлыг бид 4 x > 4 0 хэлбэрээр бичнэ, эндээс x > 0 байна.

Хариулт. x > 0.

(1/3) x = x – 2/3 тэгшитгэлийг графикаар шийд.

Шийдэл.

1) y = (1/3) x ба y = x – 2/3 функцуудын графикийг байгуулъя.

2) Бидний зураг дээр үндэслэн авч үзсэн функцүүдийн графикууд абсцисса х ≈ 1 цэг дээр огтлолцдог гэж дүгнэж болно. Шалгах нь үүнийг баталж байна.

x = 1 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм:

(1/3) 1 = 1/3 ба 1 – 2/3 = 1/3.

Өөрөөр хэлбэл бид тэгшитгэлийн нэг язгуурыг олсон гэсэн үг.

3) Өөр үндсийг олъё, эсвэл байхгүй гэдгийг баталъя. (1/3) х функц буурч, y = x – 2/3 функц нэмэгдэж байна. Тиймээс, x > 1-ийн хувьд эхний функцын утга 1/3-аас бага, хоёр дахь нь 1/3-аас их байна; x дээр< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 ба x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Хариулт. x = 1.

Энэ асуудлын шийдлээс харахад (1/3) x > x – 2/3 тэгш бус байдал x-ийн хувьд хангагдана гэдгийг анхаарна уу.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

"Экспоненциал тэгшитгэл ба экспоненциал тэгш бус байдал" сэдвээр хичээл, танилцуулга

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

11-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрт заах хэрэгсэл, симуляторууд
9-11-р ангийн "Тригонометр" интерактив гарын авлага
10-11-р ангийн "Логарифм" интерактив гарын авлага

Экспоненциал тэгшитгэлийн тодорхойлолт

Тодорхойлолт. Хэлбэрийн тэгшитгэлүүд: $a^(f(x))=a^(g(x))$, $a>0$, $a≠1$-г экспоненциал тэгшитгэл гэнэ.

"Экспоненциал функц" сэдвээр судалсан теоремуудыг эргэн санавал бид шинэ теоремыг танилцуулж болно.
Теорем. $a^(f(x))=a^(g(x))$ экспоненциал тэгшитгэл нь $a>0$, $a≠1$ нь $f(x)=g(x) тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. доллар.

Экспоненциал тэгшитгэлийн жишээ

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Дараа нь бидний тэгшитгэлийг дахин бичиж болно: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Хариулт: $x=0$.

C) Анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ ба $x_2=-3$.
Хариулт: $x_1=6$ ба $x_2=-3$.

Жишээ.
Тэгшитгэлийг шийд: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Шийдэл:
Цуврал үйлдлүүдийг дараалан хийж, тэгшитгэлийнхээ хоёр талыг ижил суурьтай болгоё.
Зүүн талд хэд хэдэн үйлдлийг хийцгээе:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1)) (4)))^x$.
Баруун тал руугаа явцгаая:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна:
$((\ frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Хариулт: $x=0$.

Жишээ.
Тэгшитгэлийг шийд: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Шийдэл:
Тэгшитгэлээ дахин бичье: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Хувьсагчийн өөрчлөлтийг $a=3^x$ гэж үзье.
Шинэ хувьсагчдад тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ ба $a_2=3$.
Хувьсагчийн урвуу өөрчлөлтийг хийцгээе: $3^x=-12$ ба $3^x=3$.
Сүүлийн хичээл дээр бид экспоненциал илэрхийлэл нь зөвхөн эерэг утгыг авч болохыг олж мэдсэн тул графикийг санаарай. Энэ нь эхний тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, хоёр дахь тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй байна: $x=1$.
Хариулт: $x=1$.

Экспоненциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сануулъя:
1. График арга.Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг функц хэлбэрээр илэрхийлж, тэдгээрийн графикийг байгуулж, графикуудын огтлолцлын цэгүүдийг олдог. (Бид энэ аргыг сүүлийн хичээл дээр ашигласан).
2. Шалгуур үзүүлэлтүүдийн тэгш байдлын зарчим.Эдгээр суурийн зэрэг (үзүүр) тэнцүү байвал ижил суурьтай хоёр илэрхийлэл тэнцүү байна гэсэн зарчим дээр суурилдаг. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Хувьсах солих арга.Хэрэв тэгшитгэл нь хувьсагчийг орлуулахдаа түүний хэлбэрийг хялбарчилж, шийдвэрлэхэд илүү хялбар бол энэ аргыг ашиглах хэрэгтэй.

Жишээ.
Тэгшитгэлийн системийг шийд: $\begin (тохиолдлууд) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \төгсгөл (тохиолдлууд)$.
Шийдэл.
Системийн хоёр тэгшитгэлийг тусад нь авч үзье.
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье.
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Хувьсагчдыг өөрчлөх аргыг ашиглая $y=2^(x+y)$.
Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ ба $y_2=-3$.
Анхны хувьсагч руу шилжье, эхний тэгшитгэлээс $x+y=2$ гарна. Хоёр дахь тэгшитгэлд шийдэл байхгүй. Тэгвэл бидний анхны тэгшитгэлийн систем нь системтэй тэнцүү байна: $\begin (тохиолдлууд) x+3y=0, \\ x+y=2. \төгсгөл (тохиолдлууд)$.
Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хасаад бид дараахийг авна: $\begin (тохиолдлууд) 2y=-2, \\ x+y=2. \төгсгөл (тохиолдлууд)$.
$\эхлэх (тохиолдлууд) y=-1, \\ x=3. \төгсгөл (тохиолдлууд)$.
Хариулт: $(3;-1)$.

Экспоненциал тэгш бус байдал

Теорем. Хэрэв $a>1$ бол экспоненциал тэгш бус байдал $a^(f(x))>a^(g(x))$ нь $f(x)>g(x)$ тэгш бус байдалтай тэнцүү байна.
Хэрэв $0 a^(g(x))$ нь $f(x) тэгш бус байдалтай тэнцүү

Жишээ.
Тэгш бус байдлыг шийдэх:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
Шийдэл.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Бидний тэгш бус байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0.5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Манай тэгшитгэлд суурь нь градус байх үед юм. 1-ээс бага бол тэгш бус байдлыг ижил тэгш бусаар солихдоо тэмдгийг өөрчлөх шаардлагатай.
$2х-4>2$.
$x>3$.

C) Бидний тэгш бус байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Интервал шийдлийн аргыг ашиглая:
Хариулт: $(-∞;-5]U \ \

Хариулт: $(-4,6)$.

Жишээ 2