Оюутан, сургуулийн сурагчдад хамрагдсан материалаа бүрэн нэгтгэж, практик ур чадвараа сургах сайт дээрх онлайн хязгаарын тооцоолуур. Манай нөөцийн онлайн хязгаарын тооцоолуурыг хэрхэн ашиглах вэ? Үүнийг маш амархан хийж болно, та зүгээр л боломжтой талбарт анхны функцийг оруулаад, сонгогчоос хувьсагчийн шаардлагатай хязгаарын утгыг сонгоод "Шийдвэр" товчийг дарна уу. Хэрэв та хэзээ нэгэн цагт хязгаарын утгыг тооцоолох шаардлагатай бол энэ цэгийн утгыг тоон эсвэл бэлгэдлийн утгыг оруулах хэрэгтэй. Онлайн хязгаарын тооцоолуур нь өгөгдсөн цэг, функцийг тодорхойлох интервал дахь хязгаар, хязгаарын утга, судалж буй функцийн аргумент нь өгөгдсөн зүйл рүү яарах үед энэ утгыг олоход тусална. цэг нь хязгаарын шийдэл юм. Манай вэбсайт дээрх онлайн хязгаарын тооцоолуур дээр үндэслэн бид дараахь зүйлийг хэлж чадна - Интернет дээр маш олон тооны аналогууд байдаг, та зохистойг нь олох боломжтой, та зүгээр л тэднийг шаргуу хайх хэрэгтэй. Гэхдээ энд нэг сайт өөр сайтаас ялгаатай гэдэгтэй тулгарах болно. Тэдний олонх нь биднээс ялгаатай нь онлайн хязгаарын тооцоолуур огт санал болгодоггүй. Хэрэв та Yandex эсвэл Google гэх мэт алдартай хайлтын системд "Онлайн хязгаарын тооцоолуур" гэсэн хэллэгийг ашиглан сайт хайж байгаа бол хайлтын үр дүнгийн дээд хэсэгт сайт гарч ирнэ. Энэ нь эдгээр хайлтын системүүд бидэнд итгэдэг гэсэн үг бөгөөд манай сайт дээр зөвхөн өндөр чанартай контент байдаг бөгөөд хамгийн чухал нь сургууль, их дээд сургуулийн оюутнуудад хэрэгтэй! Хязгаарын тооцоолуур болон ерөнхийдөө хязгаарт хүрэх онолын тухай яриагаа үргэлжлүүлье. Функцийн хязгаарыг тодорхойлохдоо хөрш зэргэлдээх ойлголтыг ихэвчлэн томъёолдог. Энд функцүүдийн хязгаар, түүнчлэн эдгээр хязгаарын шийдлийг зөвхөн функцийг тодорхойлох мужийг хязгаарлаж буй цэгүүдэд судалж, ийм цэгийн ойр орчмын нутаг дэвсгэр бүрт функцийн тодорхойлолтын хүрээний цэгүүд байдаг гэдгийг мэддэг. энэ функц. Энэ нь хувьсагчийн функцийн өгөгдсөн цэг рүү чиглэх хандлагын талаар ярих боломжийг бидэнд олгодог. Хэрэв функцийн тодорхойлолтын домэйны аль нэг цэгт хязгаар байгаа бөгөөд энэ үед онлайн хязгаарын тооцоолуур функцийн хязгаарын нарийвчилсан шийдлийг гаргадаг бол энэ үед функц тасралтгүй болж хувирна. Шийдэл бүхий манай онлайн хязгаарын тооцоолуур эерэг үр дүнг өгөөч, бид үүнийг бусад сайтууд дээр шалгах болно. Энэ нь манай нөөцийн чанарыг баталж чадах бөгөөд олон хүн аль хэдийн мэдэж байгаачлан энэ нь хамгийн сайн бөгөөд хамгийн өндөр магтаал хүртэх ёстой. Үүний зэрэгцээ нарийн шийдэл бүхий онлайн тооны машины хязгаарыг бие даан, гэхдээ мэргэжлийн багшийн нарийн хяналтан дор судлах боломжтой. Ихэнхдээ энэ үйлдэл нь хүлээгдэж буй үр дүнд хүргэдэг. Шийдэл бүхий онлайн хязгаарын тооцоолуур нь улирлын эхэнд багшийн өгсөн нарийн төвөгтэй асуудлыг нарийвчлан тайлбарлах болно гэж бүх оюутнууд мөрөөддөг. Гэхдээ энэ нь тийм ч энгийн зүйл биш юм. Та эхлээд онолыг судалж, дараа нь үнэгүй тооны машин ашиглах хэрэгтэй. Онлайн хязгаарлалттай адил тооцоолуур нь танд шаардлагатай оруулгуудыг нарийвчлан өгөх бөгөөд та үр дүндээ сэтгэл хангалуун байх болно. Гэхдээ тодорхойлолтын хүрээний хязгаарлах цэг нь энэ тодорхойлолтод хамаарахгүй байж болох бөгөөд энэ нь хязгаарын тооцоолуурыг онлайнаар нарийвчлан тооцоолсноор нотлогддог. Жишээ нь: бид функцийг тодорхойлсон нээлттэй сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн хязгаарыг авч үзэж болно. Энэ тохиолдолд сегментийн хил хязгаар нь өөрөө тодорхойлолтын домэйнд ороогүй болно. Энэ утгаараа энэ цэгийн хөршүүдийн систем нь ийм дэд бүлгийн суурийн онцгой тохиолдол юм. Нарийвчилсан шийдэл бүхий онлайн хязгаарын тооцоолуур нь бодит цаг хугацаанд бүтээгдэж, өгөгдсөн тодорхой аналитик хэлбэрээр томъёог ашигладаг. Нарийвчилсан шийдэл бүхий онлайн хязгаарын тооцоолуур ашиглан функцийн хязгаар нь дарааллын хязгаарын тухай ойлголтын ерөнхий ойлголт юм: анх цэг дээрх функцийн хязгаарыг домэйны элементүүдийн дарааллын хязгаар гэж ойлгодог байв. Өгөгдсөн цэгт ойртож буй функцийг тодорхойлох домэйны элементүүдийн дарааллын цэгүүдийн зургуудаас бүрдэх функцийн тухай (харгалзаж буй хязгаар); хэрэв ийм хязгаар байгаа бол функцийг заасан утгад нэгтгэнэ гэж хэлнэ; хэрэв тийм хязгаар байхгүй бол функцийг диверс гэж хэлнэ. Ерөнхийдөө хязгаарт хүрэх онол бол бүх математик шинжилгээний үндсэн ойлголт юм. Бүх зүйл хязгаарт хүрэх гарц дээр тулгуурладаг, өөрөөр хэлбэл хязгаарын нарийвчилсан шийдэл нь математик анализын шинжлэх ухааны үндэс суурь бөгөөд онлайн хязгаарын тооцоолуур нь оюутны сургалтын үндэс суурийг тавьдаг. Вэбсайт дахь нарийвчилсан шийдэл бүхий онлайн хязгаарын тооцоолуур нь бодит цаг хугацаанд үнэн зөв, шуурхай хариулт авах өвөрмөц үйлчилгээ юм. Оюутнууд математикийн анализыг анх судлахдаа хязгаарлалтыг шийдвэрлэхэд тэр даруй бэрхшээлтэй тулгардаг нь ховор биш юм. Манай үйлчилгээнд онлайнаар тооны машин ашиглан хязгаарыг шийдвэрлэх нь үнэн зөв, өндөр чанартай хариулт авах түлхүүр гэдгийг бид баталж байна, та хэдхэн секундын дотор тооны машин ашиглан хязгаарын нарийвчилсан шийдлийн хариултыг авах болно. тэр даруй. Хэрэв та буруу өгөгдөл, өөрөөр хэлбэл систем хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй тэмдэгт оруулбал зүгээр, үйлчилгээ танд алдааны талаар автоматаар мэдэгдэх болно. Өмнө нь оруулсан функцийг (эсвэл хязгаарын цэгийг) засч, онлайн хязгаарын тооцоолуур ашиглан зөв нарийвчилсан шийдлийг аваарай. Бидэнд итгээрэй, бид чамайг хэзээ ч урам хугарахгүй. Та сайтыг хялбархан ашиглах боломжтой бөгөөд шийдэл бүхий онлайн хязгаарын тооцоолуур нь асуудлыг тооцоолох алхам алхмаар үйлдлүүдийг нарийвчлан тайлбарлах болно. Та хэдхэн секунд хүлээх хэрэгтэй бөгөөд та хүссэн хариултаа хүлээн авах болно. Нарийвчилсан шийдэл бүхий онлайн тооны машин ашиглан хязгаарлалтыг шийдэхийн тулд бүх боломжит аргуудыг ашигладаг, ялангуяа L'Hopital-ийн аргыг ихэвчлэн ашигладаг, учир нь энэ нь бүх нийтийн шинж чанартай бөгөөд функцийн хязгаарыг тооцоолох бусад аргуудаас илүү хурдан хариу өгөхөд хүргэдэг. Ихэнхдээ тооны дарааллын нийлбэрийг тооцоолохын тулд хязгаарын тооцоолуур бүхий онлайн дэлгэрэнгүй шийдэл шаардлагатай байдаг. Та мэдэж байгаагаар тоон дарааллын нийлбэрийг олохын тулд та энэ дарааллын хэсэгчилсэн нийлбэрийг зөв илэрхийлэх хэрэгтэй бөгөөд дараа нь манай үнэгүй үйлчилгээний вэбсайтыг ашиглан бүх зүйл энгийн байдаг, учир нь манай онлайн хязгаарын тооцоолуур ашиглан хязгаарыг хэсэгчлэн тооцоолох боломжтой. нийлбэр нь тоон дарааллын эцсийн нийлбэр болно. Вэбсайт үйлчилгээг ашиглан хязгаарын тооцоолуурыг онлайнаар хийх нарийвчилсан шийдэл нь оюутнуудад асуудлыг шийдвэрлэх явцыг харах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь хязгаарын онолыг ойлгоход хялбар бөгөөд бараг бүх хүнд хүртээмжтэй болгодог. Анхаарлаа төвлөрүүлж, буруу үйлдлээсээ болж амжилтгүй дүн авах хэлбэрээр асуудал үүсгэхийг бүү зөвшөөр. Хязгаарын тооцоолуур онлайн үйлчилгээ бүхий аливаа нарийвчилсан шийдлийн нэгэн адил асуудлыг шийдэл олж авах бүх дүрэм, журмын дагуу нарийн шийдэл бүхий тохиромжтой, ойлгомжтой хэлбэрээр танилцуулах болно.. Үүний зэрэгцээ та хэмнэж чадна. Цаг хугацаа, мөнгө, учир нь бид үүний төлөө юу ч шаарддаггүй. Манай вэб сайт дээр онлайн хязгаарын тооцоолуурын нарийвчилсан шийдлийг өдөрт хорин дөрвөн цагийн турш ашиглах боломжтой. Үнэн хэрэгтээ, шийдэл бүхий бүх онлайн хязгаарын тооцоолуур нь алхам алхмаар шийдлийн явцын талаар дэлгэрэнгүй мэдээлэл өгөхгүй байж магадгүй бөгөөд үүнийг мартаж болохгүй, хүн бүр үүнийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Нарийвчилсан шийдэл бүхий онлайн тооцоолуурын хязгаар нь таныг "Шийдвэр" товчийг дарж эхлэхэд эхлээд бүгдийг шалгана уу. өөрөөр хэлбэл, оруулсан функц, мөн хязгаарын утгыг шалгаад дараа нь үйлдлийг үргэлжлүүлнэ. Энэ нь таныг амжилтгүй тооцооллын зовлон зүдгүүрээс аврах болно. Дараа нь нарийвчилсан хуультай онлайн тооцоолуурын хязгаар нь алхам алхмаар үйлдлүүдийн зөв факториал дүрслэлийг өгөх болно. Хэрэв онлайн хязгаарын тооцоолуур гэнэт нарийвчилсан шийдлийг өгөхгүй бол энэ нь хэд хэдэн шалтгаан байж болно. Эхлээд бичсэн функцийн илэрхийллийг шалгана уу. Энэ нь "x" хувьсагчийг агуулсан байх ёстой, эс тэгвээс функцийг бүхэлд нь систем тогтмол гэж үзэх болно. Дараа нь хэрэв та өгөгдсөн цэг эсвэл бэлгэдлийн утгыг зааж өгсөн бол хязгаарын утгыг шалгана уу. Энэ нь зөвхөн латин үсэг агуулсан байх ёстой - энэ нь чухал юм! Дараа нь та манай гайхалтай үйлчилгээнд онлайнаар хязгаарлалтын нарийвчилсан шийдлийг олохын тулд дахин оролдоод үр дүнг нь ашиглах боломжтой. Онлайн шийдлийн хязгаарыг нарийвчлан хэлэхэд маш хэцүү гэж хэлмэгц - үүнд бүү итгэ, хамгийн чухал нь бүү сандар, сургалтын курсын хүрээнд бүх зүйлийг шийдэж болно. Бид танд сандрахгүйгээр хэдхэн минутыг манай үйлчилгээнд зориулж, өгөгдсөн дасгалыг шалгахыг зөвлөж байна. Гэсэн хэдий ч онлайн шийдлийн хязгаарлалтыг нарийвчлан шийдэж чадахгүй бол та үсгийн алдаа гаргасан байна, учир нь өөрөөр хэлбэл сайт бараг ямар ч асуудалгүйгээр шийддэг. Гэхдээ та ямар ч бэрхшээлгүйгээр, хүчин чармайлт гаргахгүйгээр хүссэн үр дүндээ шууд хүрч чадна гэж бодох шаардлагагүй. Ямар ч тохиолдолд та материалыг судлахад хангалттай цаг зарцуулах хэрэгтэй. Ил шийдлийг бүтээх үе шатанд хязгаарын тооцоолуур бүрийг шийдэлтэй онлайнаар нарийвчлан үзүүлж, эсрэгээр нь таамаглах боломжтой. Гэхдээ үүнийг хэрхэн илэрхийлэх нь хамаагүй, учир нь бид шинжлэх ухааны хандлагын үйл явцын талаар санаа зовж байна. Үүний үр дүнд бид онлайн шийдэл бүхий хязгаарын тооцоолуур нь шинжлэх ухаан болох математикийн үндсэн тал дээр хэрхэн суурилсан болохыг нарийвчлан харуулах болно. Таван үндсэн зарчмыг онцолж, цаашдын үйлдлээ эхлүүлээрэй. Танаас хүн бүрт зориулсан нарийвчилсан шийдэл бүхий хязгаарын тооцоолуурын шийдлийг онлайнаар авах боломжтой эсэхийг асуухад та хариулах болно - тийм ээ, тийм! Магадгүй энэ утгаараа үр дүнд онцгой анхаарал хандуулдаггүй ч онлайн хязгаарлалт нь тухайн хичээлийг судлахад эхэндээ санагдсанаас арай өөр утгатай байдаг. Тэнцвэртэй арга барил, хүчний зөв тэнцвэртэй байдлын тусламжтайгаар та хамгийн богино хугацаанд онлайн хязгаарыг нарийвчлан харуулах боломжтой.! Бодит байдал дээр, шийдэл бүхий онлайн хязгаарын тооцоолуур нь алхам алхмаар тооцооллын бүх үе шатыг пропорциональ байдлаар хурдан илэрхийлж эхлэх болно.
Шийдэл онлайн функцийн хязгаарлалт. Нэг цэг дэх функц эсвэл функциональ дарааллын хязгаарлагдмал утгыг олох, тооцоол эцсийнхязгааргүй дэх функцийн утга. Манай онлайн үйлчилгээний ачаар тооны цувралын нийлэлтийг тодорхойлох болон бусад олон зүйлийг хийх боломжтой. Бид танд функцийн хязгаарыг онлайнаар хурдан бөгөөд үнэн зөв олох боломжийг олгодог. Та өөрөө функцын хувьсагч болон түүний чиглэх хязгаарыг оруулдаг бөгөөд манай үйлчилгээ танд бүх тооцоог хийж, үнэн зөв бөгөөд энгийн хариултыг өгдөг. Мөн төлөө хязгаарыг онлайнаар олохТа тоон цуваа болон тогтмол илэрхийлэл агуулсан аналитик функцийг хоёуланг нь оруулж болно. Энэ тохиолдолд функцын олсон хязгаар нь эдгээр тогтмолуудыг илэрхийлэлд тогтмол аргумент болгон агуулна. Манай үйлчилгээ нь олоход төвөгтэй аливаа асуудлыг шийддэг онлайн хязгаарлалт, функц болон тооцоолох шаардлагатай цэгийг зааж өгөхөд хангалттай функцийн хязгаарын утга. Тооцоолж байна онлайн хязгаарлалт, та олж авсан үр дүнг шалгахдаа тэдгээрийг шийдвэрлэх янз бүрийн арга, дүрмийг ашиглаж болно хязгаарлалтыг онлайнаар шийдвэрлэх www.site дээр, энэ нь даалгаврыг амжилттай дуусгахад хүргэнэ - та өөрийн алдаа, бичиг хэргийн алдаанаас зайлсхийх болно. Эсвэл та функцийн хязгаарыг бие даан тооцоолоход нэмэлт хүчин чармайлт, цаг зарцуулахгүйгээр бидэнд бүрэн итгэж, бидний үр дүнг ажилдаа ашиглах боломжтой. Бид хязгааргүй гэх мэт хязгаарын утгыг оруулахыг зөвшөөрдөг. Тооны дарааллын нийтлэг гишүүнийг оруулах шаардлагатай ба www.siteутгыг тооцох болно онлайнаар хязгаарлахнэмэх эсвэл хасах хязгааргүй.
Математик шинжилгээний үндсэн ойлголтуудын нэг нь функцийн хязгаарТэгээд дарааллын хязгаарнэг цэгт болон хязгааргүй үед зөв шийдэж чаддаг байх нь чухал хязгаар. Манай үйлчилгээгээр энэ нь тийм ч хэцүү биш байх болно. Шийдвэр гарч байна онлайн хязгаарлалтхэдхэн секундын дотор хариулт үнэн зөв, бүрэн дүүрэн байна. Математик анализын судалгаа нь дараахь үеэс эхэлдэг хязгаар руу шилжих, хязгаарДээд математикийн бараг бүх салбарт ашиглагддаг тул сервертэй байх нь ашигтай байдаг Онлайн хязгаарлалтын шийдэл, энэ нь сайт юм.
Хязгаарын онол нь математик шинжилгээний нэг салбар юм. Янз бүрийн төрлийн хязгаарыг шийдэх олон арван арга байдаг тул хязгаарыг шийдвэрлэх асуудал нэлээд өргөн хүрээтэй байдаг. Энэ эсвэл тэр хязгаарыг шийдэх боломжийг танд олгодог олон арван нюанс, заль мэх байдаг. Гэсэн хэдий ч бид практикт ихэвчлэн тохиолддог хязгаарлалтын үндсэн төрлүүдийг ойлгохыг хичээх болно.
Хязгаарын тухай ойлголтоос эхэлье. Гэхдээ эхлээд түүхэн товч мэдээлэл. Тэнд 19-р зуунд Францын иргэн Августин Луи Коши амьдарч байсан бөгөөд тэрээр матан хэмээх олон ойлголтод хатуу тодорхойлолт өгч, түүний үндсийг тавьсан юм. Математикийн шинжилгээний асар олон теоремыг нотолсон, нэг теорем нь нөгөөгөөсөө илүү үхэлд хүргэдэг тул энэ хүндтэй математикч физик, математикийн тэнхимийн бүх оюутнуудын хар дарсан зүүд байсан, байгаа, байх болно гэдгийг хэлэх ёстой. Үүнтэй холбогдуулан бид одоохондоо авч үзэхгүй Коши хязгаарыг тодорхойлох, гэхдээ хоёр зүйлийг хийхийг оролдъё:
1. Хязгаар гэж юу болохыг ойлгох.
2. Хязгаарын үндсэн төрлүүдийг шийдэж сур.
Шинжлэх ухааны үндэслэлгүй тайлбар өгсөнд хүлцэл өчье, энэ материал нь цайны аяганд ч ойлгомжтой байх нь чухал бөгөөд энэ нь үнэндээ төслийн даалгавар юм.
Тэгэхээр хязгаар нь юу вэ?
Тэгээд яагаад сэгсгэр эмээгийн жишээ....
Аливаа хязгаарлалт нь гурван хэсгээс бүрдэнэ:
1) Алдартай хязгаарын дүрс.
2) Хязгаарлалтын дүрсийн доорх оруулгууд, энэ тохиолдолд . Бичлэгт "X tends to one" гэж бичсэн байна. Ихэнх тохиолдолд яг үнэндээ "X"-ийн оронд өөр хувьсагч байдаг. Практик даалгаврын хувьд нэгийн байр нь ямар ч тоо, мөн хязгааргүй () байж болно.
3) Хязгаарын тэмдгийн доорх функцууд, энэ тохиолдолд .
Бичлэг өөрөө 
"х нь нэгдмэл байдалд чиглэдэг функцийн хязгаар" гэж ингэж уншина.
Дараагийн чухал асуултыг харцгаая - "x" гэсэн илэрхийлэл нь юу гэсэн үг вэ? зүтгэдэгнэг рүү"? Мөн "хүчин чармайлт" гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?
Хязгаарын тухай ойлголт бол ойлголт юм. динамик. Дараалал байгуулъя: эхлээд , дараа нь , , …, 
, ….
Энэ нь "х зүтгэдэгнэг рүү" гэж дараах байдлаар ойлгох хэрэгтэй: "x" утгыг тогтмол авдаг эв нэгдэлд ойртох нь хязгааргүй ойр бөгөөд түүнтэй бараг давхцдаг.
Дээрх жишээг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн та хязгаарын тэмдгийн доорх функцэд нэгийг орлуулахад л хангалттай.
Тиймээс, эхний дүрэм: Ямар нэгэн хязгаарлалт өгөгдсөн бол эхлээд бид дугаарыг функцэд залгахыг оролддог.
Бид хамгийн энгийн хязгаарыг авч үзсэн боловч эдгээр нь практикт тохиолддог бөгөөд тийм ч ховор биш юм!
Хязгааргүй жишээ:
Энэ юу болохыг олж мэдье? Энэ нь хязгааргүй өсөх тохиолдол юм, өөрөөр хэлбэл: эхлээд, дараа нь, дараа нь, дараа нь гэх мэт.
Энэ үед функцэд юу тохиолдох вэ?
, , 
, …
Тэгэхээр: хэрэв , тэгвэл функц нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай байна:
Товчхондоо, бидний эхний дүрмийн дагуу бид "X"-ийн оронд функцэд хязгааргүйг орлуулж, хариултыг авна.
Хязгааргүй байдлын өөр нэг жишээ:
Дахин бид хязгааргүй хүртэл нэмэгдэж, функцын зан төлөвийг харна: 
Дүгнэлт: функц хязгааргүй нэмэгдэх үед:
Мөн өөр нэг цуврал жишээ:
Дараахь зүйлийг сэтгэцийн хувьд задлан шинжилж, хамгийн энгийн хязгаарлалтуудыг санаарай.
, , , , 
, , , , 
,
Хэрэв танд эргэлзэж байвал тооны машин аваад бага зэрэг дасгал хийж болно.
Ийм тохиолдолд , , , дарааллыг бий болгож үзээрэй. Хэрэв , тэгвэл , , .
! Анхаарна уу: Хатуухан хэлэхэд хэд хэдэн тооны дарааллыг бий болгох энэ арга нь буруу боловч хамгийн энгийн жишээг ойлгоход тохиромжтой.
Мөн дараах зүйлд анхаарлаа хандуулаарай. Хязгаарыг дээд талд нь их тоогоор өгсөн ч, бүр саятай ч гэсэн: , тэгвэл бүгд адилхан. 
, эрт орой хэзээ нэгэн цагт "X" ийм асар том үнэ цэнийг авч эхлэх тул саяыг харьцуулбал жинхэнэ микроб болно.
Дээрхээс юу санаж, ойлгох хэрэгтэй вэ?
1) Ямар нэгэн хязгаарлалт өгөгдсөн бол эхлээд функцэд тоог орлуулахыг оролдоно.
2) Та хамгийн энгийн хязгаарлалтуудыг ойлгож, нэн даруй шийдвэрлэх ёстой 
, , гэх мэт.
Түүнээс гадна хязгаар нь маш сайн геометрийн утгатай. Энэ сэдвийг илүү сайн ойлгохын тулд сургалтын материалыг уншихыг зөвлөж байна Энгийн функцүүдийн график ба шинж чанарууд. Энэ өгүүллийг уншсаны дараа та хязгаар гэж юу болохыг эцэст нь ойлгохоос гадна функцийн хязгаарыг ерөнхийд нь илэрхийлэх сонирхолтой тохиолдлуудтай танилцах болно. байдаггүй!
Бодит байдал дээр харамсалтай нь бэлэг цөөхөн байдаг. Тиймээс бид илүү төвөгтэй хязгаарлалтуудыг авч үзэх болно. Дашрамд хэлэхэд, энэ сэдвээр байна эрчимжүүлсэн курс pdf форматтай, энэ нь танд бэлтгэх цаг маш бага байгаа тохиолдолд хэрэг болно. Гэхдээ сайтын материал нь мэдээжийн хэрэг үүнээс муу зүйл биш юм:
Одоо бид тоо болон хуваагч нь олон гишүүнт агуулсан бутархай байх үед хязгаарын бүлгийг авч үзэх болно.
Жишээ:
Хязгаарыг тооцоолох 
Манай дүрмийн дагуу бид функцэд хязгааргүйг орлуулахыг хичээх болно. Бид дээд талд юу авах вэ? Хязгааргүй байдал. Тэгээд доор юу болох вэ? Мөн хязгааргүй. Тиймээс бид зүйлийн тодорхойгүй байдал гэж нэрлэгддэг зүйлтэй болсон. Хариулт нь бэлэн байна гэж бодож магадгүй, гэхдээ ерөнхийдөө энэ нь огт тийм биш бөгөөд бид одоо авч үзэх болно.
Энэ төрлийн хязгаарлалтыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ?
Эхлээд бид тоологчийг хараад хамгийн их хүчийг олно. 
Тоолуур дахь тэргүүлэх хүч нь хоёр байна.
Одоо бид хуваагчийг хараад хамгийн дээд хүчийг олно. 
Хуваарийн дээд зэрэг нь хоёр байна.
Дараа нь бид тоологч ба хуваагчийн хамгийн дээд хүчийг сонгоно: энэ жишээнд тэдгээр нь ижил бөгөөд хоёртой тэнцүү байна.
Тиймээс, шийдлийн арга нь дараах байдалтай байна: тодорхой бус байдлыг илрүүлэхийн тулд тоологч ба хуваагчийг хамгийн дээд хүчээр хуваах шаардлагатай.
Хариулт нь энд байгаа бөгөөд энэ нь хязгааргүй биш юм.
Шийдвэр гаргахад юу чухал вэ?
Нэгдүгээрт, хэрэв байгаа бол бид тодорхойгүй байдлыг илэрхийлнэ.
Хоёрдугаарт, завсрын тайлбар хийх шийдлийг тасалдуулах нь зүйтэй. Би ихэвчлэн тэмдгийг ашигладаг, энэ нь математикийн ямар ч утгагүй, гэхдээ завсрын тайлбарын хувьд шийдэл нь тасалдсан гэсэн үг юм.
Гуравдугаарт, хязгаарт юу хаашаа явж байгааг тэмдэглэхийг зөвлөж байна. Ажлыг гараар зурсан тохиолдолд дараах байдлаар хийх нь илүү тохиромжтой. 
Тэмдэглэл бичихдээ энгийн харандаа ашиглах нь дээр.
Мэдээжийн хэрэг, та эдгээрийн аль нэгийг хийх шаардлагагүй, гэхдээ магадгүй багш шийдлийн дутагдлыг зааж өгөх эсвэл даалгаврын талаар нэмэлт асуулт асууж эхлэх болно. Танд хэрэгтэй юу?
Жишээ 2
Хязгаарыг ол 
Дахин тоологч ба хуваагчаас бид хамгийн өндөр зэрэгтэй байна: 
Тоолуур дахь дээд зэрэг: 3
Хуваагчийн дээд зэрэг: 4
Сонго хамгийн агууүнэ цэнэ, энэ тохиолдолд дөрөв.
Бидний алгоритмын дагуу тодорхойгүй байдлыг илрүүлэхийн тулд бид тоологч ба хуваагчийг хуваадаг.
Бүрэн даалгавар дараах байдлаар харагдаж болно.
Тоолуур ба хуваагчийг хуваа
Жишээ 3
Хязгаарыг ол 
Тоолуур дахь "X"-ийн хамгийн их зэрэг: 2
Хуваагч дахь "X"-ийн дээд зэрэг: 1 (ингэж бичиж болно)
Тодорхой бус байдлыг илрүүлэхийн тулд тоо болон хуваагчийг -д хуваах шаардлагатай. Эцсийн шийдэл нь дараах байдлаар харагдаж болно.
Тоолуур ба хуваагчийг хуваа
Тэмдэглэгээ нь тэгээр хуваагдах гэсэн үг биш (та тэгээр хувааж болохгүй), харин хязгааргүй цөөн тоогоор хуваагдана гэсэн үг юм.
Тиймээс, төрөл зүйлийн тодорхойгүй байдлыг илрүүлснээр бид үүнийг хийж чадна эцсийн тоо, тэг эсвэл хязгааргүй.
Төрөл, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргын тодорхойгүй хязгаарлалтууд
Дараагийн бүлэг хязгаар нь саяхан авч үзсэн хязгаартай зарим талаараа төстэй: тоологч ба хуваагч нь олон гишүүнтүүдийг агуулдаг боловч "x" нь хязгааргүйд хандахаа больсон, харин хязгаарлагдмал тоо.
Жишээ 4
Хязгаарыг шийдэх 
Эхлээд бутархайд -1-ийг орлуулахыг оролдъё. 
Энэ тохиолдолд тодорхойгүй байдал гэж нэрлэгддэг зүйлийг олж авдаг.
Ерөнхий дүрэм: хэрэв тоологч ба хуваагч олон гишүүнт агуулж байгаа бөгөөд хэлбэр нь тодорхойгүй байвал түүнийг задлах та тоо болон хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй.
Үүнийг хийхийн тулд ихэвчлэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ба/эсвэл үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах шаардлагатай болдог. Хэрэв эдгээр зүйлсийг мартсан бол хуудас руу зочилно уу Математикийн томъёо, хүснэгтмөн сургалтын материалыг уншина уу Сургуулийн математикийн хичээлийн халуун томъёо. Дашрамд хэлэхэд үүнийг хэвлэх нь хамгийн сайн арга юм, энэ нь маш олон удаа шаардлагатай бөгөөд мэдээллийг цааснаас илүү сайн шингээдэг.
Ингээд хязгаараа шийдье 
Тоолуур ба хуваагчийг үржүүлээрэй
Тоолуурыг хүчин зүйл болгохын тулд квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. 
Эхлээд бид ялгагчийг олно:
Мөн үүний квадрат язгуур: .
Хэрэв дискриминант нь том бол, жишээ нь 361, бид тооцоолуур ашиглан квадрат язгуурыг гаргаж авах функц нь хамгийн энгийн тооцоолуур дээр байдаг.
! Хэрэв үндсийг бүхэлд нь задлаагүй бол (таслалтай бутархай тоог гаргавал) ялгаварлагчийг буруу тооцоолсон эсвэл даалгаварт үсгийн алдаа гарсан байх магадлалтай.
Дараа нь бид үндсийг нь олно: 
Тиймээс:
Бүгд. Тоолуурыг хүчин зүйлчилсэн.
Хуваагч. Хуваагч нь аль хэдийн хамгийн энгийн хүчин зүйл бөгөөд үүнийг хялбарчлах арга байхгүй.
Үүнийг дараах байдлаар богиносгож болох нь ойлгомжтой.
Одоо бид хязгаарын тэмдгийн доор үлдсэн илэрхийлэлд -1-ийг орлуулна.
Мэдээжийн хэрэг, шалгалт, шалгалт эсвэл шалгалтанд шийдлийг хэзээ ч ийм нарийн бичдэггүй. Эцсийн хувилбарт загвар нь иймэрхүү харагдах ёстой.
Тоолуурыг үржвэр болгоё. 
Жишээ 5
Хязгаарыг тооцоолох 
Нэгдүгээрт, шийдлийн "дуусгах" хувилбар
Тоолуур ба хуваагчийг үржүүлье.
Тоологч:
Хуваагч: 
, 
Энэ жишээнд юу чухал вэ?
Нэгдүгээрт, та тоологч хэрхэн илрэх талаар сайн ойлголттой байх ёстой, эхлээд хаалтнаас 2-ыг аваад дараа нь квадратуудын зөрүүний томъёог ашигласан. Энэ бол таны мэдэж, үзэх ёстой томъёо юм.
Зөвлөмж: Хэрэв хязгаарт (бараг ямар ч төрлийн) хаалтнаас хэд хэдэн тоог гаргаж авах боломжтой бол бид үүнийг үргэлж хийдэг.
Түүнээс гадна ийм тоонуудыг хязгаарын дүрсээс хэтрүүлэхийг зөвлөж байна. Юуны төлөө? Тийм ээ, тэд саад болохгүйн тулд л. Хамгийн гол нь шийдлийн явцад эдгээр тоог хожим алдахгүй байх явдал юм.
Шийдлийн эцсийн шатанд би хоёрыг хязгаарын дүрсээс, дараа нь хасахыг хассан гэдгийг анхаарна уу.
! Чухал
Уусмалын явцад төрлийн фрагмент маш олон удаа тохиолддог. Энэ хэсгийг багасгаэнэ нь хориотой
. Эхлээд та тоологч эсвэл хуваагчийн тэмдгийг өөрчлөх хэрэгтэй (хаалтанд -1-ийг тавь).
, өөрөөр хэлбэл хасах тэмдэг гарч ирэх бөгөөд энэ нь хязгаарыг тооцоолохдоо харгалзан үздэг бөгөөд үүнийг алдах шаардлагагүй болно.
Ерөнхийдөө энэ төрлийн хязгаарыг олохын тулд та хоёр квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэдгийг би анзаарсан, өөрөөр хэлбэл тоологч ба хуваагч хоёулаа квадрат гурвалсан тоог агуулдаг.
Тоолуур ба хуваагчийг нэгтгэсэн илэрхийллээр үржүүлэх арга
Бид маягтын тодорхой бус байдлыг үргэлжлүүлэн авч үзэх болно
Дараагийн төрлийн хязгаарлалт нь өмнөх төрлийнхтэй төстэй. Цорын ганц зүйл бол олон гишүүнтээс гадна бид үндэс нэмэх болно.
Жишээ 6
Хязгаарыг ол 
Шийдвэрлэж эхэлцгээе.
Эхлээд бид хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд 3-ыг орлуулахыг оролддог
Би дахин нэг удаа давтан хэлье - энэ бол ямар ч хязгаарлалтын хувьд таны хийх ёстой хамгийн эхний зүйл юм. Энэ үйлдэл нь ихэвчлэн оюун ухаан эсвэл ноорог хэлбэрээр хийгддэг.
Маягтын тодорхойгүй байдлыг арилгах шаардлагатай болсон. 
Та анзаарсан байх, манай тоологч язгуурын ялгааг агуулдаг. Математикийн хувьд боломжтой бол үндсийг нь арилгах нь заншилтай байдаг. Юуны төлөө? Мөн тэдэнгүйгээр амьдрал илүү хялбар байдаг.
Сэдэв 4.6 Хязгаарлалтын тооцоо
Функцийн хязгаар нь хязгаарын цэг дээр тодорхойлогдсон эсэхээс хамаардаггүй. Гэхдээ үндсэн функцүүдийн хязгаарыг тооцоолох практикт энэ нөхцөл байдал чухал ач холбогдолтой юм.
1. Хэрэв функц нь энгийн бөгөөд хэрэв аргументийн хязгаарын утга нь түүний тодорхойлолтын мужид хамаарах бол функцийн хязгаарыг тооцоолохдоо аргументийн хязгаарын утгыг энгийн орлуулалт болгон бууруулна. f (x) энгийн функцийн хязгаар at х тэмүүлж байнаА Тодорхойлолтын мужид орсон , х = дээрх функцийн хэсэгчилсэн утгатай тэнцүү байна А, өөрөөр хэлбэл lim f(x)=f( а) .
2. Хэрэв x нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай байдагэсвэл аргумент нь функцийн тодорхойлолтын мужид хамаарахгүй тоо руу чиглэдэг бол ийм тохиолдол бүрт функцийн хязгаарыг олох нь тусгай судалгаа шаарддаг.
Томъёо болгон ашиглаж болох хязгаарын шинж чанарт суурилсан хамгийн энгийн хязгааруудыг доор харуулав.
Функцийн хязгаарыг олох илүү төвөгтэй тохиолдлууд:
тус бүрийг тусад нь авч үздэг.
Энэ хэсэгт тодорхой бус байдлыг илчлэх үндсэн аргуудыг тоймлон харуулах болно.
1. Тухайн үед х тэмүүлж байнаА f(x) функц нь хоёр хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн харьцааг илэрхийлнэ
a) Эхлээд та функцийн хязгаарыг шууд орлуулах замаар олох боломжгүй эсэхийг шалгах хэрэгтэй бөгөөд аргумент дахь заасан өөрчлөлтөөр энэ нь хоёр хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүний харьцааг илэрхийлнэ. Бутархайг 0-д чиглэсэн хүчин зүйлээр багасгахын тулд хувиргалтыг хийдэг. Функцийн хязгаарын тодорхойлолтын дагуу х аргумент нь хэзээ ч түүнтэй давхцдаггүй, түүний хязгаарын утга руу чиглэдэг.
Ерөнхийдөө хэрэв функцийн хязгаарыг хайж байгаа бол х тэмүүлж байнаА , тэгвэл x утга авахгүй гэдгийг санах хэрэгтэй А, өөрөөр хэлбэл x нь a-тай тэнцүү биш.
b) Безоутын теоремыг хэрэглэсэн. Хэрэв та хуваагч болон хуваагч нь х = хязгаарын цэг дээр алга болох олон гишүүнт бутархайн хязгаарыг хайж байгаа бол. А, тэгвэл дээрх теоремын дагуу олон гишүүнт хоёулаа x-т хуваагдана. А.
в) Тоолуур эсвэл хуваагч дахь иррационалийг иррационал илэрхийлэлд нэгтгэгчээр үржүүлэх замаар устгаж, дараа нь хялбаршуулсаны дараа бутархайг багасгана.
d) 1-р гайхалтай хязгаарыг (4.1) ашигладаг.
e) Хязгааргүй жижиг тоонуудын эквивалентийн тухай теорем ба дараах зарчмуудыг ашиглана.
2. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаА f(x) функц нь хоёр хязгааргүй их хэмжээний харьцааг илэрхийлнэ
a) Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үл мэдэгдэх хамгийн дээд зэрэгт хуваах.
б) Ерөнхийдөө та дүрмийг ашиглаж болно
3. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаА f (x) функц нь хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн ба хязгааргүй их хэмжээний үржвэрийг илэрхийлнэ.
Бутархай нь тоологч болон хуваагч нь нэгэн зэрэг 0 эсвэл хязгааргүй рүү чиглэдэг хэлбэр рүү хөрвүүлэгддэг. 3-р тохиолдол 1 эсвэл 2-р тохиолдол болж буурна.
4. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаА f (x) функц нь хоёр эерэг хязгааргүй их хэмжигдэхүүний зөрүүг илэрхийлнэ
Энэ тохиолдлыг дараах аргуудын аль нэгээр 1 эсвэл 2 төрөл болгон бууруулна.
a) бутархайг нийтлэг хуваагч руу оруулах;
б) функцийг бутархай болгон хувиргах;
в) үндэслэлгүй байдлаас ангижрах.
5. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаА f(x) функц нь суурь нь 1, илтгэгч нь хязгааргүйд чиглэсэн хүчийг илэрхийлнэ.
Функцийг 2-р гайхалтай хязгаарыг ашиглах байдлаар өөрчилсөн (4.2).
Жишээ.Хай 
.
Учир нь x 3 руу чиглэдэг, тэгвэл бутархайн хуваагч нь 3 2 +3 *3+4=22, хуваагч нь 3+8=11 гэсэн тоо руу чиглэнэ. Тиймээс,
Жишээ
Энд бутархайн хүртэгч ба хуваагч байна x 2 руу чиглэж байна 0 (төрлийн тодорхойгүй байдал) руу чиглэнэ, бид тоологч ба хуваагчийг үржвэрлэх, бид lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)-ыг авна.
Жишээ
Тоолуур ба хуваагчийг тоологчтой нийлдэг илэрхийллээр үржүүлэхэд бид байна
Тоолуур дахь хашилтыг нээвэл бид олж авна
Жишээ
2-р түвшин. Жишээ. Функцийн хязгаарын тухай ойлголтыг эдийн засгийн тооцоонд хэрэглэх жишээг өгье. Ердийн санхүүгийн гүйлгээг авч үзье: хэмжээний зээл олгох С 0 гэсэн нөхцөлтэйгээр тодорхой хугацааны дараа Тдүнг буцаан олгоно С Т. Үнэ цэнийг тодорхойлъё r харьцангуй өсөлттомъёо
r=(S T -S 0)/S 0 (1)
Харьцангуй өсөлтийг үр дүнгийн утгыг үржүүлэх замаар хувиар илэрхийлж болно r 100-аар.
Томъёогоор (1) утгыг тодорхойлоход хялбар байдаг С Т:
С Т= С 0 (1 + r)
Хэдэн бүтэн жилийн урт хугацааны зээлийг тооцохдоо нийлмэл хүүгийн схемийг ашигладаг. Энэ нь 1-р жил бол энэ хэмжээнээс бүрддэг С 0 нь (1 +) хүртэл нэмэгддэг r) удаа, дараа нь хоёр дахь жилдээ (1 + r) дахин нэмэгдэнэ С 1 = С 0 (1 + r), тэр бол С 2 = С 0 (1 + r) 2 . Энэ нь ижил төстэй харагдаж байна С 3 = С 0 (1 + r) 3. Дээрх жишээнүүдээс бид үнийн дүнгийн өсөлтийг тооцоолох ерөнхий томъёог гаргаж болно nНийлмэл хүүгийн схемийг ашиглан тооцоолох жил:
S n= С 0 (1 + r) n.
Санхүүгийн тооцоонд нийлмэл хүүг жилд хэд хэдэн удаа тооцдог схемийг ашигладаг. Энэ тохиолдолд үүнийг зааж өгсөн болно жилийн ханш rТэгээд жилийн хуримтлалын тоо к. Дүрмээр бол хуримтлалыг тэнцүү интервалаар, өөрөөр хэлбэл интервал бүрийн уртаар хийдэг Tkжилийн нэг хэсгийг бүрдүүлдэг. Дараа нь тухайн хугацаанд Тжил (энд Тбүхэл тоо байх албагүй) дүн С Ттомъёогоор тооцоолно
(2)
Тухайн тоотой давхцаж буй тооны бүхэл хэсэг хаана байна, жишээ нь: Т? бүхэл тоо.
Жилийн ханш ийм байг rбөгөөд үйлдвэрлэдэг nтогтмол хугацаанд жил бүр хуримтлал . Дараа нь тухайн жилийн дүн С 0-ийг томъёогоор тодорхойлсон утга хүртэл нэмэгдүүлнэ
(3)
Онолын шинжилгээ болон санхүүгийн үйл ажиллагааны практикт "тасралтгүй хуримтлагдсан хүү" гэсэн ойлголт ихэвчлэн тулгардаг. Тасралтгүй хуримтлагдсан хүү рүү шилжихийн тулд та (2) ба (3) томъёонд тоонуудыг тодорхойгүй хугацаагаар нэмэгдүүлэх шаардлагатай. кТэгээд n(өөрөөр хэлбэл чиглүүлэх кТэгээд nхязгаар хүртэл) ба функцууд ямар хязгаарт чиглэхийг тооцоол С ТТэгээд С 1 . Энэ процедурыг (3) томъёонд хэрэглэцгээе:
Буржгар хаалт дахь хязгаар нь хоёр дахь гайхалтай хязгаартай давхцаж байгааг анхаарна уу. Үүнээс үүдэн жилийн ханшаар rтасралтгүй хуримтлагдсан хүүтэй, хэмжээ С 1 жилийн 0 нь үнэ цэнэ рүү нэмэгддэг С 1 *, томъёогоор тодорхойлогддог
С 1 * = С 0 e r (4)
Одоо нийлбэрээ гаргая С 0-ийг хүүгийн нэмэгдэлтэйгээр зээлээр олгож байна nжилд нэг удаа тогтмол давтамжтайгаар. гэж тэмдэглэе r eжилийн эцэст жилийн ханш С 0 нь утга хүртэл нэмэгддэг С 1 * томъёоноос (4). Энэ тохиолдолд бид үүнийг хэлэх болно r e- Энэ жилийн хүү nжилд нэг удаа, жилийн хүүтэй тэнцэх rтасралтгүй хуримтлалтай.(3) томъёоноос бид олж авна
S* 1 =S 0 (1+r e /n) n
Сүүлчийн томьёо ба томъёоны (4) баруун гар талыг тэнцүүлж, сүүлчийнх нь гэж үзнэ Т= 1, бид хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг гаргаж чадна rТэгээд r e:
Эдгээр томъёог санхүүгийн тооцоололд өргөн ашигладаг.
