Статистикийн өөрчлөлтийн гол ерөнхий үзүүлэлтүүд нь тархалт ба стандарт хазайлт юм.
Тархалт энэ арифметик дундаж ерөнхий дунджаас шинж чанар бүрийн квадрат хазайлт. Дисперсийг ихэвчлэн хазайлтын дундаж квадрат гэж нэрлэдэг ба 2-оор тэмдэглэнэ. Эх сурвалжаас хамааран энгийн буюу жигнэсэн арифметик дундажийг ашиглан дисперсийг тооцоолж болно.
жингүй (энгийн) дисперс;
жигнэсэн хэлбэлзэл.
Стандарт хазайлт Энэ нь үнэмлэхүй хэмжээсийн ерөнхий шинж чанар юм өөрчлөлтүүд нийлбэр дэх тэмдгүүд. Энэ нь атрибуттай ижил хэмжлийн нэгжээр (метр, тонн, хувь, га гэх мэт) илэрхийлэгддэг.
Стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур бөгөөд -ээр тэмдэглэнэ:
жишиггүй стандарт хазайлт;
жигнэсэн стандарт хазайлт.
Стандарт хазайлт нь дундаж утгын найдвартай байдлын хэмжүүр юм. Стандарт хазайлт бага байх тусам арифметик дундаж нь төлөөлсөн нийт хүн амыг илүү сайн тусгадаг.
Стандарт хазайлтыг тооцоолохын өмнө хэлбэлзлийн тооцоог хийнэ.
Жинлэсэн дисперсийг тооцоолох журам нь дараах байдалтай байна.
1) жигнэсэн арифметик дундажийг тодорхойлно:
2) сонголтуудын дунджаас хазайлтыг тооцоолох:
3) сонголт бүрийн дунджаас хазайлтыг квадрат:
4) хазайлтын квадратыг жингээр (давтамжаар) үржүүлнэ:
5) гарсан бүтээгдэхүүнийг нэгтгэн дүгнэх:
6) үүссэн дүнг жингийн нийлбэрт хуваана:
Жишээ 2.1
Жинлэсэн арифметик дундажийг тооцоолъё:
Дунджаас хазайсан утгууд ба тэдгээрийн квадратуудыг хүснэгтэд үзүүлэв. Зөрчлийг тодорхойлъё:
Стандарт хазайлт нь дараахтай тэнцүү байна.
Хэрэв эх сурвалж өгөгдлийг интервал хэлбэрээр үзүүлбэл түгээлтийн цуврал , дараа нь та эхлээд атрибутын салангид утгыг тодорхойлж, дараа нь тайлбарласан аргыг хэрэглэх хэрэгтэй.
Жишээ 2.2
Улаан буудайн ургацын дагуу нэгдлийн тариалангийн талбайн тархалтын талаархи мэдээллийг ашиглан интервалын цувралын дисперсийн тооцоог үзүүлье.
Арифметик дундаж нь:
Вариацийг тооцоолъё:
6.3. Хувь хүний өгөгдөл дээр үндэслэсэн томъёог ашиглан дисперсийг тооцоолох
Тооцооллын техник зөрүү нарийн төвөгтэй, сонголт, давтамжийн том утгатай бол энэ нь төвөгтэй байж болно. Тархалтын шинж чанарыг ашиглан тооцооллыг хялбарчилж болно.
Тархалт нь дараах шинж чанартай байдаг.
1. Өөрчлөгдөж буй шинж чанарын жинг (давтамж) тодорхой тоогоор бууруулах буюу нэмэгдүүлэх нь тархалтыг өөрчлөхгүй.
2. Тухайн шинж чанарын утга бүрийг ижил тогтмол хэмжээгээр багасгах буюу нэмэгдүүлэх Атархалтыг өөрчлөхгүй.
3. Тухайн шинж чанарын утга бүрийг тодорхой тоогоор бууруулах буюу нэмэгдүүлэх кдахь хэлбэлзлийг тус тус бууруулж эсвэл нэмэгдүүлдэг к 2 удаа ба стандарт хазайлт дотор кнэг удаа.
4. Дурын утгатай харьцуулсан шинж чанарын тархалт нь дундаж ба дурын утгуудын зөрүүний квадрат дахь арифметик дундажтай харьцуулахад дисперсээс үргэлж их байна:
Хэрэв А 0 байвал бид дараах тэгшитгэлд хүрнэ.
өөрөөр хэлбэл, шинж чанарын хэлбэлзэл нь шинж чанарын утгын дундаж квадрат ба дундаж квадратын хоорондох зөрүүтэй тэнцүү байна.
Үл хөдлөх хөрөнгө бүрийг ялгавартай байдлыг тооцохдоо бие даан эсвэл бусадтай хослуулан ашиглаж болно.
Зөрчлийг тооцоолох журам нь энгийн:
1) тодорхойлох арифметик дундаж :
2) арифметик дундажийг квадрат болгоно:
3) цувралын хувилбар бүрийн хазайлтыг квадрат:
X би 2 .
4) сонголтуудын квадратуудын нийлбэрийг ол:
5) сонголтуудын квадратуудын нийлбэрийг тоогоор нь хуваана, өөрөөр хэлбэл дундаж квадратыг тодорхойлно.
6) шинж чанарын дундаж квадрат ба дундаж квадратын ялгааг тодорхойлно.
Жишээ 3.1Ажилчдын бүтээмжийн талаарх дараах мэдээллийг авах боломжтой.
Дараах тооцоог хийцгээе.
Өмнөх нэгэнд бид аргументуудын тархалтын хуулиуд мэдэгдэж байгаа үед функцүүдийн тоон шинж чанарыг олох боломжийг олгодог хэд хэдэн томъёог танилцуулсан. Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд функцүүдийн тоон шинж чанарыг олохын тулд аргументуудын тархалтын хуулиудыг мэдэх шаардлагагүй, гэхдээ тэдгээрийн зөвхөн зарим тоон шинж чанарыг мэдэхэд хангалттай; Үүний зэрэгцээ бид ерөнхийдөө хуваарилалтын хууль тогтоомжгүйгээр хийдэг. Аргументуудын өгөгдсөн тоон шинж чанараас функцүүдийн тоон шинж чанарыг тодорхойлох нь магадлалын онолд өргөн хэрэглэгддэг бөгөөд олон тооны асуудлын шийдлийг ихээхэн хялбаршуулдаг. Эдгээр хялбаршуулсан аргуудын ихэнх нь шугаман функцтэй холбоотой; Гэсэн хэдий ч зарим энгийн шугаман бус функцууд нь ижил төстэй хандлагыг зөвшөөрдөг.
Одоогийн байдлаар бид функцүүдийн тоон шинж чанарын талаархи хэд хэдэн теоремуудыг танилцуулах болно, эдгээр нь өргөн хүрээний нөхцөлд хэрэглэгдэх эдгээр шинж чанаруудыг тооцоолох маш энгийн аппарат юм.
1. Санамсаргүй бус утгын математикийн хүлээлт
Томъёолсон өмч нь маш тодорхой юм; санамсаргүй бус хувьсагчийг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тусгай төрөл гэж үзэж, нэг боломжит утгыг нэг магадлалтайгаар баталж болно; Дараа нь математикийн хүлээлтийн ерөнхий томъёоны дагуу:
.
2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл
Хэрэв санамсаргүй бус утга байвал
3. Математикийн хүлээлтийн тэмдгээр санамсаргүй бус утгыг орлуулах
, (10.2.1)
өөрөөр хэлбэл, санамсаргүй бус утгыг математикийн хүлээлтийн шинж тэмдэг болгон авч болно.
Баталгаа.
a) Тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд
b) Тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд
.
4. Тархалтын тэмдэг ба стандарт хазайлтыг санамсаргүй бус утгыг орлуулах
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд санамсаргүй бол
, (10.2.2)
өөрөөр хэлбэл тархалтын тэмдгээс санамсаргүй бус утгыг квадрат болгож авч болно.
Баталгаа. Вариацын тодорхойлолтоор
Үр дагавар
,
өөрөөр хэлбэл стандарт хазайлтын тэмдгээс санамсаргүй бус утгыг абсолют утгаар нь авч болно. Бид (10.2.2) томъёоноос квадрат язгуурыг авч, r.s.o. - мэдэгдэхүйц эерэг утга.
5. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт
Үүнийг дурын хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр баталъя
өөрөөр хэлбэл, хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Энэ шинж чанарыг математикийн хүлээлтийг нэмэх теорем гэж нэрлэдэг.
Баталгаа.
a) Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний систем байг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрт ерөнхий томъёог (10.1.6) хоёр аргументын функцийн математик хүлээлтэд хэрэглэцгээе.
.
Хо нь хэмжигдэхүүн нь дараах утгыг авах нийт магадлалаас өөр юу ч биш юм.
;
иймээс,
.
Үүнийг бид ч мөн адил нотлох болно
,
мөн теорем нь батлагдсан.
b) Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн систем байг. Томъёоны дагуу (10.1.7)
. (10.2.4)
Эхний интегралыг (10.2.4) хувиргая:
;
адилхан
,
мөн теорем нь батлагдсан.
Математикийн хүлээлтийг нэмэх теорем нь аливаа санамсаргүй хэмжигдэхүүн - хамааралтай ба бие даасан хэмжигдэхүүнүүдэд хүчинтэй гэдгийг онцгойлон тэмдэглэх нь зүйтэй.
Математикийн хүлээлтийг нэмэх теоремыг дурын тооны нэр томъёонд ерөнхийлсөн болно.
, (10.2.5)
өөрөөр хэлбэл хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Үүнийг батлахын тулд бүрэн индукцийн аргыг ашиглахад хангалттай.
6. Шугаман функцийн математик хүлээлт
Хэд хэдэн санамсаргүй аргументуудын шугаман функцийг авч үзье.
санамсаргүй бус коэффициентүүд хаана байна. Үүнийг баталцгаая
, (10.2.6)
өөрөөр хэлбэл шугаман функцийн математик хүлээлт нь аргументуудын математик хүлээлтийн ижил шугаман функцтэй тэнцүү байна.
Баталгаа. m.o-ийн нэмэх теоремыг ашиглах. ба санамсаргүй бус хэмжигдэхүүнийг m.o. тэмдгийн гадна байрлуулах дүрмийг бид олж авна:
.
7. Dispepэнэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр
Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэр дээр корреляцийн моментийг хоёр дахин нэмсэнтэй тэнцүү байна.
Баталгаа. гэж тэмдэглэе
Математикийн хүлээлтийг нэмэх теоремын дагуу
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс харгалзах төвтэй хувьсагч руу шилжье. Тэгш байдлыг (10.2.8) гишүүнчлэлээс (10.2.8) нэр томъёогоор хасвал бид:
Вариацын тодорхойлолтоор
Q.E.D.
(10.2.7) нийлбэрийн дисперсийн томьёог дурын тооны нөхцөлөөр ерөнхийлж болно.
,
(10.2.10)
Хэмжигдэхүүний корреляцийн момент хаана байна, нийлбэрийн доорх тэмдэг нь нийлбэр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит хос хослолыг хамарна гэсэн үг юм. 
.
Баталгаа нь өмнөхтэй төстэй бөгөөд олон гишүүнтийн квадратын томъёоноос дагана.
Томъёо (10.2.10)-ийг өөр хэлбэрээр бичиж болно.
, (10.2.11)
Энд давхар нийлбэр нь хэмжигдэхүүний системийн корреляцийн матрицын бүх элементүүдэд хамаарна , корреляцийн момент болон дисперсийг хоёуланг нь агуулсан.
Хэрэв бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүн , системд орсон, хамааралгүй (өөрөөр хэлбэл, үед) томъёо (10.2.10) дараах хэлбэртэй байна.
, (10.2.12)
өөрөөр хэлбэл хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь гишүүн орнуудын дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Энэ байрлалыг дисперсийн нэмэх теорем гэж нэрлэдэг.
8. Шугаман функцийн дисперс
Хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний шугаман функцийг авч үзье.
санамсаргүй бус хэмжигдэхүүнүүд хаана байна.
Энэхүү шугаман функцийн дисперсийг томъёогоор илэрхийлдэг болохыг баталъя
, (10.2.13)
хэмжигдэхүүнүүдийн корреляцийн момент хаана байна, .
Баталгаа. Тэмдэглэгээг танилцуулъя:
. (10.2.14)
Илэрхийллийн баруун талд (10.2.14) нийлбэрийг тараах томъёог (10.2.10) хэрэглэж, үүнийг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.
хэмжигдэхүүнүүдийн корреляцийн момент хаана байна:
.
Энэ мөчийг тооцоод үзье. Бидэнд:
;
адилхан
Энэ илэрхийллийг (10.2.15)-д орлуулснаар бид (10.2.13) томъёонд хүрнэ.
Онцгой тохиолдолд бүх тоо хэмжээ хамааралгүй, томъёо (10.2.13) дараах хэлбэртэй байна.
, (10.2.16)
өөрөөр хэлбэл хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн шугаман функцийн дисперс нь коэффициентүүдийн квадратуудын үржвэрийн нийлбэр ба харгалзах аргументуудын дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
9. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт
Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэр, корреляцийн моменттэй тэнцүү байна.
Баталгаа. Корреляцийн моментийн тодорхойлолтоос бид дараахь зүйлийг хийх болно.
Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглан энэ илэрхийллийг хувиргацгаая.
Энэ нь (10.2.17) томъёотой тэнцэх нь ойлгомжтой.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд харилцан хамааралгүй бол томъёо (10.2.17) дараах хэлбэрийг авна.
өөрөөр хэлбэл харилцан хамааралгүй хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Энэ байрлалыг математикийн хүлээлтийг үржүүлэх теорем гэж нэрлэдэг.
Формула (10.2.17) нь хоёр дахь холимог анхны момент ба математикийн хүлээлтээр дамжуулан системийн хоёр дахь холимог төв моментийн илэрхийлэлээс өөр зүйл биш юм:
. (10.2.19)
Энэ илэрхийллийг практикт корреляцийн моментыг тооцоолохдоо ихэвчлэн нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд дисперсийг ихэвчлэн хоёр дахь анхны момент болон математикийн хүлээлтээр тооцдогтой адил ашигладаг.
Математикийн хүлээлтийг үржүүлэх теоремыг дурын тооны хүчин зүйлээр ерөнхийлсөн бөгөөд зөвхөн энэ тохиолдолд түүнийг хэрэглэхийн тулд хэмжигдэхүүнүүд нь хамааралгүй байх нь хангалтгүй, гэхдээ тэдгээрийн тоо нь үүнээс хамаардаг өндөр холимог моментуудыг шаарддаг. бүтээгдэхүүн дэх нэр томьёоны тоо дээр, алга болно. Бүтээгдэхүүнд багтсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал эдгээр нөхцөлүүд хангагдсан байх нь гарцаагүй. Энэ тохиолдолд
, (10.2.20)
өөрөөр хэлбэл бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Энэ саналыг бүрэн индукцээр хялбархан баталж болно.
10. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн дисперс
Үүнийг бие даасан хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд баталцгаая
Баталгаа. гэж тэмдэглэе. Вариацын тодорхойлолтоор
Хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан байдаг тул
Бие даасан үед хэмжигдэхүүнүүд нь мөн бие даасан байдаг; иймээс,
,
Гэхдээ магнитудын хоёр дахь анхны моментээс өөр зүйл байхгүй тул тархалтаар илэрхийлэгддэг.
;
адилхан
.
Эдгээр илэрхийллийг (10.2.22) томъёонд орлуулж, ижил төстэй нэр томъёог авчрахад бид (10.2.21) томъёонд хүрнэ.
Төвлөрсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг (математикийн хүлээлт тэгтэй тэнцүү хувьсагч) үржүүлэх тохиолдолд (10.2.21) томъёо дараах хэлбэртэй байна.
, (10.2.23)
өөрөөр хэлбэл бие даасан төвтэй санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн үржвэртэй тэнцүү байна.
11. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн өндөр моментууд
Зарим тохиолдолд бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн хамгийн өндөр моментуудыг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Энд холбоотой зарим харилцааг нотолж үзье.
1) Хэрэв хэмжигдэхүүн нь бие даасан байвал
Баталгаа.
эндээс математикийн хүлээлтийг үржүүлэх теоремын дагуу
Гэхдээ аливаа хэмжигдэхүүний эхний төв мөч нь тэг; дундын хоёр гишүүн алга болж, томъёо (10.2.24) батлагдсан.
(10.2.24) хамаарлыг дурын тооны бие даасан нэр томьёоны индукцээр хялбархан ерөнхийлнө.
. (10.2.25)
2) Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дөрөв дэх төв моментийг томъёогоор илэрхийлнэ
хэмжигдэхүүнүүдийн дисперсүүд хаана байна ба .
Нотлох баримт нь өмнөхтэй бүрэн төстэй юм.
Бүрэн индукцийн аргыг ашиглан (10.2.26) томъёоны ерөнхийлөлтийг дурын тооны бие даасан нэр томъёогоор батлахад хялбар байдаг.
Хэрэв судалж буй шинж чанарын дагуу популяцийг бүлэгт хуваавал энэ популяцид дараахь төрлийн дисперсийг тооцоолж болно: нийт, бүлэг (бүлэг доторх), бүлгийн дундаж (бүлэг доторх дундаж), бүлэг хоорондын.
Эхлээд энэ нь судалж буй шинж чанарын нийт өөрчлөлтийн аль хэсэг нь бүлэг хоорондын хэлбэлзэл байгааг харуулсан детерминацийн коэффициентийг тооцоолдог. бүлэглэлийн шинж чанараас шалтгаалан:
Эмпирик корреляцийн хамаарал нь бүлэглэл (фактор) ба гүйцэтгэлийн шинж чанаруудын хоорондын уялдаа холбоог тодорхойлдог.
Эмпирик корреляцийн харьцаа нь 0-ээс 1 хүртэлх утгыг авч болно.
Эмпирик корреляцийн харьцаанд үндэслэн холболтын ойр байдлыг үнэлэхийн тулд та Чаддокийн харьцааг ашиглаж болно.
Жишээ 4.Төрөл бүрийн өмчийн хэлбэрийн зураг төсөл, судалгааны байгууллагуудын ажлын гүйцэтгэлийн талаархи дараахь мэдээллийг авах боломжтой.
Тодорхойлох:
1) нийт зөрүү;
2) бүлгийн зөрүү;
3) бүлгийн хэлбэлзлийн дундаж;
4) бүлэг хоорондын зөрүү;
5) зөрүүг нэмэх дүрэмд үндэслэсэн нийт зөрүү;
6) детерминацийн коэффициент ба эмпирик корреляцийн харьцаа.
Дүгнэлт гаргах.
Шийдэл:
1. Өмчийн хоёр хэлбэрийн аж ахуйн нэгжүүдийн гүйцэтгэсэн ажлын дундаж хэмжээг тодорхойлъё.
Нийт зөрүүг тооцоолъё:
2. Бүлгийн дундажийг тодорхойлох:
сая рубль;
сая рубль
Бүлгийн зөрүү:
;
3. Бүлгийн хэлбэлзлийн дундажийг тооцоол.
4. Бүлэг хоорондын дисперсийг тодорхойлъё:
5. Дисперс нэмэх дүрэмд үндэслэн нийт дисперсийг тооцоол.
6. Детерминацийн коэффициентийг тодорхойлъё:
.
Тиймээс зураг төсөл, судалгааны байгууллагуудын гүйцэтгэсэн ажлын хэмжээ нь аж ахуйн нэгжийн өмчийн хэлбэрээс 22% хамаардаг.
Эмпирик корреляцийн харьцааг томъёогоор тооцоолно
.
Тооцоолсон үзүүлэлтийн утга нь аж ахуйн нэгжийн өмчийн хэлбэрээс ажлын хэмжээ бага байгааг харуулж байна.
Жишээ 5.Үйлдвэрлэлийн талбайн технологийн сахилга батыг судалсны үр дүнд дараахь мэдээллийг олж авав.
Детерминацийн коэффициентийг тодорхойлно
Энэ хуудсанд дисперсийг олох стандарт жишээг тайлбарласан бөгөөд та үүнийг олох бусад асуудлуудыг харж болно
Жишээ 1. Бүлэг, бүлгийн дундаж, бүлэг хоорондын болон нийт дисперсийг тодорхойлох
Жишээ 2. Бүлэглэх хүснэгтээс дисперс ба вариацын коэффициентийг олох
Жишээ 3. Дискрет цувааны дисперсийг олох
Жишээ 4. Захидлын ангийн 20 оюутны бүлэгт дараах мэдээлэл байна. Шинж чанарын тархалтын интервалын цувааг барьж, шинж чанарын дундаж утгыг тооцоолж, түүний тархалтыг судлах шаардлагатай.
Интервалын бүлэглэл байгуулъя. Интервалын мужийг томъёогоор тодорхойлъё.
Энд X max нь бүлэглэх шинж чанарын хамгийн их утга;
X мин – бүлэглэх шинж чанарын хамгийн бага утга;
n - интервалын тоо:
Бид n=5 гэж хүлээн зөвшөөрнө. Алхам нь: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6
Интервалын бүлэглэл үүсгэцгээе
Цаашдын тооцооллын хувьд бид туслах хүснэгтийг байгуулна.
X"i – интервалын дунд хэсэг. (жишээ нь, интервалын дунд 159 – 165.6 = 162.3)
Бид жигнэсэн арифметик дундаж томъёог ашиглан сурагчдын дундаж өндрийг тодорхойлно.
Дараах томъёог ашиглан дисперсийг тодорхойлъё.
Томьёог дараах байдлаар өөрчилж болно.
Энэ томъёоноос ийм зүйл гарч ирнэ хэлбэлзэл нь тэнцүү байна сонголтуудын квадратуудын дундаж болон квадрат ба дундаж хоорондын зөрүү.
Вариацын цуваа дахь дисперсмоментийн аргыг ашиглан тэнцүү интервалтайгаар тархалтын хоёр дахь шинж чанарыг (бүх сонголтыг интервалын утгад хуваах) ашиглан дараах аргаар тооцоолж болно. Ялгааг тодорхойлох, моментийн аргыг ашиглан дараах томъёог ашиглан тооцоолсон нь бага хөдөлмөр шаарддаг.
энд i нь интервалын утга;
A нь ердийн тэг бөгөөд хамгийн их давтамжтай интервалын дундыг ашиглахад тохиромжтой;
m1 нь эхний эрэмбийн моментийн квадрат;
м2 - хоёр дахь эрэмбийн момент
Альтернатив шинж чанарын хэлбэлзэл (хэрэв статистикийн популяцид шинж чанар нь зөвхөн хоёр бие биенээ үгүйсгэдэг сонголттойгоор өөрчлөгдвөл ийм хувьсагчийг альтернатив гэж нэрлэдэг) томъёог ашиглан тооцоолж болно.
Энэхүү тархалтын томъёонд q = 1- p-г орлуулснаар бид дараахийг олж авна.
Янз бүрийн төрлүүд
Нийт зөрүүЭнэ өөрчлөлтийг үүсгэгч бүх хүчин зүйлийн нөлөөгөөр нийт хүн амын дундах шинж чанарын өөрчлөлтийг хэмждэг. Энэ нь x-ийн нийт дундаж утгаас шинж чанарын бие даасан утгуудын хазайлтын дундаж квадраттай тэнцүү бөгөөд энгийн дисперс эсвэл жигнэсэн дисперс гэж тодорхойлж болно.
Бүлэг доторх ялгаа санамсаргүй өөрчлөлтийг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл. тооцоогүй хүчин зүйлийн нөлөөллөөс шалтгаалсан өөрчлөлтийн нэг хэсэг бөгөөд тухайн бүлгийн үндсийг бүрдүүлдэг хүчин зүйл-шинж чанараас хамаардаггүй. Ийм тархалт нь бүлгийн арифметик дунджаас X бүлгийн шинж чанарын бие даасан утгуудын хазайлтын дундаж квадраттай тэнцүү бөгөөд энгийн дисперс эсвэл жигнэсэн дисперс гэж тооцож болно.
Тиймээс, бүлэг доторх хэлбэлзлийн хэмжүүрбүлгийн доторх шинж чанарын өөрчлөлт бөгөөд дараах томъёогоор тодорхойлогддог.
Энд xi нь бүлгийн дундаж;
ni нь бүлгийн нэгжийн тоо юм.
Жишээлбэл, цехийн хөдөлмөрийн бүтээмжийн түвшинд ажилчдын мэргэшлийн нөлөөллийг судлах даалгаварт тодорхойлох шаардлагатай бүлэг доторх ялгаа нь бүх боломжит хүчин зүйлээс (тоног төхөөрөмжийн техникийн байдал, бэлэн байдал) үүссэн бүлэг тус бүрийн гарцын өөрчлөлтийг харуулдаг. багаж хэрэгсэл, материал, ажилчдын нас, хөдөлмөрийн эрч хүч гэх мэт.), мэргэшлийн ангиллын ялгааг эс тооцвол (бүлэг дотор бүх ажилчид ижил мэргэжилтэй).
Ихэнхдээ статистикийн хувьд аливаа үзэгдэл, үйл явцыг шинжлэхдээ зөвхөн судалж буй үзүүлэлтүүдийн дундаж түвшний талаархи мэдээллийг төдийгүй бас харгалзан үзэх шаардлагатай байдаг. бие даасан нэгжийн утгын тархалт эсвэл хэлбэлзэл , энэ нь судалж буй популяцийн чухал шинж чанар юм.
Хувьцааны үнэ, эрэлт нийлүүлэлт, хүүгийн түвшин өөр өөр цаг хугацаа, өөр өөр газар хамгийн их хэлбэлзэлтэй байдаг.
Өөрчлөлтийг тодорхойлдог гол үзүүлэлтүүд , нь муж, тархалт, стандарт хазайлт ба хэлбэлзлийн коэффициент юм.
Өөрчлөлтийн хүрээ шинж чанарын хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын хоорондох зөрүүг илэрхийлнэ: R = Xmax - Xmin. Энэ үзүүлэлтийн сул тал нь зөвхөн шинж чанарын хэлбэлзлийн хязгаарыг үнэлдэг бөгөөд эдгээр хил доторх түүний хэлбэлзлийг тусгадаггүй явдал юм.
Тархалт энэ дутагдалтай. Энэ нь шинж чанарын утгуудын дундаж утгаас хазайсан дундаж квадратаар тооцоологддог.
Вариацийг тооцоолох хялбаршуулсан арга Дараахь томъёог ашиглан гүйцэтгэнэ (энгийн ба жигнэсэн):
Эдгээр томъёог ашиглах жишээг 1 ба 2-р даалгаварт үзүүлэв.
Практикт өргөн хэрэглэгддэг үзүүлэлт бол стандарт хазайлт :
Стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуураар тодорхойлогддог бөгөөд судалж буй шинж чанартай ижил хэмжээтэй байна.
Үзэж буй үзүүлэлтүүд нь хэлбэлзлийн үнэмлэхүй утгыг олж авах боломжийг олгодог, өөрөөр хэлбэл. судалж буй шинж чанарын хэмжилтийн нэгжээр үнэлнэ. Тэднээс ялгаатай нь хэлбэлзлийн коэффициент хувьсах чадварыг харьцангуйгаар хэмждэг - ихэнх тохиолдолд илүү тохиромжтой байдаг дундаж түвшинтэй харьцуулахад.
Хувьсах коэффициентийг тооцоолох томъёо.
"Статистикийн өөрчлөлтийн үзүүлэлтүүд" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.
Асуудал 1 . Бүс нутгийн банкуудын сарын дундаж хадгаламжийн хэмжээнд зар сурталчилгаа хэрхэн нөлөөлж байгааг судлахад 2 банкийг шалгасан. Дараах үр дүнгүүд гарав.
Тодорхойлох:
1) банк тус бүрийн хувьд: а) сарын дундаж хадгаламж; б) шимтгэлийн тархалт;
2) хоёр банкны нэг сарын дундаж хадгаламж;
3) Зар сурталчилгаанаас хамааран 2 банкны хадгаламжийн зөрүү;
4) Зар сурталчилгаанаас бусад бүх хүчин зүйлээс хамаарч 2 банкны хадгаламжийн зөрүү;
5) Нэмэх дүрмийг ашиглан нийт зөрүү;
6) Тодорхойлох коэффициент;
7) Корреляцийн хамаарал.
Шийдэл
1) Зар сурталчилгаатай банкны тооцооны хүснэгтийг гаргая . Сарын дундаж хадгаламжийг тодорхойлохын тулд бид интервалуудын дунд цэгүүдийг олдог. Энэ тохиолдолд нээлттэй интервалын утга (эхний) нь түүний зэргэлдээх интервалын утгатай (хоёр дахь) нөхцөлт тэнцүү байна.
Бид жигнэсэн арифметик дундаж томъёог ашиглан хадгаламжийн дундаж хэмжээг олох болно.
29,000/50 = 580 рубль.
Бид хувь нэмрийн зөрүүг томъёогоор олно:
23 400/50 = 468
Бид ижил төстэй үйлдлүүдийг хийх болно сурталчилгаагүй банкны хувьд :
2) Хоёр банкны хадгаламжийн дундаж хэмжээг хамтдаа олцгооё. Хср =(580×50+542.8×50)/100 = 561.4 урэх.
3) Бид зар сурталчилгаанаас хамааран хоёр банкны хадгаламжийн зөрүүг дараах томъёогоор олох болно: σ 2 =pq (альтернатив шинж чанарын хэлбэлзлийн томъёо). Энд p=0.5 нь сурталчилгаанаас хамаарах хүчин зүйлсийн эзлэх хувь; q=1-0,5, тэгвэл σ 2 =0,5*0,5=0,25.
4) Бусад хүчин зүйлсийн эзлэх хувь 0.5 байгаа тул зар сурталчилгаанаас бусад бүх хүчин зүйлээс хамаарч хоёр банкны хадгаламжийн зөрүү мөн 0.25 байна.
5) Нэмэх дүрмийг ашиглан нийт дисперсийг тодорхойлно.
= (468*50+636,16*50)/100=552,08
= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96
σ 2 = σ 2 баримт + σ 2 үлдсэн = 552.08+345.96 = 898.04
6) Тодорхойлох коэффициент η 2 = σ 2 баримт / σ 2 = 345.96/898.04 = 0.39 = 39% - хувь нэмэрийн хэмжээ 39% -иар зар сурталчилгаанаас хамаарна.
7) Эмпирик корреляцийн харьцаа η = √η 2 = √0.39 = 0.62 – хамаарал нэлээд ойрхон байна.
Асуудал 2 . Зарах боломжтой бүтээгдэхүүний хэмжээгээр аж ахуйн нэгжүүдийг дараахь байдлаар ангилдаг.
Тодорхойлох: 1) зах зээлд нийлүүлэгдэх бүтээгдэхүүний үнийн тархалт; 2) стандарт хазайлт; 3) хэлбэлзлийн коэффициент.
Шийдэл
1) Нөхцөлөөр интервалын тархалтын цувралыг үзүүлэв. Үүнийг салангид байдлаар илэрхийлэх ёстой, өөрөөр хэлбэл интервалын дундыг олох (х"). Хаалттай интервалын бүлгүүдэд энгийн арифметик дундажийг ашиглан дундыг олно. Дээд хязгаартай бүлэгт - энэ дээд хязгаарын зөрүүгээр ба дараагийн интервалын хагасын хэмжээ (200-(400 -200):2=100).
Доод хязгаартай бүлгүүдэд - энэ доод хязгаарын нийлбэр ба өмнөх интервалын хагасын хэмжээ (800+(800-600):2=900).
Бид зах зээлд борлуулагдах бүтээгдэхүүний дундаж үнэ цэнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.
Хср = k×((Σ((x"-a):k)×f):Σf)+a. Энд a=500 нь хамгийн өндөр давтамжтай сонголтын хэмжээ, k=600-400=200 хамгийн их давтамжтай интервалын хэмжээ Үр дүнг хүснэгтэд оруулъя:
Тэгэхээр судалж буй хугацааны арилжааны бүтээгдэхүүний дундаж үнэ цэнэ нь ерөнхийдөө Хср = (-5:37)×200+500=472.97 мянган рубльтэй тэнцүү байна.
2) Дараах томъёог ашиглан дисперсийг олно.
σ 2 = (33/37)*2002-(472.97-500)2 = 35,675.67-730.62 = 34,945.05
3) стандарт хазайлт: σ = ±√σ 2 = ±√34,945.05 ≈ ±186.94 мянган рубль.
4) хэлбэлзлийн коэффициент: V = (σ /Хср)*100 = (186.94 / 472.97)*100 = 39.52%
