Магадлалын нэмэх ба үржүүлэх теоремууд.
Хамааралтай, бие даасан үйл явдлууд
Гарчиг нь аймшигтай харагдаж байгаа ч бодит байдал дээр бүх зүйл маш энгийн байдаг. Энэ хичээлээр бид үйл явдлын магадлалыг нэмэх, үржүүлэх теоремуудтай танилцаж, ердийн бодлогод дүн шинжилгээ хийх болно. магадлалыг сонгодог тодорхойлох асуудалгарцаагүй уулзах болно, эсвэл замдаа аль хэдийн уулзсан байх магадлалтай. Энэ нийтлэл дэх материалыг үр дүнтэй судлахын тулд та үндсэн нэр томъёог мэдэж, ойлгох хэрэгтэй магадлалын онолэнгийн арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх чадвартай байх. Таны харж байгаагаар маш бага зүйл шаардагддаг тул хөрөнгөнд өөх тос нэмэгдэх нь бараг баталгаатай юм. Гэхдээ нөгөө талаас би практик жишээн дээр өнгөцхөн хандахаас дахин анхааруулж байна - бас олон нарийн зүйл байдаг. Амжилт хүсье:
Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем: хоёрын аль нэг нь тохиолдох магадлал нийцэхгүйүйл явдал эсвэл (юу ч хамаагүй), эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна:
Үүнтэй төстэй баримт нь олон тооны үл нийцэх үйл явдлын хувьд үнэн юм, жишээлбэл, гурван үл нийцэх үйл явдал болон:
Теорем бол мөрөөдөл юм =) Гэсэн хэдий ч ийм мөрөөдөл нь нотлогдох ёстой бөгөөд үүнийг жишээлбэл, V.E-ийн сурах бичгээс олж болно. Гмурман.
Шинэ, өнөөг хүртэл үл мэдэгдэх ойлголтуудтай танилцацгаая.
Хамааралтай, бие даасан үйл явдлууд
Бие даасан үйл явдлуудаас эхэлье. Үйл явдал байна бие даасан , тохиолдох магадлал бол аль нэг нь хамаарахгүйавч үзэж буй багцын бусад үйл явдлын харагдах байдал / харагдахгүй байдлын талаар (бүх боломжит хослолоор). ...Гэхдээ яагаад ерөнхий хэллэгээр зовоод байгаа юм бэ?
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем: бие даасан үйл явдлууд хамтдаа тохиолдох магадлал бөгөөд эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
Хоёр зоос шидсэн 1-р хичээлийн хамгийн энгийн жишээ болон дараах үйл явдлууд руу буцъя.
– 1-р зоос дээр толгойнууд гарч ирнэ;
– 2 дахь зоос дээр толгойнууд гарч ирнэ.
Үйл явдлын магадлалыг олцгооё (1-р зоос дээр толгойнууд гарч ирнэ Тэгээд 2 дахь зоос дээр бүргэд харагдах болно - хэрхэн уншихаа санаарай үйл явдлын бүтээгдэхүүн!)
. Нэг зоос дээрх толгойн магадлал нь өөр зоос шидсэн үр дүнгээс ямар ч байдлаар хамаардаггүй тул үйл явдлууд бие даасан байдаг. 
Үүний нэгэн адил: 
– 1-р зоос унах магадлал Тэгээд 2-р сүүл дээр; 
– 1-р зоос дээр толгой гарч ирэх магадлал Тэгээд 2-р сүүл дээр; 
– 1-р зоос толгой харуулах магадлал Тэгээд 2-р бүргэд дээр.
Үйл явдал үүсч байгааг анхаарна уу бүтэн бүлэгба тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна: .
Үржүүлэх теорем нь илүү олон тооны бие даасан үйл явдлуудыг хамардаг, жишээлбэл, хэрэв үйл явдлууд бие даасан байвал тэдгээрийн хамтарсан тохиолдох магадлал нь тэнцүү байна: . Тодорхой жишээн дээр дадлага хийцгээе:
Асуудал 3
Гурван хайрцаг тус бүр 10 хэсгээс бүрдэнэ. Эхний хайрцагт 8 стандарт хэсэг, хоёр дахь нь 7, гурав дахь нь 9. Хайрцаг бүрээс нэг хэсгийг санамсаргүй байдлаар гаргаж авдаг. Бүх хэсгүүд стандарт байх магадлалыг ол.
Шийдэл: Аливаа хайрцагнаас стандарт болон стандарт бус хэсгийг гаргаж авах магадлал нь бусад хайрцагнаас ямар хэсгүүдийг авахаас хамаарахгүй тул асуудал нь бие даасан үйл явдлуудыг авч үздэг. Дараах бие даасан үйл явдлуудыг авч үзье.
– 1-р хайрцагнаас стандарт хэсгийг хассан;
- 2-р хайрцагнаас стандарт хэсгийг салгасан;
- 3-р хайрцагнаас стандарт хэсгийг хасав.
Сонгодог тодорхойлолтын дагуу:
харгалзах магадлалууд байна.
Бидний сонирхсон үйл явдал (1-р хайрцагнаас стандарт хэсгийг хасна Тэгээд 2-р стандартаас Тэгээд 3-р стандартаас)бүтээгдэхүүнээр илэрхийлэгддэг.
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:
– гурван хайрцагнаас нэг стандарт хэсгийг салгах магадлал.
Хариулах: 0,504
Хайрцагтай эрч хүчтэй дасгал хийсний дараа биднийг илүү сонирхолтой ургамлууд хүлээж байна.
Асуудал 4
Гурван саванд 6 цагаан, 4 хар бөмбөлөг байдаг. Урд бүрээс санамсаргүй байдлаар нэг бөмбөг сугалж авдаг. Магадлалыг ол: a) бүх гурван бөмбөг цагаан байх; б) гурван бөмбөг бүгд ижил өнгөтэй байна.
Хүлээн авсан мэдээлэлд үндэслэн "байх" цэгийг хэрхэн яаж шийдвэрлэхийг тааварлаарай ;-) Шийдлийн ойролцоо жишээг бүх үйл явдлын нарийвчилсан тайлбар бүхий академик хэв маягаар боловсруулсан болно.
Хамааралтай үйл явдлууд. Үйл явдал гэж нэрлэдэг хамааралтай , хэрэв түүний магадлал хамаарнааль хэдийн болсон нэг буюу хэд хэдэн үйл явдлаас. Та жишээ авахын тулд хол явах шаардлагагүй - хамгийн ойрын дэлгүүрт очно уу:
– маргааш 19.00 цагаас шинэ талх худалдаанд гарна.
Энэ үйл явдлын магадлал нь бусад олон үйл явдлуудаас хамаарна: шинэ талх маргааш хүргэх эсэх, оройн 19 цагаас өмнө зарагдах эсэх гэх мэт. Янз бүрийн нөхцөл байдлаас шалтгаалан энэ үйл явдал найдвартай эсвэл боломжгүй байж болно. Тиймээс үйл явдал болж байна хамааралтай.
Талх ... мөн Ромчуудын шаардсанаар циркчид:
– шалгалтанд оюутан энгийн тасалбар авна.
Хэрэв та анхных биш бол үйл явдал нь хамааралтай байх болно, учир нь түүний магадлал нь ангийнхан аль хэдийн тасалбар авсан эсэхээс хамаарна.
Үйл явдлын хамаарал/бие даасан байдлыг хэрхэн тодорхойлох вэ?
Заримдаа үүнийг асуудлын мэдэгдэлд шууд тусгасан байдаг боловч ихэнхдээ бие даасан дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай болдог. Энд хоёрдмол утгагүй удирдамж байхгүй бөгөөд үйл явдлын хамаарал эсвэл бие даасан байдал нь байгалийн логик үндэслэлээс үүдэлтэй юм.
Бүх зүйлийг нэг овоолго болгохгүйн тулд хамааралтай үйл явдлын даалгаварБи дараах хичээлийг онцлон тэмдэглэх болно, гэхдээ одоо бид практикт хамгийн түгээмэл теоремуудыг авч үзэх болно.
Тохиромжгүй магадлалын нэмэлт теоремуудын талаархи бодлого
бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх
Энэхүү тандем нь миний субьектив үнэлгээгээр хэлэлцэж буй сэдвийн даалгавруудын 80 орчим хувийг гүйцэтгэдэг. Хит болон магадлалын онолын жинхэнэ сонгодог бүтээл:
Асуудал 5
Хоёр буудагч тус бүр бай руу нэг удаа буудсан. Эхний шидэгчийн цохилтын магадлал 0.8, хоёр дахь нь 0.6 байна. Магадлалыг ол:
a) зөвхөн нэг буудагч бай онох болно;
б) буудагчдаас дор хаяж нэг нь бай онох болно.
Шийдэл: Нэг мэргэн буучийн цохилт/алдах хувь нь нөгөө шидэгчийн гүйцэтгэлээс үл хамаарах нь ойлгомжтой.
Үйл явдлыг авч үзье:
- 1-р буудагч байг онох болно;
– Хоёр дахь буудагч бай онох болно.
Нөхцөл байдлын дагуу: .
Эсрэг үйл явдлын магадлалыг олцгооё - харгалзах сумнууд алга болно. 
a) Үйл явдлыг авч үзье: - зөвхөн нэг буудагч байг онох болно. Энэ үйл явдал нь хоёр нийцэхгүй үр дүнгээс бүрдэнэ:
1-р мэргэн бууч цохих болно Тэгээд 2 дахь нь алдах болно
эсвэл
1 дэх нь алга болно Тэгээд 2 дахь нь цохих болно.
Хэл дээр үйл явдлын алгебруудЭнэ баримтыг дараах томъёогоор бичнэ. 
Эхлээд бид үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремыг, дараа нь бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремыг ашигладаг.
– ганц цохилт болох магадлал.
б) Үйл явдлыг авч үзье: - буудагчдаас дор хаяж нэг нь бай оносон байна.
Юуны өмнө БОДОЁ - "Ядаж НЭГ" гэсэн нөхцөл юу гэсэн үг вэ? Энэ тохиолдолд 1-р мэргэн бууч онох болно (2 дахь нь алдах болно) эсвэл 2 дахь (1 дэх нь алдах болно) эсвэлхоёр мэргэн бууч нэг дор - нийт 3 таарахгүй үр дүн.
Нэгдүгээр арга: өмнөх цэгийн бэлэн магадлалыг харгалзан үйл явдлыг дараах үл нийцэх үйл явдлуудын нийлбэрээр илэрхийлэх нь тохиромжтой.
хэн нэгэн тэнд хүрэх болно (зохицохгүй 2 үр дүнгээс бүрдэх үйл явдал) эсвэл
Хэрэв хоёр сум тусвал бид энэ үйл явдлыг үсгээр тэмдэглэнэ.
Тиймээс:
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:
– 1-р шидэгч онох магадлал Тэгээд 2 дахь мэргэн буудагч цохино.
Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремын дагуу:
– бай руу дор хаяж нэг удаа онох магадлал.
Хоёр дахь арга: Эсрэг үйл явдлыг авч үзье: - хоёр мэргэн бууч хоцрох болно.
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:
Үүний үр дүнд:
Хоёрдахь аргад онцгой анхаарал хандуулаарай - ерөнхийдөө энэ нь илүү оновчтой юм.
Нэмж дурдахад дээр дурдаагүй хамтарсан үйл явдлуудыг нэмэх теорем дээр үндэслэн үүнийг шийдэх өөр гуравдахь арга бий.
! Хэрэв та материалтай анх удаа танилцаж байгаа бол төөрөгдөлд орохгүйн тулд дараагийн догол мөрийг алгасах нь дээр.
Гурав дахь арга
: үйл явдлууд нийцэж байгаа бөгөөд энэ нь тэдгээрийн нийлбэр нь "дор хаяж нэг буудагч байг онох болно" гэсэн үйл явдлыг илэрхийлж байна (харна уу. үйл явдлын алгебр). By хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорембие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем:
Шалгаж үзье: үйл явдал ба (0, 1, 2 цохилт тус тус)бүрэн бүлэг үүсгэх тул тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой.
, үүнийг шалгах шаардлагатай байсан.
Хариулах: 
Магадлалын онолыг сайтар судалснаар та милитарист агуулгатай олон арван асуудалтай тулгарах бөгөөд үүний дараа та хэнийг ч буудахыг хүсэхгүй байх болно - асуудлууд нь бараг бэлэг юм. Загварыг бас хялбарчилж яагаад болохгүй гэж? Бичлэгийг товчилъё:
Шийдэл: нөхцөлөөр: , харгалзах шидэгчдийг онох магадлал. Тэгвэл тэдний алдах магадлал: 
a) Үл нийцэх магадлалыг нэмэх, бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремуудын дагуу:
– ганцхан буудагч бай онох магадлал.
б) Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:
– мэргэн бууч хоёулаа алдах магадлал.
Дараа нь: – буудагчдаас ядаж нэг нь бай онох магадлал.
Хариулах: 
Практикт та ямар ч дизайны сонголтыг ашиглаж болно. Мэдээжийн хэрэг, тэд илүү олон удаа богино замаар явдаг, гэхдээ бид 1-р аргыг мартаж болохгүй - энэ нь урт боловч илүү утга учиртай - илүү ойлгомжтой, юу, яагаад, яагааднэмэх, үржүүлэх. Зарим тохиолдолд зөвхөн зарим үйл явдлыг том үсгээр бичихэд тохиромжтой үед эрлийз хэв маяг тохиромжтой байдаг.
Бие даасан шийдлийн ижил төстэй ажлууд:
Асуудал 6
Галын дохио өгөхийн тулд бие даасан хоёр мэдрэгч суурилуулсан. Гал гарсан тохиолдолд мэдрэгч ажиллах магадлал нь эхний болон хоёр дахь мэдрэгчийн хувьд 0.5 ба 0.7 байна. Гал гарах магадлалыг ол:
a) мэдрэгч хоёулаа амжилтгүй болно;
б) мэдрэгч хоёулаа ажиллах болно.
в) ашиглах бүрэн бүлэг үүсгэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем, галд зөвхөн нэг мэдрэгч ажиллах магадлалыг ол. Энэ магадлалыг шууд тооцоолох замаар үр дүнг шалгана уу (нэмэх ба үржүүлэх теоремуудыг ашиглах).
Энд төхөөрөмжүүдийн үйл ажиллагааны бие даасан байдал нь нөхцөл байдалд шууд илэрхийлэгддэг бөгөөд энэ нь чухал тодруулга юм. Шийдэл дээжийг академик хэв маягаар боловсруулсан болно.
Хэрэв ижил төстэй бодлогод ижил магадлал, жишээ нь 0.9 ба 0.9 өгөгдсөн бол яах вэ? Та яг адилхан шийдэх хэрэгтэй! (үнэндээ үүнийг хоёр зоосоор жишээн дээр харуулсан)
Асуудал 7
Нэг удаагийн сумаар эхний харвасан хүний бай онох магадлал 0.8 байна. Эхний болон хоёр дахь харвагчид тус бүр нэг удаа буудсаны дараа бай оногдохгүй байх магадлал 0.08 байна. Хоёр дахь харваач нэг сумаар бай онох магадлал хэд вэ?
Энэ бол богино хугацаанд зохион бүтээсэн жижиг оньсого юм. Нөхцөл байдлыг илүү товчоор дахин боловсруулж болох боловч би эх хувилбарыг нь дахин хийхгүй - практик дээр би илүү гоёмсог зохиомжийг судлах хэрэгтэй болно.
Түүнтэй уулзаарай - тэр бол танд зориулж асар их хэмжээний нарийн ширийн зүйлийг төлөвлөсөн хүн =):
Асуудал 8
Нэг ажилчин гурван машин ажиллуулдаг. Ээлжийн үед эхний машинд тохируулга хийх магадлал 0.3, хоёр дахь нь 0.75, гурав дахь нь 0.4 байна. Шилжилтийн үед гарах магадлалыг ол:
a) бүх машинд тохируулга шаардлагатай болно;
б) зөвхөн нэг машин тохируулах шаардлагатай;
в) дор хаяж нэг машин тохируулга хийх шаардлагатай.
Шийдэл: нөхцөл нь нэг технологийн процессын талаар юу ч хэлээгүй тул машин бүрийн ажиллагааг бусад машинуудын үйл ажиллагаанаас хамааралгүй гэж үзэх хэрэгтэй.
Бодлого №5-тай адилтгаж үзвэл, энд та ээлжийн явцад тохирох машинуудад тохируулга хийх шаардлагатай үйл явдлуудыг авч үзэх, магадлалыг бичих, эсрэг үйл явдлын магадлалыг олох гэх мэт боломжтой. Гэхдээ гурван объектын хувьд би даалгавраа ингэж томъёолохыг үнэхээр хүсэхгүй байна - энэ нь удаан бөгөөд уйтгартай байх болно. Тиймээс энд "хурдан" хэв маягийг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг.
Нөхцөлийн дагуу: – ээлжийн үед тохирох машинд тааруулах шаардлагатай байх магадлал. Дараа нь тэдэнд анхаарал хандуулахгүй байх магадлал нь: 
Уншигчдын нэг эндээс дажгүй үсгийн алдаа олсон, би засах ч үгүй =)
a) Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:
– ээлжийн үед гурван машинд тохируулга хийх шаардлагатай байх магадлал.
б) "Ээлжийн үед зөвхөн нэг машинд тохируулга хийх шаардлагатай" үйл явдал нь гурван үл нийцэх үр дүнгээс бүрдэнэ.
1) 1-р машин шаардах болноанхаарал Тэгээд 2-р машин шаардахгүй Тэгээд 3 дахь машин шаардахгүй
эсвэл:
2) 1-р машин шаардахгүйанхаарал Тэгээд 2-р машин шаардах болно Тэгээд 3 дахь машин шаардахгүй
эсвэл:
3) 1-р машин шаардахгүйанхаарал Тэгээд 2-р машин шаардахгүй Тэгээд 3 дахь машин шаардах болно.
Үл нийцэх магадлалыг нэмэх, бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремуудын дагуу:
– ээлжийн үед зөвхөн нэг машин тохируулга шаардах магадлал.
Энэ илэрхийлэл хаанаас ирснийг та одоо ойлгох хэрэгтэй гэж бодож байна
в) Машинууд тохируулга хийх шаардлагагүй байх магадлалыг, дараа нь эсрэг үйл явдлын магадлалыг тооцоолъё.
- дор хаяж нэг машин тохируулга хийх шаардлагатай болно.
Хариулах:
"Ve" цэгийг мөн нийлбэрээр шийдэж болно, энэ нь ээлжийн үед зөвхөн хоёр машинд тохируулга шаардагдах магадлал энд байна. Энэ үйл явдал нь эргээд "байх" цэгтэй адилтгаж тодорхойлсон 3 үл нийцэх үр дүнг агуулдаг. Тэгш байдлыг ашиглан асуудлыг бүхэлд нь шалгах магадлалыг өөрөө олохыг хичээ.
Асуудал 9
Зорилтот руу гурван буунаас салво буудсан. Зөвхөн эхний буугаар нэг сумаар цохих магадлал 0.7, хоёр дахь буунаас 0.6, гурав дахь буунаас 0.8 байна. Дараах магадлалыг ол: 1) ядаж нэг сум байг онох; 2) зөвхөн хоёр бүрхүүл нь бай онох болно; 3) байг дор хаяж хоёр удаа цохино.
Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.
Дахин давхцлын талаар: хэрэв нөхцөл байдлын дагуу эхний магадлалын хоёр эсвэл бүр бүх утга давхцаж байвал (жишээлбэл, 0.7, 0.7 ба 0.7) яг ижил шийдлийн алгоритмыг дагаж мөрдөх ёстой.
Өгүүллийг дуусгахын тулд өөр нэг нийтлэг тааврыг харцгаая.
Асуудал 10
Буудагч нь шидэлт болгондоо ижил магадлалаар байг ононо. Гурван цохилтоор дор хаяж нэг цохилт өгөх магадлал 0.973 байвал энэ магадлал хэд вэ.
Шийдэл: буудсан болгонд бай онох магадлалаар тэмдэглэе.
ба дамжуулан - цохилт болгонд алдах магадлал.
Гэсэн хэдий ч үйл явдлуудыг бичье:
- 3 буудлага хийснээр буудагч дор хаяж нэг удаа бай онох болно;
– мэргэн буудагч 3 удаа алдах болно.
Нөхцөлөөр, дараа нь эсрэг үйл явдлын магадлал:
Нөгөө талаас, бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу: 
Тиймээс: 
- цохилт болгонд алдах магадлал.
Үүний үр дүнд:
– цохилт болгонд цохилт өгөх магадлал.
Хариулах: 0,7
Энгийн бөгөөд дэгжин.
Үзэж буй асуудалд зөвхөн нэг цохилтын магадлал, зөвхөн хоёр цохилт, бай руу гурван цохилт өгөх магадлалын талаар нэмэлт асуултуудыг тавьж болно. Шийдлийн схем нь өмнөх хоёр жишээн дээрхтэй яг ижил байх болно. 
Гэсэн хэдий ч үндсэн бодит ялгаа нь энд байгаа явдал юм давтан бие даасан туршилтууд, бие биенээсээ хамааралгүй, үр дүнгийн магадлал ижил дарааллаар хийгддэг.
Үндсэн ойлголтууд
Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдсон нь ижил шүүх хуралдаанд бусад үйл явдал тохиолдохгүй бол үйл явдлыг үл нийцэх гэж нэрлэдэг. Үгүй бол тэдгээрийг хамтарсан гэж нэрлэдэг.
Бүрэн бүлэг нь үйл явдлын багц бөгөөд тэдгээрийн хослол нь найдвартай үйл явдал юм.
Бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг хоёр л боломжит үйл явдлыг эсрэг гэж нэрлэдэг.
Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдох магадлал нь бусад үйл явдал тохиолдох, эс тохиолдохоос хамаарч байвал үйл явдлуудыг хамааралтай гэж нэрлэдэг.
Хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлал нь бусад нь тохиолдох, эс тохиолдохоос хамаарахгүй бол үйл явдлуудыг бие даасан гэж нэрлэдэг.
Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем
P(A+B)=P(A)+P(B),
Энд A, B нь үл нийцэх үйл явдлууд юм.
Хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), энд А ба В нь хамтарсан үйл явдал юм.
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем
,
Энд А ба В нь бие даасан үйл явдал юм.
Хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем
P(AB)=P(A)P A (B),
Энд P A (B) нь А үйл явдал болсон тохиолдолд В үйл явдал тохиолдох магадлал; А ба В нь хамааралтай үйл явдлууд юм.
Даалгавар 1.
Буудагч бай руу хоёр удаа бууддаг. Цохилт бүрийг онох магадлал 0.8 байна. Бүтэн үйл явдлын бүлгийг бүрдүүлж, тэдгээрийн магадлалыг ол. Шийдэл.
Туршилт - Зорилтот руу хоёр удаа буудсан.
Үйл явдал А-Хоёр удаагаа алдсан.
Үйл явдал IN- нэг удаа цохих.
Үйл явдал ХАМТ- хоёр удаа цохих. 
.
Хяналт: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
Даалгавар 2.
Цаг уурчдын урьдчилсан мэдээгээр P(бороо)=0.4; P(салхи)=0.7; R(бороо, салхи)=0.2. Бороо орох, салхилах магадлал хэд вэ?
Шийдэл. Магадлалыг нэмэх теоремоор болон санал болгож буй үйл явдлуудын нийцтэй байдлаас шалтгаалан бид дараах байдалтай байна.
P(бороо эсвэл салхи эсвэл хоёулаа)=P(бороо) +P(салхи) –P(бороо, салхи)=0.4+0.7-0.2=0.9.
Даалгавар 3. Шийдэл.Явах буудал дээр бараа илгээх 8 захиалга байна: тав нь дотоод тээвэрлэлт, гурав нь экспортын. Санамсаргүй байдлаар сонгосон хоёр захиалга дотоодын хэрэгцээнд байх магадлал хэд вэ? АҮйл явдал IN– санамсаргүй байдлаар авсан эхний захиалга нь улс дотор байна. Үйл явдал 
– хоёр дахь нь мөн дотоодын хэрэглээнд зориулагдсан. Дараа нь бид хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремоор магадлалыг олох хэрэгтэй
Даалгавар 4.
Бүтээгдэхүүний багцаас худалдаачин санамсаргүй байдлаар хамгийн өндөр зэрэглэлийн бүтээгдэхүүнийг сонгодог. Сонгосон зүйл хамгийн өндөр чанартай байх магадлал 0.8; нэгдүгээр зэрэг - 0.7; хоёрдугаар анги - 0.5. Санамсаргүй байдлаар сонгогдсон гурван бүтээгдэхүүнээс дараах бүтээгдэхүүн байх магадлалыг ол.
а) зөвхөн хоёр дээд зэрэглэлийн зэрэг; Шийдэл.б) хүн бүр өөр.
Асуудлын нөхцлийн дагуу; ; Үйл явдлууд бие даасан байдаг.
a) Үйл явдал А- Тэр үед зөвхөн хоёр дээд зэрэглэлийн бүтээгдэхүүн ийм харагдах болно
б) Үйл явдал INГурван бүтээгдэхүүн бүгд ялгаатай - үүнийг ингэж хэлье: 
, Дараа нь.
Даалгавар 5.
Гурван буугаар буудах үед бай онох магадлал дараах байдалтай байна. p1= 0,8; p2=0,7; p3=0.9. Дор хаяж нэг цохих магадлалыг ол (үйл явдал А) бүх буунаас нэг буугаар. Шийдэл.Буу тус бүрийн байд онох магадлал нь бусад бууны буудлагын үр дүнгээс хамаардаггүй тул авч үзэж буй үйл явдлууд (эхний буунд онох), (хоёр дахь буунд онох) болон (гурав дахь буугаар онох) бие даасан байна. нийлбэрт.
Үйл явдлын эсрэг үйл явдлын магадлал (өөрөөр хэлбэл алдах магадлал) нь дараахтай тэнцүү байна. 
Шаардлагатай магадлал
Даалгавар 6.
Хэвлэх үйлдвэр нь 4 хэвлэх машинтай. Машин бүрийн хувьд одоо ажиллаж байгаа байх магадлал 0.9 байна. Одоогоор дор хаяж нэг машин ажиллаж байх магадлалыг ол (үйл явдал А).
Шийдэл."Машин ажиллаж байна" ба "машин ажиллахгүй байна" (одоогоор) үйл явдлууд эсрэгээрээ байгаа тул тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна.
Тиймээс машин одоогоор ажиллахгүй байх магадлал тэнцүү байна
Шаардлагатай магадлал.
Шийдэл.Бодлого 7. Уншлагын танхимд магадлалын онолын 6 сурах бичиг байгаагийн гурав нь хавтастай. Номын санч санамсаргүй байдлаар хоёр сурах бичгийг авав. Хоёр сурах бичгийг хавсаргах магадлалыг ол.
Дараах үйл явдлуудыг авч үзье.
A1 - авсан анхны хавтастай сурах бичиг;
А2 бол хоёр дахь хавтастай сурах бичиг юм.
Авсан сурах бичгийг хоёуланг нь хавсаргасан үйл явдал. А1 болон А2 үйл явдлууд нь хамааралтай, учир нь А2 үйл явдлын магадлал нь А1 үйл явдал тохиолдохоос хамаарна. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремыг ашиглана: .
Магадлалын сонгодог тодорхойлолтын дагуу A1 p(A1) үйл явдал тохиолдох магадлал:
P(A1)=m/n=3/6=0.5.
А2 үйл явдал үүсэх магадлалыг А1 үйл явдал тохиолдоход А2 үйл явдал тохиолдох нөхцөлт магадлалаар тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл. (A2)==0.4.
Дараа нь үйл явдлын хүссэн магадлал:
P(A)=0.5*0.4=0.2. АҮйл явдлуудыг зөвшөөр INТэгээд
- үл нийцэх, эдгээр үйл явдлын магадлал нь мэдэгдэж байна. Асуулт: Эдгээр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг хэрхэн олох вэ? Энэ асуултын хариултыг нэмэх теоремоор өгнө.Теорем.
Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(А + IN) = Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(А) + Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(IN) (1.6)
х Баталгаа. Нээрээ л байя- ижил боломжтой, үл нийцэх (жишээ нь анхан шатны) үр дүнгийн нийт тоо. Үйл явдал болъё Аивээл м 1 үр дүн, үйл явдал IN – м 2 үр дүн. Дараа нь сонгодог тодорхойлолтын дагуу эдгээр үйл явдлын магадлал тэнцүү байна: Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(А) = м 1 / Баталгаа. Нээрээ л байя, Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(Б) = м 2 / Баталгаа. Нээрээ л байя .
Үйл явдлуудаас хойш АҮйл явдлуудыг зөвшөөр INнийцэхгүй, дараа нь үйл явдалд таатай үр дүн гарахгүй А, үйл явдалд тохиромжгүй IN(доорх диаграмыг үзнэ үү).
Тиймээс үйл явдал А+INтаатай байх болно м 1 + м 2 үр дүн. Тиймээс магадлалын хувьд Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(A + B) бид авах:
Дүгнэлт 1. Бүрэн бүлэг үүсгэх үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна.
Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(А) + Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(IN) + Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(ХАМТ) + … + Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(Д) = 1.
Үнэхээр, үйл явдлуудыг зөвшөөрнө үү А,IN,ХАМТ, … , Дбүрэн бүлэг байгуулах. Үүнээс болж тэдгээр нь хоорондоо нийцэхгүй бөгөөд цорын ганц боломжтой зүйл юм. Тиймээс үйл явдал A + B + C + …+ДЭдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдсон (туршилтын үр дүнд) нь найдвартай, i.e. A+B+C+…+Д = Үйл явдлуудыг зөвшөөр Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(A+B+C+ …+Д) = 1.
Үйл явдлын үл нийцэх байдлаас болж А,IN,ХАМТ, … , Дтомъёо зөв:
Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(A+B+C+ …+Д) = Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(А) + Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(IN) + Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(ХАМТ) + … + Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(Д) = 1.
Жишээ.Нэг саванд 30 бөмбөг байхаас 10 нь улаан, 5 нь хөх, 15 нь цагаан байна. Зөвхөн нэг бөмбөгийг савнаас гаргаж авсан тохиолдолд улаан эсвэл цэнхэр бөмбөг зурах магадлалыг ол.
Шийдэл. Үйл явдал болъё А 1 - улаан бөмбөг зурах, үйл явдал А 2 - цэнхэр бөмбөг гаргаж авах. Эдгээр үйл явдал нь нийцэхгүй байна, мөн Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(А 1) = 10 / 30 = 1 / 3; Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(А 2) = 5/30 = 1/6. Нэмэлт теоремоор бид дараахь зүйлийг олж авна.
Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(А 1 + А 2) = Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(А 1) + Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.(А 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.
Тайлбар 1.Асуудлын утгын дагуу юуны түрүүнд хэлэлцэж буй үйл явдлын мөн чанарыг - тэдгээр нь хоорондоо нийцэхгүй байгаа эсэхийг тогтоох шаардлагатай гэдгийг бид онцолж байна. Дээрх теоремыг хамтарсан үйл явдлуудад хэрэглэвэл үр дүн буруу болно.
Үйл явдлын магадлал А нь А үйл явдал тохиолдохыг дэмжсэн туршилтын үр дүнгийн m тоог тэнцүү байж болох бүх үл нийцэх үр дүнгийн нийт n тоонд харьцуулсан харьцаа юм: P(A)=m/n.
Үйл явдлын нөхцөлт магадлал A (эсвэл В үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд А үйл явдлын магадлал) нь P B (A) = P (AB) / P (B) тоо бөгөөд A ба B нь ижил туршилтын хоёр санамсаргүй үзэгдэл юм.
Хязгаарлагдмал тооны үйл явдлын нийлбэр Тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тохиолдсоноос бүрдсэн үйл явдлыг дууддаг. Хоёр үйл явдлын нийлбэрийг A+B гэж тэмдэглэв.
Магадлалыг нэмэх дүрэм :
- хамтарсан арга хэмжээ
А ба Б:
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB), энд P(A) нь А үйл явдлын магадлал, P(B) нь B, P(A+B) үйл явдлын магадлал юм. ) нь хоёр үйл явдлын нэгээс доошгүй тохиолдох магадлал, P(AB) хоёр үйл явдлын хамт тохиолдох магадлал. - магадлалыг нэмэх дүрэм үл нийцэх үйл явдлууд
А ба Б:
P(A+B) = P(A)+P(B), энд P(A) нь А үйл явдлын магадлал, P(B) нь В үйл явдлын магадлал юм.
Хязгаарлагдмал тооны үйл явдлын үр дүн тус бүр болох үйл явдал гэж нэрлэдэг. Хоёр үйл явдлын үржвэрийг AB гэж тэмдэглэв.
Магадлалыг үржүүлэх дүрэм :
- хамааралтай үйл явдлууд
А ба Б:
Р(АВ)= Р(А)*Р А (В)= Р(В)*Р В (А), энд Р А (В) нь А үйл явдал аль хэдийн болсон бол В үйл явдал тохиолдох нөхцөлт магадлал юм. , Р В (А ) нь В үйл явдал аль хэдийн болсон бол А үйл явдал тохиолдох нөхцөлт магадлал; - магадлалыг үржүүлэх дүрэм бие даасан үйл явдлууд
А ба Б:
P(AB) = P(A)*P(B), энд P(A) нь А үйл явдлын магадлал, P(B) нь В үйл явдлын магадлал юм.
"Үйл явдал дээрх үйлдлүүд" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ. Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх дүрэм"
Асуудал 1 . Хайрцагт 250 ширхэг гэрлийн чийдэн байгаа бөгөөд үүнээс 100 нь 90Вт, 50 нь 60Вт, 50 нь 25Вт, 50 нь 15Вт. Санамсаргүй байдлаар сонгосон чийдэнгийн хүч 60Вт-аас хэтрэхгүй байх магадлалыг тодорхойл.
Шийдэл.
A = (гэрлийн чийдэнгийн хүч 90 Вт), магадлал P (A) = 100/250 = 0.4;
B = (чийдэнгийн хүч 60 Вт);
C = (чийдэнгийн хүч 25 Вт);
D = (чийдэнгийн хүч 15 Вт).
2. Үйл явдлын A, B, C, D хэлбэр бүрэн систем , учир нь тэдгээр нь бүгд таарахгүй бөгөөд тэдгээрийн нэг нь энэ туршилтанд гарцаагүй тохиолдох болно (гэрлийн чийдэнг сонгох). Тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдох магадлал нь тодорхой үйл явдал, тэгвэл P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1.
3. Үйл явдал (гэрлийн чийдэнгийн хүч 60Вт-аас ихгүй) (жишээ нь 60Вт-аас бага буюу тэнцүү), ба (гэрлийн чийдэнгийн хүч 60Вт-аас их) (энэ тохиолдолд - 90Вт) эсрэг байна. Эсрэг тоонуудын шинж чанарын дагуу P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A).
4. P(B)+P(C)+P(D)=P(B+C+D) гэж үзвэл P(B+C+D)= 1-P(A)=1-0, 4=0.6.
Асуудал 2
. Эхний шидэгчийн нэг сумаар бай онох магадлал 0.7, хоёр дахь харвагчийн хувьд 0.9 байна. Ийм магадлалыг ол
а) бай нь зөвхөн нэг буудагчаар онох болно;
б) байг дор хаяж нэг шидэгч онох болно.
Шийдэл.
1. Дараах үйл явдлуудыг авч үзье.
Асуудлын нөхцлөөс A1 = (эхний мэргэн буудагч байг онох), P(A1) = 0.7;
Ā1 = (эхний мэргэн бууч алдсан), харин P(A1)+P(Ā1) = 1, учир нь A1 болон Ā1 нь эсрэг тэсрэг үйл явдлууд юм.
Тиймээс P(Ā1)=1-0.7=0.3;
Асуудлын нөхцлөөс A2 = (хоёр дахь мэргэн буудагч байг онох), P(A2) = 0.9;
Ā2 = (хоёр дахь мэргэн бууч алдсан), харин P(Ā2) = 1-0.9 = 0.1.
2. Үйл явдал A=(зорилтотыг зөвхөн нэг шидэгч оносон) нь A1A2 эсвэл A1A2 гэсэн хоёр таарахгүй үйл явдлын аль нэг нь тохиолдсон гэсэн үг юм.
P(A)= P(A1A2)+P(A1A2) магадлалыг нэмэх дүрмийн дагуу.
Р(А1А̄2)= Р(А1)*Р(А̄2)= 0.7*0.1=0.07;
P(A1A2)= P(A1)*P(A2)=0.3*0.9=0.27.
3. В үйл явдал=(байлтыг дор хаяж нэг буудагч оносон) нэг бол эхний харвасан хүн оносон, эсвэл хоёр дахь буудагч оносон, эсвэл хоёр буудагч оносон гэсэн үг.
Үйл явдал B̄=(бай нь ямар ч буудагч оногдоогүй) нь B үйл явдлын эсрэг бөгөөд P(B)=1-P(B̄) гэсэн үг.
B̄ үйл явдал нь Ā1 ба Ā2 бие даасан үйл явдлууд нэгэн зэрэг тохиолдохыг хэлдэг тул P(B̄)=P(Ā1Ā2)= P(Ā1)*P(Ā2)=0.3*0.1=0.3.
Тэгвэл P(B)= 1-P(B̄)=1-0.3=0.7.
Асуудал 3
. Шалгалтын тасалбар нь гурван асуултаас бүрдэнэ. Оюутан эхний асуултанд хариулах магадлал 0.7; хоёр дахь нь - 0.9; гурав дахь нь - 0.6. Тасалбар сонгосон оюутан дараах хариулт өгөх магадлалыг ол.
a) бүх асуултанд;
г) дор хаяж хоёр асуулт.
Шийдэл.
1. Дараах үйл явдлуудыг авч үзье.
A1 = (оюутан эхний асуултанд хариулсан), P(A1) = асуудлын нөхцлөөс 0.7;
Ā1 = (оюутан эхний асуултад хариулаагүй), харин P(A1)+P(Ā1) = 1, учир нь A1 ба Ā1 нь эсрэг үйл явдал юм. Тиймээс P(Ā1)=1-0.7=0.3;
A2 = (оюутан хоёр дахь асуултанд хариулсан), P(A2) = асуудлын нөхцлөөс 0.9;
Ā2 = (оюутан хоёр дахь асуултанд хариулаагүй), харин P(Ā2) = 1-0.9 = 0.1;
A3 = (гурав дахь асуултанд оюутан хариулсан), P(A3) = асуудлын нөхцлөөс 0.6;
Ā3 = (Оюутан гурав дахь асуултанд хариулаагүй), харин P(Ā3) = 1-0.6 = 0.4.
2. А үйл явдал = (Оюутан бүх асуултад хариулсан) нь A1, A2, A3 бие даасан үйл явдлууд нэгэн зэрэг тохиолдохыг хэлнэ, i.e. P(A)= P(A1A2A3) бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх дүрмийн дагуу: P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0.7*0.9*0.6=0.378 .
Дараа нь P(A)= P(A1A2A3)=0.378.
3. Үйл явдал D = (Оюутан дор хаяж хоёр асуултад хариулсан) нь дурын хоёр асуулт эсвэл гурвууланд нь хариулсан гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл. нийцэхгүй дөрвөн үйл явдлын нэг нь тохиолдсон: A1A2Ā3, эсвэл A1Ā2A3, эсвэл Ā1A2A3, эсвэл A1A2A3.
Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх дүрмийн дагуу: P(D)= P(A1A2Ā3)+ P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3).
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх дүрмийн дагуу:
P(A1A2Ā3)= P(A1)*P(A2)*P(Ā3)= 0.7*0.9*0.4=0.252;
P(A1Ā2A3)= P(A1)*P(Ā2)*P(A3)= 0.7*0.1*0.6=0.042;
P(Ā1A2A3)= P(Ā1)*P(A2)*P(A3)= 0.3*0.9*0.6=0.162;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0.7*0.9*0.6=0.378.
Тэгвэл P(D)= 0.252+0.042+0.162+0.378= 0.834.
Магадлалын онолыг судлах нь магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхээс эхэлдэг. Оюутан мэдлэгийн энэ чиглэлийг эзэмшихэд бэрхшээлтэй тулгардаг гэдгийг нэн даруй дурдах нь зүйтэй: хэрэв физик, химийн процессыг нүдээр дүрсэлж, эмпирик байдлаар ойлгож чадвал математикийн хийсвэрлэлийн түвшин маш өндөр бөгөөд ойлголт нь зөвхөн энд ирдэг. туршлагатай.
Гэсэн хэдий ч тоглоом нь лааны үнэ цэнэтэй юм, учир нь энэ өгүүлэлд дурдсан томъёонууд болон илүү нарийн төвөгтэй томъёонууд нь өнөөдөр хаа сайгүй хэрэглэгддэг бөгөөд ажилд хэрэг болж магадгүй юм.
Гарал үүсэл
Хачирхалтай нь, математикийн энэ салбарыг хөгжүүлэх түлхэц болсон ... мөрийтэй тоглоом. Үнэн хэрэгтээ шоо, зоос шидэх, покер, рулет зэрэг нь магадлалыг нэмэх, үржүүлэх аргыг ашигладаг ердийн жишээ юм. Үүнийг ямар ч сурах бичигт байдаг бодлогын жишээнүүдээс тодорхой харж болно. Хүмүүс ялах боломжоо хэрхэн нэмэгдүүлэх талаар суралцах сонирхолтой байсан бөгөөд үүнд зарим нь амжилтанд хүрсэн гэж хэлэх ёстой.
Жишээлбэл, 21-р зуунд хэдийнэ нэрийг нь хэлэхгүй нэгэн хүн олон зууны турш хуримтлуулсан мэдлэгээ ашиглан казиног шууд утгаараа "цэвэрлэж" рулет дээрээс хэдэн арван сая доллар хожсон.
Гэсэн хэдий ч энэ сэдвийг сонирхож байгаа хэдий ч зөвхөн 20-р зуун гэхэд "теорем" -ийг бүрэн гүйцэд болгосон онолын тогтолцоог боловсруулж чадсан бөгөөд өнөөдөр бараг бүх шинжлэх ухаанд магадлалын аргыг ашиглан тооцооллыг олж болно.
Хэрэглэх чадвар
Магадлал, нөхцөлт магадлалыг нэмэх, үржүүлэх томьёог ашиглахад чухал зүйл бол төв хязгаарын теоремын хангалт юм. Тэгэхгүй бол оюутан өөрөө ухаарахгүй ч хэчнээн үнэмшилтэй мэт санагдсан ч бүх тооцоо буруу байх болно.
Тийм ээ, өндөр урам зоригтой оюутан боломж бүрт шинэ мэдлэгийг ашиглах хүсэл эрмэлзэлтэй байдаг. Гэхдээ энэ тохиолдолд та бага зэрэг удаашруулж, хэрэглээний хамрах хүрээг нарийн тодорхойлох хэрэгтэй.
Магадлалын онол нь туршилтын үр дүнг эмпирик байдлаар илэрхийлдэг санамсаргүй үйл явдлуудыг авч үздэг: бид зургаан талт үхрийг өнхрүүлж, тавцангаас карт зурж, багц дахь гэмтэлтэй хэсгүүдийн тоог урьдчилан таамаглах боломжтой. Гэсэн хэдий ч зарим асуултанд математикийн энэ хэсгийн томъёог ашиглахыг хатуу хориглодог. Бид өгүүллийн төгсгөлд үйл явдлын магадлалыг авч үзэх онцлог, үйл явдлыг нэмэх, үржүүлэх теоремуудын талаар ярилцах болно, гэхдээ одоо жишээнүүдийг авч үзье.
Үндсэн ойлголтууд
Санамсаргүй үйл явдал нь туршилтын үр дүнд гарч болох эсвэл харагдахгүй байж болох зарим үйл явц эсвэл үр дүнг хэлнэ. Жишээлбэл, бид сэндвич шиддэг - энэ нь цөцгийн тосыг дээшээ эсвэл доош нь буулгаж болно. Хоёр үр дүнгийн аль нэг нь санамсаргүй байдлаар гарах бөгөөд тэдгээрийн аль нь гарахыг бид урьдчилан мэдэхгүй.
Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхийг судлахдаа бидэнд дахиад хоёр ойлголт хэрэгтэй болно.
Ийм үйл явдлыг хамтарсан гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдох нь нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэхгүй. Хоёр хүн нэгэн зэрэг бай руу буудлаа гэж бодъё. Тэдний нэг нь амжилттай нэгийг гаргавал хоёр дахь нь бухын нүдийг цохих, алдах чадварт ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй.
Тохиромжгүй үйл явдлууд нь нэгэн зэрэг тохиолдох боломжгүй үйл явдлууд байх болно. Жишээлбэл, хэрэв та хайрцагнаас ганц бөмбөг гаргавал цэнхэр, улаан хоёуланг нь нэг дор авах боломжгүй.
Зориулалт
Магадлалын тухай ойлголтыг латин том P үсгээр тэмдэглэсэн. Дараа нь хаалтанд тодорхой үйл явдлыг илэрхийлсэн аргументууд байна.
Нэмэх теорем, нөхцөлт магадлал, үржүүлэх теоремын томъёонд та хаалтанд байгаа илэрхийллүүдийг харах болно, жишээлбэл: A+B, AB эсвэл A|B. Тэдгээрийг янз бүрийн аргаар тооцоолох бөгөөд бид одоо тэдэнд хандах болно.
Нэмэлт
Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх томъёог ашигладаг тохиолдлуудыг авч үзье.
Тохиромжгүй үйл явдлын хувьд хамгийн энгийн нэмэлт томъёо нь хамааралтай: аливаа санамсаргүй үр дүнгийн магадлал нь эдгээр үр дүн бүрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
2 хөх, 3 улаан, 5 шар гантиг бүхий хайрцаг байна гэж бодъё. Хайрцагт нийт 10 ширхэг зүйл байгаа. Цэнхэр, улаан бөмбөлөг зурна гэдэг үнэн нь юу вэ? Энэ нь 2/10 + 3/10, өөрөөр хэлбэл тавин хувьтай тэнцүү байх болно.
Тохиромжгүй үйл явдлын хувьд нэмэлт нэр томъёо нэмэгдсэн тул томъёо нь илүү төвөгтэй болно. Өөр томьёог авч үзээд нэг догол мөрөнд буцаж оръё.
Үржүүлэх
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг нэмэх, үржүүлэх нь янз бүрийн тохиолдолд хэрэглэгддэг. Хэрэв туршилтын нөхцлийн дагуу бид хоёр боломжит үр дүнгийн аль нэгэнд сэтгэл хангалуун байвал бид нийлбэрийг тооцоолно; Хэрэв бид хоёр тодорхой үр дүнг ар араас нь авахыг хүсвэл өөр томъёог ашиглах болно.
Өмнөх хэсгийн жишээ рүү буцаж очоод бид эхлээд цэнхэр бөмбөг, дараа нь улаан бөмбөг зурахыг хүсч байна. Бид эхний тоог мэднэ - энэ нь 2/10 байна. Дараа нь юу болох вэ? 9 бөмбөг үлдсэн бөгөөд ижил тооны улаан бөмбөг хэвээр байна - гурав. Тооцооллын дагуу энэ нь 3/9 эсвэл 1/3 байх болно. Харин одоо хоёр тоогоор яах вэ? Зөв хариулт нь үржүүлснээр 2/30 болно.
Хамтарсан арга хэмжээ
Одоо бид хамтарсан арга хэмжээний нийлбэрийн томъёо руу дахин хандаж болно. Бид яагаад сэдвээс сатаарсан бэ? Магадлал хэрхэн үржиж байгааг олж мэдэхийн тулд. Одоо бидэнд энэ мэдлэг хэрэгтэй болно.
Эхний хоёр нэр томъёо нь юу болохыг бид аль хэдийн мэдэж байсан (өмнөх нэмэлт томъёонд дурдсантай адил), гэхдээ одоо бид дөнгөж тооцоолж сурсан магадлалын үржвэрийг хасах хэрэгтэй. Тодорхой болгохын тулд P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) томъёог бичье. Нэг илэрхийлэлд магадлалыг нэмэх, үржүүлэх хоёрыг ашигладаг болох нь харагдаж байна.
Зээл авахын тулд хоёр асуудлын аль нэгийг нь шийдэх ёстой гэж бодъё. Бид эхнийх нь 0.3, хоёр дахь нь 0.6 магадлалаар шийдэж чадна. Шийдэл: 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72. Энд зөвхөн тоог нэмэх нь хангалтгүй гэдгийг анхаарна уу.
Нөхцөлт магадлал
Эцэст нь, аргументуудыг хаалтанд зааж, босоо зураасаар тусгаарласан нөхцөлт магадлалын тухай ойлголт байдаг. P(A|B) бичилт нь дараах байдлаар бичигдэнэ: “Өгөгдсөн А үйл явдлын магадлал”.
Нэг жишээг харцгаая: найз тань танд ямар нэгэн төхөөрөмж өгсөн, энэ нь утас байх болтугай. Энэ нь эвдэрсэн (20%) эсвэл бүрэн бүтэн (80%) байж болно. Та өөрийн гарт ирсэн ямар ч төхөөрөмжийг 0.4 магадлалаар засах боломжтой эсвэл үүнийг хийх боломжгүй (0.6). Эцэст нь хэлэхэд, хэрэв төхөөрөмж ажиллаж байгаа бол та 0.7 магадлалаар зөв хүнд хүрч чадна.
Энэ тохиолдолд нөхцөлт магадлал хэрхэн гарч байгааг харахад хялбар байдаг: утас эвдэрсэн тохиолдолд та тэр хүнтэй холбогдох боломжгүй, гэхдээ хэрэв утас ажиллаж байгаа бол үүнийг засах шаардлагагүй болно. Тиймээс "хоёр дахь түвшинд" ямар нэгэн үр дүнд хүрэхийн тулд эхлээд аль үйл явдал хийгдсэнийг олж мэдэх хэрэгтэй.
Тооцоолол
Өмнөх догол мөрийн өгөгдлийг ашиглан магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.
Эхлээд танд өгсөн төхөөрөмжийг засах магадлалыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд нэгдүгээрт, энэ нь алдаатай байх ёстой, хоёрдугаарт, та үүнийг засах чадвартай байх ёстой. Энэ нь үржүүлэх аргыг ашигладаг ердийн асуудал юм: бид 0.2 * 0.4 = 0.08 авдаг.
Та зөв хүндээ шууд хүрэх магадлал хэр вэ? Энэ нь маш энгийн: 0.8*0.7 = 0.56. Энэ тохиолдолд та утас ажиллаж байгааг олж мэдсэн бөгөөд дуудлага амжилттай хийсэн.
Эцэст нь энэ хувилбарыг авч үзье: та эвдэрсэн утас авч, засаад дараа нь дугаараа залгаад нөгөө талд байгаа хүн утсаа авна. Энд бид аль хэдийн гурван бүрэлдэхүүн хэсгийг үржүүлэх хэрэгтэй: 0.2 * 0.4 * 0.7 = 0.056.
Нэг зэрэг ажиллахгүй хоёр утастай бол яах вэ? Та ядаж нэгийг нь засах магадлал хэр байна вэ? хамтарсан үйл явдлуудыг ашигладаг тул магадлалыг нэмэх, үржүүлэх талаар. Шийдэл: 0.4 + 0.4 - 0.4*0.4 = 0.8 - 0.16 = 0.64. Тиймээс хэрэв та хоёр эвдэрсэн төхөөрөмж авбал тохиолдлын 64% -д нь засах боломжтой болно.
Болгоомжтой ашиглах
Өгүүллийн эхэнд дурдсанчлан магадлалын онолыг ашиглах нь санаатай, ухамсартай байх ёстой.
Туршилтын цуврал их байх тусам онолын хувьд таамагласан утга нь практикт олж авсан үнэд ойртдог. Жишээлбэл, бид зоос шиддэг. Онолын хувьд магадлалыг нэмэх, үржүүлэх томьёо байдгийг мэдсэнээр бид туршилтыг 10 удаа хийвэл хэдэн удаа "толгой", "сүүл" гарч ирэхийг урьдчилан таамаглах боломжтой. Бид туршилт хийсэн бөгөөд санамсаргүй байдлаар зурсан талуудын харьцаа 3-аас 7 байв. Гэхдээ хэрэв бид 100, 1000 ба түүнээс дээш оролдлого хийвэл тархалтын график онолын хувьд улам бүр ойртож байгаа нь харагдаж байна. 44 - 56, 482 - 518 гэх мэт.
Одоо энэ туршилтыг зоосоор биш, ямар нэгэн шинэ химийн бодис үйлдвэрлэх замаар хийж байна гэж төсөөлөөд үз дээ, магадлал нь бидний мэдэхгүй. Бид 10 туршилт хийж, амжилттай үр дүнд хүрэхгүй бол "бодисыг олж авах боломжгүй" гэж ерөнхийд нь дүгнэж болно. Гэхдээ бид арван нэг дэх оролдлогоо хийсэн бол зорилгодоо хүрэх байсан ч юм уу, үгүй ч юм уу, хэн мэдлээ.
Тиймээс хэрэв та үл мэдэгдэх, судлагдаагүй газар руу явж байгаа бол магадлалын онол хэрэгжихгүй байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд дараагийн оролдлого бүр амжилттай байж болох бөгөөд "X байхгүй" эсвэл "X боломжгүй" гэх мэт ерөнхий дүгнэлтүүд нь эрт байна.
Эцсийн үг
Тиймээс бид хоёр төрлийн нэмэх, үржүүлэх, нөхцөлт магадлалыг авч үзсэн. Энэ чиглэлийг цаашид судлахын тулд тодорхой томъёо бүрийг ашиглах үед нөхцөл байдлыг ялгаж сурах шаардлагатай байна. Үүнээс гадна, магадлалын аргууд нь таны асуудлыг шийдвэрлэхэд ерөнхийдөө хэрэглэгдэх эсэхийг төсөөлөх хэрэгтэй.
Хэрэв та дасгал хийвэл хэсэг хугацааны дараа та шаардлагатай бүх үйлдлүүдийг зөвхөн оюун ухаандаа хийж эхлэх болно. Хөзрийн тоглоом сонирхдог хүмүүсийн хувьд энэ ур чадварыг туйлын үнэ цэнэтэй гэж үзэж болно - та тодорхой карт эсвэл костюм унах магадлалыг тооцоолоход л ялах магадлалаа мэдэгдэхүйц нэмэгдүүлэх болно. Гэсэн хэдий ч та олж авсан мэдлэгээ үйл ажиллагааны бусад салбарт ашиглах боломжийг хялбархан олох боломжтой.
