Танилцуулга
Түүний үйл ажиллагааны явцад хүн орон зайн дүрсийн хэлбэр, хэмжээ, харьцангуй байрлалыг судлах шаардлагатай тулгардаг. Үүнтэй төстэй асуудлыг хамгийн том масштабтай харьцдаг одон орон судлаачид, атом, молекулын бүтцийг судалдаг физикчид шийддэг. Ийм асуудлыг судалж буй геометрийн хэсгийг стереометр гэж нэрлэдэг (Грек хэлнээс "стерео" - эзэлхүүн, орон зайн).
1.1. Стереометрийн үндсэн аксиомууд
Стереометрийн хувьд планиметрийн тухай ойлголтуудад өөр нэг зүйлийг нэмж оруулав - хавтгай ба үүнтэй хамт геометрийн бусад объектуудтай онгоцны "харилцаа" -ыг зохицуулдаг аксиомууд. Ийм гурван аксиом байдаг.
1) Аксиом 1 – Нэг шулуун дээр оршдоггүй огторгуйн дурын гурван цэгээр дамжин нэг хавтгай байна. (Зураг 1)
Зураг 1.
2) аксиом 2 - огторгуйн дурын хоёр цэгээр дамжин зөвхөн нэг шулуун шугам байна. (Зураг 2)
Зураг 2.
3) аксиом 3 - Хэрэв хоёр хавтгай нь нийтлэг цэгтэй бол эдгээр хавтгайн бүх нийтлэг цэгүүд байрлах нийтлэг шулуун байна.. (Зураг 3)
Зураг 3.1
Гурав дахь аксиом нь стереометрийн хувьд маш чухал үүрэг гүйцэтгэдэг: энэ нь орон зайг яг гурван хэмжээст болгодог, учир нь дөрөв ба түүнээс дээш хэмжээст орон зайд онгоцууд нэг цэг дээр огтлолцдог. Дээр дурдсан гурвыг мөн нэг биш, харин хэд хэдэн онгоцтой харьцаж байгааг харгалзан дахин бодож, төлөвлөгөөний аксиомууд нэгтгэсэн болно. Жишээлбэл, шулуун шугамын аксиом - хоёр өөр цэгээр дамжуулан нэг ба зөвхөн нэг шулуун шугамыг зурж болно - стереометрид шууд утгаараа шилждэг, гэхдээ зөвхөн энэ нь огторгуйн хоёр цэгт хамаарна.
Үүний үр дүнд, аксиомуудаас шууд нэг ашигтай үр дүнг гаргацгаая.Хавтгайтай дор хаяж хоёр нийтлэг цэгтэй шулуун шугам бүхэлдээ энэ хавтгайд оршдог.
Эдгээр аксиомууд нь стереометрийн дүрсийг бүтээхэд өргөн хэрэглэгддэг.
1.2. Стереометр дэх координатын хавтгай.
Планиметрээс ялгаатай нь онгоц нь зөвхөн 2 тэнхлэгээр тодорхойлогддог - тэнхлэг x (абсцисса) ба y (ординатууд), стереометрийн хувьд 3-р тэнхлэгийг нэмдэг - тэнхлэг z (хэрэглэх) . Энэ тэнхлэг нь 4-р зурагт үзүүлсэн шиг урагш хөдөлдөг. Гэхдээ барилгын тав тухтай байдлыг хангах үүднээс координатын тэнхлэгүүдийг 5-р зурагт үзүүлсэн шиг дүрсэлж эхэлсэн.
Зураг 4. Зураг 5.
Стереометрийн хувьд огторгуй дахь цэгийн координат нь 3 байна: цэгийн абсцисса, цэгийн ординат, цэгийн аппликат.
Үүнийг тодорхой жишээгээр харцгаая. 6-р зурагт байгаа OB, OS, OD хэрчмүүд нь 1-тэй тэнцүү байна. Дараа нь А цэгийн абсцисса 1, А цэгийн ординат 1, А цэгийн аппликат нь 1 байна. Симболын хувьд үүнийг дараах байдлаар бичнэ.
эсвэл индекс ашиглан координатын бичлэгийг тодорхой цэгтэй холбох:
Зураг 6.
Тэнхлэг бүрийг тооны шугам гэж үздэг, өөрөөр хэлбэл энэ нь эерэг чиглэлтэй бөгөөд сөрөг туяа дээр байрлах цэгүүдэд сөрөг зайны координатын утгыг өгдөг (зайг хасах тэмдгээр авдаг). Өөрөөр хэлбэл, жишээлбэл, В цэг нь зураг дээрх шиг биш - OX туяа дээр биш, харин О цэгээс эсрэг чиглэлд (OX тэнхлэгийн сөрөг хэсэг) үргэлжилсэн байвал абсцисса болно. XА цэг нь сөрөг байх болно (ОБ зайг хассан). Бусад хоёр тэнхлэгийн хувьд ч мөн адил.
Гурван хэмжээст орон зай дахь бүх тэгш өнцөгт координатын системийг баруун (эерэг, стандарт гэсэн нэр томъёог бас ашигладаг) ба зүүн гэсэн хоёр ангилалд хуваадаг. Ихэвчлэн анхдагчаар тэд баруун гар координатын системийг ашиглахыг хичээдэг бөгөөд тэдгээрийг графикаар дүрслэхдээ боломжтой бол ердийн (уламжлалт) байрлалуудын аль нэгэнд байрлуулдаг. (Зураг 6 нь зөв координатын системийг харуулж байна). Харгалзах тэнхлэгүүд (болон тэдгээрийн чиглэлүүд) давхцахын тулд баруун ба зүүн координатын системийг эргүүлэх замаар нэгтгэх боломжгүй юм. Та баруун гарын дүрэм, шураг дүрэм гэх мэт (тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлийг OX тэнхлэгийг цагийн зүүний эсрэг 90° эргүүлэхэд түүний эерэг чиглэл давхцахаар сонгогдсон) ашиглан аль ангилалд хамаарах координатын системийг тодорхойлж болно. OY тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй, хэрэв энэ эргэлтийг OZ тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс ажиглавал).
Жишээлбэл, гурван хэмжээст координатын систем дэх шоо дүрслэхийн тулд та өгөгдсөн квадратын талуудын уртыг мэдэх хэрэгтэй. Жишээ нь: 1 талтай, оройнууд нь O, C, T, B, D, R, A, S (Зураг 7) шоо байгуулъя. Дараа нь энэ кубын оройн координатууд нь:
Зураг 7.
Дүгнэлт
Гурван хэмжээст координатын систем байгаагийн ачаар параллелепипед, пирамид, призм гэх мэт гурван хэмжээст дүрсийг бүтээх боломжтой болсон. Энэхүү координатын системийг физик, одон орон судлал болон барилгын нарийвчлал бүхий бусад шинжлэх ухаанд ашигладаг. зайлшгүй шаардлагатай.
Ашигласан уран зохиолын жагсаалт:
А.В.Погорелов, 7-11-р ангийн геометр, боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг.
А.Л. Вернерийн стереометр. 7-9-р анги, Геометрийн багш нарт зориулсан сурах бичиг.
Атанасян Л.Геометр 10-11 анги,
Э.В.Потоскуев, Л.И. Звавич геометрийн 11-р анги,Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг.
Геометрийн талаархи "Стереометрийн аксиомууд" сэдэвт илтгэл Powerpoint форматаар. Сургуулийн сурагчдад зориулсан танилцуулгад стереометрийн 7 аксиомыг жагсаасан бөгөөд эдгээр аксиомуудыг ашиглах асуудлыг тусгасан болно. Илтгэлийн зохиогч: Сухорукова Е.В.
Танилцуулгын хэсгүүд
- Сансар огторгуйн дурын хоёр цэгийг дайран өнгөрөх ганцхан шулуун шугам байдаг
- Нэг шулуунд хамаарахгүй огторгуйн дурын гурван цэгээр нэг хавтгай өнгөрдөг
- Хэрэв хоёр хавтгай нийтлэг цэгтэй бол шулуун шугамаар огтлолцоно
- Нэг хавтгайд хамаарахгүй дор хаяж дөрвөн цэг байдаг
- Хэрэв шулуун шугам нь хавтгайтай хоёр нийтлэг цэгтэй бол энэ хавтгайд байрладаг
- Нэг хавтгай шулуун ба түүнд хамаарахгүй цэгийг дайран өнгөрдөг
- Нэг хавтгай нь огтлолцсон хоёр шугамаар дамждаг
АСУУЛТ 1
Зурган дээрх алдааг олно уу:
хариултын сонголт энд байна.
Хариулт: a) A, B, C цэгүүд нэг шулуунд хамаарах ёстой; b) K, L, M цэгүүд нэг шулуунд хамаарах ёстой.
АСУУЛТ 2
Тухайн хавтгайн М цэг нь ямар дүрсийн хавтгайд хамаарахыг зургаас тодорхойл.
Асуулт 3
Зурган дээрх алдааг ол. Тайлбар өгөөч
Хариулт: M цэг нь АС-д хамаарахгүй
Асуулт 4
Зураг дээр α ба β онгоцууд бие биенээсээ хэрхэн байрладаг вэ? Хариултаа тайлбарлана уу. Шаардлагатай бол зураг нэмнэ үү
Хариулт:учир нь онгоцууд нэг нийтлэг цэгтэй, дараа нь шулуун шугамаар огтлолцдог
Асуулт 5
a шугамаар хэдэн хавтгайг зурж болох вэ?
Хариулт:хязгааргүй олон
Орон зай дахь параллель шугамууд
- Орон зайн шугамыг дууддаг зэрэгцээ, хэрэв тэдгээр нь нэг хавтгайд хэвтэж, огтлолцохгүй бол
- Нэг хавтгайд огтлолцдоггүй, оршдоггүй шулуунуудыг нэрлэдэг эрлийзжих
- A…D1 параллелепипед дээр параллель ба огтлолцох шугамыг заана уу
- ABCD пирамид бүх хос муруй шугамыг жагсаан бич
IV бүлэг. Орон зай дахь шулуун ба хавтгай. Олон талт
§ 45. Стереометрийн үндсэн аксиомууд
Хамгийн энгийн орон зайн дүрсүүд (бие): шоо, призм, пирамид, бөмбөлөг, конус, цилиндр гэх мэт, тэдгээрийн шинж чанарыг 8 жилийн сургуулийн геометрийн хичээлээр судалсан. Энэхүү сурах бичгийн I бүлэгт векторуудыг судлахдаа орон зайн дүрсүүдийн зарим шинж чанарыг ашигласан болохыг анхаарна уу.
Энэ бүлэгт урьд өмнө хийж байснаасаа илүү дэлгэрэнгүйгээр огторгуй дахь шулуун ба хавтгайн байршилтай холбоотой геометрийн хэсгийг судалсан болно. Сансарт байрлах дүрсүүдийг судалдаг геометрийн салбарыг нэрлэдэг стереоометр.
Стереометрийн үндсэн ойлголтууд нь цэг, шулуун, хавтгай юм. Орон зай нь хязгааргүй тооны цэгүүдээс бүрддэг. Шулуун ба хавтгай нь огторгуйн хязгааргүй тооны цэгээс бүрдэх ба бүх орон зайтай давхцдаггүй.
Гол зүйлийг томъёолъё Стереометрийн аксиомууд. Аксиомууд нь нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн саналууд гэдгийг санаарай. Геометрийн аксиомууд нь бидний эргэн тойрон дахь бодит ертөнцийн холбогдох шинж чанаруудын хийсвэрлэл юм.
Сансар огторгуйн аль ч хавтгайд планиметрийн бүх аксиом, тодорхойлолт, теоремууд хангагдсан гэж бид таамаглах болно. Нэмж дурдахад бид стереометрийн дараах аксиомуудыг хүчинтэй гэж үзнэ.
1. Дурын хоёр цэгээр дамжин зөвхөн нэг шулуун шугам байдаг.
2. Хэрэв шулуун дээрх хоёр ялгаатай цэг нь хавтгайд хамаарах бол шугамын бүх цэгүүд энэ хавтгайд хамаарна.
3. Нэг шулуун дээр оршдоггүй дурын гурван цэгээр нэг, зөвхөн нэг хавтгай дамждаг.
4. Хэрэв хоёр өөр хавтгай огтлолцвол шулуун шугамаар огтлолцоно.
Эдгээр аксиомуудыг ашиглан бид дараах мэдэгдлийг нотолж байна.
1. Нэг хавтгай шулуун ба түүнд хамаарахгүй цэгийг дайран өнгөрдөг.
2. Нэг хавтгай нь огтлолцсон хоёр шугамаар дамждаг.
1. Энэ мөрөнд лА ба В хоёр цэгийг авч үзье (Зураг 128). Дараа нь 3-р аксиомын дагуу нэг хавтгай өгөгдсөн М цэг ба А ба В цэгүүдийг дайран өнгөрдөг rмөн шугамын бүх цэгүүд лонгоцонд харьяалагддаг r.
Тиймээс онгоц rшулуун шугамаар дамждаг лмөн түүнд хамаарахгүй M цэг Нэг шулуун дээр хэвтдэггүй A, B, M гурван цэгийг дайран өнгөрч, тиймээс хавтгайтай давхцах ёстой тул өөр ийм хавтгай байхгүй. r.
2. Үнэхээр шулуун шугамыг байг 1 1 ба 1 2 нь M цэг дээр огтлолцоно (Зураг 129). Шулуун шугамууд дээр 1 1 ба 1 2 M цэгээс ялгаатай А ба В цэгүүдийг авна. Дараа нь нэг хавтгай A, B, M гурван цэгийг дайран өнгөрнө. r. 2-р аксиомын дагуу онгоц rЭдгээр шугамаар дамждаг 1 1 ба 1 2 .
Энэ нийтлэлд бид гурван хэмжээст орон зайд шулуун шугамын тухай ойлголтыг ойлгож, шугамын харьцангуй байрлалын хувилбаруудыг авч үзэх, орон зайд шулуун шугамыг тодорхойлох үндсэн аргуудын талаар ярих болно. Илүү сайн ойлгохын тулд бид график дүрслэлийг өгдөг.
Хуудасны навигаци.
Сансар огторгуйн шулуун шугам бол ойлголт юм.
Бид орон зайд параллель шугамуудыг тодорхойлсны дараа тэдгээрийн ач холбогдлын улмаас шулуун шугамын чиглэлийн векторуудын талаар ярих хэрэгтэй. Энэ шулуун дээр эсвэл үүнтэй параллель шулуун дээр байрлах тэгээс бусад векторыг шугамын чиглэлийн вектор гэнэ. Шулуун шугамын чиглэлийн векторыг орон зайд шулуун шугамтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.
Эцэст нь гурван хэмжээст орон зайд хоёр шугам огтлолцож болно. Орон зай дахь хоёр шулуун нэг хавтгайд ороогүй бол тэдгээрийг хазайлт гэнэ. Орон зай дахь хоёр шулууны харьцангуй байрлал нь биднийг огтлолцох шугамуудын хоорондох өнцөг гэсэн ойлголт руу хөтөлдөг.
Орон зайд шулуун шугамыг тодорхойлох аргууд.
Орон зайд шулуун шугамыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлох хэд хэдэн арга байдаг. Голыг нь жагсаацгаая.
Шулуун шугам нь хоёр цэг, зөвхөн нэгийг дайран өнгөрдөг гэдгийг аксиомоос бид мэднэ. Тиймээс, хэрэв бид орон зайд хоёр цэгийг тэмдэглэвэл энэ нь тэдгээрийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг хоёрдмол утгагүй тодорхойлох боломжийг бидэнд олгоно.
Гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт координатын системийг нэвтрүүлж, түүний хоёр цэгийн координатыг зааж шулуун шугамыг зааж өгсөн бол өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг үүсгэх боломж бидэнд байна.
Орон зайн шугамыг тодорхойлох хоёр дахь арга нь теорем дээр суурилдаг: өгөгдсөн шулуун дээр оршдоггүй огторгуйн аль ч цэгээр өгөгдсөнтэй параллель шугам дамждаг бөгөөд зөвхөн нэг нь.
Тиймээс, хэрэв бид шугам (эсвэл энэ шугамын сегмент) ба түүн дээр байхгүй цэгийг зааж өгвөл өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шугамтай параллель шугамыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлно.
Та шугам өнгөрөх цэг болон түүний чиглэлийн векторыг зааж өгч болно. Энэ нь мөн шулуун шугамыг хоёрдмол утгагүй тодорхойлох боломжийг танд олгоно.
Хэрэв шулуун шугамыг тогтсон тэгш өнцөгт координатын системтэй харьцуулахад ийм байдлаар тодорхойлсон бол бид түүний орон зай дахь шулуун шугамын каноник тэгшитгэл, орон зай дахь шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг шууд бичиж болно.
Орон зайн шугамыг тодорхойлох дараах арга нь стереометрийн аксиом дээр суурилдаг: хэрэв хоёр хавтгай нь нийтлэг цэгтэй бол эдгээр хавтгайн бүх нийтлэг цэгүүд байрладаг нийтлэг шулуун шугамтай байна.
Тиймээс бид огтлолцсон хоёр хавтгайг тодорхойлсноор огторгуйн шулуун шугамыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог.
Орон зай дахь шугамыг тодорхойлох өөр нэг арга нь теоремоос (үүнийг нотлох баримтыг энэ өгүүллийн төгсгөлд жагсаасан номноос олж болно): хэрэв хавтгай ба түүн дотор оршдоггүй цэг өгөгдсөн бол нэг шугам өнгөрөх болно. энэ цэгээр дамжин өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр .
Тиймээс шулуун шугамыг тодорхойлохын тулд та хүссэн шулуун шугамын перпендикуляр байх хавтгай ба энэ шулуун шугам өнгөрөх цэгийг зааж өгч болно.
Хэрэв өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын системтэй харьцуулахад шугамыг ийм байдлаар зааж өгсөн бол өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийн талаархи өгүүллийн материалыг мэдэх нь ашигтай байх болно.
Лавлагаа.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометр. 7-9-р анги: Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометр. Ерөнхий боловсролын сургуулийн 10-11-р ангийн сурах бичиг.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Дээд математик. Нэгдүгээр боть: Шугаман алгебр ба аналитик геометрийн элементүүд.
- Ильин В.А., Позняк Е.Г. Аналитик геометр.
cleverstudents зохиогчийн эрх
Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан.
Зохиогчийн эрхийн хуулиар хамгаалагдсан. Зохиогчийн эрх эзэмшигчийн урьдчилан бичгээр зөвшөөрөл авалгүйгээр www.site-ын аль ч хэсгийг, түүний дотор дотоод материал, гадаад төрхийг ямар ч хэлбэрээр хуулбарлаж, ашиглахыг хориглоно.
