Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн x-ийн тархалтыг хүснэгтээр үзүүлэв. Гипергеометрийн тархалтын хууль

Тодорхойлолт 2.3. Х-ээр тэмдэглэсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хязгаарлагдмал буюу тоолж болох олонлог утгыг авдаг бол дискрет гэж нэрлэдэг. олонлог – хязгаарлагдмал буюу тоолж болох олонлог.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээг авч үзье.

1. Хоёр зоосыг нэг удаа шиддэг. Энэ туршилтын бэлгэ тэмдгийн тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм X. Түүний боломжит утгууд нь 0,1,2, өөрөөр хэлбэл. - хязгаарлагдмал олонлог.

2. Тухайн хугацаанд түргэн тусламжийн дуудлагын тоог бүртгэдэг. Санамсаргүй утга X- дуудлагын тоо. Түүний боломжит утгууд нь 0, 1, 2, 3, ..., өөрөөр хэлбэл. =(0,1,2,3,...) нь тоолж болох олонлог юм.

3. Тус бүлэгт 25 оюутан суралцдаг. Тодорхой өдөр ангид ирсэн оюутнуудын тоог тэмдэглэдэг - санамсаргүй хэмжигдэхүүн X. Түүний боломжит утгууд нь: 0, 1, 2, 3, ...,25, өөрөөр хэлбэл. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Хэдийгээр 3-р жишээн дээрх 25 хүн бүгд хичээлээ тасалж чадахгүй ч санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xэнэ утгыг авч болно. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга өөр өөр магадлалтай гэсэн үг юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик загварыг авч үзье.

Энгийн үйл явдлын хязгаарлагдмал эсвэл тоолж болох орон зайд тохирох санамсаргүй туршилтыг явуулъя. Энэ орон зайг бодит тоонуудын олонлогт буулгах талаар авч үзье, өөрөөр хэлбэл, энгийн үйл явдал бүрт тодорхой бодит тоог оноож үзье. Тоонуудын багц нь хязгаарлагдмал эсвэл тоологдох боломжтой, өөрөөр хэлбэл. эсвэл

Аль ч дэд олонлог, түүний дотор нэг цэгийг багтаасан дэд олонлогуудын систем нь тоон олонлогийн ( – төгсгөлтэй эсвэл тоолж болох) -алгебрийг бүрдүүлдэг.

Аливаа энгийн үйл явдал тодорхой магадлалтай холбоотой байдаг p i(хязгаарлагдмал бүх зүйлийн хувьд), ба , тэгвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга бүр тодорхой магадлалтай холбоотой байж болно. p i, ийм .

Болъё Xнь дурын бодит тоо юм. гэж тэмдэглэе R X (x)санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлал X-тэй тэнцүү утгыг авсан X, өөрөөр хэлбэл P X (x)=P(X=x). Дараа нь функц R X (x)зөвхөн эдгээр утгуудын хувьд эерэг утгыг авч болно X, хязгаарлагдмал буюу тоолж болох олонлогт хамаарах , бусад бүх утгын хувьд энэ утгын магадлал P X (x) = 0.

Тиймээс, бид утгуудын багцыг тодорхойлсон -алгебрыг аливаа дэд олонлогийн систем ба үйл явдал тус бүрийн хувьд ( X = x) магадлалыг харьцуулсан ямар ч хувьд, өөрөөр хэлбэл. магадлалын орон зайг байгуулсан.

Жишээлбэл, тэгш хэмтэй зоосыг хоёр удаа шидэх туршилтын энгийн үйл явдлын орон зай нь дөрвөн энгийн үйл явдлаас бүрдэнэ: , энд

Зоосыг хоёр удаа шидэх үед хоёр сүүл гарч ирэв; зоосыг хоёр удаа шидэх үед хоёр сүлд унав;

Зоосыг эхний шидэх үед хэш гарч ирсэн бол хоёр дахь нь сүлд;

Зоосыг эхний шидэх үед төрийн сүлд, хоёр дахь дээр нь хэш тэмдэг гарч ирэв.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үзье X– сараалжтай завсардсан хүмүүсийн тоо. Энэ нь түүний утгуудын багц дээр тодорхойлогддог . Бүх боломжит дэд олонлогууд, түүний дотор нэг цэгт нь алгебр үүсгэдэг, i.e. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Үйл явдлын магадлал ( X=x i}, і = 1,2,3, бид үүнийг прототип болох үйл явдлын магадлал гэж тодорхойлдог.

Тиймээс анхан шатны үйл явдлууд дээр ( X = x i) тоон функцийг тохируулах R X, Тэгэхээр .

Тодорхойлолт 2.4. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь хос тоонуудын багц (x i, р i), энд x i нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд, р i нь эдгээр утгыг авах магадлал юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлох хамгийн энгийн хэлбэр бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд болон харгалзах магадлалыг жагсаасан хүснэгт юм.

Ийм хүснэгтийг түгээлтийн цуваа гэж нэрлэдэг. Түгээлтийн цувралыг илүү нүдээр харуулахын тулд үүнийг графикаар дүрсэлсэн болно: тэнхлэг дээр Өөцэгүүд x iба тэдгээрээс урттай перпендикуляр зурна p i. Үүссэн цэгүүдийг холбож, олон өнцөгтийг олж авдаг бөгөөд энэ нь тархалтын хуулийн нэг хэлбэр юм (Зураг 2.1).

Тиймээс, салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлохын тулд та түүний утгууд болон харгалзах магадлалыг зааж өгөх хэрэгтэй.

Жишээ 2.2.Магадлалтай зоос оруулах бүрд машины бэлэн мөнгөний оролт идэвхждэг Р. Нэгэнт асаахад зоос буухгүй. Болъё X– машины бэлэн мөнгөний үүрийг ажиллуулахаас өмнө оруулах ёстой зоосны тоо. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа байгуул X.

Шийдэл.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд X: x 1 = 1, x 2 = 2,..., x k = k, ...Эдгээр утгуудын магадлалыг олцгооё. х 1– мөнгө хүлээн авагч анх удаа буулгахад ажиллах магадлал, ба p 1 = p; х 2 -хоёр оролдлого хийх магадлал. Үүнийг хийхийн тулд: 1) мөнгө хүлээн авагч эхний оролдлого дээр ажиллахгүй байх; 2) хоёр дахь оролдлого нь амжилттай болсон. Энэ үйл явдлын магадлал (1–р)р. Үүний нэгэн адил гэх мэт . Түгээлтийн хүрээ Xхэлбэрийг авна

магадлал гэдгийг анхаарна уу r kхуваагчтай геометр прогресс үүсгэх: 1–p=q, q<1, тиймээс энэ магадлалын тархалт гэж нэрлэгддэг геометрийн.

Цаашид математик загвар бий болсон гэж үзье дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр тодорхойлсон туршилт X, мөн дур зоргоороо үйл явдал тохиолдох магадлалыг тооцоолох талаар бодож үзээрэй.

Дурын үйл явдал нь хязгаарлагдмал эсвэл тоолж болох утгыг агуулна x i: A= {x 1, x 2,..., x i, ...) .Үйл явдал Ахэлбэрийн үл нийцэх үйл явдлуудын нэгдэл хэлбэрээр төлөөлж болно: . Дараа нь Колмогоровын 3-р аксиомыг ашиглана , бид авдаг

Учир нь бид үйл явдал тохиолдох магадлалыг тэдгээрийн прототип болсон үйл явдлуудын тохиолдох магадлалтай тэнцүү гэж тодорхойлсон. Энэ нь аливаа үйл явдлын магадлал гэсэн үг юм Энэ үйл явдлыг үйл явдлын нэгдэл хэлбэрээр илэрхийлж болох тул , , томъёог ашиглан тооцоолж болно. .

Дараа нь түгээлтийн функц F(x) = Р(–<Х<х) томъёогоор олно. Эндээс салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц гарч ирнэ Xтасалдалтай бөгөөд үсрэлт нь нэмэгддэг, өөрөөр хэлбэл энэ нь алхамын функц юм (Зураг 2.2):

Хэрэв олонлог хязгаарлагдмал бол томьёоны гишүүний тоо хязгаарлагдмал, харин тоолох боломжтой бол гишүүний тоо тоологдох болно.

Жишээ 2.3.Техникийн төхөөрөмж нь бие биенээсээ хамааралгүйгээр ажилладаг хоёр элементээс бүрдэнэ. Эхний элементийн T хугацаанд эвдрэх магадлал 0.2, хоёр дахь элементийн эвдрэлийн магадлал 0.1 байна. Санамсаргүй утга X– Т хугацааны туршид бүтэлгүйтсэн элементийн тоо. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг олж, графикийг нь зур.

Шийдэл.Техникийн төхөөрөмжийн хоёр элементийн найдвартай байдлыг судлахаас бүрдэх туршилтын энгийн үзэгдлийн орон зайг дөрвөн энгийн тохиолдлоор тодорхойлно , , , : – аль аль элемент нь ажиллаж байна; - эхний элемент ажиллаж байгаа, хоёр дахь нь эвдэрсэн; - эхний элемент гэмтэлтэй, хоёр дахь нь ажиллаж байна; - хоёр элемент хоёулаа алдаатай байна. Энгийн үйл явдал бүрийг орон зайн элементар үйл явдлуудаар илэрхийлж болно Тэгээд , энд - эхний элемент ажиллаж байна; - эхний элемент амжилтгүй болсон; - хоёр дахь элемент ажиллаж байна; - хоёр дахь элемент амжилтгүй болсон. Дараа нь техникийн төхөөрөмжийн элементүүд бие биенээсээ хамааралгүй ажилладаг тул

8. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд интервалд хамаарах магадлал хэд вэ?

Мэдэгдэж байгаагаар, санамсаргүй хувьсагч тухайн тохиолдлоос хамааран тодорхой утгыг авч чаддаг хувьсах хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хувьсагчдыг латин цагаан толгойн том үсгээр (X, Y, Z) тэмдэглэж, утгыг нь харгалзах жижиг үсгээр (x, y, z) тэмдэглэнэ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тасархай (дискрет) ба тасралтгүй гэж хуваадаг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Энэ нь тодорхой тэг биш магадлал бүхий зөвхөн хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй (тоолж болох) утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг тэдгээрийн магадлалтай холбодог функц юм. Хуваарилалтын хуулийг дараах аргуудын аль нэгээр тодорхойлж болно.

1 . Хуваарилалтын хуулийг дараах хүснэгтээр өгч болно.

Энд λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V)ашиглах замаар түгээлтийн функц F(x) , энэ нь x утга бүрийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл. F(x) = P(X< x).

F(x) функцийн шинж чанарууд

3 . Хуваарилалтын хуулийг графикаар тодорхойлж болно – тархалтын олон өнцөгт (олон өнцөгт) (3-р асуудлыг үзнэ үү).

Зарим асуудлыг шийдэхийн тулд хуваарилалтын хуулийг мэдэх шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Зарим тохиолдолд хуваарилалтын хуулийн хамгийн чухал шинж чанарыг тусгасан нэг буюу хэд хэдэн тоог мэдэхэд хангалттай. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний "дундаж утга" гэсэн утгатай тоо эсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгаас хазайх дундаж хэмжээг харуулсан тоо байж болно.

Ийм төрлийн тоонуудыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар гэж нэрлэдэг. :

• Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанар Математикийн хүлээлт (дундаж утга) дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн.
  M(X)=Σ x i p i
• Дуран тархалтын хувьд M(X)=np, Пуассон тархалтын хувьд M(X)=λ Тархалт дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн D(X)=M2 эсвэл D(X) = M(X 2)− 2
  . X–M(X) зөрүүг санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайлт гэнэ.
• Дуран тархалтын хувьд D(X)=npq, Пуассон тархалтын хувьд D(X)=λ Стандарт хэлбэлзэл (стандарт хэлбэлзэл).

σ(X)=√D(X)

"Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.

1000 сугалааны тасалбар гаргасан: 5 нь 500 рубль, 10 нь 100 рубль, 20 нь 50 рубль, 50 нь 10 рубль хожно. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хуулийг тодорхойл - нэг тасалбарын ялалт.

Шийдэл. Асуудлын нөхцлийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн дараах утгуудыг авах боломжтой: 0, 10, 50, 100, 500.

Ялалтгүй тасалбарын тоо 1000 – (5+10+20+50) = 915, дараа нь P(X=0) = 915/1000 = 0.915 байна.

Үүнтэй адилаар бид бусад бүх магадлалыг олно: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X) =500) = 5/1000=0.005. Үүссэн хуулийг хүснэгт хэлбэрээр үзүүлье.

X утгын математик хүлээлтийг олъё: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

Даалгавар 3.

Төхөөрөмж нь бие даасан гурван элементээс бүрдэнэ.

Шийдэл. 1. Нэг туршилтын элемент тус бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал 0.1 байна. Нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементийн тоог хуваарилах хуулийг гаргаж, түгээлтийн полигон байгуул. F(x) тархалтын функцийг олоод график зур. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлтыг ол.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X = (нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементүүдийн тоо) дараах боломжит утгуудтай байна: x 1 = 0 (төхөөрөмжийн аль нь ч бүтэлгүйтсэн), x 2 = 1 (нэг элемент амжилтгүй болсон), x 3 = 2 ( хоёр элемент амжилтгүй болсон ) ба x 4 =3 (гурван элемент амжилтгүй болсон). Элементүүдийн эвдрэл нь бие биенээсээ хамааралгүй, элемент тус бүрийн эвдрэлийн магадлал тэнцүү тул үүнийг хэрэглэж болно. Бернуллигийн томъёо
. n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 гэсэн нөхцлийн дагуу бид дараах утгуудын магадлалыг тодорхойлно.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;

Шалгах: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

Тиймээс X-ийн хүссэн хоёр нэрийн тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна.

3. Бид х i-ийн боломжит утгуудыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, харгалзах магадлалыг p i ординатын тэнхлэгийн дагуу зурдаг. M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) цэгүүдийг байгуулъя. Эдгээр цэгүүдийг шулуун шугамын сегментүүдтэй холбосноор бид хүссэн тархалтын полигоныг олж авна.

x > 3-ын хувьд F(x) = 1 байх болно, учир нь үйл явдал найдвартай.

4. F(x) функцийн график
X бином тархалтын хувьд:
- дисперс D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- стандарт хазайлт σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хамгийн нийтлэг хуулиудыг бид онцолж болно.

• Бином тархалтын хууль
• Пуассоны тархалтын хууль
• Геометрийн тархалтын хууль
• Гипергеометрийн тархалтын хууль

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн өгөгдсөн тархалтын хувьд тэдгээрийн утгын магадлал, түүнчлэн тоон шинж чанарыг (математикийн хүлээлт, дисперс гэх мэт) тооцоолохдоо тодорхой "томьёо" ашиглан гүйцэтгэдэг. Тиймээс эдгээр төрлийн тархалт, тэдгээрийн үндсэн шинж чанарыг мэдэх нь маш чухал юм.

1. Хоёр гишүүнт тархалтын хууль.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь $0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ n$ утгуудыг $P\left(X=k\right)= магадлалтай авсан тохиолдолд хоёрт магадлалын тархалтын хуульд хамаарна. C^k_n\cdot p^k\cdot (\зүүн(1-p\баруун))^(n-k)$. Үнэн хэрэгтээ $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $n$ бие даасан туршилтуудад $A$ үйл явдлын тохиолдлын тоо юм. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль:

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \цэгүүд & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\баруун) & P_n\left(1\баруун) & \цэгүүд & P_n\left(n\баруун) \\
\hline
\end(массив)$

Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=np$, дисперс нь $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ байна.

Жишээ . Гэр бүл хоёр хүүхэдтэй. Хүү, охинтой болох магадлалыг $0.5$-тэй тэнцүү гэж үзээд $\xi$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн буюу гэр бүлийн хөвгүүдийн тоог хуваарилах хуулийг ол.

$\xi $ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг гэр бүлийн хөвгүүдийн тоо гэж үзье. $\xi-ийн авч болох утгууд:\ 0,\ 1,\ 2$. Эдгээр утгын магадлалыг $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) томъёог ашиглан олж болно. )$, энд $n =2$ нь бие даасан туршилтуудын тоо, $p=0.5$ нь $n$ цуврал туршилтын явцад тохиолдох үйл явдлын магадлал юм. Бид авах:

$P\left(\xi =0\баруун)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\баруун))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$

$P\left(\xi =1\баруун)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\зүүн(1-0.5\баруун))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\баруун)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\баруун))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$

Дараа нь $\xi $ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь $0,\ 1,\ 2$ утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондын харгалзах байдал юм, өөрөөр хэлбэл:

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(массив)$

Түгээлтийн хуулийн магадлалын нийлбэр $1$-тэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.

Хүлээгдэж буй $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, зөрүү $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\баруун)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, стандарт хазайлт $\sigma \left(\xi \баруун)=\sqrt(D\left(\xi \баруун))=\sqrt(0.5 )\ойролцоогоор $0.707.

2. Пуассоны тархалтын хууль.

Хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь зөвхөн сөрөг бус бүхэл тоо $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ авах боломжтой бол $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Сэтгэгдэл. Энэхүү тархалтын онцлог нь туршилтын өгөгдөл дээр үндэслэн бид $M\left(X\right),\D\left(X\right)$ гэсэн тооцоог олдог, хэрэв олж авсан тооцоолол нь хоорондоо ойролцоо байвал бид санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь Пуассоны тархалтын хуульд захирагдана гэж батлах үндэслэл.

Жишээ . Пуассоны хуваарилалтын хуульд хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ нь: маргааш шатахуун түгээх станцаар үйлчлэх машины тоо; үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний гэмтэлтэй зүйлийн тоо.

Жишээ . Тус үйлдвэр бааз руу 500 долларын бүтээгдэхүүн илгээсэн. Тээвэрлэлтийн явцад бүтээгдэхүүнд гэмтэл учруулах магадлал 0.002 доллар байна. Гэмтсэн бүтээгдэхүүний тоотой тэнцүү $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг ол; $ M \ зүүн (X \ баруун), \ D \ зүүн (X \ баруун) $ гэж юу вэ.

$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг гэмтсэн бүтээгдэхүүний тоо гэж үзье. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ параметртэй Пуассоны тархалтын хуульд хамаарна. Утгын магадлал нь $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)-тэй тэнцүү байна.}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\зүүн(X=4\баруун)=((1^4)\ дээш (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\зүүн(X=5\баруун)=((1^5)\ дээш (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\зүүн(X=6\баруун)=((1^6)\(6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}

$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(массив)$

Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математикийн хүлээлт ба дисперс нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд $\lambda $ параметртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda. =1 доллар.

3. Геометрийн тархалтын хууль.

Хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь зөвхөн $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ натурал утгуудыг авах боломжтой бол $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) магадлалтай. баруун)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, тэгвэл тэд ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ магадлалын тархалтын геометрийн хуульд захирагдана гэж хэлдэг. Үнэн хэрэгтээ геометрийн тархалт нь анхны амжилтанд хүрэх хүртэл Бернулли тест юм.

Жишээ . Геометрийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ нь: бай руу эхний цохилтоос өмнөх цохилтын тоо; анхны алдаа гарах хүртэл төхөөрөмжийн туршилтын тоо; эхний толгой гарч ирэх хүртэл зоос шидсэн тоо гэх мэт.

Геометрийн тархалтад хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперс нь $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)-тай тэнцүү байна. )/p^ $2.

Жишээ . Загасыг түрсээ шахах газар руу зөөх замд 4 долларын цоож байдаг. Цоож бүрээр загас өнгөрөх магадлал $p=3/5$ байна. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цувралыг байгуулна - цоожонд анх саатуулахаас өмнө загасны дамжуулсан цоожны тоо. $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\\sigma \left(X\right)$-г олоорой.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь цоожны эхний баривчлагдахаас өмнө загасны хажуугаар дамжуулсан түгжээний тоо гэж үзье. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын тархалтын геометрийн хуульд захирагддаг. $X санамсаргүй хэмжигдэхүүний авч болох утгууд: $ 1, 2, 3, 4. Эдгээр утгын магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно: $P\left(X=k\right)=pq^(k) -1)$, үүнд: $ p=2/5$ - загасны цоожоор саатуулах магадлал, $q=1-p=3/5$ - загасны цоожоор дамжин өнгөрөх магадлал, $k=1,\ 2,\3,\4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over(5))\cdot(\left(((3)\(5))\баруун)^0=((2)\ (5))=0.4;$-с дээш

$P\left(X=2\right)=((2)\(5))\cdot ((3)\(5))=((6)\(25))=0.24;

$P\left(X=3\right)=((2)\over(5))\cdot(\left(((3)\(5))\баруун)^2=((2)\ (5))\cdot ((9)\(25)-аас дээш)=((18)\(125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(() (3)\(5))\баруун))^4=((27)\(125))=0.216.$

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\зүүн(X_i\баруун) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(массив)$

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Тархалт:

$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2=)0.4\cdot (\ зүүн( 1-2,176\баруун))^2+0,24\cdot (\зүүн(2-2,176\баруун))^2+0,144\cdot (\зүүн(3-2,176\баруун))^2+$

$+\0.216\cdot (\зүүн(4-2,176\баруун))^2\ойролцоогоор 1.377.$

Стандарт хэлбэлзэл:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\ойролцоогоор 1,173.$

4. Гипергеометрийн тархалтын хууль.

Хэрэв $N$ объектууд, тэдгээрийн дотор $m$ объектууд нь өгөгдсөн өмчтэй байна. $n$ объектуудыг буцаахгүйгээр санамсаргүй байдлаар татаж авдаг бөгөөд тэдгээрийн дотор $k$ объектууд өгөгдсөн өмчтэй байсан. Гипергеометрийн тархалт нь түүвэр дэх яг $k$ объектууд өгөгдсөн өмчтэй байх магадлалыг тооцоолох боломжтой болгодог. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь түүвэр дэх өгөгдсөн шинж чанартай объектын тоо гэж үзье. Дараа нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын магадлал:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Сэтгэгдэл. Excel $f_x$ функцийн шидтэний HYPERGEOMET статистик функц нь тодорхой тооны тест амжилттай болох магадлалыг тодорхойлох боломжийг олгодог.

$f_x\to$ статистик$\to$ ГИПЕРГЕОМЕТ$\to$ БОЛЖ БАЙНА УУ. Та бөглөх шаардлагатай харилцах цонх гарч ирнэ. Баганад Дээжийн_амжилтын_тоо$k$ утгыг заана. түүвэр_хэмжээ$n$-тай тэнцэнэ. Баганад Хамтдаа_амжилтын_тоо$m$ утгыг заана. хүн амын_хэмжээдоллар N$-тай тэнцэнэ.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$-ийн геометрийн тархалтын хуульд хамаарах математикийн хүлээлт ба дисперс нь $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=-тэй тэнцүү байна. ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over(N-1))$.

Жишээ . Тус банкны зээлийн хэлтэст санхүүгийн дээд боловсролтой 5, хууль зүйн дээд боловсролтой 3 мэргэжилтэн ажиллаж байна. Банкны удирдлагууд санамсаргүй байдлаар сонгон шалгаруулж мэргэшүүлэх 3 мэргэжилтнээ илгээхээр болжээ.

a) Санхүүгийн дээд боловсролтой мэргэжилтний ур чадвараа дээшлүүлэхээр илгээж болох тоог хуваарилах цуврал гаргах;

б) Энэ тархалтын тоон шинж чанарыг ол.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $X$ гэж сонгогдсон гурван хүний ​​дундаас санхүүгийн дээд боловсролтой мэргэжилтнүүдийн тоо гэж үзье. $X-ийн авч болох утгууд: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь гипергеометрийн тархалтын дагуу дараах параметрүүдээр хуваарилагдана: $N=8$ - популяцийн хэмжээ, $m=5$ - популяцийн амжилтын тоо, $n=3$ - түүврийн хэмжээ, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - түүвэр дэх амжилтын тоо. Дараа нь $P\left(X=k\right)$ магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолж болно: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ гаруй C_( N)^(n) ) $. Бидэнд байгаа:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\(56))\ойролцоогоор 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\(56))\ойролцоогоор 0.268;$

$P\зүүн(X=2\баруун)=((C^2_5\cdot C^1_3)\(C^3_8))=((15)\(28))\ойролцоогоор 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\(28))\ойролцоогоор 0.179.$

Дараа нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа:

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(массив)$

Гипергеометрийн тархалтын ерөнхий томъёог ашиглан $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг тооцоолъё.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\(8)-аас дээш)=1,875.$

$D\зүүн(X\баруун)=((нм\зүүн(1-((м)\(N))\баруун)\зүүн(1-((n)\(N))\баруун)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\(8) ))\баруун))\(8-1))=((225)\(448))\ойролцоогоор 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\ойролцоогоор 0.7085.$

Тодорхойлолт 1

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь түүний утгуудын багц хязгааргүй эсвэл хязгаарлагдмал боловч тоолж болохуйц байвал дискрет (тасралтгүй) гэж нэрлэдэг.

Өөрөөр хэлбэл, утгыг нь дугаарлах боломжтой бол хэмжигдэхүүнийг салангид гэж нэрлэдэг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын хуулийг ашиглан тодорхойлж болно.

$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр зааж өгч болох бөгөөд эхний мөрөнд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудыг өсөх дарааллаар зааж, хоёр дахь мөрөнд эдгээрийн харгалзах магадлалыг агуулна. үнэ цэнэ:

Зураг 1.

Энд $р1+ р2+ ... + рn = 1$ байна.

Энэ хүснэгт нь дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын ойролцоо.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын багц хязгааргүй бол $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ цуваа нийлж, түүний нийлбэр $1$-тэй тэнцүү байна.

$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг графикаар дүрсэлж болох бөгөөд үүний тулд координатын системд (тэгш өнцөгт) тасархай шугамыг байгуулж, $(xi;pi), i=1,2, координаттай цэгүүдийг дараалан холбодог. ... n$. Бидний авсан шугамыг нэрлэдэг түгээлтийн полигон.

Зураг 2.

$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг мөн аналитик байдлаар (томъёог ашиглан) төлөөлж болно.

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Дискрет магадлал дээрх үйлдлүүд

Магадлалын онолын олон асуудлыг шийдвэрлэхдээ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тогтмол тоогоор үржүүлэх, хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нэмэх, үржүүлэх, зэрэгт хүргэх үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай. Эдгээр тохиолдолд санамсаргүй дискрет хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд дараах дүрмийг баримтлах шаардлагатай.

Тодорхойлолт 3

Үржүүлэхдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $X$ тогтмол $K$ нь дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $Y=KX,$ тэгшитгэлээр тодорхойлогддог: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ зүүн(x_i\баруун)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Тодорхойлолт 4

$x$ ба $y$ хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дуудна бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь тархалтын хууль нь олж авсан хоёр дахь хэмжигдэхүүний боломжит үнэ цэнээс хамаарахгүй бол.

Тодорхойлолт 5

Дүн$X$ ба $Y$ хоёр бие даасан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $Z=X+Y санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг, $ нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\баруун)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $ P \ зүүн (x_i \ баруун) = p_i $, $ P \ зүүн (y_j \ баруун) = p "_j $.

Тодорхойлолт 6

Үржүүлэх$X$ ба $Y$ хоёр бие даасан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $Z=XY санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг, $ нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ зүүн (x_i \ баруун) = p_i $, $ P \ зүүн (y_j \ баруун) = p "_j $.

Зарим $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ бүтээгдэхүүнүүд хоорондоо тэнцүү байж болохыг анхаарцгаая. Энэ тохиолдолд бүтээгдэхүүнийг нэмэх магадлал нь харгалзах магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл, хэрэв $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $ тэгвэл $x_2y_3$ (эсвэл ижил $x_5y_7$) магадлал $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7-тэй тэнцүү байх болно. .$

Дээрх хэмжээ нь мөн адил хамаарна. Хэрэв $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6, $ бол $x_1+\ y_2$ (эсвэл ижил $x_4+\ y_6$) магадлал $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6-тай тэнцүү байх болно. доллар

$X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг түгээлтийн хуулиар тодорхойлсон:

Зураг 3.

$p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Дараа нь $X+Y$ нийлбэрийн тархалтын хууль хэлбэртэй байна.

Зураг 4.

Мөн $XY$ бүтээгдэхүүний хуваарилалтын хууль нь хэлбэртэй байх болно

Зураг 5.

Түгээлтийн функц

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн тайлбарыг мөн тархалтын функцээр өгдөг.

Геометрийн хувьд тархалтын функцийг $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн $x$ цэгийн зүүн талд байрлах цэгээр тоон шулуун дээр дүрслэгдсэн утгыг авах магадлал гэж тайлбарладаг.

"Санамсаргүй хувьсагч" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.

Даалгавар 1 . Сугалаанд зориулж 100 ширхэг тасалбар гаргасан байна. 50 ам.долларын нэг хонжвор сугаллаа. тус бүр 10 ам.долларын арван хожил. X утгын хуваарилалтын хуулийг ол - боломжит хожлын өртөг.

Шийдэл. X-ийн боломжит утгууд: x 1 = 0; x 2 = 10 ба x 3 = 50. 89 “хоосон” тасалбар байгаа тул х 1 = 0.89, 10 доллар хожих магадлал. (10 тасалбар) - х 2 = 0.10 ба 50 ам.доллар хожих -х 3 = 0.01. Тиймээс:

Хянахад хялбар: .

Даалгавар 2. Худалдан авагч бүтээгдэхүүний сурталчилгааг урьдчилан уншсан байх магадлал 0.6 (p = 0.6). Зар сурталчилгааны чанарыг сонгон хянах нь зар сурталчилгааг урьдчилан судалж үзсэн анхны худалдан авагчдын өмнө санал асуулга явуулах замаар хийгддэг. Судалгаанд хамрагдсан худалдан авагчдын тоог хуваарилах цувралыг гарга.

Шийдэл. Асуудлын нөхцлийн дагуу p = 0.6. Эхнээс: q=1 -p = 0.4. Эдгээр утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.түгээлтийн цувралыг байгуулна:

Даалгавар 3. Компьютер нь системийн нэгж, дэлгэц, гар гэсэн гурван бие даасан элементээс бүрдэнэ. Хүчдэл нэг удаа огцом нэмэгдэхэд элемент бүрийн эвдрэлийн магадлал 0.1 байна. Бернуллигийн хуваарилалт дээр үндэслэн сүлжээнд хүчдэлийн өсөлтийн үед бүтэлгүйтсэн элементүүдийн тоог хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл. Ингээд авч үзье Бернуллигийн тархалт(эсвэл бином): магадлал n тестүүд, А үйл явдал яг харагдах болнок нэг удаа: , эсвэл:

IN Даалгавар руугаа буцаж орцгооё.

X-ийн боломжит утгууд (алдааны тоо):

x 0 =0 – аль ч элемент амжилтгүй болсон;

x 1 =1 – нэг элементийн эвдрэл;

x 2 =2 – хоёр элементийн эвдрэл;

x 3 =3 – бүх элементийн эвдрэл.

Нөхцөлөөр p = 0.1, тэгвэл q = 1 – p = 0.9. Бернуллигийн томъёог ашиглан бид олж авна

, ,

, .

Хяналт:.

Тиймээс шаардлагатай хуваарилалтын хууль:

Асуудал 4. 5000 дугуй үйлдвэрлэсэн. Нэг хайрцаг гэмтэлтэй байх магадлал . Бүх багцад яг 3 ширхэг гэмтэлтэй хайрцаг байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Хэрэглэх боломжтой Пуассоны тархалт: Энэ тархалт нь маш их байх магадлалыг тодорхойлоход хэрэглэгддэг

туршилтын тоо (масс туршилт), тус бүрт А үйл явдлын магадлал маш бага, А үйл явдал k удаа тохиолдох болно: , Хаана.

Энд n = 5000, p = 0.0002, k = 3. , дараа нь хүссэн магадлалыг олно: .

Асуудал 5. Онох магадлал бүхий эхний цохилт хүртэл буудах үед p = 0.6 буудах үед та гурав дахь суманд цохилт өгөх магадлалыг олох хэрэгтэй.

Шийдэл. Геометрийн тархалтыг хэрэглэцгээе: бие даасан туршилтуудыг явуулъя, тус бүр нь А үйл явдал p тохиолдох магадлал (мөн тохиолдохгүй байх q = 1 - p) байна. А үйл явдал тохиолдсон даруйд шалгалт дуусна.

Ийм нөхцөлд k-р туршилт дээр А үйл явдал тохиолдох магадлалыг дараах томъёогоор тодорхойлно. Энд p = 0.6; q = 1 – 0.6 = 0.4;k = 3. Иймд .

Асуудал 6. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг дараах байдлаар өгье.

Математикийн хүлээлтийг ол.

Шийдэл. .

Математикийн хүлээлтийн магадлалын утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэдгийг анхаарна уу.

Асуудал 7. Дараах тархалтын хуулиар санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн дисперсийг ол.

Шийдэл. Энд .

X-ийн квадрат утгын тархалтын хууль 2 :

Шаардлагатай хэлбэлзэл: .

Тархалт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайх (тархалт) хэмжигдэхүүнийг тодорхойлдог.

Асуудал 8. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтаар өгье.

Түүний тоон шинж чанарыг ол.

Шийдэл: м, м 2 ,

М 2 , м.

X санамсаргүй хэмжигдэхүүний талаар бид аль нэгийг хэлж болно: түүний математик хүлээлт нь 6.4 м, 13.04 м-ийн хэлбэлзэлтэй байна. 2 , эсвэл – түүний математикийн хүлээлт нь m-ийн хазайлттай 6.4 м юм. Хоёр дахь томьёо нь илүү тодорхой байна.

Даалгавар 9. Санамсаргүй утга X түгээлтийн функцээр өгөгдсөн:
.

Туршилтын үр дүнд X утга нь интервалд агуулагдах утгыг авах магадлалыг ол .

Шийдэл. Өгөгдсөн интервалаас X утгыг авах магадлал нь энэ интервал дахь интеграл функцийн өсөлттэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. . Манай тохиолдолд, тиймээс

.

Даалгавар 10. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X түгээлтийн хуулиар өгөгдсөн:

Түгээлтийн функцийг ол F(x ) болон үүнийг зур.

Шийдэл. Түгээлтийн функцээс хойш,

Учир нь , Тэр

үед;

үед;

үед;

үед;

Холбогдох график:

Асуудал 11.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X дифференциал тархалтын функцээр өгөгдсөн: .

Онох магадлалыг олинтервал тутамд X

Шийдэл. Энэ нь экспоненциал тархалтын хуулийн онцгой тохиолдол гэдгийг анхаарна уу.

Томьёог ашиглая: .

Даалгавар 12. Тархалтын хуулиар тодорхойлсон дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн тоон шинж чанарыг ол: