Сансар огторгуйд тодорхой π хавтгай ба дурын M 0 цэгийг авч үзье. Онгоцыг сонгоцгооё нэгж хэвийн вектор n хамт Эхлэлаль нэг цэгт M 1 ∈ π байх ба M 0 цэгээс π хавтгай хүртэлх зайг p(M 0 ,π) гэж үзье. Дараа нь (Зураг 5.5)
р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |нМ 1 М 0 |, (5.8)
оноос хойш |n| = 1.
Хэрэв π хавтгай өгөгдсөн бол тэгш өнцөгт координатын систем нь ерөнхий тэгшитгэлтэй Ax + By + Cz + D = 0 бол түүний хэвийн вектор нь координаттай вектор (A; B; C) бөгөөд бид сонгож болно.
M 0 ба M 1 цэгүүдийн координатууд (x 0 ; y 0 ; z 0) ба (x 1 ; y 1 ; z 1) гэж үзье. Дараа нь M 1 цэг нь хавтгайд хамаарах тул M 1 M 0 векторын координатыг олж болно: M 1 M 0 = (x 0 -) Дараа нь Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 тэгш байдал биелнэ. x 1 y 0 -y 1 z 0 -z 1 ); Бичлэг хийж байна скаляр бүтээгдэхүүн nM 1 M 0-ийг координатын хэлбэрээр хувиргаж (5.8) бид олж авна
Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Тиймээс цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолохын тулд тухайн цэгийн координатыг хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь -ийн абсолют утгыг хуваах хэрэгтэй. харгалзах хэвийн векторын урттай тэнцүү нормчлох коэффициентээр үр дүн.
Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.
Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах
Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.
Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.
Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.
Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:
- Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.
Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:
- Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
- Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
- Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
- Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.
Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах
Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.
Үл хамаарах зүйл:
- Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
- Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.
Хувийн мэдээллийг хамгаалах
Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.
Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх
Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.
Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох нь аналитик геометрийн янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиолддог нийтлэг асуудал юм, жишээлбэл, энэ асуудлыг огтлолцсон хоёр шулуун шугамын хоорондох зай эсвэл шулуун ба хавтгай хоорондын зайг олох хүртэл багасгаж болно; тэр.
$β$ хавтгай ба $β$ хавтгайд хамаарахгүй $(x_0;y_0; z_0)$ координаттай $M_0$ цэгийг авч үзье.
Тодорхойлолт 1
Цэг ба хавтгай хоорондын хамгийн богино зай нь $M_0$ цэгээс $β$ хавтгайд татсан перпендикуляр байх болно.
Зураг 1. Цэгээс хавтгай хүртэлх зай. Author24 - оюутны бүтээлийн онлайн солилцоо
Доор бид цэгээс хавтгай хүртэлх зайг координатын аргыг ашиглан хэрхэн олох талаар ярилцана.
Сансар огторгуйн цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох координатын аргын томъёоны гарган авах
$(x_1;y_1; z_1)$ координаттай $β$ хавтгайг $M_1$ цэг дээр огтолж буй $M_0$ цэгээс перпендикуляр нь чиглэлийн вектор нь $β$ хавтгайн хэвийн вектор болох шулуун шугам дээр оршино. Энэ тохиолдолд $n$ нэгж векторын урт нь нэгтэй тэнцүү байна. Үүний дагуу $β$-аас $M_0$ цэг хүртэлх зай нь:
$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, энд $\vec(M_1M_0)$ нь $β$ хавтгайн хэвийн вектор бөгөөд $\vec( n)$ нь авч үзэж буй хавтгайн нэгж нормаль вектор юм.
Хавтгайн тэгшитгэлийг $Ax+ By + Cz + D=0$ ерөнхий хэлбэрээр өгсөн тохиолдолд хавтгайн хэвийн векторын координатууд нь $\(A;B;C\) тэгшитгэлийн коэффициентүүд болно. )$ ба энэ тохиолдолд нэгж нормал вектор нь координаттай бөгөөд дараах тэгшитгэлийг ашиглан тооцоолно.
$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\баруун)$.
Одоо бид $\vec(M_1M_0)$ хэвийн векторын координатыг олж болно:
$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\зүүн(3\баруун)$.
Мөн бид $β$ хавтгайд байрлах цэгийн координатыг ашиглан $D$ коэффициентийг илэрхийлнэ.
$D= Ax_1+By_1+Cz_1$
$(2)$ тэгшитгэлийн нэгж хэвийн векторын координатыг $β$ хавтгайн тэгшитгэлд орлуулж болно, тэгвэл бид дараах байдалтай байна:
$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\зүүн(4\баруун)$
$(4)$ тэгш байдал нь огторгуйн цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох томьёо юм.
$M_0$ цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох ерөнхий алгоритм
- Хэрэв хавтгайн тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр өгөөгүй бол эхлээд ерөнхий хэлбэрт оруулах хэрэгтэй.
- Үүний дараа хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлээс $M_0$ цэг ба өгөгдсөн хавтгайд хамаарах цэгээр дамжуулан өгөгдсөн хавтгайн хэвийн векторыг илэрхийлэх шаардлагатай бөгөөд үүний тулд $(3)$ тэгшитгэлийг ашиглах шаардлагатай. .
- Дараагийн шат нь $(2)$ томьёог ашиглан онгоцны хэвийн нэгж векторын координатыг хайж байна.
- Эцэст нь та цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олж эхэлж болно, үүнийг $\vec(n)$ ба $\vec(M_1M_0)$ векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолох замаар хийдэг.
Энэ нийтлэлд цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тодорхойлох тухай өгүүлнэ. Гурван хэмжээст орон зайд өгөгдсөн цэгээс зайг олох боломжийг олгодог координатын аргыг ашиглан дүн шинжилгээ хийцгээе. Үүнийг бататгахын тулд хэд хэдэн даалгаврын жишээг харцгаая.
Цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тухайн цэгээс цэг хүртэлх мэдэгдэж буй зайг ашиглан олдог бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь өгсөн, нөгөө нь өгөгдсөн хавтгай дээрх проекц юм.
χ хавтгайтай M 1 цэгийг огторгуйд зааж өгвөл уг цэгээр хавтгайд перпендикуляр шулуун шугамыг зурж болно. H 1 нь тэдний уулзварын нийтлэг цэг юм. Эндээс бид M 1 H 1 хэрчмийг М 1 цэгээс χ хавтгайд татсан перпендикуляр гэдгийг олж мэдсэн бөгөөд H 1 цэг нь перпендикулярын суурь юм.
Тодорхойлолт 1
Өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн хавтгайд татсан перпендикулярын суурь хүртэлх зайг гэнэ.
Тодорхойлолтыг янз бүрийн томъёогоор бичиж болно.
Тодорхойлолт 2
Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайөгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн хавтгайд татсан перпендикулярын урт.
M 1 цэгээс χ хавтгай хүртэлх зайг дараах байдлаар тодорхойлно: M 1 цэгээс χ хавтгай хүртэлх зай нь тухайн цэгээс хавтгайн аль ч цэг хүртэлх хамгийн бага нь байх болно. Хэрэв H 2 цэг нь χ хавтгайд байрладаг бөгөөд H 2 цэгтэй тэнцүү биш бол бид M 2 H 1 H 2 хэлбэрийн тэгш өнцөгт гурвалжинг авна. , тэгш өнцөгт хэлбэртэй, тэнд M 2 H 1, M 2 H 2 хөл байна - гипотенуз. Энэ нь M 1 H 1 гэсэн үг юм< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 М 1 цэгээс χ хавтгай руу татсан налуу гэж үзнэ. Өгөгдсөн цэгээс хавтгайд татсан перпендикуляр нь тухайн цэгээс өгөгдсөн хавтгайд татсан налуугаас бага байна. Энэ тохиолдлыг доорх зургаар харцгаая.
Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай - онол, жишээ, шийдэл
Хэд хэдэн геометрийн асуудлууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь цэгээс хавтгай хүртэлх зайг агуулсан байх ёстой. Үүнийг тодорхойлох янз бүрийн арга байж болно. Шийдвэрлэхийн тулд Пифагорын теорем буюу гурвалжны ижил төстэй байдлыг ашиглана уу. Нөхцөлийн дагуу гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд өгөгдсөн цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох шаардлагатай бол координатын аргаар шийднэ. Энэ догол мөрөнд энэ аргыг авч үзэх болно.
Асуудлын нөхцлийн дагуу бид χ хавтгайтай M 1 (x 1, y 1, z 1) координаттай гурван хэмжээст орон зайд M 1 хүртэлх зайг тодорхойлох шаардлагатай байна онгоц χ. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд хэд хэдэн шийдлийн аргыг ашигладаг.
Эхний арга
Энэ арга нь M 1 цэгээс χ хавтгай хүртэлх перпендикулярын суурь болох H 1 цэгийн координатыг ашиглан цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олоход суурилдаг. Дараа нь та M 1 ба H 1 хоорондох зайг тооцоолох хэрэгтэй.
Асуудлыг хоёр дахь аргаар шийдэхийн тулд өгөгдсөн хавтгайн хэвийн тэгшитгэлийг ашиглана.
Хоёр дахь арга зам
Нөхцөлөөр бид H 1 нь M 1 цэгээс χ хавтгайд буулгасан перпендикулярын суурь юм. Дараа нь бид H 1 цэгийн координатыг (x 2, y 2, z 2) тодорхойлно. M 1-ээс χ хавтгай хүртэлх шаардлагатай зайг M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 томъёогоор олно, энд M 1 байна. (x 1, y 1, z 1) ба H 1 (x 2, y 2, z 2). Шийдвэрлэхийн тулд та H 1 цэгийн координатыг мэдэх хэрэгтэй.
Бид H 1 нь χ хавтгайд перпендикуляр байрлах M 1 цэгийг дайран өнгөрөх χ хавтгайн a шулуунтай огтлолцох цэг юм. Өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бүрдүүлэх шаардлагатай байна. Үүний дараа бид H 1 цэгийн координатыг тодорхойлох боломжтой болно. Шугаман ба хавтгайн огтлолцох цэгийн координатыг тооцоолох шаардлагатай.
M 1 (x 1, y 1, z 1) координаттай цэгээс χ хавтгай хүртэлх зайг олох алгоритм:
Тодорхойлолт 3
- M 1 цэгийг нэгэн зэрэг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг зур
- χ хавтгайд перпендикуляр;
- цэг болох H 1 цэгийн координатыг (x 2 , y 2 , z 2) олж тооцоол.
- a шулуун шугамын χ хавтгайтай огтлолцох ;
- M 1-ээс χ хүртэлх зайг M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 томъёогоор тооцоол.
Гурав дахь зам
Өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын системд O x y z хавтгай χ байгаа бол cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 хэлбэрийн хавтгайн хэвийн тэгшитгэлийг олж авна. Эндээс M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos томъёогоор тооцоолсон χ хавтгайд татсан M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгтэй M 1 H 1 зайг олж авна. γ z - p . Энэ томьёо нь теоремын ачаар тогтоогдсон тул хүчинтэй.
Теорем
Хэрэв M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгийг гурван хэмжээст орон зайд өгвөл cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 хэлбэрийн χ хавтгайн хэвийн тэгшитгэлтэй, дараа нь M 1 H 1 цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолохдоо M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, учир нь x = x 1, y = y 1 байна. , z = z 1.
Баталгаа
Теоремын баталгаа нь цэгээс шулуун хүртэлх зайг олоход ирдэг. Эндээс бид M 1-ээс χ хавтгай хүртэлх зай нь M 1 радиус векторын эхээс χ хавтгай хүртэлх зайтай тоон проекцын хоорондох зөрүүний модуль гэдгийг олж авна. Дараа нь бид M 1 H 1 = n p n → O M → - p илэрхийллийг авна. χ хавтгайн хэвийн вектор нь n → = cos α, cos β, cos γ хэлбэртэй бөгөөд урт нь нэгтэй тэнцүү, n p n → O M → нь O M → = (x 1, y 1) векторын тоон проекц юм. , z 1) n → вектороор тодорхойлогдох чиглэлд.
Скаляр векторыг тооцоолох томъёог хэрэглэцгээе. Дараа нь n → = cos α , cos β , cos γ байх тул n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → хэлбэртэй векторыг олох илэрхийллийг олж авна. · z ба O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Бичгийн координатын хэлбэр нь n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1, дараа нь M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x хэлбэртэй байна. 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Теорем нь батлагдсан.
Эндээс бид M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгээс χ хавтгай хүртэлх зайг cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0-д орлуулах замаар тооцоолно. Хавтгайн хэвийн тэгшитгэлийн зүүн талд x, y, z координатуудын оронд x 1, y 1 ба z 1, M 1 цэгтэй холбоотой, олж авсан утгын үнэмлэхүй утгыг авна.
Координаттай цэгээс өгөгдсөн хавтгай хүртэлх зайг олох жишээг авч үзье.
Жишээ 1
М 1 (5, - 3, 10) координаттай цэгээс 2 x - y + 5 z - 3 = 0 хавтгай хүртэлх зайг тооцоол.
Шийдэл
Асуудлыг хоёр аргаар шийдье.
Эхний арга нь a шугамын чиглэлийн векторыг тооцоолохоос эхэлнэ. Нөхцөлөөр бид өгөгдсөн тэгшитгэл 2 x - y + 5 z - 3 = 0 нь ерөнхий хавтгай тэгшитгэл, n → = (2, - 1, 5) нь өгөгдсөн хавтгайн хэвийн вектор юм. Үүнийг өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр a шулуун шугамын чиглэлийн вектор болгон ашигладаг. 2, - 1, 5 координаттай чиглэлийн вектортой M 1 (5, - 3, 10) -аар дамжин өнгөрөх огторгуйн шулууны каноник тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.
Тэгшитгэл нь x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 болно.
Уулзалтын цэгүүдийг тодорхойлох шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлүүдийг систем болгон зөөлөн нэгтгэж, каноникаас огтлолцсон хоёр шугамын тэгшитгэл рүү шилжинэ. Энэ цэгийг H 1 гэж авч үзье. Бид үүнийг ойлгодог
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Үүний дараа та системийг идэвхжүүлэх хэрэгтэй
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
Гауссын системийн шийдлийн дүрэмд хандъя.
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1
Бид H 1 (1, - 1, 0) -ийг авдаг.
Өгөгдсөн цэгээс хавтгай хүртэлх зайг бид тооцоолно. Бид M 1 (5, - 3, 10) ба H 1 (1, - 1, 0) оноог авч, авна.
M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
Хоёр дахь шийдэл нь эхлээд өгөгдсөн 2 x - y + 5 z - 3 = 0 тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрт оруулах явдал юм. Бид хэвийн болгох хүчин зүйлийг тодорхойлж, 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 авна. Эндээс 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 хавтгайн тэгшитгэлийг гаргана. Тэгшитгэлийн зүүн талыг x = 5, y = - 3, z = 10 гэж орлуулах замаар тооцоолох ба M 1 (5, - 3, 10) -аас 2 x - y + 5 z - хүртэлх зайг авах шаардлагатай. 3 = 0 модуль. Бид илэрхийлэлийг авдаг:
M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
Хариулт: 230.
χ хавтгайг хавтгайг тодорхойлох аргуудын хэсэгт байгаа аргуудын аль нэгээр зааж өгсөн бол эхлээд та χ хавтгайн тэгшитгэлийг олж, шаардлагатай зайг дурын аргыг ашиглан тооцоолох хэрэгтэй.
Жишээ 2
Гурван хэмжээст орон зайд M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) координаттай цэгүүдийг зааж өгсөн болно. M 1-ээс A B C хавтгай хүртэлх зайг тооцоол.
Шийдэл
Эхлээд та M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C () координат бүхий гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй. 4, 0, - 1) .
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Үүнээс үзэхэд асуудал өмнөхтэй адил шийдэлтэй байна. Энэ нь M 1 цэгээс A B C хавтгай хүртэлх зай нь 2 30 утгатай байна гэсэн үг юм.
Хариулт: 230.
Хавтгай дээрх өгөгдсөн цэгээс эсвэл тэдгээрийн зэрэгцээ байгаа хавтгай хүртэлх зайг олоход M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p томъёог ашиглан илүү тохиромжтой. . Эндээс бид хавтгайнуудын хэвийн тэгшитгэлийг хэд хэдэн алхамаар олж авдаг.
Жишээ 3
М 1 (- 3, 2, - 7) координаттай өгөгдсөн цэгээс координатын O x y z хавтгай ба 2 y - 5 = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн хавтгай хүртэлх зайг ол.
Шийдэл
O y z координатын хавтгай нь x = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлтэй тохирч байна. O y z онгоцны хувьд энэ нь хэвийн. Тиймээс илэрхийллийн зүүн талд x = - 3 утгыг орлуулж, M 1 (- 3, 2, - 7) координаттай цэгээс хавтгай хүртэлх зайны үнэмлэхүй утгыг авах шаардлагатай. Бид - 3 = 3-тай тэнцүү утгыг авна.
Хувиргасны дараа 2 y - 5 = 0 хавтгайн хэвийн тэгшитгэл нь y - 5 2 = 0 хэлбэртэй болно. Дараа нь та M 1 (- 3, 2, - 7) координаттай цэгээс 2 у - 5 = 0 хавтгай хүртэлх шаардлагатай зайг олж болно. Орлуулж, тооцоолсноор бид 2 - 5 2 = 5 2 - 2 болно.
Хариулт: M 1 (- 3, 2, - 7) -аас O y z хүртэлх шаардлагатай зай нь 3 утгатай, 2 y - 5 = 0 хүртэл 5 2 - 2 утгатай байна.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Хоорондын зайг тодорхойлох: 1 - цэг ба хавтгай; 2 - шулуун ба хавтгай; 3 - онгоц; 4 - эдгээр бүх асуудлын шийдлийн алгоритм нь үндсэндээ ижил бөгөөд өгөгдсөн А цэг ба α хавтгай хоорондын зайг тодорхойлохын тулд гүйцэтгэх шаардлагатай геометрийн байгууламжуудаас бүрддэг тул огтлолцох шулуун шугамыг хамтад нь авч үздэг. Хэрэв ямар нэгэн ялгаа байгаа бол энэ нь зөвхөн 2 ба 3-р тохиолдолд асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө m шулуун дээр (2-р тохиолдол) эсвэл β хавтгайд (3-р тохиолдол) дурын А цэгийг тэмдэглэх хэрэгтэй. огтлолцох шугамуудын хоорондох зайг бид эхлээд α ба β зэрэгцээ хавтгайд оруулаад дараа нь эдгээр хавтгайн хоорондын зайг тодорхойлно.
Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд тэмдэглэсэн тохиолдол бүрийг авч үзье.
1. Цэг ба хавтгай хоорондын зайг тодорхойлох.
Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тухайн цэгээс хавтгайд татсан перпендикуляр хэрчмийн уртаар тодорхойлно.
Тиймээс энэ асуудлыг шийдэх арга нь дараах график үйлдлүүдийг дараалан гүйцэтгэхээс бүрдэнэ.
1) А цэгээс бид α хавтгайд перпендикулярыг буулгана (Зураг 269);
2) энэ перпендикулярын M = a ∩ α хавтгайтай огтлолцох M цэгийг ол;
3) сегментийн уртыг тодорхойлно.
Хэрэв α хавтгай ерөнхий байрлалд байгаа бол энэ хавтгайд перпендикуляр буулгахын тулд эхлээд энэ хавтгайн хэвтээ ба урд проекцын чиглэлийг тодорхойлох шаардлагатай. Энэ перпендикулярын хавтгайтай уулзах цэгийг олоход нэмэлт геометрийн байгууламжууд шаардлагатай.
Хэрэв α хавтгай нь проекцын хавтгайтай харьцуулахад тодорхой байр суурь эзэлдэг бол асуудлыг шийдэх аргыг хялбаршуулна. Энэ тохиолдолд перпендикулярын проекц ба түүний хавтгайтай уулзах цэгийг олох нь нэмэлт туслах байгууламжгүйгээр хийгддэг.
ЖИШЭЭ 1. А цэгээс урд талын проекц α хүртэлх зайг тодорхойл (Зураг 270).
ШИЙДЭЛ. А"-аар бид перпендикуляр l" ⊥ h 0α, мөн A" -аар дамжуулан түүний урд талын проекц l" ⊥ f 0α-ийн хэвтээ проекцийг зурдаг. Бид цэгийг тэмдэглэнэ M" = l" ∩ f 0α . AM ||-ээс хойш π 2, дараа нь [A" M"] == |AM| = d.
Үзсэн жишээнээс харахад онгоц проекцын байрлалыг эзлэх үед асуудлыг хэрхэн энгийнээр шийдэж байгаа нь тодорхой харагдаж байна. Тиймээс, хэрэв эх сурвалжийн өгөгдөлд ерөнхий байрлалын хавтгайг зааж өгсөн бол шийдлийг үргэлжлүүлэхийн өмнө онгоцыг аливаа проекцын хавтгайд перпендикуляр байрлалд шилжүүлэх шаардлагатай.
ЖИШЭЭ 2. К цэгээс ΔАВС-аар тодорхойлсон хавтгай хүртэлх зайг тодорхойл (Зураг 271).
1. Бид ΔАВС онгоцыг проекцын байрлалд * шилжүүлнэ. Үүнийг хийхийн тулд бид xπ 2 /π 1 системээс x 1 π 3 /π 1 руу шилжинэ: шинэ x 1 тэнхлэгийн чиглэлийг гурвалжны хэвтээ хавтгайн хэвтээ проекцтой перпендикуляраар сонгоно.
2. ΔABC-ийг шинэ π 3 хавтгайд (ΔABC хавтгайг [ C " 1 B " 1 ]-д π 3 дээр төсөөлж байна).
3. K цэгийг нэг хавтгайд (K" → K" 1) төсөллөнө.
4. K" 1 цэгээр бид (K" 1 M" 1)⊥ сегментийг [C" 1 B" 1 ] зурна. Шаардлагатай зай d = |K" 1 M" 1 |
Түвшингийн шугамын төсөөллийг зурах шаардлагагүй тул онгоцыг ул мөрөөр тодорхойлсон тохиолдолд асуудлыг шийдэх аргыг хялбаршуулна.
ЖИШЭЭ 3. Замуудаар заасан K цэгээс α хавтгай хүртэлх зайг тодорхойл (Зураг 272).
* Гурвалжингийн хавтгайг проекцын байрлал руу шилжүүлэх хамгийн оновчтой арга бол проекцын хавтгайг солих явдал юм, учир нь энэ тохиолдолд зөвхөн нэг туслах проекцийг бүтээхэд хангалттай.
ШИЙДЭЛ. Бид π 1 хавтгайг π 3 хавтгайгаар сольж, үүний тулд бид x 1 ⊥ f 0α шинэ тэнхлэгийг зурна. h 0α дээр бид дурын 1" цэгийг тэмдэглэж, π 3 (1" 1) хавтгай дээрх түүний шинэ хэвтээ проекцийг тодорхойлно. X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) ба 1" 1 цэгүүдээр бид h 0α 1-ийг зурна. Бид K → K" 1 цэгийн шинэ хэвтээ проекцийг тодорхойлно. K" 1 цэгээс бид h 0α 1-ийн перпендикулярыг буулгаж, h 0α 1 - M" 1-тэй огтлолцох цэгийг тэмдэглэнэ. K" 1 M" 1 сегментийн урт нь шаардлагатай зайг заана.
2. Шулуун ба хавтгай хоорондын зайг тодорхойлох.
Шугаман ба хавтгай хоорондын зай нь шулуун дээрх дурын цэгээс хавтгайд унасан перпендикуляр сегментийн уртаар тодорхойлогддог (248-р зургийг үз).
Тиймээс шулуун шугам m ба хавтгай α хоорондын зайг тодорхойлох асуудлын шийдэл нь цэг ба хавтгай хоорондын зайг тодорхойлох 1-р зүйлд дурдсан жишээнүүдээс ялгаатай биш юм (270 ... 272-р зургийг үз). Нэг цэгийн хувьд та m шулуунд хамаарах дурын цэгийг авч болно.
3. Онгоц хоорондын зайг тодорхойлох.
Онгоцны хоорондох зайг нэг хавтгайд авсан цэгээс нөгөө хавтгайд буулгасан перпендикуляр сегментийн хэмжээгээр тодорхойлно.
Энэ тодорхойлолтоос үзэхэд α ба β хавтгайн хоорондын зайг олох асуудлыг шийдэх алгоритм нь m шулуун ба α хавтгай хоорондын зайг тодорхойлох асуудлыг шийдвэрлэх ижил төстэй алгоритмаас зөвхөн m шулуун α хавтгайд хамаарах ёстой гэсэн утгаараа ялгаатай байна. , өөрөөр хэлбэл α ба β хавтгай хоорондын зайг тодорхойлохын тулд дараахь зүйлийг хийнэ.
1) α хавтгайд m шулуун шугам авах;
2) m шулуун дээрх дурын А цэгийг сонгох;
3) А цэгээс перпендикуляр l-ийг β хавтгайд буулгана;
4) M цэгийг тодорхойлох - β хавтгайтай перпендикуляр l-ийн уулзах цэг;
5) сегментийн хэмжээг тодорхойлох.
Практикт өгөгдсөн алгоритмаас ялгаатай шийдлийн өөр алгоритмыг ашиглах нь зүйтэй бөгөөд эхний алхамыг үргэлжлүүлэхийн өмнө онгоцыг проекцын байрлалд шилжүүлэх шаардлагатай.
Энэхүү нэмэлт үйлдлийг алгоритмд оруулах нь бусад бүх цэгүүдийн гүйцэтгэлийг хялбаршуулж, эцэст нь илүү хялбар шийдэлд хүргэдэг.
ЖИШЭЭ 1. α ба β хавтгайн хоорондын зайг тодорхойл (Зураг 273).
ШИЙДЭЛ. Бид xπ 2 /π 1 системээс x 1 π 1 /π 3 руу шилждэг. Шинэ π 3 хавтгайн хувьд α ба β онгоцууд проекцын байрлалыг эзэлдэг тул f 0α 1 ба f 0β 1 шинэ урд талын ул мөр хоорондын зай нь хүссэн хэмжээ юм.
Инженерийн практикт өгөгдсөн хавтгайтай параллель онгоц барьж, өгөгдсөн зайд түүнээс салгах асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай байдаг. Доорх жишээ 2 нь ийм асуудлын шийдлийг харуулж байна.
ЖИШЭЭ 2. Өгөгдсөн α (m || n) хавтгайтай параллель β хавтгайн проекцуудыг тэдгээрийн хоорондын зай d гэдгийг мэдэж байвал зохино (Зураг 274).
1. α хавтгайд дурын хэвтээ шугам h (1, 3) ба урд шугам f (1,2) зур.
2. 1-р цэгээс бид α (l" ⊥ h, l" ⊥ f") хавтгайд перпендикуляр l-ийг сэргээнэ.
3. Перпендикуляр l дээр дурын А цэгийг тэмдэглэв.
4. Сегментийн уртыг тодорхойлно - (байрлал нь диаграмм дээр шулуун шугамын хэмжигдэхүүнээр гажилтгүй чиглэлийг заана l).
5. 1-р цэгээс шулуун шугам (1"A 0) дээр = d сегментийг байрлуул.
6. В 0 цэгт харгалзах l" ба l" B" ба B" цэгүүдийн төсөөлөл дээр тэмдэглэнэ.
7. В цэгээр бид β (h 1 ∩ f 1) хавтгайг зурна. β || руу α, h 1 || нөхцөлийг дагаж мөрдөх шаардлагатай h ба f 1 || е.
4. огтлолцох шугам хоорондын зайг тодорхойлох.
Огтлолцох шугамуудын хоорондох зайг огтлолцох шугамууд хамаарах параллель хавтгайнуудын хооронд хаагдсан перпендикулярын уртаар тодорхойлно.
m ба f огтлолцсон шулуун шугамаар α ба β-г харилцан параллель хавтгайг зурахын тулд A цэгээр (A ∈ m) f шулуунтай параллель p шулуун, В цэгээр (B ∈ f) шулуун шугам татахад хангалттай. шулуун м-тэй зэрэгцээ k шулуун шугам. m ба p, f ба k огтлолцох шугамууд нь харилцан параллель α ба β хавтгайг тодорхойлно (Зураг 248, e-г үз). α ба β хавтгайн хоорондох зай нь m ба f огтлолцох шугамын хоорондох шаардлагатай зайтай тэнцүү байна.
Ортогональ проекцийг хувиргах зарим аргыг ашиглан огтлолцсон шугамуудын аль нэгийг проекцын байрлалд шилжүүлэх замаар огтлолцсон шугамуудын хоорондох зайг тодорхойлох өөр аргыг санал болгож болно. Энэ тохиолдолд шугамын нэг проекц нь цэг болон хувирдаг. Хөндлөнгийн шугамын шинэ төсөөллийн хоорондох зай (A" 2 цэг ба сегмент C" 2 D" 2) шаардлагатай зай юм.
Зураг дээр. 275-т [AB] ба [CD] сегментүүдийг өгөгдсөн a ба b шугамын хоорондох зайг тодорхойлох асуудлыг шийдэх шийдлийг харуулав. Уусмалыг дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ.
1. (a) огтлолцох шугамын аль нэгийг π 3 хавтгайтай параллель байрлалд шилжүүлэх; Үүний тулд тэдгээр нь xπ 2 /π 1 проекцын хавтгайн системээс шинэ x 1 π 1 /π 3 руу шилжин, x 1 тэнхлэг нь шулуун а-ын хэвтээ проекцтой параллель байна. a" 1 [A" 1 B" 1 ] ба b" 1-ийг тодорхойлно.
2. π 1 хавтгайг π 4 хавтгайгаар сольсноор бид шулуун шугамыг хөрвүүлнэ.
мөн a" 2-ыг π 4 хавтгайд перпендикуляр байрлуулах (шинэ x 2 тэнхлэгийг a" 1-д перпендикуляр зурсан).
3. b" 2 - [ C" 2 D" 2 ] шулуун шугамын хэвтээ проекцийг шинээр байгуул.
4. А" 2 цэгээс шулуун шугам C" 2 D" 2 (сегмент (А" 2 М" 2 ]) хүртэлх зай (шаардлагатай.
Хөндлөнгийн шугамын аль нэгийг проекцын байрлал руу шилжүүлэх нь a ба b шугамыг хавсаргаж болох параллелизмын хавтгайг мөн проекцын байрлал руу шилжүүлэхээс өөр зүйл биш гэдгийг санах нь зүйтэй.
Үнэн хэрэгтээ, a шугамыг π 4 хавтгайд перпендикуляр байрлалд шилжүүлснээр бид a шулууныг агуулсан аливаа хавтгай π 4 хавтгайд перпендикуляр байхыг баталгаажуулж, үүнд a ба m шугамаар тодорхойлогдсон α хавтгай (a ∩ m, m | |. b). Хэрэв бид одоо n шулууныг а-тай параллель, b шулуунтай огтлолцвол a ба b огтлолцох шулуунуудыг агуулсан параллелизмын хоёр дахь хавтгай болох β хавтгайг олж авна. β || оноос хойш α, дараа нь β ⊥ π 4 .
