Трапецын аргаар тодорхой интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ?

Нэгдүгээрт, ерөнхий томъёо. Магадгүй энэ нь хүн бүрт ойлгомжтой биш байх болно ... тийм ээ, Карлссон тантай хамт байна - практик жишээнүүд бүх зүйлийг тодруулах болно! Тайвшир. Зөвхөн амар амгалан.

Тодорхой интегралыг авч үзье, энд интервал дээр тасралтгүй функц байна. Сегментийг хувааж үзье тэнцүүсегментүүд:
. Энэ тохиолдолд энэ нь тодорхой байна: (интеграцийн доод хязгаар) ба (интеграцын дээд хязгаар). Оноо бас дууддаг зангилаа.

Дараа нь тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолж болно трапец хэлбэрийн томъёоны дагуу:
, Хаана:
– жижиг сегмент бүрийн урт буюу алхам;
- цэг дээрх интегралын утгууд .

Жишээ 1

Трапец хэлбэрийн томъёог ашиглан ойролцоогоор тодорхой интегралыг тооцоол. Үр дүнг гурван аравтын орон хүртэл дугуйр.

a) Интеграцийн сегментийг 3 хэсэгт хуваах.
б) Интеграцийн сегментийг 5 хэсэгт хуваах.

Шийдэл:
a) Ялангуяа даммигийн хувьд би эхний цэгийг аргын зарчмыг тодорхой харуулсан зурагтай холбосон. Хэрэв энэ нь хэцүү байвал тайлбар хийхдээ зургийг хараарай, эндээс нэг хэсэг байна:

Нөхцөлийн дагуу интеграцийн сегментийг 3 хэсэгт хуваах ёстой, өөрөөр хэлбэл.
Хуваалтын сегмент бүрийн уртыг тооцоолъё: . Параметрийг бас гэж нэрлэдэг гэдгийг би танд сануулж байна алхам.

Хэдэн цэг (хуваалтын зангилаа) байх вэ? байх болно дахиад нэгсегментийн тооноос:

Тиймээс трапецын ерөнхий томъёог тааламжтай хэмжээгээр багасгасан:

Тооцооллын хувьд та ердийн бичил тооцоолуур ашиглаж болно.

Анхаарна уу, асуудлын нөхцлийн дагуу бүх тооцоог аравтын бутархайн 3-р орон хүртэл дугуйрсан байх ёстой.

Эцэст нь:

Хүлээн авсан утга нь тухайн талбайн ойролцоо утгатай гэдгийг сануулъя (дээрх зургийг үз).

б) Интеграцийн сегментийг 5 тэнцүү хэсэгт хуваая, өөрөөр хэлбэл. Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? Фобос-Грунтыг далайд унахаас урьдчилан сэргийлэхийн тулд сегментийн тоог нэмэгдүүлэх замаар бид тооцооллын нарийвчлалыг нэмэгдүүлдэг.

Хэрэв бол трапец хэлбэрийн томъёо дараах хэлбэрийг авна.

Хуваалтын алхамыг олцгооё:
, өөрөөр хэлбэл завсрын сегмент бүрийн урт нь 0.6 байна.

Даалгаврыг дуусгахдаа тооцооллын хүснэгтийг ашиглан бүх тооцоог албан ёсны болгох нь тохиромжтой.

Эхний мөрөнд бид "тоолуур" гэж бичнэ.

Хоёрдахь мөр хэрхэн үүссэнийг хүн бүр харж чадна гэж би бодож байна - эхлээд бид интеграцийн доод хязгаарыг бичиж, үлдсэн утгыг алхам алхмаар нэмж оруулснаар олж авна.

Хамгийн гол нь ямар зарчмыг баримталдаг вэ гэдгийг бараг хүн бүр ойлгосон байх. Жишээлбэл, хэрэв , тэгвэл . Тэдний хэлснээр тоол, бүү залхуур.

Үүний үр дүнд:

За, үнэхээр тодруулга, ноцтой зүйл байна!
Хэрэв 3 хуваалтын сегментийн хувьд бол 5 сегментийн хувьд. Тиймээс бид хамгийн багадаа үүнийг итгэлтэйгээр хэлж чадна.

Жишээ 2

Аравтын хоёр орон хүртэлх нарийвчлалтай трапец хэлбэрийн томъёог ашиглан ойролцоогоор тодорхой интегралыг тооцоолно (0.01 хүртэл).

Шийдэл:Бараг ижил даалгавар, гэхдээ арай өөр хэлбэрээр. Жишээ 1-ээс үндсэн ялгаа нь бид бид мэдэхгүй, Аравтын бутархай хоёрыг зөв болгохын тулд интеграцийн сегментийг ХЭДЭН сегмент болгон хуваах ёстой вэ? Өөрөөр хэлбэл, бид утгыг нь мэдэхгүй байна.

Шаардлагатай нарийвчлалыг баталгаажуулахын тулд хуваалтын сегментийн тоог тодорхойлох боломжийг олгодог тусгай томъёо байдаг боловч практик дээр үүнийг хэрэглэхэд хэцүү байдаг. Тиймээс хялбаршуулсан аргыг ашиглах нь ашигтай байдаг.

Нэгдүгээрт, интеграцийн сегмент нь ихэвчлэн 2-3-4-5 гэсэн хэд хэдэн том сегментүүдэд хуваагддаг. Жишээлбэл, интеграцийн сегментийг ижил 5 хэсэгт хуваацгаая. Томъёо нь аль хэдийн танил болсон:

Мөн алхам нь мэдээжийн хэрэг бас мэдэгдэж байна:

Гэхдээ өөр нэг асуулт гарч ирнэ: үр дүнг хэдэн оронтой тоогоор дугуйлах ёстой вэ? Нөхцөлд хэдэн аравтын орон үлдээх талаар юу ч хэлээгүй. Ерөнхий зөвлөмж нь: шаардлагатай нарийвчлалд 2-3 цифр нэмэх шаардлагатай. Энэ тохиолдолд шаардлагатай нарийвчлал нь 0.01 байна. Зөвлөмжийн дагуу аравтын бутархайны дараа бид аравтын бутархайны дараа таван тэмдэгт үлдээнэ (дөрөв нь боломжтой байсан):

Үүний үр дүнд:

Анхан шатны үр дүнгийн дараа сегментийн тоо давхар. Энэ тохиолдолд 10 сегмент болгон хуваах шаардлагатай. Сегментүүдийн тоо нэмэгдэхэд би микро тооцоолуур руу хуруугаа цохихоос залхаж байна гэсэн тод бодол толгойд орж ирдэг. Тиймээс би хагас автомат тооцоолуурыг татаж аваад ашиглахыг дахин санал болгож байна (хичээлийн эхэнд байгаа холбоос).

Трапец хэлбэрийн хувьд дараах хэлбэрийг авна.

Цаасан хувилбарт оруулгыг дараагийн мөрөнд аюулгүйгээр шилжүүлж болно.

Хуваалтын алхамыг тооцоолъё:

Тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд нэгтгэн харуулъя.


Тэмдэглэлийн дэвтэрт хийж дууссаны дараа урт ширээг хоёр давхар ширээ болгон хувиргах нь давуу талтай.

Загварчлалд интегралыг тооцоолох нь ихэвчлэн тохиолддог. Тоон аргуудыг ихэвчлэн өмнө нь хүснэгтэд үзүүлсэн нэлээд төвөгтэй функцээс интегралгүй интеграл авах, эсвэл хүснэгтэн функцийг нэгтгэх үед ашигладаг бөгөөд энэ нь эдийн засгийн хэрэглээнд илүү түгээмэл байдаг.

Тоон интеграцийн тухай ойлголт.

Бүх тоон аргууд нь интегралыг энгийнээр (хэвтээ эсвэл налуу шулуун шугам, 2, 3 ба түүнээс дээш эрэмбийн парабол) орлуулж, интегралыг хялбархан авдаг гэсэн баримт дээр суурилдаг. Үүний үр дүнд квадрат гэж нэрлэгддэг интеграцийн томъёог бие даасан цэгүүд дэх интегралын ординатуудын жигнэсэн нийлбэр хэлбэрээр олж авдаг.

Орлуулах интервал бага байх тусам интегралыг илүү нарийвчлалтай тооцдог. Тиймээс нарийвчлалыг сайжруулахын тулд анхны сегментийг [a, b] хэд хэдэн тэнцүү буюу тэгш бус интервалд хувааж, тус бүрт нэгтгэх томъёог хэрэглэж, дараа нь үр дүнг нэмнэ.

Ихэнх тохиолдолд тоон интеграцийн алдааг давхар интегралчлалаар тодорхойлно: эхний алхамаар (алхам нь b-a сегментийг n\h=(b-a)/n)u сегментийн тоонд жигд хуваах замаар тодорхойлогддог. 2 дахин. Интегралуудын тооцоолсон утгуудын зөрүү нь алдааг тодорхойлдог.

Төрөл бүрийн аргын үр нөлөөг олон гишүүнтийн зэрэглэлээр харьцуулж, энэ аргаар алдаагүй үнэн зөв нэгтгэдэг. Ийм олон гишүүнтийн зэрэг өндөр байх тусам аргын нарийвчлал өндөр байх тусам илүү үр дүнтэй байдаг.

Хамгийн энгийн аргууд нь аргууд орно тэгш өнцөгтүүд(зүүн ба баруун) ба трапец.Эхний тохиолдолд интегралыг ординатын утгатай хэвтээ шулуун шугамаар (y = c0) орлуулна, i.e. Функцийн утгууд тус тус хэсгийн зүүн эсвэл баруун талд, хоёр дахь тохиолдолд налуу шулуун шугам (y = c 1 x + c 0) байна. [a, b] сегментийг h жигд алхамтай n хэсэгт хуваах интеграцийн томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Интеграцийн нэг хэсгийн хувьд:

Учир нь nИнтеграцийн бүсүүд:

Тэгш өнцөгтийн аргаар интегралыг зөвхөн дараах тохиолдолд л үнэн зөв тооцоолох боломжтой гэдгийг харахад хялбар байдаг. f(x) = -тай(const), мөн трапец хэлбэрийн аргаар - хамт е(x) шугаман эсвэл хэсэгчилсэн шугаман.

Зураг дээр. Харьцуулахын тулд 4-р зурагт янз бүрийн тооны хэсгүүдтэй тэгш өнцөгтүүдийн жишээг үзүүлэв. Зөв зураг дээрх бүх тэгш өнцөгтийн талбай нь муруй доорх талбайгаас бага ялгаатай байгаа нь тодорхой харагдаж байна. f(x),зүүн талаас илүү.

Цагаан будаа. 4. Зүүн тэгш өнцөгтийн аргын дүрслэл:

А- интеграцийн сегментийн хуваалтын 3 хэсэгтэй [a, b];

б- интеграцийн сегментийг хуваах 6 хэсэгтэй [a, b]

Тэгш өнцөгтийн арга нь мэдэгдэхүйц алдааны улмаас практик хэрэглээг олж чаддаггүй бөгөөд энэ нь Зураг дээр харагдаж байна. 4.

Зураг дээр. Зураг 5-д трапецын аргаар интегралыг тооцоолох жишээг үзүүлэв. Тэгш өнцөгтийн аргатай харьцуулахад трапецын арга нь илүү нарийвчлалтай байдаг, учир нь трапец нь тэгш өнцөгттэй харьцуулахад харгалзах муруй трапецийг илүү нарийвчлалтай орлуулдаг. Зураг 5.

Алдаа РПрактикт давхар тооцоолол ашиглан интегралыг трапецын аргаар тооцоолохыг дараахь хамаарлаас тодорхойлж болно.

Хаана би НТэгээд I p/2- тус тус хуваалтын тоо бүхий интегралын утга nТэгээд p/2.Мөн алдааг тодорхойлох аналитик илэрхийллүүд байдаг боловч тэдгээр нь интегралын хоёр дахь деривативын талаархи мэдлэгийг шаарддаг тул зөвхөн онолын ач холбогдолтой байдаг. Давхар тооцооллын тусламжтайгаар өгөгдсөн интеграцийн алдааг баталгаажуулахын тулд интеграцийн алхамыг (өөрөөр хэлбэл n хуваалтын тоо) автоматаар сонгох боломжтой (алхамыг дараалан хоёр дахин нэмэгдүүлж, алдааг хянах).

Бид зүүн тэгш өнцөгт аргыг ашиглан олж авна:

Бид зөв тэгш өнцөгтийн аргыг ашиглан олж авдаг:

Бид трапецын аргаар олж авдаг:

Боловсролын даалгавар:

• Дидактик зорилго. Оюутнуудыг тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолох аргуудтай танилцуулах.
• Боловсролын зорилго. Энэ хичээлийн сэдэв нь практик болон боловсролын чухал ач холбогдолтой юм. Тоон интегралын санааг хэрэгжүүлэх хамгийн энгийн арга бол тодорхой интегралыг интеграл нийлбэрийн хязгаар гэж тодорхойлоход найдах явдал юм. Жишээлбэл, хэрвээ бид сегментийн хангалттай жижиг хэсгийг авбал [ а; б] ба түүний хувьд интеграл нийлбэрийг байгуулбал түүний утгыг ойролцоогоор харгалзах интегралын утга болгон авч болно. Үүний зэрэгцээ компьютерийн технологийг ашиглан тооцооллыг хурдан бөгөөд зөв хийх нь чухал юм.

Үндсэн мэдлэг, ур чадвар. Тэгш өнцөгт ба трапецын томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох ойролцоо аргын талаар ойлголттой байх.

Хичээл зааж байна

• Тараах материал. Бие даасан ажилд зориулсан картууд.
• TSO. Олон проектор, компьютер, зөөврийн компьютер.
• TSO тоног төхөөрөмж. Илтгэлүүд: "Дэвсмэлийн геометрийн утга", "Тэгш өнцөгтийн арга", "Трапецын арга". (Танилцуулга зохиогчоос авах боломжтой).
• Тооцоолох төхөөрөмж: компьютер, микро тооцоолуур.
• Арга зүйн зөвлөмж

Хичээлийн төрөл. Нэгдсэн практик.

Оюутнуудын танин мэдэхүйн үйл ажиллагааны сэдэл. Ихэнх тохиолдолд эсрэг деривативыг олох боломжгүй тодорхой интегралуудыг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд тодорхой интегралыг тооцоолох ойролцоо аргыг ашигладаг. Заримдаа Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тооцоо хийх нь оновчтой биш бол "авсан" интегралд ойролцоогоор аргыг ашигладаг. Интегралыг ойролцоогоор тооцоолох санаа нь муруйг түүнд хангалттай "ойрхон" шинэ муруйгаар солих явдал юм. Шинэ муруйны сонголтоос хамааран нэг буюу өөр ойролцоо интеграцийн томъёог ашиглаж болно.

Хичээлийн дараалал.

1. Тэгш өнцөгтийн томъёо.
2. Трапец хэлбэрийн томъёо.
3. Дасгалын шийдэл.

Хичээлийн төлөвлөгөө

1. Сурагчдын анхан шатны мэдлэгийг давтах.

Сурагчидтай давтан: интеграцийн үндсэн томъёо, судалсан интегралчлалын аргын мөн чанар, тодорхой интегралын геометрийн утга.

1. Практик ажил хийж байна.

Техникийн олон асуудлын шийдэл нь тодорхой илэрхийлэл нь нарийн төвөгтэй, урт тооцоолол шаарддаг бөгөөд практикт үргэлж зөвтгөгддөггүй тодорхой интегралуудыг тооцоолоход хүргэдэг. Энд тэдний ойролцоо утга хангалттай байна.

Жишээлбэл, тэгшитгэл нь тодорхойгүй шугамаар хүрээлэгдсэн талбайг тооцоолох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд та энэ мөрийг тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа энгийн шугамаар сольж болно. Ийм аргаар олж авсан муруйн трапецын талбайг хүссэн интегралын ойролцоо утга болгон авна.

Хамгийн энгийн ойролцоо арга бол тэгш өнцөгтийн арга юм. Геометрийн хувьд тэгш өнцөгтийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох аргын санаа нь муруйн трапецын талбай юм. ABCDнь тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэрээр солигдоно, нэг тал нь -тэй тэнцүү, нөгөө тал нь - .

Хэрэв бид сул тал бүхий муруй трапецын талбайг харуулсан тэгш өнцөгтүүдийн талбайг нэгтгэн дүгнэвэл (Зураг 1) бид томъёог авна.

[Зураг1]

Дараа нь бид томъёог авна:

Илүүдэл байвал

[Зураг 2],

Тэр

Үнэ цэнэ y 0, y 1,..., y nтэгшитгэлээс олсон , k = 0, 1..., n.Эдгээр томьёог гэж нэрлэдэг тэгш өнцөгтийн томьёомөн ойролцоо үр дүнг өгнө. Өсөлтөөр nүр дүн нь илүү нарийвчлалтай болно.

Тиймээс интегралын ойролцоо утгыг олохын тулд танд дараахь зүйл хэрэгтэй болно.

Тооцооллын алдааг олохын тулд та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Жишээ 1. Тэгш өнцөгтийн томьёог ашиглан тооцоол. Тооцооллын үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг ол.

Хэсэг хувааж үзье [ а, б] хэд хэдэн (жишээ нь, 6) тэнцүү хэсгүүдэд хуваана. Дараа нь a = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

е(x 0) = 2 2 = 4
е (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
е (x 2) = 3 2 = 9
е (x 3) = 3,5 2 = 12,25
е (x 4) = 4 2 = 16
е (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

Томъёоны дагуу (1):

Тооцооллын харьцангуй алдааг тооцоолохын тулд интегралын яг утгыг олох шаардлагатай.

Тооцоолол удаан үргэлжилж, бид нэлээд бүдүүлэг дугуйрсан. Энэ интегралыг арай бага хэмжээгээр тооцоолохын тулд та компьютерийн техникийн чадварыг ашиглаж болно.

Тэгш өнцөгтийн аргыг ашиглан тодорхой интегралыг олохын тулд та интегралын утгыг оруулах ёстой. f(x)хүрээн дэх Excel ажлын хуудас руу Xөгөгдсөн алхамаар X= 0,1.

1. Өгөгдлийн хүснэгт хийх (XТэгээд f(x)). X f(x). Аргумент, мөн B1 нүдэнд - үг Чиг үүрэг2 2,1 ). Дараа нь A2:A3 нүднүүдийн блокийг сонгоод автоматаар бөглөх аргыг ашиглан бид аргументийн бүх утгыг авна (бид блокны баруун доод буланг A32 нүд рүү чирнэ. x=5).
2. Дараа нь бид интегралын утгыг оруулна. B2 нүдэнд түүний тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд хүснэгтийн курсорыг B2 нүдэнд байрлуулж, гараас томьёог оруулна =A2^2(Англи хэлний гарны зохион байгуулалттай). Түлхүүрийг дар Оруулна уу. B2 нүдэнд гарч ирнэ 4 . Одоо та функцийг B2 нүднээс хуулах хэрэгтэй.
   Автоматаар бөглөх аргыг ашиглан энэ томьёог B2:B32 мужид хуулна.
3. Үр дүн нь интегралыг олох өгөгдлийн хүснэгт байх ёстой. = 0,1*, Одоо В33 нүднээс интегралын ойролцоо утгыг олж болно. Үүнийг хийхийн тулд B33 нүдэнд томъёог оруулна ууДараа нь Функцийн шидтэнг дууд (хэрэгслийн самбар дээрх функц оруулах товчийг дарж). (f(x)). (f(x))Гарч ирэх харилцах цонхны Функцийн шидтэн - 2-ын 1-р алхам, Ангилал талбарын зүүн талд Математикийг сонгоно уу. Function талбарын баруун талд Sum функц байна. 37,955 ) .

Товчлуур дээр дар 39 OK.

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Дүн харилцах цонх гарч ирнэ. Хулганы тусламжтайгаар B2:B31 нийлбэрийн мужийг ажлын талбарт оруулна. Товчлуур дээр дар В33 нүдэнд хүссэн интегралын ойролцоо утга сул талтай гарч ирнэ ( X = 0,05.

Хүлээн авсан ойролцоо утгыг интегралын жинхэнэ утгатай харьцуулах ( ), энэ тохиолдолд тэгш өнцөгтийн аргын ойролцоох алдаа нь тэнцүү байгааг харж болно

Жишээ 2.

Тэгш өнцөгтийн аргыг ашиглан өгөгдсөн алхамаар тооцоол

Хүлээн авсан ойролцоо утгыг интегралын жинхэнэ утгатай харьцуулах , энэ тохиолдолд тэгш өнцөгтийн аргын ойролцоо алдаа нь тэнцүү байгааг харж болно X = 0,1.

1. Трапецын арга нь ихэвчлэн тэгш өнцөгт аргаас илүү нарийвчлалтай интеграл утгыг өгдөг. Муруй трапецийг хэд хэдэн трапецын нийлбэрээр сольж, тодорхой интегралын ойролцоо утгыг трапецын талбайн нийлбэрээр олно.
2. Өгөгдлийн хүснэгт хийх (XТэгээд f(x)).[Зураг3] X, хоёр дахь нь харгалзах үзүүлэлтүүдтэй f(x).Үүнийг хийхийн тулд A1 нүдэнд үгийг оруулна уу Аргумент, мөн B1 нүдэнд - үг Чиг үүрэг. Аргументийн эхний утгыг A2 нүдэнд оруулна - мужын зүүн хил ( 0 ). Аргументийн хоёр дахь утгыг A3 нүдэнд оруулна - мужын зүүн хил дээр нэмэх нь барилгын алхам ( 0,1 ). Дараа нь A2:A3 нүднүүдийн блокыг сонгоод автоматаар бөглөх аргыг ашиглан бид аргументийн бүх утгыг авна (бид блокны баруун доод буланг A33 нүд рүү чирнэ. x=3.1).
3. Дараа нь бид интегралын утгыг оруулна. B2 нүдэнд түүний тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй (синусын жишээнд). Үүнийг хийхийн тулд хүснэгтийн курсорыг B2 нүдэнд байрлуулах ёстой. Энд A2 нүдэн дэх аргументийн утгатай тохирох синус утга байх ёстой. Синусын утгыг олж авахын тулд бид тусгай функцийг ашиглана: хэрэгслийн самбар дээрх функцийг оруулах товчийг дарна уу f(x). Гарч ирэх харилцах цонхны Функцийн шидтэн - 2-ын 1-р алхам, Ангилал талбарын зүүн талд Математикийг сонгоно уу. Баруун талд Function талбарт - функцНҮГЭЛ (f(x)). Товчлуур дээр дар Баруун талд Function талбарт - функцХарилцах цонх гарч ирнэ . Зүүн товчийг дарж цонхны саарал талбар дээр хулганы заагчийг байрлуулснаар талбарыг баруун тийш шилжүүлж мэдээллийн баганыг нээнэ үү (А (f(x))). Бид A2 нүдэн дээр дарж синус аргументын утгыг зааж өгнө. Товчлуур дээр дар
4. B2 нүдэнд 0 гарч ирнэ. Одоо та В2 нүднээс функцийг хуулах хэрэгтэй. Автоматаар бөглөх аргыг ашиглан энэ томьёог B2:B33 мужид хуулна. Үр дүн нь интегралыг олох өгөгдлийн хүснэгт байх ёстой. Одоо B34 нүдэнд интегралын ойролцоо утгыг трапецын аргыг ашиглан олж болно. Үүнийг хийхийн тулд B34 нүдэнд томъёог оруулна уу= 0.1*((B2+B33)/2+, Үүнийг хийхийн тулд B33 нүдэнд томъёог оруулна ууДараа нь Функцийн шидтэнг дууд (хэрэгслийн самбар дээрх функц оруулах товчийг дарж). (f(x)). Гарч ирэх харилцах цонхны Функцийн шидтэн - 2-ын 1-р алхам, Ангилал талбарын зүүн талд Математикийг сонгоно уу. Function талбарын баруун талд Sum функц байна. Товчлуур дээр дар Дүн харилцах цонх гарч ирнэ. Ажлын талбарт B3:B32 нийлбэрийн мужийг хулганаар оруулна. Товчлуур дээр дар OK (f(x))мөн дахин 1,997 ) .

В34 нүдэнд хүссэн интегралын ойролцоо утга сул талтай гарч ирнэ (

1. Хүлээн авсан ойролцоо утгыг интегралын жинхэнэ утгатай харьцуулж үзвэл энэ тохиолдолд тэгш өнцөгтийн аргын ойролцоолсон алдаа нь практикт нэлээд зөвшөөрөгдөх боломжтой болохыг харж болно.

Дасгалын шийдэл.
Тодорхой интегралыг хэрхэн тооцоолох

Тоон аргууд нь дээд математикийн нэлээд том хэсэг бөгөөд энэ сэдвээр ноцтой сурах бичгүүд хэдэн зуун хуудас агуулдаг. Практикт тестийн баримт бичиг нь тоон аргыг ашиглан зарим асуудлыг шийдвэрлэхийг санал болгодог бөгөөд нийтлэг асуудлын нэг бол ойролцоо тооцоолол юм. тодорхой интеграл. Энэ нийтлэлд би тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолох хоёр аргыг авч үзэх болно. трапецын аргаТэгээд Симпсоны арга.

Эдгээр аргуудыг эзэмшихийн тулд юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Энэ нь инээдтэй сонсогдож магадгүй ч та интегралыг огт авч чадахгүй байх магадлалтай. Та интеграл гэж юу байдгийг ч ойлгохгүй байна. Техникийн хэрэгслээс танд бичил тооцоолуур хэрэгтэй болно. Тийм ээ, тийм ээ, сургуулийн ердийн тооцоолол биднийг хүлээж байна. Илүү сайн, миний хагас автомат тооцоолуурыг трапецын арга болон Симпсоны аргыг татаж аваарай. Тооцоологч нь Excel дээр бичигдсэн бөгөөд асуудлыг шийдвэрлэх, дуусгахад шаардагдах хугацааг хэдэн арван дахин багасгах болно. Excel дамми нарын хувьд видео гарын авлага багтсан болно! Дашрамд хэлэхэд миний хоолойгоор хийсэн анхны бичлэг.

Эхлээд өөрөөсөө асууя, яагаад бидэнд ойролцоогоор тооцоолол хэрэгтэй байна вэ? Та функцийн эсрэг деривативыг олж Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралын яг утгыг тооцоолох боломжтой юм шиг санагдаж байна. Асуултанд хариулахын тулд нэн даруй зурагтай үзүүлэнгийн жишээг харцгаая.

Тодорхой интегралыг тооцоолох

Бүх зүйл сайхан байх болно, гэхдээ энэ жишээнд интегралыг аваагүй - таны өмнө аваагүй интеграл байна. интеграл логарифм. Энэ интеграл байдаг уу? Интеграл функцийн графикийг зурган дээр дүрсэлцгээе.

Бүх зүйл сайхан байна. Интеграл нь сегмент дээр тасралтгүй байх ба тодорхой интеграл нь сүүдэрлэсэн талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна. Ганцхан зүйл бий: интегралыг авах боломжгүй. Ийм тохиолдолд тоон аргууд аврах ажилд ирдэг. Энэ тохиолдолд асуудал нь хоёр томъёололд тохиолддог:

1) Тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоол , үр дүнг тодорхой аравтын бутархай хүртэл дугуйруулна. Жишээлбэл, хоёр хүртэлх аравтын орон, гурав хүртэлх аравтын орон гэх мэт. Ойролцоогоор хариултыг 5.347 гэж үзье. Үнэн хэрэгтээ энэ нь бүхэлдээ зөв биш байж магадгүй юм (бодит байдал дээр илүү үнэн зөв хариулт нь 5.343 байна). Бидний даалгавар зөвхөн тэрүр дүнг аравтын бутархайн гурван орон хүртэл дугуйлах.

2) Тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолох, тодорхой нарийвчлалтайгаар. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг ойролцоогоор 0.001 нарийвчлалтайгаар тооцоол. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь бид ойролцоо утгыг олох ёстой гэсэн үг юм модуль (нэг эсвэл өөр замаар)үнэнээс 0.001-ээс ихгүй зөрүүтэй байна.

Асуудалд тохиолддог тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолох хэд хэдэн үндсэн аргууд байдаг.

Интеграцийн сегментийг хэд хэдэн хэсэгт хувааж, хүссэн хэсэгтээ ойрхон шаталсан дүрсийг бүтээдэг.

Зургийн дагуу хатуу шүүж болохгүй, нарийвчлал нь тийм ч тохиромжтой биш - тэдгээр нь зөвхөн аргын мөн чанарыг ойлгоход тусална.

Санаа нь адилхан. Интеграцийн сегмент нь хэд хэдэн завсрын сегментүүдэд хуваагддаг бөгөөд интеграл функцийн график ойртож байна. эвдэрсэн шугаммөр:

Тиймээс бидний талбай (цэнхэр сүүдэр) нь трапецын (улаан) талбайн нийлбэрээр ойролцоо байна. Тиймээс аргын нэр гарч ирэв. Трапецын арга нь тэгш өнцөгтийн аргаас (ижил тооны хуваалтын сегменттэй) илүү сайн ойролцооллыг өгдөг болохыг харахад хялбар байдаг. Мэдээжийн хэрэг, бид илүү жижиг завсрын сегментүүдийг авч үзэх тусам нарийвчлал өндөр байх болно. Трапецын аргыг практик даалгаварт үе үе олдог бөгөөд энэ нийтлэлд хэд хэдэн жишээг авч үзэх болно.

Симпсоны арга (параболын арга). Энэ бол илүү дэвшилтэт арга юм - интегралын графикийг тасархай шугамаар биш, харин жижиг параболоор ойролцоолдог. Завсрын сегментүүдтэй адил олон жижиг параболууд байдаг. Хэрэв бид ижил гурван сегментийг авбал Симпсоны арга нь тэгш өнцөгтийн арга эсвэл трапецын аргаас илүү нарийвчлалтай ойролцоо дүгнэлт өгөх болно.

Функцийн график дээр (өмнөх догол мөрний тасархай шугам, тэр ч байтугай бараг давхцаж байсан) харагдахуйц ойролцоолсон байх тул зураг зурах нь утгагүй гэдгийг би олж харахгүй байна.

Симпсоны томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох асуудал нь практикт хамгийн түгээмэл ажил юм. Мөн параболын аргад ихээхэн анхаарал хандуулах болно.

Трапецын аргаар тодорхой интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ?

Нэгдүгээрт, ерөнхий томъёо. Магадгүй энэ нь хүн бүрт ойлгомжтой биш байх болно ... тийм ээ, Карлссон тантай хамт байна - практик жишээнүүд бүх зүйлийг тодруулах болно! Тайвшир. Зөвхөн амар амгалан.

Тодорхой интегралыг авч үзье, энд интервал дээр тасралтгүй функц байна. Сегментийг хувааж үзье тэнцүүсегментүүд:
. Энэ тохиолдолд энэ нь тодорхой байна: (интеграцийн доод хязгаар) ба (интеграцын дээд хязгаар). Оноо бас дууддаг зангилаа.

Дараа нь тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолж болно трапец хэлбэрийн томъёоны дагуу:
, Хаана:
алхам;
- цэг дээрх интегралын утгууд .

Жишээ 1

Трапец хэлбэрийн томъёог ашиглан ойролцоогоор тодорхой интегралыг тооцоол. Үр дүнг гурван аравтын орон хүртэл дугуйр.

a) Интеграцийн сегментийг 3 хэсэгт хуваах.
б) Интеграцийн сегментийг 5 хэсэгт хуваах.

Шийдэл:
a) Ялангуяа даммигийн хувьд би эхний цэгийг аргын зарчмыг тодорхой харуулсан зурагтай холбосон. Хэрэв энэ нь хэцүү байвал тайлбар хийхдээ зургийг хараарай, эндээс нэг хэсэг байна:

Нөхцөлийн дагуу интеграцийн сегментийг 3 хэсэгт хуваах ёстой, өөрөөр хэлбэл.
Хуваалтын сегмент бүрийн уртыг тооцоолъё: . Параметрийг бас гэж нэрлэдэг гэдгийг би танд сануулж байна алхам.

Хэдэн цэг (хуваалтын зангилаа) байх вэ? байх болно дахиад нэгсегментийн тооноос:

За, трапецын ерөнхий томъёог тааламжтай хэмжээгээр багасгасан:

Тооцооллын хувьд та ердийн бичил тооцоолуур ашиглаж болно.

Анхаарна уу, асуудлын нөхцлийн дагуу бүх тооцоог аравтын бутархайн 3-р орон хүртэл дугуйрсан байх ёстой.

Эцэст нь:

Геометрийн үүднээс бид гурван трапецын талбайн нийлбэрийг тооцоолсон (дээрх зургийг харна уу).

б) Интеграцийн сегментийг 5 тэнцүү хэсэгт хуваая, өөрөөр хэлбэл. Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? Фобос-Грунтыг далайд унахаас урьдчилан сэргийлэхийн тулд сегментийн тоог нэмэгдүүлэх замаар бид тооцооллын нарийвчлалыг нэмэгдүүлдэг.

Хэрэв бол трапец хэлбэрийн томъёо дараах хэлбэрийг авна.

Хуваалтын алхамыг олцгооё:
, өөрөөр хэлбэл завсрын сегмент бүрийн урт нь 0.6 байна.

Даалгаврыг дуусгахдаа тооцооллын хүснэгтийг ашиглан бүх тооцоог албан ёсны болгох нь тохиромжтой.

Эхний мөрөнд бид "тоолуур" гэж бичнэ.

Хоёрдахь мөр хэрхэн үүссэнийг хүн бүр харж чадна гэж би бодож байна - эхлээд бид интеграцийн доод хязгаарыг бичиж, үлдсэн утгыг алхам алхмаар нэмж оруулснаар олж авна.

Хамгийн гол нь ямар зарчмыг баримталдаг вэ гэдгийг бараг хүн бүр ойлгосон байх. Жишээлбэл, хэрэв , тэгвэл . Тэдний хэлснээр тоол, бүү залхуу.

Үүний үр дүнд:

За, үнэхээр тодруулга, ноцтой зүйл байна! Хэрэв хуваалтын 3 сегментийн хувьд ойролцоо утга байсан бол 5 сегментийн хувьд . Тиймээс бид хамгийн багадаа үүнийг итгэлтэйгээр хэлж чадна.

Жишээ 2

Аравтын хоёр орон хүртэлх нарийвчлалтай трапец хэлбэрийн томъёог ашиглан ойролцоогоор тодорхой интегралыг тооцоолно (0.01 хүртэл).

Шийдэл:Бараг ижил даалгавар, гэхдээ арай өөр хэлбэрээр. Жишээ 1-ээс үндсэн ялгаа нь бид бид мэдэхгүй, Аравтын бутархай хоёрыг зөв болгохын тулд интеграцийн сегментийг ХЭДЭН сегмент болгон хуваах ёстой вэ? Өөрөөр хэлбэл, бид утгыг нь мэдэхгүй байна.

Шаардлагатай нарийвчлалыг баталгаажуулахын тулд хуваалтын сегментийн тоог тодорхойлох боломжийг олгодог тусгай томъёо байдаг боловч практик дээр үүнийг хэрэглэхэд хэцүү байдаг. Тиймээс хялбаршуулсан аргыг ашиглах нь ашигтай байдаг.

Нэгдүгээрт, интеграцийн сегмент нь ихэвчлэн 2-3-4-5 гэсэн хэд хэдэн том сегментүүдэд хуваагддаг. Жишээлбэл, интеграцийн сегментийг ижил 5 хэсэгт хуваацгаая. Томъёо нь аль хэдийн танил болсон:

Мөн алхам нь мэдээжийн хэрэг бас мэдэгдэж байна:

Гэхдээ өөр нэг асуулт гарч ирнэ: үр дүнг хэдэн оронтой тоогоор дугуйлах ёстой вэ? Нөхцөлд хэдэн аравтын орон үлдээх талаар юу ч хэлээгүй. Ерөнхий зөвлөмж нь: шаардлагатай нарийвчлалд 2-3 цифр нэмэх шаардлагатай. Энэ тохиолдолд шаардлагатай нарийвчлал нь 0.01 байна. Зөвлөмжийн дагуу аравтын бутархайны дараа бид аравтын бутархайны дараа таван тэмдэгт үлдээнэ (дөрөв нь боломжтой байсан):

Үүний үр дүнд:
, ойролцоо утгыг -ээр тэмдэглэе.

Анхан шатны үр дүнгийн дараа сегментийн тоо давхар. Энэ тохиолдолд 10 сегмент болгон хуваах шаардлагатай. Сегментүүдийн тоо нэмэгдэхэд би микро тооцоолуур руу хуруугаа цохихоос залхаж байна гэсэн тод бодол толгойд орж ирдэг. Тиймээс би хагас автомат тооцоолуурыг татаж аваад ашиглахыг дахин санал болгож байна (хичээлийн эхэнд байгаа холбоос).

Трапец хэлбэрийн хувьд дараах хэлбэрийг авна.

Цаасан хувилбарт оруулгыг дараагийн мөрөнд аюулгүйгээр шилжүүлж болно.

Хуваалтын алхамыг тооцоолъё:

Тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд нэгтгэн харуулъя.


Тэмдэглэлийн дэвтэрт хийж дууссаны дараа урт ширээг хоёр давхар ширээ болгон хувиргах нь давуу талтай.

Үүний үр дүнд:

Одоо ойролцоогоор тооцооллын зөрүүг тооцоолъё.

Энд бид сонирхож байгаа тул модулийн тэмдгийг ашигладаг үнэмлэхүй ялгаа, аль үр дүн нь их, аль нь бага байх нь биш.

Цаашдын арга хэмжээний хувьд би хувьдаа практик дээр хоёр шийдлийг олж мэдсэн.

1) Эхний арга бол "толгой харьцуулах" арга юм. Үүссэн алдааны тооцооноос хойш илүүшаардлагатай нарийвчлалаас илүү: , дараа нь хуваалтын сегментийн тоог дахин хоёр дахин нэмэгдүүлж, тооцоолох шаардлагатай. Excel тооцоолуур ашиглан та эцсийн үр дүнг хэдхэн секундын дотор авах боломжтой: . Одоо бид алдааг дахин тооцоолж байна: . Оноо авсан багашаардлагатай нарийвчлалаас илүү: , тиймээс тооцоолол дууссан. Хамгийн сүүлчийн (хамгийн үнэн зөв) үр дүнг аравтын хоёр орон хүртэл дугуйлж, хариултаа өгөх л үлдлээ.

2) Өөр нэг, илүү үр дүнтэй арга нь гэж нэрлэгддэг ашиглахад суурилдаг Рунгийн дүрэм, үүний дагуу бид тодорхой интегралыг -ээс ихгүй хэмжээгээр үнэлж алдаад байна. Бидний асуудалд: Тиймээс тооцоо хийх шаардлагагүй. Гэсэн хэдий ч, энэ тохиолдолд шийдлийн хурд нь нарийвчлалын зардлаар гарсан: . Гэсэн хэдий ч энэ үр дүн нь хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц байна, учир нь бидний "алдааны хязгаар" нь яг зууны нэг юм.

Юу сонгох вэ? Заах арга барил эсвэл багшийн сонголтод анхаарлаа хандуулаарай.

Хариулт: 0.01 хүртэл нарийвчлалтай (Рунжийн дүрмийг ашиглан).

Жишээ 3

0.001 нарийвчлалтай трапец хэлбэрийн томъёог ашиглан ойролцоогоор тодорхой интегралыг тооцоол.

Энд дахин интеграл (бараг интеграл косинус) байна. Загварын шийдэлд эхний алхамыг 4 сегментэд хуваана, өөрөөр хэлбэл. Хичээлийн төгсгөлд иж бүрэн шийдэл, эцсийн дизайны ойролцоо жишээ.

Симпсоны томъёог ашиглан тодорхой интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хэрэв та энэ хуудаснаас зөвхөн Симпсоны аргыг хайж байгаа бол эхлээд хичээлийн эхлэлийг уншиж, ядаж эхний жишээг үзэхийг зөвлөж байна. Учир нь олон санаа, техник нь трапецын аргатай төстэй байх болно.

Дахин хэлэхэд ерөнхий томъёоноос эхэлье
Тодорхой интегралыг авч үзье, энд интервал дээр тасралтгүй функц байна. Сегментийг хувааж үзье бүртоо хэмжээ тэнцүүсегментүүд. Тэгш тооны сегментийг -ээр тэмдэглэнэ.

Практикт сегментүүд нь дараахь байж болно.
хоёр:
дөрөв:
найм:
арав:
хорин:
Би өөр сонголтуудыг санахгүй байна.

Анхаар!Тоо нь ГАНЦ ДУГААР гэж ойлгогддог. Энэ нь, ХОРИГЛОНОЖишээ нь, хоёроор багасгах, авах. Бичлэг зөвхөн гэсэн утгатай, тэр сегментийн тоо бүр. Тэгээд ч цомхотгол хийх тухай яриа байхгүй

Тиймээс бидний хуваалт дараах байдалтай байна.

Нэр томъёо нь трапец хэлбэрийн аргынхтай төстэй:
Цэгүүдийг дууддаг зангилаа.

Симпсоны томъёоТодорхой интегралын ойролцоо тооцооллын хувьд дараах хэлбэртэй байна.
, Хаана:
– жижиг сегмент бүрийн урт буюу алхам;
- цэг дээрх интегралын утгууд.

Энэ овоолгыг нарийвчлан тайлбарласнаар би томъёог илүү нарийвчлан шинжлэх болно.
- интегралын эхний ба сүүлчийн утгуудын нийлбэр;
– бүхий нөхцлийн нийлбэр бүриндексийг 2-оор үржүүлсэн;
– бүхий нөхцлийн нийлбэр хачининдексийг 4-өөр үржүүлнэ.

Жишээ 4

Ойролцоогоор тодорхой интегралыг Симпсоны томъёогоор 0.001 нарийвчлалтайгаар тооцоол. Хоёр сегментээр хувааж эхэл

Дашрамд хэлэхэд интеграл нь дахин уусдаггүй.

Шийдэл:Би нэн даруй даалгаврын төрөлд анхаарлаа хандуулж байна - энэ нь тодорхой интегралыг тооцоолох шаардлагатай тодорхой нарийвчлалтайгаар. Энэ нь юу гэсэн үг болохыг өгүүллийн эхэнд аль хэдийн тайлбарласан бөгөөд өмнөх догол мөрөнд тодорхой жишээнүүдийг ашигласан болно. Трапецын аргын нэгэн адил шаардлагатай нарийвчлалд хүрэхийн тулд шаардлагатай тооны сегментийг ("en" утга) нэн даруй тодорхойлох томъёо байдаг. Үнэн бол та дөрөв дэх деривативыг олж, экстремаль асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болно. Миний юу хэлэх гээд байгааг ойлгож, ажлын хэмжээг үнэлсэн хүмүүс инээмсэглэв. Гэсэн хэдий ч, ийм интегрант функцын дөрөв дэх деривативыг олох нь инээдтэй зүйл биш, харин эмнэлзүйн психопат байх болно. Тиймээс практикт алдааг тооцоолох хялбаршуулсан аргыг бараг үргэлж ашигладаг.

Шийдвэрлэж эхэлцгээе. Хэрэв бид хуваалтын хоёр сегменттэй бол зангилаанууд байх болно дахиад нэг: . Симпсоны томъёо нь маш нягт хэлбэртэй байдаг:

Хуваалтын алхамыг тооцоолъё:

Тооцооллын хүснэгтийг бөглөцгөөе.

Хүснэгтийг хэрхэн бөглөх талаар дахин нэг удаа тайлбар хийе.

Дээд мөрөнд бид индексийн "тоолуур" -ыг бичнэ

Хоёр дахь мөрөнд бид эхлээд интеграцийн доод хязгаарыг бичиж, дараа нь алхамыг дараалан нэмнэ.

Гурав дахь мөрөнд бид интегралын утгыг оруулна. Жишээлбэл, хэрэв , дараа нь . Би хэдэн аравтын орон үлдээх ёстой вэ?Үнэн хэрэгтээ нөхцөл байдал энэ талаар юу ч хэлэхгүй. Энэ зарчим нь трапец хэлбэрийн аргын адил бөгөөд бид шаардлагатай нарийвчлалыг хардаг: 0.001. Мөн нэмэлт 2-3 оронтой тоо нэмнэ. Өөрөөр хэлбэл, та аравтын бутархайн 5-6 орон хүртэл дугуйлах хэрэгтэй.

Үүний үр дүнд:

Анхан шатны үр дүнг хүлээн авлаа. Одоо давхардөрөв хүртэлх сегментийн тоо: . Энэ хуваалтын Симпсоны томъёо дараах хэлбэртэй байна.

Хуваалтын алхамыг тооцоолъё:

Тооцооллын хүснэгтийг бөглөцгөөе.


Тиймээс:

Ойролцоогоор зөрүүний үнэмлэхүй утгыг олъё:

Симпсоны аргын хувьд Runge-ийн дүрэм нь маш амттай байдаг. Хэрэв хэрэглэж байх үед дунд тэгш өнцөгт аргатрапецын аргад бид гуравны нэгийг нь "дэмших" өгдөг, харин одоо - арван тавны нэг хүртэл:
, мөн энд нарийвчлал буурахаа больсон:

Гэхдээ зургийг дуусгахын тулд би "энгийн" шийдлийг өгөх болно, үүнд та нэмэлт алхам хийх хэрэгтэй: шаардлагатай нарийвчлалаас илүү байгаа тул: , дараа нь сегментийн тоог дахин хоёр дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай: .

Симпсоны томъёо үсрэлт, хязгаараар өсч байна:

Алхамыг тооцоолъё:

Тооцооллын хүснэгтийг дахин бөглөнө үү.

Тиймээс:

Симпсоны томъёо нь нэлээд төвөгтэй тул тооцооллыг энд илүү нарийвчлан тайлбарлахыг зөвлөж байна, хэрэв та тэр даруй цохивол:
, тэгвэл энэ архи хакердсан ажил шиг харагдах болно. Илүү нарийвчилсан тэмдэглэл хийснээр багш таныг нэг цагийн турш бичил тооцоолуурын түлхүүрүүдийг ухамсартайгаар устгасан гэсэн сайхан сэтгэгдэл төрүүлэх болно. "Хэцүү" тохиолдлын нарийвчилсан тооцоог миний тооцоолуур дээр авах боломжтой.

Бид алдааг тооцоолно:

Алдаа нь шаардлагатай нарийвчлалаас бага байна: . Үлдсэн зүйл бол хамгийн зөв ойролцоогоор тооцоолж, аравтын гурван орон хүртэл дугуйлж, дараах зүйлийг бичих явдал юм.

Хариулах: 0.001 хүртэл нарийвчлалтай

Жишээ 5

Ойролцоогоор тодорхой интегралыг Симпсоны томъёогоор 0.0001 нарийвчлалтайгаар тооцоол. Хоёр сегментээр хувааж эхэл

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Төгсгөлийн дизайны ойролцоо жишээ ба хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Хичээлийн төгсгөлд бид хэд хэдэн нийтлэг жишээг авч үзэх болно.

Жишээ 6

Тодорхой интегралын ойролцоо утгыг тооцоол Симпсоны томъёог ашиглан интеграцийн сегментийг 10 хэсэгт хуваана. Тооцооллыг гурав дахь аравтын бутархай хүртэл үнэн зөв хийх ёстой.

Өнөөдөр бид тоон интеграцийн өөр нэг арга болох трапец хэлбэрийн аргын талаар суралцах болно. Түүний тусламжтайгаар бид тодорхой интегралуудыг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар тооцоолох болно. Өгүүлэлд бид трапецын аргын мөн чанарыг тайлбарлаж, томъёог хэрхэн гаргаж авсанд дүн шинжилгээ хийж, трапецын аргыг тэгш өнцөгтийн аргатай харьцуулж, аргын үнэмлэхүй алдааны тооцоог бичих болно. Материалыг илүү гүнзгий ойлгохын тулд бид хэсэг бүрийг жишээгээр харуулах болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

y = f (x) интеграл нь [ a интервал дээр тасралтгүй байх тодорхой интеграл ∫ a b f (x) d x -ийг ойролцоогоор тооцоолох шаардлагатай гэж үзье; b ]. Үүнийг хийхийн тулд сегментийг хуваана [a; b ] a = x 0 цэгтэй h урттай хэд хэдэн тэнцүү интервалд оруулна< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Хуваалтын алхамыг олъё: h = b - a n. x i = a + i · h, i = 0, 1, тэгшитгэлээс зангилааг тодорхойлъё. . . , n.

Энгийн сегментүүд дээр бид x i - 1 интеграл функцийг авч үздэг; x i, i = 1, 2, . . , n.

n нь хязгааргүй нэмэгдэхийн хэрээр бид бүх тохиолдлыг хамгийн энгийн дөрвөн сонголт болгон бууруулна.

x i - 1 сегментүүдийг сонгоцгооё; x i, i = 1, 2, . . . , n. График бүр дээрх y = f (x) функцийг x i - 1 координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын хэрчимээр орлуулъя; f x i - 1 ба x i ; f x i . Зурган дээр тэдгээрийг цэнхэр өнгөөр ​​тэмдэглэе.

f (x i - 1) + f (x i) 2 · h илэрхийллийг ∫ x i - 1 x i f (x) d x интегралын ойролцоо утга гэж авъя. Тэдгээр. ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h -ийг авъя.

Бидний сурч буй тоон интеграцийн аргыг яагаад трапецын арга гэж нэрлэдгийг харцгаая. Үүнийг хийхийн тулд геометрийн үүднээс бичсэн ойролцоо тэгш байдал нь ямар утгатай болохыг олж мэдэх хэрэгтэй.

Трапецын талбайг тооцоолохын тулд түүний суурийн хагас нийлбэрийг өндрөөр нь үржүүлэх шаардлагатай. Эхний тохиолдолд муруй трапецын талбай нь f (x i - 1), f (x i) өндөр h суурьтай трапецтай ойролцоогоор тэнцүү байна. Бидний авч үзэж буй дөрөв дэх тохиолдлын хувьд өгөгдсөн интеграл ∫ x i - 1 x f (x) d x нь суурь - f (x i - 1), - f (x i) ба өндөртэй трапецын талбайтай ойролцоогоор тэнцүү байна. h, үүнийг "-" тэмдгээр авах ёстой. ∫ x i - 1 x i f (x) d x тодорхой интегралын ойролцоо утгыг авч үзэхийн тулд бид хоёр ба гурав дахь тохиолдолд бид тэмдэглэсэн улаан, цэнхэр бүсийн талбайн ялгааг олох хэрэгтэй. доорх зурагт ангаахай.

Дүгнэж хэлье. Трапец хэлбэрийн аргын мөн чанар нь дараах байдалтай байна: бид тодорхой интеграл ∫ a b f (x) d x-ийг ∫ x i - 1 x i f (x) d x хэлбэрийн интегралын нийлбэрээр энгийн сегмент тус бүр болон дараагийн ойролцоо орлуулах ∫ хэлбэрээр илэрхийлж болно. x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h.

Трапец хэлбэрийн аргын томъёо

Тодорхой интегралын тав дахь шинж чанарыг эргэн санацгаая: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Трапец хэлбэрийн аргын томъёог олж авахын тулд ∫ x i - 1 x i f (x) d x: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n интегралын оронд тэдгээрийн ойролцоо утгыг орлуулах шаардлагатай. ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (. x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Тодорхойлолт 1

Трапец хэлбэрийн аргын томъёо:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Трапецын аргын үнэмлэхүй алдааны тооцоо

Трапец хэлбэрийн аргын үнэмлэхүй алдааг дараах байдлаар тооцоолъё.

Тодорхойлолт 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

Трапец хэлбэрийн аргын график дүрслэлийг зурагт үзүүлэв.

Тооцооллын жишээ

Тодорхой интегралыг ойролцоогоор тооцоолохдоо трапецын аргыг ашиглах жишээг авч үзье. Бид хоёр төрлийн ажилд онцгой анхаарал хандуулах болно.

• n сегментийн өгөгдсөн хуваалтын дугаарт трапецын аргаар тодорхой интегралыг тооцоолох;
• тодорхой интегралын ойролцоо утгыг тодорхой нарийвчлалтайгаар олох.

Өгөгдсөн n-ийн хувьд бүх завсрын тооцоог хангалттай өндөр нарийвчлалтайгаар хийх ёстой. Тооцооллын нарийвчлал нь өндөр байх ёстой, том n.

Хэрэв бид тодорхой интегралыг тооцоолохдоо өгөгдсөн нарийвчлалтай бол бүх завсрын тооцоог хоёр ба түүнээс дээш тооны дарааллаар илүү нарийвчлалтай хийх ёстой. Жишээлбэл, нарийвчлалыг 0.01 гэж тохируулсан бол бид 0.0001 эсвэл 0.00001 нарийвчлалтай завсрын тооцоог хийдэг. Том n-ийн хувьд завсрын тооцоог илүү өндөр нарийвчлалтайгаар хийх ёстой.

Дээрх дүрмийг жишээгээр харцгаая. Үүнийг хийхийн тулд Ньютон-Лейбницийн томъёогоор тооцоолж, трапецын аргаар олж авсан тодорхой интегралын утгыг харьцуулна уу.

Тэгэхээр ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805.

Жишээ 1

Трапецын аргыг ашиглан 10-тай тэнцүү n-ийн хувьд тодорхой интеграл ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x-ийг тооцоолно.

Шийдэл

Трапец хэлбэрийн аргын томъёо нь ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) юм.

Томьёог хэрэглэхийн тулд h = b - a n томъёог ашиглан h алхамыг тооцоолох, зангилаануудыг тодорхойлох x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n, f (x) = 7 x 2 + 1 интеграл функцийн утгыг тооцоол.

Хуваалтын алхамыг дараах байдлаар тооцоолно: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0. 5. x i = a + i · h, i = 0, 1, зангилаанууд дээрх интегралыг тооцоолох. . . , n бид дөрвөн аравтын орон авна:

i = 0: x 0 = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0. 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0. 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0, 2692

Тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд оруулъя.

Олж авсан утгыг трапец хэлбэрийн аргын томъёонд орлуулъя: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5.6 + 3.5 + 2.1538 + 1.4 + 0.9655 + 0.7 + 0.5283 + 0.4117 + 0.3294 + 0.2692 = 9.6117

Үр дүнг Ньютон-Лейбницийн томъёогоор тооцоолсон үр дүнтэй харьцуулж үзье. Хүлээн авсан утгууд нь зуутын нэгтэй давхцдаг.

Хариулт:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Жишээ 2

Трапецын аргыг ашиглан тодорхой интеграл ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x утгыг 0.01 нарийвчлалтайгаар тооцоолно.

Шийдэл

Бодлогын нөхцлийн дагуу a = 1; b = 2, f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60; δn ≤ 0.01.

Үнэмлэхүй алдаа δ n ≤ m a x x ∈ [ a ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . Бид үүнийг дараах байдлаар хийнэ: m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0.01. Өгөгдсөн n бол трапец хэлбэрийн томъёо нь өгөгдсөн нарийвчлалтай тодорхой интегралын ойролцоо утгыг өгөх болно.

Эхлээд функцийн хоёр дахь деривативын модулийн хамгийн том утгыг [ 1 ; 2].

f " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Хоёрдахь дериватив функц нь f "" (x) = x 2 квадрат парабол юм. Түүний шинж чанараас бид эерэг бөгөөд интервал дээр нэмэгддэг болохыг бид мэднэ [1; 2]. Үүнтэй холбогдуулан m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

Өгөгдсөн жишээнд m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) маш энгийн болсон. Нарийн төвөгтэй тохиолдолд та тооцоолол хийхдээ функцийн хамгийн том, хамгийн бага утгыг ашиглаж болно. Энэ жишээг авч үзсэний дараа бид m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

Үр дүнгийн утгыг m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0.01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0.01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5.7735

Интегралчлах n сегментийг хуваах энгийн интервалуудын тоо нь натурал тоо юм. Тооцооллын хувьд бид n-ийг зургаатай тэнцүү авна. Энэ n-ийн утга нь хамгийн бага тооцоолол бүхий трапец хэлбэрийн аргын заасан нарийвчлалд хүрэх боломжийг олгоно.

Алхамыг тооцоолъё: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

x i = a + i · h, i = 1, 0, , зангилаануудыг олъё. . . , n, бид эдгээр зангилааны интегралын утгыг тодорхойлно.

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0.5266. . . i = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1.9833

Бид тооцооллын үр дүнг хүснэгт хэлбэрээр бичнэ.

Хүлээн авсан үр дүнг трапец хэлбэрийн томъёонд орлъё.

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0, 4 + 2 0.5266 + 0.6911 + 0.9052 + 1.1819 + 1.5359 + 1.9833 ≈ 1.0054

Харьцуулахын тулд бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан анхны интегралыг тооцоолно.

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Таны харж байгаагаар бид тооцооллын нарийвчлалд хүрсэн.

Хариулт: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1.0054

Нарийн төвөгтэй хэлбэрийн интегралуудын хувьд үнэмлэхүй алдааг тооцоолох тэгш бус байдлаас n тоог олох нь үргэлж амар байдаггүй. Энэ тохиолдолд дараах арга тохиромжтой байх болно.

n зангилааны трапецын аргаар олж авсан тодорхой интегралын ойролцоо утгыг I n гэж тэмдэглэе. Дурын n тоог сонгоцгооё. Трапец хэлбэрийн аргын томъёог ашиглан бид нэг (n = 10) ба давхар (n = 20) тооны зангилааны анхны интегралыг тооцоолж, олж авсан хоёр ойролцоо утгын I 20 -ийн хоорондох үнэмлэхүй утгыг олно. би 10.

Хэрэв олж авсан хоёр ойролцоо утгын зөрүүний үнэмлэхүй утга нь шаардлагатай нарийвчлалаас бага байвал I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Хэрэв олж авсан хоёр ойролцоо утгын зөрүүний үнэмлэхүй утга нь шаардлагатай нарийвчлалаас их байвал зангилааны тооноос хоёр дахин их (n = 40) алхамуудыг давтах шаардлагатай.

Энэ арга нь маш их тооцоолол шаарддаг тул цаг хэмнэхийн тулд компьютерийн технологийг ашиглах нь ухаалаг хэрэг юм.

Дээрх алгоритмыг ашиглан асуудлыг шийдье. Цаг хэмнэхийн тулд трапецын аргыг ашиглан завсрын тооцоог орхих болно.

Жишээ 3

Тодорхой интеграл ∫ 0 2 x e x d x-ийг трапецын аргаар 0.001 нарийвчлалтайгаар тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

n-ийг 10 ба 20-той тэнцүү гэж үзье. Трапец хэлбэрийн томъёог ашиглан бид I 10 = 8.4595380, I 20 = 8.4066906-г авна.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, энэ нь цаашдын тооцоолол шаарддаг.

n-ийг 40-тэй тэнцүү гэж үзье: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, энэ нь мөн үргэлжлүүлэн тооцоолох шаардлагатай.

n-ийг 80-тай тэнцүү гэж үзье: I 80 = 8, 3901585.

I 80 - I 40 = 8, 3901585 - 8, 3934656 = 0, 0033071 > 0, 001, энэ нь зангилааны тоог дахин хоёр дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай.

n-ийг 160-тай тэнцүү гэж үзье: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8.3893317 - 8.3901585 = 0.0008268< 0 , 001

Анхны интегралын ойролцоо утгыг I 160 = 8, 3893317-г мянганы нэг болгон дугуйлснаар олж авч болно: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389.

Харьцуулахын тулд Ньютон-Лейбницийн томъёогоор анхны тодорхой интегралыг бодъё: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8, 3890561. Шаардлагатай нарийвчлалд хүрсэн.

Хариулт: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

Алдаа

Тодорхой интегралын утгыг тодорхойлох завсрын тооцоог ихэвчлэн ойролцоогоор хийдэг. Энэ нь n нэмэгдэх тусам тооцооллын алдаа хуримтлагдаж эхэлдэг гэсэн үг юм.

Трапецын арга ба тэгш өнцөгтийн дундаж аргын үнэмлэхүй алдааны тооцоог харьцуулж үзье.

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .

Ижил хэмжээний тооцооллын ажилтай өгөгдсөн n-ийн тэгш өнцөгтийн арга нь алдааны хагасыг өгдөг. Энэ нь анхан шатны сегментүүдийн дунд сегмент дэх функцын утгууд мэдэгдэж байгаа тохиолдолд аргыг илүү тохиромжтой болгодог.

Интегралдах функцуудыг аналитик байдлаар заагаагүй тохиолдолд зангилааны утгуудын багц хэлбэрээр бид трапец хэлбэрийн аргыг ашиглаж болно.

Хэрэв бид трапецын аргын нарийвчлал ба баруун ба зүүн тэгш өнцөгтийн аргын нарийвчлалыг харьцуулж үзвэл эхний арга нь үр дүнгийн нарийвчлалын хувьд хоёр дахь аргаас давуу юм.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу