\(\сум\) Рационал тэгшитгэл нь \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн тэгшитгэл бөгөөд \(P(x), \Q(x)\ ) - олон гишүүнт (янз бүрийн зэрэглэлийн "X"-ийн нийлбэр, янз бүрийн тоогоор үржүүлсэн).
Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа илэрхийллийг оновчтой илэрхийлэл гэнэ.
Рационал тэгшитгэлийн EA (хүлээн зөвшөөрөгдөх утгуудын муж) нь хуваагч тэг рүү очдоггүй \(x\) утгууд юм, өөрөөр хэлбэл \(Q(x)\ne 0\) .
\(\сум\) Жишээлбэл, тэгшитгэл \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]рационал тэгшитгэлүүд юм.
Эхний тэгшитгэлд ODZ бүгд \(x\) нь \(x\ne 3\) (бичих) байна. \(x\in (-\infty;3)\аяга(3;+\infty)\)); Хоёр дахь тэгшитгэлд - эдгээр нь бүгд \(x\) бөгөөд \(x\ne -1; x\ne 1\) (бичих) \(x\in (-\infty;-1)\аяга(-1;1)\аяга(1;+\infty)\)); мөн гурав дахь тэгшитгэлд ODZ-д хязгаарлалт байхгүй, өөрөөр хэлбэл ODZ нь бүгд \(x\) (тэд \(x\in\mathbb(R)\) гэж бичдэг). \(\сум\) теоремууд:
1) Хоёр хүчин зүйлийн үржвэр нь зөвхөн нэг нь тэгтэй тэнцүү, нөгөө нь утгыг алдахгүй тохиолдолд тэгтэй тэнцүү байх тул \(f(x)\cdot g(x)=0\ тэгшитгэл гарна. ) системтэй тэнцүү байна \[\begin(тохиолдол) \left[ \begin(цуглуулсан)\begin(зэрэгцүүлсэн) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \төгсгөл(цуглуулсан) \баруун.\\ \ текст(ODZ тэгшитгэл) \төгсгөл(тохиолдлууд)\] 2) Бутархай нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд зөвхөн хуваагч нь 0, хуваагч нь 0-тэй тэнцүү биш бол тэгшитгэл нь \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) тэгшитгэлийн системтэй тэнцүү байна \[\эхлэх(тохиолдол) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \төгсгөл(тохиолдол)\]\(\сум\) Хэд хэдэн жишээг харцгаая.
1) \(x+1=\dfrac 2x\) тэгшитгэлийг шийд. Энэ тэгшитгэлийн ODZ-ийг олъё - энэ нь \(x\ne 0\) (\(x\) хуваарьт байгаа тул).
Энэ нь ОДЗ-ийг дараах байдлаар бичиж болно гэсэн үг юм: .
Бүх нэр томъёог нэг хэсэгт шилжүүлж, нийтлэг хуваагч руу аваачъя: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightsarrow\quad \эхлэх( тохиолдол) x^2+x-2=0\\x\ne 0\төгсгөл(тохиолдол)\]Системийн эхний тэгшитгэлийн шийдэл нь \(x=-2, x=1\) болно. Бид хоёр үндэс нь тэг биш гэдгийг харж байна. Тиймээс хариулт нь: \(x\in \(-2;1\)\) .
2) Тэгшитгэлийг шийд \(\зүүн(\dfrac4x - 2\баруун)\cdot (x^2-x)=0\). Энэ тэгшитгэлийн ODZ-ийг олъё. Зүүн тал нь утгагүй \(x\) цорын ганц утга нь \(x=0\) болохыг бид харж байна. Тиймээс ODZ-ийг дараах байдлаар бичиж болно. \(x\in (-\infty;0)\аяга(0;+\infty)\).
Тиймээс энэ тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна:
\[\begin(cases) \left[ \begin(cathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(tolled) \right. \\ x\ne 0 \төгсгөл(тохиолдол) \дөрөв \зүүн баруун сум \дөрвөлсөн \эхлэх(тохиолдол) \зүүн[ \эхлэх(цуглуулсан)\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \төгсгөл(цуглуулсан) \баруун.\\ x\ne 0 \төгсгөл(тохиолдлууд) \дөрөв \зүүн баруун сум \дөрөв \эхлэх(тохиолдол) \left[ \эхлэх(цуглуулсан)\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \төгсгөл(цуглуулсан) \баруун.\\ x\ne 0 \төгсгөл(тохиолдлууд) \дөрөв \зүүн баруун сум \дөрөв \зүүн[ \эхлэх(цуглуулсан) \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &x=2\\ &x=1 \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \төгсгөл(цуглуулсан) \баруун\]Үнэн хэрэгтээ, \(x=0\) нь хоёр дахь хүчин зүйлийн язгуур нь хэдий ч, хэрэв та \(x=0\)-г анхны тэгшитгэлд орлуулбал энэ нь утгагүй болно, учир нь \(\dfrac 40\) илэрхийлэл тодорхойгүй байна.
Тиймээс энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь \(x\in \(1;2\)\) байна.
3) Тэгшитгэлийг шийд \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]Бидний тэгшитгэлд \(4x^2-1\ne 0\) , үүнээс \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , өөрөөр хэлбэл \(x\ne -\frac12; \frac12) \) .
Бүх нэр томъёог зүүн тал руу шилжүүлж, нийтлэг хуваагч руу аваачъя:
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \дөрөв \Зүүн баруун сум \дөрөв \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\дөрөв \Зүүн баруун сум \дөрөв \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \дөрөв \Зүүн баруун сум\)
\(\Зүүн баруун сум \дөрөв \эхлэх(тохиолдлууд) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \төгсгөл(тохиолдлууд) \дөрөв \зүүн баруун сум \дөрөв \эхлэх(тохиолдол) (2х-1 )(x+3)=0\\ (2х-1)(2х+1)\ne 0 \төгсгөл(тохиолдол) \дөрөв \зүүн баруун сум \дөрвөлсөн \эхлэх(тохиолдол) \left[ \эхлэх(цуглуулсан) \эхлэх( зэрэгцүүлсэн) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\төгсгөл(цуглуулсан) \баруун.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \төгсгөл(тохиолдлууд) \quad \ Зүүн баруун сум \quad x=-3\)
Хариулт: \(x\in \(-3\)\) .
Сэтгэгдэл. Хэрэв хариулт нь хязгаарлагдмал олон тооны тооноос бүрдэх бол өмнөх жишээнүүдийн дагуу тэдгээрийг цэг таслалаар тусгаарлаж буржгар хаалтанд бичиж болно.
Рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай асуудлууд жил бүр математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд тулгардаг тул төгсөгчид баталгаажуулалтын шалгалтанд орохоор бэлтгэхдээ энэ сэдвээр онолыг бие даан давтах нь гарцаагүй. Шалгалтын үндсэн болон тусгай түвшний аль алиныг нь өгсөн төгсөгчид ийм даалгаврыг даван туулах чадвартай байх ёстой. Оюутнууд "Рационал тэгшитгэл" сэдвээр онолыг эзэмшиж, практик дасгалуудыг хийснээр хэдэн ч үйлдэлтэй асуудлыг шийдэж, улсын нэгдсэн шалгалтанд өрсөлдөхүйц оноо авах боломжтой болно.
Школково боловсролын портал ашиглан шалгалтанд хэрхэн бэлтгэх вэ?
Заримдаа математикийн асуудлыг шийдэх үндсэн онолыг бүрэн харуулсан эх сурвалжийг олох нь нэлээд хэцүү байдаг. Сурах бичиг зүгээр л гарт байхгүй байж магадгүй юм. Шаардлагатай томъёог олох нь заримдаа Интернетээс ч нэлээд хэцүү байдаг.
Школково боловсролын портал нь танд шаардлагатай материалыг хайх хэрэгцээ шаардлагаас чөлөөлж, баталгаажуулалтын шалгалтыг амжилттай өгөхөд тань туслах болно.
Манай мэргэжилтнүүд "Рационал тэгшитгэл" сэдвээр шаардлагатай бүх онолыг хамгийн хүртээмжтэй хэлбэрээр бэлтгэж, танилцуулсан. Үзүүлсэн мэдээллийг судалсны дараа оюутнууд мэдлэгийн цоорхойг нөхөх боломжтой болно.
Улсын нэгдсэн шалгалтанд амжилттай бэлдэхийн тулд төгсөгчид "Рационал тэгшитгэл" сэдвээр онолын үндсэн материалын ой санамжийг сэргээхээс гадна тодорхой жишээнүүдийг ашиглан даалгавруудыг гүйцэтгэх дадлага хийх хэрэгтэй. "Каталог" хэсэгт даалгаврын том сонголтыг үзүүлэв.
Сайт дээрх дасгал бүрийн хувьд манай мэргэжилтнүүд шийдлийн алгоритмыг бичиж, зөв хариултыг зааж өгсөн. Оюутнууд өөрсдийн ур чадварын түвшингээс хамааран янз бүрийн түвшний асуудлыг шийдвэрлэх дадлага хийх боломжтой. Холбогдох хэсгийн даалгаврын жагсаалтыг байнга нэмж, шинэчилж байдаг.
Та онолын материалыг судалж, онлайнаар Улсын нэгдсэн шалгалтын тестэд багтсантай адил "Рационал тэгшитгэл" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх чадвараа сайжруулах боломжтой. Шаардлагатай бол танилцуулсан ажлуудын аль нэгийг "Дуртай" хэсэгт нэмж болно. Ахлах сургуулийн сурагч "Рационал тэгшитгэл" сэдвээр үндсэн онолыг дахин нэг удаа давтаж, алгебрийн хичээлээр багштай түүний шийдлийн явцыг хэлэлцэхийн тулд ирээдүйд асуудал руу буцаж очих боломжтой болно.
Энэ тэгшитгэлийг хялбарчлахын тулд хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг ашигладаг.Энэ аргыг тэгшитгэлийн тал бүр дээр нэг оновчтой илэрхийлэл бүхий өгөгдсөн тэгшитгэлийг бичих боломжгүй үед (мөн үржүүлэх хөндлөн аргыг ашиглах) ашигладаг. Энэ аргыг 3 ба түүнээс дээш тооны бутархайтай оновчтой тэгшитгэл өгөхөд ашигладаг (хоёр бутархайн хувьд хөндлөн үржүүлэхийг ашиглах нь дээр).
Бутархайн хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг (эсвэл хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг) ол. NOZ бол хуваагч бүрт жигд хуваагддаг хамгийн бага тоо юм.
- Заримдаа NPD нь тодорхой тоо байдаг. Жишээлбэл: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6 тэгшитгэл өгөгдсөн бол 3, 2, 6 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 6 байх нь ойлгомжтой.
- Хэрэв ХБӨ тодорхойгүй бол хамгийн том хуваагчийн үржвэрийг бичиж, тэдгээрийн дотроос бусад хуваагчтай үржвэр байх нэгийг ол. Ихэнхдээ NOD-ийг хоёр хуваагчийг үржүүлэх замаар олж болно. Жишээлбэл, хэрэв тэгшитгэлийг x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 гэж өгвөл NOS = 8*9 = 72 болно.
- Хэрэв нэг буюу хэд хэдэн хуваагч хувьсагчийг агуулж байвал процесс нь арай илүү төвөгтэй болно (гэхдээ боломжгүй биш). Энэ тохиолдолд NOC нь хуваагч бүрт хуваагдсан илэрхийлэл (хувьсагч агуулсан) юм. Жишээлбэл, 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) тэгшитгэлд энэ илэрхийлэл нь хуваагч бүрт хуваагддаг тул: 3x(x-1)/(x) -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Бутархай тус бүрийн хүртэгч ба хуваагчийг хоёуланг нь NOC-ийг бутархай бүрийн харгалзах хуваагчд хуваах үр дүнтэй тэнцүү тоогоор үржүүлнэ. Та тоологч болон хуваагчийг хоёуланг нь ижил тоогоор үржүүлж байгаа тул та бутархайг 1-ээр үр дүнтэй үржүүлж байна (жишээлбэл, 2/2 = 1 эсвэл 3/3 = 1).
- Тиймээс бидний жишээн дээр x/3-ыг 2/2-оор үржүүлж 2x/6, 1/2-ыг 3/3-аар үржүүлж 3/6 гарна (3x +1/6 бутархайг үржүүлэх шаардлагагүй. хуваагч нь 6).
- Хувьсагч нь хуваарьт байгаа үед ижил төстэй үйлдлийг гүйцэтгэнэ. Бидний хоёр дахь жишээнд NOZ = 3x(x-1) тул 5/(x-1)-ийг (3x)/(3x)-аар үржүүлбэл 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x-ийг 3(x-1)/3(x-1)-ээр үржүүлбэл 3(x-1)/3x(x-1) болно; 2/(3x)-ийг (x-1)/(x-1)-ээр үржүүлбэл 2(x-1)/3x(x-1) болно.
x ол.Одоо та бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулснаар хуваагчаас салж болно. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн тал бүрийг нийтлэг хуваагчаар үржүүлнэ. Дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг шийд, өөрөөр хэлбэл "x" -ийг ол. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн нэг талд хувьсагчийг тусгаарла.
- Бидний жишээнд: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Та ижил хуваагчтай 2 бутархай нэмж болох тул тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ үү: (2х+3)/6=(3х+1)/6. Тэгшитгэлийн хоёр талыг 6-аар үржүүлж, хуваагчаас сал: 2x+3 = 3x +1. Үүнийг шийдэж, x = 2-г авна уу.
- Бидний хоёр дахь жишээнд (хувьсагчтай хуваарьтай) тэгшитгэл нь (нийтлэг хуваагч руу бууруулсны дараа): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) байна. -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Тэгшитгэлийн хоёр талыг N3-аар үржүүлснээр та хуваагчаас салж, дараахийг авна: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), эсвэл 15x = 3x - 3 + 2x -2, эсвэл 15x = x - 5 Шийдэж гарга: x = -5/14.
Бүхэл тоон илэрхийлэл гэдэг нь нэмэх, хасах, үржүүлэх үйлдлүүдийг ашиглан тоо болон үгийн хувьсагчдаас бүрдэх математик илэрхийлэл юм. Бүхэл тоонд тэгээс өөр тоонд хуваагдах илэрхийлэл багтана.
Бутархай рационал илэрхийллийн тухай ойлголт
Бутархай илэрхийлэл гэдэг нь тоо болон үсгийн хувьсагчаар гүйцэтгэсэн нэмэх, хасах, үржүүлэх, тэгтэй тэнцүү биш тоонд хуваах үйлдлээс гадна үсэг хувьсагчтай илэрхийлэлд хуваахыг агуулсан математик илэрхийлэл юм.
Рационал илэрхийлэл нь бүхэл бүтэн ба бутархай илэрхийлэл юм. Рационал тэгшитгэл нь баруун ба зүүн тал нь оновчтой илэрхийлэл байдаг тэгшитгэл юм. Хэрэв рационал тэгшитгэлийн зүүн ба баруун тал нь бүхэл тоон илэрхийлэл бол ийм оновчтой тэгшитгэлийг бүхэл тоо гэнэ.
Хэрэв оновчтой тэгшитгэлийн зүүн эсвэл баруун тал нь бутархай илэрхийлэл бол ийм оновчтой тэгшитгэлийг бутархай гэж нэрлэдэг.
Бутархай рационал илэрхийллийн жишээ
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэх схем
1. Тэгшитгэлд орсон бүх бутархайн нийтлэг хуваагчийг ол.
2. Тэгшитгэлийн хоёр талыг нийтлэг хуваагчаар үржүүл.
3. Үүссэн бүхэл тэгшитгэлийг шийд.
4. Үндэсийг шалгаж, нийтлэг хуваагчийг алга болгож байгаа үндсийг хас.
Бид бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэж байгаа тул бутархайн хуваагчдад хувьсагч байх болно. Энэ нь тэд нийтлэг байх болно гэсэн үг юм. Алгоритмын хоёр дахь цэг дээр бид нийтлэг хуваагчаар үржүүлбэл гаднах үндэс гарч ирж магадгүй юм. Энэ үед нийтлэг хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байх бөгөөд энэ нь түүнийг үржүүлэх нь утгагүй болно гэсэн үг юм. Тиймээс, эцэст нь олж авсан үндсийг шалгах шаардлагатай.
Нэг жишээг харцгаая:
Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийд: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Бид ерөнхий схемийг баримтална: эхлээд бүх бутархайн нийтлэг хуваагчийг ол. Бид x*(x-5) авна.
Бутархай бүрийг нийтлэг хуваагчаар үржүүлж, үүссэн бүхэл тэгшитгэлийг бичнэ.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/х * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Үүссэн тэгшитгэлийг хялбаршуулж үзье. Бид авах:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Бид энгийн багасгасан квадрат тэгшитгэлийг авдаг. Бид үүнийг мэддэг аргуудын аль нэгээр нь шийдэж, x=-2 ба x=5 үндсийг авна.
Одоо бид олж авсан шийдлүүдийг шалгана уу:
Нийтлэг хуваарьт -2 ба 5 тоог орлуулна. x=-2 үед x*(x-5) нийтлэг хуваагч арилдаггүй, -2*(-2-5)=14. Энэ нь -2 тоо нь анхны бутархай рационал тэгшитгэлийн үндэс болно гэсэн үг юм.
x=5 үед x*(x-5) нийтлэг хуваагч тэг болно. Тиймээс энэ тоо нь анхны бутархай рационал тэгшитгэлийн үндэс биш, учир нь тэгээр хуваагдах болно.
Энгийнээр хэлэхэд эдгээр нь хуваарьт дор хаяж нэг хувьсагчтай тэгшитгэл юм.
Жишээлбэл:
\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)
Жишээ Үгүйбутархай рационал тэгшитгэлүүд:
\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)
Бутархай рационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийддэг вэ?
Бутархай рационал тэгшитгэлийн талаар санаж байх ёстой гол зүйл бол та тэдгээрт бичих хэрэгтэй. Мөн үндсийг нь олсны дараа тэдгээрийг хүлээн зөвшөөрөх эсэхийг шалгахаа мартуузай. Үгүй бол гадны үндэс гарч ирэх бөгөөд шийдвэрийг бүхэлд нь буруу гэж үзнэ.
Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм:
ODZ-г бичиж, "шийдвэрлэх".
Тэгшитгэлийн гишүүн бүрийг нийтлэг хуваагчаар үржүүлж, үүссэн бутархайг хүчингүй болго. Хуваарилагч нь алга болно.
Хаалт нээхгүйгээр тэгшитгэлийг бич.
Үүссэн тэгшитгэлийг шийд.
Олдсон үндсийг ODZ ашиглан шалгана уу.
7-р алхамд шалгалтанд тэнцсэн үндсийг хариултдаа бич.
Алгоритм, 3-5 шийдэгдсэн тэгшитгэлийг цээжлэх хэрэггүй, энэ нь өөрөө санах болно.
Жишээ . Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийд \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)
Шийдэл:
Хариулт: \(3\).
Жишээ . \(=0\) бутархай рационал тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
Шийдэл:
|
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) |
Бид ОДЗ-ыг бичиж, "шийддэг". Бид \(x^2+7x+10\)-г томъёоны дагуу өргөтгөж: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). |
|
|
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\) |
Мэдээжийн хэрэг, бутархайн нийтлэг хуваагч нь \((x+2)(x+5)\). Бид бүхэл тэгшитгэлийг үүгээр үржүүлнэ. |
|
|
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) |
Бутархай хэсгүүдийг багасгах |
|
|
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\) |
Хаалтуудыг нээх |
|
|
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\) |
|
Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна |
|
\(2х^2+9х-5=0\) |
|
Тэгшитгэлийн язгуурыг олох |
|
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\) |
|
Үндэсүүдийн нэг нь ODZ-д тохирохгүй тул бид хариултанд зөвхөн хоёр дахь язгуурыг бичнэ. |
Хариулт: \(\ frac(1)(2)\).
Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Лавлах гарын авлага
Рационал тэгшитгэл нь баруун ба зүүн тал хоёулаа оновчтой илэрхийлэл болох тэгшитгэл юм.
(Рационал илэрхийлэл нь нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүдийг багтаасан радикалгүй бүхэл ба бутархай илэрхийллүүд гэдгийг санаарай - жишээлбэл: 6x; (m – n)2; x/3y гэх мэт).
Бутархай рационал тэгшитгэлийг ихэвчлэн дараах хэлбэрт оруулдаг.
Хаана П(x) Мөн Q(x) олон гишүүнт байна.
Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг Q(x)-ээр үржүүлснээр гаднах үндэс гарч ирнэ. Тиймээс бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ олсон үндсийг шалгах шаардлагатай.
Рационал тэгшитгэл нь хувьсагч агуулсан илэрхийлэлд хуваагдаагүй бол бүхэл буюу алгебрийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг.
Бүхэл бүтэн рационал тэгшитгэлийн жишээ:
5x – 10 = 3(10 – x)
3x
- = 2х - 10
4
Хэрэв рационал тэгшитгэлд хувьсагч (х) агуулсан илэрхийлэлд хуваагдсан бол тэгшитгэлийг бутархай рационал гэж нэрлэдэг.
Бутархай рационал тэгшитгэлийн жишээ:
15
x + - = 5x – 17
x
Бутархай рационал тэгшитгэлийг ихэвчлэн дараах байдлаар шийддэг.
1) бутархайн нийтлэг хуваагчийг олж, тэгшитгэлийн хоёр талыг түүгээр үржүүлэх;
2) үүссэн бүхэл тэгшитгэлийг шийдэх;
3) бутархайн нийтлэг хуваагчийг тэг болгон бууруулж буйг үндэснээс нь хасна.
Бүхэл ба бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ.
Жишээ 1. Тэгшитгэлийг бүхэлд нь шийдье
x - 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Шийдэл:
Хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг олох. Энэ нь 6. 6-г хуваагчаар хувааж, гарсан үр дүнг бутархай бүрийн хүртэгчээр үржүүлнэ. Бид үүнтэй тэнцэх тэгшитгэлийг олж авна:
3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6
Зүүн ба баруун тал нь ижил хуваагчтай тул үүнийг орхигдуулж болно. Дараа нь бид илүү энгийн тэгшитгэлийг олж авна.
3(x – 1) + 4x = 5x.
Бид үүнийг хаалт нээж, ижил төстэй нэр томъёог нэгтгэх замаар шийддэг.
3x – 3 + 4x = 5x
3x + 4x - 5x = 3
Жишээ нь шийдэгдсэн.
Жишээ 2. Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийд
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)
Нийтлэг хуваагчийг олох. Энэ нь x(x – 5) юм. Тэгэхээр:
x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
Одоо бид хуваагчаас дахин салж байна, учир нь энэ нь бүх илэрхийлэлд ижил байдаг. Бид ижил төстэй нэр томъёог багасгаж, тэгшитгэлийг тэгтэй тэнцүүлж, квадрат тэгшитгэлийг олж авна.
x 2 – 3x + x – 5 = x + 5
x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
x 2 – 3x – 10 = 0.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид түүний үндсийг олно: -2 ба 5.
Эдгээр тоонууд нь анхны тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалгацгаая.
x = –2 үед x(x – 5) нийтлэг хуваагч арилдаггүй. Энэ нь –2 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг.
x = 5 үед нийтлэг хуваагч тэг болж, гурван илэрхийллийн хоёр нь утгагүй болно. Энэ нь 5 тоо нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш гэсэн үг юм.
Хариулт: x = –2
Илүү олон жишээ
Жишээ 1.
x 1 =6, x 2 = - 2.2.
Хариулт: -2,2;6.
Жишээ 2.
