Параметр бүхий тэгшитгэл: график шийдлийн арга

8-9 анги

Уг нийтлэлд параметр бүхий зарим тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график аргыг авч үзэх бөгөөд энэ нь параметрээс хамаарч тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг тогтоох шаардлагатай үед маш үр дүнтэй байдаг. а.

Бодлого 1. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? | | x | – 2 | = а параметрээс хамаарна а?

Шийдэл. Координатын системд (х; у) y = | функцүүдийн графикийг байгуулна | x | – 2 | ба у = а. y = | функцийн график | x | – 2 | зурагт үзүүлэв.

y = a функцийн график нь Ox тэнхлэгтэй параллель буюу үүнтэй давхцаж буй шулуун шугам юм (хэрэв а = 0).

Зургаас дараахь зүйлийг харж болно.

Хэрэв а= 0, дараа нь шулуун шугам y = а Ox тэнхлэгтэй давхцаж, y = | функцийн графиктай байна | x | – 2 | хоёрнийтлэг цэгүүд ; Энэ нь анхны тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юмэнэ тохиолдолд
үндсийг олж болно: x 1.2 = d 2).< а < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, Хэрэв 0анхны тэгшитгэл
дөрвөн үндэстэй. аХэрэв
дөрвөн үндэстэй. а= 2 бол y = 2 шулуун нь функцийн графиктай гурван нийтлэг цэгтэй байна. Тэгвэл анхны тэгшитгэл нь гурван үндэстэй байна. а> 2, дараа нь шулуун шугам y =

нь анхны функцийн графиктай хоёр цэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. а < 0, то корней нет;
Хэрэв а = 0, аХэрэв
Хэрэв а> 2, дараа нь хоёр үндэс байна;
= 2, дараа нь гурван үндэс;< а < 2, то четыре корня.

хэрэв 0 Бодлого 2. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? а параметрээс хамаарна а?

| x 2 – 2| x | – 3 | = а.

Шийдэл. Координатын системд (x; y) y = | функцуудын графикийг байгуулна x 2 – 2| x | – 3 | ба у = а = 0).

y = | функцийн график x 2 – 2| x | – 3 | зурагт үзүүлэв. y = a функцийн график нь Ox-тэй параллель буюу түүнтэй давхцаж буй шулуун шугам юм (үед

Хэрэв а= 0, дараа нь шулуун шугам y = аЗургаас дараахь зүйлийг харж болно. а Ox тэнхлэгтэй давхцаж, y = | функцийн графиктай байна x2 – 2| x | – 3 | хоёр нийтлэг цэг, түүнчлэн шулуун шугам y = а y = | функцийн графиктай байх болно x 2 – 2| x | – 3 | гэсэн хоёр нийтлэг цэг а> 4. Тэгэхээр, хэзээ а= 0 ба
үндсийг олж болно: x 1.2 = d 2).< а < 3, то прямая y = а> 4 анхны тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. а y = | функцийн графиктай байна x 2 – 2| x | – 3 | адөрвөн нийтлэг цэг, түүнчлэн шулуун шугам y =< а < 3, аүед баригдсан функцийн графиктай дөрвөн нийтлэг цэгтэй байна
дөрвөн үндэстэй. а= 4. Тэгэхээр 0-д а= 4 анхны тэгшитгэл нь дөрвөн үндэстэй.
= 3, дараа нь шулуун шугам y =< а < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
дөрвөн үндэстэй. а < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

нь анхны функцийн графиктай хоёр цэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. а < 0, то корней нет;
Хэрэв а = 0, афункцийн графикийг таван цэгээр огтолдог; тиймээс тэгшитгэл таван үндэстэй.
= 2, дараа нь гурван үндэс;< а < 3, аХэрэв 3
Хэрэв а> 4, дараа нь хоёр үндэс;
= 4, дараа нь дөрвөн үндэс;< а < 4, то шесть корней.

= 3, дараа нь таван үндэс;

хэрэв 3 а?

Шийдэл. Координатын систем (x; y) дахь функцийн графикийг байгуулъя. Гэхдээ эхлээд үүнийг дараах хэлбэрээр танилцуулъя.

x = 1, y = 1 шугамууд нь функцийн графикийн асимптотууд юм. y = | функцийн график x | + ау = | функцийн графикаас гарган авна x | Ой тэнхлэгийн дагуу нэгжээр нүүлгэн шилжүүлэх.

Функцийн графикууд нэг цэг дээр огтлолцоно а> – 1; Энэ нь эдгээр параметрийн утгуудын тэгшитгэл (1) нь нэг шийдэлтэй гэсэн үг юм.

At а = – 1, а= – 2 график хоёр цэг дээр огтлолцсон; Энэ нь эдгээр параметрийн утгуудын хувьд тэгшитгэл (1) нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм.
-2 цагт< а < – 1, а < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

нь анхны функцийн графиктай хоёр цэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. а> – 1, дараа нь нэг шийдэл;
Хэрэв а = – 1, а= – 2, тэгвэл хоёр шийдэл байна;
хэрэв - 2< а < – 1, а < – 1, то три решения.

Сэтгэгдэл. 3-р асуудлын (1) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ хэзээ тохиолдвол онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй а= – 2, учир нь (– 1; – 1) цэг нь функцийн графикт хамаарахгүй харин y = | функцийн графикт хамаарна x | + а.

Өөр нэг асуудлыг шийдэх рүү явцгаая.

Бодлого 4. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?

x + 2 = а| x – 1 |

хэрэв 3 а?

(2) Шийдэл. x = 1 нь үндэс биш гэдгийг анхаарна ууөгөгдсөн тэгшитгэл а, тэгш байдал 3 = тул а· 0 нь ямар ч параметрийн утгад үнэн байж болохгүй . Тэгшитгэлийн хоёр талыг | гэж хуваая x – 1 |(| x – 1 | No. 0), тэгшитгэл (2) хэлбэрийг авна.

XOy координатын системд бид функцийг зурах болно аЭнэ функцийн графикийг зурагт үзүүлэв. y = функцийн график а = 0).

нь анхны функцийн графиктай хоёр цэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. аЭнэ нь Ox тэнхлэгтэй параллель буюу үүнтэй давхцаж буй шулуун шугам юм (хэрэв
Ј – 1, тэгвэл үндэс байхгүй;< ахэрэв - 1
Хэрэв аЈ 1, дараа нь нэг үндэс;

> 1, тэгвэл хоёр үндэс байна.

Хамгийн төвөгтэй тэгшитгэлийг авч үзье. аАсуудал 5. Параметрийн ямар утгуудад

атэгшитгэл

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

гурван шийдэл байна уу? аШийдэл. 1. Энэ тэгшитгэлийн параметрийн хяналтын утга нь тоо байх болно а= 0, энэ үед (3) тэгшитгэл 0 + | хэлбэрийг авна x – 1 | = 0, эндээс x = 1. Иймд хэзээ

= 0, тэгшитгэл (3) нь нэг язгууртай бөгөөд энэ нь асуудлын нөхцөлийг хангахгүй байна. а № 0.

2. Хэзээ гэсэн тохиолдлыг авч үзье а(3) тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр дахин бичье. а < 0.

x 2 = – | x – 1 |. Тэгшитгэл зөвхөн үед л шийдтэй байх болно гэдгийг анхаарна уу а xOy координатын системд y = | функцуудын графикийг байгуулна x – 1 | ба у = а x 2. y = | функцийн график x – 1 | зурагт үзүүлэв. y = функцийн график а < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

x 2 нь салбарууд нь доош чиглэсэн парабол, учир нь а(3) тэгшитгэл нь y = – x + 1 шулуун нь y= функцийн графиктай шүргэгч байх үед л гурван шийдэлтэй байх болно.

x 2. а y = параболатай y = – x + 1 шулуун шугамын шүргэлтийн цэгийн абсциссыг x 0 гэж үзье.

x 2. Шүргэх тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

Шүргэх нөхцлүүдийг бичье:

Өөр аргыг авч үзье. Хэрэв y = kx + b шулуун нь y = параболатай нэг нийтлэг цэгтэй байна гэсэн баримтыг ашиглая. а x 2 + px + q, дараа нь тэгшитгэл а x 2 + px + q = kx + b нь өвөрмөц шийдэлтэй байх ёстой, өөрөөр хэлбэл түүний ялгах утга нь тэг байна. Манай тохиолдолд бид тэгшитгэлтэй байна а x 2 = – x + 1 ( аҮгүй 0). Дискриминант тэгшитгэл

Бие даан шийдвэрлэх асуудал

6. Параметрээс хамаарч тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ а?

1)| | x | – 3 | = а;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = а;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = а;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = а.

1) хэрэв а<0, то корней нет; если а=0, а>3, дараа нь хоёр үндэс; Хэрэв а=3, дараа нь гурван үндэс; хэрэв 0<а<3, то четыре корня;
2) хэрэв а<1, то корней нет; если а=1, тэгвэл [– 2” интервалаас хязгааргүй олон шийд байна; а– 1]; Хэрэв
> 1, дараа нь хоёр шийдэл байна; а<0, то корней нет; если а=0, а<3, то четыре корня; если 0<а<1, то восемь корней; если а 3) хэрэв а=1, дараа нь зургаан үндэс; Хэрэв а=3, тэгвэл гурван шийдэл байна; Хэрэв
>3, дараа нь хоёр шийдэл байна; а<0, то корней нет; если а=0, 4<а<5, то четыре корня; если 0<а< 4, то восемь корней; если а 4) хэрэв а=4, дараа нь зургаан үндэс; Хэрэв а=5, дараа нь гурван үндэс; Хэрэв

>5, тэгвэл хоёр үндэс байна. а 7. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ | x + 1 | = а?

(x – 1) параметрээс хамаарна .

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно аХариулт: хэрэв а > 1, а J -1,<а<0, то два корня; если 0<а=0, дараа нь нэг үндэс; хэрэв - 1

Ј 1, тэгвэл үндэс байхгүй. а 8. x + 1 = тэгшитгэл хэдэн үндэстэй байна а?

| x – 1 |параметрээс хамаарч

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно аГрафик зур (зураг харна уу).<аЈ –1, тэгвэл үндэс байхгүй; хэрэв - 1 аЈ 1, дараа нь нэг үндэс; Хэрэв

>1, тэгвэл хоёр үндэс байна.

9. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?

хэрэв 3 а?

2| x | – 1 = a(x – 1)

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно аАнхаарна уу. Тэгшитгэлийг үүсгэхийн тулд багасгана а>2, а J -2,<а<1, то два корня; если 1<а=1, дараа нь нэг үндэс; хэрэв -2

Ј 2, тэгвэл үндэс байхгүй.

хэрэв 3 а?

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно аЈ 0, а 10. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?<а<2, то два корня.

i 2, дараа нь нэг үндэс; хэрэв 0 аАсуудал 5. Параметрийн ямар утгуудад

11. Параметрийн ямар утгуудад а x 2 +

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

| x – 2 | = 0 аАнхаарна уу. Тэгшитгэлийг x 2 = – хэлбэртэй болгож бууруул.

| x – 2 |. аХариулт: хэзээ

Ж – 8. аАсуудал 5. Параметрийн ямар утгуудад

а 12. Параметрийн ямар утгуудад

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

x 2 + | x + 1 | = 0 аАнхаарна уу. Бодлого 5. Энэ тэгшитгэл нь зөвхөн тэгшитгэл байвал гурван шийдэлтэй байна а x 2 + x + 1 = 0 нь нэг шийдэлтэй ба тохиолдол

= 0 нь асуудлын нөхцөлийг хангахгүй, өөрөөр хэлбэл, хэзээ тохиолдол хэвээр байна

13. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? а

хэрэв 3 а?

x | x – 2 | = 1 – Анхаарна уу. Тэгшитгэлийг –x |x – 2| хэлбэртэй болгож бууруул + 1 =

хэрэв 3 а?

а

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно а<0, аАнхаарна уу. Энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талын графикуудыг байгуул. а>2, тэгвэл хоёр үндэс байна; хэрэв 0Ј

Ј 2, дараа нь нэг үндэс.

хэрэв 3 а?

16. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? Анхаарна уу. Энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талын графикуудыг байгуул. Функцийн графикийг зурах

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно а x + 2 ба x илэрхийллийн тогтмол тэмдгийн интервалыг олъё. а>– 1, дараа нь нэг шийдэл; Хэрэв<а<–1, то четыре решения; если а= – 1, тэгвэл хоёр шийдэл байна; хэрэв - 3

Ј –3, тэгвэл гурван шийдэл байна.

Эхлээд туслах асуудлыг шийдье. Энэ тэгш бус байдлыг x x, a хоёр хувьсагчтай тэгш бус байдал гэж үзээд координат нь тэгш бус байдлыг хангадаг бүх цэгийг x O a xOa координатын хавтгай дээр зуръя.

Хэрэв 2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (жишээ нь шулуун шугам дээр a = - 2 x a=-2x ба түүнээс дээш) байвал бид 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+ a болно. \leq x+2 \Зүүн баруун сум a \leq 2-x .

Багцыг Зураг дээр үзүүлэв. 11.

Одоо энэ зургийг ашиглан анхны асуудлыг шийдье. Хэрэв бид a a -г засвал хэвтээ шугам гарч ирнэ a = const a = \textrm(const) . X x-ийн утгыг тодорхойлохын тулд тэгш бус байдлын шийдлийн багцтай энэ шугамын огтлолцох цэгүүдийн абсциссыг олох хэрэгтэй. Жишээлбэл, хэрэв a = 8 a=8 бол тэгш бус байдал нь шийдэлгүй (шулуун шугам нь олонлогийг огтолдоггүй); хэрэв a = 1 a=1 , дараа нь шийдлүүд бүгд [ - 1 интервалаас x x байна; 1 ] [-1;1] гэх мэт. Тэгэхээр гурван сонголт байж болно.

1) Хэрэв $$a>4$$ бол шийдэл байхгүй.

2) Хэрэв a = 4 a=4 бол x = - 2 x=-2 болно.

ХАРИУЛТ

$$a-д

хувьд a = 4 a=4 - x = - 2 x=-2 ;

$$a>4$$-д - шийдэл байхгүй.

$$3-|x-a| тэгш бус байдал үүсэх a a параметрийн бүх утгыг ол > x^2$$ a) дор хаяж нэг шийдэлтэй; б) дор хаяж нэг эерэг шийдэлтэй.

Тэгш бус байдлыг $$3-x^2 > |x-a)$$ хэлбэрээр дахин бичье. Зүүн ба баруун хэсгүүдийн графикийг x O y xOy хавтгай дээр байгуулъя. Зүүн талын график нь орой нь (0; 3) (0;3) цэг дээр доошоо чиглэсэн салбаруудтай парабол юм. График нь x тэнхлэгийг (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) цэгээр огтолж байна. Баруун талын график нь х тэнхлэг дээрх оройтой өнцөг бөгөөд талууд нь координатын тэнхлэгүүд рүү 45 ° 45^(\circ) өнцгөөр дээш чиглэсэн байна. Оройн абсцисса нь x = a x=a цэг юм.

a) Тэгш бус байдал дор хаяж нэг шийдэлтэй байхын тулд дор хаяж нэг цэгт парабол y = | графикаас дээш байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. x - a | y=|x-a| . Хэрэв булангийн орой нь абсцисса тэнхлэгийн A A ба B B цэгүүдийн хооронд орвол үүнийг хийнэ (12-р зургийг үз - A A ба B B цэгүүдийг оруулаагүй болно). Тиймээс өнцгийн мөчрүүдийн аль нэг нь параболд хүрэх оройн аль байрлалд байгааг тодорхойлох шаардлагатай.

Булангийн орой нь А цэг дээр байх тохиолдлыг авч үзье. Дараа нь өнцгийн баруун салбар параболд хүрнэ. Түүний налуу нь нэгтэй тэнцүү байна. Энэ нь шүргэгч цэг дээрх y = 3 - x 2 y = 3-x^2 функцын дериватив нь 1 1-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл - 2 x = 1 -2x=1, үүнээс x = - 1 2 x гэсэн үг юм. = -\frac( 1)(2) . Тэгвэл шүргэгч цэгийн ординат нь y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) . (- 1 2 ; 11 4) (-\frac(1)(2); \frac(11)(4) өнцгийн коэффициент k = 1 k=1, координаттай цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл. ) нь дараах * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

Энэ бол булангийн баруун салааны тэгшитгэл юм. Х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсцисса нь - 13 4 -\frac(13)(4)-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл А А цэг нь A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4) координаттай байна. 0); Тэгш хэмийн шалтгааны улмаас В цэг нь координаттай байна: B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .

Эндээс бид a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)) гэдгийг олж авна.

b) Хэрэв булангийн орой нь F F ба B B цэгүүдийн хооронд байрладаг бол тэгш бус байдал эерэг шийдлүүдтэй байна (13-р зургийг үз). F F цэгийн байрлалыг олоход хэцүү биш: хэрэв булангийн орой нь F F цэг дээр байвал түүний баруун салаа (y = x - a y = x-a тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугам (0; 3) цэгээр дамжин өнгөрдөг. ) (0;3) эндээс a = - 3 a=-3 ба F F цэг нь координаттай (- 3 ; 0) (-3;0) тул a ∈ (- 3 ; 13 4) байна \in (-3; \frac(13)(4) ) .

ХАРИУЛТ

a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) ,       a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (- 3) ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4)) ;

* {\^* Полезные формулы: !}

- \-- (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) цэгийг дайран өнгөрч, k k өнцгийн коэффициенттэй шулуун шугамыг y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0= тэгшитгэлээр тодорхойлно. k(x-x_0);

- \-- (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) ба (x 1 ; y 1) (x_1;y_1) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын өнцгийн коэффициент, энд x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1, k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0) томъёогоор тооцоолно.

Сэтгэгдэл.Хэрэв та y = k x + l y=kx+l шулуун ба парабол y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c хүрэх параметрийн утгыг олох шаардлагатай бол та дараахыг бичиж болно. k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c тэгшитгэл нь яг нэг шийдэлтэй байх нөхцөл бол өнцгийн орой болох a a параметрийн утгыг олох өөр арга юм A цэг дээр байна A нь дараах байдалтай байна: тэгшитгэл x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 яг нэг шийдэлтэй ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Зүүн баруун сум D = 1 + 4(a+3) = 0 \Зүүн баруун сум a = -\ dfrac(13)(4) .

Ийм байдлаар дурын графикт шугам хүрэх нөхцөлийг бичих боломжгүй гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, y = 3 x - 2 y = 3x - 2 шулуун нь куб парабол y = x 3 y=x^3 (1 ; 1) (1;1) цэгт хүрч, (-) цэг дээр огтлолцоно. 2 ; - 8) (-2;-8), өөрөөр хэлбэл x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 тэгшитгэл нь хоёр шийдэлтэй байна.

a a параметрийн бүх утгыг ол, тэдгээрийн хувьд тэгшитгэл (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2| )(x^2 +4x+1-a) = 0 нь a) яг хоёр ялгаатай үндэстэй; б) яг гурван өөр үндэс.

25-р жишээнтэй ижил зүйлийг хийцгээе. Энэ тэгшитгэлийн шийдүүдийн багцыг x O a xOa хавтгай дээр дүрсэлцгээе. Энэ нь хоёр тэгшитгэлийн хослолтой тэнцүү байна:

1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| -1 нь мөчир нь дээш, орой нь (- 2 ; - 1) (-2;-1) цэг дээр байгаа өнцөг юм.

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - энэ нь дээшээ салбарласан, орой нь (- 2 ; - 3) (-2;-3) цэгт байрладаг парабол юм. Зураг үзнэ үү. 14.

Бид хоёр графикийн огтлолцох цэгүүдийг олдог. Өнцгийн баруун салаа нь y = x + 1 y=x+1 тэгшитгэлээр өгөгдөнө. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

бид x = 0 x=0 эсвэл x = - 3 x=-3 болохыг олж мэднэ. Зөвхөн x = 0 x=0 утга тохиромжтой (баруун салааны хувьд x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0 учраас). Дараа нь a = 1 a=1 . Үүний нэгэн адил бид хоёр дахь уулзварын цэгийн координатуудыг олдог - (- 4 ; 1) (-4; 1) .

Анхны асуудал руугаа буцъя. Тэгшитгэл нь хэвтээ шугам нь a = const a=\textrm(const) тэгшитгэлийн шийдүүдийн багцыг хоёр цэгээр огтолж байгаа a a-ийн хувьд яг хоёр шийдтэй байна. Графикаас харахад энэ нь ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup\(1\) -ийн хувьд үнэн болохыг харж байна. Гурван огтлолцох цэгийн хувьд яг гурван шийдэл байх бөгөөд энэ нь зөвхөн a = - 1 a=-1 үед л боломжтой.

ХАРИУЛТ

a) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) ;      

a\in (-3;-1)\bigcup\(1\);\:\:\: b) a = - 1 a=-1 .

$$\эхлэх(тохиолдол) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(тохиолдол) $$

яг нэг шийдэлтэй.

Эхний тэгш бус байдлыг a = - x 2 + x a = -x^2+x ба түүний доор байрлах цэгүүд, хоёр дахь нь a = x 2 + 6 x 6 a = парабол дээр байрлах цэгүүдээр хангагдана. \dfrac(x^2 +6x)(6) ба түүнээс дээш. Бид параболын орой ба тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийн координатыг олж, дараа нь графикийг байгуулна. Эхний параболын дээд хэсэг нь (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)), хоёр дахь параболын орой нь (- 1 ; - 1 6) ( -1; -\dfrac( 1)(6)), огтлолцох цэгүүд нь (0 ; 0) (0;0) ба (4 7 ; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12) )(49)). Системийг хангасан цэгүүдийн багцыг Зураг дээр үзүүлэв. 15. a = 0 a=0 ба a = тохиолдолд хэвтээ шугам a = const a=\textrm(const) нь энэ олонлогтой яг нэг нийтлэг цэгтэй (энэ нь систем яг нэг шийдэлтэй гэсэн үг) байгааг харж болно. 1 4 a= \dfrac(1)(4) .

ХАРИУЛТ

A = 0 ,  a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4)

a a параметрийн хамгийн бага утгыг ол, тус бүрийн хувьд систем

$$\эхлэх(тохиолдол) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \төгсгөх(тохиолдол) $$

өвөрмөц шийдэлтэй.

Эхний тэгшитгэлийг өөрчилье. бүрэн квадратуудыг тодруулах:

(x 2 - 2 3 a x + 3 a 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 1 ⇔ (x - a 3) 2 + (y - 1) 2 = 1.      

18 (x^2- 2\sqrt(3)ax+3a^2)+(y^2-2y+1)=1 \Зүүн баруун сум (x-a\sqrt(3))^2+(y-1)^2 =1. \:\:\:\зүүн(18\баруун)

Өмнөх асуудлуудаас ялгаатай нь энд x O y xOy хавтгай дээрх зургийг дүрслэх нь дээр ("хувьсагч - параметр" хавтгай дахь зургийг ихэвчлэн нэг хувьсагч ба нэг параметртэй асуудлуудад ашигладаг - үр дүн нь хавтгай дээрх багц юм. Энэ асуудалд бид хоёр хувьсагч ба параметрийг гурван хэмжээст орон зайд (x;y;a) зурах нь хэцүү ажил юм харагдахуйц байх). Тэгшитгэл (18) нь радиус 1-тэй (a 3 ; 1) (a\sqrt(3);1) төвтэй тойргийг тодорхойлно. a-ийн утгаас хамааран энэ тойргийн төв нь бөмбөрцгийн аль ч цэгт байрлаж болно. мөр y = 1 y=1.

Энэ тэгшитгэлийн систем нь тойрог нь өнцгийн салбаруудын аль нэгэнд хүрвэл яг нэг шийдэлтэй байна. Энэ нь дөрвөн тохиолдолд боломжтой (Зураг 16): тойргийн төв нь A A, B B, C C, D D цэгүүдийн аль нэгэнд байж болно. Бид a a параметрийн хамгийн бага утгыг олох шаардлагатай тул D D цэгийн абсциссыг сонирхож байна. D H M DHM тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. D D цэгээс H M HM шулуун хүртэлх зай нь тойргийн радиустай тэнцүү тул D H = 1 DH=1 байна. Тэгэхээр D M = D H sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) . M M цэгийн координатыг y = 1 y=1 ба y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 (булангийн зүүн тал) хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатаар олно. .

Бид M (- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3)) авна. Тэгвэл D D цэгийн абсцисса нь - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac( гэсэн утгатай тэнцүү байна. 7)(\ sqrt(3)) .

Тойргийн төвийн абсцисса нь a 3 a\sqrt(3) -тай тэнцүү тул a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3) .

ХАРИУЛТ

A = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3)

Параметрийн бүх утгыг ол a a , тус бүрийн хувьд систем

$$\эхлэх(тохиолдлууд) |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \төгсгөл(тохиолдол) $$

$$\эхлэх(тохиолдол) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(тохиолдол) $$

x O y xOy хавтгай дээрх тэгш бус байдал бүрийн шийдлүүдийн багцыг дүрсэлцгээе.

Хоёр дахь тэгш бус байдлын хувьд бид төгс квадратуудыг сонгоно.

x 2 - 14 a x + 49 + y 2 - 6 a y + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2         (1) ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Зүүн баруун сум (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8) )^2 \:\:\:\: (19)

a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8) үед тэгш бус байдал (19) нь координаттай цэгийг (7 a ; 3 a) (7a;3a), өөрөөр хэлбэл (- 56 ; -) заана. 24) (-56;-24) . a (19)-ийн бусад бүх утгуудын хувьд радиусын (7 a ; 3 a) (7a;3a) цэг дээр төвлөрсөн тойргийг тодорхойлно | a + 8 | |a+8| .

Эхний тэгш бус байдлыг авч үзье.
1) сөрөг a-ийн хувьд шийдэл байхгүй. Энэ нь системд ямар ч шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.

2) Хэрэв a = 0 a=0 бол 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0 шулуун шугамыг авна. Хоёр дахь тэгш бус байдлаас бид 8 радиустай (0; 0) (0; 0) төвтэй тойрог гарч ирнэ. Нэгээс олон шийдэл байгаа нь ойлгомжтой.

3) Хэрэв $$a>0$$ бол энэ тэгш бус байдал нь давхар тэгш бус байдалтай тэнцүү байна - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . Энэ нь y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) 4 x + 3 y = 0 4x+ шулуунтай параллель хоёр шулуун шугамын хоорондох зурвасыг тодорхойлно. 3y=0 (Зураг 17).

Бид $$a>0$$ гэж үзэж байгаа тул тойргийн төв нь y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) шугамын эхний улиралд байрлана. Үнэн хэрэгтээ төвийн координатууд нь x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; a a-г илэрхийлж, тэнцүүлэхдээ бид x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) , үүнээс у = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) болно. Систем яг нэг шийдэлтэй байхын тулд тойрог нь a 2 a_2 шулуун шугамд хүрэх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм. Энэ нь тойргийн радиус нь тойргийн төвөөс a 2 a_2 шулуун шугам хүртэлх зайтай тэнцүү байх үед тохиолддог. Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайны томъёоны дагуу * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

ХАРИУЛТ

A = 2 a=2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , заданная уравнением a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Тогда расстояние от точки M M до прямой l l определяется формулой ρ = | a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac{|ax_0+bx_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} . !}

a a параметрийн ямар утгуудад систем ажилладаг

$$\begin(тохиолдол) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \төгсгөл(тохиолдлууд)$$-д шийдэл алга уу?

Системийн эхний тэгшитгэл нь x O y xOy хавтгай дээрх A B C D ABCD квадратыг тодорхойлно (үүнийг бүтээхдээ x ≥ 0 x\geq 0 ба y ≥ 0 y\geq 0 гэж үзнэ. Дараа нь тэгшитгэл нь x + y = хэлбэрийг авна. 1 x+y=1 1-р улиралд хэвтэх шулуун шугамын нэг хэсэг болох x+y=1, дараа нь бид O x Ox тэнхлэгтэй харьцуулахад энэ сегментийг тусгана O y Oy тэнхлэгтэй харьцуулахад үүссэн олонлогийг тусгана (18-р зургийг үз). Хоёр дахь тэгшитгэл нь A B C D ABCD квадраттай тэнцүү, гэхдээ (- a ; - a) (-a;-a) цэг дээр төвлөрсөн P Q R S PQRS квадратыг тодорхойлно. Зураг дээр. Жишээ болгон 18-р зурагт энэ квадратыг a = - 2 a=-2 гэж үзүүлэв. Хэрэв эдгээр хоёр квадрат огтлолцохгүй бол системд шийдэл байхгүй.

Хэрэв P Q PQ ба B C BC сегментүүд давхцаж байвал хоёр дахь квадратын төв нь (1; 1) (1;1) цэг дээр байгааг харахад хялбар байдаг. Төв нь "дээд" ба "баруун талд", өөрөөр хэлбэл $$a1$$ байрлах a-ийн эдгээр утгууд нь бидэнд тохиромжтой.

ХАРИУЛТ

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

Системд тохирох b b параметрийн бүх утгыг ол

$$\эхлэх(тохиолдол) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \төгсгөх(тохиолдол) $$

a-ийн дурын утгын дор хаяж нэг шийдэлтэй.

Хэд хэдэн тохиолдлыг авч үзье.

1) Хэрэв $$b2) Хэрэв b = 0 b=0 бол систем $$\begin(тохиолдол) y=x^2,\\ y=ax .\end(тохиолдол) $$ хэлбэрийг авна.

Аливаа a a-ийн хувьд (0 ; 0) (0;0) хос тоо нь энэ системийн шийдэл тул b = 0 b=0 тохиромжтой.

3) $$b>0$$-ыг засъя. Эхний тэгшитгэлийг y = x 2 - b y=x^2-b параболын O x Ox тэнхлэгт харьцангуйгаар тусгах замаар олж авсан цэгүүдийн олонлогоор хангана (Зураг 19a, b-ийг үз). Хоёр дахь тэгшитгэл нь шулуун шугамын бүлгийг тодорхойлдог (a-ийн өөр утгыг орлуулснаар та босоо цэгээс бусад (b ; 0) (b; 0) цэгийг дайран өнгөрөх бүх төрлийн шулуун шугамыг авч болно). (b ; 0) (b;0) цэгээр дамжин . Хэрэв (b ; 0) (b;0) цэг нь [ - b ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . абсцисса тэнхлэг, дараа нь шулуун шугам нь аль ч налуугийн хувьд эхний функцийн графикийг огтолно (Зураг 19a). Үгүй бол (Зураг 19б) ямар ч тохиолдолд энэ графиктай огтлолцохгүй шулуун шугам байх болно. - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) тэгш бус байдлыг шийдэж, $$b>0$$ гэдгийг харгалзан үзвэл b ∈ (0 ; 1 ] b \ -г олж авна. дотор ( 0;1] .

Бид үр дүнг нэгтгэдэг: $$b \in $$.

ХАРИУЛТ

$$b \$$-д

a -ийн бүх утгыг ол, тус бүрд нь f (x) = x 2 - | функц байна x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x хамгийн багадаа нэг цэгтэй байна.

Модулийг өргөжүүлснээр бид үүнийг олж авна

$$f(x) = \эхлэх(тохиолдол) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 . \төгсгөл(тохиолдлууд) $$

Хоёр интервал тус бүр дээр y = f (x) y=f(x) функцийн график нь дээшээ салбарласан парабол юм.

Дээш салбарласан параболууд нь хамгийн их цэгтэй байж чадахгүй тул цорын ганц боломж бол хамгийн их цэг нь эдгээр интервалуудын хилийн цэг болох x = a 2 x=a^2 цэг юм. Энэ үед y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 параболын орой $$x>a^2$$ интервалд тусвал дээд тал нь байх болно. параболын орой y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - $$x\lt a^2$$ интервалд (20-р зургийг үз). Энэ нөхцлийг $$2 \gt a^2$$ ба $$1 \lt a^2$$ тэгш бусуудаар өгөгдсөн бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in байна. (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .

ХАРИУЛТ

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))

a-ийн бүх утгыг ол, тус бүрд нь тэгш бус байдлын ерөнхий шийдлүүд байна

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a and y - x ≥ 2 a             (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

тэгш бус байдлын шийдэл юм

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

Нөхцөл байдлыг удирдахын тулд заримдаа нэг параметрийн утгыг авч үзэх нь ашигтай байдаг. Жишээ нь, a = 0 a=0 -ын хувьд зураг зуръя. Тэгш бус байдал (20) (үнэндээ бид тэгш бус байдлын системтэй (20) харьцаж байна) B A C BAC өнцгийн цэгүүдээр хангагдана (21-р зургийг үз) - цэгүүд, тус бүр нь y = - шулуун шугамын дээр байрладаг. 2 x y=-2x ба y = x y =x (эсвэл эдгээр мөрөнд). y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) шулуунаас дээш байрлах цэгүүд (21) тэгш бус байдлыг хангана. a = 0 a=0 үед бодлогын нөхцөл хангагдахгүй байгааг харж болно.

a a параметрийг өөр утга авбал юу өөрчлөгдөх вэ? Шугамын өнцгийн коэффициент нь a-аас хамаардаггүй тул шугам бүр хөдөлж, өөртэйгээ зэрэгцээ шугам болж хувирна. Бодлогын нөхцөлийг биелүүлэхийн тулд B A C BAC өнцөг бүхэлдээ l l шулуунаас дээш байх ёстой. A B AB ба A C AC шулуунуудын өнцгийн коэффициентүүд нь l l шулуун шугамын өнцгийн коэффициентээс үнэмлэхүй утгаараа их байдаг тул өнцгийн орой нь l l шулуунаас дээш байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

$$\эхлэх(тохиолдол) y+2x=a,\\ y-x=2a, \төгсгөх(тохиолдол)$$

А цэгийн координатыг ол (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) . Тэд тэгш бус байдлыг (21) хангах ёстой, тиймээс $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$, эндээс $$a>\dfrac(9)(8)$$ .

ХАРИУЛТ

$$a>\dfrac(9)(8)$$

TO параметр бүхий даалгаварҮүнд, жишээлбэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг ерөнхий хэлбэрээр хайх, параметрийн утгаас хамаарч байгаа язгуурын тооны тэгшитгэлийг судлах зэрэг орно.

Нарийвчилсан тодорхойлолт өгөхгүйгээр дараах тэгшитгэлүүдийг жишээ болгон авч үзье.

y = kx, энд x, y нь хувьсагч, k нь параметр;

y = kx + b, энд x, y нь хувьсагч, k ба b параметрүүд;

ax 2 + bx + c = 0, энд x нь хувьсагч, a, b, c нь параметр юм.

Параметр бүхий тэгшитгэлийг (тэгш бус байдал, систем) шийдвэрлэх нь дүрмээр бол хязгааргүй тэгшитгэлийн багцыг (тэгш бус байдал, систем) шийдвэрлэх гэсэн үг юм.

Параметр бүхий даалгавруудыг хоёр төрөлд хувааж болно.

A)Нөхцөл нь: тэгшитгэлийг шийд (тэгш бус байдал, систем) - энэ нь параметрийн бүх утгын хувьд бүх шийдлийг олох гэсэн үг юм. Хэрэв дор хаяж нэг хэрэг шалгагдаагүй бол ийм шийдлийг хангалттай гэж үзэх боломжгүй юм.

б)тэгшитгэл (тэгш бус байдал, систем) нь тодорхой шинж чанартай байх параметрийн боломжит утгыг зааж өгөх шаардлагатай. Тухайлбал, нэг шийдэлтэй, шийдэлгүй, интервалд хамаарах шийдлүүдтэй гэх мэт.Ийм даалгаварт ямар параметрийн утгад шаардлагатай нөхцөл хангагдсаныг тодорхой зааж өгөх шаардлагатай.

Үл мэдэгдэх тогтмол тоо болох параметр нь тусгай хоёрдмол шинж чанартай байдаг. Юуны өмнө, таамаглаж буй алдар нэр нь параметрийг тоо гэж үзэх ёстойг харуулж байгааг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Хоёрдугаарт, параметрийг удирдах эрх чөлөө нь түүний ойлгомжгүй байдлаас болж хязгаарлагддаг. Жишээлбэл, параметр агуулсан илэрхийлэлд хуваах эсвэл ийм илэрхийллээс тэгш градусын үндсийг гаргаж авах үйлдлүүд нь урьдчилсан судалгаа шаарддаг. Тиймээс параметртэй ажиллахдаа болгоомжтой байх шаардлагатай.

Жишээлбэл, -6a ба 3a гэсэн хоёр тоог харьцуулахын тулд та гурван тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй.

1) -6a нь сөрөг тоо бол 3a-аас их байх болно;

2) a = 0 тохиолдолд -6a = 3a;

3) Хэрэв a нь эерэг тоо 0 бол -6a нь 3a-аас бага байх болно.

Шийдэл нь хариулт байх болно.

kx = b тэгшитгэлийг өгье. Энэ тэгшитгэл нь нэг хувьсагчтай хязгааргүй тооны тэгшитгэлийн богино хувилбар юм.

Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд дараахь тохиолдол гарч болно.

1. k нь тэгтэй тэнцүү биш дурын бодит тоо, b нь R-ийн дурын тоо байвал x = b/k.

2. k = 0 ба b ≠ 0 байвал анхны тэгшитгэл нь 0 x = b хэлбэрийг авна. Энэ тэгшитгэлд шийдэл байхгүй нь ойлгомжтой.

3. k ба b нь тэгтэй тэнцүү тоонууд байг, тэгвэл 0 x = 0 тэнцүү байна. Үүний шийдэл нь дурын бодит тоо.

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм:

1. Параметрийн "хяналтын" утгыг тодорхойлно.

2. Эхний догол мөрөнд тодорхойлсон параметрийн утгуудын хувьд x-ийн анхны тэгшитгэлийг шийд.

3. Эхний догол мөрөнд сонгосон параметрээс ялгаатай параметрийн утгуудын хувьд x-ийн анхны тэгшитгэлийг шийд.

4. Та хариултаа дараах хэлбэрээр бичиж болно.

1) ... (параметрийн утгууд) хувьд тэгшитгэл нь ... үндэстэй;

2) ... (параметрийн утгууд) хувьд тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Жишээ 1.

|6 – x| параметртэй тэгшитгэлийг шийд = a.

Шийдэл.

Эндээс ≥ 0 байгааг харахад хялбар байдаг.

6-р модулийн дүрмийн дагуу x = ±a, бид x-ийг илэрхийлнэ:

Хариулт: x = 6 ± a, энд a ≥ 0.

Жишээ 2.

a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 тэгшитгэлийг х хувьсагчийн хувьд бод.

Шийдэл.

Хаалтуудыг нээцгээе: ах – а + 2х – 2 = 0

Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр бичье: x(a + 2) = a + 2.

Хэрэв a + 2 илэрхийлэл тэг биш, өөрөөр хэлбэл a ≠ -2 байвал бид x = (a + 2) / (a ​​+ 2) шийдэлтэй байна. x = 1.

Хэрэв a + 2 нь тэгтэй тэнцүү бол i.e. a = -2, тэгвэл бид 0 x = 0 зөв тэгшитгэлтэй тул x нь дурын бодит тоо юм.

Хариулт: a ≠ -2 бол x = 1, a = -2 бол x € R.

Жишээ 3.

x хувьсагчийн хувьд x/a + 1 = a + x тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Хэрэв a = 0 бол тэгшитгэлийг a + x = a 2 + ax буюу (a – 1)x = -a(a – 1) хэлбэрт шилжүүлнэ. a = 1-ийн сүүлчийн тэгшитгэл нь 0 x = 0 хэлбэртэй тул x нь дурын тоо юм.

Хэрэв a ≠ 1 бол сүүлчийн тэгшитгэл нь x = -a хэлбэрийг авна.

Энэ шийдлийг координатын шугам дээр дүрсэлж болно (Зураг 1)

Хариулт: a = 0-ийн шийдэл байхгүй; x – a = 1-тэй дурын тоо; a ≠ 0 ба a ≠ 1-ийн хувьд x = -a.

График арга

Параметр бүхий тэгшитгэлийг графикаар шийдэх өөр аргыг авч үзье. Энэ аргыг нэлээд олон удаа ашигладаг.

Жишээ 4.

a параметрээс хамаарч ||x| тэгшитгэл хэдэн үндэстэй байна – 2| = a?

Шийдэл.

График аргаар шийдвэрлэхийн тулд y = ||x| функцуудын графикийг байгуулна – 2| ба y = a (Зураг 2).

Зураг дээр y = a шулуун шугамын байршил, тэдгээрийн үндэсийн тоог тодорхой харуулсан болно.

Хариулт: Хэрэв а бол тэгшитгэл үндэсгүй болно< 0; два корня будет в случае, если a >2 ба a = 0; a = 2 тохиолдолд тэгшитгэл нь гурван үндэстэй байх болно; дөрвөн үндэс - 0-д< a < 2.

Жишээ 5.

2|x| тэгшитгэл гэж юу вэ + |x – 1| = a нэг үндэстэй юу?

Шийдэл.

y = 2|x| функцуудын графикуудыг дүрсэлцгээе + |x – 1| ба y = a. y = 2|x|-ийн хувьд + |x – 1|, интервалын аргыг ашиглан модулиудыг өргөжүүлснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

(-3x + 1, x үед< 0,

y = (x + 1, 0 ≤ x ≤ 1-ийн хувьд,

(3x – 1, x > 1-ийн хувьд.

Асаалттай Зураг 3Зөвхөн a = 1 үед тэгшитгэл нь нэг язгууртай байх нь тодорхой харагдаж байна.

Хариулт: a = 1.

Жишээ 6.

|x + 1| тэгшитгэлийн шийдийн тоог тодорхойл + |x + 2| = a параметрээс хамааран a?

Шийдэл.

y = |x + 1| функцийн график + |x + 2| тасархай шугам байх болно. Түүний оройнууд нь (-2; 1) ба (-1; 1) цэгүүдэд байрлана. (Зураг 4).

Хариулт: хэрэв a параметр нь нэгээс бага бол тэгшитгэл нь үндэсгүй болно; хэрэв a = 1 бол тэгшитгэлийн шийдэл нь [-2] интервалаас хязгааргүй олон тооны тоо юм; -1]; Хэрэв a параметрийн утга нэгээс их байвал тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно.

Асуулт хэвээр байна уу? Параметртэй тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Ольга Отделкина, 9-р ангийн сурагч

Энэ сэдэв нь сургуулийн алгебрийн хичээлийн салшгүй хэсэг юм. Энэхүү ажлын зорилго нь энэ сэдвийг илүү гүнзгий судалж, хариултыг хурдан хүргэх хамгийн оновчтой шийдлийг тодорхойлох явдал юм. Энэхүү эссэ нь бусад оюутнуудад параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график аргыг ашиглах, энэ аргын гарал үүсэл, хөгжлийн талаар мэдэхэд тусална.

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

Танилцуулга2

Бүлэг 1. Параметр бүхий тэгшитгэл

Параметр3-тай тэгшитгэл үүссэн түүх

Вьетагийн теорем4

Үндсэн ойлголт 5

Бүлэг 2. Параметр бүхий тэгшитгэлийн төрлүүд.

Шугаман тэгшитгэл6

Квадрат тэгшитгэл…………………………………………………………7

Бүлэг 3. Параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Аналитик арга………………………………………………8

График арга. Гарал үүслийн түүх……………………………9

График аргыг шийдвэрлэх алгоритм..…………………………….10

Модультай тэгшитгэлийн шийдэл………………………………………….11

Практик хэсэг………………………………………………………12

Дүгнэлт………………………………………………………………………………….19

Ашигласан материал………………………………………………………20

Танилцуулга.

Сургуулийн алгебрийн хичээлийн салшгүй хэсэг учраас би энэ сэдвийг сонгосон. Энэ ажлыг бэлтгэхдээ би энэ сэдвийг илүү гүнзгий судалж, хариултанд хурдан хүргэх хамгийн оновчтой шийдлийг тодорхойлох зорилго тавьсан. Миний эссэ нь бусад оюутнуудад параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график аргыг ашиглах, энэ аргын гарал үүсэл, хөгжлийн талаар мэдэхэд тусална.

Орчин үеийн амьдралд олон физик процесс, геометрийн хэв маягийг судлах нь ихэвчлэн параметртэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд хүргэдэг.

Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд α параметрээс хамаарч тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг тодорхойлох шаардлагатай үед график арга нь маш үр дүнтэй байдаг.

Параметрүүдтэй холбоотой асуудлууд нь зөвхөн математикийн сонирхолтой бөгөөд оюутнуудын оюуны хөгжилд хувь нэмэр оруулдаг бөгөөд ур чадвараа дадлагажуулах сайн материал болдог. Эдгээр нь математикийн үндсэн салбаруудын мэдлэг, математик, логик сэтгэлгээний түвшин, судалгааны анхны ур чадвар, дээд боловсролын байгууллагуудын математикийн хичээлийг амжилттай эзэмших ирээдүйтэй боломжийг шалгахад ашиглаж болох тул оношлогооны ач холбогдолтой юм.

Миний эссэ нь байнга тулгардаг тэгшитгэлийн төрлүүдийн талаар ярилцдаг бөгөөд ажлын явцад олж авсан мэдлэг маань сургуулийн шалгалтыг өгөхөд надад тусална гэж найдаж байна.параметр бүхий тэгшитгэлүүднь сургуулийн математикийн хамгийн хэцүү асуудлын нэг гэж зүй ёсоор тооцогддог. Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаврын жагсаалтад яг эдгээр ажлууд багтсан болно.

Параметр бүхий тэгшитгэл үүссэн түүх

Параметр бүхий тэгшитгэлийн асуудлууд Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Арьябхаттиам" одон орны зохиолд аль хэдийн тулгарч байсан. Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн Брахмагупта (7-р зуун) нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг тодорхойлсон.

αx 2 + bx = c, α>0

Параметрээс бусад тэгшитгэл дэх коэффициентүүд, мөн сөрөг байж болно.

Аль-Хорезмигийн квадрат тэгшитгэл.

Аль-Хорезми алгебрийн зохиолд а параметр бүхий шугаман ба квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгдөг. Зохиогч 6 төрлийн тэгшитгэлийг тоолж, дараах байдлаар илэрхийлэв.

1) "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү", өөрөөр хэлбэл αx 2 = bx.

2) "Квадратууд нь тоонуудтай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл αx 2 = в.

3) "Үндэс нь тоотой тэнцүү", өөрөөр хэлбэл αx = c.

4) "Квадрат ба тоонууд нь язгууртай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл αx 2 + c = bx.

5) "Квадрат ба үндэс нь тоотой тэнцүү", өөрөөр хэлбэл αx 2 + bx = c.

6) "Үндэс ба тоо нь квадраттай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл bx + c = αx 2 .

Европ дахь аль-Хорезмигийн дагуу квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёог анх Италийн математикч Леонардо Фибоначчийн 1202 онд бичсэн "Абакийн ном"-д тусгасан байдаг.

Параметр бүхий квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх томъёоны гарал үүслийг Вьетнамаас авах боломжтой боловч Виета зөвхөн эерэг язгуурыг хүлээн зөвшөөрсөн. Италийн математикч Тартаглиа, Кардано, Бомбелли нар 12-р зууны анхны хүмүүсийн нэг байв. Эерэг зүйлээс гадна сөрөг үндсийг харгалзан үздэг. Зөвхөн 17-р зуунд. Жирард, Декарт, Ньютон болон бусад эрдэмтдийн бүтээлийн ачаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга орчин үеийн хэлбэрээ олж авсан.

Вьетагийн теорем

Квадрат тэгшитгэлийн параметр, коэффициент, түүний язгуур хоорондын хамаарлыг илэрхийлсэн теоремыг тэрээр анх 1591 онд Вьетагийн нэрээр томъёолсон бөгөөд дараах байдлаар: “Хэрэв b + d-ийг α хасах α-аар үржүүлбэл. 2 , bc-тэй тэнцүү бол α нь b-тэй, d-тэй тэнцүү байна.”

Виетаг ойлгохын тулд α нь ямар ч эгшиг үсгийн нэгэн адил үл мэдэгдэх (бидний x) гэсэн утгатай бөгөөд b, d эгшиг нь үл мэдэгдэхийн коэффициент гэдгийг санах хэрэгтэй. Орчин үеийн алгебрийн хэлээр дээрх Виетийн томъёолол нь:

Хэрэв байгаа бол

(α + b)x - x 2 = αb,

Өөрөөр хэлбэл, x 2 - (α -b)x + αb =0,

тэгвэл x 1 = α, x 2 = b.

Тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тэмдэглэгээ ашиглан бичсэн ерөнхий томьёогоор илэрхийлснээр Виета тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын нэгдмэл байдлыг бий болгосон. Гэсэн хэдий ч Вьетнамын бэлгэдэл орчин үеийн хэлбэрээс хол хэвээр байна. Тэрээр сөрөг тоог хүлээн зөвшөөрдөггүй байсан тул тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бүх үндэс эерэг байсан тохиолдлуудыг л авч үзсэн.

Үндсэн ойлголтууд

Параметр - бие даасан хувьсагч, түүний утгыг тогтмол эсвэл дурын тоо гэж үздэг, эсвэл асуудлын нөхцөлөөр заасан интервалд хамаарах тоо.

Параметр бүхий тэгшитгэл- математиктэгшитгэл, гадаад төрх байдал, шийдэл нь нэг буюу хэд хэдэн параметрийн утгаас хамаарна.

Шийдэх утга тус бүрийн параметрийн утгатай тэгшитгэлЭнэ тэгшитгэлийг хангасан x-ийн утгыг ол, мөн:

1. 1. Тэгшитгэл ямар параметрийн утгуудад үндэстэй, өөр өөр параметрийн утгуудын хувьд хэд байгааг судал.
2. 2. Үндэст хамаарах бүх илэрхийлэлийг олж, тус бүрд энэ илэрхийлэл нь тэгшитгэлийн язгуурыг тодорхойлох параметрийн утгыг зааж өгнө.

α(x+k)= α +c тэгшитгэлийг авч үзье, α, c, k, x нь хувьсах хэмжигдэхүүнүүд.

α, c, k, x хэмжигдэхүүний зөвшөөрөгдөх утгуудын системЭнэ нь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун тал хоёулаа бодит утгыг авдаг хувьсах утгуудын систем юм.

А нь α-ийн бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын багц, K нь k-ийн бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын олонлог, X нь x-ийн бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын олонлог, C нь c-ийн бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын багц гэж үзье. Хэрэв A, K, C, X олонлогуудын хувьд бид α, k, c гэсэн нэг утгыг сонгож, засч, тэгшитгэлд орлуулж байвал бид x-ийн тэгшитгэлийг олж авна, өөрөөр хэлбэл. нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэл.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тогтмол гэж тооцогддог α, k, c хувьсагчдыг параметр, тэгшитгэлийг өөрөө параметр агуулсан тэгшитгэл гэнэ.

Параметрүүдийг латин цагаан толгойн эхний үсгээр тэмдэглэнэ: α, b, c, d, ..., k, l, m, n, үл мэдэгдэхийг x, y, z үсгээр тэмдэглэнэ.

Ижил параметрүүдийг агуулсан хоёр тэгшитгэл гэж нэрлэдэгтэнцүү бол:

a) тэдгээр нь ижил параметрийн утгын хувьд утга учиртай;

б) эхний тэгшитгэлийн шийдэл бүр хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдэл ба эсрэгээр.

Параметр бүхий тэгшитгэлийн төрлүүд

Параметр бүхий тэгшитгэлүүд нь: шугаманба дөрвөлжин.

1) Шугаман тэгшитгэл. Ерөнхий үзэл бодол:

α x = b, x нь тодорхойгүй;α, b - параметрүүд.

Энэ тэгшитгэлийн хувьд параметрийн тусгай буюу хяналтын утга нь үл мэдэгдэх коэффициент алга болох утга юм.

Параметр бүхий шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ параметр нь түүний тусгай утгатай тэнцүү, түүнээс ялгаатай тохиолдолд авч үздэг.

α параметрийн тусгай утга нь утга юмα = 0.

1.Хэрэв, ба ≠0, дараа нь дурын хос параметрийн хувьдα б энэ нь өвөрмөц шийдэлтэй x =.

2.Хэрэв, ба =0, тэгвэл тэгшитгэл нь:0 хэлбэрийг авна x = b . Энэ тохиолдолд үнэ цэнэб = 0 нь тусгай параметрийн утга юмб.

2.1. b-д ≠ 0 бол тэгшитгэлд шийдэл байхгүй.

2.2. b-д =0 тэгшитгэл нь:0 хэлбэртэй болно x =0.

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь дурын бодит тоо юм.

Параметртэй квадрат тэгшитгэл.

Ерөнхий үзэл бодол:

α x 2 + bx + c = 0

Энд параметр α ≠0, b ба c - дурын тоо

Хэрэв α =1 бол тэгшитгэлийг багасгасан квадрат тэгшитгэл гэнэ.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг томъёог ашиглан олно

Илэрхийлэл D = b 2 - 4 α c ялгаварлагч гэж нэрлэдэг.

1. Хэрэв D>0 бол тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй.

2. Хэрэв Д< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Хэрэв D = 0 бол тэгшитгэл нь хоёр тэнцүү язгууртай.

Параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд:

1. Аналитик - параметргүй тэгшитгэлийн хариултыг олох стандарт процедурыг давтах шууд шийдлийн арга.
2. График - асуудлын нөхцлөөс хамааран координатын систем дэх харгалзах квадрат функцийн графикийн байрлалыг авч үздэг.

Аналитик арга

Шийдлийн алгоритм:

1. Аналитик аргыг ашиглан параметрийн асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө параметрийн тодорхой тоон утгын нөхцөл байдлыг ойлгох хэрэгтэй. Жишээлбэл, α =1 параметрийн утгыг аваад асуултанд хариулна уу: энэ даалгаварт шаардагдах α =1 параметрийн утга мөн үү.

Жишээ 1. Харьцангуйгаар шийд X m параметртэй шугаман тэгшитгэл:

Бодлогын утгын дагуу (m-1)(x+3) = 0, өөрөөр хэлбэл m= 1, x = -3.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг (m-1)(x+3)-аар үржүүлснээр бид тэгшитгэлийг авна.

Бид авдаг

Иймээс m= 2.25 үед.

Одоо бид m-ийн утга байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй

олдсон x-ийн утга -3 байна.

Энэ тэгшитгэлийг шийдэхэд m = -0.4 байхад x нь -3-тай тэнцүү болохыг олж мэднэ.

Хариулт: m=1, m =2.25-тай.

График арга. Гарал үүслийн түүх

Нийтлэг хамаарлыг судлах ажил 14-р зуунаас эхэлсэн. Дундад зууны шинжлэх ухаан схоластик байсан. Энэ шинж чанараараа тоон хамаарлыг судлах орон зай үлдсэнгүй, энэ нь зөвхөн объектуудын чанар, тэдгээрийн хоорондын холболтын тухай байв. Гэвч схоластикуудын дунд зан чанар нь илүү их эсвэл бага хүчтэй байж болно гэж маргадаг сургууль бий болсон (голд унасан хүний ​​хувцас нь бороонд орсон хүнийхээс илүү чийгтэй байдаг)

Францын эрдэмтэн Николай Оресме эрчмийг сегментийн уртаар дүрсэлж эхлэв. Тэрээр эдгээр сегментүүдийг тодорхой шулуун шугамд перпендикуляр байрлуулахдаа тэдгээрийн төгсгөлүүд нь "эрчмийн шугам" эсвэл "дээд ирмэгийн шугам" гэж нэрлэсэн (харгалзах функциональ хамаарлын графикийг Оресме хүртэл судалсан) шугам үүсгэдэг ” ба “физик” чанар, өөрөөр хэлбэл функцууд нь хоёр буюу гурван хувьсагчаас хамаарна.

Оресмегийн чухал амжилт бол түүний үүссэн графикуудыг ангилах оролдлого байсан юм. Тэрээр гурван төрлийн чанарыг тодорхойлсон: жигд (тогтмол эрчимтэй), жигд-тэгш бус (эрчмийн өөрчлөлтийн тогтмол хурдтай) ба тэгш бус-тэгш бус (бусад бүх), түүнчлэн эдгээр чанаруудын графикийн онцлог шинж чанарууд.

Функцийн графикийг судлах математикийн төхөөрөмжийг бий болгохын тулд хувьсагчийн тухай ойлголт хэрэгтэй байв. Энэхүү ойлголтыг Францын философич, математикч Рене Декарт (1596-1650) шинжлэх ухаанд нэвтрүүлсэн. Энэ бол Декарт алгебр ба геометрийн нэгдмэл байдал, хувьсагчийн үүргийн талаархи санаануудыг гаргаж ирсэн бөгөөд Декарт тогтмол нэгжийн сегментийг нэвтрүүлж, бусад сегментүүдийн хамаарлыг авч үзэж эхлэв.

Тиймээс функцүүдийн графикууд оршин тогтнох бүх хугацаандаа хэд хэдэн үндсэн өөрчлөлтийг туулж, бидний дассан хэлбэрт хүргэсэн. Функцийн графикийг боловсруулах үе шат бүр нь орчин үеийн алгебр, геометрийн түүхийн салшгүй хэсэг юм.

Түүнд орсон параметрээс хамааран тэгшитгэлийн язгуурын тоог тодорхойлох график арга нь аналитикаас илүү тохиромжтой.

Алгоритмыг график аргаар шийдвэрлэх

Функцийн график - цэгүүдийн багцабсциссахүчинтэй аргументын утгууд байна, А ординатууд- харгалзах утгуудфункцууд.

Параметр бүхий тэгшитгэлийг графикаар шийдвэрлэх алгоритм:

1. Тэгшитгэлийн тодорхойлолтын мужийг ол.
2. Бид α-г илэрхийлнэ х-ийн функцээр.
3. Координатын системд бид функцийн графикийг байгуулдагα (x) энэ тэгшитгэлийн тодорхойлолтод багтсан x-ийн утгуудын хувьд.
4. Шугамын огтлолцох цэгүүдийг олохα =с, функцийн графиктай

α(x). Хэрэв α мөр =с графикийг гаталж байнаα (x), дараа нь бид огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудыг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хангалттай c = α (x) x-тэй харьцуулахад.

1. Хариултаа бичнэ үү

Модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Параметр агуулсан модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ графикаар, функцүүдийн графикийг барьж, параметрийн өөр өөр утгуудын бүх тохиолдлуудыг авч үзэх шаардлагатай.

Жишээлбэл, │х│= a,

Хариулт: хэрэв a < 0, то нет корней, a > 0, тэгвэл x = a, x = - a, хэрэв a = 0 бол x = 0 болно.

Асуудлыг шийдвэрлэх.

Бодлого 1. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?| | x | - 2 | = a параметрээс хамаарнаа?

Шийдэл. Координатын системд (x; y) y = | функцуудын графикийг байгуулна | x | - 2 | ба у =а . y = | функцийн график | x | - 2 | зурагт үзүүлэв.

y = функцийн графикα a = 0).

Графикаас дараахь зүйлийг харж болно.

Хэрэв a = 0 бол шулуун шугам y = a Ox тэнхлэгтэй давхцаж, y = | функцийн графиктай байна | x | - 2 | хоёр нийтлэг цэг; Энэ нь анхны тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм (энэ тохиолдолд үндсийг олж болно: x 1,2 = + 2).
Хэрэв 0< a < 2, то прямая y = α y = | функцийн графиктай байна | x | - 2 | дөрвөн нийтлэг цэг тул анхны тэгшитгэл нь дөрвөн үндэстэй.
Хэрэва = 2 бол y = 2 шулуун нь функцийн графиктай гурван нийтлэг цэгтэй байна. Тэгвэл анхны тэгшитгэл нь гурван үндэстэй байна.
Хэрэв a > 2, дараа нь шулуун шугам y = a нь анхны функцийн графиктай хоёр цэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно.

Хариулт: хэрэв a < 0, то корней нет;
хэрэв a = 0, a > 2 бол хоёр үндэс байна;
хэрэв a = 2 бол гурван үндэс байна;
хэрэв 0< a < 2, то четыре корня.

Бодлого 2. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?| x 2 - 2| x | - 3 | =а параметрээс хамаарнаа?

Шийдэл. Координатын системд (x; y) y = | функцуудын графикийг байгуулна x 2 - 2| x | - 3 | ба y = a.

y = | функцийн график x 2 - 2| x | - 3 | зурагт үзүүлэв. y = функцийн графикα нь Үхэртэй параллель эсвэл үүнтэй давхцаж буй шулуун шугам юм (хэзээ a = 0).

Графикаас та харж болно:

Хэрэв a = 0 бол шулуун шугам y = a Ox тэнхлэгтэй давхцаж, y = | функцийн графиктай байна x2 - 2| x | - 3 | хоёр нийтлэг цэг, түүнчлэн шулуун шугам y =а y = | функцийн графиктай байх болно x 2 - 2| x | - 3 | гэсэн хоёр нийтлэг цэг a > 4. Тэгэхээр a = 0 ба a-ийн хувьд > 4 анхны тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.
Хэрэв 0< а< 3, то прямая y = a y = | функцийн графиктай байна x 2 - 2| x | - 3 | дөрвөн нийтлэг цэг, түүнчлэн шулуун шугам y =а үед баригдсан функцийн графиктай дөрвөн нийтлэг цэгтэй байна a = 4. Тэгэхээр 0-д< a < 3, a = 4 анхны тэгшитгэл нь дөрвөн үндэстэй.
Хэрэв a = 3, дараа нь шулуун шугам y = a функцийн графикийг таван цэгээр огтолдог; тиймээс тэгшитгэл таван үндэстэй.
Хэрэв 3< а< 4, прямая y = α баригдсан функцийн графикийг зургаан цэгээр огтолно; Энэ нь эдгээр параметрийн утгуудын хувьд анхны тэгшитгэл нь зургаан үндэстэй гэсэн үг юм.
Хэрэва < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α у = | функцийн графиктай огтлолцдоггүй x 2 - 2| x | - 3 |.

Хариулт: хэрэв a < 0, то корней нет;
хэрэв a = 0, a > 4 бол хоёр үндэс байна;
хэрэв 0< a < 3, a = 4, дараа нь дөрвөн үндэс;

хэрэв а = 3, дараа нь таван үндэс;
хэрэв 3< a < 4, то шесть корней.

Бодлого 3. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?

параметрээс хамаарнаа?

Шийдэл. Координатын систем (x; y) дахь функцийн графикийг байгуулъя.

Гэхдээ эхлээд үүнийг дараах хэлбэрээр танилцуулъя.

x = 1, y = 1 шугамууд нь функцийн графикийн асимптотууд юм. y = | функцийн график x | +а у = | функцийн графикаас гарган авна x | Ой тэнхлэгийн дагуу нэгжээр нүүлгэн шилжүүлэх.

Функцийн графикууд нэг цэг дээр огтлолцоноа > - 1; Энэ нь эдгээр параметрийн утгуудын тэгшитгэл (1) нь нэг шийдэлтэй гэсэн үг юм.

a = - 1 үед a = - 2 график хоёр цэг дээр огтлолцсон; Энэ нь эдгээр параметрийн утгуудын хувьд тэгшитгэл (1) нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм.
-2 цагт< а< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Хариулт: хэрэв a > - 1, дараа нь нэг шийдэл;
хэрэв a = - 1, a = - 2, дараа нь хоёр шийдэл байна;
хэрэв - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Сэтгэгдэл. Асуудлын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тухайн тохиолдолд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэйа = - 2, учир нь (- 1; - 1) цэг нь функцийн графикт хамаарахгүйхарин y = | функцийн графикт хамаарна x | +а.

Бодлого 4. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?

x + 2 = a | x - 1 |

параметрээс хамаарнаа?

Шийдэл. 3 = тэнцүү байх тул x = 1 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш гэдгийг анхаарна ууа 0 нь ямар ч параметрийн утгад үнэн байж болохгүйа . Тэгшитгэлийн хоёр талыг | гэж хуваая x - 1 |(| x - 1 |0), дараа нь тэгшитгэл хэлбэрийг авнаXOy координатын системд бид функцийг зурах болно

Энэ функцийн графикийг зурагт үзүүлэв. y = функцийн графика Энэ нь Ox тэнхлэгтэй параллель буюу үүнтэй давхцаж буй шулуун шугам юм (хэрэв a = 0).