2. Үл мэдэгдэх тархалтын параметрүүдийг тодорхойлох.
Гистограмм ашиглан бид тархалтын нягтыг ойролцоогоор зурж болно санамсаргүй хувьсагч. Энэ графикийн дүр төрх нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын тархалтын талаар таамаглал гаргах боломжийг бидэнд олгодог. Энэхүү тархалтын нягтын илэрхийлэл нь ихэвчлэн туршилтын өгөгдлөөр тодорхойлох шаардлагатай зарим параметрүүдийг агуулдаг.
Түгээлтийн нягтрал нь хоёр параметрээс хамаарах тодорхой тохиолдлыг авч үзье.
За тэгье x 1 , x 2 , ..., x n- тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгууд, түүний магадлалын тархалтын нягт нь үл мэдэгдэх хоёр параметрээс хамаарна. АТэгээд Б, өөрөөр хэлбэл шиг харагдаж байна. Үл мэдэгдэх параметрүүдийг олох аргуудын нэг АТэгээд БОнолын тархалтын математикийн хүлээлт ба дисперс нь түүврийн дундаж ба дисперстэй давхцах байдлаар тэдгээрийг сонгосон явдал юм.
 |
(66) |
 |
(67) |
Олж авсан хоёр тэгшитгэлээс () олно үл мэдэгдэх параметрүүд АТэгээд Б. Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүн дуулгавартай байвал ердийн хуульмагадлалын тархалт, дараа нь түүний магадлалын тархалтын нягт
хоёр параметрээс хамаарна аМөн . Эдгээр параметрүүд нь бидний мэдэж байгаагаар тус тусад нь байна математикийн хүлээлтба дундаж квадрат хазайлтсанамсаргүй хувьсагч; Тиймээс тэгш байдал () дараах байдлаар бичигдэнэ.
 |
(68) |
Тиймээс магадлалын тархалтын нягт нь хэлбэртэй байна
Тайлбар 1.Бид энэ асуудлыг аль хэдийн шийдсэн. Хэмжилтийн үр дүн нь параметртэй хэвийн тархалтын хуульд захирагддаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм аМөн . Ойролцоогоор утгын хувьд аБид утгыг сонгосон бөгөөд ойролцоо утгын хувьд утгыг сонгосон.
Тайлбар 2. At их хэмжээгээртуршилт хийх, хэмжигдэхүүнийг олох, томьёо ашиглах () нь төвөгтэй тооцоололтой холбоотой байдаг. Тиймээс тэд үүнийг хийдэг: хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгууд тус бүрд ордог би th интервал ] X i-1 , X i [ статистик цуврал, ойролцоогоор авч үздэг дундтай тэнцүү в биэнэ интервал, өөрөөр хэлбэл. c i =(X i-1 +X i)/2. Эхний интервалыг анхаарч үзээрэй ] X 0 , X 1 [. Энэ нь түүнийг цохив м 1санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгууд, бид тус бүрийг тоогоор солино 1-ээс. Тиймээс эдгээр утгуудын нийлбэр нь ойролцоогоор тэнцүү байна м 1 с 1. Үүний нэгэн адил, хоёр дахь интервалд орох утгуудын нийлбэр нь ойролцоогоор тэнцүү байна м 2 нь 2гэх мэт. Тийм ч учраас
Үүнтэй адилаар бид ойролцоогоор тэгш байдлыг олж авдаг
Тиймээс, үүнийг харуулъя
 |
(71) |
Параметр бүхий тэгшитгэлийг хамгийн зөв гэж үздэг нарийн төвөгтэй даалгаварби мэднэ сургуулийн математик. Эдгээр ажлууд нь нэгдсэн улсын В, С төрлийн ажлуудын жагсаалтад жилээс жилд дуусдаг Улсын нэгдсэн шалгалт. Гэсэн хэдий ч, дунд их тооПараметртэй тэгшитгэлүүд нь амархан шийдэгддэг тэгшитгэлүүд юм графикаар. Хэд хэдэн асуудлыг шийдэх жишээн дээр энэ аргыг авч үзье.
|x 2 – 2x – 3| тэгшитгэл болох a тооны бүхэл утгуудын нийлбэрийг ол. = a нь дөрвөн үндэстэй.
Шийдэл.
Асуудлын асуултанд хариулахын тулд нэг зүйл дээр үндэслэнэ координатын хавтгайфункцын графикууд
y = |x 2 – 2x – 3| ба y = a.
Эхний функцийн график y = |x 2 – 2x – 3| y = x 2 – 2x – 3 параболын графикаас Ox тэнхлэгээс доогуур байгаа графикийн хэсгийг х тэнхлэгт тэгш хэмтэй үзүүлснээр гарна. Графикийн х тэнхлэгээс дээш байрлах хэсэг өөрчлөгдөхгүй хэвээр үлдэнэ.
Үүнийг алхам алхмаар хийцгээе. y = x 2 – 2x – 3 функцийн график нь салбарууд нь дээшээ чиглэсэн парабол юм. Түүний графикийг бүтээхийн тулд оройн координатыг олно. Үүнийг x 0 = -b/2a томъёог ашиглан хийж болно. Иймд x 0 = 2/2 = 1. Ординатын тэнхлэгийн дагуу параболын оройн координатыг олохын тулд х 0-ийн үр дүнгийн утгыг тухайн функцийн тэгшитгэлд орлуулна. Бид y 0 = 1 – 2 – 3 = -4 гэдгийг олж авна. Энэ нь параболын орой нь координаттай (1; -4) гэсэн үг юм.
Дараа нь та параболын салбаруудын координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олох хэрэгтэй. Параболын салбаруудын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдэд функцийн утга тэг байна. Тиймээс бид x 2 – 2x – 3 = 0 квадрат тэгшитгэлийг шийднэ. Үүний үндэс нь шаардлагатай цэгүүд байх болно. Виетийн теоремоор бид x 1 = -1, x 2 = 3 байна.
Ординат тэнхлэгтэй параболын салбаруудын огтлолцох цэгүүдэд аргументийн утга тэг байна. Тиймээс у = -3 цэг нь параболын салбаруудын у тэнхлэгтэй огтлолцох цэг юм. Үүссэн графикийг 1-р зурагт үзүүлэв.
y = |x 2 – 2x – 3| функцийн графикийг авахын тулд графикийн х тэнхлэгийн доор байрлах хэсгийг х тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдлаар харуулъя. Үүссэн графикийг Зураг 2-т үзүүлэв.
y = a функцийн график нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам юм. Үүнийг Зураг 3-т дүрсэлсэн болно. Зургийг ашигласнаар a нь (0; 4) интервалд хамаарах бол графикууд дөрвөн нийтлэг цэгтэй (мөн тэгшитгэл нь дөрвөн үндэстэй) болохыг олж мэдэв.
Үр дүнгийн интервалаас a тооны бүхэл утгууд: 1; 2; 3. Асуудлын асуултанд хариулахын тулд эдгээр тоонуудын нийлбэрийг олъё: 1 + 2 + 3 = 6.
Хариулт: 6.
|x 2 – 4|x| тэгшитгэл болох a тооны бүхэл тоонуудын арифметик дундажийг ол. – 1| = a нь зургаан үндэстэй.
y = |x 2 – 4|x| функцийн графикийг зурж эхэлье – 1|. Үүнийг хийхийн тулд бид a 2 = |a| тэгшитгэлийг ашиглана 2 ба сонгоно уу төгс дөрвөлжинфункцийн баруун талд бичигдсэн дэд модуль илэрхийлэлд:
x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.
Тэгвэл анхны функц нь y = |(|x| – 2) 2 – 5| хэлбэртэй байна.
Энэ функцийн графикийг бүтээхийн тулд бид функцүүдийн дараалсан графикийг байгуулна.
1) y = (x – 2) 2 – 5 – (2; -5) координаттай цэг дээрх оройтой парабол; (Зураг 1).
2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – 1-р алхамд баригдсан параболын ординатын тэнхлэгийн баруун талд байрлах хэсэг нь Ой тэнхлэгийн зүүн талд тэгш хэмтэй харагдаж байна; (Зураг 2).
3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – 2-р цэгт баригдсан графикийн х тэнхлэгийн доор байрлах хэсгийг дээшээ х тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдлаар харуулав. (Зураг 3).
Үр дүнгийн зургуудыг харцгаая:
y = a функцийн график нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам юм.
Зургийг ашигласнаар функцүүдийн графикууд нь (1; 5) интервалд хамаарах тохиолдолд (тэгшитгэл нь зургаан үндэстэй) зургаан нийтлэг цэгтэй байна гэж дүгнэв.
Үүнийг дараах зургаас харж болно.
a параметрийн бүхэл утгын арифметик дундажийг олцгооё.
(2 + 3 + 4)/3 = 3.
Хариулт: 3.
вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.
Параметр бүхий тэгшитгэлийг сургуулийн математикийн хамгийн хэцүү асуудлуудын нэг гэж үздэг. Яг ийм ажлууд жилээс жилд нэг удаагийн В, С төрлийн ажлуудын жагсаалтад орж ирдэг. улсын шалгалтУлсын нэгдсэн шалгалт. Гэсэн хэдий ч параметр бүхий олон тооны тэгшитгэлүүдийн дунд графикаар амархан шийдэж болох тэгшитгэлүүд байдаг. Хэд хэдэн асуудлыг шийдэх жишээн дээр энэ аргыг авч үзье.
|x 2 – 2x – 3| тэгшитгэл болох a тооны бүхэл утгуудын нийлбэрийг ол. = a нь дөрвөн үндэстэй.
Шийдэл.
Асуудлын асуултанд хариулахын тулд нэг координатын хавтгайд функцүүдийн графикийг байгуулъя
y = |x 2 – 2x – 3| ба y = a.
Эхний функцийн график y = |x 2 – 2x – 3| y = x 2 – 2x – 3 параболын графикаас Ox тэнхлэгээс доогуур байгаа графикийн хэсгийг х тэнхлэгт тэгш хэмтэй үзүүлснээр гарна. Графикийн х тэнхлэгээс дээш байрлах хэсэг өөрчлөгдөхгүй хэвээр үлдэнэ.
Үүнийг алхам алхмаар хийцгээе. y = x 2 – 2x – 3 функцийн график нь салбарууд нь дээшээ чиглэсэн парабол юм. Түүний графикийг бүтээхийн тулд оройн координатыг олно. Үүнийг x 0 = -b/2a томъёог ашиглан хийж болно. Иймд x 0 = 2/2 = 1. Ординатын тэнхлэгийн дагуу параболын оройн координатыг олохын тулд х 0-ийн үр дүнгийн утгыг тухайн функцийн тэгшитгэлд орлуулна. Бид y 0 = 1 – 2 – 3 = -4 гэдгийг олж авна. Энэ нь параболын орой нь координаттай (1; -4) гэсэн үг юм.
Дараа нь та параболын салбаруудын координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олох хэрэгтэй. Параболын салбаруудын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдэд функцийн утга тэг байна. Тиймээс бид x 2 – 2x – 3 = 0 квадрат тэгшитгэлийг шийднэ. Үүний үндэс нь шаардлагатай цэгүүд байх болно. Виетийн теоремоор бид x 1 = -1, x 2 = 3 байна.
Ординат тэнхлэгтэй параболын салбаруудын огтлолцох цэгүүдэд аргументийн утга тэг байна. Тиймээс у = -3 цэг нь параболын салбаруудын у тэнхлэгтэй огтлолцох цэг юм. Үүссэн графикийг 1-р зурагт үзүүлэв.
y = |x 2 – 2x – 3| функцийн графикийг авахын тулд графикийн х тэнхлэгийн доор байрлах хэсгийг х тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдлаар харуулъя. Үүссэн графикийг Зураг 2-т үзүүлэв.
y = a функцийн график нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам юм. Үүнийг Зураг 3-т дүрсэлсэн болно. Зургийг ашигласнаар a нь (0; 4) интервалд хамаарах бол графикууд дөрвөн нийтлэг цэгтэй (мөн тэгшитгэл нь дөрвөн үндэстэй) болохыг олж мэдэв.
Үр дүнгийн интервалаас a тооны бүхэл утгууд: 1; 2; 3. Асуудлын асуултанд хариулахын тулд эдгээр тоонуудын нийлбэрийг олъё: 1 + 2 + 3 = 6.
Хариулт: 6.
|x 2 – 4|x| тэгшитгэл болох a тооны бүхэл тоонуудын арифметик дундажийг ол. – 1| = a нь зургаан үндэстэй.
y = |x 2 – 4|x| функцийн графикийг зурж эхэлье – 1|. Үүнийг хийхийн тулд бид a 2 = |a| тэгшитгэлийг ашиглана 2 болон функцын баруун талд бичигдсэн дэд модуль илэрхийлэлд бүрэн квадратыг сонго.
x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.
Тэгвэл анхны функц нь y = |(|x| – 2) 2 – 5| хэлбэртэй байна.
Энэ функцийн графикийг бүтээхийн тулд бид функцүүдийн дараалсан графикийг байгуулна.
1) y = (x – 2) 2 – 5 – (2; -5) координаттай цэг дээрх оройтой парабол; (Зураг 1).
2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – 1-р алхамд баригдсан параболын ординатын тэнхлэгийн баруун талд байрлах хэсэг нь Ой тэнхлэгийн зүүн талд тэгш хэмтэй харагдаж байна; (Зураг 2).
3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – 2-р цэгт баригдсан графикийн х тэнхлэгийн доор байрлах хэсгийг дээшээ х тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдлаар харуулав. (Зураг 3).
Үр дүнгийн зургуудыг харцгаая:
y = a функцийн график нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам юм.
Зургийг ашигласнаар функцүүдийн графикууд нь (1; 5) интервалд хамаарах тохиолдолд (тэгшитгэл нь зургаан үндэстэй) зургаан нийтлэг цэгтэй байна гэж дүгнэв.
Үүнийг дараах зургаас харж болно.
a параметрийн бүхэл утгын арифметик дундажийг олцгооё.
(2 + 3 + 4)/3 = 3.
Хариулт: 3.
blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.
TO параметр бүхий даалгаварЖишээ нь, шугаман ба шийдлийн хайлтыг багтааж болно квадрат тэгшитгэлВ ерөнхий үзэл, параметрийн утгаас хамаарч байгаа язгуурын тооны тэгшитгэлийг судлах.
Авахгүйгээр нарийвчилсан тодорхойлолтуудЖишээ болгон дараах тэгшитгэлийг авч үзье.
y = kx, энд x, y нь хувьсагч, k нь параметр;
y = kx + b, энд x, y нь хувьсагч, k ба b нь параметр;
ax 2 + bx + c = 0, энд x нь хувьсагч, a, b, c нь параметр юм.
Параметр бүхий тэгшитгэлийг (тэгш бус байдал, систем) шийдвэрлэх нь дүрмээр бол шийдвэрлэх гэсэн үг юм хязгааргүй олонлогтэгшитгэл (тэгш бус байдал, систем).
Параметр бүхий даалгавруудыг хоёр төрөлд хувааж болно.
A)Нөхцөл нь: тэгшитгэлийг шийд (тэгш бус байдал, систем) - энэ нь параметрийн бүх утгын хувьд бүх шийдлийг олох гэсэн үг юм. Хэрэв дор хаяж нэг хэрэг шалгагдаагүй бол ийм шийдлийг хангалттай гэж үзэх боломжгүй юм.
б)зааж өгөх шаардлагатай боломжит утгуудтэгшитгэлд (тэгш бус байдал, систем) байгаа параметрүүд тодорхой шинж чанарууд. Жишээлбэл, нэг шийдэлтэй, шийдэлгүй, шийдэлтэй, интервалд хамаарахгэх мэт ийм ажлуудад шаардлагатай нөхцөлийг ямар параметрийн утгаар хангаж байгааг тодорхой зааж өгөх шаардлагатай.
Үл мэдэгдэх тогтмол тоо болох параметр нь тусгай хоёрдмол шинж чанартай байдаг. Юуны өмнө, таамаглаж буй алдар нэр нь параметрийг тоо гэж хүлээн зөвшөөрөх ёстойг харуулж байгааг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Хоёрдугаарт, параметрийг удирдах эрх чөлөө нь түүний ойлгомжгүй байдлаас болж хязгаарлагддаг. Жишээлбэл, параметр агуулсан илэрхийлэлд хуваах эсвэл тэгш градусын үндсийг гаргаж авах үйлдлүүд. ижил төстэй илэрхийлэлшаарддаг урьдчилсан судалгаа. Тиймээс параметртэй ажиллахдаа болгоомжтой байх шаардлагатай.
Жишээлбэл, -6a ба 3a гэсэн хоёр тоог харьцуулахын тулд та гурван тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй.
1) -6a нь сөрөг тоо бол 3a-аас их байх болно;
2) a = 0 тохиолдолд -6a = 3a;
3) Хэрэв a нь эерэг тоо 0 бол -6a нь 3a-аас бага байх болно.
Шийдэл нь хариулт байх болно.
kx = b тэгшитгэлийг өгье. Энэ тэгшитгэл нь богино тэмдэглэлнэг хувьсагчтай хязгааргүй тооны тэгшитгэл.
Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд дараах тохиолдол гарч болно.
1. k нь дурын байг бодит тоотэгтэй тэнцүү биш ба b нь R-ээс ямар ч тоо, тэгвэл x = b/k.
2. k = 0 ба b ≠ 0, анхны тэгшитгэл 0 x = b хэлбэрийг авна. Энэ тэгшитгэлд шийдэл байхгүй нь ойлгомжтой.
3. k ба b тоонууд байг, тэгтэй тэнцүү, тэгвэл бид 0 x = 0 тэгшитгэлтэй байна. Үүний шийдэл нь дурын бодит тоо юм.
Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм:
1. Параметрийн "хяналтын" утгыг тодорхойлно.
2. Эхний догол мөрөнд тодорхойлсон параметрийн утгуудын хувьд x-ийн анхны тэгшитгэлийг шийд.
3. Эхний догол мөрөнд сонгосон параметрээс ялгаатай параметрийн утгуудын хувьд x-ийн анхны тэгшитгэлийг шийд.
4. Та хариултаа дараах хэлбэрээр бичиж болно.
1) ... (параметрийн утгууд) хувьд тэгшитгэл нь ... үндэстэй;
2) ... (параметрийн утгууд) хувьд тэгшитгэлд үндэс байхгүй.
Жишээ 1.
|6 – x| параметртэй тэгшитгэлийг шийд = a.
Шийдэл.
Эндээс ≥ 0 байгааг харахад хялбар байдаг.
6-р модулийн дүрмийн дагуу x = ±a, бид x-ийг илэрхийлнэ:
Хариулт: x = 6 ± a, энд a ≥ 0.
Жишээ 2.
a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 тэгшитгэлийг х хувьсагчийн хувьд бод.
Шийдэл.
Хаалтуудыг нээцгээе: ах – а + 2х – 2 = 0
Тэгшитгэлийг бичье стандарт хэлбэр: x(a + 2) = a + 2.
Хэрэв a + 2 илэрхийлэл тэг биш, өөрөөр хэлбэл a ≠ -2 байвал бид x = (a + 2) / (a + 2) шийдэлтэй байна. x = 1.
Хэрэв a + 2 нь тэгтэй тэнцүү бол i.e. a = -2, тэгвэл бид 0 x = 0 зөв тэгшитгэлтэй тул x нь дурын бодит тоо юм.
Хариулт: a ≠ -2 бол x = 1, a = -2 бол x € R.
Жишээ 3.
x хувьсагчийн хувьд x/a + 1 = a + x тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.
Хэрэв a = 0 бол тэгшитгэлийг a + x = a 2 + ax буюу (a – 1)x = -a(a – 1) хэлбэрт шилжүүлнэ. a = 1-ийн сүүлчийн тэгшитгэл нь 0 x = 0 хэлбэртэй тул x нь дурын тоо юм.
Хэрэв a ≠ 1 бол сүүлчийн тэгшитгэл нь x = -a хэлбэрийг авна.
Энэ шийдлийг координатын шугам дээр дүрсэлж болно (Зураг 1)
Хариулт: a = 0-ийн шийдэл байхгүй; x – a = 1-тэй дурын тоо; a ≠ 0 ба a ≠ 1-ийн хувьд x = -a.
График арга
Параметр бүхий тэгшитгэлийг графикаар шийдэх өөр аргыг авч үзье. Энэ аргыг нэлээд олон удаа ашигладаг.
Жишээ 4.
a параметрээс хамаарч ||x| тэгшитгэл хэдэн үндэстэй байна – 2| = a?
Шийдэл.
График аргаар шийдвэрлэхийн тулд y = ||x| функцуудын графикийг байгуулна – 2| ба y = a (Зураг 2).
Зураг нь тодорхой харуулж байна боломжит тохиолдлууд y = a шулуун шугамын байршил ба тэдгээрийн тус бүрийн язгуурын тоо.
Хариулт: Хэрэв а бол тэгшитгэл үндэсгүй болно< 0; два корня будет в случае, если a >2 ба a = 0; a = 2 тохиолдолд тэгшитгэл нь гурван үндэстэй байх болно; дөрвөн үндэс - 0-д< a < 2.
Жишээ 5.
2|x| тэгшитгэл гэж юу вэ + |x – 1| = a нэг үндэстэй юу?
Шийдэл.
y = 2|x| функцуудын графикуудыг дүрсэлцгээе + |x – 1| ба y = a. y = 2|x|-ийн хувьд + |x – 1|, интервалын аргыг ашиглан модулиудыг өргөжүүлснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
(-3x + 1, x үед< 0,
y = (x + 1, 0 ≤ x ≤ 1-ийн хувьд,
(3x – 1, x > 1-ийн хувьд.
Асаалттай Зураг 3Зөвхөн a = 1 үед тэгшитгэл нь нэг язгууртай байх нь тодорхой харагдаж байна.
Хариулт: a = 1.
Жишээ 6.
|x + 1| тэгшитгэлийн шийдийн тоог тодорхойл + |x + 2| = a параметрээс хамааран a?
Шийдэл.
y = |x + 1| функцийн график + |x + 2| тасархай шугам байх болно. Түүний оройнууд (-2; 1) ба (-1; 1) цэгүүдэд байрлана. (Зураг 4).
Хариулт: хэрэв a параметр нь нэгээс бага бол тэгшитгэл нь үндэсгүй болно; хэрэв a = 1 бол тэгшитгэлийн шийдэл нь [-2 интервалаас авсан тоонуудын хязгааргүй олонлог юм; -1]; Хэрэв a параметрийн утга нэгээс их байвал тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно.
Асуулт хэвээр байна уу? Параметртэй тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!
вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.
