Энэ тэгшитгэл нь далд функцийг тодорхойлж байгааг харуул. Далд байдлаар тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Тэгшитгэлийн системээр тодорхойлогддог далд функцууд

Тэгшитгэлийн системийг өгсөн

эсвэл товчхон Ф(x,y)= 0. (6.7)

Тодорхойлолт. Систем(6.7)y=f далд функцийг тодорхойлно(x)дээр DÌR n

хэрэв "xÎD:Ф(x, f(x)) = 0.

теорем (тэгшитгэлийн системээр далд тодорхойлогдсон зураглалын оршихуй ба өвөрмөц байдал).Болъё

1) F i(x,y)(6.4)-аас тодорхойлогдсон бөгөөд эхний эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай, (i= 1,…,p, k= 1,…,n, j= 1,…,p) U-ийн ойролцоо(М 0)оноо М 0 (x 0 ,y 0), x 0 = , y 0 =

2) Ф(М 0)=0,

3) det.

Дараа нь зарим хороололд У(x 0)Энэ хөршид тодорхойлогдсон өвөрмөц функц (газрын зураг) байдаг y = f(x), ийм

"xО У(x 0) :Ф(x,f(x))=0болон y 0 =f(x 0).

Энэ функц нь x цэгийн зарим хэсэгт тасралтгүй дифференциал болно 0 .

Системийг өгсөн

Энэхүү тэгшитгэлийн системээр тодорхойлсон далд функцийн оршихуй ба өвөрмөц байдлын теоремын нөхцөл хангагдсан гэж бид таамаглах болно. Энэ функцийг тэмдэглэе y=f(x) . Дараа нь цэгийн зарим хороололд x 0 таних тэмдэг хүчинтэй байна

Эдгээр таних тэмдгийг ялгах x jбид авдаг

= 0.(6.9)

Эдгээр тэгш байдлыг бичиж болно матриц хэлбэр

эсвэл өргөтгөсөн хэлбэрээр

Тэгш эрхээс шилжиж байгааг анхаарна уу Ф(x,f(x))=0к , тохиолдолд ялгах дүрэмтэй тохирч байна xТэгээд yнь нэг хэмжээст орон зайн цэгүүд юм. Нөхцөлөөр матриц нь ганц бие биш тул матрицын тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна. Тиймээс бид эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олж чадна далд функцууд. Дифференциалыг олохын тулд бид тэмдэглэнэ

dy = , dx =, ялгах тэгшитгэл (6.8), бид олж авна

эсвэл матриц хэлбэрээр

Өргөтгөсөн

Хэсэгчилсэн деривативын нэгэн адил (6.10) томъёо нь нэг хэмжээст орон зайнхтай ижил хэлбэртэй байна. n= 1, p= 1. Үүний шийдэл матрицын тэгшитгэлхэлбэрээр бичигдэнэ. Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативыг олохын тулд таних тэмдгийг (6.9) ялгах хэрэгтэй (хоёр дахь эрэмбийн дифференциалыг тооцоолохын тулд таних тэмдгийг ялгах хэрэгтэй (6.10)). Тиймээс бид авдаг

хаашаа дамжина Ашаардлагатай нэр томъёог агуулаагүй нэр томъёог зааж өгсөн болно.

Деривативыг тодорхойлох энэхүү системийн коэффициентүүдийн матриц нь Якобын матриц юм.

Дифференциалын хувьд ижил төстэй томъёог авч болно. Эдгээр тохиолдол бүрт хүссэн дериватив буюу дифференциалыг тодорхойлох тэгшитгэлийн систем дэх ижил матрицын коэффициент бүхий матрицын тэгшитгэлийг олж авна. Дараахь ялгааны үед ижил зүйл тохиолдох болно.

Жишээ 1.Нэг цэгт олоорой u= 1,v= 1.

Шийдэл. Өгөгдсөн тэгш байдлыг ялгах

Асуудлын нөхцлөөс бид бие даасан хувьсагчдыг авч үзэх ёстойг анхаарна уу x, y.Дараа нь функцууд байх болно z, u, v.Тиймээс (6.11) системийг үл мэдэгдэх зүйлсийн талаар шийдэх хэрэгтэй du, dv, dz.Матриц хэлбэрээр энэ нь иймэрхүү харагдаж байна

Энэ системийг Крамерын дүрмийг ашиглан шийдье. Коэффициент матрицын тодорхойлогч

Гурав дахь "орлуулах" тодорхойлогч dzтэнцүү байх болно (бид үүнийг сүүлчийн баганыг өргөжүүлэх замаар тооцоолно)

dz =,Мөн, .

(6.11)-ийг дахин нэг удаа ялгаж үзье ( x, y -бие даасан хувьсагч)

Системийн коэффициент матриц нь ижил, гурав дахь тодорхойлогч юм

Энэ системийг шийдэж, бид илэрхийллийг олж авна d 2 zхүссэн деривативыг хаанаас олох боломжтой.

6.3. Ялгаатай зураглал

Үүсмэл зураглал. Тогтмол дэлгэцүүд. Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлфункциональ хамаарал.

Бид хувьсагчдыг холбосон тодорхой тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон далд хэлбэрээр заасан функцүүдийн деривативуудыг олж сурах болно. xТэгээд y. Далд байдлаар тодорхойлсон функцүүдийн жишээ:

Далд хэлбэрээр заасан функцын дериватив эсвэл далд функцын деривативыг маш энгийнээр олдог. Одоо харгалзах дүрэм, жишээг харцгаая, тэгээд яагаад энэ нь ерөнхийдөө хэрэгтэй байгааг олж мэдье.

Далдаар заасан функцийн деривативыг олохын тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг х-тэй харьцуулан ялгах хэрэгтэй. Зөвхөн X байгаа эдгээр нэр томъёо нь X-ээс функцийн ердийн дериватив болж хувирна. Мөн тоглоомын нэр томъёог ялгах дүрмийг ашиглан ялгах хэрэгтэй нарийн төвөгтэй функц, учир нь i нь х-ийн функц юм. Энгийнээр тайлбарлавал, х-тэй нэр томьёоны үр дүнд үүссэн дериватив нь: y-ээс авсан функцын деривативыг у-аас үүссэн деривативаар үржүүлсэн үр дүнд хүрэх ёстой. Жишээ нь нэр томьёоны деривативыг , нэр томьёоны деривативыг гэж бичнэ. Дараа нь, энэ бүхнээс та энэ "тоглоомын цохилт" -ыг илэрхийлэх хэрэгтэй бөгөөд тодорхой заасан функцийн хүссэн деривативыг авах болно. Үүнийг жишээгээр харцгаая.

Жишээ 1.

Шийдэл. i-г х-ийн функц гэж үзэн бид тэгшитгэлийн хоёр талыг х-тэй харьцуулан ялгадаг.

Эндээс бид даалгаварт шаардлагатай деривативыг авна.

Одоо далд хэлбэрээр заасан функцүүдийн хоёрдмол утгатай шинж чанарууд, яагаад тэдгээрийг ялгах тусгай дүрэм шаардлагатай байгаа талаар зарим нэг зүйл байна. Зарим тохиолдолд та орлуулалт хийгдсэн эсэхийг шалгаж болно өгөгдсөн тэгшитгэл(дээрх жишээнүүдийг харна уу) y-ийн оронд түүний x-ээр илэрхийлэгдэх нь энэ тэгшитгэл нь ижил төстэй байдал болоход хүргэдэг. Тэгэхээр. Дээрх тэгшитгэл нь дараах функцуудыг далд байдлаар тодорхойлдог.

Анхны тэгшитгэлд х-ээр дөрвөлжин тоглоомын илэрхийлэлийг орлуулсны дараа бид ижил төстэй байдлыг олж авна.

Бидний орлуулсан илэрхийлэлүүдийг тоглоомын тэгшитгэлийг шийдэх замаар олж авсан.

Хэрэв бид харгалзах тодорхой функцийг ялгах юм бол

Дараа нь бид 1-р жишээн дээрх хариултыг далд заасан функцээс авах болно:

Гэхдээ далд хэлбэрээр заасан функц бүрийг хэлбэрээр төлөөлж болохгүй y = е(x) . Тиймээс, жишээлбэл, далд заасан функцууд

дамжуулан илэрхийлэхгүй үндсэн функцууд, өөрөөр хэлбэл, эдгээр тэгшитгэлийг тоглогчийн хувьд шийдвэрлэх боломжгүй. Тиймээс, далд хэлбэрээр заасан функцийг ялгах дүрэм байдаг бөгөөд үүнийг бид аль хэдийн судалсан бөгөөд цаашид бусад жишээнүүдэд тууштай хэрэглэх болно.

Жишээ 2.Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Бид далд хэлбэрээр заасан функцийн үндсэн ба гаралтын үед деривативыг илэрхийлнэ.

Жишээ 3.Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Шийдэл. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг x-ээр ялгадаг.

Жишээ 4.Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Шийдэл. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг x-ээр ялгадаг.

Бид деривативыг илэрхийлж, олж авдаг:

Жишээ 5.Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Шийдэл. Бид тэгшитгэлийн баруун талд байгаа нөхцөлүүдийг шилжүүлдэг зүүн талбаруун талд тэгийг үлдээгээрэй. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг х-тэй харьцуулан ялгадаг.

Дээд эрэмбийн деривативуудыг (1) томъёог дараалан ялгах замаар олно.

Жишээ. (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0 бол олох.

Шийдэл. Энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг е(x,y) хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Эндээс (1) томъёог хэрэглэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хоёрдахь деривативыг олохын тулд ялгах хэрэгтэй Xгэдгийг харгалзан үзсэн анхны үүсмэл цагт x функц байна:

2°. Хэд хэдэн бие даасан хувьсагчийн тохиолдол. Үүний нэгэн адил, хэрэв тэгшитгэл F(x, y, z)=0, Хаана F(x, y, z) - хувьсагчийн ялгах функц x, yТэгээд z, тодорхойлдог zбие даасан хувьсагчийн функц болгон XТэгээд цагтТэгээд Fz(x, y, z)≠ 0, дараа нь далд байдлаар үүний хэсэгчилсэн деривативууд өгөгдсөн функц, ерөнхийдөө томъёог ашиглан олж болно

z функцийн деривативыг олох өөр нэг арга бол тэгшитгэлийг ялгах явдал юм F(x, y, z) = 0, бид авах:

Эндээс бид тодорхойлж болно dz,Тиймээс .

Жишээ. Хэрэв x бол ол² - 2y²+3z² -yz +

1-р арга. Энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг тэмдэглэнэ F(x, y, z), хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y.

Томьёог (2) ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

2-р арга. Энэ тэгшитгэлийг ялгаж үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

2xdx -4ydy +6zdz-ydz-zdy +dy =0

Эндээс бид тодорхойлно dz, өөрөөр хэлбэл далд функцийн нийт дифференциал:

Томъёотой харьцуулах , бид үүнийг харж байна

3°. Далд функциональ систем. Хэрэв хоёр тэгшитгэлийн систем

тодорхойлдог уТэгээд v x, y хувьсагч ба Якобиан функцуудын хувьд

Дараа нь тэгшитгэлийн системээс эдгээр функцүүдийн дифференциалуудыг (тиймээс тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативуудыг) олж болно.

Жишээ нь: Тэгшитгэл u+v=x+y, xu+yv=1тодорхойлох уТэгээд vфункц байдлаар XТэгээд цагт; олох .

Шийдэл. 1-р арга. Хоёр тэгшитгэлийг x-тэй харьцуулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Үүнтэй төстэй байдлаар бид дараахь зүйлийг олно.

2-р арга. Дифференциалаар бид бүх дөрвөн хувьсагчийн дифференциалыг холбосон хоёр тэгшитгэлийг олдог. du +dv =dx +ди,xdu +уdx +ydv+vdy =0.

Дифференциалын хувьд энэ системийг шийдвэрлэх дуТэгээд dv, бид авах:

4°. Параметрийн тодорхойлолтфункцууд. Хэрэв r хувьсагчийн функц XТэгээд цагттэгшитгэлээр параметрээр өгөгдсөн x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)Тэгээд

тэгвэл энэ функцийн дифференциалыг тэгшитгэлийн системээс олж болно

Дифференциалыг мэддэг dz=p dx+q dy, бид хэсэгчилсэн дериватив ба .

Жишээ. zЧиг үүрэг XТэгээд цагтаргументууд тэгшитгэлээр өгөгдсөн (x=u+v, y=u²+v², z=u²+v²).

u≠v

олох ба.

Шийдэл. 1-р арга. Дифференциалаар бид бүх таван хувьсагчийн дифференциалыг холбосон гурван тэгшитгэлийг олдог. дуТэгээд dv:

Эхний хоёр тэгшитгэлээс бид тодорхойлно Гурав дахь тэгшитгэлд олдсон утгыг орлуулъяТэгээд ду:

2-р арга. Гурав дахь өгөгдсөн тэгшитгэлээс бид олж болно: Эхний хоёр тэгшитгэлийг ялгаж үзье X, цагт:

дараа нь .

Эхний системээс бид дараахь зүйлийг олж мэднэ. .

Хоёрдахь системээс бид дараахь зүйлийг олж авна.

Илэрхийллийг (5) томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хувьсагчдыг солих

Дифференциал илэрхийлэл дэх хувьсагчдыг орлуулахдаа тэдгээрт багтсан деривативуудыг нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу бусад деривативуудаар илэрхийлнэ.

1°. Энгийн дериватив агуулсан илэрхийлэлд хувьсагчдыг орлуулах.

цагтитгэх. X By цагтитгэх. -ийн деривативуудаар дамжуулант

. Бидэнд байгаа: XОлдсон илэрхийллийг деривативын хувьд энэ тэгшитгэлд орлуулж, орлуулах

-ээр дамжуулан бид дараахь зүйлийг авна.

Жишээ. цагтТэгшитгэлийг хөрвүүлэх

үүнийг аргумент болгон авч байна цагтитгэх. X By Xитгэх. , мөн x функцийн хувьд.

Шийдэл. -ийн деривативуудыг илэрхийлье

у.

Эдгээр дериватив илэрхийллүүдийг энэ тэгшитгэлд орлуулбал бид:

эсвэл эцэст нь, Жишээ. Тэгшитгэлийг хөрвүүлэх

руу шилжих

туйлын координат x=r cos φ, y=r cos φ.Шийдэл. харгалзан үзэж байна φ r

функц болгон

Тэгшитгэлийн системийг өгсөн

эсвэл товчхонФ(x, y)=0 (1)

Тодорхойлолт. Систем (1) нь далд заасан функцийг тодорхойлдогy= е(x) дээрД Р n

Хэрэв x Д : Ф(x , е(x)) = 0.

теорем (тэгшитгэлийн системээр далд тодорхойлогдсон зураглалын оршихуй ба өвөрмөц байдал). Болъё

Дараа нь зарим хороололдУ (x 0 ) энэ хөршид тодорхойлогдсон өвөрмөц функц (газрын зураг) байдагy = е(x), ийм байна

 x У (x 0 ) : Ф(x, е(x))=0 баy 0 = е(x 0 ).

Энэ функц нь тухайн цэгийн зарим хэсэгт тасралтгүй ялгаатай байдагx 0 .

5. Тэгшитгэлийн системээр тодорхойлогдсон далд функцүүдийн деривативын тооцоо

Системийг өгсөн

(1)

Энэхүү тэгшитгэлийн системээр тодорхойлсон далд функцийн оршихуй ба өвөрмөц байдлын теоремын нөхцөл хангагдсан гэж бид таамаглах болно. Энэ функцийг тэмдэглэе y= е(x) . Дараа нь цэгийн зарим хороололд x 0 үнэмлэхүүд хүчинтэй байна

(F(x, f(x))=0) (2)

Эдгээр таних тэмдгийг ялгах x j бид авдаг

=0 (3)

Эдгээр тэгшитгэлийг матриц хэлбэрээр бичиж болно

, (3)

эсвэл өргөтгөсөн хэлбэрээр

Тэгш эрхээс шилжиж байгааг анхаарна уу Ф(x, е(x))=0 руу
, тохиолдолд ялгах дүрэмтэй тохирч байна x Тэгээд yнь нэг хэмжээст орон зайн цэгүүд юм. Матриц нөхцөлөөр доройтдоггүй тул матрицын тэгшитгэл
шийдэлтэй
. Ийм байдлаар та далд функцүүдийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олох боломжтой . Дифференциалыг олохын тулд бид тэмдэглэнэ

dy = ,dx = , тэгш байдлыг ялгах (2) бид авдаг

=0 ,

эсвэл матриц хэлбэрээр

. (4)

Өргөтгөсөн

Хэсэгчилсэн деривативын нэгэн адил томъёо (4) Бид нэг хэмжээст орон зайнхтай ижил хэлбэртэй байна n=1, х=1. Энэ матрицын тэгшитгэлийн шийдийг хэлбэрээр бичнэ
. Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олохын тулд таних тэмдгийг ялгах шаардлагатай болно (3) (хоёр дахь эрэмбийн дифференциалыг тооцоолохын тулд таних тэмдгийг ялгах хэрэгтэй (4) ). Тиймээс бид авдаг

хаашаа дамжина А шаардлагатай нэр томъёог агуулаагүй нэр томъёог зааж өгсөн болно
.

Деривативыг тодорхойлох энэ системийн коэффициент матриц
Якобын матрицын үүрэг гүйцэтгэдэг .

Дифференциалын хувьд ижил төстэй томъёог авч болно. Эдгээр тохиолдол бүрт ижил коэффициент бүхий матрицын тэгшитгэлийг олж авна Хүссэн дериватив буюу дифференциалыг тодорхойлох тэгшитгэлийн системд. Дараахь ялгааны үед ижил зүйл тохиолдох болно.

Жишээ 1. Хай ,,цэг дээр у=1, v=1.

Шийдэл. Өгөгдсөн тэгш байдлыг ялгах

(5)

Асуудлыг томъёолсны дагуу бид бие даасан хувьсагчдыг авч үзэх ёстойг анхаарна уу x, y. Дараа нь функцууд байх болно z, у, v. Тиймээс систем (5) үл мэдэгдэх зүйлийн талаар шийдэх ёстой ду, dv, dz . Матриц хэлбэрээр энэ нь иймэрхүү харагдаж байна