Тэгшитгэлийн системийг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх. Тэгшитгэлийн системийг матриц руу хөрвүүлэх дүрэм

Маслова С.В.

нэрэмжит Москвагийн Улсын сурган хүмүүжүүлэх дээд сургууль. M. E. Евсевиева, хэлтэс. бага боловсролын арга

Тэгшитгэлийн системийг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх

Одоогийн байдлаар тэгшитгэлийн системийг судлах, тэдгээрийн тусламжтайгаар асуудлыг шийдвэрлэх нь ахлах сургуулийн алгебрийн хичээлийн онцгой эрх юм. Үндсэндээ тэгшитгэлийн системийг хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл гэж үздэг бөгөөд ижил үсэг нь ижил тоог илэрхийлдэг. Алгебрийн хичээл дээр тэгшитгэлийн системийг ашиглан шийдсэн зарим төрлийн бодлогын жишээг өгье. Үүний үр дүнд тэгшитгэлийн системийг шийдэх нь нэг квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг. Системийг өөрөө эмхэтгэх аргад онцгой анхаарал хандуулцгаая.

1. Геометрийн агуулгатай холбоотой асуудал: “Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь 13 см, талбай нь 30 см 2. Хөлөө олоорой."

Шийдэл: Хөл нь тэнцүү байх ёстой XТэгээд цагтсантиметр. Пифагорын теорем ба тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёог ашиглан асуудлын нөхцөлийг дараах байдлаар бичнэ.

Системийн эхний тэгшитгэл дээр хоёр дахь тэгшитгэлийг 4-өөр үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна. хаана эсвэл оноос хойш XТэгээд цагтэерэг тоонууд байвал энэ тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ цагтдамжуулан Xсистемийн тэгшитгэлүүдийн аль нэгэнд, жишээлбэл, хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна: Үүссэн тэгшитгэлийг шийдье:

Эдгээр утгыг томъёонд орлуулснаар бид олдог Аль ч тохиолдолд хөлний нэг нь 5 см, нөгөө нь 12 см байна.

Хариулт: Тэгш өнцөгт гурвалжны талууд 5 см ба 12 см байна.

2. Агуулгыг дугаарлахтай холбоотой асуудал: “Хоёр оронтой тоог цифрүүдийн нийлбэрт нь хуваахад хуваагдал нь 6, үлдэгдэл нь 4. Ижил тоог цифрүүдийн үржвэрт хуваахад 2, үлдэгдэл нь 16 болно. Энэ дугаарыг олоорой."

Шийдэл: Хоёр оронтой тоог 10x+y гэж бичье. Үлдэгдэлтэй хуваагдах үед бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн харилцан үйлчлэлийн дүрмийг ашиглан бид асуудлын нөхцөлийг дараах байдлаар бичнэ.

Эхний тэгшитгэлийн хаалтуудыг нээвэл бид үүнээс утгыг илэрхийлнэ цагт: Орлуулах утга цагтСистемийн эхний тэгшитгэлд бид квадрат тэгшитгэлийг олж авна: - асуудлын нөхцөлийг хангахгүй байна.

Үр дүнгийн утгыг бидний олсон томъёонд орлуул

Хариулт: хоёр оронтой тоо 64.

3. Бүс нутгийн асуудал: “Тэгш өнцөгт талбайг 1 км урт хашаагаар хаах шаардлагатай. Талбай нь 6 га бол талбайн урт, өргөн нь ямар байх ёстой вэ?

Шийдэл: Тэгш өнцөгт хэсгийн урт ба өргөнийг тэнцүү болго XТэгээд цагтметр. Тэгш өнцөгтийн периметр ба талбай, мөн 1 км = 1000 м ба 1 га = 10000 м-ийн харьцааг олох томъёог ашиглан асуудлын нөхцөлийг дараах байдлаар бичнэ.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн утгыг илэрхийлье цагт: Орлуулах утга цагтСистемийн эхний тэгшитгэлд бид квадрат тэгшитгэлийг олж авна.

Үр дүнгийн утгыг томъёонд орлуулах

Хариулт: талбайн урт ба өргөн нь 300 м, 200 м байна.

Хэрэв асуудлын нөхцлийн дагуу ахлах сургуулийн сурагчид квадрат тэгшитгэл гарч ирэхгүй тэгшитгэлийн системийг бий болговол доод ангийн сурагчид асуудлыг өөрөө шийдэж болно. Математикийн анхан шатны сургалтанд тэгшитгэлийн системийг ашиглах эрх чөлөөтэй болсон цорын ганц програм бол Л.В.Занковын хөгжлийн боловсролын систем юм.Математикийн анхан шатны хичээлээс тэгшитгэлийн системийг ашиглан бодлого бодох жишээг авч үзье.

1. Хөдөлгөөний даалгавар: “Хот хоорондын зай 564 км. Галт тэрэгнүүд нэгэн зэрэг уулзахаар хотуудаас гарч, 6 цагийн дараа уулзав. Нэг галт тэрэгний хурд нөгөөгөөсөө 10 км илүү. Галт тэрэг бүрийн хурд хэд вэ?

Шийдэл: Эхний галт тэрэгний хурдыг x км/ц, хоёр дахь галт тэрэгний хурдыг у км/ц гэж үзье. Асуудлын нөхцлийн дагуу галт тэрэгнүүд 6 цагийн дараа уулзав. Дараа нь 6 км - эхний галт тэрэг хурлын өмнө, 6 км - хоёр дахь галт тэрэг уулзалтын өмнө өнгөрнө. Тэдний уулзалт гэдэг нь уулзалт болохоос өмнө нийтдээ 564 км замыг туулсан гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл 6х+6у=564 - эхний тэгшитгэл.

Эхний галт тэрэгний хурд нь хоёр дахь хурдаас 10 км / цаг их, өөрөөр хэлбэл хурдны хоорондох зөрүү 10. Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг олж авна: x-y = 10

Хариулт: 52 км/цаг, 42 км/цаг.

2. Хоёр популяцийг тэнцүүлэх асуудал: “Хоёр тавиур дээр 84 ном байна. Хэрэв та нэг тавиураас 12 ном авбал хоёр тавиур дээр ижил тооны ном байх болно. Тавиур бүрт хэдэн ном байх вэ? Анх хэд байсан бэ?

Шийдэл: Эхний тавиур дээр x ном, хоёр дахь тавиур дээр x ном байг. Асуудлын нөхцлийн дагуу хоёр тавиур дээр нийт 84 ном байдаг, өөрөөр хэлбэл x + y = 84 - эхний тэгшитгэл.

Хэрэв та эхний тавиураас 12 номыг хасвал хоёр тавиур дээрх номын тоо тэнцүү болно. Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг авна: x-12=y.

Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийн системийг олж авна.

(ном) - эхний тавиур дээр байсан.

84-48=36 (к.) - хоёрдугаар тавиур дээр байсан.

48-12=36 (к.) - тавиур бүрт байх болно.

Хариулт: 36 ном, 48 ном, 36 ном.

3. Таамаглах даалгавар: "Хүүгийн цуглуулгад цох, аалз байдаг - нийт 8. Хэрэв та цуглуулгын бүх хөлийг тоолвол. Тэгвэл 54-өөр нь хэдэн цох, хэдэн аалз байгаа юм бэ?” гэж асуув.

Шийдэл: х-г цох, y-г аалзны тоо гэж үзье. Нийт 8 ширхэг. Бид эхний тэгшитгэлийг авна - x+y=8.

Мөн цох нь 6 хөлтэй тул нийт 6 хөлтэй болно. Аалз 8 хөлтэй, дараа нь 8y нь аалзны нийт хөлний тоо юм. Нийт 54. Дараа нь бид хоёр дахь тэгшитгэлд хүрнэ: 6x+8y=54.

Хичээлийн сэдэв: "Систем ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх"

Зорилго: систем ашиглан тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхийг заах.

Даалгаварууд:

Боловсролын

Систем ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж сурах, энэ мэдлэгээ нэгтгэх

Хөгжлийн.

Сэтгэн бодох үйл ажиллагааг хөгжүүлэх (нийтлэх, дүн шинжилгээ хийх, чухал зүйлийг тодруулах). Анхаарлыг хөгжүүлэх.

Хамтран ажиллах чадварыг хөгжүүлэх.

Боловсролын.

Алгебрийн хичээлд ухамсартай хандлагыг төлөвшүүлэх.

Өөрийгөө сайжруулах хүслийг бий болгох.

Хичээлийн төрөл - хосолсон.

Хичээлийн явц

Ι.Боловсролын үйл ажиллагааны сэдэл.

Зорилго: боловсролын үйл ажиллагааны хувьд оюутнуудад тавигдах шаардлагыг шинэчлэх ажлыг зохион байгуулах.

– Өдрийн мэнд, залуусаа! Бидний хичээлийн эпиграф нь "Бидний хүч бол эв нэгдэлтэй" гэсэн үг байх болно.

Бидний хичээлийн сэдэв нь “Систем ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Бид ангидаа юу хийнэ гэж бодож байна вэ? (Оюутны хариулт). Системийг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар олж авсан мэдлэгээ нэгтгэж, нэгтгэцгээе.

Би. Гэрийн даалгавраа шалгаж байна.

Зорилго: шинэ мэдлэгийг бий болгоход хангалттай судлагдсан үйл ажиллагааны аргуудыг шинэчлэх ажлыг зохион байгуулах.

Тэмдэглэлийн дэвтэр солилцож, бие биенээ даалгавраа хэрхэн биелүүлснийг шалгана уу.

“Би энэ сэдвийн талаар мэднэ...”, “Би энэ сэдвийг мэднэ...” өгүүлбэрийг үргэлжлүүлнэ үү. Надад хэлээч, "мэдэх", "чадна" гэсэн ойлголтуудын ялгаа юу вэ?

III. Асуудлын байршил, шалтгааныг тодорхойлох

Зорилго: сэргээн засварлах, хүндрэлтэй газрыг засах, өөрийн үйлдлүүдийг ашигласан стандарттай уялдуулах ажлыг зохион байгуулах - тухайн асуудлыг шийдвэрлэхэд дутагдаж буй мэдлэг, ур чадварыг тодорхойлох.

Би танд дараах тэгшитгэлийг шийдэхийг санал болгож байна

Тэгшитгэл гэж юу байдгийг хэлж өгөөч? ( Тэгшитгэл гэдэг нь хоёр алгебр илэрхийллийн тэгш байдлыг илэрхийлсэн математик харилцаа юм)

Тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? ( Тэгшитгэлийг шийд - түүний бүх үндэс, өөрөөр хэлбэл тэдгээр үнэт зүйлсийг олох гэсэн үг x, тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргах, эсвэл үндэс байхгүй гэдгийг нотлох)

IV. Асуудлаас гарахын тулд төсөл боловсруулах

Зорилго: хүндрэлээс гарахын тулд төсөл барих ажлыг зохион байгуулах.

Систем ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд юу хийх хэрэгтэй гэж та бодож байна вэ? (дөрвөлжин) Зөв. Энэ тэгшитгэлийг шийдэх ямар аргыг та мэдэх вэ? (Боломжтой хариултууд: квадрат ба шалгана уу, гэхдээ энэ нь нэмэлт үндэс үүсгэж болзошгүй; үгүй, бид чадахгүй). Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ түүний баруун тал нь 2-оос их буюу тэнцүү байна гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Бид ямар тэгшитгэл авсан бэ? (дөрвөлжин). Залуус аа, тэгшитгэлийг нэг дор, бүхэлд нь зөв, чадварлаг шийдэх боломжтой юу? (Үгүй) Хэрэв бид үүнийг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд нь задалж, тусад нь шийдвэл яах вэ? (Тийм ээ, та чадна) Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлд ч эв нэгдэлд хүч байдаг гэж хэлж болно. Бодоод үз дээ, эв нэгдэл, хүч чадлын жишээ юу вэ? (Хариулт: дайны үед хүмүүс нэгдмэл байдаг).

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь 3 ба -23/7 байна. Эхний язгуур нь x>2 тэгш бус байдлыг хангадаг, харин хоёр дахь үндэс нь хангадаггүй. Тэгшитгэлийн шийдэл нь зөвхөн нэг үндэс юм. (Хариулт x=3)

Залуус аа, одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэхдээ бид теоремыг ашигласан.

Бид ижил төстэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ энэ теоремыг ашиглах болно. Сурах бичгээ 243-р хуудаснаас нээнэ үү. Теоремыг дахин уншина уу.

V.Анхдагч нэгтгэх.

Одоо би танд дараах тэгшитгэлийг шийдэхийг санал болгож байна.

"5"-т суралцдаг хүмүүсийн хувьд тэгшитгэлийн дугаар нэг, үлдсэн нь 2-р даалгавар.

(Тэмдэглэлийн дэвтэрт хүн бүр шийдлийг бичнэ. Нэг сурагч шийдлийг самбарт бичнэ. Шийдэж дуусаад би 1-р даалгаврын зөв хариулт бүхий слайдыг нээнэ)

В. Өөрийгөө шалгах бие даасан ажил.

Зорилго: үйл ажиллагааны шинэ арга барилаар сурагчдын стандарт даалгаврыг бие даан гүйцэтгэх ажлыг зохион байгуулах.

Компьютер дээр тест хийх.

VI. Мэдлэгийн системд оруулах, давтах.

Зорилго: шинэ аргыг ашигладаг даалгаврын төрлийг тодорхойлох ажлыг зохион байгуулах.

Магадгүй та хаа нэгтээ ижил төстэй тэгшитгэлтэй тулгарсан байх? (Энэ бол B5 даалгавар,

За, бид өнөөдөр юу уулзсан бэ? Та ямар шинэ зүйл сурсан бэ? (Хариулт)

Одоо би "Бидний хүч бол эв нэгдэл" гэсэн хичээлийнхээ эпиграф руу дахин шилжихийг хүсч байна. Залуус аа, яагаад би хичээлдээ яг энэ эпиграфыг сонгосон гэж та бодож байна вэ? (Оюутны хариулт).

VII . Сурах үйл ажиллагааны талаархи эргэцүүлэл.

Зорилго: Хичээл дэх оюутнуудын өөрсдийн үйл ажиллагааны үнэлгээг зохион байгуулах.

"Залуус аа, "Ангидаа би чадсан ..." гэсэн хэллэгийг үргэлжлүүлнэ үү. (Оюутны хариулт.)

VIII . Гэрийн даалгавар.

Эдийн засгийн салбарт янз бүрийн үйл явцыг математик загварчлахад тэгшитгэлийн системийг өргөн ашигладаг. Жишээлбэл, үйлдвэрлэлийн менежмент, төлөвлөлт, логистикийн маршрут (тээврийн асуудал) эсвэл тоног төхөөрөмжийг байрлуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд.

Тэгшитгэлийн системийг зөвхөн математикт төдийгүй физик, хими, биологи, хүн амын тоог олох асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Шугаман тэгшитгэлийн систем гэдэг нь нийтлэг шийдлийг олох шаардлагатай хэд хэдэн хувьсагчтай хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл юм. Бүх тэгшитгэл нь жинхэнэ тэгшитгэл болох эсвэл дараалал байхгүй гэдгийг нотлох тоонуудын ийм дараалал.

Шугаман тэгшитгэл

ax+by=c хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман гэнэ. x, y тэмдэглэгээ нь утгыг нь олох ёстой үл мэдэгдэх зүйлс, b, a нь хувьсагчдын коэффициент, в нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн юм.
Тэгшитгэлийг зурах замаар шийдэх нь бүх цэгүүд нь олон гишүүнтийн шийдэл болох шулуун шугам шиг харагдана.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн төрлүүд

Хамгийн энгийн жишээ бол X ба Y гэсэн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд юм.

F1(x, y) = 0 ба F2(x, y) = 0, энд F1,2 нь функц, (x, y) нь функцын хувьсагч юм.

Тэгшитгэлийн системийг шийдэх - Энэ нь систем жинхэнэ тэгш байдал болж хувирах утгуудыг (x, y) олох эсвэл x ба y-ийн тохирох утгууд байхгүй болохыг тогтооно гэсэн үг юм.

Цэгийн координат хэлбэрээр бичигдсэн хос утгыг (x, y) шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв системүүд нэг нийтлэг шийдэлтэй эсвэл шийдэл байхгүй бол тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системүүд нь баруун тал нь тэгтэй тэнцүү систем юм. Хэрэв тэнцүү тэмдгийн дараа баруун хэсэг нь утгатай эсвэл функцээр илэрхийлэгддэг бол ийм систем нь гетероген байна.

Хувьсагчийн тоо хоёроос хамаагүй их байж болно, тэгвэл бид гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг ярих хэрэгтэй.

Системтэй тулгарах үед сургуулийн сурагчид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой заавал давхцах ёстой гэж үздэг боловч энэ нь тийм биш юм. Систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчдаас хамаардаггүй;

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд төвөгтэй аргууд

Ийм системийг шийдвэрлэх ерөнхий аналитик арга байхгүй; бүх аргууд нь тоон шийдэл дээр суурилдаг. Сургуулийн математикийн хичээлд орлуулах, алгебрийн нэмэх, орлуулах аргууд, түүнчлэн график, матрицын аргууд, Гауссын аргаар шийдвэрлэх аргуудыг нарийвчлан тайлбарласан болно.

Шийдлийн аргуудыг заах гол ажил бол системд хэрхэн зөв дүн шинжилгээ хийх, жишээ тус бүрийн оновчтой шийдлийн алгоритмыг олоход сургах явдал юм. Хамгийн гол нь арга тус бүрийн дүрэм, үйлдлийн системийг цээжлэх биш, харин тодорхой аргыг ашиглах зарчмуудыг ойлгох явдал юм.

Ерөнхий боловсролын 7-р ангийн сургалтын хөтөлбөрт шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх нь маш энгийн бөгөөд нарийвчлан тайлбарласан болно. Аливаа математикийн сурах бичигт энэ хэсэгт хангалттай анхаарал хандуулдаг. Гаусс ба Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээг дээд боловсролын эхний жилүүдэд илүү нарийвчлан судалдаг.

Орлуулах аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх

Орлуулах аргын үйлдэл нь нэг хувьсагчийн утгыг хоёр дахь хувьсагчаар илэрхийлэхэд чиглэгддэг. Илэрхийлэлийг үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь нэг хувьсагчтай хэлбэр болгон бууруулна. Үйлдэл нь систем дэх үл мэдэгдэх тооноос хамаарч давтагдана

Орлуулах аргыг ашиглан 7-р ангийн шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдлийг өгье.

Жишээнээс харахад х хувьсагчийг F(X) = 7 + Y-ээр илэрхийлсэн. Үр дүнгийн илэрхийлэл нь системийн 2-р тэгшитгэлд X-ийн оронд орлуулсан нь 2-р тэгшитгэлд нэг Y хувьсагчийг авахад тусалсан. . Энэ жишээг шийдэх нь хялбар бөгөөд Y утгыг авах боломжийг олгодог. Сүүлийн алхам бол олж авсан утгыг шалгах явдал юм.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг орлуулах замаар шийдэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Тэгшитгэлүүд нь төвөгтэй байж болох ба хувьсагчийг хоёр дахь үл мэдэгдэх байдлаар илэрхийлэх нь цаашдын тооцоололд хэтэрхий төвөгтэй байх болно. Системд 3-аас дээш үл мэдэгдэх зүйл байвал орлуулах замаар шийдвэрлэх нь бас тохиромжгүй.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдэл:

Алгебрийн нэмэлтийг ашиглан шийдэл

Нэмэх аргыг ашиглан системийн шийдлүүдийг хайхдаа тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмж, янз бүрийн тоогоор үржүүлнэ. Математик үйлдлүүдийн эцсийн зорилго нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Энэ аргыг хэрэглэх нь дадлага, ажиглалт шаарддаг. 3 ба түүнээс дээш хувьсагчтай үед шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийдвэрлэх нь тийм ч хялбар биш юм. Тэгшитгэл нь бутархай ба аравтын бутархайг агуулсан үед алгебрийн нэмэлтийг ашиглахад тохиромжтой.

Шийдлийн алгоритм:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүлнэ. Арифметик үйлдлийн үр дүнд хувьсагчийн нэг коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой.
Үүссэн илэрхийлэлийг гишүүнээр нэмээд үл мэдэгдэх нэгийг ол.
Үлдсэн хувьсагчийг олохын тулд үүссэн утгыг системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулна.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх замаар шийдвэрлэх арга

Хэрэв систем нь хоёроос илүүгүй тэгшитгэлийн шийдлийг олохыг шаарддаг бол үл мэдэгдэх тоо хоёроос илүүгүй байх шаардлагатай бол шинэ хувьсагчийг оруулж болно.

Энэ аргыг шинэ хувьсагч оруулах замаар нэг тэгшитгэлийг хялбарчлахад ашигладаг. Шинэ тэгшитгэлийг танилцуулсан үл мэдэгдэх зүйлийг шийдэж, үр дүнгийн утгыг анхны хувьсагчийг тодорхойлоход ашиглана.

Шинэ хувьсагч t-г оруулснаар системийн 1-р тэгшитгэлийг стандарт квадрат гурвалжин болгон бууруулах боломжтой байсныг жишээ харуулж байна. Дискриминантыг олох замаар олон гишүүнтийг шийдэж болно.

Мэдэгдэж буй томьёог ашиглан ялгаварлагчийн утгыг олох шаардлагатай: D = b2 - 4*a*c, энд D нь хүссэн дискриминант, b, a, c нь олон гишүүнтийн хүчин зүйлүүд юм. Өгөгдсөн жишээнд a=1, b=16, c=39, тиймээс D=100. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс их бол хоёр шийдэл байна: t = -b±√D / 2*a, хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол нэг шийдэл байна: x = -b / 2*a.

Үүссэн системүүдийн шийдлийг нэмэх аргаар олно.

Системийг шийдвэрлэх харааны арга

3 тэгшитгэлийн системд тохиромжтой. Энэ арга нь координатын тэнхлэг дээр системд багтсан тэгшитгэл бүрийн графикийг байгуулахаас бүрдэнэ. Муруйнуудын огтлолцох цэгүүдийн координатууд нь системийн ерөнхий шийдэл болно.

График арга нь хэд хэдэн нюанстай байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг визуал аргаар шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээнээс харахад мөр бүрт хоёр цэгийг байгуулж, x хувьсагчийн утгыг дур мэдэн сонгосон: 0 ба 3. x-ийн утгуудад үндэслэн y-ийн утгыг олов: 3 ба 0. График дээр (0, 3) ба (3, 0) координаттай цэгүүдийг тэмдэглэж, шугамаар холбосон.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн хувьд алхамуудыг давтах ёстой. Шугамануудын огтлолцох цэг нь системийн шийдэл юм.

Дараах жишээнд шугаман тэгшитгэлийн системийн график шийдийг олох шаардлагатай: 0.5x-y+2=0 ба 0.5x-y-1=0.

Графикууд нь параллель бөгөөд бүхэл бүтэн уртаараа огтлолцдоггүй тул жишээнээс харахад системд шийдэл байхгүй.

2 ба 3-р жишээн дээрх системүүд нь ижил төстэй боловч бүтээгдсэн үед тэдгээрийн шийдэл нь өөр болох нь тодорхой болно. Системд шийдэл байгаа эсэхийг үргэлж хэлэх боломжгүй гэдгийг санах нь зүйтэй бөгөөд энэ нь үргэлж график байгуулах шаардлагатай байдаг.

Матриц ба түүний сортууд

Матрицыг шугаман тэгшитгэлийн системийг товч бичихэд ашигладаг. Матриц бол тоогоор дүүргэсэн тусгай төрлийн хүснэгт юм. n*m нь n - мөр, m - баганатай.

Матриц нь багана, мөрийн тоо тэнцүү байх үед квадрат болно. Матриц-вектор гэдэг нь хязгааргүй тооны мөр бүхий нэг баганын матриц юм. Диагональ ба бусад тэг элементүүдийн дагуу нэг нь бүхий матрицыг ижил төстэй байдал гэж нэрлэдэг.

Урвуу матриц нь үржүүлбэл анхны матриц нь нэгж матриц болж хувирдаг матриц нь зөвхөн анхны квадратын хувьд л байдаг.

Тэгшитгэлийн системийг матриц руу хөрвүүлэх дүрэм

Тэгшитгэлийн системтэй холбоотойгоор тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нөхцөлийг матрицын тоогоор бичдэг нэг тэгшитгэл нь матрицын нэг эгнээ;

Хэрэв мөрийн ядаж нэг элемент тэг биш байвал матрицын мөрийг тэгээс өөр гэж нэрлэдэг. Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийн аль нэгэнд хувьсагчийн тоо өөр байвал алга болсон үл мэдэгдэхийн оронд тэг оруулах шаардлагатай.

Матрицын баганууд нь хувьсагчидтай яг тохирч байх ёстой. Энэ нь х хувьсагчийн коэффициентийг зөвхөн нэг баганад, жишээлбэл, эхнийх нь үл мэдэгдэх у-ийн коэффициентийг зөвхөн хоёр дахь хэсэгт бичиж болно гэсэн үг юм.

Матрицыг үржүүлэхдээ матрицын бүх элементүүдийг тоогоор дараалан үржүүлнэ.

Урвуу матрицыг олох сонголтууд

Урвуу матрицыг олох томьёо нь маш энгийн: K -1 = 1 / |K|, K -1 нь урвуу матриц ба |K| матрицын тодорхойлогч юм. |K| тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, тэгвэл систем шийдэлтэй болно.

Тодорхойлогчийг хоёроос хоёр матрицад хялбархан тооцдог, та диагональ элементүүдийг бие биенээр нь үржүүлэхэд л хангалттай. “Гурав гурваар” гэсэн хувилбарын хувьд |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 томъёо байна. + a 3 b 2 c 1 . Та томьёог ашиглаж болно, эсвэл ажил дээр багана, мөрийн элементийн тоо давтагдахгүйн тулд мөр, багана бүрээс нэг элемент авах хэрэгтэй гэдгийг санаж болно.

Матрицын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх

Шийдвэр олох матрицын арга нь олон тооны хувьсагч, тэгшитгэл бүхий системийг шийдвэрлэхэд төвөгтэй оруулгуудыг багасгах боломжийг олгодог.

Жишээн дээр a nm нь тэгшитгэлийн коэффициентууд, матриц нь вектор x n хувьсагч, b n нь чөлөөт нэр томъёо юм.

Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх

Дээд математикт Гауссын аргыг Крамерын аргатай хамт судалдаг бөгөөд системийн шийдлийг олох үйл явцыг Гаусс-Крамерын шийдлийн арга гэж нэрлэдэг. Эдгээр аргуудыг олон тооны шугаман тэгшитгэл бүхий системийн хувьсагчдыг олоход ашигладаг.

Гауссын арга нь орлуулалт болон алгебрийн нэмэлтээр шийдлүүдтэй маш төстэй боловч илүү системтэй байдаг. Сургуулийн хичээл дээр Гауссын аргын шийдлийг 3 ба 4 тэгшитгэлийн системд ашигладаг. Аргын зорилго нь системийг урвуу трапец хэлбэрийн хэлбэрт оруулах явдал юм. Алгебрийн хувиргалт ба орлуулалтын тусламжтайгаар нэг хувьсагчийн утгыг системийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд олно. Хоёр дахь тэгшитгэл нь 2 үл мэдэгдэх илэрхийлэл бөгөөд 3 ба 4 нь 3 ба 4 хувьсагчтай байна.

Системийг тодорхойлсон хэлбэрт оруулсны дараа дараагийн шийдлийг системийн тэгшитгэлд мэдэгдэж буй хувьсагчдыг дараалан орлуулах хүртэл бууруулна.

7-р ангийн сургуулийн сурах бичигт Гауссын аргын шийдлийн жишээг дараах байдлаар дүрсэлсэн болно.

Жишээнээс харахад (3) алхам дээр 3х 3 -2х 4 =11 ба 3х 3 +2х 4 =7 гэсэн хоёр тэгшитгэл гарсан. Аливаа тэгшитгэлийг шийдэх нь x n хувьсагчийн аль нэгийг олох боломжийг олгоно.

Бичвэрт дурдсан теорем 5-д хэрэв системийн тэгшитгэлийн аль нэгийг ижил тэгшитгэлээр сольсон тохиолдолд үүссэн систем нь анхныхтай тэнцүү байх болно гэж заасан.

Гауссын арга нь дунд ангийн сурагчдад ойлгоход хэцүү ч математик, физикийн ангиудад гүнзгийрүүлсэн сургалтын хөтөлбөрт хамрагдаж буй хүүхдүүдийн оюун ухааныг хөгжүүлэх хамгийн сонирхолтой аргуудын нэг юм.

Бичлэг хийхэд хялбар байх үүднээс тооцооллыг ихэвчлэн дараах байдлаар хийдэг.

Тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нэр томъёог матрицын хэлбэрээр бичсэн бөгөөд матрицын мөр бүр нь системийн тэгшитгэлүүдийн аль нэгэнд тохирч байна. тэгшитгэлийн зүүн талыг баруун талаас нь тусгаарлана. Ромын тоо нь систем дэх тэгшитгэлийн тоог заана.

Эхлээд ажиллах матрицыг бичээд дараа нь аль нэг мөрийг ашиглан хийсэн бүх үйлдлийг бичнэ үү. Үүссэн матрицыг "сум" тэмдгийн дараа бичиж, үр дүнд хүрэх хүртэл шаардлагатай алгебрийн үйлдлүүдийг үргэлжлүүлнэ.

Үр дүн нь диагональуудын аль нэг нь 1, бусад бүх коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх матриц байх ёстой, өөрөөр хэлбэл матрицыг нэгж хэлбэрээр бууруулна. Бид тэгшитгэлийн хоёр талд тоогоор тооцоо хийхээ мартаж болохгүй.

Энэхүү бичлэг хийх арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд олон тооны үл мэдэгдэх зүйлсийг жагсаахад анхаарлаа сарниулахгүй байх боломжийг олгодог.

Аливаа шийдлийн аргыг үнэ төлбөргүй ашиглах нь анхаарал халамж, зарим туршлага шаарддаг. Бүх аргууд нь хэрэглээний шинж чанартай байдаггүй. Шийдэл олох зарим аргууд нь хүний үйл ажиллагааны тодорхой салбарт илүү тохиромжтой байдаг бол зарим нь боловсролын зорилгоор байдаг.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх чадвартай байх нь маш сайн, гэхдээ тэгшитгэлийн системийг өөрөө шийдэх нь зөвхөн илүү төвөгтэй асуудлыг шийдэх арга юм. Тэгшитгэлийн системийг ашигласнаар бид амьдралд тулгардаг янз бүрийн асуудлыг шийдэж чадна.

Алгебр бол тэгшитгэл, тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх шинжлэх ухаан юм. Энэ бол 20-р зууны төгсгөлд эрдэмтэд яг ийм тодорхойлолт юм. Алдарт эрдэмтэн Рене Декарт нэгэн бүтээлээрээ алдартай бөгөөд үүнийг "Декартын арга" гэж нэрлэдэг. Декарт аливаа асуудлыг математикийн бодлого болгон бууруулж, математикийн аливаа асуудлыг алгебрийн тэгшитгэлийн систем болгон бууруулж болно гэж үздэг. Мөн ямар ч системийг нэг тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл багасгаж болно.

Харамсалтай нь Декарт аргаа бүрэн гүйцэд хийж амжаагүй, бүх санааг нь бичээгүй ч санаа нь маш сайн.

Одоо бид Декартын нэгэн адил тэгшитгэлийн системийг ашиглан асуудлыг шийдэх болно, мэдээжийн хэрэг аль нь ч биш, зөвхөн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд багасгаж болох асуудлыг л шийдэх болно.

Тэгшитгэлийн системийг ашиглан асуудлыг шийдэх ерөнхий схем

Тэгшитгэлийн системийг ашиглан асуудлыг шийдэх ерөнхий схемийг тайлбарлая.

1. Үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд бид тодорхой тэмдэглэгээг нэвтрүүлж, шугаман тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.
2. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд.
3. Оруулсан тэмдэглэгээг ашиглан хариултаа бичнэ.

Энэ схемийг тодорхой асуудалд ашиглахыг хичээцгээе.

Хоёр харандаа, гурван дэвтэр 35 рубль, хоёр дэвтэр, гурван харандаа 40 рублийн үнэтэй гэдгийг мэддэг. Таван харандаа, зургаан дэвтэр хэдэн төгрөгийн үнэтэй болохыг олж мэдэх хэрэгтэй.

Шийдэл:

Нэг харандаа, нэг дэвтэр тус тусад нь хэдэн төгрөгийн үнэтэй болохыг олох хэрэгтэй. Хэрэв бидэнд ийм мэдээлэл байгаа бол таван харандаа, зургаан дэвтэр ямар үнэтэй болохыг шийдэхэд хэцүү биш байх болно.

Нэг харандааны үнийг рубльээр х-ээр тэмдэглэе. Мөн y бол нэг дэвтэрийн рублийн үнэ юм. Одоо нөхцөлийг анхааралтай уншиж, тэгшитгэл үүсгэ.

"Хоёр харандаа, гурван дэвтэр 35 рублийн үнэтэй" гэсэн үг