Худалдааны төвд хоёр ижил машин кофе зардаг. Машинууд төв хаагдсаны дараа оройн цагаар үйлчилгээ үзүүлдэг. "Орой гэхэд анхны машин кофегүй болно" гэсэн үйл явдлын магадлал 0.25 байна. "Орой болоход хоёр дахь машин кофегүй болно" гэсэн үйл явдлын магадлал ижил байна. Орой гэхэд хоёуланд нь кофе дуусах магадлал 0.15 байна. Орой болоход хоёр машинд кофе үлдэх магадлалыг ол.
Шийдэл.
Үйл явдлыг авч үзье
A = эхний машинд кофе дуусна,
B = хоёр дахь машинд кофе дуусна.
A·B = кофе хоёр машинд дуусна,
A + B = кофе ядаж нэг машинд дуусна.
Нөхцөлөөр P(A) = P(B) = 0.25; P(A·B) = 0.15.
А ба В үйл явдлууд нь хамтарсан бөгөөд хоёр хамтарсан үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн үржвэрийн магадлалаар буурсан байна.
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 0.25 + 0.25 - 0.15 = 0.35.
Тиймээс кофе хоёр машинд үлдэх эсрэг үйл явдлын магадлал нь 1 − 0.35 = 0.65 байна.
Хариулт: 0.65.
Өөр шийдлийг өгье.
Кофе эхний машинд үлдэх магадлал 1 − 0.25 = 0.75 байна. Хоёр дахь машинд кофе үлдэх магадлал 1 − 0.25 = 0.75 байна. Эхний эсвэл хоёр дахь машинд кофе үлдэх магадлал 1 − 0.15 = 0.85 байна. P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) тул бидэнд: 0.85 = 0.75 + 0.75 − байна. X, шаардлагатай магадлал хаанаас гардаг вэ? X = 0,65.
Анхаарна уу.
А ба В үйл явдлууд бие даасан биш гэдгийг анхаарна уу. Үнэн хэрэгтээ, бие даасан үйл явдлуудыг үүсгэх магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байх болно: P(A·B) = 0.25·0.25 = 0.0625, гэхдээ нөхцөлийн дагуу энэ магадлал 0.15-тай тэнцүү байна.
Елена Александровна Попова 10.10.2018 09:57
Сурган хүмүүжүүлэх ухааны нэр дэвшигч, дэд профессор миний бие СУРГУУЛИЙН ХҮҮХДҮҮДЭД ЗОРИУЛСАН ХАМААРАЛТАЙ ҮЙЛ ЯВДАЛЫН ДААЛГАВАР ОРУУЛАХ НЬ БҮРЭН ТЭНЭГ, ИНЭЭГДЭЛ гэж үзэж байна. Багш нар энэ хэсгийг МЭДЭХГҮЙ БАЙНА - Намайг багш бэлтгэх курст зурагтаар лекц уншихаар урьсан. Энэ хэсэг нь хөтөлбөрт байхгүй, байх боломжгүй. Үндэслэлгүйгээр арга сэдэх ХЭРЭГГҮЙ. Ийм төрлийн ДААЛГАВАРуудыг зүгээр л арилгаж болно. МАГАДЛАЛЫН СОНГОДОГ ТОДОРХОЙЛОЛТоор өөрийгөө хязгаарла. Тэгээд ч эхлээд сургуулийн сурах бичгийг судалж, зохиогчид энэ талаар юу бичсэнийг хараарай. Зубаревагийн 5-р ангиа хараарай. Тэр тэмдгийг ч мэдэхгүй бөгөөд магадлалыг хувиар илэрхийлдэг. Ийм сурах бичгүүдээс суралцсаны дараа оюутнууд магадлалыг хувь гэж үздэг хэвээр байна. Магадлалыг сонгодог аргаар тодорхойлох олон сонирхолтой асуудлууд байдаг. Сургуулийн хүүхдүүд үүнийг асуух хэрэгтэй. Их сургуулийн багш нар ийм даалгавар өгч байгаа ТАНЫ тэнэг байдалд дургүйцэх нь хязгааргүй юм.
Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын магадлалын онолыг магадлалын сонгодог тодорхойлолтын талаархи энгийн бодлого, холбогдох теоремуудыг ашиглах нэлээд төвөгтэй хэлбэрээр хоёуланг нь танилцуулж болно.
Энэ хэсэгт бид магадлалын тодорхойлолтыг ашиглахад хангалттай асуудлуудыг авч үзэх болно. Заримдаа бид эсрэг үйл явдлын магадлалыг тооцоолох томъёог ашиглах болно. Хэдийгээр та энд энэ томьёогүйгээр хийж болох ч дараах асуудлуудыг шийдвэрлэхэд танд хэрэгтэй хэвээр байх болно.
Онолын хэсэг
Санамсаргүй үйл явдал нь ажиглалт эсвэл туршилтын явцад тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй (урьдчилан таамаглах боломжгүй) үйл явдал юм.
Туршилт хийхдээ (зоос, шоо шидэх, шалгалтын карт зурах гэх мэт) ижил үр дүнд хүрэх боломжтой. Жишээлбэл, зоос шидэх үед толгой эсвэл сүүлээс өөр үр дүн гарах боломжгүй тул бүх үр дүнгийн тоо 2 байна. Үзүүр шидэх үед 6 үр дүн гарах боломжтой, учир нь 1-ээс 6 хүртэлх тоо нь үхрийн дээд талд гарч ирэх боломжтой.
А үйл явдлын магадлал нь энэ үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог тэнцүү боломжтой үр дүнгийн нийт тоонд харьцуулсан харьцаа юм (энэ нь магадлалын сонгодог тодорхойлолт юм). Бид бичдэг
Жишээлбэл, А үйл явдал нь үхэл шидэх үед сондгой тооны оноо авахаас бүрдэнэ. Нийт 6 боломжит үр дүн байдаг: 1, 2, 3, 4, 5, 6 нь шооны дээд талд гарч ирэх бөгөөд энэ тохиолдолд 1, 3, 5-тай үр дүн нь А үйл явдалд таатай байна. 
.
Давхар тэгш бус байдал үргэлж хангагддаг тул аливаа А үйл явдлын магадлал интервал дээр оршдог гэдгийг анхаарна уу. 
. Хэрэв таны хариулт нэгээс их магадлалтай бол энэ нь та хаа нэгтээ алдаа гаргасан бөгөөд шийдлийг дахин шалгах шаардлагатай гэсэн үг юм.
А ба В үйл явдлуудыг дуудна эсрэгХэрэв ямар нэгэн үр дүн тэдний яг аль нэгэнд нь таатай байвал бие биенээ.
Жишээлбэл, үхлийг шидэх үед "сондгой тоо эргэлддэг" үйл явдал нь "тэгш тоо эргэлддэг" үйл явдлын эсрэг байдаг.
А үйл явдлын эсрэг үйл явдлыг тодорхойлсон. Эсрэг үйл явдлуудын тодорхойлолтоос энэ нь дараахь зүйл юм 
, гэсэн үг, 
.
Олонлогоос объект сонгохтой холбоотой асуудлууд
Даалгавар 1.Дэлхийн аварга шалгаруулах тэмцээнд 24 баг оролцож байна. Сугалаа ашиглан тэдгээрийг тус бүр зургаан багтай дөрвөн бүлэгт хуваах шаардлагатай. Хайрцагт хольсон бүлгийн дугаар бүхий картууд байна:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.
Багийн ахлагч нар тус бүр нэг карт зурдаг. ОХУ-ын баг гуравдугаар хэсэгт багтах магадлал хэд вэ?
Үр дүнгийн нийт тоо нь картын тоотой тэнцүү байна - тэдгээрийн 24 нь 6 таатай үр дүн байдаг (зургаан карт дээр 3-ын тоо бичигдсэн байдаг). Шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна 
.
Хариулт: 0.25.
Даалгавар 2.Нэг саванд 14 улаан, 9 шар, 7 ногоон бөмбөг байна. Нэг бөмбөгийг савнаас санамсаргүй байдлаар гаргаж авдаг. Энэ бөмбөг шар өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
Үр дүнгийн нийт тоо нь бөмбөгний тоотой тэнцүү байна: 14 + 9 + 7 = 30. Энэ үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо 9. Шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна. 
.
Даалгавар 3.Утасны товчлуур дээр 0-ээс 9 хүртэлх 10 тоо байна. Санамсаргүй байдлаар дарсан тоо тэгш ба 5-аас их байх магадлал хэд вэ?
Энд гарах үр дүн нь тодорхой товчлуурыг дарж байгаа тул нийт 10 ижил боломжтой үр дүн байна. Заасан үйл явдал нь 6 эсвэл 8 товчлуурыг дарах гэсэн утгатай үр дүнгүүдээр давуу тал болно. Ийм хоёр үр дүн байдаг. Шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна.
Хариулт: 0.2.
Асуудал 4. 4-өөс 23 хүртэлх санамсаргүй байдлаар сонгосон натурал тоо гуравт хуваагдах магадлал хэд вэ?
4-ээс 23 хүртэлх сегмент дээр 23 – 4 + 1 = 20 натурал тоо байгаа нь нийт 20 боломжит үр дүн байна гэсэн үг юм. Энэ сегмент дээр дараах тоонууд гурвын үржвэр болно: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Нийтдээ 6 ийм тоо байгаа тул тухайн үйл явдлыг 6 үр дүнгээр дэмжинэ. Шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна 
.
Хариулт: 0.3.
Даалгавар 5.Шалгалтад санал болгож буй 20 тасалбараас оюутан зөвхөн 17-д нь хариулах боломжтой. Оюутан санамсаргүй байдлаар сонгосон тасалбараа хариулж чадахгүй байх магадлал хэд вэ?
1-р арга.
Оюутан 17 тасалбар хариулах боломжтой тул 3 тасалбарыг хариулж чадахгүй. Эдгээр тасалбаруудын аль нэгийг авах магадлал нь тодорхойлолтоор тэнцүү байна.
2-р арга.
“Оюутан тасалбарыг хариулах боломжтой” үйл явдлыг А-аар тэмдэглэе. Дараа нь . Эсрэг үйл явдлын магадлал =1 – 0,85 = 0,15 байна.
Хариулт: 0.15.
Асуудал 6. Уран сайхны гимнастикийн аварга шалгаруулах тэмцээнд ОХУ-аас 6, Германаас 5, Францаас 20 тамирчин оролцож байна. Гимнастикчдын тоглолтын дарааллыг сугалаагаар тогтоодог. Долоод өрсөлдөх тамирчин Францынх байх магадлалыг ол.
Нийт 20 тамирчин оролцож байгаа бөгөөд бүгд долоодугаар байрт өрсөлдөх боломжтой. Тиймээс 20 ижил магадлалтай үр дүн гарч байна. Францаас 20 – 6 – 5 = 9 тамирчин оролцож байгаа тул заасан төрөлд 9 таатай үр дүн гарч байна. Шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна.
Хариулт: 0.45.
Даалгавар 7.Эрдэм шинжилгээний хурал 5 хоног үргэлжилнэ. Нийт 50 тайлан гаргахаар төлөвлөж байна - эхний гурван өдөр тус бүр 12 тайлантай, үлдсэн нь дөрөв, тав дахь өдрийн хооронд тэнцүү хуваарилагдана. Илтгэлийн дарааллыг сугалаагаар тодорхойлно. Профессор Н.-ийн илтгэлийг хурлын сүүлийн өдөр хийх магадлал хэд вэ?
Эхлээд сүүлийн өдөрт хэдэн тайлан гаргахаар төлөвлөж байгааг олж мэдье. Эхний гурван өдөр илтгэл тавихаар төлөвлөж байна. 50 – 36 = 14 тайлан үлдсэн бөгөөд үлдсэн хоёр өдрийн хооронд тэнцүү хуваарилагдсан тул сүүлийн өдөр төлөвлөсөн тайлангууд байна.
Бид үр дүнг профессор Н.-ийн илтгэлийн серийн дугаар гэж авч үзэх болно. Ийм 50 ижил үр дүн нь заасан үйл явдалд таатай 7 үр дүн байна (тайлангийн жагсаалтын сүүлийн 7 тоо). Шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна.
Хариулт: 0.14.
Асуудал 8. Онгоцонд аваарын гарцын хажууд 10 суудал, бүхээгийг тусгаарласан хуваалтын ард 15 суудал байна. Үлдсэн суудал нь өндөр зорчигчдод тохиромжгүй байдаг. Зорчигч К. өндөр. Бүртгүүлэх үед санамсаргүй байдлаар суудал сонговол онгоцонд 200 суудалтай бол зорчигч К нь тухтай суудал авах магадлалыг ол.
Энэ ажлын үр дүн нь байршлыг сонгох явдал юм. Нийт 200 гаруй ижил үр дүн бий. "Сонгосон газар тохиромжтой" үйл явдал нь 15 + 10 = 25 үр дүнгээр давуу тал болно. Шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна.
Хариулт: 0.125.
Асуудал 9. Тус үйлдвэрт угсарсан 1000 кофе бутлуурын 7 нь гэмтэлтэй байжээ. Мэргэжилтэн эдгээр 1000-аас санамсаргүй байдлаар сонгосон нэг кофе бутлуурын туршина. Туршиж буй кофе бутлуурын гэмтэлтэй байх магадлалыг ол.
Кофе бутлагчийг санамсаргүй байдлаар сонгоход 1000 үр дүн гарах боломжтой "Сонгосон кофе бутлуурын гэмтэл" нь 7 эерэг үр дүнтэй байдаг. Магадлалын тодорхойлолтоор.
Хариулт: 0.007.
Асуудал 10.Тус үйлдвэр нь хөргөгч үйлдвэрлэдэг. Дунджаар 100 сайн чанарын хөргөгч тутамд 15 далд гэмтэлтэй хөргөгч байдаг. Худалдан авсан хөргөгч нь өндөр чанартай байх магадлалыг ол. Үр дүнг зуутын нэг хүртэл дугуйруулна уу.
Энэ даалгавар нь өмнөхтэй төстэй юм. Гэсэн хэдий ч "100 сайн чанарын хөргөгчинд 15 нь гэмтэлтэй байна" гэсэн томъёолол бидэнд үүнийг харуулж байна. 15 доголдолтой 100 ширхэг чанарт ороогүй болно. Тиймээс үр дүнгийн нийт тоо 100 + 15 = 115 (хөргөгчний нийт тоотой тэнцүү), 100 таатай үр дүн шаардлагатай байна. Бутархайн ойролцоо утгыг тооцоолохын тулд өнцгийн хуваалтыг ашиглах нь тохиромжтой. Бид 0.869 ... авах бөгөөд энэ нь 0.87 юм.
Хариулт: 0.87.
Асуудал 11. Теннисний аварга шалгаруулах тэмцээний эхний шат эхлэхээс өмнө оролцогчид санамсаргүй байдлаар сугалаа ашиглан хосуудад хуваагдана. Аваргын тэмцээнд нийт 16 теннисчин оролцож байгаагийн дотор ОХУ-аас Максим Зайцев тэргүүтэй 7 тамирчин оролцож байна. Максим Зайцев эхний тойрогт Оросын аль ч теннисчинтэй тоглох магадлалыг ол.
Өмнөх даалгаврын нэгэн адил та нөхцөлийг анхааралтай уншиж, үр дүн гэж юу болох, юу нь эерэг үр дүн болохыг ойлгох хэрэгтэй (жишээлбэл, магадлалын томъёог бодолгүй хэрэглэх нь буруу хариулт өгөхөд хүргэдэг).
Үр дүн нь Максим Зайцевын өрсөлдөгч юм. Нийт 16 теннисчин байгаа бөгөөд Максим өөрийнхөө эсрэг тоглох боломжгүй тул 16 – 1 = 15 ижил магадлалтай үр дүн байна. Тааламжтай үр дүн бол Оросын өрсөлдөгч юм. Ийм таатай үр дүн 7-1 = 6 байна (бид Максимийг оросуудын тооноос хассан). Шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна.
Хариулт: 0.4.
Асуудал 12.Хөлбөмбөгийн хэсэгт 33 хүн оролцдог бөгөөд тэдний дунд ах дүү Антон, Дмитрий нар багтдаг. Хэсэгт оролцох хүмүүс санамсаргүй байдлаар тус бүр 11 хүнтэй гурван багт хуваагдана. Антон, Дмитрий хоёр нэг багт байх магадлалыг ол.
Бид Антон, Дмитрий нараас эхлээд хоосон суудалд тоглогчдыг дараалан байрлуулж, баг бүрдүүлнэ. Эхлээд Антоныг 33 үнэгүй газраас санамсаргүй байдлаар сонгосон газарт байрлуулцгаая. Нийтдээ 32 үнэгүй газар байдаг (Антон аль хэдийн нэгийг нь авсан), нийтдээ 32 боломжит үр дүн байна. Антонтой нэг багт 10 хоосон зай үлдсэн тул "Антон, Дмитрий нар нэг багт" арга хэмжээг 10 үр дүнгээр илүүд үздэг. Энэ үйл явдлын магадлал 
.
Хариулт: 0.3125.
Асуудал 13. Арван хоёр цаг залгадаг механик цаг хэзээ нэгэн цагт эвдэрч, ажиллахаа больсон. Цагийн зүү хөлдсөн, 11 цаг хүрч, харин 2 цаг хүрэхгүй байх магадлалыг ол.
Уламжлал ёсоор, залгахыг зэргэлдээх тоонуудын тэмдгийн хооронд (12 ба 1, 1 ба 2, 2 ба 3, ..., 11 ба 12 хооронд) байрладаг 12 салбарт хувааж болно. Бид заасан салбаруудын аль нэгэнд цагийн зүүний зогсолтын үр дүнг авч үзэх болно. Нийт 12 ижил боломжтой үр дүн байдаг. Энэ үйл явдлыг гурван үр дүн (11-ээс 12, 12 ба 1, 1 ба 2-ын хоорондох салбарууд) илүүд үздэг. Шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна 
.
Хариулт: 0.25.
Үүнийг нэгтгэн дүгнэе
Магадлалын онолын энгийн асуудлыг шийдвэрлэх материалыг судалсны дараа би бидний нийтлэх бие даасан шийдвэрлэх даалгавруудыг гүйцэтгэхийг зөвлөж байна. манай Telegram суваг. Та мөн өөрийн хаягаа оруулснаар тэдгээрийг зөв бөглөсөн эсэхийг шалгах боломжтой өгсөн маягтын дагуу хариултууд.
Нийтлэлийг нийгмийн сүлжээнд хуваалцсанд баярлалаа.
Эх сурвалж “Улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл. Математик Магадлалын онол. F.F. засварласан. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
Санамсаргүй үйл явдал - зарим нэг туршлагын үр дүнд тохиолдож болох эсвэл болохгүй аливаа үйл явдал.
Үйл явдлын магадлал rтаатай үр дүнгийн тооны харьцаатай тэнцүү байна кболомжит үр дүнгийн тоогоор n, өөрөөр хэлбэл
p=\frac(k)(n)
Магадлалын онолын нэмэх ба үржүүлэх томъёо
Үйл явдал \bar(A) дуудсан А үйл явдлын эсрэг, хэрэв А үйл явдал тохиолдоогүй бол.
Магадлалын нийлбэр эсрэг үйл явдлын тоо нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.
P(\bar(A)) + P(A) =1
- Үйл явдлын магадлал 1-ээс их байж болохгүй.
- Хэрэв үйл явдлын магадлал 0 байвал энэ нь болохгүй.
- Хэрэв үйл явдлын магадлал 1 бол энэ нь тохиолдох болно.
Магадлалын нэмэх теорем:
"Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна."
P(A+B) = P(A) + P(B)
Магадлал хэмжээхоёр хамтарсан арга хэмжээЭдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь тэдгээрийн хамтарсан тохиолдлыг харгалзахгүйгээр тэнцүү байна.
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)
Магадлалын үржүүлэх теорем
"Хоёр үйл явдлын магадлал нь эхний тохиолдсон нөхцөлд тооцсон тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлал ба нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна."
P(AB)=P(A)*P(B)
Үйл явдал гэж нэрлэдэг нийцэхгүй, хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь дүр төрх бусдын дүр төрхийг үгүйсгэж байвал. Энэ нь зөвхөн нэг эсвэл өөр үйл явдал тохиолдож болно.
Үйл явдал гэж нэрлэдэг хамтарсан, хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэхгүй.
Хоёр санамсаргүй үйл явдал A ба B гэж нэрлэдэг бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдох магадлалыг өөрчлөхгүй бол. Үгүй бол А ба В үйл явдлуудыг хамааралтай гэж нэрлэдэг.
Магадлал. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын профайлын асуудлууд.
Рузаевка дахь "4-р лицей" MBOU-ийн математикийн багш бэлтгэсэн.
Овчинникова Т.В.
Магадлалын тодорхойлолт
Магадлал А үйл явдлуудыг тооны харьцаа гэж нэрлэдэг м нийт тоонд энэ үйл явдлын таатай үр дүн n Нэг туршилт эсвэл ажиглалтын үр дүнд үүсч болох бүх үл нийцэх үйл явдлууд:
м
n
Болъё к – зоос шидэлтийн тоо, дараа нь боломжит үр дүнгийн тоо: n=2 к .
Болъё к – шоо шидэлтийн тоо, дараа нь боломжит үр дүнгийн тоо: n=6 к .
Санамсаргүй туршилтаар тэгш хэмтэй зоосыг хоёр удаа шиддэг. Толгойнууд яг нэг удаа гарч ирэх магадлалыг ол.
Шийдэл.
Зөвхөн 4 сонголт байна: O; о о; p p; p p; О .
Тааламжтай 2: O; r Тэгээд p; О .
Магадлал нь 2/4 = 1/2 = 0,5 .
Хариулт: 0.5.
Санамсаргүй туршилтаар хоёр шоо шидэв. Нийт 8 оноо байх магадлалыг ол. Үр дүнг зуутын нэг хүртэл дугуйруулна уу.
Шийдэл.
Шоо нь 6 талтай шоо юм. Эхний үхэл нь 1, 2, 3, 4, 5 эсвэл 6 оноо эргэлдэж болно. Онооны сонголт бүр нь хоёр дахь үхлийн 6 онооны сонголттой тохирч байна.
Тэдгээр. нийт өөр өөр сонголтууд 6×6 = 36.
Сонголтууд (туршилтын үр дүн) дараах байдалтай байна.
1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6
2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6
гэх мэт. ...........................
6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
Хоёр шооны онооны нийлбэр нь 8 байх үр дүнгийн тоог (сонголтуудыг) тоолъё.
2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.
Нийтдээ 5 сонголт байна.
Магадлалыг олъё: 5/36 = 0.138 ≈ 0.14.
Хариулт: 0.14.
Биологийн тасалбарын цуглуулгад ердөө 55 тасалбар байгаагийн 11 нь ургамал судлалын асуулттай. Оюутан санамсаргүй байдлаар сонгосон шалгалтын тасалбар дээр ургамал судлалын асуулт авах магадлалыг ол.
Шийдэл:
Оюутан санамсаргүй байдлаар сонгосон шалгалтын тасалбар дээр ургамал судлалын асуулт авах магадлал 11/55 = 1/5 = 0.2 байна.
Хариулт: 0.2.
Гимнастикийн аварга шалгаруулах тэмцээнд ОХУ-аас 8, АНУ-аас 7, БНХАУ-аас 20 тамирчин оролцож байна. Гимнастикчдын тоглолтын дарааллыг сугалаагаар тогтоодог. Эхний тэмцээнд оролцох тамирчин Хятадаас байх магадлалыг ол.
Шийдэл.
Нийт 20 гаруй тамирчин оролцож байна.
үүнээс 20 – 8 – 7 = 5 Хятад тамирчин.
Эхний тэмцээнд оролцох тамирчин Хятадаас байх магадлал 5/20 = 1/4 = 0.25.
Хариулт: 0.25.
Эрдэм шинжилгээний хурал 5 хоног үргэлжилнэ. Нийт 75 тайлан гаргахаар төлөвлөж байна - эхний гурван өдөр тус бүр 17 тайлан, үлдсэнийг нь дөрөв, тав дахь өдрийн хооронд тэнцүү хуваарилдаг. Илтгэлийн дарааллыг сугалаагаар тодорхойлно. Профессор М.-ийн илтгэлийг хурлын сүүлийн өдөр товлох магадлал хэд вэ?
Шийдэл:
Чуулганы сүүлийн өдөр хийхээр төлөвлөж байна
(75 – 17 × 3) : 2 = 12 тайлан.
Профессор М.-ийн илтгэлийг хурлын сүүлийн өдөр товлох магадлал 12/75 = 4/25 = 0.16 байна.
Хариулт: 0.16.
Бадминтоны аварга шалгаруулах тэмцээний эхний шат эхлэхээс өмнө оролцогчид санамсаргүй байдлаар сугалаагаар тоглох хосуудад хуваагдана. Аварга шалгаруулах тэмцээнд нийт 26 бадминтонч оролцож байгаагийн дотор ОХУ-аас Руслан Орлов тэргүүтэй 10 тамирчин оролцож байна. Эхний тойрогт Руслан Орлов Оросын ямар нэгэн бадминтончтой тоглох магадлалыг олоорой?
Шийдэл:
Руслан Орлов Оросын хэдэн бадминтончтой тоглох ёстой гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. Руслан Орлов өөрөө бас Оросоос ирсэн.
Руслан Орлов эхний тойрогт Оросын ямар ч бадминтончтой тоглох магадлал 9/25 = 36/100 = 0.36.
Хариулт: 0.36.
Даша шоо хоёр удаа шиддэг. Тэр нийт 8 оноо авсан. Эхний ээлжинд 2 оноо авах магадлалыг ол.
Шийдэл.
Хоёр шоо дээр нийт 8 оноо гарах ёстой. Дараах хослолууд байвал энэ нь боломжтой.
Нийтдээ 5 сонголт байна. Эхний шидэлтээр 2 оноо авсан үр дүнгийн тоог (сонголтуудыг) тоолж үзье.
Энэ бол 1-р сонголт.
Магадлалыг олъё: 1/5 = 0.2.
Хариулт: 0.2.
Дэлхийн аварга шалгаруулах тэмцээнд 20 баг оролцож байна. Сугалаа ашиглан тэдгээрийг тус бүр дөрвөн багтай таван бүлэгт хуваах шаардлагатай. Хайрцагт хольсон бүлгийн дугаар бүхий картууд байна:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Багийн ахлагч нар тус бүр нэг карт зурдаг. ОХУ-ын баг гуравдугаар хэсэгт орох магадлал хэд вэ.
Шийдэл:
Нийт 20 баг, 5 бүлэгтэй.
Бүлэг бүр 4 багтай.
Тэгэхээр нийт 20 үр дүн байгаа бөгөөд бидэнд хэрэгтэй үр дүн нь 4, энэ нь хүссэн үр дүнд хүрэх магадлал 4/20 = 0.2 гэсэн үг юм.
Хариулт: 0.2.
Хоёр үйлдвэр машины гэрэлд зориулсан ижил шил үйлдвэрлэдэг. Эхний үйлдвэр нь эдгээр шилний 45%, хоёр дахь нь 55% -ийг үйлдвэрлэдэг. Эхний үйлдвэр нь гэмтэлтэй шилний 3%, хоёр дахь нь 1% -ийг үйлдвэрлэдэг. Дэлгүүрт санамсаргүй худалдан авсан шил гэмтэлтэй байх магадлалыг ол.
Шийдэл:
Шилийг анхны үйлдвэрээс худалдаж авсан бөгөөд гэмтэлтэй байх магадлал:
r 1 = 0.45 · 0.03 = 0.0135.
Шилийг хоёр дахь үйлдвэрээс худалдаж авсан бөгөөд гэмтэлтэй байх магадлал:
r 2 = 0.55 · 0.01 = 0.0055.
Иймд нийт магадлалын томьёоны дагуу дэлгүүрт санамсаргүй худалдан авсан шил гэмтэлтэй байх магадлал нь тэнцүү байна.
p = p 1 + х 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Хариулт: 0.019.
Их мастер А. цагаанаар тогловол их мастер Б-г 0.52 магадлалтай ялна. Хэрэв А. хараар тогловол А. Б.-г 0.3 магадлалаар ялна.
Их мастер А, Б нар хоёр тоглоом тоглодог бөгөөд хоёр дахь тоглолтонд тэд хэсгүүдийн өнгийг өөрчилдөг. Хоёр удаа А. хожих магадлалыг ол.
Шийдэл:
Эхний болон хоёр дахь тоглолтод ялах боломж нь бие биенээсээ хамаардаггүй. Бие даасан үйл явдлуудын үржвэрийн магадлал нь тэдгээрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
p = 0.52 · 0.3 = 0.156.
Хариулт: 0.156.
Биатлонч таван удаа бай руу бууддаг. Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.8 байна. Биатлонч эхний гурван удаа бай онож, сүүлийн хоёр удаа алгасах магадлалыг ол. Үр дүнг зуутын нэг хүртэл дугуйруулна уу.
Шийдэл:
Дараагийн цохилт бүрийн үр дүн өмнөх буудлаас хамаарахгүй. Тиймээс "эхний цохилт дээр цохисон", "хоёр дахь цохилт дээр цохисон" гэх мэт үйл явдлууд. бие даасан.
Цохилт бүрийн магадлал 0.8 байна. Энэ нь алдах магадлал 1 – 0,8 = 0,2 гэсэн үг.
1 цохилт: 0.8
2 цохилт: 0.8
3 цохилт: 0.8
4 цохилт: 0.2
5 цохилт: 0.2
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх томьёог ашиглан хүссэн магадлал нь дараахтай тэнцүү болохыг олж мэдэв.
0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
Хариулт: 0.02.
Дэлгүүрт төлбөрийн хоёр машин байдаг. Тэд тус бүр нь бусад машинаас үл хамааран 0.05 магадлалтай алдаатай байж болно. Дор хаяж нэг машин ажиллаж байх магадлалыг ол.
Шийдэл:
Хоёр машин хоёулаа гэмтэлтэй байх магадлалыг олъё.
Эдгээр үйл явдлууд нь бие даасан бөгөөд тэдгээрийн тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
0.05 · 0.05 = 0.0025.
Дор хаяж нэг машин ажиллаж байгаа үйл явдал, эсрэгээрээ.
Тиймээс түүний магадлал тэнцүү байна
1 − 0,0025 = 0,9975.
Хариулт: 0.9975.
Ковбой Жон 0,9 оноотой буугаар галлавал ханан дээр ялаа онох магадлал 0.9 байна. Хэрэв Жон буудаагүй буугаар буудвал ялааг 0.2 магадлалтайгаар цохино. Ширээн дээр 10 револьвер байдгаас 4-ийг нь л буудсан. Ковбой Жон ханан дээр ялаа байхыг хараад санамсаргүй байдлаар тааралдсан анхны буугаа шүүрэн авч ялаа бууджээ. Жоныг алдах магадлалыг ол.
Шийдэл:
Жон тэглэсэн буу бариад авбал алдах магадлал нь:
0.4 (1 - 0.9) = 0.04
Жон буугаагүй буу бариад авбал алдах магадлал нь:
0.6 · (1 - 0.2) = 0.48
Эдгээр үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй, тэдгээрийн нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
0,04 + 0,48 = 0,52.
Хариулт: 0.52.
Артиллерийн галын үед автомат систем нь бай руу бууддаг. Хэрэв бай устгагдаагүй бол систем хоёр дахь удаагаа бууддаг. Байгаа устгах хүртэл буудлага давтагдана. Эхний цохилтоор тодорхой байг устгах магадлал 0.4, дараагийн цохилт бүрт 0.6 байна. Байгаа устгах магадлал дор хаяж 0.98 байхын тулд хэдэн удаа буудах шаардлагатай вэ?
Шийдэл:
Та хэд хэдэн дараалсан алдааны дараа амьд үлдэх магадлалыг тооцоолсноор асуудлыг "үйл ажиллагаагаар" шийдэж болно.
P(1) = 0.6;
P(2) = P(1) 0.4 = 0.24;
P(3) = P(2) 0.4 = 0.096;
P(4) = P(3) 0.4 = 0.0384;
P(5) = P(4) 0.4 = 0.01536.
Сүүлчийн магадлал нь 0.02-оос бага тул бай руу таван удаа буудах хангалттай.
Хариулт: 5.
Ангид 26 хүн байдаг бөгөөд тэдний дунд Андрей, Сергей хоёр ихэр байдаг. Анги нь санамсаргүй байдлаар 13 хүнтэй хоёр бүлэгт хуваагдана. Андрей, Сергей хоёр нэг бүлэгт байх магадлалыг ол.
Шийдэл:
Ихрүүдийн нэг нь аль нэг бүлэгт байг.
Түүнтэй хамт үлдсэн 25 ангийнхнаас 12 хүн багт орно.
Энэ 12 хүний дунд хоёр дахь ихэр байх магадлал өндөр
P = 12: 25 = 0.48.
Хариулт: 0.48.
Зураг дээр лабиринт харагдаж байна. Аалз үүдний цэг дэх төөрдөг байшин руу мөлхөж байна. Аалз эргэж, буцаж мөлхөж чадахгүй тул мөчир бүр дээр аалз мөлхөж амжаагүй замуудын аль нэгийг нь сонгодог. Цаашдын замыг сонгох нь зөвхөн санамсаргүй байдлаар хийгдсэн гэж үзвэл аалз D-ээс гарах магадлалыг тодорхойл.
Шийдэл:
Дөрвөн тэмдэглэгдсэн салаа тус бүр дээр аалз D-ээс гарах замыг эсвэл 0.5 магадлалтай өөр замыг сонгож болно. Эдгээр нь бие даасан үйл явдлууд бөгөөд тэдгээрийн үүсэх магадлал (аалз D гарц руу хүрдэг) нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна. Тиймээс D гарц дээр ирэх магадлал (0.5) байна. 4 = 0,0625.
