Өсөн нэмэгдэж буй функцийн тодорхойлолт.
Чиг үүрэг y=f(x)интервалаар нэмэгддэг X, хэрэв байгаа бол болон 
тэгш бус байдал бий. Өөрөөр хэлбэл, том аргументын утга нь том функцын утгатай тохирч байна.
Буурах функцийн тодорхойлолт.
Чиг үүрэг y=f(x)интервал дээр буурдаг X, хэрэв байгаа бол болон 
тэгш бус байдал бий 
. Өөрөөр хэлбэл, аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байна.
ТАЙЛБАР: хэрэв функц нь нэмэгдэж, буурах интервалын төгсгөлд тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байвал (а;б), өөрөөр хэлбэл хэзээ x=aТэгээд x=b, дараа нь эдгээр цэгүүдийг нэмэгдүүлэх эсвэл буурах интервалд оруулна. Энэ нь интервал дахь өсөлт ба буурах функцийн тодорхойлолттой зөрчилддөггүй X.
Жишээлбэл, үндсэн үндсэн функцүүдийн шинж чанараас бид үүнийг мэддэг y=sinxаргументийн бүх бодит утгуудын хувьд тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй. Тиймээс интервал дээрх синус функцийн өсөлтөөс бид интервал дээр нэмэгддэг гэж баталж болно.
Функцийн экстремум цэг, экстремум.
цэг гэж нэрлэдэг хамгийн дээд цэгфункцууд y=f(x), хэрэв хүн бүрт xтүүний хөршөөс тэгш бус байдал хүчинтэй байна. Хамгийн их цэг дээрх функцийн утгыг дуудна функцийн дээд хэмжээболон тэмдэглэнэ.
цэг гэж нэрлэдэг хамгийн бага цэгфункцууд y=f(x), хэрэв хүн бүрт xтүүний хөршөөс тэгш бус байдал хүчинтэй байна. Функцийн хамгийн бага цэг дэх утгыг дуудна хамгийн бага функцболон тэмдэглэнэ.
Цэгийн хөршийг интервал гэж ойлгодог 
, энд хангалттай бага эерэг тоо байна.
Хамгийн бага ба дээд цэгүүдийг дуудна экстремум цэгүүд, ба экстремум цэгүүдэд тохирох функцийн утгуудыг дуудна функцийн экстремум.
Функцийн экстремумыг функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгатай андуурч болохгүй.
Эхний зураг дээр сегмент дээрх функцийн хамгийн том утга нь хамгийн их цэг дээр хүрч, функцийн хамгийн их утгатай тэнцүү бөгөөд хоёр дахь зураг дээр - функцийн хамгийн дээд утга нь цэг дээр хүрдэг. x=b, энэ нь дээд цэг биш юм.
Функцийг нэмэгдүүлэх, багасгах хангалттай нөхцөл.
Функцийн өсөлт, бууралтын хангалттай нөхцөл (тэмдэг) дээр үндэслэн функцийн өсөлт, бууралтын интервалыг олно.
Интервал дахь функцүүдийн өсөлт ба буурах шинж тэмдгүүдийн томъёоллыг энд үзүүлэв.
Хэрэв функцийн дериватив бол y=f(x)хэнд ч эерэг xинтервалаас X, дараа нь функц нь -ээр нэмэгдэнэ X;
Хэрэв функцийн дериватив бол y=f(x)хэнд ч сөрөг xинтервалаас X, дараа нь функц нь буурна X.
Тиймээс функцийн өсөлт, бууралтын интервалыг тодорхойлохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.
Алгоритмыг тайлбарлах функцүүдийн өсөлт ба буурах интервалыг олох жишээг авч үзье.
Жишээ.
Өсөх ба буурах функцийн интервалыг ол.
Шийдэл.
Эхний алхам бол функцийн тодорхойлолтыг олох явдал юм. Бидний жишээн дээр хуваагч дахь илэрхийлэл тэг рүү явах ёсгүй тул .
Функцийн деривативыг олохын тулд үргэлжлүүлье. 
Хангалттай шалгуур дээр үндэслэн функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг тодорхойлохын тулд бид тодорхойлолтын муж дээрх тэгш бус байдлыг шийддэг. Интервалын аргын ерөнхий ойлголтыг ашиглая. Тоолуурын цорын ганц жинхэнэ үндэс нь юм x = 2, мөн хуваагч нь тэг рүү очно x=0. Эдгээр цэгүүд нь тодорхойлолтын мужийг функцийн дериватив тэмдэгээ хадгалах интервалд хуваадаг. Эдгээр цэгүүдийг тоон шулуун дээр тэмдэглэе. Бид уламжлал ёсоор дериватив эерэг эсвэл сөрөг байх интервалуудыг нэмэх ба хасахаар тэмдэглэдэг. Доорх сумнууд нь харгалзах интервал дээрх функцийн өсөлт, бууралтыг схемээр харуулав. 
f интервал дээр тасралтгүй ба энэ интервалын дотоод цэгүүдэд дифференциалагдах боломжтой байг. Дараа нь энэ хэрчимээс абсцисса c-тэй цэг дээр зурсан функцийн графикт шүргэгч нь AB хөвчтэй параллель байх дотоод цэг байгаа бөгөөд энд A(a;f(x)) ба B(b; f(x)). Эсвэл: гөлгөр AB нуман дээр нумын төгсгөлүүдийг холбосон хөвчтэй шүргэгч параллель байх c цэг үргэлж байдаг.
f интервал дээр тасралтгүй ба энэ интервалын дотоод цэгүүдэд дифференциалагдах боломжтой байг. Дараа нь энэ сегментээс ийм дотоод цэг байдаг
Дүгнэлт 1: хэрчим дээр f функц тасралтгүй, түүний дериватив нь энэ сегмент дотор тэгтэй тэнцүү бол f функц тухайн сегмент дээр тогтмол байна.
Дүгнэлт 2: Хэрэв f ба g функцууд интервал дээр тасралтгүй бөгөөд энэ интервал дотор ижил деривативууд байвал тэдгээр нь тогтмол гишүүнээр ялгаатай байна.
2. Өсөн нэмэгдэж буй функцийн хангалттай шинж тэмдэг:
I интервалын цэг бүрт f[/](x)>0 байвал I интервал дээр f функц нэмэгдэнэ.
3. Функц буурах хангалттай шинж тэмдэг:
Хэрэв f[/](x)
Эдгээр тэмдгүүдийг Лагранжийн томъёогоор баталцгаая.
Интервалаас дурын хоёр тоог авъя. Байцгаая. Лагранжийн томъёогоор ийм тоо байдаг.
Цэгүүд нь энэ интервалд хамаарах тул c тоо нь I интервалд хамаарна. Хэрэв f[/](x)>0 хувьд байвал f[/](c) >0, тиймээс - энэ нь ->0 тул (1) томъёоноос дагалддаг. Энэ нь f функцууд I интервалд өсдөг болохыг баталж байна. Хэрэв f[/](x) 0. I интервалд f функц буурч байгаа нь батлагдсан.
Жишээ 1. нэмэгдэх ба буурах функцийн интервалыг ол
2. Функцийн дериватив ба түүний критик цэгийг ол: эсвэл
3. Тоон тэнхлэгт экстремумын цэгүүдийг тэмдэглэж, функцийн өсөлт буурах интервалыг ол.
Хариулт: - функц нэмэгдэнэ
Функц нь буурч байна
Жишээ 2. Өсөх (буурах) функцийг шалгана уу:
2. Функцийн дериватив ба экстремум цэгүүдийг ол.
3. Тооны тэнхлэг дээрх эгзэгтэй цэгийг тэмдэглээд функцийн өсөлт (бууралт) интервалуудыг ол.
Хариулт: - функц буурч байна
Функц нэмэгддэг
II. Чухал цэгүүд. Функцийн хамгийн их ба минимумыг олох шинж тэмдэг.
1. Чухал цэгүүд
Тодорхойлолт: Функцийн эгзэгтэй цэгүүд нь түүний уламжлал нь тэг буюу байхгүй байх функцийн тодорхойлолтын хүрээний дотоод цэгүүд юм.
№1. f функцийн критик цэгүүдийг ол: a) g(x) =
Хариулт: , хаана; , энд b) g(x) =
2. Функцийн хамгийн их ба минимумыг олох тэмдэг.
Хамгийн их функцийн тэмдэг:
Хэрэв f функц нь x0 цэг дээр тасралтгүй, f[/](x)>0 (a;x0) ба f[/](x) интервал дээр байвал.
Эсвэл: хэрэв x0 цэг дээр дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу өөрчлөгдвөл x0 нь хамгийн их цэг болно.
Нотолгоо:
(a;x0) интервал дээр f[/](x)>0 дериватив ба функц нь x0 цэг дээр тасралтгүй байх тул f функц (a;x0] интервал дээр нэмэгддэг тул f(x)
[x0;c) интервал дээр функц буурдаг тул f(x)
Хамгийн бага функцийн шинж тэмдэг:
Хэрэв f функц нь x0 цэг дээр тасралтгүй, f[/](x) 0 (x0;b) интервал дээр байвал x0 цэг нь f функцийн хамгийн бага цэг болно.
Эсвэл: хэрэв x0 цэг дээр дериватив тэмдэг нь хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгдвөл x0 нь хамгийн бага цэг болно.
Нотолгоо:
(a;x0) интервалаас бүх x-ийн үүсмэл f[/](x) f (x0).
[x0;b) интервал дээр f функц нэмэгдэх тул (a;b) интервалаас хүн бүрийн хувьд f(x) >f (x0), өөрөөр хэлбэл x0 нь f-ийн хамгийн бага цэг болно.
III. Хоёр дахь дериватив. Гүдгэр ба хонхорхойн шинж тэмдэг.
Цэг дээр хоёр дахь дериватив байх болтугай. Дараа нь хэрэв, тэгвэл цэг нь хамгийн бага цэг, хэрэв бол цэг нь функцийн хамгийн их цэг юм.
Хэрэв, дараа нь товойсон доош чиглэсэн байна. Хэрэв, дараа нь товойсон нь дээш чиглэсэн байна.
IV. Ташуу асимптотууд
Тодорхойлолт: Шулуун шугам нь функцийн графикийн ташуу асимптот бөгөөд энд ба
Ташуу асимптот тэгшитгэл
Ташуу асимптотын босоо асимптотын тэгшитгэл
V. Үйл ажиллагааны судалгааны загвар
1. Функцийн тодорхойлолтын мужийг олъё.
2. Функцийг тэгш (сондгой) эсэхийг шалга.
3. Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олж, функцийн тогтмол тэмдгийн интервалуудыг тодорхойл.
4. Деривативыг ол.
5. Функцийн экстремум цэгүүд болон функцын өсөлт буурах интервалуудыг ол.
6. Ширээ хийх.
7. Хоёр дахь деривативыг ол.
8. Функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүдийг олж, энэ графикийн гүдгэр ба хотгорын интервалыг тогтоо.
9. Шаардлагатай бол функцийн графикийн асимптотуудыг ол.
10. Энэ функцийн графикийн тоймыг зур.
11. Функцийн утгуудын багцыг ол.
VI. Функцийг судлах жишээ
2). Функцийн паритетийн талаар ярих боломжгүй.
5) Функцийн экстремум цэгүүд болон функцийн өсөлт ба бууралтын интервалуудыг ол.
Функц нэмэгддэг
Функц нь буурч байна
6) Хүснэгт x хийцгээе
7) Хоёр дахь деривативыг ол
8) Гулзайлтын цэгүүдийг ол: эсвэл
Бөмбөлөг
Доошоо товойх
9) Ташуу асимптотууд байхгүй болохыг олж мэдье. ташуу асимптот байхгүй.
10) Хуваарь
; x=2 - босоо асимптот
2). Функцийн паритетийн талаар ярих боломжгүй
3) Графикийн OX тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.
Графикийн OU тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг олъё.
4) Функцийн деривативыг ол:
5) Функцийн экстремум цэгүүд болон функцийн өсөлт буурах цэгүүдийг ол.
Функц нэмэгддэг
Функц нь буурч байна
6) Хүснэгт x хийцгээе
7) Хоёрдахь деривативыг ол:
8) Гулзайлтын цэгүүдийг олоорой: гулзайлтын цэг байхгүй
Доошоо товойх
Бөмбөлөг
Ташуу асимптот тэгшитгэл
10) Хуваарь
Босоо асимптот
2) бид функцийн паритетийн талаар ярьж болохгүй
OX тэнхлэгтэй огтлолцох цэг байхгүй.
Байдаггүй. Ийм цэг байхгүй.
4) Деривативыг ол:
Функц нь буурч байна
Функц нэмэгддэг
6) Хүснэгт хийцгээе:
7) Функцийн графикийг зурцгаая:
Босоо асимптот
2) - бид функцийн паритетийн талаар ярьж чадахгүй
3) Графикийн OX тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.
Графикийн OY тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг олъё.
4) Деривативыг ол:
5) Функцийн экстремум цэгүүд болон функцийн өсөлт буурах интервалуудыг ол.
Ямар ч чухал цэг байхгүй.
Хамгийн дээд ба хамгийн бага оноо байхгүй.
6) Хүснэгт хийцгээе:
↘ 7) Хоёр дахь деривативыг ол:
8) Функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүдийг олоод гүдгэр ба хотгорын интервалыг тогтоо.
Гулзайлтын цэг байхгүй.
Бөмбөлөг
Доошоо товойх
9) Ташуу асимптотуудыг ол:
k = 0 тул хэвтээ асимптотын тэгшитгэл.
10) Функцийн графикийг зурцгаая:
; - босоо асимптотууд
2) - функц нь сондгой, учир нь. График нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.
3) Графикийн OX тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.
Графикийн OY тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг олъё.
4) Деривативыг ол:
5) Функцийн өсөлт ба бууралтын экстремум цэг ба интервалыг ол.
Шийдвэр байхгүй.
Функц нь буурч байна
Функц нэмэгддэг
6) Хүснэгт хийцгээе:
↘ Нэр үг биш.
↗ 7) Ташуу асимптотуудыг ол:
Ташуу асимптот байхгүй.
8) Хоёр дахь деривативыг ол:
9) Гулзайлтын цэгүүдийг олоорой: аль эсвэл
Доошоо товойх
Бөмбөлөг
10) График байгуулъя
VII. Түүхийн лавлагаа.
Математик анализын өөр нэг бүтээгч Готфрид Вильгельм Лейбницийн (1646 - 1716) амьдралын төгсгөл огт өөр байв. Гэхдээ хамгийн түрүүнд хийх зүйл.
Түүний өвөг дээдэс Польшоос ирсэн бөгөөд Лубениц овогтой. Лейпциг рүү нүүж ирсний дараа тэдний овог нэр нь Герман хэлээр дуудагдаж эхэлсэн нь сонирхолтой бөгөөд энэ хотын нэр нь мөн л Лейбниц их сургуулийн философийн профессорын гэр бүлд төрсөн гэсэн үг юм Лейпцигийн хувьд тэрээр эцэг эхээ эрт алдсан: 6 настайдаа эцэггүй, 17 настайдаа ээжгүй болсон. гүн ухаан, математикийн хүсэл эрмэлзэл, тэр маш их сониуч байсан, тэр сургууль дээр тэдэнтэй уулзахаасаа өмнө бие даан суралцдаг байсан, түүний ой санамж жигд бус байсан: тэр удаан хугацаанд тооцоо хийж чаддаггүй байв Цаг хугацаа өнгөрөхөд тэрээр ерөнхий ойлголт, хийсвэрлэлд дуртай байсан бөгөөд Лейбниц амьдралынхаа туршид ийм дурсамж, сэтгэлгээг хадгалсаар ирсэн.
15 настайдаа Лейбниц Лейпцигийн их сургуулийн философийн факультетийн оюутан байжээ. Энэ факультет нь хууль, теологийн бэлтгэл байсан. Философийн факультет, дараа нь хуулийн факультетийг онц төгсөөд 20 настай Лейбниц төрөлх хотод хүссэн албан тушаалд хүрч чадаагүй юм. Их сургуулийн консерватив дүрэм нь докторын зэрэг авахад материаллаг саад бэрхшээлийг бий болгосон. Тэрээр Нюрнбергт очиж, тэндээ их сургуульд докторын зэрэг хамгаалж, урьд өмнө хэзээ ч байгаагүй амжилттайгаар хуулийн диссертациа хамгаалжээ. Залуу эрдэмтний ер бусын авьяасыг анзаарав. Түүнийг Майнц хотын Сонгогч (хаан сонгох эрхтэй хунтайж), дараа нь Ганноверын герцог дипломат албанд урьжээ.
Лейбниц Парист сонгогчийн ажлаар явж байхдаа олон алдартай эрдэмтэдтэй уулзав. Төрөл бүрийн асуудлын хэлэлцүүлэг нь түүний математикийн сонирхлыг сэрээдэг. Дараа нь И.Бернуллид бичсэн захидалдаа тэрээр дурссан: >. Их сургуулиа төгсөөд (1666) Лейбниц философи-математикийн бүтээл> хэвлүүлсэн тул түүний тухай ярихдаа тэрээр математикийн хамгийн сүүлийн үеийн ололт амжилтыг үл тоомсорлож байв. Тухайн үед математикт гарч ирсэн шинэ үр дүн, санаатай танилцахын тулд тэрээр Гюйгенст тусламж хүсчээ. Тэрээр түүнд хэд хэдэн бүтээлийг сайтар судлахыг зөвлөсөн бөгөөд Лейбниц атаархмаар их хичээл зүтгэлтэй ажиллаж эхэлжээ: тэрээр Сент-Винсент ба Уоллис, Декарт, Паскалийн бүтээлүүдийг судалж, өөрийн судалгаанд оролцдог.
Гэвч тэрээр Лондонд дипломат ажлаар ирж, үр дүнгээ Английн математикчдад тайлагнаж байхдаа Хааны нийгэмлэгт хадгалагдаж байсан Ньютоны гар бичмэлээс эдгээр үр дүнгийн ихэнх нь тэдэнд аль хэдийн мэдэгдэж байгааг мэдээд гайхаж байна. Лейбниц энэ нийгэмлэгийн нарийн бичгийн дарга Ольденбургээр (1615 - 1677) дамжуулан Ньютонд ажлынхаа талаар бичдэг. Тэр захидалдаа тэрээр Ньютоноос үр дүнгээ тайлагнахыг хүссэн байна. Үүний хариуд тэрээр (дахин Олденбургаар дамжуулан) Ньютон цуврал ашиглан ялгах, нэгтгэх үйлдлүүдийг тайлбарласан хоёр захидал хүлээн авдаг.
Лейбниц шинэ тооцооллын чиглэлээр үр дүнгээ нийтлэх гэж яарсангүй, магадгүй Ньютоны нийтлэлийг хүлээж байв. Харин 1683 онд Цчирнхауз алгебрийн муруйн квадратын тухай өгүүлэл нийтэлжээ. Цчирнхаус эдгээр асуудлыг шийдвэрлэхэд түүнд маш их өртэй байсан ч Лейбницийн нэрийг дурдаагүй болно. Энэ нутагт далдуу модыг арчлахын тулд Лейбниц дараа жил >, жилийн дараа - > нийтлэл нийтлэв. Тэдгээрийн эхнийх нь дифференциал тооцооллын үндсийг, хоёр дахь нь интегралыг агуулсан байв.
Тэрээр шинэ шинжлэх ухааныг дифференциал үзэл баримтлал дээр үндэслэсэн. Одоо x0 цэг дээрх y=f(x) функцын df(x0) дифференциал нь df(xo) = f"(xo)dx томьёогоор олгогдох ба f"(xb) нь цэг дээр тооцсон дериватив юм. xo, тэдний бол аргументийн өсөлт юм. Лейбниц дифференциалыг өмнөх бүлэгт авч үзсэн гурвалжны нэг хөл гэж тодорхойлсон (9-р хэсэг). Зураг 46-аас харахад эдгээр тодорхойлолтууд тэнцүү байна.
Лейбниц нийлбэр, ялгавар, үржвэр, категори, градусын дифференциалыг тооцоолох дүрмийг өгч, дифференциал тэгшитгэлийг шийддэг. Тэрээр интегралыг дифференциалын нийлбэр гэж тодорхойлж, дифференциал ба интегралчлалын үйлдлүүдийн харилцан урвуу шинж чанарыг онцлон тэмдэглэв: >. Интегралын шинж чанар, түүнийг тооцоолох аргууд хаанаас гардаг вэ? Дараагийн өгүүллүүдэд Лейбниц шинэ дүн шинжилгээ хийжээ. Тэрээр аливаа интегралдах функц нь хязгаарлагдмал (интегралчлах зайлшгүй нөхцөл) байдгийг баталж, тодорхой төрлийн интегралыг тооцоолох алгоритм, ялангуяа рационал функцүүдийг нэгтгэх аргыг боловсруулсан. Рационал функцүүдийн интегралд янз бүрийн орлуулалтын тусламжтайгаар олон төрлийн интегралуудыг бууруулж болох тул энэ аргын ач холбогдлыг үнэлэх боломжгүй юм. Энэ аргыг илүү нарийвчлан авч үзье.
Дурын функцүүдийг нэгтгэх асуудлыг графикаар шийдэхийн тулд Лейбниц (1693) механик төхөөрөмж - интеграторыг зохион бүтээжээ. Хэрэв та энэ төхөөрөмжийн нэг зүүг функцийн графикийн дагуу хөдөлгөвөл нөгөө нь эсрэг деривативын графикийг зурна.
Бид Лейбницийн боловсруулсан алгоритм, тэмдэглэгээ, мөн түүний нэвтрүүлсэн ихэнх математикийн нэр томьёог ашигладаг хэвээр байна: функц, хувьсагч, тогтмол, координат, абсцисса, алгоритм, дифференциал гэх мэт. Эдгээр нэр томъёоны ихэнхийг өмнө нь ашиглаж байсан боловч байгаагүй. Лейбницийн тэдэнд өгсөн тодорхой утга.
Дараагийн зууны эхээр шинжилгээний шинэ бүтээлийн тэргүүлэх ач холбогдлын талаар ширүүн маргаан өрнөв. Үүний шалтгаан нь Лейбницийн Ньютоны бүтээлийн тойм (1704) бөгөөд тэрээр Ньютон болон Фабригийн хязгааргүй жижигийг тайлбарлах үзэл суртлын нийтлэг байдлыг онцолсон явдал юм. Агуу англи хүнийг Францын нэрд гарсан математикч О н о-ре Фабри (1607 - 1688) -тай ингэж харьцуулсан нь Английн эрдэмтдийн дургүйцлийг төрүүлэв. (Мөн Лейбниц ямар ч далд санаа агуулаагүй; Фабригийн ном бол Парисын үед түүнийг арилгахад тусалсан цөөхөн номуудын нэг юм.) Тэд үүнээс Ньютоны гавьяаг доромжилж буйг олж харсан тул энэ нь эхэлсэн. Энэхүү маргаанд Ньютоны эрхийг Английн эрдэмтэд, Лейбницийн эрхийг тивийн эрдэмтэд хамгаалсан. Ихэнх тивийн математикчид Лейбницийг дэмжиж байсан нь түүний тэмдэглэгээ нь маш төгс, сургаал нь өөрөө маш хүртээмжтэй болсон тул Европын олон эрдэмтдийн дунд тэр даруй дэмжигчдийг олж авсантай холбон тайлбарлаж байна. онол гарч ирнэ.
Оросын гайхамшигт яруу найрагч Валерий Брюсов дараах мөрүүдийг бичихдээ яг ийм маргааныг санасан бололтой.
Ай Лейбниц, Ай мэргэн, бошиглолын ном бүтээгч! Та нар эртний бошиглогчид шиг дэлхийн дээгүүр байсан. Чамайг гайхсан нас чинь эш үзүүллэгт хүрч чадаагүй, галзуу зэмлэлийг зусардалттай хольсон.
Уг нь хоёр талын нэхэмжлэл үндэслэлгүй байсан. Хоёр эрдэмтэн хоёулаа дифференциал ба интеграл тооцоог бий болгоход бие даан ирсэн бөгөөд тэдний хандлага огт өөр байв. Ньютон хүчний цувааны аппаратыг ашигласан бол Лейбниц дифференциал гэсэн ойлголтыг ашигласан. Халуухан маргаан нь Английн математикчид Лейбниц болон түүний сургуулиас ирсэн бүх зүйлийг үл тоомсорлож, тивийн математикчид англичуудын ажлыг үл тоомсорлоход хүргэсэн. Энэ тив нь Ньютоноос илүү дэвшилтэт Лейбницийн бэлгэдэлд тулгуурлаж, эрдэмтэд нийтлэг санаагаар нэгдсэн, хэвлэгдсэн, хүн бүрт хүртээмжтэй байсан тул Ньютоны дараах үеийн тивийн математикчид англичуудтай харьцуулахад нэлээд урагшилжээ.
Гэсэн хэдий ч Лейбницийн хувь заяанд англи, тивийн математикчдийн дайсагнал үхлийн үүрэг гүйцэтгэсэн. Номын санч, түүхч, намтарчаар ажиллаж байсан герцог Английн хаан болсон (1714) Лондон руу явав. Английн математикчидтай харилцаа холбоо тасарсан тул Лейбниц түүнийг дагаж чадаагүй. Нэмж дурдахад герцог түүх судлаачдаа сэтгэл дундуур байсан бөгөөд түүнийг албан ёсны шууд үүрэгтээ хангалттай анхаарал хандуулаагүй гэж үзжээ. Лейбниц гүнгийн номын санд үлдэж, ажиллах ёстой байв. Шинээр титэм хүртсэн Английн хааны дургүйцэл нь эрдэмтний тойрог ихээхэн сийрэгжихэд хүргэв. Хоёр жилийн дараа тэрээр сүүлчийн замд нь зөвхөн нарийн бичгийн дарга, булш ухагч нартайгаа хамт нас барав. Их зүйл хийсэн агуу эрдэмтэнтэй холбоотой хувь заяаны доромжлолын шударга бус байдал.
Баруун Европын түүх болон хувирсан гүнгийн ордны түүхийг эмхэтгэх ажилд асар их завгүй байсан ч бусад үүрэг хариуцлага нь түүнийг шинжлэх ухаанаас сатааруулж байсан ч Лейбниц математик, гүн ухаан, биологи, мэдлэгийн онол, улс төр, хууль эрх зүй, шинжлэх ухааны олон бүтээл үлдээжээ. хэл шинжлэл. Мэргэшсэн эрдэмтэн тэрээр эдгээр салбар бүрт үнэлж баршгүй хувь нэмэр оруулсан. Түүний доторх санаанууд нь эрдэнэ шишээс гарсан мэт урсдаг: захидал бүр, тэмдэглэл, нийтлэл бүр шинжлэх ухааны салбарт цоо шинэ зүйлийг агуулж, заримдаа түүний цаашдын хөгжлийг тодорхойлдог. Түүний шууд оролцоотойгоор их зүйл хийсэн. Берлинд тэрээр шинжлэх ухааны нийгэмлэг байгуулж, дараа нь Берлиний Шинжлэх ухааны академи болон хувирч, анхны ерөнхийлөгч болжээ. Тэрээр Парисын Шинжлэх Ухааны Академийн анхны гадаад гишүүн байв. Лейбниц Берлинд Петр I-тэй удаа дараа уулзаж, түүнд зориулж Оросын боловсрол, засгийн газрыг хөгжүүлэх, мөн Санкт-Петербургийн Шинжлэх ухааны академийг бий болгох хэд хэдэн төслийг боловсруулсан.
Гэхдээ түүний оруулсан хамгийн чухал хувь нэмэр бол математикийн шинжлэх ухаан юм. Үүнд орсноор тэр үүнийг бүрэн өөрчилж чадсан. Түүний ажил болон хамгийн ойрын хамтрагчдынх нь ажлын дараа зөвхөн математикийн анализ гарч ирээд зогсохгүй бүх математик шинэ эрин үе рүү орсон.
1°. Тогтмол функц нь сегментийн цэг бүрт тэгтэй тэнцүү деривативтай байдаг нь мэдэгдэж байна. Бүрэн дүн шинжилгээ хийх явцад эсрэгээр нь нотлогддог Хэрэв интервалын цэг бүрт түүний уламжлал f "(x) тэгтэй тэнцүү бол f(x) функц нь [a, b] интервал дээр тогтмол байна.
Бид үүнийг геометрийн аргаар дүрсэлдэг. Хэрэв f" (x) = 0сегментийн цэг бүрт [a, b],дараа нь функцийн графикт шүргэгч y=f(x) inцэг бүр x (a ≤ x ≤ b)тэнхлэгтэй параллель Өө.Шилжилтийн үед Xнэг утгаас дараагийн утга хүртэл цэг М.шүргэгчийн хүрэх цэг болох функцын график баруун тийш шилжсэн боловч тухайн цэг рүү татсан шүргэгчийн чиглэлд хэвээр байна. М,Учир нь энэ шилжилтийн үед шүргэгч чиглэлээ өөрчилдөггүй. Үүний үр дүнд сегмент дээр [a, b]
функцийн график y=f(x)шууд явдаг MN,тэнхлэгтэй параллель Өө,функцийн утга нь тэнцүү байна f(a), өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.
2°. Хэрэв хооронд нь бол а
эерэг утгууд. Үүний үр дүнд түүний хязгаар нь дериватив юм f "(x) -эерэг буюу тэгтэй тэнцүү
f "(x) ≥ 0
Хэрэв хооронд нь бол А<хфункц y=f(x)буурч, дараа нь нэмэгддэг Xфункцийн дараагийн утга бүр өмнөхөөсөө бага байна. Тиймээс тухайн үеийн x-ийн өгөгдсөн утгын хувьд өсөлт Δxэерэг, өсөлт Δyсөрөг хандлага Δy/Δxзөвхөн сөрөг утгыг авдаг бөгөөд хандлагатай үед Δx 0 хүртэлх хязгаар нь сөрөг тоо эсвэл тэг байна, өөрөөр хэлбэл.
f "(x) ≤ 0.
Деривативын үнэ цэнээс хойш f "(x)функцын графиктай шүргэгчийн налуутай тэнцүү y = f(x):
f "(x) = tanφ,
болон нэмэгдэж буй функцэд зориулагдсан f "(x) = tanφ ≥ 0, дараа нь нэмэгдэж буй функцийн графиктай шүргэгч нь тэнхлэгтэй хамт үүсдэг Өөхурц өнцөг буюу тэнхлэгтэй параллель Өө(зураг 106). Буурах функцээр f "(x) = tanφ ≤ 0, графикт шүргэгч нь тэнхлэгтэй хамт үүсдэг Өөмохоо өнцөг буюу тэнхлэгтэй параллель Өө(ховор.).
Завсрын хугацаанд а
Шүргэх нь тэнхлэгтэй параллель байх үед нэмэгдэж буй (эсвэл буурах) функцийн график дээрх цэгүүд Үхэр,абсциссууд нь сегмент үүсгэдэггүй гэсэн утгаараа тусдаа цэгүүд юм. Новш. мөн хараал ид. ийм цэгүүд байна РТэгээд R 1.
3°. Бүрэн дүн шинжилгээ хийх явцад функцүүдийн өсөлт, бууралтын дараах хангалттай шинж тэмдгүүд нотлогддог.
f(x) функц нь a интервалд нэмэгддэг (эсвэл буурдаг).
1) f "(x) дериватив нь a интервалд сөрөг биш (эсвэл эерэг биш).<х
f "(x) ≥ 0 (эсвэл f "(x) ≤ 0)
2) энэ интервалд a 1 ≤ x ≤ b 1 сегмент байхгүй (a<а 1 .
4°. Жишээ. Функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг тодорхойлно уу. y = x 3 - x 2 - 8x + 2.
Шийдэл. Өсөх, буурах функцийн шинж тэмдгийг хэрэглэхийн тулд бид энэ функцийн деривативыг олж утгыг тодорхойлно X,Энэ нь эерэг эсвэл сөрөг байна:
y" = 3x 2 - 2x - 8.
Үржвэрийн тэмдгийг хүчин зүйлийн тэмдгээр дүгнэх нь нийлбэрийн тэмдгийг нэр томьёоны тэмдгээр үнэлэхээс хамаагүй хялбар байдаг тул хоёрдугаар зэргийн гурвалсан тоог хүчин зүйлээр ангилъя.
Гурвалсан үндэс:
|
y" =3(x+4/3)(x-2).
Үржүүлэгч x + 4/3 сөрөг үед X< - 4/3 и положителен при X> - 4/3. Хүчин зүйл X - 2 нь сөрөг байна X< 2 и положителен при X> 2. Бүтээгдэхүүний тэмдэг нь тухайн цэгийн байршлаас хамааран нэг юмуу өөр байх болно Xтэнхлэг дээр Өө-4/3 ба 2 цэгүүдтэй харьцуулахад.
-4/3 ба 2 цэгүүд нь бүх тэнхлэгийг гурван зайд хуваана;
1) - ∞
Интервал бүр дэх деривативын тэмдгийг тодорхойлохын тулд бид хүснэгтийг гаргана.
| Цоорхой дугаар. | Цоорхойн шинж чанарууд | Гарын үсэг зурах x+4/3 | Гарын үсэг зурах х-2 | Гарын үсэг зурах f'(x) | Энэ функц |
| - ∞ < x< - 4/3 | - | - | + | нэмэгддэг | |
| -4/3 < x < 2 | + | - | - | буурдаг | |
| 2 < х < + ∞ | + | + | + | нэмэгддэг |
Үүний үр дүнд энэ функц нь интервалаар нэмэгддэг
- ∞
Энэ функцийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв.
5°.Функц y = x 3(төхөөрөмж) деривативтай у = 3х 2,Энэ нь аливаа утгын хувьд эерэг X,тэгээс ялгаатай. At x = 0дериватив y" = 0. Чиг үүрэг y = x 3интервал нэмэгдэх - ∞
Хамгийн их ба хамгийн бага функц
Хэмжигдэхүүний хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудал нь технологид чухал ач холбогдолтой бөгөөд жишээнүүдээс харахад функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг олоход хүргэдэг.
Тодорхойлолт. 1. Хэрэв f(x) функц нь x=c цэгийн аль нэг хэсэгт авсан x-ийн бусад утгаас их байвал x=c үед максимумтай байна.
2. f(x) функц нь x=c-ийн утга нь x=c цэгийн зарим хэсэгт авсан x-ийн бусад утгаас бага байвал x=c үед минимумтай байна.
"Хамгийн их" ба "хамгийн бага" гэсэн нэр томъёог нэгтгэн "экстремум" гэсэн нийтлэг нэр томъёонд нэгтгэдэг.
Функцийн хамгийн их (эсвэл хамгийн бага) утгыг өгдөг аргументын утгыг дуудна хамгийн их (хамгийн бага) цэг, эсвэл экстремум цэг.
Функц нь зөвхөн хамгийн их утгатай байж болно, жишээ нь функц y = 60x- 2x 2(Зураг 111), эсвэл зөвхөн хамгийн бага, жишээ нь функц y = 2x+72/x(Зураг 112), эсвэл байна
функц зэрэг хамгийн их ба хамгийн бага y = x 3 - - x 2 - 8x+2(зураг 108). Функц нь хэд хэдэн максимум ба минимумтай байж болно (Зураг 113), энэ тохиолдолд максимум ба минимумууд ээлжлэн солигдоно. Функц нь хамгийн их эсвэл доод хэмжээгүй байж болно. Жишээлбэл, функцууд y = x 3, y = ctgx, y = a xихсэх тусам хамгийн их эсвэл доод аль нь ч байхгүй X- ∞-аас +∞ хүртэл эхний болон гурав дахь функцүүд нэмэгдэж, хоёр дахь нь зөвхөн буурдаг.
Функцийн хамгийн их (хамгийн бага) нь түүний хамгийн том (хамгийн бага) утга биш байж болно. Тиймээс чөтгөрт дүрслэгдсэн. 113 функц нь цэг дээр байна -тай.утга дээд хэмжээнээс их байна 1 М 1-тэйТэгээд 3 М 2-тай, мөн цэг дээр 0-ээсхамгийн бага утгаас бага c 2 м 1, Мөн в 4 м 2, хамгийн бага в 4 м 2дээд хэмжээнээс илүү 1 М 1-тэй. Өгөгдсөн цэг дэх функцийн хамгийн их (хамгийн бага) нь экстремум цэгийн зүүн ба баруун талд байрлах цэгүүдийн утгуудтай харьцуулахад функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга юм. зөвхөн түүнд хангалттай ойрхон байна.
Функцийн мөн чанарыг тодорхойлж, түүний зан байдлын талаар ярихын тулд өсөлт, бууралтын интервалыг олох шаардлагатай. Энэ процессыг функцийн судалгаа ба график гэж нэрлэдэг. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олоход экстремум цэгийг ашигладаг, учир нь тэдгээрт функц нь интервалаас нэмэгдэж эсвэл буурдаг.
Энэ нийтлэлд тодорхойлолтыг илчилж, интервал дахь өсөлт, бууралтын хангалттай шинж тэмдэг, экстремум байх нөхцөлийг томъёолсон болно. Энэ нь жишээ, асуудлыг шийдвэрлэхэд хамаарна. Функцуудыг ялгах хэсгийг давтах ёстой, учир нь шийдэл нь деривативыг олоход ашиглах шаардлагатай болно.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Тодорхойлолт 1
Аливаа x 1 ∈ X ба x 2 ∈ X, x 2 > x 1-ийн хувьд f (x 2) > f (x 1) тэгш бус байдал хангагдах үед y = f (x) функц x интервал дээр нэмэгдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, аргументийн том утга нь функцийн том утгатай тохирч байна.
Тодорхойлолт 2
Аливаа x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1-ийн хувьд f (x 2) > f (x 1) тэгшитгэл байх үед y = f (x) функцийг x интервал дээр буурч байна гэж үзнэ. үнэн гэж үздэг. Өөрөөр хэлбэл, том функцын утга нь аргументын жижиг утгатай тохирч байна. Доорх зургийг анхаарч үзээрэй.
Сэтгэгдэл: Функц нь өсөх ба буурах интервалын төгсгөлд тодорхой бөгөөд тасралтгүй байх үед, өөрөөр хэлбэл (a; b) x = a, x = b байх үед цэгүүд нэмэгдэх ба буурах интервалд орно. Энэ нь тодорхойлолттой зөрчилддөггүй бөгөөд энэ нь x интервал дээр явагддаг гэсэн үг юм.
y = sin x төрлийн энгийн функцүүдийн үндсэн шинж чанарууд нь аргументуудын бодит утгуудын найдвартай байдал ба тасралтгүй байдал юм. Эндээс бид синус нь интервалаар нэмэгдэж байгааг олж мэднэ - π 2; π 2, дараа нь сегмент дэх өсөлт нь π 2 хэлбэртэй байна; π 2.
Тодорхойлолт 3x 0 цэгийг дуудна хамгийн дээд цэг y = f (x) функцийн хувьд x-ийн бүх утгын хувьд f (x 0) ≥ f (x) тэгш бус байдал хүчинтэй байна. Хамгийн их функццэг дээрх функцийн утга бөгөөд y m a x гэж тэмдэглэнэ.
x-ийн бүх утгын хувьд f (x 0) ≤ f (x) тэгш бус байдал хүчинтэй байх үед x 0 цэгийг y = f (x) функцийн хамгийн бага цэг гэж нэрлэдэг. Хамгийн бага функцууднь цэг дээрх функцын утга бөгөөд y m i n хэлбэрийн тэмдэглэгээтэй байна.
x 0 цэгийн хөршүүдийг авч үзнэ экстремум цэгүүд,ба экстремум цэгүүдэд тохирох функцийн утга. Доорх зургийг анхаарч үзээрэй.
Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгатай функцийн экстремум. Доорх зургийг анхаарч үзээрэй.
Эхний зурагт [a; b ]. Энэ нь хамгийн их цэгүүдийг ашиглан олдог бөгөөд функцийн хамгийн их утгатай тэнцүү бөгөөд хоёр дахь зураг нь x = b цэгийн хамгийн их цэгийг олохтой адил юм.
Функц нэмэгдэх, буурах хангалттай нөхцөл
Функцийн максимум ба минимумыг олохын тулд функц нь эдгээр нөхцлийг хангасан тохиолдолд экстремумын тэмдгийг хэрэглэх шаардлагатай. Эхний тэмдгийг хамгийн их ашигладаг гэж үздэг.
Экстремумын эхний хангалттай нөхцөл
Тодорхойлолт 4x 0 цэгийн ε орчимд дифференциалагдах, өгөгдсөн x 0 цэгт залгамж чанар бүхий y = f (x) функцийг өгье. Эндээс бид үүнийг олж авдаг
- f " (x) > 0 үед x ∈ (x 0 - ε ; x 0) ба f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
- f "(x) үед< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 бол x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), тэгвэл x 0 нь хамгийн бага цэг болно.
Өөрөөр хэлбэл, бид тэмдгийг тавих нөхцөлийг олж авдаг.
- функц x 0 цэг дээр тасралтгүй байх үед энэ нь өөрчлөгддөг тэмдэгтэй деривативтэй, өөрөөр хэлбэл + -ээс - хүртэлх цэгийг максимум гэж нэрлэдэг;
- функц x 0 цэг дээр үргэлжилсэн үед --ээс + хүртэл өөрчлөгддөг тэмдэгтэй деривативтэй байх ба энэ нь тухайн цэгийг минимум гэж нэрлэдэг.
Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг зөв тодорхойлохын тулд та тэдгээрийг олох алгоритмыг дагаж мөрдөх ёстой.
- тодорхойлолтын домэйныг олох;
- энэ талбар дээрх функцийн деривативыг олох;
- функц байхгүй тэг ба цэгүүдийг тодорхойлох;
- үүсмэлийн тэмдгийг интервалаар тодорхойлох;
- функц тэмдэг өөрчлөгдөх цэгүүдийг сонгоно уу.
Функцийн экстремум олох хэд хэдэн жишээг шийдэж алгоритмыг авч үзье.
Жишээ 1
Өгөгдсөн y = 2 (x + 1) 2 x - 2 функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг ол.
Шийдэл
Энэ функцийн тодорхойлолтын муж нь x = 2-оос бусад бүх бодит тоонууд юм. Эхлээд функцийн деривативыг олоод дараахийг авъя:
y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2
Эндээс бид функцийн тэг нь x = - 1, x = 5, x = 2, өөрөөр хэлбэл хаалт бүрийг тэгтэй тэнцүүлэх ёстой гэдгийг харж байна. Үүнийг тоон тэнхлэг дээр тэмдэглээд дараахийг авцгаая.
Одоо бид интервал бүрээс деривативын шинж тэмдгийг тодорхойлно. Интервалд орсон цэгийг сонгоод илэрхийлэлд орлуулах шаардлагатай. Жишээлбэл, x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6 цэгүүд.
Бид үүнийг ойлгодог
y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, энэ нь - ∞ - 1 интервал эерэг деривативтай байна гэсэн үг.
y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0
Хоёр дахь интервал тэгээс бага болсон тул интервал дээрх дериватив сөрөг байна гэсэн үг юм. Гурав дахь нь хасах, дөрөв дэх нь нэмэх. Тасралтгүй байдлыг тодорхойлохын тулд деривативын шинж тэмдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй, хэрэв энэ нь өөрчлөгдвөл энэ нь туйлын цэг юм.
Бид x = - 1 цэг дээр функц тасралтгүй байх бөгөөд энэ нь дериватив тэмдгийг + -ээс - болгон өөрчилнө гэсэн үг юм. Эхний тэмдгийн дагуу бид x = - 1 нь хамгийн дээд цэг бөгөөд энэ нь бид авах гэсэн үг юм
y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0
x = 5 цэг нь функц тасралтгүй байгааг илтгэх ба дериватив нь тэмдгээ – -ээс + болгон өөрчилнө. Энэ нь x = -1 нь хамгийн бага цэг бөгөөд түүний тодорхойлолт нь хэлбэртэй байна гэсэн үг юм
y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24
График зураг
Хариулт: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.
Экстремумын хувьд хангалттай эхний шалгуурыг ашиглах нь функцийг x 0 цэгт ялгах шаардлагагүй бөгөөд энэ нь тооцооллыг хялбаршуулдаг гэдгийг анхаарах нь зүйтэй.
Жишээ 2
y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг ол.
Шийдэл.
Функцийн домэйн нь бүх бодит тоо юм. Үүнийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийн системээр бичиж болно.
1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0
Дараа нь та деривативыг олох хэрэгтэй:
y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0
x = 0 цэг нь деривативгүй, учир нь нэг талын хязгаарын утга өөр байна. Бид үүнийг олж авдаг:
lim y " x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3
Үүнээс үзэхэд функц нь x = 0 цэг дээр тасралтгүй байна, дараа нь бид тооцоолно
lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 у (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8
Дериватив тэг болох үед аргументийн утгыг олохын тулд тооцоолол хийх шаардлагатай.
1 2 х 2 - 4 х - 22 3 , х< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0
1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0
Интервал бүрийн тэмдгийг тодорхойлохын тулд бүх олж авсан цэгүүдийг шулуун шугам дээр тэмдэглэсэн байх ёстой. Тиймээс интервал бүрийн хувьд дурын цэгүүдэд деривативыг тооцоолох шаардлагатай. Жишээлбэл, бид x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6 гэсэн утгатай оноо авч болно. Бид үүнийг ойлгодог
y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 у "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0
Шулуун шугам дээрх зураг иймэрхүү харагдаж байна
Энэ нь бид экстремумын анхны шинж тэмдгүүдэд хандах шаардлагатай гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна гэсэн үг юм. Үүнийг тооцоод олъё
x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , тэгвэл эндээс хамгийн их цэгүүд нь x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3 гэсэн утгатай байна.
Хамгийн бага хэмжээг тооцоолохдоо шилжье:
y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3
Функцийн максимумыг тооцоолъё. Бид үүнийг ойлгодог
y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3
График зураг
Хариулт:
y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 2 3 a x = 3 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Хэрэв f " (x 0) = 0 функц өгөгдсөн бол f "" (x 0) > 0 бол f "" (x 0) бол x 0 нь хамгийн бага цэг гэдгийг олж авна.< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .
Жишээ 3
y = 8 x x + 1 функцийн максимум ба минимумыг ол.
Шийдэл
Нэгдүгээрт, бид тодорхойлолтын домэйныг олдог. Бид үүнийг ойлгодог
D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0
Энэ нь функцийг ялгах шаардлагатай бөгөөд үүний дараа бид олж авдаг
y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x
x = 1 үед дериватив нь тэг болж, цэг нь боломжит экстремум гэсэн үг юм. Үүнийг тодруулахын тулд хоёр дахь деривативыг олж, x = 1 утгыг тооцоолох шаардлагатай. Бид авах:
y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1) ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0
Энэ нь экстремумын хувьд хангалттай 2 нөхцөлийг ашигласнаар бид x = 1 нь хамгийн их цэг болно гэсэн үг юм. Үгүй бол оруулга нь y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 шиг харагдаж байна.
График зураг
Хариулт: y m a x = y (1) = 4 ..
Тодорхойлолт 5y = f (x) функц нь өгөгдсөн x 0 цэгийн ε хөршийн n-р зэрэглэлийн деривативтай, x 0 цэгийн n + 1-р дараалал хүртэлх деривативтай байна. Дараа нь f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .
Үүнээс үзэхэд n нь тэгш тоо бол х 0 нь нугалалтын цэг, n нь сондгой тоо, тэгвэл x 0 нь экстремум цэг, f (n + 1) (x 0) > 0, тэгвэл x гэж үзнэ. 0 нь хамгийн бага цэг, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.
Жишээ 4
y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг ол.
Шийдэл
Анхны функц нь оновчтой бүхэл функц бөгөөд энэ нь тодорхойлолтын муж нь бүх бодит тоо гэсэн үг юм. Энэ нь функцийг ялгах шаардлагатай байна. Бид үүнийг ойлгодог
y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x +) 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x -) 3) 3 (7 x - 5)
Энэ дериватив нь x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3 үед тэг болно. Өөрөөр хэлбэл, цэгүүд нь боломжтой экстремум цэгүүд байж болно. Экстремумын хувьд гурав дахь хангалттай нөхцлийг хэрэглэх шаардлагатай. Хоёрдахь деривативыг олох нь функцийн хамгийн их ба минимум байгаа эсэхийг нарийн тодорхойлох боломжийг олгодог. Хоёрдахь деривативыг боломжит экстремумын цэгүүдээр тооцоолно. Бид үүнийг ойлгодог
y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 у "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0
Энэ нь x 2 = 5 7 нь хамгийн их цэг гэсэн үг юм. 3-р хангалттай шалгуурыг ашигласнаар n = 1 ба f (n + 1) 5 7 байна.< 0 .
x 1 = - 1, x 3 = 3 цэгүүдийн шинж чанарыг тодорхойлох шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд та гурав дахь деривативыг олж, эдгээр цэгүүдийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй. Бид үүнийг ойлгодог
y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0
Энэ нь n = 2 ба f (n + 1) (- 1) ≠ 0-ийн хувьд x 1 = - 1 нь функцийн гулзайлтын цэг гэсэн үг юм. x 3 = 3 цэгийг судлах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бид 4-р деривативыг олж, энэ үед тооцооллыг хийнэ.
y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0
Дээр шийдсэн зүйлээс бид x 3 = 3 нь функцийн хамгийн бага цэг гэж дүгнэж байна.
График зураг
Хариулт: x 2 = 5 7 нь өгөгдсөн функцийн хамгийн их цэг, x 3 = 3 нь хамгийн бага цэг юм.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Функцийн орон нутгийн өсөлт, бууралтын шинж тэмдэг.
Функцийг судлах үндсэн ажлын нэг бол түүний өсөлт, бууралтын интервалыг олох явдал юм. Ийм судалгааг дериватив ашиглан хялбархан хийж болно. Холбогдох мэдэгдлүүдийг томъёолъё.
Функцийг нэмэгдүүлэх хангалттай шинж тэмдэг.
Хэрэв I интервалын цэг бүрт f’(x) > 0 байвал f функц I-ээр нэмэгдэнэ.
Функц буурч байгаагийн хангалттай шинж тэмдэг.
Хэрэв f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Эдгээр тэмдгүүдийн нотолгоог Лагранжийн томъёоны үндсэн дээр хийдэг (19-р зүйлийг үз). Дурын хоёр x тоог ав 1 ба x 2 интервалаас. x байг 1
(1)
c тоо нь I интервалд хамаарна, учир нь x цэгүүд 1 ба x 2 I-д хамаарна. Хэрэв x∈I-ийн хувьд f"(x)>0 бол f’(c)>0, тиймээс F(x) 1 )
Шинж тэмдгүүдийн харааны утга нь бие махбодийн үндэслэлээс тодорхой харагдаж байна (тодорхой байхын тулд өсөлтийн тэмдгийг авч үзье).
Ординатын тэнхлэгийн дагуу t үед хөдөлж буй цэг y = f(t) ординаттай байг. Тэгвэл t цаг дээрх энэ цэгийн хурд нь f"(t)-тай тэнцүү байна (харна уу.Агшин зуурын хурд ). Хэрэв t интервалаас цаг хугацааны мөч бүрт f’ (t)>0 байвал цэг нь ординатын тэнхлэгийн эерэг чиглэлд хөдөлдөг, өөрөөр хэлбэл t бол 1
Тайлбар 1.
Хэрэв f функц нь өсөх (буурах) интервалын аль ч төгсгөлд тасралтгүй байвал энэ цэгийг энэ интервалд хавсаргана.
Тайлбар 2.
f" (x)>0 ба f" (x) тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.
Нэг цэгт функцийн экстремум байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл.
Экстремумын зайлшгүй нөхцөл
Тухайн цэг дэх g(x) функц нь экстремумтай (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) функцийг тухайн цэгийн хоёр талт хөрш болон зарим мужын бүх x цэгүүдэд тодорхойлсон бол: , тэгш бус байдал зохих ёсоор хангагдана.
(хамгийн их тохиолдолд) эсвэл (хамгийн бага тохиолдолд).
Функцийн экстремумыг нөхцөлөөс олж болно: хэрэв дериватив байгаа бол, i.e. функцийн эхний деривативыг тэгтэй тэнцүүлнэ.
Экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл
1) Эхний хангалттай нөхцөл:
a) f(x) нь тасралтгүй функц бөгөөд тухайн цэгийн эхний дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байхаар тухайн цэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог.
b) f(x) нь функцийн тодорхойлолт ба тасралтгүй байдлын ойролцоо хязгаарлагдмал деривативтай.
в) дериватив нь тухайн цэгийн баруун ба зүүн талд тодорхой тэмдэгтэй байвал тухайн цэгийг дараах байдлаар тодорхойлж болно.
Энэ нөхцөл тийм ч тохиромжтой биш, учир нь та олон нөхцөлийг шалгаж, хүснэгтийг цээжлэх хэрэгтэй, гэхдээ дээд эрэмбийн деривативуудын талаар юу ч хэлээгүй бол энэ нь функцийн экстремумыг олох цорын ганц арга зам юм.
2) Хоёр дахь хангалттай нөхцөл
Хэрэв g(x) функц нь хоёр дахь деривативтай бөгөөд зарим үед эхний дериватив нь тэгтэй тэнцүү, хоёр дахь дериватив нь тэгээс өөр байна. Дараа нь зааж өгнө үү функцийн экстремум g(x), хэрэв , тэгвэл цэг нь хамгийн их; хэрэв , тэгвэл цэг нь хамгийн бага байна.
