Орон зайн тэгш хэм. Физик дэх тэгш хэм

Энэ хичээлээр бид орон зай дахь тэгш хэмийн төрлүүдийг тайлбарлаж, ердийн олон өнцөгтийн тухай ойлголттой танилцах болно.

Планиметрийн нэгэн адил орон зайд бид цэг болон шугамын тэгш хэмийг авч үзэх болно, гэхдээ үүнээс гадна хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэм гарч ирнэ.

Тодорхойлолт.

Хэрэв О сегментийн дунд хэсэг бол А цэгүүдийг О цэгтэй (тэгш хэмийн төв) харьцангуй тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. O цэг нь өөрөө тэгш хэмтэй байна.

Өгөгдсөн А цэгийн О цэгтэй харьцангуй тэгш хэмтэй цэгийг олж авахын тулд та А ба О цэгүүдээр шулуун шугам зурж, О цэгээс OA-тай тэнцүү сегментийг зурж, хүссэн цэгийг олж авах хэрэгтэй (Зураг 1). ).

Цагаан будаа. 1. Нэг цэгийн тэгш хэм

Үүний нэгэн адил B цэгүүд нь О цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна, учир нь O нь сегментийн дунд хэсэг юм.

Тиймээс, онгоцны цэг бүр нь онгоцны өөр цэг рүү очдог хууль өгөгдсөн бөгөөд энэ тохиолдолд ямар ч зай хадгалагдана гэж бид хэлсэн, өөрөөр хэлбэл.

Орон зайн шулуун шугамын тэгш хэмийг авч үзье.

Өгөгдсөн А цэгийн тэгш хэмтэй цэгийг ямар нэгэн шулуун а-тай харьцуулахын тулд та А цэгээс шулуун шугам руу перпендикулярыг буулгаж, үүн дээр тэнцүү сегментийг зурах хэрэгтэй (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2. Орон зайн шулуун шугамын тэгш хэм

Тодорхойлолт.

А цэгүүдийг шулуун а (тэгш хэмийн тэнхлэг) -тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв а шулуун нь сегментийн дундуур дайран өнгөрч, түүнд перпендикуляр байвал. Шулуун шугамын цэг бүр өөртэйгээ тэгш хэмтэй байна.

Тодорхойлолт.

Хэрэв хавтгай сегментийн дундуур дайран өнгөрч, түүнд перпендикуляр байвал А цэгүүдийг хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй (тэгш хэмийн хавтгай) гэж нэрлэдэг. Хавтгайн цэг бүр өөртэйгээ тэгш хэмтэй байна (Зураг 3).

Цагаан будаа. 3. Хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэм

Зарим геометрийн дүрс нь тэгш хэмийн төв, тэгш хэмийн тэнхлэг эсвэл тэгш хэмийн хавтгайтай байж болно.

Тодорхойлолт.

Тухайн зургийн цэг бүр ижил дүрсийн аль нэг цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байвал О цэгийг дүрсийн тэгш хэмийн төв гэнэ.

Жишээлбэл, параллелограмм ба параллелепипедийн бүх диагональуудын огтлолцлын цэг нь тэгш хэмийн төв юм. Параллелепипедийг жишээ болгон үзүүлье.

Цагаан будаа. 4. Параллелепипедийн тэгш хэмийн төв

Тиймээс параллелепипедийн О цэгийн тэгш хэмтэй А цэг нь цэг рүү, В цэг нь цэг рүү ордог тул параллелепипед өөрөө өөртөө ордог.

Тодорхойлолт.

Зургийн цэг бүр нь ижил дүрсийн аль нэг цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байвал шулуун шугамыг дүрсийн тэгш хэмийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, ромбын диагональ бүр нь түүний хувьд тэгш хэмийн тэнхлэг юм.

Орон зайд жишээ авч үзье - тэгш өнцөгт параллелепипед (хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн перпендикуляр, суурь дээр тэнцүү тэгш өнцөгтүүд байдаг). Ийм параллелепипед нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй байдаг. Тэдгээрийн нэг нь параллелепипедийн тэгш хэмийн төв (диагональуудын огтлолцох цэг) ба дээд ба доод суурийн төвүүдээр дамждаг.

Тодорхойлолт.

Тухайн зургийн цэг бүр ижил дүрсийн аль нэг цэгт тэгш хэмтэй байвал хавтгайг дүрсийн тэгш хэмийн хавтгай гэнэ.

Жишээлбэл, тэгш өнцөгт параллелепипед нь тэгш хэмийн хавтгайтай байдаг. Тэдний нэг нь дээд ба доод суурийн эсрэг талын хавирганы дундуур дамждаг (Зураг 5).

Цагаан будаа. 5. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн тэгш хэмийн хавтгай

Симметрийн элементүүд нь ердийн олон талтуудад байдаг.

Тодорхойлолт.

Гүдгэр олон өнцөгтийн бүх нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй, орой бүрт ижил тооны ирмэгүүд нийлдэг бол түүнийг тогтмол гэж нэрлэдэг.

Теорем.

Нүүр нь ердийн n-гонстой ердийн олон өнцөгт байдаггүй.

Нотолгоо:

Ердийн зургаан өнцөгт байх үеийн тохиолдлыг авч үзье. Түүний бүх дотоод өнцөг нь тэнцүү байна:

Дараа нь дотоод өнцөг нь илүү том байх болно.

Олон өнцөгтийн орой бүрт дор хаяж гурван ирмэг нийлдэг бөгөөд энэ нь орой бүр дор хаяж гурван хавтгай өнцөг агуулна гэсэн үг юм. Тэдний нийт нийлбэр (тус бүр нь -ээс их эсвэл тэнцүү байх тохиолдолд) -ээс их буюу тэнцүү байна. Энэ нь мэдэгдэлтэй зөрчилдөж байна: гүдгэр олон өнцөгтийн хувьд орой бүрийн бүх хавтгай өнцгийн нийлбэр бага байна.

Теорем нь батлагдсан.

Шоо (Зураг 6):

Цагаан будаа. 6. Шоо

Шоо нь зургаан квадратаас бүрдэнэ; квадрат бол ердийн олон өнцөгт;

Орой бүр нь гурван квадратын орой юм, жишээлбэл, A орой нь ABCD дөрвөлжин нүүрний хувьд нийтлэг байдаг. ;

Гурван зөв өнцгөөс бүрддэг тул орой тус бүрийн хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь . Энэ нь ердийн олон өнцөгтийн үзэл баримтлалд нийцсэн зүйлээс бага юм;

Шоо нь тэгш хэмийн төвтэй - диагональуудын огтлолцлын цэг;

Шоо нь тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй, жишээлбэл a ба b шулуун шугамууд (Зураг 6), шулуун шугам нь эсрэг талын нүүрний дунд цэгүүдээр, b нь эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдээр дамжин өнгөрдөг;

Шоо нь тэгш хэмийн хавтгайтай, жишээлбэл, a ба b шугамаар дамжин өнгөрдөг хавтгай.

2. Энгийн тетраэдр (бүх ирмэг нь хоорондоо тэнцүү энгийн гурвалжин пирамид):

Цагаан будаа. 7. Тогтмол тетраэдр

Ердийн тетраэдр нь дөрвөн тэгш талт гурвалжингаас бүрдэнэ;

Энгийн тетраэдр нь дагуух гурван хавтгай өнцгөөс тогтдог тул орой тус бүрийн бүх хавтгай өнцгийн нийлбэр нь . Энэ нь ердийн олон өнцөгтийн үзэл баримтлалд нийцсэн зүйлээс бага юм;

Ердийн тетраэдр нь тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй, тэдгээр нь эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдээр дамжин өнгөрдөг, жишээлбэл MN шулуун шугам; Түүнчлэн MN нь AB ба CD огтлолцох шулуун шугамуудын хоорондох зай, MN нь AB ба CD ирмэгүүдэд перпендикуляр;

Ердийн тетраэдр нь тэгш хэмийн хавтгайтай бөгөөд тус бүр нь ирмэг ба эсрэг талын ирмэгийн дундуур дамждаг (Зураг 7);

Ердийн тетраэдр нь тэгш хэмийн төвгүй байдаг.

3. Энгийн октаэдр:

Найман тэгш талт гурвалжингаас бүрдэнэ;

Дөрвөн ирмэг нь орой бүр дээр нийлдэг;

Энгийн октаэдр нь дагуух дөрвөн хавтгай өнцгөөс бүрддэг тул орой тус бүрийн бүх хавтгай өнцгийн нийлбэр нь . Энэ нь -ээс бага бөгөөд энэ нь ердийн олон өнцөгтийн тухай ойлголтыг хангаж байна.

4. Энгийн икосаэдрон:

Хорин тэнцүү талт гурвалжингаас бүрдэнэ;

Орой бүр дээр таван ирмэг нийлдэг;

Энгийн икосаэдр нь дагуух таван хавтгай өнцгөөс тогтдог тул орой тус бүрийн бүх хавтгай өнцгийн нийлбэр нь . Энэ нь -ээс бага бөгөөд энэ нь ердийн олон өнцөгтийн тухай ойлголтыг хангаж байна.

5. Энгийн додекаэдр:

Арван хоёр энгийн таван өнцөгтөөс бүрдэнэ;

Гурван ирмэг нь орой бүр дээр нийлдэг;

Орой бүр дээрх бүх хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь . Энэ нь -ээс бага бөгөөд энэ нь ердийн олон өнцөгтийн тухай ойлголтыг хангаж байна.

Тиймээс бид орон зай дахь тэгш хэмийн төрлүүдийг судалж, хатуу тодорхойлолтыг өгсөн. Мөн бид ердийн олон өнцөгтийн тухай ойлголтыг тодорхойлж, ийм олон талт, тэдгээрийн шинж чанаруудын жишээг авч үзсэн.

Ном зүй

И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Геометр. 10-11-р анги: ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг (үндсэн ба тусгай түвшин) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-р хэвлэл, Илч. болон нэмэлт - М.: Mnemosyne, 2008. - 288 х.: өвчтэй.
Шарыгин I.F. Геометр. 10-11-р анги: Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг / Шарыгин I. F. - М.: Bustard, 1999. - 208 х.: өвчтэй.
Е.В.Потоскуев, Л.И.Звалич. Геометр. 10-р анги: Математикийг гүнзгийрүүлэн, төрөлжүүлэн судалдаг ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг /Э. В.Потоскуев, Л.И.Звалич. - 6-р хэвлэл, хэвшмэл ойлголт. - М .: Bustard, 2008. - 233 х.: өвчтэй.

Matemonline.com ().
Fmclass.ru ().
5klass.net ().

Гэрийн даалгавар

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн тэгш хэмийн тэнхлэгийн тоог заана;
тогтмол таван өнцөгт призмийн тэгш хэмийн тэнхлэгийн тоог заана;
октаэдрийн тэгш хэмийн хавтгайн тоог заана;
тэгш хэмийн бүх элементүүдийг агуулсан пирамид барих.

. Ердийн олон талт.

Тодорхойлолт. Гүдгэр олон өнцөгтийг нэрлэдэг зөв , хэрэв түүний бүх нүүр нь тэгш тэгш олон өнцөгт бөгөөд орой бүр дээр ижил тооны ирмэгүүд нийлдэг бол.

Ердийн тетраэдр, ердийн гексаэдр, ердийн октаэдр, ердийн икосаэдр, ердийн дудекаэдр гэсэн ердөө 5 энгийн олон талт байдаг гэдгийг батлахад маш амархан. Энэхүү гайхалтай баримт нь эртний сэтгэгчид ердийн олон талтуудыг оршихуйн үндсэн элементүүдтэй уялдуулах боломжийг олгосон юм.

Полиэдрийн онолын олон сонирхолтой хэрэглээ байдаг. Энэ чиглэлээр гарсан гайхалтай үр дүнгийн нэг Эйлерийн теорем , энэ нь зөвхөн ердийн төдийгүй бүх гүдгэр олон талтуудад хүчинтэй.

Теорем: гүдгэр олон талтуудын хувьд хамаарал хүчинтэй: G + V – P = 2, энд B нь оройн тоо, G нь нүүрний тоо, P нь ирмэгийн тоо юм.

Олон талт нэр	Ирмэгүүдийн тоо (G)	Оройн тоо (B)	Хавирганы тоо (P)	Оршихуйн үндсэн элемент
тетраэдр
зургаан өнцөгт

икосаэдрон
Додекаэдр				Орчлон ертөнц
дөрвөлжин пирамид
n- нүүрсний пирамид
гурвалжин призм
n- нүүрстөрөгчийн призм

Тогтмол polyhedra нь олон сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Хамгийн гайхалтай шинж чанаруудын нэг нь тэдний хоёрдмол байдал юм: хэрэв та ердийн зургаан талт (шоо) нүүрний төвүүдийг сегментүүдтэй холбовол ердийн октаэдр авах болно; ба эсрэгээр, хэрэв та ердийн октаэдрийн нүүрний төвүүдийг сегментүүдтэй холбовол шоо үүснэ. Үүний нэгэн адил ердийн икосаэдр ба додекаэдр нь хос юм. Ердийн тетраэдр нь өөрөө хос юм, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв та ердийн тетраэдрийн нүүрний төвүүдийг сегментүүдтэй холбовол дахин ердийн тетраэдр авах болно.

. Орон зай дахь тэгш хэм.

Тодорхойлолт. Оноо АТэгээд INгэж нэрлэдэг цэгийн хувьд тэгш хэмтэй ТУХАЙ(тэгш хэмийн төв), хэрэв ТУХАЙ- сегментийн дунд хэсэг AB. O цэгийг өөртөө тэгш хэмтэй гэж үздэг.

Тодорхойлолт. Оноо АТэгээд INгэж нэрлэдэг шулуун шугамын хувьд тэгш хэмтэй А(тэгш хэмийн тэнхлэг), хэрэв шулуун бол А ABба энэ сегментэд перпендикуляр. Цэг бүр шулуун байна А

Тодорхойлолт. Оноо АТэгээд INгэж нэрлэдэг хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй β (тэгш хэмийн хавтгай), хэрэв хавтгай β сегментийн дундуур дамждаг ABба энэ сегментэд перпендикуляр. Онгоцны цэг бүр β өөрөө тэгш хэмтэй гэж үздэг.

Тодорхойлолт. Тухайн зургийн цэг бүр нь ижил дүрсийн аль нэг цэгтэй тэгш хэмтэй байвал тухайн цэгийг (шулуун шугам, хавтгай) дүрсийн тэгш хэмийн төв (тэнхлэг, хавтгай) гэж нэрлэдэг.

Хэрэв дүрс нь тэгш хэмийн төвтэй (тэнхлэг, хавтгай) байвал түүнийг төвийн (тэнхлэг, толин тусгал) тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгтийн төв, тэнхлэг, тэгш хэмийн хавтгайг нэрлэдэг тэгш хэмийн элементүүд энэ олон өнцөгт.

Жишээ. Зөв тетраэдр:

- тэгш хэмийн төв байхгүй;

- тэгш хэмийн гурван тэнхлэгтэй - эсрэг талын хоёр ирмэгийн дундуур дамждаг шулуун шугамууд;

Энэ нь зургаан тэгш хэмийн хавтгайтай - тетраэдрийн эсрэг талын (эхнийхтэй огтлолцох) перпендикуляр ирмэгээр дамжин өнгөрдөг онгоцууд.

Асуулт, даалгавар

Хэдэн тэгш хэмийн төвүүд:

а) параллелепипед;

б) тогтмол гурвалжин призм;

в) хоёр талт өнцөг;

г) сегмент;

Хэдэн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд:

а) сегмент;

б) ердийн гурвалжин;

Хэдэн тэгш хэмийн хавтгай нь:

a) кубаас ялгаатай ердийн дөрвөлжин призм;

б) ердийн дөрвөлжин пирамид;

в) ердийн гурвалжин пирамид;

Ердийн полиэдрүүд хэдэн, ямар тэгш хэмийн элементүүдтэй байдаг вэ?

a) ердийн тетраэдр;

б) ердийн зургаан өнцөгт;

в) ердийн октаэдр;

г) ердийн икосаэдрон;

г) ердийн додекаэдр?

Слайд 2

Хичээлийн хэлбэр: Хичээл - семинар, асуудлын шийдэл

Хичээлийн зорилго: "Сансар дахь хөдөлгөөн" боловсролын материалын талаархи оюутнуудын хувийн ойлголтыг шинэчлэх Сэдвийн хэрэглээний ач холбогдлын талаархи ухамсартай ойлголтыг дэмжих, хүрээлэн буй бодит байдалд судалж буй хөдөлгөөний төрлүүдийг харах чадварыг хөгжүүлэх. Төрөл бүрийн хөдөлгөөнд зориулагдсан объектын дүрсийг бүтээх танин мэдэхүйн сонирхлыг хөгжүүлэх Сэдвийг чадварлаг эзэмших, практик ур чадварыг хөгжүүлэх.

Слайд 3

Симметри гэдэг нь хүн төрөлхтний олон зууны турш эмх цэгц, гоо үзэсгэлэн, төгс төгөлдөр байдлыг ойлгох, бүтээхийг оролдсон санаа юм. Вайл.

Слайд 4

Сансар огторгуйн хөдөлгөөн гэдэг нь цэгүүдийн хоорондох зайг хадгалж, орон зайг өөр дээрээ буулгах явдал юм.

Слайд 5

Төвийн тэгш хэм

Слайд 6

Төвийн тэгш хэм гэдэг нь орон зайг өөр дээрээ буулгах бөгөөд ямар ч М цэг нь өгөгдсөн О төвтэй харьцуулахад өөрт нь тэгш хэмтэй M1 цэг рүү ордог.

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Төвийн тэгш хэмтэй дүрсүүд

Слайд 10

Урлаг. Сокол метроны буудал

Слайд 11

Урлаг. Римская метроны буудал

Слайд 12

Павильоны соёл, Бүх Оросын үзэсгэлэнгийн төв

Слайд 13

.ТУХАЙ

Слайд 14

Тэнхлэгийн тэгш хэм

Слайд 15

А тэнхлэгтэй тэнхлэгийн тэгш хэм гэдэг нь орон зайг өөр дээрээ буулгах бөгөөд ямар ч М цэг нь а тэнхлэгтэй харьцангуй тэгш хэмтэй M1 цэг рүү ордог. Тэнхлэгийн тэгш хэм нь хөдөлгөөн юм. a Тэнхлэгийн тэгш хэм M M1

Слайд 16

Х y Z О M(x;y;z) M1(x1;y1;z1) Тэнхлэгийн тэгш хэм нь хөдөлгөөн гэдгийг баталъя. Үүний тулд Oxyz тэгш өнцөгт координатын системийг нэвтрүүлж, Oz тэнхлэг нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй давхцаж, M(x;y;z) ба M1(x1;y1 ;z1) хоёр цэгийн координатуудын хооронд холболт тогтооно. Оз тэнхлэгтэй харьцангуй тэгш хэмтэй. Хэрэв М цэг нь Оз тэнхлэгт ороогүй бол Оз тэнхлэг: 1) MM1 сегментийн дундыг дайран өнгөрөх ба 2) түүнд перпендикуляр байна. Эхний нөхцлөөс сегментийн дунд хэсгийн координатын томъёог ашиглан бид (x+x1)/2=0 ба (y+y1)/2=0, үүнээс x1=-x ба y1=-z-ийг олж авна. . Хоёрдахь нөхцөл нь M ба M1 цэгүүдийн хэрэглээ тэнцүү байна: z1=z. Баталгаа

Слайд 17

Баталгаа

Одоо дурын A(x1;y1;z1) ба B(x2;y2;z2) хоёр цэгийг авч үзээд тэдгээртэй тэгш хэмтэй А1 ба В1 цэгүүдийн хоорондох зай AB-тай тэнцүү болохыг баталъя. А1 ба В1 цэгүүд нь A1(-x1;-y1;-z1) ба B1(-x1;-y1;-z1) координаттай байна. Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан бид дараахыг олно: AB=\/(x2-x1) ²+(y2 -y1)²+(z2-z1), A1B1=\/(-x2+x1)²+(-y2+y1)²+(-z2+z1). Эдгээр хамаарлаас харахад AB = A1B1 байх нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Слайд 18

Өргөдөл

Тэнхлэгийн тэгш хэм нь маш түгээмэл байдаг. Үүнийг байгальд аль алинд нь харж болно: ургамлын навч, цэцэг, амьтдын бие, шавж, тэр ч байтугай хүний бие, хүн өөрөө бий болсон: барилга байгууламж, машин, тоног төхөөрөмж гэх мэт.

Слайд 19

Слайд 20

Амьдралд тэнхлэгийн тэгш хэмийн хэрэглээ

Архитектурын барилгууд

Слайд 21

Цасан ширхгүүд ба хүний бие

Слайд 22

Эйфелийн цамхаг шар шувуу

Слайд 23

Тэдний толинд туссан тусгалаас өөр миний гар эсвэл чих шиг юу байж болох вэ? Гэсэн хэдий ч толинд харсан гарыг жинхэнэ гарын оронд тавьж болохгүй. Эммануэль Кант Толин тусгалын тэгш хэм

Слайд 24

Эзлэхүүний дүрсийг харуулах, түүний цэг бүр нь өгөгдсөн хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй цэгтэй тохирч байгааг энэ хавтгай дахь эзэлхүүний дүрсийн тусгал (эсвэл толин тусгал тэгш хэм) гэж нэрлэдэг.

Слайд 25

Теорем 1. Хавтгай дахь тусгал нь зайг хадгалдаг тул хөдөлгөөн юм.Теорем 2. Тодорхой хавтгайн бүх цэгүүд хөдөлгөөнгүй байх хөдөлгөөн нь энэ хавтгайд тусах буюу ижил тэгш хэмийг зааж өгөх замаар тодорхойлогддог тэгш хэмийн хавтгайд оршдоггүй харгалзах хос цэгүүд: тэгш хэмийн хавтгай нь эдгээр цэгүүдийг холбосон сегментийн дундуур перпендикуляр дамждаг.

Слайд 26

Толин тусгал тэгш хэм нь хөдөлгөөн гэдгийг батлахын тулд Oxy хавтгай нь тэгш хэмийн хавтгайтай давхцаж байхаар тэгш өнцөгт координатын системийг нэвтрүүлж, M(x; y; z) хоёр цэгийн координатуудын хооронд холбоо тогтооё. ба M1(x1; y1; z1), Окси хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй.

Слайд 27

Хэрэв M цэг Окси хавтгайд оршдоггүй бол энэ хавтгай нь: 1) MM1 сегментийн дундыг дайран өнгөрөх ба 2) түүнд перпендикуляр байна. Эхний нөхцлөөс сегментийн дунд хэсгийн координатын томъёог ашиглан бид (z+z1)/2=0, үүнээс z1=-z-г олж авна. Хоёрдахь нөхцөл нь MM1 сегмент нь Oz тэнхлэгтэй параллель байна гэсэн үг юм. тиймээс x1=x, y1=y. M нь Окси хавтгайд байрладаг. Одоо A (x1;y1;z1) ба B (x2;y2;z2) гэсэн хоёр цэгийг авч үзээд тэдгээрийн тэгш хэмтэй A1(x1;y1;-z1) ба B (x2;y2;-z2) цэгүүдийн хоорондох зай болохыг баталцгаая. ). Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно: AB= (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2-ийн квадрат язгуур, A1B1=(x2-x1)2+-ийн квадрат язгуур (y2-y1 )2+(-z2-z1)2. Эдгээр харилцаанаас юуг нотлох шаардлагатай байгаа нь тодорхой харагдаж байна.

Слайд 28

Орон зайн хавтгай (толь тэгш хэм) -тэй харьцуулахад тэгш хэм нь хөдөлгөөн бөгөөд энэ нь хөдөлгөөний бүх шинж чанарыг агуулдаг гэсэн үг юм: энэ нь шулуун шугамыг шулуун, хавтгайг хавтгай болгон хувиргадаг. Нэмж дурдахад энэ нь урвуу талтай давхцаж буй орон зайн хувирал юм: нэг хавтгайтай харьцуулахад хоёр тэгш хэмийн найрлага нь ижил хувирал юм. Хавтгайн тэгш хэмийн хувьд энэ хавтгайн бүх цэгүүд, зөвхөн тэдгээр нь байрандаа үлддэг (тогтмол хувиргах цэгүүд). Тэгш хэмийн хавтгайд байрлах ба түүнд перпендикуляр шулуун шугамууд өөр хоорондоо өөрчлөгддөг. Тэгш хэмийн хавтгайд перпендикуляр хавтгайнууд мөн өөрсөддөө хувирдаг. Хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэм нь хоёр дахь төрлийн хөдөлгөөн юм (тетраэдрийн чиглэлийг өөрчилдөг).

Слайд 29

Бөмбөг нь төвийг нь дайран өнгөрөх аливаа тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна.

Слайд 30

Зөв дугуй цилиндр нь тэнхлэгээ дайран өнгөрөх аливаа хавтгайд тэгш хэмтэй байдаг.

Слайд 31

Энгийн n өнцөгт пирамид нь тэгш хэмтэй бөгөөд түүний өндөр ба суурийн хамгийн том диагональыг дайран өнгөрөх аливаа хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.

Слайд 32

Толин тусгал дээр ажиглагдсан давхар нь тухайн объектын яг хуулбар гэж ихэвчлэн үздэг. Бодит байдал дээр энэ нь бүрэн үнэн биш юм. Толин тусгал нь тухайн объектыг зүгээр л хуулбарладаггүй, харин объектын урд болон хойд хэсгүүдийг толин тусгалаар сольж (дахин цэгцэлдэг). Объекттой харьцуулахад түүний давхар толин тусгал нь толины хавтгайд перпендикуляр чиглэлд "урвуу" болж хувирдаг.

Слайд 33

Объектийн нэг тал нь нөгөө талтайгаа харьцуулахад толь давхар байна гэж бодъё. Ийм объектыг толин тусгал тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. Энэ хавтгайг тэгш хэмийн хавтгай гэж нэрлэдэг.

Олон зууны турш тэгш хэм нь философич, одон орон судлаач, математикч, зураач, архитектор, физикчдийн сонирхлыг татсаар ирсэн сэдэв хэвээр байна. Эртний Грекчүүд үүнд бүрэн автдаг байсан бөгөөд өнөөдрийг хүртэл бид тавилга зохион байгуулалтаас эхлээд үс засалт хүртэл бүх зүйлд тэгш хэмтэй тулгардаг.

Үүнийг ухаарсны дараа та өөрийн харж буй бүх зүйлд тэгш хэмийг эрэлхийлэх хэт их хүсэл тэмүүллийг мэдрэх болно гэдгийг санаарай.

(Нийт 10 зураг)

Шуудангийн ивээн тэтгэгч: ВКонтакте дээр хөгжим татаж авах хөтөлбөр: "Холбоо барих" хөтөлбөрийн шинэ хувилбар нь хамгийн алдартай нийгмийн сүлжээний vkontakte.ru хуудаснаас хэрэглэгчдийн оруулсан хөгжим, видеог хялбар, хурдан татаж авах боломжийг олгодог.

1. Романеско брокколи

Магадгүй та дэлгүүрт Романеско цэцэгт байцааг хараад генийн өөрчлөлттэй бүтээгдэхүүний бас нэг жишээ гэж бодсон байх. Гэвч үнэн хэрэгтээ энэ бол байгалийн фрактал тэгш хэмийн өөр нэг жишээ юм. Брокколи цэцэг бүр логарифмын спираль хэлбэртэй байдаг. Романеско нь гадаад төрхөөрөө брокколи, амт, тууштай байдлын хувьд цэцэгт байцаатай төстэй. Энэ нь каротиноид, түүнчлэн С, К витаминаар баялаг бөгөөд энэ нь зөвхөн үзэсгэлэнтэй төдийгүй эрүүл хоол хүнс болгодог.

Хэдэн мянган жилийн турш хүмүүс зөгийн сархинагуудын төгс зургаан өнцөгт хэлбэрийг гайхшруулж, зөгий хэрхэн зөнгөөрөө зөвхөн луужин, захирагчаар үржүүлж чаддаг хэлбэрийг өөрөөсөө асуусаар ирсэн. Зөгий хэрхэн, яагаад зургаан өнцөгт бүтээх хүсэл эрмэлзэлтэй байдаг вэ? Математикчид үүнийг хамгийн бага хэмжээний лав ашиглан зөгийн балыг хамгийн их хэмжээгээр хадгалах боломжийг олгодог хамгийн тохиромжтой хэлбэр гэж үздэг. Аль ч тохиолдолд энэ бүхэн байгалийн гаралтай бүтээгдэхүүн бөгөөд үнэхээр гайхалтай.

3. Наранцэцэг

Наранцэцэг нь радиаль тэгш хэм, Фибоначчийн дараалал гэгддэг сонирхолтой төрлийн тэгш хэмээр сайрхдаг. Фибоначчийн дараалал: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 гэх мэт. (тоо бүрийг өмнөх хоёр тооны нийлбэрээр тодорхойлно). Хэрэв бид цаг заваа гаргаж, наранцэцгийн үрийн тоог тоолвол спиральуудын тоо Фибоначчийн дарааллын зарчмын дагуу ургадаг болохыг олж мэдэх болно. Байгаль дээр олон ургамал (түүний дотор Романеско цэцэгт байцаа) байдаг бөгөөд тэдгээрийн дэлбээ, үр, навч нь ийм дараалалд нийцдэг тул дөрвөн навчтай хошоонгор олоход хэцүү байдаг.

Гэхдээ наранцэцэг болон бусад ургамал яагаад математикийн дүрмийг дагаж мөрддөг вэ? Зөгийн үүрний зургаан өнцөгт шиг бүх зүйл үр ашигтай байх ёстой.

4. Nautilus Shell

Ургамлаас гадна Наутилус зэрэг зарим амьтад Фибоначчийн дарааллыг дагадаг. "Наутилус"-ын бүрхүүл нь Фибоначчийн спираль хэлбэртэй эргэлддэг. Бүрхүүл нь ижил пропорциональ хэлбэрийг хадгалахыг хичээдэг бөгөөд энэ нь түүнийг амьдралынхаа туршид хадгалах боломжийг олгодог (насан туршдаа пропорцийг өөрчилдөг хүмүүсээс ялгаатай). Бүх Наутилусууд Фибоначчийн бүрхүүлтэй байдаггүй ч бүгд логарифмын спираль дагуу явдаг.

Математикийн хясаануудад атаархахаасаа өмнө тэд үүнийг санаатайгаар хийдэггүй, зүгээр л энэ хэлбэр нь тэдний хувьд хамгийн оновчтой хэлбэр гэдгийг санаарай.

5. Амьтад

Ихэнх амьтад хоёр талт тэгш хэмтэй байдаг бөгөөд энэ нь тэдгээрийг хоёр ижил хагас болгон хувааж болно гэсэн үг юм. Хүн ч гэсэн хоёр талт тэгш хэмтэй байдаг бөгөөд зарим эрдэмтэд хүний тэгш хэм нь бидний гоо сайхныг мэдрэхэд нөлөөлдөг хамгийн чухал хүчин зүйл гэж үздэг. Өөрөөр хэлбэл, өрөөсгөл царайтай бол түүнийгээ бусад сайн чанаруудаар нөхөж байгаа гэж найдаж болно.

Зарим нь тогос гэх мэт ханиа татахын тулд бүрэн тэгш хэмтэй байдаг. Дарвин энэ шувуунд эерэгээр дургүйцсэн бөгөөд захидалдаа "Тоос шувууны сүүлний өдийг харах бүрт миний бие өвддөг!" Дарвины хувьд сүүл нь төвөгтэй мэт санагдаж байсан бөгөөд энэ нь түүний "хамгийн сайн нь амьд үлдэх" онолтой нийцэхгүй байсан тул хувьслын хувьд ямар ч утгагүй байв. Амьтад хослох боломжоо нэмэгдүүлэхийн тулд тодорхой шинж чанаруудыг өөрчилдөг гэсэн бэлгийн сонголтын онолыг гаргах хүртлээ тэрээр уурлаж байв. Тиймээс тогос нь хамтрагчаа татахын тулд янз бүрийн дасан зохицох чадвартай байдаг.

5000 орчим төрлийн аалз байдаг бөгөөд тэдгээр нь бараг ижил зайд байрлах радиаль тулгуур утас, олз барих зориулалттай спираль тор бүхий бараг төгс дугуй тор үүсгэдэг. Эрдэмтэд аалзнууд яагаад геометрт ингэтлээ дуртай байдгийг сайн мэдэхгүй байна, учир нь дугуй тор нь жигд бус хэлбэртэй торноос илүү хоол хүнс татдаггүйг туршилтууд харуулсан. Эрдэмтэд олзыг торонд барих үед радиаль тэгш хэм нь цохилтын хүчийг жигд хуваарилдаг бөгөөд үүний үр дүнд тасрах нь бага байдаг гэж онолдог.

Хэд хэдэн заль мэхэнд самбар, хадагч, харанхуйн аюулгүй байдлыг өг, тэгвэл хүмүүс ч мөн адил тэгш хэмтэй дүрс бүтээдэг болохыг харах болно. Ургамлын дугуйлангийн дизайны нарийн төвөгтэй байдал, гайхалтай тэгш хэмийн улмаас дугуйланг бүтээгчид ур чадвараа хүлээн зөвшөөрч, харуулсан ч олон хүн сансрын харь гаригийнхан бүтээсэн гэдэгт итгэдэг.

Тойрог нарийн төвөгтэй болохын хэрээр тэдний зохиомол гарал үүсэл улам бүр тодорхой болж байна. Бид эхний мэдээг тайлж чадахгүй байхад харь гарагийнхан мессежээ улам хүндрүүлнэ гэж үзэх нь логикгүй юм.

Хэрхэн үүссэнээс үл хамааран тариалангийн тойрог нь геометр нь гайхалтай байдаг тул харахад таатай байдаг.

Ихэнх цасан ширхгүүд зургаан өнцөгт тэгш хэмтэй байдаг тул цасан ширхгүүд шиг жижиг тогтоцууд ч тэгш хэмийн хуулиар зохицуулагддаг. Энэ нь зарим талаараа усны молекулууд хатуурах (талсжих) үед дараалан байршдагтай холбоотой юм. Усны молекулууд нь устөрөгчийн сул холбоо үүсгэснээр хатуу болж, таталцлын болон түлхэлтийн хүчийг тэнцвэржүүлж, цасан ширхэгийн зургаан өнцөгт хэлбэрийг бий болгодог. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн цасан ширхгүүд бүр тэгш хэмтэй боловч нэг цасан ширхгүүд нөгөөтэйгөө адилхан байдаггүй. Энэ нь цасан ширхгүүд бүр тэнгэрээс унах үед атмосферийн өвөрмөц нөхцөлийг мэдэрдэг тул талстууд нь тодорхой байдлаар байрладаг.

9. Сүүн замын галактик

Бид аль хэдийн харсанчлан тэгш хэм, математик загварууд бараг хаа сайгүй байдаг, гэхдээ эдгээр байгалийн хуулиуд манай гаригт хязгаарлагддаг уу? Мэдээж үгүй. Сүүн замын галактикийн захад шинэ хэсэг саяхан нээгдсэн бөгөөд одон орон судлаачид уг галактикийг бараг төгс толин тусгал дүрс гэж үзэж байна.

10. Нар сарны тэгш хэм

Нар 1.4 сая км, сар 3474 км диаметртэйг бодоход Сар нарны гэрлийг хааж, хоёр жил тутамд 5 орчим удаа нар хиртэх боломжийг бидэнд олгоно гэдэг бараг боломжгүй мэт санагдана. Энэ хэрхэн ажилладаг вэ? Санамсаргүй тохиолдлоор Нар Сарнаас 400 дахин өргөн байхад Нар мөн 400 дахин хол байдаг. Тэгш хэм нь Дэлхийгээс харахад Нар, Сар нь ижил хэмжээтэй байдаг тул Сар нь нарыг халхалж чаддаг. Мэдээжийн хэрэг, Дэлхийгээс Нар хүртэлх зай нэмэгдэж болох тул бид заримдаа цагираг болон хэсэгчилсэн хиртэлтийг хардаг. Гэвч 1-2 жил тутамд нарийн тохируулга гарч, нарны бүтэн хиртэлт гэж нэрлэгддэг гайхалтай үйл явдлын гэрч болдог. Одон орон судлаачид энэ тэгш хэм нь бусад гаригуудын дунд хэр түгээмэл байдгийг мэдэхгүй ч энэ нь маш ховор гэж үздэг. Гэсэн хэдий ч бүх зүйл тохиолдлын асуудал тул бид өөрсдийгөө онцгой гэж бодож болохгүй. Жишээлбэл, сар жил бүр дэлхийгээс 4 см-ийн зайд хөдөлдөг бөгөөд энэ нь хэдэн тэрбум жилийн өмнөх нар хиртэлт бүр бүтэн хиртэлт байх байсан гэсэн үг юм. Хэрэв бүх зүйл энэ хэвээр үргэлжилбэл бүтэн хиртэлт яваандаа алга болох ба энэ нь цагираг хэлбэрийн хиртэлт арилах болно. Энэ үзэгдлийг харахын тулд бид зүгээр л зөв цагт, зөв газартаа байгаа нь харагдаж байна.

§ 1 Симметр гэж юу вэ

Энэ хичээлийн эшлэл нь алдарт эрдэмтэн, кибернетикийг бүтээгч Норберт Винерийн өнөөдрийн хэлэлцэх бүх зүйлийг маш нарийн илэрхийлсэн мэдэгдэл байх болно.

"Математикийн хамгийн дээд зорилго бол биднийг хүрээлж буй эмх замбараагүй байдлаас гоо үзэсгэлэн, зохицол, дэг журмыг олох явдал юм."

Симметр бол орчлон ертөнцийн зохицлыг баталгаажуулдаг хуулиудын нэг бөгөөд бид өнөөдөр энэ тухай ярьж, планиметрийн хичээлд нэвтрүүлсэн ойлголтуудыг өргөжүүлэх болно.

Өдөр тутмын хэлэнд тэгш хэм гэдэг үгийг хоёр утгаар ашигладаг. Нэг утгаараа тэгш хэм гэдэг нь сайн пропорциональ, тэнцвэртэй, тэгш хэм нь бие даасан хэсгүүдийн уялдаа холбоог илэрхийлдэг бөгөөд тэдгээрийг бүхэлд нь нэгтгэдэг. Гоо сайхан нь тэгш хэмтэй нягт холбоотой. Жишээлбэл, эртний хүмүүсийн уран барималууд нь эв найртай төгс байдгаараа биширдэг байсан барималч Поликлейтосын пропорцын тухай номондоо энэ тухай өгүүлсэн байдаг. Жинлүүрийн дүрс нь бидний цаг үед хэрэглэгддэг тэгш хэм гэдэг үгийн хоёр дахь утгад хүргэдэг байгалийн холбоос юм: толин тусгал тэгш хэм - зүүн ба баруун тэгш хэм, дээд амьтан, хүний биеийн бүтцэд мэдэгдэхүйц мэдрэгддэг.

Толин тусгал тэгш хэм нь тусгал эсвэл эргүүлэх гэх мэт үйлдлүүдтэй холбоотой тэгш хэмийн геометрийн ойлголтын онцгой тохиолдол болдог.

Пифагорчууд хавтгай дээрх хамгийн төгс геометрийн дүрсийг тойрог, огторгуйд бөмбөрцөг гэж үздэг байсан нь тэдний бүрэн эргэлтийн тэгш хэмтэй байдаг.

Симметри гэдэг нь өргөн эсвэл нарийн утгаараа хүний олон зууны турш эмх цэгц, гоо үзэсгэлэн, төгс төгөлдөр байдлыг ойлгох, бүтээхийг хичээж ирсэн санаа юм. Тиймээс орон зай, цаг хугацааны шинж чанарууд нь түүний зохицолын илрэл болох тэгш хэм, байгалийн зүй тогтолд хүргэдэг.

§ 2 Нэг цэгийн тэгш хэм

Планиметрийн хувьд бид цэг болон шулуун шугамын хувьд тэгш хэмтэй дүрсүүдийг авч үзсэн. Стереометрийн хувьд цэг, шулуун, хавтгайд хамаарах тэгш хэмийг авч үздэг.

Хэрэв О нь AA1 сегментийн дунд хэсэг бол A ба A1 цэгүүдийг О цэгтэй (тэгш хэмийн төв) харьцангуй тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. O цэгийг өөртөө тэгш хэмтэй гэж үздэг. Төв тэгш хэмийн жишээ нь цэцэг эсвэл хэв маяг байж болно

§ 3 Шулуун шугамын тэгш хэм

Хэрэв а шулуун AA1 сегментийн дундыг дайран өнгөрч, энэ хэрчимд перпендикуляр байвал A ба A1 цэгүүдийг тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. a шугамын цэг бүрийг өөртөө тэгш хэмтэй гэж үздэг.

Ийм тэгш хэмийн жишээг зөвхөн үзэсгэлэнтэй эрвээхэйгээс гадна бүхэл бүтэн барилга байгууламжаас харж болно.

нэрэмжит Москвагийн Улсын Их Сургуулийн барилга. Ломоносов,

Аврагч Христийн сүм,

Таж Махал сүм-бунхан.

§ 4 Хавтгайн тэгш хэм

Орон зайн геометрийн хувьд хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмийг нэмье.

Хэрэв α хавтгай нь AA1 сегментийн дундыг дайран өнгөрч, энэ хэрчимд перпендикуляр байвал A ба A1 цэгүүдийг α хавтгайтай (тэгш хэмийн хавтгай) харьцангуй тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. α хавтгайн цэг бүрийг өөртөө тэгш хэмтэй гэж үздэг.

Стереометрийг судлахдаа зургийн төв, тэнхлэг, тэгш хэмийн хавтгайн тухай ярьж болно.

Тухайн зургийн цэг бүр нь ижил дүрсийн аль нэг цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байвал тухайн цэгийг (шулуун шугам, хавтгай) дүрсийн тэгш хэмийн төв (тэнхлэг, хавтгай) гэж нэрлэдэг. Хэрэв дүрс нь төвтэй (тэнхлэг, тэгш хэмийн хавтгай) байвал түүнийг төвийн (тэнхлэг, толин тусгал) тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг.

Зурган дээр та одоо тэгш өнцөгт параллелепипед, түүнчлэн түүний тэгш хэмийн төв, тэгш хэмийн тэнхлэг, тэгш хэмийн хавтгайг харж болно.

Тэгш өнцөгт биш харин шулуун призм болох параллелепипед нь хавтгай (эсвэл суурь нь ромб бол хавтгай), тэнхлэг ба тэгш хэмийн төвтэй.

§ 5 Тэгш бус байдал

Зураг нь нэг буюу хэд хэдэн тэгш хэмийн төвтэй (тэнхлэг, тэгш хэмийн хавтгай) байж болно. Жишээлбэл, шоо нь зөвхөн нэг тэгш хэмийн төвтэй, хэд хэдэн тэнхлэг, тэгш хэмийн хавтгайтай байдаг. Хязгааргүй олон төв, тэнхлэг эсвэл тэгш хэмийн хавтгайтай дүрс байдаг. Эдгээр дүрсүүдээс хамгийн энгийн нь шулуун ба хавтгай юм. Үүний эсрэгээр төв, тэнхлэг, тэгш хэмийн хавтгай байхгүй дүрсүүд байдаг. Энэ тохиолдолд бид тэгш хэм байхгүй гэсэн утгатай тэгш хэмийн өөр нэг математик ойлголтын тухай ярьж байна. Өнөөдөр биологич, сэтгэл зүйч, химич, эмч нар тэгш хэмийн нууцыг тайлж, баруун зүүний нууцыг тайлахын тулд хамтран ажиллахыг хичээж байна. Бид өдөр бүр толинд хардаг ч тусгалд баруун гар зүүн гар тийшээ эргэдэг тухай бараг боддоггүй. Яагаад байгаль дэлхий хагас бөмбөрцөг, гар, хөл, нүдний зарим функцийг бүтээж, давхардуулсан боловч хүн ганц амтай байдаг вэ? Гайхалтай нь, бидний бүх тэгш хэмийн хувьд бид тэгш хэмт бус байдаг. Орчин үеийн компьютерийн технологи нь хүн ямар байхыг зөвхөн нүүрний зүүн хагасаас эсвэл баруун талаас нь харах боломжийг олгодог. Үр дүн нь хөрөг зургийг харсан хүмүүсийн ихэнхийг гайхшруулдаг. Баруун ба зүүн тархи нь бие биенээсээ ялгаатай байдаг. Эргэн тойрноо хар, магадгүй та эргэн тойрон дахь тэгш хэм, тэгш бус байдлыг харж, түүнийг биширдэг.

Геометр. 10-11 анги: Ерөнхий боловсролын сурах бичиг. байгууллагууд: үндсэн ба профиль. түвшин / [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев болон бусад]. – 22 дахь хэвлэл. – М.: Боловсрол, 2013. – 255 х. : өвчтэй. – (МУИС - сургууль дээр)
Сургуулийн багш нарт туслах боловсрол, арга зүйн гарын авлага Эмхэтгэсэн: Яровенко В.А. Л.С.Атанасян нар (М.: Просвещение) 10-р ангийн боловсролын багцад зориулсан геометрийн хичээлийн хөгжил
Рабинович E. M. Бэлэн зураг дээрх даалгавар, дасгалууд. 10-11 анги. Геометр. - М.: Илекса, 2006 он. - 80 с.
M. Ya Vygodsky Анхан шатны математикийн гарын авлага М.: AST Astrel, 2006. - 509 х.
Avanta+. Хүүхдэд зориулсан нэвтэрхий толь бичиг. Боть 11. Математик 2-р хэвлэл, шинэчилсэн найруулга. - М .: Avanta+ нэвтэрхий толь бичгийн ертөнц: Astrel 2007. - 621 х. Эд. зөвлөл: М.Аксенова, В.Володин, М.Самсонов