11. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын функц.
Өнөөг хүртэл бид боломжит утгууд нь нэг тоогоор тодорхойлогддог санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг авч үзсэн. Ийм хэмжигдэхүүнийг нэг хэмжээст гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, үхрийг шидэх үед авч болох онооны тоо нь салангид нэг хэмжээст хэмжигдэхүүн юм; буунаас сум унах газар хүртэлх зай нь тасралтгүй нэг хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.
Нэг хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдээс гадна боломжит утгууд нь хоёр, гурав, ..., n тоогоор тодорхойлогддог хэмжигдэхүүнүүдийг судалдаг. Ийм хэмжигдэхүүнийг хоёр хэмжээст, гурван хэмжээст, ..., n хэмжээст гэж нэрлэдэг. Бид хоёр хэмжээстийг (X,Y) гэж тэмдэглэнэ санамсаргүй хувьсагч. X ба Y хэмжигдэхүүн бүрийг бүрэлдэхүүн хэсэг (бүрэлдэхүүн хэсэг) гэж нэрлэдэг: X ба Y хэмжигдэхүүнийг нэгэн зэрэг авч үзэх нь хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийг бүрдүүлдэг.
Үүний нэгэн адил n хэмжээст хэмжигдэхүүнийг n санамсаргүй систем гэж үзэж болно
тоо хэмжээ Жишээлбэл, XOY координатын хавтгай дээрх дурын цэгийг X ба Y бүрэлдэхүүн (координат) бүхий хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзэж болно; ямар ч цэг гурван хэмжээст орон зай-Яаж
X, Y, Z бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй гурван хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Дискрет (эдгээр хэмжигдэхүүний бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь салангид) ба тасралтгүй (эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь тасралтгүй) олон хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байдаг.
Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг (X, Y) авч үзье (энэ нь салангид эсвэл тасралтгүй байх нь хамаагүй). (x,y) хос бодит тоо байг. X нь х-ээс бага утгыг авах ба нэгэн зэрэг Y нь у-аас бага утгыг авах үйл явдлын магадлалыг F(x,y) гэж тэмдэглэнэ. Хэрэв x ба у өөрчлөгдвөл ерөнхийдөө F(x,y) мөн өөрчлөгдөх болно, өөрөөр хэлбэл F(x,y) нь x ба у-ийн функц юм.
Түгээлтийн функцхоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X,Y) нь x, y хос тоо тус бүрд X нь x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог F(x,y) функц юм. у-аас бага утга: F(x, y) = P(X Геометрийн хувьд энэ тэгш байдлыг дараах байдлаар тайлбарлаж болно: F(x,y) нь санамсаргүй цэг (X,Y) нь энэ оройн зүүн ба доор байрлах орой (x, y) бүхий хязгааргүй квадратад унах магадлал юм. . Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийн шинж чанарууд Үл хөдлөх хөрөнгө 1. Түгээлтийн функцийн утгууд нь давхар тэгш бус байдлыг хангадаг 0 ≤ F(x, y) ≤ 1. Баталгаа. Энэ шинж чанар нь тархалтын функцийг магадлал гэж тодорхойлсоноос үүсдэг: магадлал нь үргэлж нэгээс хэтрэхгүй сөрөг бус тоо юм. Үл хөдлөх хөрөнгө 2. F(x,y) нь аргумент бүрийн хувьд буурахгүй функц, i.e. F(x2 ,y) ≥ F(x1 ,y), хэрэв x2> x1 ; F(x ,y2) ≥ F(x ,y1) бол y2>y1. Баталгаа. F(x,y) нь х аргументийн хувьд буурахгүй функц гэдгийг баталъя. X бүрэлдэхүүн хэсэг x2-оос бага утгыг авах үйл явдал, мөн Y бүрэлдэхүүн хэсэг<
y, можно подразделить на следующие два
несовместных события: 1) X нь x1-ээс бага утгыг авах ба Y-ээс бага байх болно< y с вероятностью P(X< x1,Y 2) X нь x1 ≤ X тэгш бус байдлыг хангасан утгыг авна< x2 , и при этом Y Нэмэх теоремын дагуу P(X<
x2, Y P(X<
x2, Y F(x2 ,y) - F(x1 ,y) = P(x1≤X<
x2, Y Тиймээс аливаа магадлал нь сөрөг биш тоо юм F(x2 ,y) - F(x1 ,y) ≥ 0, эсвэл F(x2 ,y) ≥ F(x1 ,y), Q.E.D. Хэрэв бид тархалтын функцийн геометрийн тайлбарыг (x;y) оройтой хязгааргүй квадрантад санамсаргүй цэг унах магадлал гэж ашиглавал өмч нь тодорхой болно. x ихсэх тусам энэ квадратын баруун хил баруун тийш шилжинэ; цохих магадлал байхад шинэ квадрат руу санамсаргүй цэгийг бууруулах боломжгүй нь ойлгомжтой. Үүний нэгэн адил F(x,y)-ын хувьд буурахгүй функц болох нь батлагдсан аргумент у. Эд хөрөнгө 3. Хязгаарлагдмал харилцаа байдаг: 1) F(-∞ , y) = 0, 2) F(x, -∞) = 0, 3) F(-∞, -∞) = 0, 4) F(∞, ∞) = 1. Баталгаа 1) F(-∞ , y) нь X үйл явдлын магадлал< -∞
и
Y < y; но такое событие невозможно
(поскольку невозможно событие X < -∞),
следовательно, вероятность этого события
равна нулю. Свойство становится наглядно
ясным, если прибегнуть к геометрической
интерпретации: при x→-∞
правая
граница бесконечного квадранта
неограниченно сдвигается влево и при
этом вероятность попадания случайной
точки в квадрант стремится к нулю. 2) Y үйл явдал< -∞
невозможно,
поэтому F(x, -∞)
= 0. 3) X үйл явдал< -∞
невозможно,
поэтому F(-∞
,
-∞)
= 0. 4) X үйл явдал< ∞
и
Y < ∞
достоверно,
следовательно, вероятность этого үйл явдлууд F(∞ , ∞) = 1. Хэрэв бид x→∞ ба y→∞-ийн хувьд хязгааргүй квадрант нь бүхэлдээ xOy хавтгай болж хувирдаг тул энэ хавтгайд санамсаргүй цэг (X;Y) үүсэх нь найдвартай үйл явдал болохыг анхаарч үзвэл шинж чанар нь тодорхой болно. . Үл хөдлөх хөрөнгө 4 a) y = ∞ үед системийн тархалтын функц нь X бүрэлдэхүүн хэсгийн тархалтын функц болно. F(x, ∞) = F1(x). b) x = ∞ үед системийн тархалтын функц нь Y бүрэлдэхүүн хэсгийн тархалтын функц болно. F(∞, y) = F2(y). Баталгаа. a) Y үйл явдлаас хойш< ∞
достоверно,
то F(x, ∞)
определяет вероятность события X < x,
т.е. представляет собой функцию
распределения составляющей X. б) Нотолгоо нь ижил төстэй. P+p E−λ E − λ e λ = 1. p k= −λ
Зураг 3.6-д функцийн графикуудыг үзүүлэв k) үнэт зүйлс параметр λ = 0.5 (хатуу шугам), 1 (тасархай шугам) ба 2 (тасархай шугам) тасархай шугам). График бүр нь дискретийг илэрхийлдэг цэгийн эгнээ; илүү тодорхой болгохын тулд холболтын цэгүүд Бид дараалсан тасархай шугам (гэж нэрлэгддэг түгээлтийн полигон). Чухал үүрэг гүйцэтгэх нэг шалтгаан Цагаан будаа. 3.6 Пуассоны хуваарилалт нь дадлага хийх гэж дүгнэв бином тархалттай нягт уялдаатай. Хэрэв Бернуллигийн томъёонд байгаа бол (§ 2.5) санаарай P n (k )= C n k p k (1− p )n − k Бид k-ийн утгыг засч, туршилтын тоог хязгааргүй, p магадлалыг тэг болгон чиглүүлж эхэлдэг бөгөөд ингэснээр тэдгээрийн бүтээгдэхүүн нь тогтмол λ (np = λ) тоотой тэнцүү хэвээр байх болно, тэгвэл бид дараах байдалтай болно. (3.17) хамаарлаас харахад дээр дурдсан хязгаарт шилжихэд хоёр нэрийн тархалтын хүснэгт (3.15) Пуассоны тархалтын хүснэгт (3.16)-д орно. Иймд Пуассоны тархалт нь дээрх нөхцлүүдийн хоёр талын тархалтын хязгаар юм. Пуассоны тархалтын энэ шинж чанар нь олон тооны туршилтууд, үйл явдлын магадлал багатай бином тархалтыг илэрхийлэх нь ихэвчлэн хэрэглэгддэг нэртэй холбоотой болохыг анхаарна уу. ховор тохиолдлын хууль. Өнөөг хүртэл бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг бие биенээсээ тусад нь авч үзсээр ирсэн бөгөөд тэдгээрийн харилцааны асуудлыг хөндөөгүй. Гэсэн хэдий ч практик асуудлуудад зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг хамтад нь судлах нөхцөл байдал ихэвчлэн тохиолддог. Ийм тохиолдолд хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тухай ярьдаг. Илүү нарийвчлалтай: санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь анхан шатны үйл явдлуудын ижил орон зайд тодорхойлогддог бол системийг бүрдүүлнэ Ω. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй (X,Y) системийг хавтгай дээрх санамсаргүй цэг, гурван санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй (X,Y,Z) системийг гурван хэмжээст орон зайн санамсаргүй цэг гэж тайлбарлаж болно. Бид голчлон хоёр хэмжээст хэрэг дээр өөрсдийгөө хязгаарлах болно. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн үзэл баримтлалд зөн совингийн хандлага нь туршлага гэсэн санаатай холбоотой бөгөөд үр дүн нь X,Y хос тоо юм. Туршилтын үр дүнг санамсаргүй үйл явдал гэж үздэг тул X ба Y тоонуудын утгыг урьдчилан таамаглах боломжгүй (туршилтыг давтан хийх үед тэдгээр нь гэнэтийн байдлаар өөрчлөгддөг). Хэд хэдэн жишээ хэлье. Жишээ 3.7. Шоог хоёр удаа шиднэ. Эхний шидэлтийн онооны тоог X-ээр, хоёр дахь шидэлтийн онооны тоог Y-ээр тэмдэглэе. Хос (X ,Y ) нь хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний систем байх болно. Жишээ 3.8. Нэг оюутан нь тодорхой үзэгчдийн дундаас санамсаргүй байдлаар сонгогддог X нь түүний өндөр (сантиметрээр), Y нь түүний жин (килограммаар); Жишээ 3.9. Тухайн газар тариалангийн бүс нутагт 1 га талбай бүхий улаан буудайн тариалалтын талбайг санамсаргүй байдлаар сонгосон X нь энэ талбайгаас авсан бордооны хэмжээ; Жишээ 3.10. Математикийн болон орос хэлний бичгийн бүтээлийг харьцуулсан үнэлгээ нь математикийн ажилд Х, орос хэл дээр ажиллахад Y үнэлгээ; Ийм жишээнүүдийн жагсаалтыг үргэлжлүүлэхэд хялбар байдаг. 1°. Ерөнхий тэмдэглэл. Жишээ. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй (X,Y) системийг авч үзэхдээ системийн шинж чанарууд нь X ба Y хувьсагчдын шинж чанараар үргэлж дуусдаггүй гэдгийг санах хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид X хэмжигдэхүүн болон Y хэмжигдэхүүний талаар бүгдийг мэддэг бол энэ нь (X,Y) системийн талаар бүгдийг мэддэг гэсэн үг биш юм. Баримт нь X ба Ү хэмжигдэхүүнүүдийн хооронд хамаарал байж болох бөгөөд энэ хамаарлыг тооцохгүйгээр (X,Y) системийн тархалтын хуулийг бүтээх боломжгүй юм. Бодит нөхцөлд санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хамаарал өөр байж болно. Зарим тохиолдолд энэ нь маш хүчтэй болж хувирдаг тул X-ийн үнэ цэнэ ямар утгатай болохыг мэдээд Y-ийн утгыг үнэн зөв зааж өгч болно. Уламжлалт нэр томъёог ашиглан бид эдгээр тохиолдолд X ба хоорондын хамаарал гэж хэлж болно Y функциональ(Гэхдээ санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцийн тухай ойлголтыг тодруулах шаардлагатай хэвээр байна; сүүлийнх нь § 3.7-д өгөгдсөн болно). Байгаль, технологийн хувьд ийм хараат байдлын жишээтэй бид байнга тулгардаг. Үүний зэрэгцээ бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарал байгаа боловч нарийн тодорхойлогдсон функциональ шинж чанартай биш өөр төрлийн жишээг онцолж болно. Ийм жишээнүүд нь хөдөө аж ахуйн технологи, биологи, анагаах ухаан, эдийн засаг гэх мэт шинжлэх ухаан, практикийн салбаруудад түгээмэл байдаг бөгөөд үзэгдлийн хөгжил нь дүрмээр бол харгалзан үзэхэд хэцүү олон хүчин зүйлээс хамаардаг. Жишээлбэл, улаан буудайн боловсорч гүйцсэн үед их хэмжээний хур тунадас орох нь ургац нэмэгдэхэд хүргэдэг; гэхдээ энэ нь хур тунадасны X хэмжээ ба Y ургацын (1 га-д ногдох гэх мэт) хоорондын хамаарал функциональ гэсэн үг биш юм; Хур тунадаснаас гадна бусад хүчин зүйлүүд нь ургацад нөлөөлдөг: хөрсний төрөл, хэрэглэсэн бордооны хэмжээ, нартай өдрийн тоо гэх мэт. Ийм тохиолдолд нэг утгын өөрчлөлт нь нөгөөд нь зөвхөн статистикийн хувьд нөлөөлдөг бол дунджаар энэ тухай ярих нь заншилтай байдаг. магадлалын холболттоо хэмжээ хооронд. Нарийвчилсан тодорхойлолтыг өгөхгүйгээр цөөн хэдэн жишээг харцгаая. Эдгээр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлын янз бүрийн түвшинг харуулж байна - хүчтэй, бараг функциональ хамаарлаас практик бие даасан байдал хүртэл. Жишээ 3.11. X нь санамсаргүй байдлаар сонгогдсон насанд хүрсэн хүний өндрийг (сантиметрээр илэрхийлнэ), Y нь жинг (килограммаар) гэж үзье. Өндөр ба жингийн хоорондын хамаарал нь маш хүчтэй бөгөөд үүнийг функциональ гэж үзэж болно. Энэ хамаарлыг ойролцоогоор илэрхийлдэг томъёог ихэвчлэн бичдэг: Y (кг) =X (см) – 100. Жишээ 3.12. X нь ойд санамсаргүй байдлаар сонгосон модны өндөр, Y нь суурийн диаметр юм. Эндээс хамаарал нь өмнөх жишээн дээрхтэй адил хэмжээнд биш ч гэсэн хүчтэй гэдгийг хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Жишээ 3.13. Нэг чулууг овоолсон жигд бус хэлбэртэй чулуунаас санамсаргүй байдлаар сонгоно. X нь түүний масс, Y нь хамгийн их урт байг. X ба Y хоорондын хамаарал нь зөвхөн магадлал юм. Жишээ 3.14. X нь санамсаргүй байдлаар сонгогдсон насанд хүрсэн хүний өндөр, Y нь түүний нас юм. Ажиглалтаас харахад эдгээр хэмжигдэхүүн нь бараг бие даасан байдаг. 2°. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бие даасан байдлыг тодорхойлох. гэсэн асуултыг одоохондоо хойш тавья X ба Y хэмжигдэхүүний хамаарлын зэргийг ямар тоогоор илэрхийлж болох вэ? Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бие даасан байдлын хатуу тодорхойлолтоор өөрсдийгөө хязгаарлая. Тодорхойлолт. (X, Y) системийг өгье. Хэрэв X ба Y хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байна гэж бид хэлэх болно X A ба Y B үйл явдлууд нь бие даасан бөгөөд А ба В нь дурын хоёр сегмент [ a1 , a2 ] ба [ b1 , b2 ]. Өөрөөр хэлбэл, тэгш байдал хадгалагдана Энд x i нь X хэмжигдэхүүний аль ч боломжит утга, y j нь Y хэмжигдэхүүний аль ч боломжит утга юм. Үнэн хэрэгтээ (3.18) -аас (3.19) дагах нь ойлгомжтой. Үүнийг (3.19)-аас мөн эсрэгээр нь шалгая. дараах (3.18). (X,Y) системийг хүснэгтээр тодорхойл х 11 х 12 r 21 r 22 A = [a 1,a 2],B = [b 1,b 2] гэж үзье. Дараа нь p ij = P (X = x i )P (Y = y j ) (i ,j = 1, 2, ...) (бичсэн тэгш байдал нь яг нөхцөл (3.19)). Эндээс P(X A, Y B) = ∑ p ij= ∑ P(X= xi ) P(Y= yj ) = (би, ж xi A, yj B) ( i, j xi A, yj B) = ∑ P (X =x i ) ∑ P(Y= yj ) = P(X A) P(Y B) , xi A) y j B) тэдгээр. X ба Y хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан байна. § 3.7. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний функц. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээрх үйлдлүүд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг. Маягтын санамсаргүй хувьсагчдыг авч үзэх шаардлагатай байдаг: Y = g(X) , Энд g (x) нь өгөгдсөн тоон функц юм. Оруулсан (3.20) ямар утгатай вэ, өөрөөр хэлбэл, үзэл баримтлал санамсаргүй хэмжигдэхүүний функц? Туршилтын үр дүнд нэгэн үйл явдал болсон гэж бодъё X = x өөрөөр хэлбэл X-ийн утга нь утгыг авсан. Дараа нь тодорхойлолтоор бид энэ туршилтанд Y хэмжигдэхүүн g (x) утгыг авсан гэж бид үзэж байна. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд ийм тохиролцоо нь шинэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y-ийг бүрэн тодорхойлох нь тодорхой байна. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд дараах мэдэгдэл үнэн байна. Санал 3.1. Хэрэв g(x) нь тасралтгүй функц бол (3.20) хамаарал нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y-г тодорхойлно. Баталгаа. Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тодорхойлолттой тэнцүү (3.2) нөхцөлийг ашиглана. Тиймээс, тоон шулуун дээрх аливаа нээлттэй U олонлогийн хувьд энгийн үйл явдлуудын багц байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй Гэвч (3.2)-ын тодорхойлолтоор бол (3.22) нөхцөлөөр тодорхойлогдсон энгийн үйл явдлын багц нь үйл явдал юм. Тиймээс (3.21) нөхцөл нь нотлох шаардлагатай үйл явдлыг тодорхойлдог. Аливаа функцийн хувьд (3.20) санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y = g(X) , X шиг өөрийн гэсэн тархалтын хуультай. Энэ ямар хууль вэ? Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь дискрет төрлийн байх тохиолдлыг авч үзэхээр хязгаарлая. Х тархалтын хуулийг (3.11) хүснэгтээр өгье. Тодорхойлолтоор санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y-ийн тархалтын хуулийг (3.23) хүснэгтээр өгсөн болно Бид (3.11)-ийн эхний мөрийг g (x) функцийн харгалзах утгуудаар сольж, хоёр дахь мөрийг хэвээр үлдээв. g(x1) g(x2) Хэрэв Y утгуудын хооронд ижил утгатай байвал та харгалзах магадлалыг нэмж харгалзах багануудыг нэг баганад нэгтгэх хэрэгтэй. Жишээ 3.15. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын хуулиар өгье. Y =X 2 санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг ол. Шийдэл. Y = X 2 тархалтын хуулийг олохын тулд бид бүх утгыг квадрат болгож дараах хүснэгтийг авна Ихэнх тохиолдолд системийг бүрдүүлдэг X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд тэдгээрийн нийлбэр ба үржвэрийг авч үзэх шаардлагатай байдаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээрх ийм болон ижил төстэй үйлдлүүдийн тархалтын хууль ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог тул бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзэж байна гэж үзнэ. Z =g(X,Y), Энд g (x,y) нь зарим тоон функц юм. Тиймээс (X,Y) системийг хүснэгтээр тодорхойл х 11 х 12 r 21 r 22 утга учир нь уншигчдад мэдэгддэг. Хэмжээ Z = g(X, Y) мөн салангид байх болно. Үүний боломжит утгууд нь z 11 = g (x 1, y 1), z 12 = g (x 1, y 2), ... тоонууд байх болно. Хоёр тохиолдлыг авч үзье. 1. Бүх z ij тоо өөр байна. Дараа нь eventZ =z ij, i.e. g (X ,Y )= z ij , X = x i ба Y = y j үйл явдлууд нэгэн зэрэг тохиолдох үед л тохиолддог тул түүний магадлал нь тэнцүү байх болно. P(X= xi , Y= yj ) = pij . 1 ,Y = y 2 ) ба (X = x 3 ,Y = y 5 ) , тиймээс түүний магадлал байх болно р 12+ р 35. Дүгнэж хэлэхэд g (X,Y) утгын тархалтын хууль илэрхийлэгдэх болно гэж хэлж болно хүснэгт (3.25), ижил утгатай z ij багануудыг нэг болгон нэгтгэж, тэдгээрийн p ij магадлалыг нэмнэ. Жишээ 3.16. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X,Y) системийн тархалтын хуулийг хүснэгтээр өгье. Тэдний бүтээгдэхүүний тархалтын хуулийг ол. Шийдэл. Энэ тохиолдолд z ij тоонууд байх болно z 11= − 2 z 12= − 4 z 13= − 6 z 21= − 1 z 22= − 2 z 23= − 3 z 31= 0 z 32= 0 z 33= 0 . Тиймээс X Y-ийн "урьдчилсан" хуваарилалтын хууль байх болно ба финал Дискрет хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утга ба харгалзах магадлалын нийлбэрийг тодорхойлсон хүснэгт (Хүснэгт 1.2) хэлбэрээр танилцуулж болно. Түүнээс гадна бүх магадлалын нийлбэр, түүнчлэн үл нийцэх үйл явдлын бүрэн бүлгийн магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна. Хүснэгт 1.2 Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг ашиглан системд орсон санамсаргүй хэмжигдэхүүн бүрийн тархалтын хуулиудыг байгуулах боломжтой. Хүснэгт 1.3 SV-д зориулсан түгээлтийн цуврал X: Нөхцөлт хуваарилалтын хуульсанамсаргүй хувьсагч Xсанамсаргүй хэмжигдэхүүн байх тохиолдолд Y=y 0боломжит утгуудын багц юм Xнөхцөлт магадлалын хамт Хоёр хэмжээст SV-ийн математикийн хүлээлт(X, Y
)
математикийн хоёр хүлээлтийн багц гэж нэрлэдэг. М[X]болон М[ Ю],
тэгшитгэлээр тодорхойлогддог: SV системийн тархалт(X,Y)
хоёр вариацын олонлог гэж нэрлэдэг Д[X] Мөн Д[Ю],
тэгшитгэлээр тодорхойлогддог: Жишээ 8.Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хүснэгтийг өгөв. X;Ю) (Хүснэгт 1.5). Хүснэгт 1.5 Хүснэгт 1.7 a) Тоон шинж чанарыг тооцоолох: б) Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн тоон шинж чанарыг тэдгээрийн утгыг харгалзах магадлалаар үржүүлэх замаар олдог. Нөхцөлт математик хүлээлтийг олохын тулд эхлээд санамсаргүй хэмжигдэхүүний нөхцөлт тархалтыг олох хэрэгтэй Югэж заасан X= 0. Хоёр хувьсагчтай тархалтын хүснэгтийн хувьд ( X; Ю) эхний мөрөнд байгаа бүх магадлалыг хуваана Одоо нөхцөлт математик хүлээлтийг олцгооё. БҮЛЭГ 2. МАТЕМАТИК СТАТИСТИК Лекцийн хичээлийн дагуу бие даасан ажил Энэ төрлийн ажилд дараахь сэдвүүдийг бие даан судлах (заавал биш) орно. 1. Мэдэгдэж буй σ-тай хэвийн тархалтын математик хүлээлтийг тооцох итгэлийн интервалууд. 2. Хэмжилтийн нарийвчлалын үнэлгээ. 3. Харьцангуй давтамжаар магадлалыг (биномиаль тархалт) тооцох. 4. Тархалтын параметрийн цэгийн үнэлгээний моментийн арга. 5. Хамгийн их магадлалтай арга. 6. Вариацын цувралын бусад шинж чанарууд. 7. Муруй шугаман корреляцийн хамгийн энгийн тохиолдлууд. 8. Олон корреляцийн тухай ойлголт. 9. Хэвийн популяцийн хоёр вариацын харьцуулалт. 10. Түүврийн корреляцийн коэффициентийн ач холбогдлын талаарх таамаглалыг шалгах. Жагсаалтад орсон бүх сэдвүүдийг удирдамжийн төгсгөлд үзүүлсэн ном зохиолоос олж болно. Сонгосон сэдвүүдийн аль нэг дээр та туслах лекцийн тэмдэглэлийг эмхэтгэх ёстой бөгөөд үүнийг бие даан шийдсэн даалгаврын хамт харуулахыг зөвлөж байна. Практик дасгал дээр бие даасан ажил Энэ төрлийн ажлын хувьд туршилтын өгөгдөл дээр тулгуурлан шугаман регрессийн загварыг бий болгохыг санал болгож байна. Технологийн процесс эсвэл бусад физик үзэгдлийн математик загварыг бий болгох нь судлаачдад тодорхой нөхцөл хангагдсан үед үйл явцын үр дүнг урьдчилан таамаглах, эгзэгтэй нөхцөл байдлыг судлах, бүтээгдэхүүний чанарыг урьдчилан таамаглах гэх мэт боломжийг нээж өгдөг. Регрессийн загварыг бий болгох даалгаврыг гүйцэтгэхдээ математик статистикийн нэр томъёоны талаархи ойлголтыг харуулах, олж авсан тооцооллын үр дүнд үндэслэн дүн шинжилгээ хийх, дүгнэлт гаргах шаардлагатай. Энэхүү ажлын хэрэгжилт нь "Математик статистик" сэдвийг судлах явцад олж авсан мэдлэгээ системчлэх, хэрэгжүүлэхэд чиглэгддэг. Туршилтын өгөгдөл дээр тулгуурлан шугаман регрессийн загварыг бий болгох хувилбарыг авч үзье. Жишээ.Туршилтын үр дүнд дараах статистик мэдээллийг олж авав (Хүснэгт 2.1). Хүснэгт 2.1 Өгөгдсөн түүврийн хувьд дараах даалгавруудыг гүйцэтгэнэ үү. 1) Түүврийг санамсаргүй хэмжигдэхүүний интервалын статистик цуврал хэлбэрээр үзүүлнэ XТэгээд Ю. 2) Санамсаргүй хувьсагчийн хувьд Xдавтамжийн олон өнцөгт ба гистограмм байгуулах. Эмпирик тархалтын функцийг олоод график зур. 3) Санамсаргүй хэмжигдэхүүний түүврийн тоон шинж чанарыг (түүврийн дундаж, шударга бус түүврийн дисперс, шударга бус стандарт хазайлт) олох XТэгээд Ю. 4) Математикийн хүлээлт болон санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн итгэлцлийн интервалыг байгуулах Xитгэлтэй магадлал β=0.95. 5) Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалтын талаарх таамаглалыг шалга X. 6) Корреляцийн шинжилгээ хийх. 7) Шугаман регрессийн загварыг бий болгох. Шийдэл.Түүврийн хэмжээ нь n=42. 1.
Түүврийг интервалын статистик цуврал хэлбэрээр илэрхийлэхийн тулд бид санамсаргүй хувьсагч бүрийн интервалын уртыг тодорхойлно. Санамсаргүй хувьсагчийн хувьд Xхамгийн том утга нь 16.25, хамгийн бага нь 8.35 байна. -ээр интервалын уртыг олъё X: Сонго h x=1.2. Бид долоон интервал авдаг. Хамгийн бага утга болох 8.35-аас зүүн тийш бага зэрэг шилжье, тэгэхээр бид эхний интервалыг 8.3-аар эхлүүлнэ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний цохилтын давтамжийг тооцоолъё X Xхэлбэрийг авна (Хүснэгт 2.2): Хүснэгт 2.2 Санамсаргүй хувьсагчийн хувьд Юхамгийн том утга нь 13.0, хамгийн бага нь 1.49. -ээр интервалын уртыг олъё Ю: Сонго h y=1.8. Бид долоон интервал авдаг. Хамгийн бага утга болох 1.49-ээс зүүн тийш бага зэрэг хөдөлж, эхний интервалыг 1.5-аар эхлүүлнэ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний цохилтын давтамжийг тооцоолъё Юинтервал бүрд, мөн бид хилийн утгыг илүү том интервалд оруулахыг зөвшөөрч байна. Интервалын статистик цуврал Юхэлбэрийг авна (Хүснэгт 2.3): Хүснэгт 2.3 2.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнд давтамжийн олон өнцөгт байгуулах X, интервал тус бүрийн дунд ба харьцангуй давтамжийг олъё (Хүснэгт 2.4). Хүснэгт 2.4 2.1-р зурагт абсцисса тэнхлэгийн дагуу бид интервалуудын дунд цэгүүдийг тэмдэглэв. x i, ординатын дагуу - харьцангуй давтамж. Тархалтын гистограммыг бүтээхдээ бид абсцисса тэнхлэгийн дагуух интервалуудын хил хязгаарыг тэмдэглэж, харьцангуй давтамжийг ординатын тэнхлэгийн дагуух интервалын уртаар хуваана (Зураг 2.2). Бид эмпирик тархалтын функцийг томъёогоор олно. Өгөгдсөн зүйлийн эмпирик тархалтын функцийн утгыг олохын тулд X, энэ нь үнэ цэнэ нь туршилтын тоог тоолох хангалттай юм X-аас бага утгыг авсан X, хийсэн туршилтын нийт тоонд хуваана n. Эмпирик тархалтын функцийг зуръя (Зураг 2.3). 3.
XБид хүснэгтийг (2.5) ашигладаг. Хүснэгт 2.5 Түүврийн дундаж томъёонд бид дөрөв дэх баганын нийлбэрийг орлуулна (Хүснэгт 2.5): Шударга бус түүврийн дисперсийн томъёонд бид тав дахь баганад байгаа нийлбэрийг орлуулна (Хүснэгт 2.5): Тоон шинж чанарын тооцоог тооцоолох ЮБид хүснэгтийг (2.6) ашигладаг. Хүснэгт 2.6 Түүврийн дундаж томъёонд бид дөрөв дэх баганын нийлбэрийг орлуулна (Хүснэгт 2.6): Шударга бус түүврийн дисперсийн томъёонд бид тавдугаар баганад байгаа нийлбэрийг орлуулна (Хүснэгт 2.6): Шударга бус түүврийн стандарт хазайлт: 4.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт болон дисперсийн итгэлцлийн интервалыг байгуулъя. Xитгэлтэй магадлал β=0.95. Хавсралтын 4-р хүснэгтийг ашиглан итгэлцлийн магадлал β=0.95 болон эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоогоор Оюутны статистикийн утгыг олно. к=42-1=41: Итгэлийн интервалын хагасын урт: Бид олж авсан утгыг математикийн хүлээлтийн итгэлцлийн интервалын томъёонд орлуулна. Дисперсийн итгэлцлийн интервалыг тодорхойлохын тулд хавсралтын 3-р хүснэгтийн дагуу α=1–β=1–0.95=0.05 ач холбогдлын түвшний χ 2 статистикийн утга ба чөлөөт байдлын зэрэглэлийн тоог олно. к=42-1=41: χ 2 статистикийн олсон утгыг дисперсийн итгэлцлийн интервалын томъёонд орлъё. Тиймээс математикийн хүлээлтийн жинхэнэ утгууд М(x) ба хэлбэлзэл Д(x) β=0.95 магадлал бүхий үр дүнгийн интервалд орно. 5.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалтын талаарх таамаглалыг шалгая XПирсоны шалгуурыг ашиглан. Давтамжийн олон өнцөгт график ба гистограмм (гауссын муруйтай гаднаасаа төстэй) нь хүн ам хэвийн тархалтын хуулийг дагаж мөрддөг болохыг харуулж байна. Бид үндсэн таамаглал дэвшүүлэв: Х 0: Хүн ам нь ердийн тархалтын хуулийг дагаж мөрддөг. Дараа нь өөр таамаглал дараах хэлбэртэй байна. Х 1: Хуваарилалтын хууль хэвийн биш байна. Бид ач холбогдлын түвшинг α=0.05 гэж тогтоосон. Эхний болон сүүлчийн интервалуудын хил хязгаарыг өргөжүүлэх (Хүснэгт 2.3) бид бүх тооцооллын үр дүнг хүснэгт 2.7-д нэгтгэн харуулав. Хүснэгт 2.7 Хүснэгт 2.7-ын дөрөв дэх баганад санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хэвийн тархалтын хуульд захирагддаг гэсэн таамаглалаар олсон онолын магадлалын тооцооны үр дүнг дараах томъёогоор үзүүлэв. Лаплас функцын утгыг хавсралтын 2-р хүснэгтээс олж болно. Интервал бүрд орох магадлалыг олцгооё. Эхний хоёр ба сүүлийн хоёр интервалын онолын давтамж 5-аас бага тул бид тэдгээрийг хоёр, дөрөв дэх баганад нэгтгэв (Хүснэгт 2.7). Тав дахь багана (Хүснэгт 2.7) нь дараах томъёог ашиглан тооцооллын үр дүн юм. Эхний хоёр ба сүүлийн хоёр интервалыг нэгтгэсэн гэдгийг бид мартаж болохгүй. Тиймээс тав дахь баганын нийлбэр (Хүснэгт 2.7) нь шалгуур үзүүлэлтийн тооцоолсон утга юм. Нэгтгэсний дараа 5 интервал үлдсэн тул ( l= 5), мөн түүвэрээс хоёр параметрийн тооцоог тодорхойлсон, i.e. r=2, тэгвэл эрх чөлөөний зэрэгтэй тэнцүү байна Хавсралтын 3-р хүснэгтийг ашиглан бид статистикийн утгыг олно х=1–α=0.95 ба k= 2: Хүлээн авсан утгыг харьцуулж үзвэл бид үүнийг харж байна тиймээс хэвийн тархалтын таамаглалыг үгүйсгэхгүй. 6.
Түүврийн өгөгдөл дээр үндэслэн корреляцийн шинжилгээ хийхийн тулд бид корреляцийн хүснэгтийг үүсгэнэ (Хүснэгт 2.8): Хүснэгт 2.8 3-р зүйлд олж авсан тоон шинж чанарын тооцоог ашиглан бид түүврийн корреляцийн моментийг томъёогоор олно. Эхлээд дүнг тооцоолъё: Бид түүврийн корреляцийн коэффициентийг томъёогоор олно. Абсолют утгын түүврийн корреляцийн коэффициентийн нэгдмэл байдалтай ойролцоо байгаа нь шугаман регрессийн загварыг сонгоход ноцтой аргумент гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. 7.
Шугаман регрессийн загварыг бүтээцгээе. Хамгийн бага квадратын аргад үндэслэн шугаман хамаарлыг олж авсан Ю-аас X: Бид 3-р зүйлд олж авсан тоон шинж чанарын тооцооллыг орлуулна. Илэрхийллийг хялбарчлан бид эцэст нь шугаман регрессийн түүврийн тэгшитгэлийг олж авна. Та мөн хамаарлын тэгшитгэлийг байгуулж болно X-аас Ю: Өмнө нь олж авсан тоон шинж чанарын тооцооллыг орлуулж үзье. Корреляцийн талбар дээр хоёр шулуун шугамыг байгуулъя (Зураг 2.4). Шулуун шугамууд цэг дээр огтлолцдог. Шулуун шугамын хоорондох өнцөг буюу "хайч" нь хурц хэлбэртэй болсон нь дээжийн корреляцийн коэффициентийн авсан утгатай бүрэн нийцэж байна. Үүссэн регрессийн загвар нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог Ю-аас X, мөн эсрэгээр. Өөрийгөө хянах асуултууд 1. Бернуллигийн схемийг хэрэгжүүлэх боломжийн нөхцөлийг өгнө үү? 2. Ямар тохиолдолд Бернуллигийн томьёог ойролцоо томъёогоор солих вэ? 3. Тархалтын үндсэн төрлүүд, тэдгээрийн тоон шинж чанарууд. 4. Математик статистикийн үндсэн үүрэг юу вэ? 5. Дээж авах аргын зарчим юу вэ? 6. Вариацын цуваа, давтамж, харьцангуй давтамжийн тухай ойлголт. 7. Статистикийн түүврийн тархалт ба эмпирик тархалтын функцийн тухай ойлголт. 8. Статистикийн тархалтыг графикаар дүрслэх аргуудыг тайлбарла. 9. Математик статистикт ямар тархалтын шинж чанарыг ашигладаг. Тэдгээрийн хэрэглээний жишээ ба контекстийг өг. 10. Статистикийн тооцооллын шинж чанарыг тодорхойл. Тэдгээрийн аль нь түүврийн тархалтын шинж чанартай байдаг. 11. Интервалын тооцооны үнэн зөв, найдвартай байдлын тухай ойлголт. 12. Статистикийн таамаглалын тухай ойлголт. Статистикийн таамаглалын үндсэн төрлүүдийг өг. 13.Статистикийн таамаглалыг шалгах үндсэн алгоритмыг томъёол. 14. Та ямар төрлийн чухал бүсүүдийг мэдэх вэ? 15. Эхний болон хоёр дахь төрлийн алдаа. Алдаа гарах магадлалыг бууруулах арга замууд. 16. Статистик ба корреляцийн хамаарлын тухай ойлголт. 17. Корреляцийн онолын үндсэн зорилтууд. 18. Түүврийн регрессийн коэффициент ба түүний шинж чанар. Лавлагаа 1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Математик статистикийн хүснэгтүүд. М.: Наука, 1983 он. 2. Ventzel E.S. Магадлалын онол. − М .: Илүү өндөр. сургууль, 1998. - 578 х. 3. Ventzel, E.S., Ovcharov, L.A. Магадлалын онол ба түүний инженерчлэлийн хэрэглээ. -М.: Наука, 1988. - 480 х. 4. Ventzel, E.S. Магадлалын онол: Их сургуулиудад зориулсан сурах бичиг / E.S Wenzel - 6-р хэвлэл, М.: Дээд сургууль. 1999. - 400 х. 5. Gmurman, V.E. Магадлалын онол ба математикийн статистик: Сурах бичиг. их дээд сургуулиудад зориулсан гарын авлага / V.E. Gmurman - 9-р хэвлэл. хэвшмэл ойлголт., - М.: Дээд сургууль, 2003. - 479 х. 6. Гмурман, В.Е. Магадлалын онол, математик статистикийн асуудлыг шийдвэрлэх гарын авлага: Сурах бичиг. гарын авлага / V.E. Gmurman – 5-р хэвлэл. хэвшмэл ойлголт., - М.: Дээд сургууль, 1999. - 400 х. 7. Kolde Y.K. Магадлалын онол, математик статистикийн семинар. -М.: Дээд сургууль, 1991. - 157 х. 8. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. Магадлалын онолын танилцуулга. -М.: Шинжлэх ухаан. Физик-математикийн уран зохиолын ерөнхий редакци, 1982. - 160 х. 9. Бичсэн, Д.Т.Магадлалын онол, математик статистикийн лекцийн тэмдэглэл. – М.: Iris-press, 2006. – 288 х. – (Дээд боловсрол). 10. Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Магадлал ба статистик. -М.: Санхүү, статистик, 1982.- 319 х. 11. Чистяков В.П. Магадлалын онолын хичээл. - М.: Наука, 1982. ХЭРЭГЛЭЭ Хүснэгт 1 Стандартчилагдсан хэвийн тархалтын нягтын функцын утгууд Н(0,1) Хүснэгт 2 Функцийн утга Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тухай ойлголт Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын функц Тодорхойлолт Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын функцийн шинж чанарууд Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын нягт Тодорхойлолт Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын нягтын геометрийн болон "механик" тайлбар Системийн тархалтын нягтын шинж чанарууд Системд орсон бие даасан хэмжигдэхүүний хуваарилалтын хуулиуд. Тархалтын нөхцөлт хуулиуд Тодорхойлолт Тархалтын хуулиудын үржүүлэх теорем Хамааралтай ба бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд Тодорхойлолт бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тоон шинж чанар. Корреляцийн мөч. Корреляцийн коэффициент Харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт нь бие даасан байдлын үзэл баримтлалтай тэнцэх үү? Дурын тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний систем Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын функцийн тухай ойлголт n тасралтгүй системийн тархалтын нягтыг тодорхойлох санамсаргүй хэмжигдэхүүн Хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тоон шинж чанар Магадлалын онолын практик хэрэглээнд туршилтын үр дүнг нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр бус, харин цогцолбор буюу системийг бүрдүүлдэг хоёр буюу түүнээс дээш тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр тайлбарлах асуудал ихэвчлэн тулгардаг. Жишээлбэл, сумны цохилтын цэгийг нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр бус, харин абсцисса ба ординат гэсэн хоёр хэмжигдэхүүнээр тодорхойлдог бөгөөд үүнийг хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний цогцолбор гэж үзэж болно. Үүний нэгэн адил алсын сумны тэсрэх цэгийг санамсаргүй гурван хэмжигдэхүүний цогцолбороор тодорхойлно. Бүлэг буудлага хийх үед онгоцонд цохилт өгөх цэгүүдийн багцыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний цогцолбор буюу систем гэж үзэж болно: абсцисс ба цохилтын цэгийн ординат. Сум хагарахад үүссэн фрагмент нь хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр тодорхойлогддог: жин, хэмжээ, анхны хурд, нислэгийн чиглэл гэх мэт. Хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системийг тэмдэглэхийг зөвшөөрье. Хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн шинж чанарууд нь түүнийг бүрдүүлэгч хувьсагчдын шинж чанараар хязгаарлагдахгүй: үүнээс гадна тэдгээр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын харилцан холболтыг (хамаарал) агуулдаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системтэй холбоотой асуудлыг авч үзэхдээ системийн геометрийн тайлбарыг ашиглах нь тохиромжтой. Жишээлбэл, хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй системийг координаттай хавтгай дээрх санамсаргүй цэг хэлбэрээр дүрсэлж болно (Зураг 1.1). Үүний нэгэн адил гурван санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй системийг гурван хэмжээст орон зайд санамсаргүй цэгээр дүрсэлж болно. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системийг "хэмжих орон зай дахь санамсаргүй цэг" гэж ярих нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг. Сүүлчийн тайлбар нь шууд тодорхойгүй байгаа хэдий ч түүний хэрэглээ нь нийтлэг нэр томъёо, тэмдэглэгээг хялбаршуулах үүднээс тодорхой ашиг тустай байдаг. Ихэнхдээ санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн геометрийн тайлбарт санамсаргүй цэгийн дүрсний оронд санамсаргүй векторын дүрсийг ашигладаг. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй системийг хавтгай дээрх санамсаргүй вектор гэж үздэг бөгөөд тэнхлэгүүдийн дагуух бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг төлөөлдөг (Зураг 1.2). Гурван санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй системийг гурван хэмжээст орон зайд санамсаргүй вектороор, санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хэмжээст орон зайд санамсаргүй вектороор дүрсэлдэг. Энэ тохиолдолд санамсаргүй тооллын системийн онолыг санамсаргүй векторын онол гэж үзнэ. Зураг 1.1. Зураг 1.2 Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системтэй харьцахдаа бид бүрэн гүйцэд, бүрэн магадлалын шинж чанарууд - тархалтын хууль, бүрэн бус - тоон шинж чанаруудыг авч үзэх болно. Бид хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн хамгийн энгийн тохиолдлоор танилцуулгаа эхлүүлж байна. Ихэнхдээ санамсаргүй үзэгдлийг судлахдаа нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй биш, харин хоёр, гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай харьцах шаардлагатай болдог. Хязгаарлагдмал тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хамтран судлах нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системд хүргэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн зарим жишээ энд байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний эрэмблэгдсэн багц >, энгийн үзэгдлийн орон зайд өгөгдсөнийг n санамсаргүй хэмжигдэхүүний систем гэнэ. Үүнийг n хэмжээст орон зайд санамсаргүй векторын координат гэж үзэх нь тохиромжтой. n санамсаргүй хэмжигдэхүүний систем нь анхан шатны үйл явдлын функц, өөрөөр хэлбэл. Энгийн үйл явдал бүр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн n бодит тоотой холбоотой байдаг (туршилтын үр дүнд X, X 2, ..., XJ). Системд орсон санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд (X 1? X 2, ..., X) нь дискрет ба салангид бус (тасралтгүй ба холимог) байж болно. Нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголтын бүх үндсэн тодорхойлолтууд тэдгээрт бараг өөрчлөлтгүйгээр хамаарна. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй (X;Y) системийг авч үзье. Түүний үндсэн ойлголтууд нь илүү олон тооны бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хувьд амархан ерөнхийддөг. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй (X;Y) системийг OXY хавтгай дээрх санамсаргүй цэгээр (Зураг 2.18) эсвэл санамсаргүй вектороор (Зураг 2.19) төлөөлж болно. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн бүрэн шинж чанар нь янз бүрийн хэлбэртэй тархалтын хууль юм. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй (X,Y) системийн хувьд дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын цувралын аналог нь тархалтын матриц буюу тэгш өнцөгт хүснэгт юм. магадлалыг цэгцлэв Үйл явдал бол үйл явдлын бүтээгдэхүүн (X = x d) Тэгээд (Y = y). Хоёр салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын матриц нь дараах хэлбэртэй байна. Үүнийг анхаарна уу Зураг дээр. Зураг 2.20-д хоёр хэмжээст дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X, Y) тархалтын графикийг үзүүлэв. Хоёр хэмжээст салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X,Y)-ийн тархалтын матрицыг мэдэхийн тулд бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийн тархалтын цувааг тодорхойлж болно (урвуу нь ерөнхийдөө боломжгүй). Шаардлагатай томъёонууд дараах байдалтай байна. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын хуулийн хамгийн түгээмэл томьёо бол бидний тэмдэглэсэн тархалтын функц юм. F(x, y). Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X,Y) тархалтын функц нь тэгш бус байдлын хамтарсан биелэлтийн магадлал юм: X x ба Y y, i.e. Геометрийн хувьд F(x, y)санамсаргүй цэг (X, Y) нь орой дээрээ байгаа төгсгөлгүй квадрат руу унах магадлал гэж тайлбарлав ( x, y),зүүн ба түүний доор байрладаг (Зураг 2.21). Дөрвөлжингийн дээд ба баруун хүрээг оруулаагүй болохыг анхаарна уу. Хоёр дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын матриц (2.49) өгөгдсөн бол хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг дараах томъёогоор тодорхойлно. Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийн зарим шинж чанарыг танилцуулъя. 1. Түгээлтийн функцийн утгуудын багц F(x, y)сегментэд хамаарна i.e. 2. Түгээлтийн функц F(x, y)нь түүний аргументуудын аль алиных нь буурахгүй функц юм, i.e. 3. Хэрэв тархалтын функцийн аргументуудын нэгээс доошгүй бол F(x, y)-oo болж хувирвал түгээлтийн функц тэг болж хувирна, өөрөөр хэлбэл. Хаана F x (x) ба F 2 (y) - X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцууд. 6. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын функц F(x, y)нь аргумент тус бүрийн хувьд тасралтгүй үлддэг, i.e. Түгээлтийн функцийг мэдэх F(x, y),санамсаргүй цэгийг онох магадлалыг олж болно ( X, Y) абсциссаар хязгаарлагдсан, координатын тэнхлэгүүдтэй параллель талуудтай тэгш өнцөгт G хэлбэрт оруулна. а, бба ординатууд c ба d, зүүн ба доод хилийг G-д оруулсан боловч баруун ба дээд хил хязгаарыг оруулаагүй болно (Зураг 2.22). Хэрэв түгээлтийн функц F(x, y)нь аргумент тус бүрийн хувьд тасралтгүй ба дифференциал байдаг бол хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X, Y) систем нь тасралтгүй байх ба энэ системийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм. Үргэлжилсэн хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд тархалтын нягт (эсвэл хамтарсан тархалтын нягт) гэсэн ойлголтыг тархалтын хууль болгон нэвтрүүлсэн. f(x, y),тархалтын функцийн хоёр дахь холимог хэсэгчилсэн дериватив, i.e. Түгээлтийн нягтрал f(x, y)тархалтын гадаргуу гэж нэрлэгддэг тодорхой гадаргууг төлөөлдөг (Зураг 2.23). Түгээлтийн нягтрал f(x, y)дараах шинж чанаруудтай: 3) G мужид санамсаргүй цэг (X, Y) унах магадлалыг томъёогоор тодорхойлно 4) хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X, Y) системийн тархалтын функцийг хамтарсан тархалтын нягтаар дараах байдлаар илэрхийлнэ. Нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэгэн адил бид хоёр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн магадлалын элементийн тухай ойлголтыг танилцуулж байна. f(x, y)dxdy. Хязгааргүй дээд тушаал хүртэл магадлалын элемент f(x, y)dxdyхэмжээстэй энгийн тэгш өнцөгт рүү санамсаргүй цэг (X, Y) унах магадлалтай тэнцүү байна. dx болон dy,цэгтэй зэргэлдээ (х, у)(Зураг 2.24). Энэ магадлал нь өндөртэй энгийн параллелепипедийн эзэлхүүнтэй ойролцоогоор тэнцүү байна f(x, y),Энэ тэгш өнцөгт дээр байрладаг. Хоёр хэмжээст тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэг хэмжээст бүрэлдэхүүн хэсэг болох X ба Y-ийн тархалтын нягтыг томъёог ашиглан олно. Хоёр хэмжээст тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын нягтыг мэдэх/(x, у),Та түүний бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийн хуваарилалтын функцийг олж болно: Хэрэв системд (Х, Ү) орсон санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хуулиуд мэдэгдэж байгаа бол X, Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байх тохиолдолд л системийн тархалтын хуулийг тодорхойлох боломжтой. X ба Y хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тэдгээрийн тархалтын хууль нь нөгөө нь ямар утгыг авахаас хамаарахгүй тохиолдолд л бие даасан байх болно. Үгүй бол X ба Y-ийн утга нь хамааралтай болно. Бид хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний бие даасан байдлын нөхцлийг нотлох баримтгүйгээр танилцуулж байна. Теорем 2.2.(X, Y) системийг бүрдүүлэгч хоёр салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн X ба Y бие даасан байхын тулд тэгш байдлыг хангах шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Vi = 1-ийн хувьд nТэгээд j = 1, Т. Теорем 2.3.Системд орсон X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд (X, Y) бие даасан байхын тулд системийн тархалтын функц нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хуваарилалтын функцүүдийн үржвэртэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм. Теорем 2.4.Системд орсон X ба Ү тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд (X, Y) бие даасан байхын тулд тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. өөрөөр хэлбэл системийн хамтарсан тархалтын нягт (X, Y) нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын нягтын үржвэртэй тэнцүү байх ёстой. Системийг бүрдүүлэгч X ба Ү санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай тохиолдолд тэдгээрийн хамаарлыг тодорхойлохын тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын нөхцөлт хуулийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн. Бид энэхүү гарын авлагад хуваарилалтын нөхцөлт хуулиудыг хөндөхгүй. Сонирхсон хүмүүс тэдэнтэй танилцаж болно, жишээлбэл. Нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х шиг, хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X, Y) системийг тоон шинж чанараар тодорхойлж болно. Иймээс янз бүрийн захиалгын эхний болон төв мөчүүдийг ихэвчлэн ашигладаг. Захиалгын эхний мөч (Хэнд + с) хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X ба Y) системийн үр дүнгийн математик хүлээлт гэж нэрлэдэг. X кдээр Тийм ээ,өөрөөр хэлбэл Захиалгын гол мөч (Хэнд+ s) хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X, Y) системийн математик хүлээлт гэж нэрлэдэг. ажилладаг X к U® дээр, i.e. хаана төвлөрсөн санамсаргүй тоо хэмжээ. Анхны болон төв мөчүүдийн дараалал нь түүний индексүүдийн нийлбэр гэдгийг санаарай. (Хэнд+ s). Анхны болон төв мөчүүдийг олох томъёог танилцуулъя. Хоёр дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн хувьд бидэнд байна Хоёр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн хувьд бид олж авдаг Практикт эхний болон хоёр дахь захиалгын эхний ба төв мөчүүдийг ихэвчлэн ашигладаг. Эхний дарааллын хоёр эхний мөч байдаг: Эдгээр нь X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн математик хүлээлт юм. Координаттай цэг ( М[Х], M[Y]) OXY хавтгай дээр - санамсаргүй цэгийн байрлалын шинж чанар (X, Y), өөрөөр хэлбэл түүний тархалт нь цэгийн эргэн тойронд тохиолддог (M[X, M[Y]). Эхний эрэмбийн төв момент хоёулаа тэгтэй тэнцүү байна, i.e. Хоёрдахь эрэмбийн эхний гурван мөч байдаг: Агшин агшин 11
программд ихэвчлэн олддог. (2.66) ба (2.68) илэрхийллээс түүнийг тооцоолох томьёо дараах байдалтай байна. Хоёр дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн хувьд Хоёр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн хувьд Хоёрдахь эрэмбийн гурван гол мөч байдаг: Томъёоны (2.74) эхний хоёр момент нь дисперс юм. Мөн мөч {
ковариац буюу санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X,Y) системийн корреляцийн момент гэнэ. Үүний тулд тусгай тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн K = K xy.(2.67) ба (2.69) илэрхийллээс түүнийг тооцоолох томьёо дараах байдалтай байна. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системийн хувьд Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системүүдийн хувьд Төв мөчүүдийг эхний мөчүүд болон эсрэгээр илэрхийлж болно. Тиймээс ковариацийг ихэвчлэн эхний моментоор илэрхийлдэг. өөрөөр хэлбэл, хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн ковариац нь тэдгээрийн үржвэрийн математик хүлээлтээс математикийн хүлээлтийн үржвэрийг хассантай тэнцүү байна. Ковариацын зарим шинж чанарууд энд байна: 1. Ковариац нь тэгш хэмтэй, өөрөөр хэлбэл, индексүүдийг солих үед энэ нь өөрчлөгдөхгүй: 2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь түүний өөртэйгөө байгаа ковариац, i.e. 3. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X ба Юбие даасан байвал ковариац нь тэг болно: Корреляцийн моментийн хэмжээс нь X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжигдэхүүний үржвэртэй тэнцүү байна. Зөвхөн X ба Ү санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог хэмжээсгүй коэффициентийг ашиглах нь илүү тохиромжтой. Тиймээс ковариацыг хуваана. a[X] x a[Y] стандарт хазайлтын үржвэрээр корреляцийн коэффициентийг олж авна. Энэ коэффициент нь X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хамаарлын түвшинг тодорхойлдог бөгөөд ямар ч хамаарал биш, зөвхөн шугаман байна. Дурын хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн X ба Y хувьд дараахь тэгш бус байдал үүснэ. Хэрэв g xy= 0, тэгвэл X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хооронд шугаман хамаарал байхгүй бөгөөд тэдгээрийг хамааралгүй гэж нэрлэдэг. Хэрэв g xy F 0 бол X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг корреляци гэж нэрлэдэг. r нь ±1-д ойртох тусам X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хооронд шугаман хамаарал илүү ойр байна. Хэрэв r = ±1 бол X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хооронд хэлбэрийн хатуу функциональ шугаман хамаарал байна. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн бие даасан байдлаас үзэхэд тэдгээр нь хамааралгүй болно. Гэхдээ ерөнхий тохиолдолд эсрэгээр нь үнэн биш, өөрөөр хэлбэл g xy= 0 бол энэ нь зөвхөн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хооронд шугаман хамаарал байхгүй байгааг илтгэнэ. Тэдгээрийг муруй шугамаар холбож болно. Тодорхой жишээг авч үзье. Жишээ 2.5 Хоёр салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X,Y) системийн тархалтын матрицыг өгөв. Системийн тоон шинж чанарыг ол (X,Y): М[Х], M[Y], D[X], D[Y], st[X], a[Y], K)
§ 3.5. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системүүд
§ 3.6. Бие даасан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд
SV утгууд x 1
x 2
…
x n
Σ П(y j)
y 1
П(x 1 , у 1 )
П(x 2 , у 1 )
…
П(xn,y 1 )
П(y 1 )
y 2
П(x 1 , у 2 )
П(x 2 , у 2 )
…
П(xn,y 2 )
П(y 2 )
…
…
…
…
…
…
y м
П(x 1 , m)
П(x 2 , m)
…
П(x n ,y m)
П(y м)
Σ П(x i)
П(x 1 )
П(x 2 )
…
П(xn)
. Эдгээр магадлалыг тооцоолохдоо нөхцөлт магадлалын томъёог ашиглах ёстой.
.
, 
, 
,
, 
, Ю
-1
П
0,2
0,4
0,4
. Бид нөхцөлт хуваарилалтын хүснэгтийг авдаг Ю:Ю -1
P X =0
0,75
0,25
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
8,35
3,50
10,50
6,00
11,35
9,50
12,15
6,00
12,85
9,50
8,74
1,49
10,75
2,50
11,50
6,00
12,25
8,05
13,15
9,02
9,25
6,40
10,76
5,74
11,50
9,00
12,35
5,01
13,25
6,49
9,50
4,50
11,00
8,50
11,62
8,50
12,50
7,03
13,26
10,50
9,75
5,00
11,00
5,26
11,75
10,00
12,76
7,53
13,40
7,51
10,24
7,00
11,25
8,00
12,00
9,00
12,85
6,01
13,50
10,00
13,65
9,50
14,50
10,00
13,75
8,51
14,75
12,00
14,00
11,00
15,25
12,50
14,23
8,40
16,00
11,50
14,26
10,00
16,00
13,00
14,51
9,50
16,25
12,00
Интервалын хил хязгаар 8,3–9,5
9,5–10,7
10,7–11,9
11,9–13,1
13,1–14,3
14,3–15,5
15,5–16,7
Интервалуудын дунд цэгүүд 8,9
10,1
11,3
12,5
13,7
14,9
16,1
.
Интервалын хил хязгаар Интервалын дунд Давтамж
8,3 – 9,5
8,9
26,7
237,63
9,5 – 10,7
10,1
40,4
408,04
10,7 – 11,9
11,3
1276,9
11,9 – 13,1
12,5
1250,0
13,1 – 14,3
13,7
1876,9
14,3 – 15,5
14,9
44,7
666,03
15,5 – 16,7
16,1
64,4
1036,84
нийлбэр
526,2
6752,34
Интервалын хил хязгаар Интервалын дунд Давтамж
1,5 – 3,3
2,4
4,8
11,52
3,3 – 5,1
4,2
16,8
70,56
5,1 – 6,9
6,0
6,9 – 8,7
7,8
85,8
669,24
8,7 – 10,5
9,6
921,6
10,5 – 12,3
11,4
45,6
519,84
12,3 – 14,1
13,2
39,6
522,72
нийлбэр
336,6
3003,48
Интервалын хил хязгаар Давтамж
–∞ – 9,5
0,0618
0,022
9,5 – 10,7
0,11440
10,7 – 11,9
0,1983
8,3286
0,335
11,9 – 13,1
0,2396
10,0632
0,423
13,1 – 14,3
0,2218
9,9356
0,082
14,3 – 15,5
0,0986
0,018
15,5 – +∞
0,0654
нийлбэр
1,0062
1,0000
0,88
Ю
Интервалын хил ба дунд цэгүүд X
8,3–9,5
8,9
9,5–10,7
10,1
10,7–11,9
11,3
11,9–13,1
12,5
13,1–14,3
13,7
14,3–15,5
14,9
15,5–16,7
16,1
1,5–3,3
2,4
–
–
–
–
–
3,3–5,1
4,2
–
–
–
–
5,1–6,9
6,0
–
–
6,9–8,7
7,8
–
–
–
8,7–10,5
9,6
–
–
–
10,5–12,3
11,4
–
–
–
–
12,3–14,1
13,2
–
–
–
–
–
–
Зураг 2.4
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,3989
0,3989
0,3989
0,3988
0,3986
0,3984
0,3982
0,3980
0,3977
0,3973
0,1
0,3970
0,3965
0,3961
0.3956
0,3951
0,3945
0,3939
0,3932
0,3925
0,3918
0,2
0,3910
0,3902
0,3894
0,3885
0,3876
0,3867
0,3857
0,3847
0,3836
0,3825
0,3
0,3814
0,3802
0,3790
0,3778
0,3765
0,3752
0,3739
0,3725
0,3712
0,3697
0,4
0,3683
0,3668
0,3653
0,3637
0,3621
0,3605
0,3589
0,3572
0,3555
0,3538
0,5
0,3521
0,3503
0,3485
0,3467
0,3448
0,3429
0,3410
0,3391
0,3372
0,3352
0,6
0,3332
0,3312
0,3292
0,3271
0,3251
0,3230
0,3209
0,3187
0,3166
0,3144
0,7
0,3123
0,3101
0,3079
0,3056
0,3034
0,3011
0,2989
0,2966
0,2943
0,2920
0,8
0,2897
0,2874
0,2850
0,2827
0,2803
0,2780
0,2756
0,2732
0,2709
0,2685
0,9
0,2661
0,2637
0,2613
0,2589
0,2565
0,2541
0,2516
0,2492
0,2468
0,2444
1,0
0,2420
0,2396
0,2371
0,2347
0,2323
0,2299
0,2275
0,2251
0,2227
0,2203
1,1
0,2179
0,2155
0,2131
0,2107
0,2083
0,2059
0,2036
0,2012
0,1989
0,1965
1,2
0,1942
0,1919
0,1859
0,1872
0,1849
0,1826
0,1804
0,1781
0,1758
0,1736
1,3
0,1714
0,1691
0,1669
0,1647
0,1626
0,1604
0,1582
0,1561
0,1539
0,1518
1,4
0,1497
0,1476
0,1456
0,1435
0,1415
0,1394
0,1374
0,1354
0,1334
0,1315
1,5
0,1295
0,1276
0,1257
0,1238
0,1219
0,1200
0,1182
0,1163
0,1145
0,1127
1,6
0,1109
0,1092
0,1074
0,1057
0,1040
0,1023
0,1006
0,0989
0,0973
0,0957
1,7
0,0940
0,0925
0,0909
0,0893
0,0878
0,0863
0,0848
0,0833
0,0818
0,0804
1,8
0,0790
0,0775
0,0761
0,0748
0,0734
0,0721
0,0707
0,0694
0,0681
0,0669
1,9
0,0656
0,0644
0,0632
0,0620
0,0608
0,0596
0,0584
0,0573
0,0562
0,0551
2,0
0,0540
0,0529
0,0519
0,0508
0,0498
0,0488
0,0478
0,0468
0,0459
0,0449
2,1
0,0440
0,0431
0,0422
0,0413
0,0404
0,0396
0,0387
0,0379
0,0371
0,0363
2,2
0,0355
0,0347
0,0339
0,0332
0,0325
0,0317
0,0310
0,0303
0,0297
0,0290
2,3
0,0283
0,0277
0,0270
0,0264
0,0258
0,0252
0,0246
0,0241
0,0235
0,0229
2,4
0,0224
0,0219
0,0213
0,0208
0,0203
0,0198
0,0194
0,0189
0,0184
0,0180
2,5
0,0175
0,0171
0,0167
0,0163
0,0158
0,0154
0,0151
0,0147
0,0143
0,0139
2,6
0,0136
0,0132
0,0129
0,0126
0,0122
0,0119
0,0116
0,0113
0,0110
0,0107
2,7
0,0104
0,0101
0,0099
0,0096
0,0093
0,0091
0,0088
0,0086
0,0084
0,0081
2,8
0,0079
0,0077
0,0075
0,0073
0,0071
0,0069
0,0067
0,0065
0,0063
0,0061
2,9
0,0060
0,0058
0,0056
0,0055
0,0053
0,0051
0,0050
0,0048
0,0047
0,0046
3,0
0,0044
0,0043
0,0042
0,0040
0,0039
0,0038
0,0037
0,0036
0,0035
0,0034
3,1
0,0033
0,0032
0,0031
0,0030
0,0029
0,0028
0,0027
0,0026
0,0025
0,0025
3,2
0,0024
0,0023
0,0022
0,0022
0,0021
0,0020
0,0020
0,0019
0,0018
0,0018
3,3
0,0017
0,0017
0,0016
0,0016
0,0015
0,0015
0,0014
0,0014
0,0013
0,0013
3,4
0,0012
0,0012
0,0012
0,0011
0,0011
0,0010
0,0010
0,0010
0,0009
0,0009
3.5
0,0009
0,0008
0,0008
0,0008
0,0008
0,0007
0,0007
0,0007
0,0007
0,0006
3.6
0,0006
0,0006
0,0006
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0004
3,7
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
3,8
0.0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
3,9
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0001
0,0001
4.0
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
Үүнийг сануулъя
