Тэд тийм гэж хэлдэг бие даасан (болон) адилхан тархсан, хэрэв тэдгээр нь тус бүр нь бусадтай ижил тархалттай бөгөөд бүх хэмжигдэхүүн нь нийлбэрт бие даасан байвал. "Бие даасан ижил тархсан" хэллэгийг ихэвчлэн товчилдог i.i.d.(англи хэлнээс бие даасан, адилхан тархсан ), заримдаа - "n.o.r".

Хэрэглээ

гэсэн таамаглал санамсаргүй хэмжигдэхүүнбие даасан, ижил тархалттай, магадлалын онол, статистикт өргөн хэрэглэгддэг тул онолын тооцооллыг ихээхэн хялбарчилж, сонирхолтой үр дүнг батлах боломжийг олгодог.

Магадлалын онолын гол теоремуудын нэг болох төв хязгаарын теорем нь хэрвээ бие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний дараалал бол тэдгээр нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай байгаа тул тэдгээрийн дундаж санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт хэвийн тархалтад нийлдэг гэж заасан байдаг.

Статистикийн хувьд ерөнхийдөө статистикийн түүврийг i.i.d-ийн дараалал гэж үздэг. зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хэрэгжилт (ийм түүврийг энгийн).

Викимедиа сан.

• 2010 он.
• өөрөөр хэлбэл

Intel 8048

Бусад толь бичгүүдээс "Бие даасан ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн" гэж юу болохыг харна уу.Мөрийтэй тоглоомчдын сүйрлийн асуудал - Тоглогчийн сүйрлийн асуудал бол магадлалын онолын салбараас гарсан асуудал. дэлгэрэнгүй ярилцсанОросын математикч

А.Н.Ширяев "Магадлал" монографи ... ВикипедиаТогтвортой хуваарилалт

- магадлалын онолын хувьд энэ нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтын хязгаар болгон авч болох тархалт юм. Агуулга 1 Тодорхойлолт 2 Тэмдэглэл ... ВикипедиаТогтвортой тархалтын Леви-Хинчиний томъёо - Магадлалын онол дахь тогтвортой тархалт гэдэг нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтын хязгаар болгон авч болох тархалт юм. Агуулга 1 Тодорхойлолт 2 Тайлбар 3 Шинж чанартогтвортой хуваарилалт

... ВикипедиаХязгааргүй хуваагдах тархалт

Крамер-Лундбергийн загвар- Крамер Лундберг загвар өмсөгч математик загвар, энэ нь даатгалын компанийг сүйрүүлэх эрсдлийг үнэлэх боломжийг олгодог. Энэ загварын хүрээнд даатгалын шимтгэлийг болзолт нөхцлөөс тогтоосон хэмжээгээр жигд авдаг гэж үздэг. мөнгөний нэгжнэгжид ... ... Википедиа

Хязгааргүй хуваагдах тархалтын Леви-Хинчиний томъёо- Магадлалын онолд хязгааргүй хуваагдах тархалт гэдэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бие даасан, ижил тархсан нэр томъёоны дурын тоогоор илэрхийлэх боломжтой тархалт юм. Агуулга 1 Тодорхойлолт 2 ... ... Википедиа

Крамерын загвар- Энэ нийтлэлийг Wikified байх ёстой. Нийтлэлийг форматлах дүрмийн дагуу форматлана уу. Cramer Lundberg загвар нь даатгалын компаний дампуурлын эрсдэлийг үнэлэх боломжийг олгодог математик загвар юм... Wikipedia

Хүлээн авах статистик хяналт- нийт статистикийн аргуудтогтоосон шаардлагад нийцэж байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд массын бүтээгдэхүүнийг хянах. P.S. и. олон нийтийн бүтээгдэхүүний сайн чанарыг хангах үр дүнтэй хэрэгсэл. P.S. -д ... ... хүртэл явагддаг. Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Олон гишүүнт тархалт- Магадлалын онол дахь олон гишүүнт (олон гишүүн) тархалт нь ерөнхий ойлголт юм бином тархалттохиолдолд бие даасан туршилтууд санамсаргүй туршилтхэд хэдэн боломжит үр дагавартай. Тодорхойлолт Бие даасан байг... ... Википедиа

Олон гишүүнт тархалт- Магадлалын онол дахь олон гишүүнт (олон гишүүн) тархалт нь хэд хэдэн боломжит үр дүн бүхий санамсаргүй туршилтын бие даасан туршилтын тохиолдлуудад хоёр гишүүнт тархалтыг ерөнхийд нь хэлнэ. Тодорхойлолт: Бие даасан нь тэгш байг... ... Википедиа

Дээр дурдсанчлан бид статистикийн хувьд бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн PDF файлыг олох асуудлыг авч үзсэн. Энэ хэсэгт бид дүнг статистик байдлаар дахин авч үзэх болно бие даасан хэмжигдэхүүнүүд, гэхдээ бидний арга барил өөр байх бөгөөд нийлбэр дэх санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэсэгчилсэн PDF файлаас хамаарахгүй. Тодруулбал, нийлбэрийн нөхцөлүүд нь статистикийн хувьд бие даасан, ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бөгөөд тус бүр нь хязгаарлагдмал дундаж болон хязгаарлагдмал дисперстэй байна гэж үзье.

Түүврийн дундаж гэж нэрлэгддэг нормчлогдсон нийлбэр гэж тодорхойлъё

Эхлээд бид сүүлний магадлалын дээд хязгаарыг тодорхойлж, дараа нь PDF-ийг хязгааргүйд хүрэх үед хязгаарт тодорхойлдог маш чухал теоремыг батлах болно.

(2.1.187)-аар тодорхойлогдсон санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь олон тооны ажиглалтаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундажийг тооцоолоход ихэвчлэн тааралддаг, . Өөрөөр хэлбэл, тархалтын бие даасан түүврийн хэрэгжилт гэж үзэж болох бөгөөд дундаж утгын тооцоолол юм.

Математикийн хүлээлт нь

.

Зөрчил нь

Хэрэв бид үүнийг дундажийн тооцоо гэж үзвэл түүний математик хүлээлт -тэй тэнцүү байх ба түүврийн хэмжээ ихсэх тусам тархалт буурч байгааг харж болно. Хэрэв энэ нь хязгааргүй өсвөл хэлбэлзэл тэг болох хандлагатай байна. Параметрийн тооцоо (in энэ тохиолдолд), энэ нь түүний нөхцөлийг хангасан математикийн хүлээлттэмүүлдэг жинхэнэ утгапараметр бөгөөд дисперс нь хатуу тэгтэй тэнцүү байвал тууштай тооцоо гэнэ.

Хэсэгт өгөгдсөн хязгаарыг ашиглан санамсаргүй хэмжигдэхүүний сүүлний магадлалыг дээрээс нь тооцоолж болно. 2.1.5. Чебышевын тэгш бус байдал нь хэлбэртэй байна

,

. (2.1.188)

Хэзээ хязгаарт, (2.1.188) -аас дагана

. (2.1.189)

Иймээс дундаж утгын үнэлгээ нь бодит утгаас -ээс их зөрүүтэй байх магадлал нь хязгааргүй өсвөл тэг болох хандлагатай байна. Энэ заалт бол хуулийн нэг хэлбэр их тоо. Дээд хязгаар нь харьцангуй удаан тэг рүү нийлдэг тул i.e. урвуу пропорциональ. илэрхийлэл (2.1.188) гэж нэрлэдэг их тооны сул хууль.

-ээс экспоненциал хамаарлыг агуулсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнд Черноффын хязгаарыг хэрэглэвэл нэг сүүлт магадлалын хатуу дээд хязгаарыг олж авна. Бүлэгт заасан журмын дагуу. 2.1.5-ын сүүлний магадлал нь илэрхийллээр тодорхойлогддог

хаана болон. Гэхдээ статистикийн хувьд бие даасан, ижил тархалттай. Тиймээс,

хэмжигдэхүүнүүдийн нэг нь хаана байна. Хамгийн зөв дээд хязгаарыг өгдөг параметрийг (2.1.191) ялгаж, деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх замаар олж авна. Энэ нь тэгшитгэлд хүргэдэг

(2.1.192)

(2.1.192) шийдийг -ээр тэмдэглэе. Дараа нь сүүлний дээд магадлалын хязгаар нь байна

, . (2.1.193)

Үүний нэгэн адил бид сүүлний доод магадлал нь хязгаартай болохыг олж мэдэх болно

, . (2.1.194)

Жишээ 2.1.7. Дараах байдлаар тодорхойлогдсон статистикийн хувьд бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний цуваа байг.

Бид нийлбэр нь тэгээс их байх магадлалын хатуу дээд хязгаарыг тодорхойлохыг хүсч байна. -ээс хойш хэмжээ нь байх болно сөрөг утгаМатематикийн хүлээлт (дундаж) хувьд бид сүүлний дээд магадлалыг хайх болно. Учир нь (2.1.193)-д бид байна

, (2.1.195)

тэгшитгэлийн шийдэл хаана байна

Тиймээс,

. (2.1.197)

Үүний үр дүнд (2.1.195) дахь хилийн хувьд бид олж авна

Бид үүнийг харж байна дээд хязгаартаамаглаж байсанчлан -ээр экспоненциалаар буурдаг. Үүний эсрэгээр, Чебышевын заасны дагуу сүүлний магадлал нь урвуу харьцаагаар буурдаг.

Төв хязгаарын теорем. Энэ хэсэгт бид нийлбэрийн гишүүний тоо хязгааргүй ихсэх үед хязгаарт байгаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн IDF-тэй холбоотой маш хэрэгтэй теоремыг авч үзнэ. Энэ теоремын хэд хэдэн хувилбар байдаг. Санамсаргүй нийлдэг хэмжигдэхүүн , , статистикийн хувьд бие даасан, ижил тархсан, тус бүр нь хязгаарлагдмал дундаж, хязгаарлагдмал дисперстэй байх тохиолдолд теоремыг баталъя.

Тохиромжтой болгох үүднээс бид нормчлогдсон санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлдог

Тиймээс энэ нь тэг дундаж ба нэгж дисперстэй байна.

Одоо больё

Нийлбэрийн нийлбэр бүр нь тэг дундаж ба нэгж дисперстэй тул (хүчин зүйлээр) нормчлогдсон утга нь тэг дундаж ба нэгж дисперстэй байна. Бид хязгаарт зориулсан СЗБ-ийг тодорхойлохыг хүсч байна.

Онцлог функц нь тэнцүү байна

, (2.1.200).

,

эсвэл үүнтэй адилаар,

. (2.1.206)

Гэхдээ энэ бол зүгээр онцлог функцТэг дундаж ба нэгж дисперстэй Гауссын санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Бид ийм байна чухал үр дүн; Хязгаарлагдмал дундаж ба дисперстэй, статистикийн хувьд бие даасан, ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэрийн PDF нь Гауссын хандлагаар . Энэ үр дүнг гэж нэрлэдэг төв хязгаарын теорем.

Хэдийгээр бид нийлбэр дэх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд тэнцүү тархсан гэж таамаглаж байсан ч нийлбэрлэж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн шинж чанарт тодорхой нэмэлт хязгаарлалт тавигдсан хэвээр байгаа тохиолдолд энэ таамаглалыг зөөлрүүлж болно. Теоремын нэг хувилбар байдаг, жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ижил тархалтын таамаглалаас татгалзаж, нийлбэрийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний гурав дахь абсолют момент дээр тавигдах нөхцөлийг дэмжсэн тохиолдолд. Төв хязгаарын теоремын энэ болон бусад хувилбаруудын талаар ярилцахын тулд уншигчид Крамер (1946)-д хандсан болно.

Хуваарилалтын хуулийн дагуу олж болно гэдгийг аль хэдийн мэддэг болсон тоон шинж чанарсанамсаргүй хувьсагч. Хэрэв хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн ижил тархалттай бол тэдгээрийн тоон шинж чанар ижил байна.

Ингээд авч үзье nхарилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд X 1 , X 2 , …,Xn, ижил тархалттай, тиймээс ижил шинж чанартай (математикийн хүлээлт, тархалт гэх мэт). Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундажийн тоон шинж чанарыг судлах нь хамгийн их сонирхол татдаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундажийг дараах байдлаар тэмдэглэе.

.

Дараах гурван заалт нь арифметик дундажийн тоон шинж чанар болон бие даасан хэмжигдэхүүн бүрийн харгалзах шинж чанаруудын хоорондын холбоог тогтооно.

1. Дундажийн математикийн хүлээлт арифметик нэгХамт тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утга тус бүрийн математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна:

Баталгаа.Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглах ( тогтмол хүчин зүйлматематикийн хүлээлтийн шинж тэмдэг болгон авч болно; нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү), бид байна

Нөхцөлийн дагуу хэмжигдэхүүн тус бүрийн математикийн хүлээлт тэнцүү байна гэдгийг харгалзан үзнэ А, бид авдаг

.

2. Арифметик дундажийн тархалт nижил тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд nдахин бага хэлбэлзэл Дтоо хэмжээ тус бүр:

Баталгаа. Дисперсийн шинж чанарыг ашиглан (тогтмол хүчин зүйлийг квадратаар хуваах замаар дисперсийн тэмдгээс гаргаж болно; бие даасан хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь нэр томъёоны дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү) бид байна.

Нөхцөл байдлын дагуу хэмжигдэхүүн тус бүрийн тархалт тэнцүү байгааг харгалзан үзэх Д, бид авдаг

.

3. Дундаж стандарт хазайлтарифметик дундаж nИжил тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь утга тус бүрийн стандарт хазайлтаас дахин бага байна:

Баталгаа. -ээс хойш стандарт хазайлт нь тэнцүү байна

.

Ерөнхий дүгнэлт(7.3) ба (7.4) томъёоноос: дисперс ба стандарт хазайлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хэмжүүр болдог гэдгийг санаж, арифметик дундаж нь хангалттай гэж дүгнэж байна. их тоохарилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь хувьсагч бүрээс хамаагүй бага тархалттай байдаг.

Энэхүү дүгнэлт нь практикт ямар ач холбогдолтой болохыг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ.Ихэвчлэн заримыг нь хэмжих физик хэмжигдэхүүнхэд хэдэн хэмжилт хийж, дараа нь хэмжсэн утгын ойролцоо утга болгон авсан тоонуудын арифметик дундажийг олно. Хэмжилтийг ижил нөхцөлд хийсэн гэж үзвэл:

a) арифметик дундаж нь бие даасан хэмжилтээс илүү найдвартай үр дүнг өгдөг;

б) хэмжилтийн тоо нэмэгдэх тусам энэ үр дүнгийн найдвартай байдал нэмэгддэг.

Шийдэл. a) Хувь хүний ​​хэмжилт нь хэмжсэн хэмжигдэхүүний өөр өөр утгыг өгдөг нь мэдэгдэж байна. Хэмжилт бүрийн үр дүн нь урьдчилан бүрэн тооцдоггүй олон санамсаргүй шалтгаанаас (температурын өөрчлөлт, багаж хэрэгслийн хэлбэлзэл гэх мэт) хамаардаг.

Энэ шалтгааны улмаас бид боломжит үр дүнг авч үзэх эрхтэй nбие даасан хэмжилтийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн болгон X 1 , X 2 , …,Xn(индекс нь хэмжилтийн тоог заана). Эдгээр хэмжигдэхүүнүүд нь ижил магадлалын тархалттай (хэмжилтийг ижил аргачлал, ижил багаж ашиглан хийдэг), тиймээс ижил тоон шинж чанаруудтай; Үүнээс гадна тэдгээр нь бие биенээсээ хамааралгүй (хэмжилт бүрийн үр дүн нь бусад хэмжилтээс хамаардаггүй).

Дээр дурдсанчлан ийм хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундаж нь бие даасан хэмжигдэхүүн бүрээс бага тархалттай байдаг. Өөрөөр хэлбэл, арифметик дундаж нь тусдаа хэмжилтийн үр дүнгээс илүү хэмжсэн утгын жинхэнэ утгад ойрхон байна. Энэ нь хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж нь нэг хэмжилтээс илүү найдвартай үр дүнг өгдөг гэсэн үг юм.

б) Хувь хүний ​​санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тоо нэмэгдэхийн хэрээр арифметик дундажийн тархалт буурдаг нь мэдэгдэж байна. Энэ нь хэмжилтийн тоо нэмэгдэхийн хэрээр хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж нь хэмжсэн утгын бодит утгаас бага ба бага зөрүүтэй байна гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч хэмжилтийн тоог нэмэгдүүлснээр илүү найдвартай үр дүнд хүрнэ.

Жишээлбэл, хэрэв бие даасан хэмжилтийн стандарт хазайлт нь s = 6 м, бүгдийг нь хийсэн бол n= 36 хэмжилт, тэгвэл эдгээр хэмжилтийн арифметик дундажийн стандарт хазайлт нь ердөө 1 м байна.

.

Мэдээжийн хэрэг, хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж нь тусдаа хэмжилтийн үр дүнгээс илүү хэмжсэн утгын жинхэнэ утгад ойр байсан нь ойлгомжтой.

Хэд хэдэн харилцан бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлтыг мэддэг байг. Эдгээр хэмжигдэхүүний нийлбэрийн стандарт хазайлтыг хэрхэн олох вэ? Энэ асуултын хариултыг дараах теоремоор өгнө.

Теорем. Нийлбэрийн стандарт хазайлт хязгаарлагдмал тоохарилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь тэнцүү байна квадрат язгуурэдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн стандарт хазайлтын квадратуудын нийлбэрээс."

Баталгаа. -ээр тэмдэглэе XХаргалзаж буй харилцан бие даасан хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр:

Хэд хэдэн харилцан бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэрийн дисперс нь нэр томъёоны дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна (§ 5, Үр дүн 1-г үзнэ үү), тиймээс

эсвэл эцэст нь

Ижил тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд

Тархалтын хуулийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг олж болно гэдгийг аль хэдийн мэддэг болсон. Хэрэв хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн ижил тархалттай бол тэдгээрийн тоон шинж чанар ижил байна.

Ингээд авч үзье nхарилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд X v X v ..., Xfi,ижил тархалттай, тиймээс ижил шинж чанартай (математикийн хүлээлт, тархалт гэх мэт). Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундажийн тоон шинж чанарыг судлах нь хамгийн их сонирхол татдаг бөгөөд үүнийг бид энэ хэсэгт хийх болно.

Харгалзаж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундажийг гэж тэмдэглэе X:

Дараах гурван заалт нь арифметик дундажийн тоон шинж чанаруудын хоорондын холбоог тогтооно Xболон бие даасан хэмжигдэхүүн бүрийн харгалзах шинж чанарууд.

1. Ижил тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундажийн математик хүлээлт нь хувьсагч бүрийн математикийн a-тай тэнцүү байна.

Баталгаа. Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглан (тогтмол хүчин зүйлийг математикийн хүлээлтийн тэмдэгээс гаргаж болно; нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна) бид

Нөхцөлийн дагуу хэмжигдэхүүн тус бүрийн математикийн хүлээлт тэнцүү байна гэдгийг харгалзан үзнэ А, бид авдаг

2. Ижил тархсан харилцан хамааралгүй n санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундажийн дисперс нь хувьсагч бүрийн D дисперсээс n дахин бага байна:

Баталгаа. Дисперсийн шинж чанарыг ашиглан (тогтмол хүчин зүйлийг квадратаар хуваах замаар дисперсийн тэмдгээс гаргаж болно; бие даасан хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь нэр томъёоны дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү) бид байна.

§ 9. Ижил тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд 97

Нөхцөлөөр хэмжигдэхүүн тус бүрийн тархалт D-тэй тэнцүү байгааг харгалзан бид олж авна

3. Ижил тархсан харилцан хамааралгүй санамсаргүй n-ийн арифметик дундажийн стандарт хазайлт

утга тус бүрийн стандарт хазайлтаас 4n дахин бага байна:

Баталгаа. Учир нь D(X) = D/nдараа нь стандарт хазайлт Xтэнцүү байна

(*) ба (**) томъёоны ерөнхий дүгнэлт: тархалт ба стандарт хазайлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хэмжүүр болдог гэдгийг санаж, хангалттай олон тооны харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь дараах байдалтай байна гэж дүгнэж байна.

тус бүрийн утгаас хамаагүй бага тархалт.

Энэхүү дүгнэлт нь практикт ямар ач холбогдолтой болохыг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ. Ихэвчлэн тодорхой физик хэмжигдэхүүнийг хэмжихийн тулд хэд хэдэн хэмжилт хийж, дараа нь авсан тоонуудын арифметик дундажийг олдог бөгөөд үүнийг хэмжсэн хэмжигдэхүүний ойролцоо утга болгон авдаг. Хэмжилтийг ижил нөхцөлд хийсэн гэж үзвэл:

• a) арифметик дундаж нь бие даасан хэмжилтээс илүү найдвартай үр дүнг өгдөг;
• б) хэмжилтийн тоо нэмэгдэх тусам энэ үр дүнгийн найдвартай байдал нэмэгддэг.

Шийдэл, а) Хувь хүний ​​хэмжилт нь хэмжсэн хэмжигдэхүүний тэгш бус утгыг өгдөг нь мэдэгдэж байна. Хэмжилт бүрийн үр дүн нь санамсаргүй олон шалтгаанаас (температурын өөрчлөлт, багаж хэрэгслийн хэлбэлзэл гэх мэт) хамаардаг бөгөөд үүнийг урьдчилан бүрэн авч үзэх боломжгүй юм.

Тиймээс бид боломжит үр дүнг авч үзэх эрхтэй nбие даасан хэмжилтийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн болгон X v X 2,..., X х(индекс нь хэмжилтийн тоог заана). Эдгээр тоо хэмжээ нь байна тэгш хуваарилалтмагадлал (хэмжилтийг ижил аргачлал, ижил багаж ашиглан хийдэг), тиймээс ижил тоон шинж чанарууд; Үүнээс гадна тэдгээр нь бие биенээсээ хамааралгүй (хэмжилт бүрийн үр дүн нь бусад хэмжилтээс хамаардаггүй).

Ийм хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь бие даасан хэмжигдэхүүнээс бага тархалттай байдаг гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Өөрөөр хэлбэл, арифметик дундаж нь тусдаа хэмжилтийн үр дүнгээс илүү хэмжсэн утгын жинхэнэ утгад ойрхон байна. Энэ нь хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж нь нэг хэмжилтээс илүү тохиолдолын үр дүнг өгдөг гэсэн үг юм.

б) Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тоо нэмэгдэхийн хэрээр арифметик дундажийн тархалт буурдаг гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн. Энэ нь хэмжилтийн тоо нэмэгдэхийн хэрээр хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж нь хэмжсэн утгын бодит утгаас бага ба бага зөрүүтэй байна гэсэн үг юм. Тиймээс хэмжилтийн тоог нэмэгдүүлснээр илүү найдвартай үр дүнд хүрнэ.

Жишээлбэл, хэрэв хувь хүний ​​хэмжилтийн стандарт хазайлт нь a = 6 м, нийт n= 36 хэмжилт, тэгвэл эдгээр хэмжилтийн арифметик дундажийн стандарт хазайлт нь ердөө 1 м байна.

Хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж нь тусдаа хэмжилтийн үр дүнгээс илүү хэмжсэн утгын жинхэнэ утгад ойртсон болохыг бид харж байна.