Рационал тэгшитгэлийн систем хэрхэн шийдвэрлэх. Квадрат тэгшитгэл ба квадрат гурвалжин

I. Рационал тэгшитгэл.

1) Шугаман тэгшитгэл.

2) Шугаман тэгшитгэлийн системүүд.

3) Квадрат тэгшитгэл ба тэдгээрт буурдаг тэгшитгэл.

4) Харилцан тэгшитгэл.

5) Өндөр зэрэгтэй олон гишүүнтийн Виетийн томъёо.

6) Хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийн системүүд.

7) Тэгшитгэл ба тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ шинэ үл мэдэгдэх зүйлийг нэвтрүүлэх арга.

8) Нэг төрлийн тэгшитгэл.

9) тэгш хэмтэй тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

10) Параметр бүхий тэгшитгэлийн систем ба тэгшитгэл.

11) Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх график арга.

12) Модулийн тэмдгийг агуулсан тэгшитгэлүүд.

13) Рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд

II. Рационал тэгш бус байдал.

1) Эквивалент тэгш бус байдлын шинж чанарууд.

2) Алгебрийн тэгш бус байдал.

3) Интервалын арга.

4) Бутархай рационал тэгш бус байдал.

5) Үнэмлэхүй утгын тэмдгийн дор үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгш бус байдал.

6) Параметртэй тэгш бус байдал.

7) Рационал тэгш бус байдлын системүүд.

8) Тэгш бус байдлын график шийдэл.

III. Скрининг тест.

Рационал тэгшитгэл

Маягтын функц

P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n,

Энд n нь натурал тоо, a 0, a 1,..., a n нь бүхэл бүтэн рационал функц гэж нэрлэгддэг зарим бодит тоо юм.

P(x) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг бүхэл рационал функц гэнэ.

Маягтын тэгшитгэл

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,

Энд P 1 (x), P 2 (x), ..., P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), ..., Q m (x) нь бүхэл бүтэн рационал функцууд бөгөөд үүнийг рационал тэгшитгэл.

P (x) / Q (x) = 0 оновчтой тэгшитгэлийг шийдэх нь P (x) ба Q (x) нь олон гишүүнт (Q (x) ¹ 0) P (x) = 0 тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүрдэг. үндэс нь Q (x) ¹ 0 нөхцлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгах.

Шугаман тэгшитгэл.

a ба b нь зарим тогтмолууд байх ax+b=0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл гэнэ.

Хэрэв a¹0 бол шугаман тэгшитгэл нь нэг язгууртай байна: x = -b /a.

Хэрэв a=0; b¹0 бол шугаман тэгшитгэлд шийдэл байхгүй болно.

Хэрэв a=0; b=0, тэгвэл ax = -b хэлбэрээр анхны тэгшитгэлийг дахин бичихэд дурын х нь шугаман тэгшитгэлийн шийдэл болохыг хялбархан харж болно.

Шулуун шугамын тэгшитгэл нь: y = ax + b.

Хэрэв шугам X 0 ба Y 0 координаттай цэгийг дайран өнгөрвөл эдгээр координатууд нь шулууны тэгшитгэлийг хангана, өөрөөр хэлбэл Y 0 = aX 0 + b.

Жишээ 1.1. Тэгшитгэлийг шийд

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

Шийдэл. Хаалтуудыг дараалан нээж, ижил төстэй нөхцлүүдийг нэмээд x-г ол: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

Жишээ 1.2.Тэгшитгэлийг шийд

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.

Шийдэл. 2х + 2х – 4х = 3 +2 – 4 – 7, 0х = – 6.

Жишээ 1.3. Тэгшитгэлийг шийд.

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.

Шийдэл. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4х + 4х = 9 – 9,

Хариулт: Дурын тоо.

Шугаман тэгшитгэлийн системүүд.

Маягтын тэгшитгэл

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

Үүнд: a 1, b 1, …, a n, b нь зарим тогтмолууд бөгөөд үүнийг n үл мэдэгдэх x 1, x 2, …, x n-тэй шугаман тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв системд орсон бүх тэгшитгэлүүд шугаман байвал тэгшитгэлийн системийг шугаман гэж нэрлэдэг. Хэрэв систем нь n үл мэдэгдэхээс бүрдэх бол дараах гурван тохиолдол байж болно.

1) системд шийдэл байхгүй;

2) систем нь яг нэг шийдэлтэй;

3) систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Жишээ 2.4.тэгшитгэлийн системийг шийдэх

Шийдэл. Шугаман тэгшитгэлийн системийг системийн дурын тэгшитгэлд үл мэдэгдэх нэгийг бусад үл мэдэгдэх утгаараа илэрхийлж, дараа нь үлдсэн тэгшитгэлд үл мэдэгдэх утгыг орлуулах аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно.

Эхний тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ: x = (8 – 3y) / 2. Бид энэ илэрхийллийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, тэгшитгэлийн системийг авна.

Шийдэл. Системийн хоёр тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг хангах боломжгүй тул системд шийдэл байхгүй (эхний тэгшитгэлээс x + y = 3, хоёр дахь x + y = 3.5).

Хариулт: Ямар ч шийдэл байхгүй.

Жишээ 2.6. тэгшитгэлийн системийг шийдэх

Шийдэл. Хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийхээс 2-оор үржүүлснээр (өөрөөр хэлбэл хоёр үл мэдэгдэх нэг л тэгшитгэл байдаг) учир систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй байдаг.

Хариулт: Хязгааргүй олон шийдэл байдаг.

Жишээ 2.7. тэгшитгэлийн системийг шийдэх

2x – y + 4z = 1,

– x + 6y + z = 5.

Шийдэл. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ системийг гурвалжин хэлбэрт шилжүүлэхээс бүрдэх Гауссын аргыг ашиглах нь тохиромжтой.

Бид системийн эхний тэгшитгэлийг – 2-оор үржүүлж, үр дүнг хоёр дахь тэгшитгэлээр нэмбэл – 3y + 6z = – 3 болно. Энэ тэгшитгэлийг y – 2z = 1 гэж дахин бичиж болно. Гуравдугаарт, бид 7y = 7, эсвэл y = 1-ийг авна.

Тиймээс систем нь гурвалжин хэлбэртэй болсон

x + y – z = 2,

Хоёр дахь тэгшитгэлд y = 1-ийг орлуулснаар бид z = 0-ийг олно. Эхний тэгшитгэлд y = 1 ба z = 0-ийг орлуулснаар бид x = 1-ийг олно.

Хариулт: (1; 1; 0).

Жишээ 2.8. a параметрийн ямар утгууд дээр тэгшитгэлийн систем байна

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

хязгааргүй олон шийдэлтэй юу?

Шийдэл. Эхний тэгшитгэлээс бид x-ийг илэрхийлнэ:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Энэ илэрхийлэлийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулснаар бид олж авна

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

я(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Сүүлийн тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийхдээ a = 3-ийн хувьд энэ нь 0y = 0 хэлбэртэй байна, өөрөөр хэлбэл. y-ийн аль ч утгын хувьд энэ нь хангагдсан байна.

Квадрат тэгшитгэл ба тэдгээрт буурдаг тэгшитгэл.

ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл, энд a, b ба c нь зарим тоо (a¹0);

x нь квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг хувьсагч юм.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томъёо.

Эхлээд ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлийн хоёр талыг a-д хуваая - энэ нь түүний үндсийг өөрчлөхгүй. Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

зүүн талд бүрэн дөрвөлжин сонгоно уу

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2) )).

Товчхондоо бид илэрхийллийг (b 2 – 4ac) D гэж тэмдэглэнэ. Дараа нь үүссэн таних тэмдэг нь хэлбэрийг авна.

Гурван тохиолдол боломжтой:

1) хэрэв D тоо эерэг (D > 0) бол энэ тохиолдолд та D-ийн квадрат язгуурыг гаргаж аваад D гэж D = (ÖD) 2 хэлбэрээр бичиж болно. Дараа нь

D / (4a 2) = (ÖD) 2 / (2a) 2 = (ÖD / 2a) 2, тиймээс таних хэлбэрийг авна.

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (ÖD / 2a) 2 .

Квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглан бид эндээс гарна.

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (ÖD / 2a))(x + (b / 2a) + (ÖD / 2a)) =

= (x – ((-b + ÖD) / 2a)) (x – ((– b – ÖD) / 2a)).

Теорем : Хэрэв таних тэмдэг байгаа бол

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),

тэгвэл X 1 ¹ X 2-ийн ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэл нь X 1 ба X 2 хоёр үндэстэй ба X 1 = X 2-ийн хувьд зөвхөн нэг язгуур X 1 байна.

Энэхүү теоремын ачаар дээрх ижил төстэй байдлаас тэгшитгэл гарч ирнэ

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

тэгснээр ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй:

X 1 =(-b + Ö D) / 2a; X 2 = (-b - Ö D) / 2a.

Тиймээс x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Ихэвчлэн эдгээр үндэсийг нэг томъёогоор бичдэг:

Үүнд b 2 – 4ac = D.

2) хэрэв D тоо тэг (D = 0) байвал таних тэмдэг

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 хэлбэрийг авна.

D = 0-ийн хувьд ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэл нь 2 үржвэрийн нэг язгууртай байна: X 1 = – b / 2a

3) Хэрэв D тоо сөрөг байвал (D< 0), то – D >0, улмаар илэрхийлэл

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

нь хоёр гишүүний нийлбэр бөгөөд нэг нь сөрөг бус, нөгөө нь эерэг. Ийм нийлбэр нь тэгтэй тэнцэх боломжгүй тул тэгшитгэл

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

жинхэнэ үндэс байхгүй. ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлд тэдгээр нь бас байхгүй.

Тиймээс квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй

D = b 2 – 4ac.

Хэрэв D = 0 бол квадрат тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.

Хэрэв D > 0 бол квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно.

X 1 =(-b + ÖD) / (2a); X 2 = (-b - ÖD) / (2a).

Хэрэв Д< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Хэрэв b эсвэл c коэффициентүүдийн аль нэг нь тэг байвал квадрат тэгшитгэлийг дискриминантыг тооцоолохгүйгээр шийдэж болно.

1) b = 0; c¹0; в/а<0; X1,2 = ±Ö(-c / a)

2) b ¹ 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

ax 2 + bx + c = 0 ерөнхий квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг томъёогоор олно.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Бүлэг 4. Рационал тэгшитгэлийн системүүд

Дөрөвдүгээр бүлэг нь рационал тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга замыг судлахад зориулагдсан болно. Энд 7-р ангид сурсан, шугаман тэгшитгэлийн системд урьд өмнө хэрэглэж байсан ойлголтуудыг ашигладаг бөгөөд энэ нь сурсан зүйлээ давтаж, шинэ нөхцөл байдалд ажиллаж сурах боломжийг олгодог. Эдгээр нь ойлголтууд юм: хоёр (гурван) үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн шийдэл, хоёр (гурван) үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн систем, тэгшитгэлийн эквивалентийн тухай ойлголт, тэгшитгэлийн систем.

4-р бүлгийг судлах зорилго: жагсаасан ойлголтуудыг эзэмшиж, оновчтой тэгшитгэлийн системийг шийдэж сурах, тэдгээрийг үгийн бодлого шийдвэрлэхэд ашиглах.

§ 9. Рационал тэгшитгэлийн системүүд

Есдүгээр догол мөрийн гол зорилго нь тэгшитгэл, шугаман тэгшитгэлийн системтэй холбоотой мэдэгдэж буй ойлголтуудад тулгуурлан рационал тэгшитгэлийн системийг шийдэж сурах, тэдгээрийг үгийн бодлого шийдвэрлэхэд ашиглаж сурах явдал юм.

9.1. Рационал тэгшитгэлийн системийн тухай ойлголт

Энэ догол мөрөнд хоёр (гурван) үл мэдэгдэх рационал тэгшитгэл, түүний шийдлийн тухай ойлголтуудыг танилцуулж, тэгшитгэлийн системийг шийдэх нь юу гэсэн үг болохыг тодорхойлж, тэгшитгэлийн системийн эквивалент байдлын талаархи мэдэгдлийг өгсөн болно.

Энэ догол мөрийн гол ажил бол өгөгдсөн хос (гурван) тоо нь системийн шийдэл гэдгийг тогтоох даалгавар юм. Нэмэлт даалгавар нь оюутнуудыг параметртэй асуудлыг шийдвэрлэхэд дасгадаг.

Хянах даалгавар. 805–807.

Шийдэл, тайлбар

500. Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь хос тоо мөн үү:

a) (0; 3); б) (–3; 2).

Шийдэл. a) 0 + 5-аас хойш 3, тэгвэл хос тоо (0; 3) нь системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдэл биш тул тэгшитгэлийн системийн шийдэл биш юм.

б) –3 + 5 = 2, (–3) 2 + (–3)2 – 3 = 0 тул (–3; 2) хос тоо нь тэгшитгэлийн системийн шийдэл болно.

501. Энэ нь тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм
Гурвалсан тоо:

a) (1; –1; 1); б) (1; 1; 1).

Шийдэл. a) 1 – 1 + 1 3 тул гурвалсан тооны тоо (1; –1; 1) нь системийн эхний тэгшитгэлийн шийдэл биш тул тэгшитгэлийн системийн шийдэл биш юм.

б) 1 + 1 + 1 = 3, 1 –1 – 1 –2 тул тооны гурвалсан тоо (1; 1; 1) нь системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдэл биш тул тэгшитгэлийн систем.

Нэмэлт даалгавар

1. Ямар үнээр ахос тоо (2; –1) нь тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм

Шийдэл.Болъё а- хос тоо (2; –1) нь тэгшитгэлийн системийн шийдэл болох тодорхой тоо, тэгвэл хоёр тоон тэгшитгэл үнэн болно.

1) 2а 2 + а= 21 ба 2) 10 + а = а 2 + 4,

тэгшитгэл гэж үзэж болно а. Тэгшитгэл 2) хоёр үндэстэй: а 1 = 3 эсвэл а 2 = –2. Тоо а 1 нь тэгшитгэлийн үндэс 1) ба тоо а 2 = –2 - үгүй, тиймээс, хэзээ а= 3 хос тоо (2; –1) нь тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм. Мөн бусад утга А, асуудлын нөхцөлийг хангаж, байхгүй байна.

9.2. Рационал тэгшитгэлийн системийн шийдийг орлуулах арга

Энэ догол мөрөнд гурван жишээн дээр бид эхний тэгшитгэлийн дор хаяж нэг тэгшитгэл байгаа рационал тэгшитгэлийг орлуулах замаар хэрхэн шийдэж болохыг харуулав.

Хянах даалгавар.Энэ зүйлийг судлахдаа та даалгаврыг ашиглаж болно 810.

Шийдэл, тайлбар

512. Тэгшитгэлийн системийг шийд:

G)
г)

Шийдэл.г) илэрхийлэх xдамжуулан yсистемийн хоёр дахь тэгшитгэлээс болон орлуулах yОронд нь + 1 x

(1)

Одоо (1) системийн эхний тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид түүний хоёр үндсийг олно y 1 = –4 ба y 2 = 3. (1) системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид харгалзах утгуудыг олж авна x: x 1 = –3 ба x 2 = 4.

г) илэрхийлэх yдамжуулан xсистемийн хоёр дахь тэгшитгэлээс 3 – 3-ыг орлуулах xоронд нь yЭхний тэгшитгэлд бид системийг дараах хэлбэрээр дахин бичнэ.

(2)

Одоо (2) системийн эхний тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид түүний хоёр үндсийг олно x 1 = ба
x 2 =. (2) системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид харгалзах утгыг олж авна y: y 1 = – ба y 2 = 2.

Хариулах. d) (–3; –4), (4; 3); D 2).

Завсрын хяналт. S-21.

9.3. Рационал тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх бусад аргууд

Энэ догол мөрөнд оновчтой тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээнүүдэд дүн шинжилгээ хийсэн болно - тэгшитгэл нэмэх арга, шинэ үл мэдэгдэхийг нэвтрүүлэх арга, төгс квадратуудыг тусгаарлах, хүчин зүйлжүүлэх арга. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалтыг ашигладаг. Заримдаа системийг шийдэхэд хоёр тооны квадратуудын нийлбэр тэг болно гэдгийг мэдэх нь зөвхөн эдгээр тоонууд нь тэг байхад тусалдаг.

Хянах даалгавар.Энэ зүйлийг судлахдаа та даалгаврыг ашиглаж болно 820.

Шийдэл, тайлбар

517. Тэгшитгэлийн системийг шийд:

V)
г)

Шийдэл.в) Системийн эхний тэгшитгэлийг энэ системийн хоёр тэгшитгэлийн нийлбэрээр орлуулъя. Бид анхны системтэй тэнцэх системийг олж авдаг:

(1)

Одоо (1) системийн эхний тэгшитгэлийн төгс квадратуудыг сонгоцгооё:

(2)

Хоёр тооны квадратуудын нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байх тул эдгээр тоонууд нь тэг байвал (2) системийн эхний тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй (2; –6) байна. Энэ хос тоо нь (2) системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдэл тул (2) систем ба түүнтэй тэнцэх анхны системийн шийдэл юм.

e) Үл мэдэгдэх өөрчлөлтийг хийцгээе: а= ба б= . Системийг дараах хэлбэрээр дахин бичье.

(3)

Систем (3) нь өвөрмөц шийдэлтэй: а 1 = 1, б 1 =. Тиймээс e) систем нь бас өвөрмөц шийдэлтэй: x 1 = 1, y 1 = 2.

Хариулах.в) (2; –6); e) (1; 2).

512. g) Тэгшитгэлийн системийг шийд

Шийдэл.Ихэнхдээ ийм системийн шийдлийг энэ системийг ижил төстэй системээр солих замаар бичдэг.

(4)

Тэнцүүлэлтийн тэмдэг () нь багшид зориулагдсан боловч математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай ангид үүнийг ашиглаж болно.

Сүүлийн системийн (4) хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах хос тоонууд юм ( x; y), эдгээр нь тэгшитгэлийн дор хаяж нэгний шийдэл юм:

1) x + y= 1 ба 2) x + y = –1.

Тиймээс анхны системийн бүх шийдлүүд нь хоёр системийн бүх шийдлүүдийн нэгдэл юм.

3)
ба 4)

3) ба 4) системийг шийдсэний дараа бид анхны системийн бүх шийдлүүдийг олж авдаг: (–1; 2), (2; –1), (1; –2), (–2; 1).

Хариулах. (–1; 2), (2; –1), (1; –2), (–2; 1).

518. Тэгшитгэлийн системийг шийд:

A)
V)
ба)

Шийдэл. a) Шинэ үл мэдэгдэх зүйлийг нэвтрүүлэх замаар а = x 2 – 4y
. Энэ нь нэг үндэстэй а= 1. Энэ систем нь системтэй тэнцэнэ гэсэн үг

(5)

Системийн (5) тэгшитгэлийг нэмж, системийн эхний тэгшитгэлийг үүссэн тэгшитгэлээр орлуулснаар бид (5) системтэй тэнцэх шинэ системийг олж авна.

(6)

Системийн эхний тэгшитгэлийн (6) бүрэн квадратуудыг тусгаарласны дараа бид (6) системийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

(7)

Одоо (7) системийн эхний тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй болох нь тодорхой байна. x 1 = 3, y 1 = 2. Шалгаж үзэхэд энэ хос тоо нь (7) системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдэл бөгөөд энэ нь (7) систем ба түүнтэй тэнцэх анхны системийн шийдэл гэсэн үг юм.

Тиймээс анхны систем нь өвөрмөц шийдэлтэй (3; 2).

в) Шинэ үл мэдэгдэх зүйлийг нэвтрүүлэх замаар а =
, бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр дахин бичнэ.
. Энэ нь хоёр үндэстэй: а 1 = 1 ба а 2 = –4. Тиймээс анхны системийн бүх шийдлүүд нь хоёр системийн бүх шийдлүүдийн нэгдэл юм.

1)
ба 2)

Орлуулах ашиглах y = 9 – x, бид систем бүрийг шийдэж, 1) систем нь өвөрмөц шийдэлтэй (6; 3), 2) систем нь өвөрмөц шийдэлтэй (14; –5) болохыг олж мэдэв.

Тиймээс анхны систем нь хоёр шийдэлтэй байна: (6; 3), (14; –5).

g) Системийг дараах хэлбэрээр дахин бичье.

(8)

Хэрэв хос тоо ( x 0 ; y 0) нь (8) системийн шийдэл бөгөөд дараах тоон тэгшитгэлүүд үнэн болно. x 0 (9x 0 + 4y 0) = 1 ба y 0 (9x 0 + 4y 0) = -2. Эдгээр тоон тэгш байдлын хоёр тал нь тэг биш гэдгийг анхаарна уу, тиймээс эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь томьёогоор хуваахад бид шинэ тоон тэгшитгэлийг олж авна.
. Үүнээс үүдэн үүнийг дагадаг y 0 = –2x 0 . Өөрөөр хэлбэл (8) системийн хайж буй шийдлүүд нь системийн шийдэл юм

(9)

(9) системийг шийдсэний дараа бид түүний хоёр шийдлийг олж авна: (1; –2), (–1; 2).

Шалгаснаар бид эдгээр хос тоо хоёулаа анхны системийн шийдэл гэдэгт итгэлтэй байна.

Хариулах. a) (3; 2); в) (6; 3), (14; –5); g) (1; –2), (–1; 2).

Сэтгэгдэл. g) асуудлыг шийдвэрлэх явцад бид (9) системийн анхны системтэй тэнцэх эсэхийг нотлоогүй боловч дээрх үндэслэлээс үзэхэд анхны системийн аливаа шийдэл нь (9) системийн шийдэл болно гэдгийг анхаарна уу. , систем (9) нь анхны системийн үр дагавар бөгөөд (9) системийн шийдэл бүр нь анхны системийн шийдэл мөн эсэхийг шалгах шаардлагатай. Мөн энэ шалгалт нь системийн шийдлийн зайлшгүй хэсэг юм.

Үнэн хэрэгтээ (9) систем нь анхны системтэй дүйцэхүйц байгаа нь доорх мэдэгдлээс харагдаж байна.

Нэмэлт даалгавар

1. Тэгшитгэлийн системийг шийд

A)
б)

V)
G)

Шийдэл. a) Эхний тэгшитгэлд төгс квадратуудыг тусгаарласны дараа бид үүнийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

(x – 3) 2 + (y – 1) 2 = 0. (1)

Системийн эхний тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байгаа нь тодорхой байна. x 1 = 3, y 1 = 1. Шалгаснаар бид энэ хос нь хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдэл, тиймээс тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэдэгт итгэлтэй байна.

b) Үүнтэй адилаар бид системийн өвөрмөц шийдлийг олж авна (–2, 0.5).

в) Системийн эхний тэгшитгэлийн зүүн талыг хүчин зүйлээр ангилъя.

x 2 – 7xy + 12y 2 = x 2 – 3xy – 4xy + 12y 2 = x(x – 3y) – 4y(x– 3y) = (x – 3y)(x – 4y).

Энэ системийг маягтаар дахин бичье

(2)

Одоо (2) системийн бүх шийдлүүд нь хоёр системийн бүх шийдлүүдийн нэгдэл болох нь тодорхой байна.

1)
ба 2)

Систем 1) нь хоёр шийдэлтэй: (3; 1), (–3; –1). Систем 2) нь мөн хоёр шийдэлтэй: (12; 3), (–12; –3). Тиймээс анхны систем нь дөрвөн шийдэлтэй байна: (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3).

d) Анхны системийг дараах хэлбэрээр дахин бичье.

(3)

Мэдээжийн хэрэг (3) системийн эхний тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй:
(3; -2). Шалгаснаар энэ нь (3) системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдэл болохыг харуулж байгаа тул (3) систем, тиймээс анхны систем (3; –2) өвөрмөц шийдэлтэй байна.

Хариулах. a) (3; 1); b) (-2, 0.5); в) (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3); d) (3; -2).

2. Мэдэгдэлийг нотлох: хэрэв е (x, y) Мөн g (x, y) -тай холбоотой олон гишүүнтүүд xТэгээд y, аТэгээд б- тоо, б 0 бол систем 1 нь тэнцүү байна)
ба 2)

Баталгаа. 1. Хос тоо ( x 0 ; y 0) нь 1-р системийн шийдэл бол дараах тоон тэгшитгэлүүд үнэн болно. е(x 0 , y 0) = аТэгээд g(x 0 , y 0) = б. Учир нь б 0, тэгвэл g(x 0 , y 0) 0, тиймээс тоон тэгш байдал нь үнэн:
. Энэ нь 1) системийн аливаа шийдэл нь 2) системийн шийдэл гэсэн үг юм.

2. Одоо хос тоо ( x 0 ; y 0) нь 2-р системийн шийдэл бөгөөд тоон тэгшитгэл нь үнэн болно: ба g(x 0 , y 0) = б. Учир нь б 0, тэгвэл g(x 0 , y 0) 0, тиймээс эхний тоон тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр тэнцүү тоогоор үржүүлнэ. g(x 0 , y 0) ба б, бид шинэ зөв тоон тэгшитгэлийг авна: е(x 0 , y 0) = а. Энэ нь 2) системийн аливаа шийдэл нь 1) системийн шийдэл гэсэн үг юм.

3. 1) систем шийдэлгүй, 2) систем шийдэлтэй гэж бодъё. Дараа нь дээрх нотлох баримтын 2-р цэгээс 1) систем шийдэлтэй байна. Үүний үр дүнд үүссэн зөрчил нь гаргасан таамаглал буруу болохыг харуулж байна. Энэ нь хэрэв 1) системд шийдэл байхгүй бол 2) системд шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.

Хэрэв 2) системд шийдэл байхгүй бол 1) системд шийдэл байхгүй болох нь үүнтэй адил нотлогдсон.

Дээрх нотолгооноос үзэхэд 1) ба 2) системүүд нь эквивалент бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байна.

Системийг шийдэх жишээг өгье 518, болон энэ мэдэгдлээр.

Сүүлийн системийг шийдсэний дараа бид түүний хоёр шийдлийг олж авдаг: (1; –2), (–1; 2), иймээс анхны систем нь хоёр шийдэлтэй байна: (1; –2), (–1; 2).

3. Тэгшитгэлийн системийг шийд:

A)
б) в)

Шийдэл. a) Анхны систем нь системтэй тэнцүү байна

Үүнийг бид дараах байдлаар дахин бичдэг.

(4)

Систем (4) нь өвөрмөц шийдэлтэй (1; 2). Тиймээс анхны систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг (1; 2).

б) Бид анхны системийг маягтаар дахин бичдэг

Энэ систем нь системтэй тэнцүү байна:

(5)

Систем (5) нь өвөрмөц шийдэлтэй (–1; –5). Тиймээс анхны систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг (–1; –5).

в) Анхны систем нь системтэй тэнцүү байна

эсвэл систем

(6)

Систем (6) нь хоёр шийдэлтэй (1; 2; –2), (–1; –2; 2). Тиймээс анхны систем нь мөн хоёр шийдэлтэй (1; 2; –2), (–1; –2; –2).

Хариулах. a) (1; 2); б) (–1; –5); в) хоёр шийдэл (1; 2; –2), (–1; –2; –2).

Завсрын хяналт. S-22, S-23, S-24*.

9.4. Рационал тэгшитгэлийн системийг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх

Энэ догол мөрөнд оновчтой тэгшитгэлийн системд хүргэдэг үгийн асуудлын шийдлүүдийг шинжлэх болно. Та шинэ материалыг хялбархан даалгавраар тайлбарлаж эхэлж болно 513, 514, 519, 520 .

Хянах даалгавар.Энэ зүйлийг судлахдаа та даалгаврыг ашиглаж болно 820, 952.

Шийдэл, тайлбар

513. a) 171 тоог хоёр хүчин зүйлд хуваа, тэдгээрийн нийлбэр нь 28-тай тэнцүү байна.

Шийдэл.Болъё x- эхний хүчин зүйл, y - хоёр дахь үржүүлэгч. Тэгшитгэлийн системийг байгуулъя:

Системийг шийдсэний дараа бид хоёр шийдлийг олж авна. x 1 = 9, y 1 = 19 ба x 2 = 19, y 2 = 9. Энд хүчин зүйлсийн дараалал чухал биш тул шаардлагатай хүчин зүйлүүд нь 9 ба 19 байна.

Хариулах. 9 ба 19.

519. a) Эхний тооны квадрат дээр хоёр дахь тоог хоёр дахин нэмбэл (–7), эхний тооноос хоёр дахь тоог хасвал 11 болно. Эдгээр тоог ол.

Шийдэл.Болъё х-эхний тоо, у-хоёр дахь тоо. Асуудлын нөхцөл дээр үндэслэн хоёр тэгшитгэлийг байгуулъя: x 2 + 2y= –7 ба x – y= 11. Эдгээр тэгшитгэлийн системийг шийдсэний дараа бид түүний хоёр шийдийг олж авна: (–5; –16), (3; –8).x = 6 ба y= 4, өөрөөр хэлбэл шаардлагатай тоо нь 64 байна.

Хариулах. 64.

522. б) Хоёр ажилчин хамтдаа ажиллаж, 5 хоногийн дотор бүх ажлыг гүйцэтгэсэн. Хэрэв эхний ажилчин хоёр дахин хурдан, хоёр дахь ажилчин хоёр дахин удаан ажилласан бол тэд 4 хоногийн дотор бүх ажлыг дуусгах болно. Эхний ажилчин энэ ажлыг хэдэн өдрийн дотор дуусгах вэ?

Шийдэл. Iарга зам.Заавал xТэгээд yөдөр, эхний болон хоёр дахь ажилчид тус тус бүх ажлыг дуусгах болно. Тэд хамтарч ажиллавал 5 хоногийн дотор ажлаа дуусгана. Эхний тэгшитгэлийг хийцгээе:
.

Хэрэв эхнийх нь 2 дахин хурдан, хоёр дахь нь 2 дахин удаан ажилласан бол өдөрт дуусгах болно. тус тус бүх ажил 4 хоногийн дотор дуусна. Хоёр дахь тэгшитгэлийг байгуулъя:

.

952. 20 үнээ зарвал хураасан өвс арав хоногоор удаан хадгалагдана, харин 30 үнээ авбал арав хоногийн өмнө өвс нь дуусна. Хэдэн үхэр байсан, хэдэн өдөр өвс хадгалсан бэ?

Шийдэл.Заавал xүнээ хадлан бэлтгэсэн yөдрүүд. Асуудлын нөхцөл байдлын талаар товч бичье.

үнээний тоо өдрийн тоо

Тогтмол хадлан нийлүүлэх үед өдрийн тоо нь үнээний тоотой урвуу хамааралтай байдаг тул бид эхний тэгшитгэлийг байгуулна.
.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг ижил аргаар үүсгэцгээе.
.

Эдгээр тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй: x = 120, y= 50. Өөрөөр хэлбэл 120 үнээний өвсийг 50 хоног хадгалсан.

Хариулах. 120 үнээний хувьд 50 хоног.

Математикийн багш

"Белгородын 5-р гимнази" хотын боловсролын байгууллага

Хичээлийн сэдэв: Рационал тэгшитгэл.

Анги: 10-р анги.

UMK : Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: сурах бичиг. 10кл-ийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [S.M.Nikolsky, M.K. Потапов].-5-р хэвлэл, нэмэлт-М.: Боловсрол, 2006.-432 х. х.65-74., 45-47.

Хичээлийн зорилго:

Боловсролын: үндсэн сургуулиас мэдэгдэж буй оновчтой илэрхийллийн талаархи мэдээллийг системчлэх, нэгтгэх; рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга замыг харуулах;

Хөгжүүлэх: Төрөл бүрийн аргуудыг ашиглан янз бүрийн төрлийн оновчтой тэгшитгэлийн судалгааг өргөжүүлэх, гүнзгийрүүлэх.

Боловсролын: Математикийн хэсэгт судалж буй сэдвийн ач холбогдлыг харуулах.

Хичээлийн төрөл: хичээл-лекц.

Хичээлийн бүтэц:

1. Хичээлийн зорилгоо тодорхойлох (1 мин).
2. Шинэ материалыг судлахад бэлтгэх (2 мин).
3. 3.Шинэ материалын танилцуулга (38 мин).
4. 4. Хичээлийн хураангуй (2 мин)
5. 5. Гэрийн даалгавар (2 мин)

Хичээлийн хэрэгсэл: интерактив самбар, проектор, компьютер.

Хичээлийн үеэр:

Төлөвлөгөө.

1. Рационал илэрхийлэл.

2. Рационал тэгшитгэл.

3. Рационал тэгшитгэлийн системүүд.

I. Давталт.

Алгебр нь тэгшитгэлийг ашиглан практик асуудлыг шийдвэрлэхээс үүдэлтэй. Алгебрийн зорилго олон мянган жилийн турш өөрчлөгдөөгүй хэвээр байсан - тэгшитгэлүүд шийдэгдсэн: эхлээд шугаман, дараа нь квадрат, дараа нь бүр илүү өндөр түвшний тэгшитгэлүүд. Гэвч алгебрийн үр дүнг танилцуулах хэлбэр нь танигдахын аргагүй өөрчлөгдсөн.

Тэгшитгэл бол математикийн асуудлын хамгийн түгээмэл хэлбэр юм. Тэгшитгэлийг судлах нь сургуулийн алгебрийн хичээлийн үндсэн агуулга юм. Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэг гишүүнт, олон гишүүнт, алгебрийн бутархай дээр үйлдэл хийх, үржвэрлэх, хаалт нээх зэрэг чадвартай байх хэрэгтэй.Мэдлэгээ цэгцлэх хэрэгтэй. Бид тоймыг "онцгой илэрхийлэл" гэсэн ойлголтоос эхэлнэ. Суурь сургуулиас мэддэг оновчтой илэрхийллийн талаархи оюутны илтгэл. Тиймээс үйл ажиллагааны хуулиудыг судлахгүйгээр тэгшитгэлийг судлах боломжгүй юм.

II. Гол хэсэг.

Тэгшитгэлийн үзэл баримтлалын гол зүйл бол түүний шийдлийн асуултыг томъёолох явдал юм. Зүүн ба баруун тал нь х-ийн рационал илэрхийлэл болох тэгшитгэлийг үл мэдэгдэх х-тэй рационал тэгшитгэл гэнэ.

Жишээлбэл, 5x тэгшитгэл 6 - 9х 5 + 4х - 3х + 1 = 0, оновчтой байдаг.

Үл мэдэгдэх х-тэй тэгшитгэлийн үндэс (эсвэл шийдэл) нь тэгшитгэлд x-ийн оронд орлуулснаар жинхэнэ тоон тэгшитгэлийг үүсгэдэг тоо юм.

Тэгшитгэлийг шийдэх нь түүний бүх үндсийг олох эсвэл байхгүй гэдгийг харуулах гэсэн үг юм. Рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр тоогоор үржүүлж хуваах, тэгшитгэлийн гишүүдийг нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлэх, алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах дүрмийг хэрэглэх шаардлагатай. Үр дүн нь өмнөхтэй тэнцэх тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл ижил үндэстэй тэгшитгэл, зөвхөн тэдгээртэй тэнцүү байх болно.

Бидний судалсан стандарт тэгшитгэлүүдийг жагсаацгаая. Оюутны хариулт (шугаман тэгшитгэл, квадрат тэгшитгэл, хамгийн энгийн чадлын тэгшитгэл x n =a). Тэгшитгэлийг стандартын аль нэгэнд хөрвүүлэх нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол алхам юм. Хөрвүүлэх үйл явцыг бүрэн алгоритмжуулах боломжгүй боловч бүх төрлийн тэгшитгэлд нийтлэг байдаг зарим арга техникийг санах нь зүйтэй.

1).A(x) B(x) = O хэлбэрийн тэгшитгэлийг A(x) болон B(x) нь х-тэй харьцуулахад олон гишүүнт гэж нэрлэдэг.муудах тэгшитгэл.

Задардаг тэгшитгэлийн бүх язгуурын олонлог нь A(x)=0 ба B(x)=0 хоёр тэгшитгэлийн бүх язгуурын олонлогуудын нэгдэл юм. А(x) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлд хүчин зүйлчлэлийн аргыг хэрэглэнэ. Энэ аргын мөн чанар: A(x)=0 тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй, A(x)=A 1 (х)А 2 (х)А 3 (X). A(x) = 0 тэгшитгэлийг энгийн тэгшитгэлийн багцаар сольсон: А 1 (x)=0.A 2 (x)=0.A 3 (x)=0. Энэ олонлогийн тэгшитгэлийн язгуурыг олж, шалгана уу. Үржүүлэх аргыг голчлон рационал ба тригонометрийн тэгшитгэлд ашигладаг.

ЖИШЭЭ 1.

(x 2 - 5x + 6) (x 2 + x - 2) = 0 тэгшитгэлийг шийдье.

Тэгшитгэл нь хоёр тэгшитгэлд хуваагдана.

x 2 - 5x + 6 = 0 x 1 = 2 ба x 2 = 3

x 2 + x - 2 = 0. x 3 = -2 ба x 4 = 1

Энэ нь анхны тэгшитгэл нь x үндэстэй гэсэн үг юм 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = -2, x 4 =1.

Хариулах. -2; 1; 2; 3.

ЖИШЭЭ. x тэгшитгэлийг шийдье 3 -7x+6=0.

x 3 -x-6x+6=0

x(x 2 -1)-6(x-1)=0

x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0

(x-1)(x(x+1)-6)=0

(x-1)(x 2 +x-6)=0

x-1=0, x 1 =1; x 2 + x-6 = 0, x 2 = 2, x 3 = -3.

Хариулт:1;2;-3.

2).Хэлбэрийн тэгшитгэл, энд A(x) ба B(x) олон гишүүнт байна x-тэй харьцангуй.

ЖИШЭЭ 2.

Тэгшитгэлээ шийдье

Эхлээд тэгшитгэлээ шийдье

x 2 + 4x - 21 = 0. x 1 = 3 ба x 2 = -7

Эдгээр тоог анхны тэгшитгэлийн зүүн талын хуваагч руу орлуулснаар бид олж авна

x 1 2 - x 1 -6 = 9-3-6 = 0,

x 2 2 - x 2 - 6 = 49 + 7 - 6 = 50 ≠0.

Энэ нь х тоо болохыг харуулж байна 1 = 3 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш, харин х тоо юм 2 =- 7 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хариулах. -7.

3).Хэлбэрийн тэгшитгэл

Энд A(x), B(x), C(x) ба D(x) нь х-тэй холбоотой олон гишүүнт бөгөөд ихэвчлэн дараах дүрмийн дагуу шийдэгддэг.

A(x) D(x) - C(x)·B(x) = 0 тэгшитгэлийг шийдэж, тэгшитгэлийн хуваагчийг арилгадаггүйг нь үндэснээс нь сонгоно.

ЖИШЭЭ 3.

Тэгшитгэлээ шийдье

Тэгшитгэлээ шийдье

x 2 - 5х + 6 - (2х + 3) (х - 3) = 0.

x 2 + 2x - 15 = 0

x 1 = -5 ба x 2 = 3.

Тоо x 1 x - 3 гэсэн хуваарийг алга болгодоггүй, харин x тоог арилгадаг 2 хувиргадаг. Тиймээс тэгшитгэл нь нэг язгуур = -5 байна.

Хариулах. -5.

Рационал тэгшитгэлийн үндсийг олох нь ихэвчлэн үл мэдэгдэх зүйлийг орлуулахад тусалдаг. Шинэ хувьсагчийг амжилттай нэвтрүүлэх чадвар нь математикийн соёлын чухал элемент юм. Шинэ хувьсагчийн амжилттай сонголт нь тэгшитгэлийн бүтцийг илүү ил тод болгодог.

ЖИШЭЭ 4.

x тэгшитгэлийг шийдье 8 + 4х 6 -10х 4 + 4х 2 + 1 = 0.

Тоо x 0 = 0 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

x 4 + 4x 2 - 10 + + =0

t = гэж тэмдэглэе, тэгвэл x 4 + =t 2 -2,

бид t 2 + 4t - 12 = 0, x 1 = 2 ба x 2 = -6 болно.

Тиймээс бид хоёр тэгшитгэлийн бүх язгуурыг нэгтгэж тэгшитгэлийн язгуурыг олно.=2, ба =-6,

Эхний тэгшитгэл нь -1 ба 1 гэсэн хоёр үндэстэй, хоёр дахь тэгшитгэл нь бодит язгуургүй тул тэгшитгэл нь зөвхөн хоёр үндэстэй: -1 ба 1. Хариулт. -1; 1.

4). Симметрик тэгшитгэл.

Хэд хэдэн хувьсагчтай олон гишүүнт хэлбэр нь эдгээр хувьсагчийн орлуулалтаар өөрчлөгдөхгүй бол түүнийг тэгш хэмт олон гишүүнт гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, олон гишүүнт x + y, a 2 + b 2 - 1, zt ба 5a 3 + 6ab + 5b 3 - хоёр хувьсагчийн тэгш хэмтэй олон гишүүнт, x + y + z олон гишүүнт, a 3 + b 3 + в 3 , - гурван хувьсагчийн тэгш хэмтэй олон гишүүнт.

Үүний зэрэгцээ олон гишүүнт x - y, a 2 –b 2 ба a 3 + ab – b 3 - тэгш хэмт бус олон гишүүнт.

Тэгшитгэл ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0, энд a R/ ,b R, c R-ийг тэгш хэмтэй дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй:

1).Тэгшитгэлийн хоёр талыг х-д хуваа 2 гарч ирсэн илэрхийллүүдийг бүлэглээрэй:.

2).Хувьсагчийн танилцуулгатэгшитгэлийг квадрат болгон бууруулсан.

Жишээ.

x тэгшитгэлийг шийд 4 +5х 3 +4х 2 -5х+1=0.

0 тоо нь тэгшитгэлийн үндэс биш юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг х-д хуваа 2 ≠0.

Хариулах. .

Рационал тэгшитгэлийн системүүд.

Хэд хэдэн хэмжигдэхүүн нь тодорхойгүй асуудлыг шийдвэрлэх үед тэгшитгэлийн системүүд гарч ирдэг. Эдгээр хэмжигдэхүүнүүд нь тэгшитгэл хэлбэрээр бичигдсэн тодорхой хамаарлаар холбогддог.

Зүүн ба баруун тал нь x ба y-ийн рационал илэрхийлэл болох тэгшитгэлийг х ба у хоёр үл мэдэгдэх рационал тэгшитгэл гэнэ.

Хэрэв бид x ба y хоёр үл мэдэгдэх х ба у бүхий өгөгдсөн тэгшитгэл бүрийн шийдэл болох бүх хос тоонуудыг олох шаардлагатай бол бид x ба y хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй гэж хэлнэ. , мөн ийм хос бүрийг энэ системийн шийдэл гэж нэрлэдэг.

Үл мэдэгдэхийг бусад үсгээр тэмдэглэж болно. Үл мэдэгдэх тоо нь хоёроос их байх тэгшитгэлийн системийг ижил төстэй аргаар тодорхойлно.

Хэрэв тэгшитгэлийн эхний системийн шийдэл бүр хоёр дахь системийн шийдэл, хоёр дахь системийн шийдэл бүр эхний системийн шийдэл байвал ийм системийг эквивалент гэж нэрлэдэг. Ялангуяа шийдэлгүй хоёр системийг эквивалент гэж үздэг.

Жишээлбэл, системүүд нь ижил төстэй байдаг

1). Орлуулах арга.

ЖИШЭЭ 1. Тэгшитгэлийн системийг шийдье

Системийн эхний тэгшитгэлээс y-ээс x-г илэрхийлснээр бид тэгшитгэлийг олж авна.

y = 3x - 1.

5х тэгшитгэлийг шийдэх 2 -4(3х-1)+3(3х-1) 2 =9, түүний язгуурыг ол 1 = 1 ба x 2 = . Олдсон х тоог орлуулах 1 ба x 2 y = 3x - 1 тэгшитгэлд бид у-г авна 1 = 2

ба у = Тиймээс систем нь хоёр шийдэлтэй байна: (1; 2) ба (; )

Хариулах. (12), (; )

2). Алгебрийн нэмэх арга.

ЖИШЭЭ 2. Тэгшитгэлийн системийг шийдье

Системийн эхний тэгшитгэлийг хэвээр үлдээж, эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь нь нэмснээр бид системтэй тэнцэх системийг олж авна.

Системийн бүх шийдлүүд нь хоёр системийн бүх шийдлүүдийн нэгдэл юм.

(2; 1), (-2; -1),

Хариулах. (2; 1), (-2; -1), .

3). Шинэ үл мэдэгдэх зүйлийг нэвтрүүлэх арга.

ЖИШЭЭ 3. Тэгшитгэлийн системийг шийдье

u = xy, v = x - y гэж тэмдэглэснээр бид системийг хэлбэрээр дахин бичнэ

Үүний шийдлүүдийг олцгооё: u 1 = 1, v 1 = 0 ба u 2 = 5, v 2 = 4. Иймээс системийн бүх шийдлүүд нь хоёр системийн бүх шийдлүүдийн нэгдэл болно.

Орлуулах аргыг ашиглан эдгээр систем бүрийг шийдсэний дараа бид системийн шийдлүүдийг олдог: (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).

Хариулах. (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).

4). Ах хэлбэрийн тэгшитгэл 2 + bxy + su 2 = 0, энд a, b, c-д тэгээс өөр тоо өгөгдсөн бол х ба у үл мэдэгдэх нэг төрлийн тэгшитгэл гэнэ.

Нэг төрлийн тэгшитгэл байгаа тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

ЖИШЭЭ 4. Тэгшитгэлийн системийг шийдье

t = гэж тэмдэглэнэ , бид системийн эхний тэгшитгэлийг t хэлбэрээр дахин бичнэ 2 +4т+3=0.

Тэгшитгэл нь t гэсэн хоёр үндэстэй 1 = -1 ба t 2 = -3 тул системийн бүх шийдлүүд нь хоёр системийн бүх шийдлүүдийн нэгдэл юм.

Эдгээр систем бүрийг шийдсэний дараа бид системийн бүх шийдлүүдийг олдог.

(2,5; -2,5), (0,5; -0,5), ,(1,5;-0,5).

Хариулах. (2.5; -2.5), (0.5; -0.5),,(1,5;-0,5).

Зарим системийг шийдэхдээ тэгш хэмтэй олон гишүүнтүүдийн шинж чанарын талаархи мэдлэг нь тусалдаг.

Жишээ.

Шинэ үл мэдэгдэх α = x + y ба β = xy, дараа нь x гэж оруулъя 4 +у 4 = α 4 -4 α 2 β+2 β 2

Тиймээс системийг маягтаар дахин бичиж болно

β: β-ийн квадрат тэгшитгэлийг шийдье 1 =6, β 2 =44.

Тиймээс системийн бүх шийдэл нь нэгдэл юм

Хоёр системийн бүх шийдэл:

Эхний систем нь x хоёр шийдэлтэй 1 = 2, у 1 = 3 ба x 2 = 3, у 2 =2, хоёр дахь систем нь бодит шийдэлгүй. Тиймээс системд хоёр шийдэл байна: (x: 1 ; y 1) ба (x 2;y 2)

Хариулах. (2; 3), (3; 2).

Өнөөдөр бид рационал тэгшитгэлийн сэдвийг судалсны үр дүнг нэгтгэв. Сургуулийн тэгшитгэлийн шугамыг бүхэлд нь үндэслэсэн ерөнхий санаа, ерөнхий аргуудын талаар бид ярилцсан.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг тодорхойлсон:

1) хүчин зүйлчлэлийн арга;

2) шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга.

Бид тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргын талаархи ойлголтоо өргөжүүлсэн.

Дараагийн 4 хичээл дээр бид практик дасгал хийх болно. Үүнийг хийхийн тулд та онолын материалыг сурч, сурах бичгээс тэгшитгэл ба тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргуудын 2 жишээг сонгох хэрэгтэй, 6-р хичээлд энэ сэдвээр семинар зохион байгуулагдах бөгөөд үүний тулд та асуулт бэлтгэх хэрэгтэй. : Ньютоны бином томьёо, 3.5 зэрэгтэй тэгш хэмтэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Энэ сэдвийн эцсийн хичээл бол тест юм.

Уран зохиол.

1. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: сурах бичиг. 10кл-ийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [S.M.Nikolsky, M.K. Потапов].-5-р хэвлэл, нэмэлт-М.: Боловсрол, 2006.-432 х. х.65-74., 45-47.
2. Математик: Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх хариултууд болон төгсөлтийн болон элсэлтийн шалгалтын бусад хэлбэрүүд бүхий нарийн төвөгтэй сэдэвчилсэн даалгавруудыг сургах. Г.И. Ковалева, Т.И. Бузулина - Волгоград: Багш, 2009.-494 х. – хуудас 62-72,194-199.
3. Титаренко А.М. Математик: 9-11-р анги: 6000 бодлого, жишээ/А.М. Титаренко.-М.: Эксмо, 2007.-336 х.

Тэгшитгэлийн талаар ярих зүйл их байна. Математикийн энэ чиглэлээр математикчид хариулаагүй байгаа асуултууд байна. Магадгүй та нарын зарим нь эдгээр асуултын хариултыг олох болно.

Альберт Эйнштейн: “Би цагаа улс төр, тэгшитгэл хоёрын хооронд хуваах ёстой. Гэсэн хэдий ч тэгшитгэл нь миний бодлоор илүү чухал юм. Улс төр зөвхөн энэ мөчид л оршдог. Мөн тэгшитгэлүүд үүрд байх болно."

2-5-р хичээлүүд нь практик дасгалуудад зориулагдсан болно. Эдгээр хичээлүүдийн үйл ажиллагааны үндсэн төрөл бол лекцэд заасан онолын материалыг нэгтгэх, гүнзгийрүүлэх оюутнуудын бие даасан ажил юм. Тэд тус бүр дээр онолын асуултуудыг давтаж, оюутнуудаас судалгаа авдаг. Анги болон гэртээ бие даасан ажилд үндэслэн онолын асуултуудыг давтаж, өөртөө шингээж, янз бүрийн түвшний бэрхшээлийг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх зорилтот ажил хийж, оюутнуудаас санал асуулга авдаг. Зорилго: Лекцэнд заасан онолын материалыг нэгтгэн гүнзгийрүүлэх, практикт хэрэглэж сурах, ердийн жишээ, бодлого шийдвэрлэх алгоритмуудыг эзэмшиж, суралцаж буй хэсгийн үндсэн агуулгыг хөтөлбөрийн шаардлагын түвшинд бүх оюутнуудад ойлгуулах. .

Семинарт 6, 7-р хичээлийг хуваарилсан бөгөөд 6-р хичээл дээр семинар, 7-р хичээлд тест хийх нь зүйтэй.

Хичээл-семинар төлөвлөгөө.

Зорилго: хамрагдсан материалыг давтах, гүнзгийрүүлэх, нэгтгэх, математикийн асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн арга, арга, арга техникийг дадлагажуулах, шинэ мэдлэг олж авах, стандарт бус нөхцөл байдалд мэдлэгийг бие даан хэрэгжүүлэхэд суралцах.

1. Хичээлийн эхэнд хөтөлбөрийн хяналтыг зохион байгуулна. Ажлын зорилго нь энгийн дасгалуудыг гүйцэтгэх ур чадвар, чадварыг хөгжүүлэхэд оршино. Хариултын дугаарыг буруу зааж өгсөн оюутнуудаас нүүрэн дээр нь асуух явцад багш аль даалгавар нь хүндрэл учруулсан болохыг олж мэдэв. Дараа нь алдааг арилгахын тулд аман эсвэл бичгийн ажил хийдэг. Програмчлагдсан хяналтыг хийхэд 10 минутаас илүүгүй хугацаа шаардагдана.

2. Онолын асуудлаар хэд хэдэн оюутнуудаас ялгасан судалгаа.

3. Тэгшитгэлийн тухай ойлголт үүсч хөгжсөн түүхэн мэдээлэл (оюутны захиас). Ньютоны бином томъёо. Гурав, дөрөв, тавдугаар зэрэглэлийн тэгш хэмтэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

x 4 -2x 3 -x 2 -2x+1=0

2x 4 +x 3 -11x 2 +x+2=0

x 5 -x 4 -3x 3 -3x 2 -x+1=0

2х 5 +3х 4 -5х 3 -5х 2 +3х+2=0

4. Жишээ шийдвэрлэх, оюутнуудын шалгалт өгөх бэлэн байдлыг шалгах нь семинарын үндсэн ажлын нэг юм.

Туршилт хийж байна.

Туршилт хийх нь оюутнуудын мэдлэгийн байнгын хяналтыг орхих гэсэн үг биш юм. Практик болон семинарын ангиудад үнэлгээ өгдөг. Зарим ердийн дасгалуудыг туршиж үзэх болно. Туршилтын явцад онолын ямар материал, дасгалуудыг танилцуулахыг оюутнуудад урьдчилан мэдэгдэнэ. Хэлэлцэж буй сэдвээр тест хийх картуудын аль нэгний агуулгыг толилуулъя.

1-р түвшин.

Тэгшитгэлийг шийд: (x+3) 4 +(x 2 +x-6) 2 =2(x-2) 4

X 2 +25 =24

(2х 2 -3х+1)(2х 2 -5х+1)=8х 2

2-р түвшин.

Тэгшитгэлийг шийд: x 4 +8х 3 +8х 2 -32х-9=0

8x 3 -12x 2 +x-7=0

Урьдчилан үзэх:

Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд нэвтэрнэ үү:

Бид дээрх тэгшитгэлийг § 7-д оруулсан. Эхлээд рационал илэрхийлэл гэж юу байдгийг эргэн санацгаая. Энэ нь тоонууд болон х хувьсагчаас бүрдэх алгебрийн илэрхийлэл бөгөөд натурал илтгэгчээр нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, илтгэх үйлдлүүд юм.

Хэрэв r(x) нь рационал илэрхийлэл бол r(x) = 0 тэгшитгэлийг рационал тэгшитгэл гэнэ.

Гэсэн хэдий ч бодит байдал дээр "рационал тэгшитгэл" гэсэн нэр томъёоны арай илүү өргөн тайлбарыг ашиглах нь илүү тохиромжтой: энэ нь h(x) = q(x) хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд h(x) ба q(x) нь энд байна. оновчтой илэрхийллүүд.

Өнөөг хүртэл бид ямар ч оновчтой тэгшитгэлийг шийдэж чадахгүй байсан бөгөөд зөвхөн нэг л тэгшитгэлийг янз бүрийн хувиргалт, үндэслэлийн үр дүнд бууруулсан байна. шугаман тэгшитгэл. Одоо бидний чадвар илүү их байна: бид зөвхөн шугаман биш харин буурдаг оновчтой тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.
mu, гэхдээ бас квадрат тэгшитгэлд.

Бид өмнө нь рационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж байсныг эргэн санаж, шийдлийн алгоритмыг томъёолохыг хичээцгээе.

Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье

Энэ тохиолдолд бид ердийнхөөрөө A = B ба A - B = 0 тэгшитгэлүүд нь A ба B хоорондын ижил хамаарлыг илэрхийлдэг давуу талыг ашигладаг. Энэ нь томьёог тэгшитгэлийн зүүн талд шилжүүлэх боломжийг бидэнд олгосон. эсрэг тэмдэг.

Тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргацгаая. Бидэнд байгаа

Тэгш байдлын нөхцлийг эргэн санацгаая бутархайтэг: зөвхөн хоёр харилцаа нэгэн зэрэг хангагдсан тохиолдолд:

1) бутархайн тоо нь тэг (a = 0); 2) бутархайн хуваагч тэгээс ялгаатай).
(1) тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бутархайн тоог тэгтэй тэнцүүлж, бид олж авна.

Дээр дурдсан хоёр дахь нөхцлийн биелэлтийг шалгахад л үлддэг. (1) тэгшитгэлийн хамаарал нь . x 1 = 2 ба x 2 = 0.6 утгууд нь заасан хамаарлыг хангаж байгаа тул (1) тэгшитгэлийн үндэс болж, өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс болно.

1) Тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлье

2) Энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргацгаая.

(тоологч дахь тэмдгүүдийг нэгэн зэрэг өөрчилсөн ба
бутархай).
Тиймээс өгөгдсөн тэгшитгэл хэлбэрийг авна

3) x 2 - 6x + 8 = 0 тэгшитгэлийг шийд. Ол

4) Олдсон утгуудын хувьд нөхцөлийн биелэлтийг шалгана уу . 4-ийн тоо энэ нөхцлийг хангаж байгаа боловч 2-ын тоо тийм биш юм. Энэ нь 4 нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс, 2 нь гадны үндэс гэсэн үг юм.
ХАРИУЛТ: 4.

2. Шинэ хувьсагч оруулах замаар рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга нь бид үүнийг нэгээс олон удаа ашиглаж байсан. Үүнийг рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашигладаг талаар жишээгээр харуулъя.

Жишээ 3. x 4 + x 2 - 20 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл. y = x 2 шинэ хувьсагчийг танилцуулъя. x 4 = (x 2) 2 = y 2 тул өгөгдсөн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

y 2 + y - 20 = 0.

Энэ бол квадрат тэгшитгэл бөгөөд түүний үндэс нь мэдэгдэж байгаа зүйлийг ашиглан олж болно томъёо; бид y 1 = 4, y 2 = - 5-ыг авна.
Гэхдээ y = x 2, энэ нь асуудлыг хоёр тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд бууруулсан гэсэн үг юм.
x 2 =4; x 2 = -5.

Эхний тэгшитгэлээс бид хоёр дахь тэгшитгэл нь үндэсгүй болохыг олж мэдэв.
Хариулт: .
ax 4 + bx 2 +c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг биквадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг ("bi" нь хоёр, өөрөөр хэлбэл нэг төрлийн "давхар квадрат" тэгшитгэл). Сая шийдсэн тэгшитгэл нь яг биквадрат байсан. Аливаа биквадрат тэгшитгэлийг жишээ 3-ын тэгшитгэлийн нэгэн адил шийддэг: шинэ y = x 2 хувьсагч оруулж, үүссэн квадрат тэгшитгэлийг у хувьсагчтай холбож шийдэж, дараа нь х хувьсагч руу буцна.

Жишээ 4.Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл. Энд ижил илэрхийлэл x 2 + 3x хоёр удаа гарч байгааг анхаарна уу. Энэ нь y = x 2 + 3x шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх нь утга учиртай гэсэн үг юм. Энэ нь бидэнд тэгшитгэлийг илүү энгийн бөгөөд тааламжтай хэлбэрээр дахин бичих боломжийг олгоно (үнэндээ энэ нь шинэ хувилбарыг нэвтрүүлэх зорилго юм. хувьсагч- мөн бичлэгийг хялбарчлах
илүү тодорхой болж, тэгшитгэлийн бүтэц илүү тодорхой болно):

Одоо оновчтой тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг ашиглая.

1) Тэгшитгэлийн бүх нөхцөлийг нэг хэсэг болгон шилжүүлье:

= 0
2) Тэгшитгэлийн зүүн талыг хувирга

Тиймээс бид өгөгдсөн тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлэв

3) Тэгшитгэлээс - 7y 2 + 29y -4 = 0-ийг бид оллоо (та бид хоёр маш олон квадрат тэгшитгэлийг шийдсэн тул сурах бичигт үргэлж нарийвчилсан тооцоолол өгөх нь үнэ цэнэтэй зүйл биш байж магадгүй юм).

4) Олдсон үндсийг 5 (y - 3) (y + 1) нөхцөлийг ашиглан шалгая. Хоёр үндэс нь энэ нөхцлийг хангадаг.
Тиймээс, y шинэ хувьсагчийн квадрат тэгшитгэлийг шийдэв.
y = x 2 + 3x, мөн y нь бидний тогтоосон 4 ба 2 утгыг авч байгаа тул бид хоёр тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай хэвээр байна: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx =. Эхний тэгшитгэлийн үндэс нь 1 ба - 4 тоонууд, хоёр дахь тэгшитгэлийн үндэс нь тоонууд юм.

Үзсэн жишээнүүдэд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга нь математикчдын хэлснээр нөхцөл байдалд тохирсон, өөрөөр хэлбэл энэ нь түүнд сайн нийцэж байсан. Яагаад? Тийм ээ, учир нь ижил илэрхийлэл тэгшитгэлд хэд хэдэн удаа тодорхой гарч ирсэн бөгөөд энэ илэрхийллийг шинэ үсгээр тэмдэглэх шалтгаан байсан. Гэхдээ энэ нь үргэлж тохиолддоггүй; Дараагийн жишээнд яг ийм зүйл тохиолдох болно.

Жишээ 5.Тэгшитгэлийг шийд
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Шийдэл. Бидэнд байгаа
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.

Энэ нь өгөгдсөн тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичиж болно гэсэн үг юм

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Одоо шинэ хувьсагч гарч ирэв: y = x 2 - 3x.

Түүний тусламжтайгаар тэгшитгэлийг y (y + 2) = 24, дараа нь y 2 + 2y - 24 = 0 хэлбэрээр дахин бичиж болно. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь 4 ба -6 тоо юм.

Анхны x хувьсагч руу буцаж очоод бид x 2 - 3x = 4 ба x 2 - 3x = - 6 гэсэн хоёр тэгшитгэлийг олж авна. Эхний тэгшитгэлээс бид x 1 = 4, x 2 = - 1; хоёр дахь тэгшитгэл нь үндэсгүй.

ХАРИУЛТ: 4, - 1.