Анхан шатны алгебрийн элементүүдийн нэг нь логарифм юм. Энэ нэр нь Грек хэлнээс "тоо" эсвэл "хүч" гэсэн үгнээс гаралтай бөгөөд эцсийн тоог олохын тулд суурь дахь тоог өсгөх шаардлагатай хүчийг илэрхийлдэг.
Логарифмын төрлүүд
- log a b – a суурийн b тооны логарифм (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – аравтын логарифм (10 суурьтай логарифм, a = 10);
- ln b – натурал логарифм (е суурьтай логарифм, a = e).
Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ?
b-ийн а суурийн логарифм нь b-ийг а суурь болгон өсгөхийг шаарддаг илтгэгч юм. Хүлээн авсан үр дүн нь "b-ийн логарифмаас а суурьтай" гэсэн үг юм. Логарифмын асуудлыг шийдэх арга бол өгөгдсөн хүчийг заасан тооноос тоогоор тодорхойлох явдал юм. Логарифмыг тодорхойлох, шийдвэрлэх, мөн тэмдэглэгээг өөрөө хөрвүүлэх үндсэн дүрмүүд байдаг. Тэдгээрийг ашиглан логарифмын тэгшитгэлийг шийдэж, деривативыг олох, интегралыг шийдвэрлэх болон бусад олон үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Үндсэндээ логарифмын шийдэл нь түүний хялбаршуулсан тэмдэглэгээ юм. Үндсэн томъёо, шинж чанаруудыг доор харуулав.
Ямар ч а; a > 0; a ≠ 1 ба дурын x хувьд; y > 0.
- a log a b = b – үндсэн логарифмын таних тэмдэг
- log a 1 = 0
- лога a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x , k ≠ 0-ийн хувьд
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – шинэ суурь руу шилжих томъёо
- log a x = 1/log x a
Логарифмыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ - шийдвэрлэх алхам алхмаар зааварчилгаа
- Эхлээд шаардлагатай тэгшитгэлийг бичнэ үү.
Анхаарна уу: хэрэв суурь логарифм нь 10 бол оруулгыг богиносгож, аравтын логарифм үүсгэдэг. Хэрэв натурал e тоо байгаа бол бид үүнийг натурал логарифм болгон бууруулж бичнэ. Энэ нь бүх логарифмын үр дүн нь b тоог олж авахын тулд суурь тоог өсгөх хүч юм гэсэн үг юм.
Шууд шийдэл нь энэ зэргийг тооцоолоход оршино. Логарифм бүхий илэрхийлэлийг шийдэхийн өмнө үүнийг дүрмийн дагуу, өөрөөр хэлбэл томъёо ашиглан хялбарчлах ёстой. Өгүүлэлд бага зэрэг буцаж орсноор та үндсэн таних тэмдгийг олж болно.
Хоёр өөр тоотой боловч ижил суурьтай логарифмуудыг нэмэх, хасахдаа b ба c тоонуудын үржвэр буюу хуваалтаар тус тус нэг логарифмаар солино. Энэ тохиолдолд та өөр суурь руу шилжих томъёог ашиглаж болно (дээрхийг үзнэ үү).
Хэрэв та логарифмыг хялбарчлахын тулд илэрхийлэл ашигладаг бол зарим хязгаарлалтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Энэ нь: a логарифмын суурь нь зөвхөн эерэг тоо боловч нэгтэй тэнцүү биш юм. b тоо нь а шиг тэгээс их байх ёстой.
Илэрхийллийг хялбарчлах замаар логарифмыг тоогоор тооцоолох боломжгүй тохиолдол байдаг. Ийм илэрхийлэл нь утгагүй байдаг, учир нь олон хүч нь иррационал тоо юм. Энэ нөхцөлд тооны хүчийг логарифм хэлбэрээр үлдээнэ.
-ээс эхэлье нэгийн логарифмын шинж чанарууд. Түүний томъёолол нь дараах байдалтай байна: нэгдлийн логарифм нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, log a 1=0ямар ч a>0, a≠1. Баталгаажуулах нь тийм ч хэцүү биш: дээрх a>0 ба a≠1 нөхцлийг хангасан аль ч тохиолдолд a 0 =1 байх тул нотлох ёстой a 1=0 тэгшитгэл нь логарифмын тодорхойлолтоос шууд гарч ирнэ.
Харгалзан авч буй үл хөдлөх хөрөнгийн хэрэглээний жишээг өгье: log 3 1=0, log1=0 ба .
Дараагийн үл хөдлөх хөрөнгө рүү шилжье: суурьтай тэнцүү тооны логарифм нь нэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл, log a a=1 a>0, a≠1 хувьд. Үнэн хэрэгтээ аливаа а-д a 1 =a тул логарифмын тодорхойлолтоор a a=1 болно.
Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ нь log 5 5=1, log 5.6 5.6 ба lne=1 тэнцүү байна.
Жишээлбэл, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ба 
.
Хоёр эерэг тооны үржвэрийн логарифм x ба y нь эдгээр тоонуудын логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна. log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1 . Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг баталъя. Зэрэглэлийн шинж чанараас шалтгаалан a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, мөн үндсэн логарифмын адилтгалаар лог a x =x ба log a y =y байх тул a log a x ·a log a y =x·y болно. Ийнхүү лог a x+log a y =x·y байх бөгөөд үүнээс логарифмын тодорхойлолтоор нотлогдож буй тэгш байдал гарч ирнэ.
Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг ашиглах жишээг үзүүлье: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ба 
.
Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг x 1 , x 2 , …, x n эерэг тоонуудын төгсгөлтэй n тооны үржвэрт ерөнхийлж болно. log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Энэ тэгш байдлыг асуудалгүйгээр баталж болно.
Жишээлбэл, бүтээгдэхүүний натурал логарифмыг 4, e, ба тоонуудын гурван натурал логарифмын нийлбэрээр сольж болно.
Хоёр эерэг тооны хэсгийн логарифм x ба y нь эдгээр тоонуудын логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна. Хэсгийн логарифмын шинж чанар нь a>0, a≠1, x ба y нь зарим эерэг тоонууд байх хэлбэрийн томьёотой тохирч байна. Бүтээгдэхүүний логарифмын томъёоны адилаар энэ томьёоны хүчинтэй байдал нотлогдсон: оноос хойш 
, дараа нь логарифмын тодорхойлолтоор.
Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ энд байна. 
.
Дараа нь үргэлжлүүлье чадлын логарифмын шинж чанар. Зэрэглэлийн логарифм нь энэ зэргийн суурийн индекс ба модулийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна. Хүчний логарифмын энэ шинж чанарыг томъёогоор бичье. log a b p =p·log a |b|, энд a>0, a≠1, b ба p нь b p зэрэг нь утга учиртай, b p >0 байх тоо юм.
Эхлээд бид энэ шинж чанарыг эерэгээр баталж байна b. Үндсэн логарифмын ижилсэл нь b тоог a log a b , дараа нь b p =(a log a b) p хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог ба үр дүнгийн илэрхийлэл нь чадлын шинж чанараас шалтгаалан p·log a b -тэй тэнцүү байна. Тиймээс бид b p =a p·log a b тэгшитгэлд хүрч, логарифмын тодорхойлолтоор бид log a b p =p·log a b гэж дүгнэж байна.
Энэ өмчийг сөрөг талаас нь батлах хэвээр байна b. Энд бид сөрөг b-ийн хувьд log a b p илэрхийлэл нь зөвхөн тэгш илтгэгч p (учир нь b p зэрэгийн утга тэгээс их байх ёстой, эс тэгвээс логарифм утгагүй болно) утга учиртай болохыг тэмдэглэж байна, энэ тохиолдолд b p =|b| х. Дараа нь b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, хаанаас log a b p =p·log a |b| .
Жишээ нь, 
ба ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Энэ нь өмнөх өмчөөс үүдэлтэй язгуураас авсан логарифмын шинж чанар: n-р язгуурын логарифм нь 1/n бутархайг радикал илэрхийллийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, 
, энд a>0, a≠1, n нь нэгээс их натурал тоо, b>0.
Нотолгоо нь аливаа эерэг b-ийн хувьд хүчинтэй тэгш байдал (харна уу) ба чадлын логарифмын шинж чанар дээр суурилдаг. 
.
Энэ өмчийг ашиглах жишээ энд байна: 
.
Одоо баталъя шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёотөрлийн 
. Үүнийг хийхийн тулд тэгш байдлын log c b=log a b·log c a-ийн үнэн зөвийг батлахад хангалттай. Үндсэн логарифмын таних тэмдэг нь b тоог log a b, дараа нь log c b=log c a log a b гэж илэрхийлэх боломжийг олгодог. Зэрэглэлийн логарифмын шинж чанарыг ашиглахад хэвээр байна: log c a log a b =log a b log c a. Энэ нь тэгш байдлын log c b=log a b·log c a гэдгийг баталж байгаа нь шинэ логарифмын суурь руу шилжих томьёо мөн батлагдсан гэсэн үг.
Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах хэд хэдэн жишээг үзүүлье: ба 
.
Шинэ суурь руу шилжих томъёо нь "тохиромжтой" суурьтай логарифмуудтай ажиллахад шилжих боломжийг олгодог. Жишээлбэл, логарифмын хүснэгтээс логарифмын утгыг тооцоолохын тулд натурал буюу аравтын логарифм руу шилжихэд ашиглаж болно. Шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёо нь зарим тохиолдолд бусад суурьтай зарим логарифмын утгууд мэдэгдэж байгаа тохиолдолд өгөгдсөн логарифмын утгыг олох боломжийг олгодог.
С=b хэлбэрийн шинэ логарифмын суурь руу шилжих томьёоны онцгой тохиолдлыг ихэвчлэн ашигладаг 
. Энэ нь log a b ба log b a – болохыг харуулж байна. Жишээ нь, 
.
Томъёог бас ихэвчлэн ашигладаг 
, энэ нь логарифмын утгыг олоход тохиромжтой. Бидний үгсийг батлахын тулд бид үүнийг маягтын логарифмын утгыг тооцоолоход хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах болно. Бидэнд байна 
. Томьёог батлахын тулд 
a логарифмын шинэ суурь руу шилжих томъёог ашиглахад хангалттай. 
.
Логарифмын харьцуулалтын шинж чанарыг батлахад л үлддэг.
Аливаа эерэг тоонуудын хувьд b 1 ба b 2, b 1 гэдгийг баталцгаая log a b 2, a>1-ийн хувьд – тэгш бус байдлын log a b 1 Эцэст нь логарифмын хамгийн сүүлийн жагсаасан шинж чанарыг батлахад л үлдлээ. Түүний эхний хэсгийн нотолгоогоор хязгаарлъя, өөрөөр хэлбэл, хэрэв 1 >1, a 2 >1, a 1 гэдгийг батлах болно. 1 нь үнэн log a 1 b>log a 2 b . Логарифмын энэ өмчийн үлдсэн мэдэгдлүүдийг ижил төстэй зарчмын дагуу нотолж байна. Эсрэг аргыг хэрэглэцгээе. 1 >1, 2 >1 ба 1 гэж бодъё 1 нь үнэн log a 1 b≤log a 2 b . Логарифмын шинж чанарууд дээр үндэслэн эдгээр тэгш бус байдлыг дахин бичиж болно 
Тэгээд 
тус тус ба тэдгээрээс log b a 1 ≤log b a 2 ба log b a 1 ≥log b a 2 байна. Дараа нь ижил суурьтай зэрэглэлийн шинж чанарын дагуу b log b a 1 ≥b log b a 2 ба b log b a 1 ≥b log b a 2 тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл a 1 ≥a 2 байна. Тиймээс бид 1 гэсэн нөхцөлтэй зөрчилдсөн
Лавлагаа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. болон бусад алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Ерөнхий боловсролын байгууллагын 10-11-р ангийн сурах бичиг.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).
Тооны логарифм Н дээр суурилсан А экспонент гэж нэрлэдэг X , та үүнийг барих хэрэгтэй А дугаарыг авахын тулд Н
Тэгсэн бол 
,
,
Логарифмын тодорхойлолтоос харахад ийм байна 
, өөрөөр хэлбэл
- энэ тэгш байдал нь үндсэн логарифмын ижилсэл юм.
10 суурь хүртэлх логарифмыг аравтын логарифм гэнэ. Оронд нь 
бичих 
.
Суурь руу логарифмууд д
байгалийн гэж нэрлэдэг ба томилогдсон байна 
.
Логарифмын үндсэн шинж чанарууд.
Аливаа суурийн хувьд нэгдмэл байдлын логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна.
Бүтээгдэхүүний логарифм нь хүчин зүйлийн логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.
3) Хэсгийн логарифм нь логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна
Хүчин зүйл 
логарифмаас суурь руу шилжих модуль гэж нэрлэдэг а
суурь дээр логарифм руу б
.
2-5-р шинж чанарыг ашиглан логарифм дээрх энгийн арифметик үйлдлийн үр дүнд нийлмэл илэрхийллийн логарифмыг багасгах боломжтой байдаг.
Жишээ нь, 
Логарифмын ийм хувиргалтыг логарифм гэж нэрлэдэг. Логарифмын урвуу хувиргалтыг потенциац гэж нэрлэдэг.
Бүлэг 2. Дээд математикийн элементүүд.
1. Хязгаарлалт
Функцийн хязгаар 
нь хязгаарлагдмал тоо юм xx
0
урьдчилан тодорхойлсон тус бүрийн хувьд 
, ийм тоо байдаг 
тэр даруйдаа 
, Тэр 
.
Хязгаарлалттай функц нь үүнээс хязгааргүй бага хэмжээгээр ялгаатай: 
, хаана- b.m.v., i.e. 
.
Жишээ. Функцийг авч үзье 
.
Хичээж байхдаа 
, функц y
тэг рүү чиглэдэг: 
1.1. Хязгаарын тухай үндсэн теоремууд.
Тогтмол утгын хязгаар нь энэ тогтмол утгатай тэнцүү байна
.
Хязгаарлагдмал тооны функцын нийлбэрийн (ялгаа) хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын нийлбэр (ялгаа)-тай тэнцүү байна.
Хязгаарлагдмал тооны функцын үржвэрийн хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын үржвэртэй тэнцүү байна.
Хоёр функцийн хязгаарын хязгаар нь хуваарийн хязгаар тэг биш бол эдгээр функцүүдийн хязгаарын хуваарьтай тэнцүү байна.
Гайхамшигтай хязгаарууд
,
, Хаана 
1.2. Хязгаарлалтын тооцооны жишээ
Гэсэн хэдий ч бүх хязгаарыг тийм ч хялбархан тооцдоггүй. Ихэнхдээ хязгаарыг тооцоолох нь тодорхойгүй байдлын төрлийг илрүүлэхэд хүргэдэг. 
эсвэл .
.
2. Функцийн дериватив
Бидэнд функцтэй байцгаая 
, сегмент дээр тасралтгүй 
.
Аргумент 
бага зэрэг нэмэгдлээ 
. Дараа нь функц нь өсөлтийг хүлээн авах болно 
.
Аргументын утга 
функцийн утгатай тохирч байна 
.
Аргументын утга 
функцийн утгатай тохирч байна.
Тиймээс, .
Энэ харьцааны хязгаарыг олъё 
. Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол өгөгдсөн функцийн дериватив гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт 3 Өгөгдсөн функцийн дериватив 
аргументаар 
аргументийн өсөлт нь дур зоргоороо тэг рүү чиглэх үед функцын өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулах харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг.
Функцийн дериватив 
дараах байдлаар тодорхойлж болно:
;
;
;
.
Тодорхойлолт 4 Функцийн деривативыг олох үйлдлийг гэнэ ялгах.
2.1. Деривативын механик утга.
Зарим хатуу бие эсвэл материаллаг цэгийн шулуун хөдөлгөөнийг авч үзье.
Хэзээ нэгэн цагт зөвшөөр 
хөдлөх цэг 
зайтай байсан 
эхлэх байрлалаас 
.
Хэсэг хугацааны дараа 
тэр хол нүүсэн 
. Хандлага 
=
- материаллаг цэгийн дундаж хурд 
. Үүнийг харгалзан энэ харьцааны хязгаарыг олъё 
.
Иймээс материаллаг цэгийн агшин зуурын хөдөлгөөний хурдыг тодорхойлох нь цаг хугацааны хувьд замын деривативыг олох хүртэл буурдаг.
2.2. Деривативын геометрийн утга
Графикаар тодорхойлогдсон функцтэй болцгооё 
.
Цагаан будаа. 1. Деривативын геометрийн утга
Хэрэв 
, дараа нь зааж өгнө үү 
, цэг рүү ойртож, муруйн дагуу хөдөлнө 
.
Тиймээс 
, өөрөөр хэлбэл аргументийн өгөгдсөн утгын деривативын утга 
тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй өгөгдсөн цэг дээрх шүргэгчийн үүсгэсэн өнцгийн тангенстай тоон хувьд тэнцүү 
.
2.3. Үндсэн ялгах томъёоны хүснэгт.
Эрчим хүчний функц
|
|
|
|
|
|
|
Экспоненциал функц
|
|
|
|
|
Логарифм функц
|
|
|
|
|
Тригонометрийн функц
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Урвуу тригонометрийн функц
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Ялгах дүрэм.
-ийн дериватив 
Функцийн нийлбэрийн (ялгаа) дериватив
Хоёр функцийн үржвэрийн дериватив
Хоёр функцийн хуваалтын дериватив
2.5. Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.
Функцийг өгье 
хэлбэрээр төлөөлөх боломжтой
Тэгээд 
, хувьсагч хаана байна 
тэгвэл завсрын аргумент юм 
Комплекс функцийн дериватив нь өгөгдсөн функцийн завсрын аргументийн деривативын үржвэр ба x-ийн завсрын аргументийн деривативтай тэнцүү байна.
Жишээ 1. 
Жишээ 2. 
3. Дифференциал функц.
Байгаа байг 
, зарим интервалаар ялгах боломжтой 
мөн зөвшөөрөх цагт
Энэ функц нь деривативтай
,
тэгвэл бид бичиж болно
(1),
Хаана 
- хязгааргүй бага хэмжигдэхүүн,
хэзээнээс 
Бүх тэгш байдлын нөхцөлийг (1) үржүүлэв 
бидэнд байна:
Хаана 
- b.m.v. илүү өндөр дараалал.
Хэмжээ 
функцийн дифференциал гэж нэрлэдэг 
болон томилогдсон 
.
3.1. Дифференциалын геометрийн утга.
Функцийг өгье 
.
Зураг 2. Дифференциалын геометрийн утга.
.
Мэдээжийн хэрэг, функцийн дифференциал 
өгөгдсөн цэг дэх шүргэгчийн ординатын өсөлттэй тэнцүү байна.
3.2. Төрөл бүрийн эрэмбийн дериватив ба дифференциал.
Хэрэв байгаа бол 
, Дараа нь 
анхны дериватив гэж нэрлэдэг.
Эхний деривативын деривативыг хоёрдугаар эрэмбийн дериватив гэж нэрлээд бичнэ 
.
Функцийн n-р эрэмбийн дериватив 
(n-1)-р дарааллын дериватив гэж нэрлэгддэг ба дараах байдлаар бичнэ.
.
Функцийн дифференциалын дифференциалыг хоёр дахь дифференциал буюу хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал гэнэ.
.
.
3.3 Биологийн асуудлыг ялгах аргыг ашиглан шийдвэрлэх.
Даалгавар 1. Судалгаанаас харахад бичил биетний колонийн өсөлт нь хуульд захирагддаг 
, Хаана Н
- бичил биетний тоо (мянганаар); т
- цаг (өдөр).
б) Энэ хугацаанд колонийн хүн ам өсөх эсвэл буурах уу?
Хариулах. Колонийн хэмжээ нэмэгдэх болно.
Даалгавар 2. Нуурын усыг үе үе шинжилж, эмгэг төрүүлэгч нянгийн агууламжийг хянаж байдаг. дамжуулан т шинжилгээ хийснээс хойш хэд хоногийн дараа бактерийн концентрацийг харьцаагаар тодорхойлно
.
Нуурт хэзээ нянгийн хамгийн бага концентраци үүсч, усанд сэлэх боломжтой болох вэ?
Шийдэл: Функц нь дериватив нь тэг байхад max эсвэл min-д хүрнэ.
,
6 хоногийн дараа хамгийн их эсвэл мин болохыг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь деривативыг авч үзье.
Хариулт: 6 хоногийн дараа бактерийн хамгийн бага концентраци бий болно.
ln x функцийн натурал логарифмын үндсэн шинж чанар, график, тодорхойлолтын муж, утгын багц, үндсэн томъёо, дериватив, интеграл, зэрэглэлийн цуваа тэлэлт, ln x функцийг комплекс тоо ашиглан дүрслэх аргачлалуудыг өгөв.
Тодорхойлолт
Байгалийн логарифмнь y = функц юм ln x, экспоненциалын урвуу нь x = e y ба e тооны суурийн логарифм юм: ln x = log e x.
Байгалийн логарифм нь математикт өргөн хэрэглэгддэг, учир нь түүний дериватив нь хамгийн энгийн хэлбэртэй байдаг. (ln x)′ = 1/ x.
Үндэслэн тодорхойлолтууд, натурал логарифмын суурь нь тоо юм д:
e ≅ 2.718281828459045...;
.
y = функцийн график ln x.
Натурал логарифмын график (функц у = ln x) нь y = x шулуунтай харьцуулахад толин тусгалаар экспоненциал графикаас гарна.
Натурал логарифм нь x хувьсагчийн эерэг утгуудын хувьд тодорхойлогддог.
Энэ нь тодорхойлолтын хүрээнд монотоноор нэмэгддэг. 0 x → дээр
натурал логарифмын хязгаар нь хасах хязгааргүй (-∞) юм.
x → + ∞ тул натурал логарифмын хязгаар нь хязгааргүй (+ ∞) байна. Том х-ийн хувьд логарифм нэлээд удаан өсдөг. А эерэг үзүүлэлттэй аливаа х a чадлын функц логарифмаас хурдан өсдөг.
Натурал логарифмын шинж чанарууд
Тодорхойлолт, утгын багц, экстремум, өсөлт, бууралт
Натурал логарифм нь нэг хэвийн өсөлттэй функц тул экстремумгүй. Байгалийн логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг хүснэгтэд үзүүлэв.
ln x утгууд
ln 1 = 0
Байгалийн логарифмын үндсэн томъёо
Урвуу функцийн тодорхойлолтоос үүссэн томъёонууд:
Логарифмын үндсэн шинж чанар ба түүний үр дагавар
Суурь солих томъёо
Аливаа логарифмыг үндсэн орлуулалтын томъёог ашиглан натурал логарифмын хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Эдгээр томъёоны нотолгоог "Логарифм" хэсэгт үзүүлэв.
Урвуу функц
Натурал логарифмын урвуу нь экспонент юм.
Хэрэв бол
Хэрэв, тэгвэл.
Дериватив ln x
.
Натурал логарифмын дериватив:
.
n-р эрэмбийн дериватив:
.
Томьёог гарган авах > > >
Интеграл
Интегралыг хэсгүүдээр интегралд тооцно.
.
Тэгэхээр,
Комплекс тоо ашигласан илэрхийлэл
z цогцолбор хувьсагчийн функцийг авч үзье.
.
Комплекс хувьсагчийг илэрхийлье zмодулиар дамжуулан rболон маргаан φ
:
.
Логарифмын шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
.
Эсвэл
.
φ аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв та тавьсан бол
, энд n нь бүхэл тоо,
Энэ нь өөр n-ийн хувьд ижил тоо байх болно.
Тиймээс комплекс хувьсагчийн функц болох натурал логарифм нь нэг утгатай функц биш юм.
Эрчим хүчний цувралын өргөтгөл
Өргөтгөх үед:
Ашигласан уран зохиол:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.
Логарифмын илэрхийлэл, шийдвэрлэх жишээ. Энэ нийтлэлд бид логарифмыг шийдвэрлэхтэй холбоотой асуудлуудыг авч үзэх болно. Даалгаврууд нь илэрхийллийн утгыг олох асуултыг тавьдаг. Логарифмын тухай ойлголтыг олон ажилд ашигладаг бөгөөд түүний утгыг ойлгох нь туйлын чухал гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Улсын нэгдсэн шалгалтын хувьд логарифмыг тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, хэрэглээний асуудал, мөн функцийг судлахтай холбоотой даалгаварт ашигладаг.
Логарифмын утгыг ойлгохын тулд жишээ татъя.
Үндсэн логарифмын таних тэмдэг:
Үргэлж санаж байх ёстой логарифмын шинж чанарууд:
*Үйлдвэрийн логарифм нь хүчин зүйлсийн логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.
* * *
*Хавар (бутархай)-ын логарифм нь хүчин зүйлсийн логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна.
* * *
*Дүүргийн логарифм нь илтгэгчийн үржвэр ба суурийн логарифмтай тэнцүү байна.
* * *
*Шинэ суурь руу шилжих
* * *
Бусад үл хөдлөх хөрөнгө:
* * *
Логарифмын тооцоолол нь илтгэгчийн шинж чанарыг ашиглахтай нягт холбоотой.
Тэдгээрийн заримыг жагсаацгаая:
Энэ өмчийн мөн чанар нь тоологчийг хуваагч руу шилжүүлэх ба эсрэгээр нь илтгэгчийн тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгддөгт оршино. Жишээ нь:
Энэ өмчийн үр дүн:
* * *
Хүчин чадлыг өсгөхөд суурь нь хэвээр байх боловч илтгэгчийг үржүүлнэ.
* * *
Таны харж байгаагаар логарифмын тухай ойлголт нь өөрөө энгийн зүйл юм. Хамгийн гол нь танд сайн дадлага хэрэгтэй бөгөөд энэ нь танд тодорхой ур чадварыг өгдөг. Мэдээжийн хэрэг, томъёоны талаархи мэдлэг шаардлагатай. Хэрэв энгийн логарифмыг хөрвүүлэх ур чадвар хөгжөөгүй бол энгийн даалгавруудыг шийдвэрлэхдээ та амархан алдаа гаргаж болно.
Дадлага хийж, эхлээд математикийн хичээлээс хамгийн энгийн жишээг шийдэж, дараа нь илүү төвөгтэй жишээнүүд рүү шилжинэ. Ирээдүйд би "муухай" логарифмууд хэрхэн шийдэгддэгийг харуулах болно, гэхдээ улсын нэгдсэн шалгалтанд эдгээрийн аль нь ч байхгүй, гэхдээ тэд сонирхож байна, бүү алдаарай!
Ингээд л болоо! Танд амжилт хүсье!
Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких
P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.
