Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг функцээр тодорхойлно. "Санамсаргүй хувьсагч" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Магадлалын онолд санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй харьцах ёстой бөгөөд тэдгээрийн утгыг бүгдийг нь тоолж болохгүй. Жишээлбэл, цагийг цаг, минут, секунд, миллисекунд гэх мэтээр хэмжиж болох тул $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгыг авч, "давтрах" боломжгүй юм - цагийн үйлчилгээний хугацаа. Та зөвхөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд байх тодорхой интервалыг зааж өгч болно.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнутга нь тодорхой интервалыг бүрэн дүүргэх санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгыг тоолох боломжгүй тул түгээлтийн функцийг ашиглан үүнийг зааж өгч болно.

Түгээлтийн функц$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $F\left(x\right)$ функц гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x$-аас бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл $F\ зүүн(x\баруун)=P\зүүн(X< x\right)$.

Түгээлтийн функцийн шинж чанарууд:

1 . $0\le F\left(x\баруун)\le 1$.

2 . Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь $\left(\alpha;\ \beta \right)$ интервалаас утгыг авах магадлал нь түүний төгсгөлд байгаа түгээлтийн функцийн утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна. интервал: $P\left(\альфа< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - буурахгүй.

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x) \баруун)=1\ )$.

Жишээ 1
0,\ x\le 0\\
x,\ 0< x\le 1\\
1,\ x>1
\төгсгөл(матриц)\баруун.$. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн $\left(0.3;0.7\right)$ интервалд орох магадлалыг $F\left(x\right)$ тархалтын функцийн утгуудын зөрүүгээр олж болно. Энэ интервалын төгсгөлүүд, өөрөөр хэлбэл:

$$P\зүүн(0.3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Магадлалын тархалтын нягт

$f\left(x\right)=(F)"(x)$ функцийг магадлалын тархалтын нягт гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл энэ нь $F\left(x\right) түгээлтийн функцээс авсан нэгдүгээр эрэмбийн дериватив юм. )$ өөрөө.

$f\left(x\right)$ функцийн шинж чанарууд.

1 . $f\left(x\баруун)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty )(f\left(t\right)dt)=F\left(x\right)$.

3 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн $\left(\alpha;\ \beta \right)$ интервалаас утгыг авах магадлал нь $P\left(\alpha) байна.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right))=1$.

Жишээ 2 . Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь дараах хуваарилалтын функцээр тодорхойлогддог $F(x)=\left\(\begin(матриц))
0,\ x\le 0\\
x,\ 0< x\le 1\\
1,\ x>1
\төгсгөл(матриц)\баруун.$. Дараа нь нягтын функц $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(матриц))
0,\x\le 0\\
1,\ 0 < x\le 1\\
0.\x>1
\төгсгөл(матриц)\баруун.$

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт

$X$ тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг томъёогоор тооцоолно

$$M\зүүн(X\баруун)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\зүүн(x\баруун)dx).$$

Жишээ 3 . $2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнд $M\left(X\right)$-г олцгооё.

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty)_(-\infty )(xf\left(x\right)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\(2))\bigg|_0^1=((1)\(2)-с дээш).$$

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$-ийн дисперсийг томъёогоор тооцоолно

$$D\зүүн(X\баруун)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\баруун)\ dx)-(\зүүн)^2.$$

Жишээ 4 . $2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнд $D\left(X\right)$-г олцгооё.

$$D\зүүн(X\баруун)=\int^(+\infty)_(-\infty )(x^2f\left(x\баруун)\ dx)-(\зүүн)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\left(((1)\(2))\баруун))^2=((x^3)\(3))\bigg|_0^1-( (1)\(4))=((1)\дээш (3))-((1)\(4))=((1)\(12) дээр).$$

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний (дифференциал тархалтын функц) магадлалын тархалтын нягт нь интеграл тархалтын функцийн анхны дериватив юм: f(x)=F’(X). Энэхүү тодорхойлолт ба тархалтын функцийн шинж чанараас дараахь зүйлийг гаргаж болно

Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математик хүлээлт нь тоо юм

Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн дисперс нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог

Жишээ 79.Цагийн хуваарилалтын нягтрал Түйлдвэрлэлийн шугам дээр REA угсрах

Коэффицентийг ол А, REA-ийн угсралтын хугацааны хуваарилалтын функц ба угсрах хугацаа нь интервал (0.1А) дотор байх магадлал.

Шийдэл.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийн шинж чанарт үндэслэсэн

Хэсэгээр нь хоёр удаа нэгтгэснээр бид олж авна

Түгээлтийн функц нь тэнцүү байна

REA-ийн угсралтын хугацаа хязгаараас хэтрэхгүй байх магадлал (0; 1/λ):

Жишээ 80. Электрон төхөөрөмжийн нэгжийн гаралтын эсэргүүцлийн нэрлэсэн утгаас хазайх магадлалын нягт Р 0 2δ хүлцлийн хязгаарын хүрээнд хуулиар тодорхойлсон

Нэрлэсэн утгаас эсэргүүцлийн хазайлтын математик хүлээлт ба дисперсийг ол.

Шийдэл.

Интеграл нь сондгой, интегралын хязгаар нь эхийн хувьд тэгш хэмтэй тул интеграл нь 0-тэй тэнцүү байна.

Тиймээс, М{Р} = 0.

Сэлгээ хийх замаар r = а нүгэл x, бид авдаг

Жишээ 81.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын нягтыг дараах байдлаар өгөв.

Олно: 1. F(x); 2. M(X); 3. D(X).

Шийдэл. 1. F(x)-ийг олохын тулд бид томъёог ашиглана

Хэрэв
, Тэр

А

Хэрэв
, Тэр

Хэрэв
, дараа нь f(x)=0, ба

3.

Хэсэг хэсгүүдээр хоёр удаа нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

, Дараа нь

82. 74, 75-р бодлогод f(x), M(X), D(X)-ийг ол.

83. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн тархалтын нягтыг дараах байдлаар өгөв.

F(x) тархалтын функцийг ол.

84. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн тархалтын нягтыг бүхэлд нь Окс тэнхлэгт тэгшитгэлээр өгнө.
. Тогтмол C параметрийг ол.

85. (-3, 3) интервал дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын нягтаар өгөгдсөн.
; энэ интервалаас гадуур

a) X-ийн дисперсийг олох;

б) аль нь илүү магадлалтай вэ: тестийн үр дүн X байх болно<1 или X>1?

86. Тархалтын функцээр өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн дисперсийг ол

87. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын функцээр тодорхойлно

X-ийн хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлтыг ол.

§8. Нэг төрлийн ба экспоненциал тархалт

Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтыг жигд гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв X-ийн бүх боломжит утгыг агуулсан (a,b) интервал дээр нягтрал нь тогтмол хэвээр байгаа бөгөөд энэ интервалаас гадуур тэг байвал өөрөөр хэлбэл.

Экспоненциал тархалт нь нягтралаар тодорхойлогддог тасралтгүй X санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт юм.

Энд λ нь тогтмол эерэг утга юм. Экспоненциал хуулийн тархалтын функц

Математикийн хүлээлт ба дисперс нь тэнцүү байна

;
;

Жишээ 88.Амметрийн хуваарийн хуваах утга нь 0.10А байна. Амметрийн заалтыг хамгийн ойрын бүхэл хэсэг болгон дугуйрсан байна. Тоолох явцад 0.02А-аас их алдаа гарах магадлалыг ол.

Шийдэл.Бөөрөнхийлсөн алдааг бүхэл тоон хоёр хуваагдлын хоорондох (0;0.1) интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X гэж үзэж болно. Тиймээс,

Дараа нь
.

Жишээ 89.Элементийн гэмтэлгүй ажиллах хугацаа нь экспоненциал тархалттай байдаг. t=100 цаг хугацааны туршид байх магадлалыг ол: a) элемент бүтэлгүйтэх; б) элемент бүтэлгүйтэхгүй.

Шийдэл. a) Тодорхойлолтоор
, тиймээс энэ нь t хугацаанд элементийн эвдрэлийн магадлалыг тодорхойлдог, тиймээс

б) "Элемент бүтэлгүйтэхгүй" үйл явдал нь авч үзсэнийхээ эсрэг байгаа тул түүний магадлал

90. Радио электрон нэгжийг үйлдвэрлэлийн шугам дээр угсарч, угсрах хугацаа 2 минут байна. Бэлэн блокыг цагны мөчлөгийн дурын цэг дээр хянах, тохируулах зорилгоор конвейерээс гаргаж авдаг. Дууссан блок конвейер дээр байх хугацааны математикийн хүлээлт ба стандарт хазайлтыг ол. Конвейер дээр блок зарцуулсан хугацаа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жигд тархалтын хуулийг дагаж мөрддөг.

91. Тодорхой хугацааны дотор REA бүтэлгүйтэх магадлалыг томъёогоор илэрхийлнэ . Электрон тоног төхөөрөмжийн эвдрэлээс өмнө ажиллах дундаж хугацааг тодорхойлно.

92. Хөгжиж буй холбооны хиймэл дагуул нь эвдрэлийн хоорондох дундаж хугацаа 5 жил байх ёстой. Гэмтлийн хоорондох бодит цагийг санамсаргүй экспоненциал тархсан утгыг харгалзан үзэх магадлалыг тодорхойл.

a) хиймэл дагуул 5-аас доош жил ажиллах;

б) хиймэл дагуул 10-аас доошгүй жил ажиллах;

в) хиймэл дагуул 6 дахь жилдээ бүтэлгүйтнэ.

93. Нэгэн түрээслэгч дунджаар 1000 цаг ажиллах боломжтой дөрвөн улайсдаг чийдэнг авч, нэгийг нь ширээний чийдэн дээр суурилуулж, үлдсэнийг нь дэнлүү шатаж магадгүй гэж нөөцөлсөн. Тодорхойлох:

a) дөрвөн чийдэнгийн хүлээгдэж буй нийт ашиглалтын хугацаа,

б) дөрвөн чийдэн нийт 5000 цаг ба түүнээс дээш хугацаанд ажиллах магадлал;

в) бүх чийдэнгийн ашиглалтын нийт хугацаа 2000 цагаас хэтрэхгүй байх магадлал.

94. Хэмжих хэрэгслийн хуваарийн хуваалтын утга нь 0.2. Багажны заалтыг хамгийн ойрын бүхэл хэсэг болгон дугуйрсан. Тоолох явцад алдаа гарах магадлалыг ол: a) 0.04-ээс бага; б) том 0.05.

95. Тодорхой чиглэлийн автобуснууд цагийн хуваарийн дагуу явдаг. Хөдөлгөөний интервал 5 мин. Зогсоол дээр ирсэн зорчигч дараагийн автобусыг 3 минут хүрэхгүй хүлээх магадлалыг ол.

96. (2, 8) интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн математик хүлээлтийг ол.

97. (2, 8) интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн дисперс ба стандарт хазайлтыг ол.

98. Бие даасан ажиллагаатай хоёр элементийг туршина. Эхний элементийн гэмтэлгүй ажиллах хугацаа нь экспоненциал тархалттай байдаг
, хоёрдугаарт
. Хугацаа t=6 цаг үргэлжлэх магадлалыг ол: a) хоёр элемент хоёулаа бүтэлгүйтэх; б) хоёр элемент хоёулаа бүтэлгүйтэхгүй; в) зөвхөн нэг элемент амжилтгүй болно; г) дор хаяж нэг элемент амжилтгүй болно.

руу дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг ол, та энэ тооны машиныг ашиглах ёстой. Даалгавар 1. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.
Олно:
a) параметр А;
б) тархалтын функц F(x) ;
в) санамсаргүй хэмжигдэхүүн X интервалд орох магадлал;
г) математикийн хүлээлт MX ба дисперсийн DX.
f(x) ба F(x) функцуудын графикийг зур.

Даалгавар 2. Интеграл функцээр өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн дисперсийг ол.

Даалгавар 3. Тархалтын функц өгөгдсөн X санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Даалгавар 4. Зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтыг дараах байдлаар өгөв: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
А коэффициент, тархалтын функц F(x), математикийн хүлээлт ба дисперс, мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд утгыг авах магадлалыг ол. f(x) ба F(x) графикийг зур.

Даалгавар. Зарим тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг дараах байдлаар өгөв.

a ба b параметрүүдийг тодорхойлж, f(x) магадлалын нягтрал, математикийн хүлээлт ба дисперсийн илэрхийлэл, түүнчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд утга авах магадлалыг ол. f(x) ба F(x)-ийн графикийг зур.

Тархалтын нягтын функцийг тархалтын функцийн дериватив хэлбэрээр олъё.

Үүнийг мэдсээр байж

a параметрийг олъё:


эсвэл 3a=1, үүнээс a = 1/3
Бид b параметрийг дараах шинж чанаруудаас олно.
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 эндээс b = -1/3
Тиймээс тархалтын функц нь F(x) = (x-1)/3 хэлбэртэй байна

Жишээ №1. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалтын нягт f(x) өгөгдсөн. Шаардлагатай:

1. А коэффициентийг тодорхойлно.
2. F(x) тархалтын функцийг ол.
3. F(x) ба f(x)-ийн графикуудыг схемээр байгуул.
4. X-ийн математик хүлээлт ба дисперсийг ол.
5. (2;3) интервалаас X утга авах магадлалыг ол.

X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг f(x) тархалтын нягтаар тодорхойлно:

1-р бүлэг. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн

§ 1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголтууд.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль.

Тодорхойлолт : Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь туршилтын үр дүнд өөрийн боломжит багц утгуудаас зөвхөн нэг утгыг авдаг, урьдчилан мэдэгддэггүй, санамсаргүй шалтгаанаас хамаарна.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дискрет ба тасралтгүй гэсэн хоёр төрөлтэй.

Тодорхойлолт : Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дуудна салангид (тасралттай) хэрэв түүний утгуудын багц нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй боловч тоолж болно.

Өөрөөр хэлбэл, салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудыг дахин дугаарлаж болно.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын хуулийг ашиглан тодорхойлж болно.

Тодорхойлолт : Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондох захидал харилцааг нэрлэнэ.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр зааж өгч болох бөгөөд эхний мөрөнд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгыг өсөх дарааллаар, хоёр дахь мөрөнд эдгээрийн харгалзах магадлалыг зааж өгсөн болно. үнэт зүйлс, жишээлбэл.

Энд р1+ р2+…+ рn=1

Ийм хүснэгтийг салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа гэж нэрлэдэг.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын багц хязгааргүй бол p1+ p2+…+ pn+… цуврал нийлж, нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хуулийг графикаар дүрсэлж болох бөгөөд үүний тулд цэгүүдийг координаттай (xi; pi), i=1,2,...n дараалан холбосон тэгш өнцөгт координатын системд тасархай шугам байгуулна. Үүссэн мөрийг дуудна түгээлтийн полигон (Зураг 1).

Органик хими" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">органик хими 0.7 ба 0.8 тус тус байна. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн - оюутны тэнцэх шалгалтын тоог хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл. Шалгалтын үр дүнд тооцсон санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь дараах утгуудын аль нэгийг авч болно: x1=0, x2=1, x3=2.

Эдгээр утгуудын магадлалыг олцгооё: Үйл явдлыг тэмдэглэе.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" өргөн "259" өндөр "66 src=">

Тиймээс X санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг хүснэгтээр өгөв.

Хяналт: 0.6+0.38+0.56=1.

§ 2. Түгээлтийн функц

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн тайлбарыг мөн тархалтын функцээр өгдөг.

Тодорхойлолт: Х дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц X санамсаргүй хэмжигдэхүүн x-ээс бага утгыг авах магадлалыг x утга тус бүрээр тодорхойлдог F(x) функц гэж нэрлэдэг.

F(x)=P(X<х)

Геометрийн хувьд тархалтын функцийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь х цэгийн зүүн талд байрлах цэгээр тоон шулуун дээр дүрслэгдсэн утгыг авах магадлал гэж тайлбарладаг.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) нь (-∞;+∞) дээр буурахгүй функц;

3) F(x) - x= xi (i=1,2,...n) цэгүүдэд зүүн талдаа үргэлжилсэн, бусад бүх цэгүүдэд тасралтгүй;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Х дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр өгвөл:

Дараа нь F(x) тархалтын функцийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

x≤ x1-ийн хувьд 0,

x1 дээр р1< х≤ x2,

F(x)= x2 дээр р1 + р2< х≤ х3

x>xn-д 1.

Түүний графикийг 2-р зурагт үзүүлэв.

§ 3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар.

Тоон шинж чанаруудын нэг нь математикийн хүлээлт юм.

Тодорхойлолт: Математикийн хүлээлт M(X) Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь түүний бүх утгуудын үржвэр ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын нийлбэр юм.

М(X) = ∑ xiри= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгын шинж чанар болдог.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд:

1)M(C)=C, энд C нь тогтмол утга;

2)M(C X)=C M(X),

3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), энд X,Y нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн;

5)M(X±C)=M(X)±C, энд C нь тогтмол утга;

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын дундаж утгын ойролцоо тархалтын түвшинг тодорхойлохын тулд дисперсийг ашигладаг.

Тодорхойлолт: Зөрчил Д ( X ) санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс квадрат хазайлтын математик хүлээлт юм.

Тархалтын шинж чанарууд:

1)D(C)=0, энд C нь тогтмол утга;

2)D(X)>0, энд X нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн;

3)D(C X)=C2 D(X), энд C нь тогтмол утга;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), энд X,Y нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн;

Зөрчлийг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглах нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг.

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

Энд M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

D(X) дисперс нь квадрат санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжээстэй бөгөөд энэ нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Тиймээс √D(X) утгыг мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тархалтын үзүүлэлт болгон ашигладаг.

Тодорхойлолт: Стандарт хазайлт σ(X) Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дисперсийн квадрат язгуур гэж нэрлэдэг.

Даалгавар №2.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын хуулиар тодорхойлогддог.

P2, тархалтын функц F(x)-ийг олоод түүний графикийг мөн M(X), D(X), σ(X)-ийг зур.

Шийдэл: X санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын магадлалын нийлбэр 1-тэй тэнцүү тул

Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1

F(x)=P(X) тархалтын функцийг олъё

Геометрийн хувьд энэ тэгш байдлыг дараах байдлаар тайлбарлаж болно: F(x) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь х цэгийн зүүн талд байрлах цэгээр тооны тэнхлэгт дүрслэгдсэн утгыг авах магадлал юм.

Хэрэв x≤-1 бол (-∞;x) дээр энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний ганц утга байхгүй тул F(x)=0;

Хэрэв -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Хэрэв 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) x1=-1 ба x2=0 гэсэн хоёр утга байна;

Хэрэв 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Хэрэв 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Хэрэв x>3 бол F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, учир нь x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 гэсэн дөрвөн утга (-∞;x) ба x5=3 интервалд ордог.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> x≤-1 дээр 0,

-1 үед 0.1<х≤0,

0-д 0.2<х≤1,

F(x)= 1-д 0.5<х≤2,

2 цагт 0.7<х≤3,

x>3 үед 1

F(x) функцийг графикаар илэрхийлье (Зураг 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" өргөн "158 өндөр = 29" өндөр "29">≈1.2845.

§ 4. Хоёр гишүүнт тархалтын хууль

дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн, Пуассоны хууль.

Тодорхойлолт: бином салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль гэж нэрлэдэг X - n бие даасан давтан туршилтын үед А үйл явдал тохиолдох тоо, тус бүрт А үйл явдал p магадлалтай эсвэл q = 1-p магадлалаар тохиолдохгүй. Дараа нь P(X=m) - n туршилтаар А үйл явдлын яг m удаа тохиолдох магадлалыг Бернулли томъёогоор тооцоолно.

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Хоёртын хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математикийн хүлээлт, тархалт ба стандарт хазайлтыг дараах томъёогоор олно.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Туршилт бүрт А үйл явдлын магадлал - "тав гаргах" нь ижил бөгөөд 1/6-тай тэнцүү байна. , өөрөөр хэлбэл P(A)=p=1/6, дараа нь P(A)=1-p=q=5/6, энд

- "А" оноо авч чадаагүй.

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах утгыг авч болно: 0;1;2;3.

Бид Бернуллигийн томъёог ашиглан X-ийн боломжит утгуудын магадлалыг олно.

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Тэр. X санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна.

Хяналт: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

X санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг олцгооё.

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Даалгавар No4.Автомат машин эд ангиудыг тамгалдаг. Үйлдвэрлэсэн эд анги нь гэмтэлтэй байх магадлал 0.002 байна. Сонгогдсон 1000 хэсгүүдийн дунд дараахь байх магадлалыг ол.

a) 5 гэмтэлтэй;

б) дор хаяж нэг нь гэмтэлтэй.

Шийдэл: n=1000 тоо нь их, гэмтэлтэй хэсэг үүсэх магадлал p=0.002 бага, авч үзэж буй үйл явдлууд (хэсэг нь гэмтэлтэй болсон) бие даасан байдаг тул Пуассоны томъёо дараах байдалтай байна.

Рn(m)= д- λ λм

λ=np=1000 0.002=2-ийг олъё.

a) 5 гэмтэлтэй хэсэг байх магадлалыг ол (m=5):

Р1000(5)= д-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

б) Дор хаяж нэг гэмтэлтэй хэсэг байх магадлалыг ол.

А үйл явдал - "сонгосон хэсгүүдийн дор хаяж нэг нь гэмтэлтэй" нь үйл явдлын эсрэг юм - "сонгосон бүх хэсгүүд нь гэмтэлтэй биш. Тиймээс P(A) = 1-P(). Тиймээс хүссэн магадлал нь тэнцүү байна: P(A)=1-P1000(0)=1- д-2 20 = 1- e-2=1-0.13534≈0.865.

Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар.

1.1

1.2. Тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын хуулиар тодорхойлогддог.

p4, тархалтын функц F(X)-ийг олоод түүний графикийг, мөн M(X), D(X), σ(X)-ийг зур.

1.3. Хайрцагт 9 тэмдэглэгээ байгаа бөгөөд 2 нь бичихээ больсон. Санамсаргүй байдлаар 3 тэмдэглэгээ аваарай. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь авсан тэмдэглэгээнүүдийн дунд бичих тэмдэглэгээний тоо юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг зур.

1.4. Номын сангийн тавиур дээр санамсаргүй байдлаар байрлуулсан 6 сурах бичиг байдгаас 4 нь хавтастай. Номын санч санамсаргүй байдлаар 4 сурах бичгийг авдаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь авсан сурах бичгүүдийн дунд хавтасласан сурах бичгийн тоо юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг зур.

1.5. Тасалбар дээр хоёр даалгавар байна. Эхний асуудлыг зөв шийдэх магадлал 0.9, хоёр дахь нь 0.7 байна. Санамсаргүй хувьсагч X нь тасалбар дахь зөв шийдэгдсэн асуудлын тоо юм. Тархалтын хуулийг гаргаж, энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг тооцож, мөн F(x) тархалтын функцийг олоод графикийг байгуул.

1.6. Гурван буудагч бай руу буудаж байна. Нэг удаагийн сумаар бай онох магадлал нь эхний харваач 0.5, хоёр дахь нь 0.8, гурав дахь нь 0.7 байна. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хэрэв буудагчид нэг удаад нэг удаа буудсан тохиолдолд бай онох тоо юм. M(X),D(X) тархалтын хуулийг ол.

1.7. Сагсан бөмбөгийн тоглогч бөмбөгийг сагсанд шидэхэд шидэлт болгонд онох магадлал 0.8 байна. Оносон болгондоо 10 оноо авдаг бөгөөд алдсан тохиолдолд түүнд оноо өгөхгүй. Сагсан бөмбөгчний 3 цохилтоор авсан онооны тоо болох X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга. M(X),D(X), түүнчлэн 10-аас дээш оноо авах магадлалыг ол.

1.8. Картууд дээр нийт 5 эгшиг, 3 гийгүүлэгч үсэг бичигдсэн байна. 3 картыг санамсаргүй байдлаар сонгох ба авсан картыг буцааж өгөх болгонд. Санамсаргүй хувьсагч X нь авсан эгшгийн тоо юм. Тархалтын хуулийг гаргаж M(X),D(X),σ(X)-ийг ол.

1.9. Дунджаар гэрээний 60% -д даатгалын компани даатгалын тохиолдол гарсантай холбогдуулан даатгалын дүнг төлдөг. Санамсаргүй байдлаар сонгосон дөрвөн гэрээний дунд даатгалын төлбөрийг төлсөн гэрээний тоо болох X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга. Энэ хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг ол.

1.10. Радио станц нь дуудлагын дохиог (дөрвөөс илүүгүй) тодорхой интервалаар хоёр талын харилцаа холбоо тогтоох хүртэл илгээдэг. Дуудлагын дохионы хариуг хүлээн авах магадлал 0.3 байна. Санамсаргүй хувьсагч X нь илгээсэн дуудлагын тэмдгийн тоо юм. Тархалтын хуулийг гаргаж F(x)-ыг ол.

1.11. 3 түлхүүр байдаг бөгөөд тэдгээрийн зөвхөн нэг нь түгжээнд таардаг. Хэрэв оролдсон түлхүүр нь дараагийн оролдлогуудад оролцохгүй бол түгжээг онгойлгох оролдлогын тоо X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга. M(X),D(X)-ийг ол.

1.12. Найдвартай байдлын үүднээс гурван төхөөрөмжийн бие даасан туршилтыг дараалан хийдэг. Дараагийн төхөөрөмж бүрийг зөвхөн өмнөх нь найдвартай болсон тохиолдолд л туршиж үздэг. Төхөөрөмж бүрийн туршилтыг давах магадлал 0.9 байна. Туршсан төхөөрөмжүүдийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-тоо хуваарилах хуулийг гарга.

1.13 .Х дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь x1=1, x2, x3, and x1 гэсэн гурван боломжит утгатай байна.<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Электрон төхөөрөмжийн блок нь 100 ижил элементийг агуулдаг. Т хугацааны туршид элемент бүрийн эвдрэл гарах магадлал 0.002 байна. Элементүүд бие даан ажилладаг. T хугацаанд хоёроос илүүгүй элемент ажиллахгүй байх магадлалыг ол.

1.15. Сурах бичиг 50 мянган хувь хэвлэгджээ. Сурах бичиг буруу хавсаргасан байх магадлал 0.0002. Цуглуулга нь дараахь зүйлийг агуулсан байх магадлалыг ол.

а) дөрвөн гэмтэлтэй ном,

б) хоёроос бага гэмтэлтэй ном.

1 .16. АТС-д минут тутамд ирж буй дуудлагын тоог Пуассоны хуулийн дагуу λ=1.5 параметртэй хуваарилдаг. Нэг минутын дараа дараахь зүйл ирэх магадлалыг ол.

a) хоёр дуудлага;

б) дор хаяж нэг дуудлага.

1.17.

Z=3X+Y бол M(Z),D(Z)-ийг ол.

1.18. Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиудыг өгөв.

Z=X+2Y бол M(Z),D(Z)-ийг ол.

Хариултууд:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; x≤-2 үед 0,

-2 үед 0.3<х≤0,

F(x)= 0-д 0.5<х≤2,

2 цагт 0.9<х≤5,

x>5 үед 1

1.2. p4=0.1; x≤-1 үед 0,

-1 үед 0.3<х≤0,

0-д 0.4<х≤1,

F(x)= 1-д 0.6<х≤2,

2 цагт 0.7<х≤3,

x>3 үед 1

M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0-д x≤0,

0-д 0.03<х≤1,

F(x)= 1-д 0.37<х≤2,

x>2-д 1

M(X)=2; D(X)=0.62

M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈

M(X)=2.4; D(X)=0.96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1.22 e-0.2≈0.999

1.15. a) 0.0189; b) 0.00049

1.16. a) 0.0702; б) 0.77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

2-р бүлэг. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн

Тодорхойлолт: Тасралтгүй Тэд бүх боломжит утгууд нь тоон шугамын төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй хүрээг бүрэн дүүргэх хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг.

Мэдээжийн хэрэг, тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй байдаг.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түгээлтийн функц ашиглан тодорхойлж болно.

Тодорхойлолт:Ф түгээлтийн функц тасралтгүй X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг F(x) функц гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь утга тус бүрээр тодорхойлогддог xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> Р

Түгээлтийн функцийг заримдаа хуримтлагдсан тархалтын функц гэж нэрлэдэг.

Түгээлтийн функцийн шинж чанарууд:

1)1≤ F(x) ≤1

2) Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд тархалтын функц нь аль ч цэг дээр тасралтгүй бөгөөд тусдаа цэгүүдээс бусад газар бүрт дифференциалагдах боломжтой.

3) Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X (a;b), [a;b], [a;b] интервалуудын аль нэгэнд орох магадлал нь F(x) функцийн утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна. a ба b цэгүүдэд, өөрөөр хэлбэл. R(a)<Х

4) Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нэг тусдаа утгыг авах магадлал 0 байна.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Түгээлтийн функцийг ашиглан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох нь цорын ганц арга биш юм. Магадлалын тархалтын нягт (тархалтын нягт) гэсэн ойлголтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт : Магадлалын тархалтын нягт е ( x ) Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь түүний тархалтын функцийн дериватив, өөрөөр хэлбэл:

Магадлалын нягтын функцийг заримдаа дифференциал тархалтын функц эсвэл дифференциал тархалтын хууль гэж нэрлэдэг.

f(x) магадлалын нягтын тархалтын графикийг нэрлэнэ магадлалын тархалтын муруй .

Магадлалын нягтын тархалтын шинж чанарууд:

1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" өргөн="14" өндөр ="62 src="> 0 үед x≤2,

f(x)= c(x-2) 2-т<х≤6,

x>6-д 0.

Олно: a) c-ийн утгыг; б) тархалтын функц F(x) ба графикийг зурах; в) P(3≤x<5)

Шийдэл:

+ ∞

a) Нормчиллын нөхцлөөс c-ийн утгыг олно: ∫ f(x)dx=1.

Тиймээс -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

хэрэв 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" өргөн "14" өндөр "62"> x≤2 үед 0,

F(x)= (x-2)2/16 дээр 2<х≤6,

x>6-д 1.

F(x) функцийн графикийг 3-р зурагт үзүүлэв

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> x≤0 үед 0,

0-д F(x)= (3 арктан х)/π<х≤√3,

x>√3-ийн хувьд 1.

f(x) дифференциал тархалтын функцийг ол.

Шийдэл: f(x)= F’(x) тул

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" өргөн "118" өндөр "24">

Тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд өмнө нь авч үзсэн математикийн хүлээлт ба дисперсийн бүх шинж чанарууд нь тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдэд мөн хүчинтэй байна.

Даалгавар №3. X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг f(x) дифференциал функцээр тодорхойлно:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Бие даасан шийдлийн асуудлууд.

2.1. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын функцээр тодорхойлогддог:

x≤0 үед 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6-д 0,

F(x)= - π/6 үед cos 3x<х≤ π/3,

x> π/3 хувьд 1.

f(x) дифференциал тархалтын функцийг ол, мөн түүнчлэн

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

x≤2 үед 0,

f(x)= c x 2 үед<х≤4,

x>4-д 0.

2.4. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын нягтралаар тодорхойлогддог.

x≤0 үед 0,

f(x)= 0-д c √x<х≤1,

x>1-д 0.

Олно: a) c тоо; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x дээр,

x үед 0.

Олно: a) F(x) ба түүний графикийг байгуул; b) M(X),D(X), σ(X); в) дөрвөн бие даасан туршилтаар X-ийн утга нь интервалд хамаарах утгыг яг 2 дахин авах магадлал (1;4).

2.6. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалтын нягтыг дараах байдлаар өгөв.

f(x)= 2(x-2) x дээр,

x үед 0.

Олно: a) F(x) ба түүний графикийг байгуул; b) M(X),D(X), σ (X); в) бие даасан гурван туршилтын үед X-ийн утга нь тухайн сегментийн утгаас яг 2 дахин их байх магадлал.

2.7. f(x) функц нь дараах байдлаар өгөгдсөн.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" өргөн="43" өндөр="38 src=">.jpg" өргөн="16" өндөр="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. f(x) функц нь дараах байдлаар өгөгдсөн.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" өргөн="45" өндөр="36 src="> .jpg" өргөн="16" өндөр="15">[- π /4 ; π /4].

Олно: a) ямар нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын нягтрал байх функц байх c тогтмолын утгыг; б) тархалтын функц F(x).

2.9. (3;7) интервал дээр төвлөрсөн Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг F(x)= тархалтын функцээр тодорхойлно. Ийм магадлалыг ол

санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь дараах утгыг авна: a) 5-аас бага, б) 7-оос багагүй.

2.10. Санамсаргүй хувьсагч X, интервал дээр төвлөрч (-1;4),

F(x)= тархалтын функцээр өгөгдөнө. Ийм магадлалыг ол

санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь дараах утгыг авна: a) 2-оос бага, б) 4-өөс багагүй.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Олно: a) c тоо; b) M(X); в) магадлал P(X> M(X)).

2.12. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дифференциал тархалтын функцээр тодорхойлно.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" өргөн="60" өндөр="38 src=">.jpg" өргөн="16 өндөр=15" өндөр="15"> .

Олно: a) M(X); б) магадлал P(X≤M(X))

2.13. Rem тархалтыг магадлалын нягтар тодорхойлно.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0.

f(x) нь үнэхээр магадлалын нягтын функц гэдгийг батал.

2.14. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалтын нягтыг дараах байдлаар өгөв.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Зураг 4) (Зураг 5)

2.16. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь (0;4) интервалд "тэгш гурвалжин" хуулийн дагуу тархсан байна (Зураг 5). Бүх тооны шулуун дээрх f(x) магадлалын нягтын аналитик илэрхийллийг ол.

Хариултууд

x≤0 үед 0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6-д 0,

π/6 үед F(x)= 3sin 3x<х≤ π/3,

x> π/3 хувьд 0. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тодорхой интервал (a;b) дээр жигд тархалтын хуультай бөгөөд хэрэв магадлалын тархалтын нягт f(x) нь энэ интервал дээр тогтмол бөгөөд гадна тал нь 0-тэй тэнцүү байвал X-ийн бүх боломжит утгууд хамаарах болно. энэ, өөрөөр хэлбэл.

x≤a-ийн хувьд 0,

a-ийн хувьд f(x)=<х

x≥b-ийн хувьд 0.

f(x) функцийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a-д 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Даалгавар №1.Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн сегмент дээр жигд тархсан байна. Олно:

a) магадлалын тархалтын нягт f(x) ба графикийг зурах;

б) тархалтын функц F(x) ба графикийг зурах;

c) M(X),D(X), σ(X).

Шийдэл: Дээр авч үзсэн томьёог ашиглан a=3, b=7 гэсэн томъёогоор бид дараахь зүйлийг олно.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7,

x>7-д 0

Түүний графикийг байгуулъя (Зураг 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> x≤3 үед 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Зураг 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> x үед 0<0,

x≥0-ийн хувьд f(x)= λе-λх.

Экспоненциал хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын функцийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)=

Тиймээс математикийн хүлээлт ба экспоненциал тархалтын стандарт хазайлт нь хоорондоо тэнцүү байна.

X-ийн (a;b) интервалд орох магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно.

П(а<Х

Даалгавар №2.Төхөөрөмжийн гэмтэлгүй ажиллах дундаж хугацаа 100 цаг байна. Төхөөрөмжийн гэмтэлгүй ажиллах хугацаа нь экспоненциал тархалтын хуультай гэж үзвэл дараахь зүйлийг ол.

a) магадлалын тархалтын нягт;

б) түгээлтийн функц;

в) төхөөрөмжийн гэмтэлгүй ажиллах хугацаа 120 цагаас хэтрэх магадлал.

Шийдэл: Нөхцөлийн дагуу математикийн тархалт M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 at x байна.<0,

a) x≥0-ийн хувьд f(x)= 0.01e -0.01x.

b) x үед F(x)= 0<0,

x≥0 үед 1-e -0.01x.

в) Хүссэн магадлалыг түгээлтийн функцээр олно.

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3.

§ 3.Хэвийн хуваарилалтын хууль

Тодорхойлолт: Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X байна хэвийн тархалтын хууль (Гауссын хууль), Хэрэв түүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байвал:

,

Энд m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Хэвийн тархалтын муруйг нэрлэнэ хэвийн буюу Гауссын муруй (Зураг 7)

Ердийн муруй нь x=m шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй, x=a үед хамгийн их утгатай, тэнцүү байна.

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн хуулийн дагуу тархсан тархалтын функцийг Лаплас функцээр Ф (х) томъёогоор илэрхийлнэ.

,

Лаплас функц хаана байна.

Сэтгэгдэл: Ф(х) функц нь сондгой (Ф(-х)=-Ф(х)) бөгөөд үүнээс гадна x>5 хувьд Ф(х) ≈1/2 гэж үзэж болно.

F(x) тархалтын функцийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" өргөн "218" өндөр "33">

Хазайлын үнэмлэхүй утга эерэг тоо δ-аас бага байх магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Ялангуяа m=0-ийн хувьд дараахь тэгшитгэлийг хангана.

"Гурван сигма дүрэм"

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь m ба σ параметртэй хэвийн тархалтын хуультай бол түүний утга (a-3σ; a+3σ) интервалд байх нь бараг тодорхой болно, учир нь

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" өргөн "157" өндөр "57 src=">a)

б) томъёог ашиглая:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" өргөн "369" өндөр "38 src=">

Ф(х) функцийн утгын хүснэгтийг ашиглан Ф(1,5)=0.4332, Ф(1)=0.3413-ыг олно.

Тэгэхээр, хүссэн магадлал:

P(28

Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар

3.1. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн (-3;5) интервалд жигд тархсан байна. Олно:

б) тархалтын функц F(x);

в) тоон үзүүлэлтүүд;

d) магадлал P(4<х<6).

3.2. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн сегмент дээр жигд тархсан байна. Олно:

a) тархалтын нягт f(x);

б) тархалтын функц F(x);

в) тоон үзүүлэлтүүд;

г) магадлал P(3≤х≤6).

3.3. Хурдны зам дээр автомат гэрлэн дохио байдаг бөгөөд ногоон гэрэл 2 минут, шар 3 секунд, улаан 30 секунд асдаг. Машин хурдны замаар санамсаргүй байдлаар явдаг. Машин гэрлэн дохионы хажуугаар зогсолтгүй өнгөрөх магадлалыг ол.

3.4. Метроны галт тэрэг 2 минутын зайтай тогтмол явдаг. Зорчигч санамсаргүй цагт тавцан руу ордог. Зорчигч галт тэргийг 50 секундээс илүү хүлээх магадлал хэд вэ? Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг олоорой - галт тэрэг хүлээх хугацаа.

3.5. Түгээлтийн функцээр өгөгдсөн экспоненциал тархалтын дисперс ба стандарт хазайлтыг ол.

X үед F(x)= 0<0,

x≥0-ийн хувьд 1-8х.

3.6. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь магадлалын тархалтын нягтаар тодорхойлогддог.

x үед f(x)= 0<0,

x≥0 үед 0.7 e-0.7x.

a) Харгалзан авч буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг нэрлэнэ үү.

б) Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний F(X) тархалтын функц болон тоон шинж чанарыг ол.

3.7. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлалын тархалтын нягтаар тодорхойлсон экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилна.

x үед f(x)= 0<0,

x≥0 үед 0.4 e-0.4 x.

Туршилтын үр дүнд X (2.5;5) интервалаас утгыг авах магадлалыг ол.

3.8. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын функцээр тодорхойлсон экспоненциал хуулийн дагуу тархдаг.

X үед F(x)= 0<0,

x≥0 үед 1-0.6x

Туршилтын үр дүнд X сегментээс утгыг авах магадлалыг ол.

3.9. Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээгдэж буй утга ба стандарт хазайлт нь 8 ба 2 байна.

a) тархалтын нягт f(x);

b) туршилтын үр дүнд X (10;14) интервалаас утгыг авах магадлал.

3.10. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь математикийн хүлээлт 3.5, дисперс нь 0.04 байхаар хэвийн тархсан байна. Олно:

a) тархалтын нягт f(x);

б) туршилтын үр дүнд X сегментээс утгыг авах магадлал.

3.11. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=0, D(X)=1 гэсэн хэвийн тархалттай байна. |X|≤0.6 эсвэл |X|≥0.6 үйл явдлын аль нь илүү магадлалтай вэ?

3.12. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=0 ба D(X)=1-ээр хэвийн тархсан байна. Нэг тестийн үед аль интервалаас (-0.5;-0.1) эсвэл (1;2) утга авах боломжтой вэ?

3.13. Хувьцааны одоогийн үнийг M(X)=10 дентэй хэвийн тархалтын хуулийг ашиглан загварчилж болно. нэгж ба σ (X)=0.3 ден. нэгж Олно:

a) одоогийн хувьцааны үнэ 9.8 денээс байх магадлал. нэгж 10.4 хоног хүртэл нэгж;

б) "гурван сигма дүрэм" -ийг ашиглан одоогийн хувьцааны үнэ байрлах хил хязгаарыг ол.

3.14. Бодисыг системчилсэн алдаагүйгээр жинлэнэ. Санамсаргүй жинлэлтийн алдаа нь σ=5g дундаж квадрат харьцаатай хэвийн хуульд хамаарна. Дөрвөн бие даасан туршилтанд гурван жинлэлтийн алдаа 3r үнэмлэхүй утгад гарахгүй байх магадлалыг ол.

3.15. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=12.6-тай хэвийн тархалттай байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн (11.4;13.8) интервалд орох магадлал 0.6826 байна. σ стандарт хазайлтыг ол.

3.16. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=12 ба D(X)=36 байхаар хэвийн тархсан байна.Тестийн үр дүнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох интервалыг 0.9973 магадлалаар ол.

3.17. Автомат машинаар үйлдвэрлэсэн эд анги нь түүний хяналттай параметрийн X хазайлт нь нэрлэсэн утгаас 2 хэмжилтийн модулиас хэтэрсэн тохиолдолд гэмтэлтэй гэж тооцогддог. X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=0, σ(X)=0.7 байхаар хэвийн тархсан гэж үздэг. Машин нь гэмтэлтэй эд ангиудын хэдэн хувийг үйлдвэрлэдэг вэ?

3.18. Хэсгийн X параметр нь нэрлэсэн утгатай тэнцүү 2 математик хүлээлт, 0.014 стандарт хазайлтаар хэвийн тархсан байна. Х-ийн нэрлэсэн утгаас хазайх нь нэрлэсэн үнийн дүнгийн 1%-иас хэтрэхгүй байх магадлалыг ол.

Хариултууд

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" өргөн "14" өндөр "110 src=">

b) x≤-3-ийн хувьд 0,

F(x)= зүүн">

3.10. a)f(x)=,

b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185.

3.11. |x|≥0.6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) P(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

9. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн, түүний тоон шинж чанар

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хоёр функц ашиглан тодорхойлж болно. X санамсаргүй хэмжигдэхүүний интеграл магадлалын тархалтын функцтэгшитгэлээр тодорхойлогдсон функц гэнэ
.

Интеграл функц нь салангид болон тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох ерөнхий аргыг өгдөг. Тасралтгүй санамсаргүй хувьсагчийн хувьд. Бүх үйл явдлууд: ижил магадлалтай, энэ интервал дээрх интеграл функцийн өсөлттэй тэнцүү байна. Жишээ нь, жишээ 26-д заасан салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд бид:

Ийнхүү авч үзэж буй функцийн интеграл функцийн график нь хоёр туяа, Окс тэнхлэгтэй параллель гурван сегментийн нэгдэл юм.

Жишээ 27. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь интеграл магадлалын тархалтын функцээр тодорхойлогддог

.

Интеграл функцийн графикийг байгуулж, туршилтын үр дүнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн (0.5;1.5) интервалд утгыг авах магадлалыг ол.

Шийдэл. Интервал дээр
график нь шулуун шугам y = 0. 0-ээс 2 хүртэлх зайд тэгшитгэлээр өгөгдсөн парабол байна.
. Интервал дээр
График нь y = 1 шулуун шугам юм.

Туршилтын үр дүнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн (0.5;1.5) интервалд утгыг авах магадлалыг томъёог ашиглан олно.

Ийнхүү, .

Интеграл магадлалын тархалтын функцийн шинж чанарууд:

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг өөр функц ашиглан тодорхойлох нь тохиромжтой, тухайлбал: магадлалын нягтын функцууд
.

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний таамагласан утга интервалд багтах магадлал
, тэгш эрхээр тодорхойлогддог
.

Функцийн графикийг нэрлэнэ тархалтын муруй. Геометрийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн X интервалд орох магадлал нь тархалтын муруй, Ox тэнхлэг ба шулуун шугамаар хязгаарлагдсан харгалзах муруйн трапецын талбайтай тэнцүү байна.
.

Магадлалын нягтын функцийн шинж чанарууд:

9.1. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон үзүүлэлтүүд

ХүлээлтҮргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн (дундаж утга) тэгшитгэлээр тодорхойлогдоно
.

M(X) -ээр тэмдэглэнэ А. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй төстэй шинж чанартай:

Зөрчилдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс квадрат хазайх математик хүлээлт, өөрөөр хэлбэл. . Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд дисперсийг томъёогоор тодорхойлно
.

Тархалт нь дараахь шинж чанартай байдаг.

Сүүлийн шинж чанар нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг олоход ашиглахад маш тохиромжтой.

Стандарт хазайлтын тухай ойлголтыг ижил төстэй байдлаар нэвтрүүлсэн. Үргэлжилсэн стандарт хазайлтХ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дисперсийн квадрат язгуур гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл.
.

Жишээ 28. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь магадлалын нягтын функцээр тодорхойлогддог
(10;12) интервалд, энэ интервалаас гадуур функцийн утга 0. 1) параметрийн утгыг ол. А, 2) математикийн хүлээлт M(X), дисперс
, стандарт хазайлт, 3) интеграл функц
интеграл ба дифференциал функцийн графикийг бүтээх.

1). Параметр олохын тулд Атомъёог ашиглана уу
. Бид авах болно. Тиймээс,
.

2). Математикийн хүлээлтийг олохын тулд бид дараах томъёог ашиглана
.

Бид зөрүүг томъёог ашиглан олох болно.
, өөрөөр хэлбэл .

Үүнийг олж авах томъёог ашиглан стандарт хазайлтыг олъё
.

3). Интеграл функцийг магадлалын нягтын функцээр дараах байдлаар илэрхийлнэ.
. Тиймээс,
цагт
, = 0 үед
u = 1 үед
.

Эдгээр функцүүдийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 4. ба зураг. 5.

Зураг 4 Зураг 5.

9.2. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын жигд тархалт

Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн магадлалын тархалт жигдинтервал дээр түүний магадлалын нягт нь энэ интервал дээр тогтмол бөгөөд энэ интервалаас гадуур тэгтэй тэнцүү бол, өөрөөр хэлбэл. . Энэ тохиолдолд үүнийг харуулах нь амархан
.

Хэрэв интервал
интервалд агуулагддаг, тэгвэл
.

Жишээ 29.Агшин зуурын дохионы үйл явдал нэг цагаас таван цагийн хооронд тохиолдох ёстой. Сигнал хүлээх хугацаа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн X. Үдээс хойш хоёроос гурван цагийн хооронд дохио илрэх магадлалыг ол.

Шийдэл. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь жигд тархалттай бөгөөд томьёог ашиглан үдээс хойш 2-3 цагийн хооронд дохио байх магадлал нь тэнцүү байна.
.

Боловсролын болон бусад уран зохиолд энэ нь ихэвчлэн уран зохиолд тэмдэглэгдсэн байдаг
.

9.3. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын хэвийн тархалт

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг түүний магадлалын тархалтын хуулийг магадлалын нягтаар тодорхойлдог бол түүнийг хэвийн гэж нэрлэдэг.
. Ийм хэмжээний хувьд А- математикийн хүлээлт,
- стандарт хазайлт.

Теорем. Өгөгдсөн интервалд хэвийн тархалттай тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлал
томъёогоор тодорхойлно
, Хаана
- Лаплас функц.

Энэ теоремын үр дагавар нь гурван сигма дүрэм, өөрөөр хэлбэл. Ердийн тархалттай, тасралтгүй X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь интервал дахь утгыг авдаг нь бараг тодорхой юм
. Энэ дүрмийг томъёоноос гаргаж авч болно
, энэ нь томьёолсон теоремын онцгой тохиолдол юм.

Жишээ 30.Телевизийн ашиглалтын хугацаа нь Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд ердийн тархалтын хуульд хамаарах бөгөөд баталгаат хугацаа нь 15 жил, стандарт хазайлт нь 3 жил байна. Зурагт 10-20 жил ажиллах магадлалыг ол.

Шийдэл. Бодлогын нөхцлийн дагуу математикийн хүлээлт А= 15, стандарт хазайлт.

Олъё . Тиймээс ТВ-ийн 10-20 жил ажиллах магадлал 0.9-ээс их байна.

9.4 Чебышевын тэгш бус байдал

явагддаг Чебышевын лемма. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь зөвхөн сөрөг бус утгыг авч, математикийн хүлээлттэй бол аливаа эерэг В
.

Үүнийг эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр гэж үзвэл бид үүнийг олж авна
.

Чебышевын теорем. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь хязгаарлагдмал дисперстэй бол
ба математикийн хүлээлт M(X), дараа нь аливаа эерэг тэгш бус байдал нь үнэн юм
.

Үүнээс үүдэн үүнийг дагадаг
.

Жишээ 31.Багц эд анги үйлдвэрлэсэн. Эд ангиудын дундаж урт нь 100 см, стандарт хазайлт нь 0.4 см байна. Санамсаргүй байдлаар авсан хэсгийн урт нь дор хаяж 99 см байх магадлалыг доороос тооцоол. 101 см-ээс ихгүй байна.

Шийдэл. Зөрчил. Математикийн хүлээлт 100. Тиймээс тухайн үйл явдлын магадлалыг доороос нь тооцоолох
Чебышевын тэгш бус байдлыг хэрэглэцгээе
, Дараа нь
.

10. Математик статистикийн элементүүд

Статистикийн нэгтгэлнэгэн төрлийн объект эсвэл үзэгдлийн багцыг нэрлэх. Тоо nЭнэ олонлогийн элементүүдийг цуглуулгын эзэлхүүн гэж нэрлэдэг. Ажиглагдсан утгууд X шинж чанар гэж нэрлэдэг сонголтууд. Хэрэв сонголтуудыг нэмэгдүүлэх дарааллаар байрлуулсан бол бид авна дискрет вариацын цуврал. Бүлэглэх тохиолдолд интервалаар сонголт нь болж хувирна интервалын өөрчлөлтийн цуврал. Доод давтамж tОнцлог утгууд нь тухайн хувилбартай хүн амын тоог ойлгодог.

Статистикийн популяцийн давтамж ба эзлэхүүний харьцааг нэрлэдэг харьцангуй давтамжтэмдэг:
.

Вариацын цувааны хувилбарууд ба тэдгээрийн давтамжуудын хоорондын хамаарлыг гэнэ түүврийн статистик тархалт. Статистикийн тархалтын график дүрслэл байж болно олон өнцөгтдавтамж

Жишээ 32.Нэгдүгээр дамжааны 25 оюутны дунд судалгаа явуулснаар тэдний насны талаарх дараах мэдээллийг олж авлаа.
. Сурагчдын насаар нь статистикийн тархалтыг эмхэтгэж, хэлбэлзлийн мужийг олж, давтамжийн олон өнцөгтийг байгуулж, харьцангуй давтамжийн тархалтын цувааг эмхэтгэ.

Шийдэл. Судалгаанаас олж авсан өгөгдлийг ашиглан бид түүврийн статистикийн тархалтыг бий болгоно

Вариацын түүврийн муж 23 – 17 = 6. Давтамжийн олон өнцөгт байгуулахын тулд координат бүхий цэгүүдийг байгуулна.
ба тэдгээрийг цувралаар холбоно.

Харьцангуй давтамжийн тархалтын цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.

10.1.Вариацын цувааны тоон шинж чанар

Түүврийг X онцлогийн давтамжийн тархалтаар өгье.

Бүх давтамжийн нийлбэр тэнцүү байна х.

Түүврийн арифметик дундажтоо хэмжээг нэрлэнэ үү
.

Зөрчилэсвэл X шинж чанарын утгуудын арифметик дундажтай харьцуулахад тархалтын хэмжүүрийг утга гэнэ.
. Стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур, i.e. .

Стандарт хазайлтыг түүврийн арифметик дундажтай харьцуулсан харьцааг хувиар илэрхийлнэ. хэлбэлзлийн коэффициент:
.

Эмпирик харьцангуй давтамжийн тархалтын функцутга тус бүрээр үйл явдлын харьцангуй давтамжийг тодорхойлдог функцийг дууд
, өөрөөр хэлбэл
, Хаана - сонголтуудын тоо, бага X, А n- дээжийн хэмжээ.

Жишээ 33.Жишээ 32-ын нөхцөлд тоон шинж чанарыг ол
.

Шийдэл. Томъёог ашиглан түүврийн арифметик дундажийг олъё, тэгвэл .

X шинж чанарын дисперсийг томъёогоор олно: , өөрөөр хэлбэл . Түүврийн стандарт хазайлт нь
. Өөрчлөлтийн коэффициент нь
.

10.2. Харьцангуй давтамжаар магадлалын тооцоолол. Итгэлийн интервал

Үүнийг хэрэгжүүлээсэй nбие даасан туршилтууд, тус бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал тогтмол бөгөөд тэнцүү байна r. Энэ тохиолдолд харьцангуй давтамж нь туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлалаас үнэмлэхүй утгаараа ялгаатай байх магадлал нь Лапласын интеграл функцийн хоёр дахин их утгатай тэнцүү байна.
.

Интервалын тооцоостатистик популяцийн тооцоолсон параметрийг хамарсан интервалын төгсгөл болох хоёр тоогоор тодорхойлогддог ийм тооцоог дуудна.

Итгэлийн интервалнь өгөгдсөн итгэлтэй магадлал бүхий интервал юм статистикийн хүн амын тооцоолсон параметрийг хамарна. Үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг орлуулах томъёог авч үзье rтүүний ойролцоо утгатай түүвэр өгөгдлөөс олж авсан, бид олж авна:
. Энэ томьёог харьцангуй давтамжаар магадлалыг тооцоход ашигладаг. Тоонууд
Тэгээд
доод ба дээд гэж нэрлэдэг итгэлцлийн хил хязгаар, - өгөгдсөн итгэлийн магадлалын хамгийн их алдаа
.

Жишээ 34. Үйлдвэрийн цех нь гэрлийн чийдэн үйлдвэрлэдэг. 625 чийдэнг шалгахад 40 нь гэмтэлтэй байсан. Үйлдвэрийн цехээс үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй гэрлийн чийдэнгийн хувь хэмжээг 0.95-ын итгэлтэй магадлалаар ол.

Шийдэл. Даалгаврын нөхцлийн дагуу. Бид томъёог ашигладаг
. Хавсралтын 2-р хүснэгтийг ашиглан Лапласын интеграл функцийн утга 0.475-тай тэнцүү байх аргументийн утгыг олно. Бид үүнийг ойлгодог
. Ийнхүү, . Тиймээс бид 0.95 магадлалаар цехийн үйлдвэрлэсэн согогийн эзлэх хувь өндөр, тухайлбал 6.2% -иас 6.6% хооронд хэлбэлзэж байна гэж хэлж болно.

10.3. Статистик дахь параметрийн тооцоо

Судалгаанд хамрагдаж буй нийт популяцийн (нийт популяци) тоон шинж чанарын X нь хэвийн тархалттай байг.

Хэрэв стандарт хазайлт нь мэдэгдэж байгаа бол математикийн хүлээлтийг хамарсан итгэлийн интервал болно А

, Хаана n- дээжийн хэмжээ, - арифметик дундаж жишээ, тнь Лапласын интеграл функцийн аргумент бөгөөд үүнд
. Энэ тохиолдолд тоо
үнэлгээний нарийвчлал гэж нэрлэдэг.

Хэрэв стандарт хазайлт тодорхойгүй бол түүврийн өгөгдлөөс Оюутны тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүтээх боломжтой. n– 1 градусын эрх чөлөө, энэ нь зөвхөн нэг параметрээр тодорхойлогддог nмөн үл мэдэгдэх зүйлээс хамаардаггүй АМөн . Жижиг дээжийн хувьд ч оюутны t-тархалт
хангалттай үнэлгээ өгдөг. Дараа нь математикийн хүлээлтийг хамарсан итгэлийн интервал Аөгөгдсөн итгэлтэй магадлал бүхий энэ шинж чанарыг нөхцөл байдлаас олно

, энд S нь зассан дундаж квадрат, - Өгөгдлөөс олдсон оюутны коэффициент
хавсралтын 3-р хүснэгтээс.

Энэ шинж чанарын стандарт хазайлтыг итгэх магадлал бүхий итгэлцлийн интервалыг дараах томъёогоор олно: ба , энд
утгын хүснэгтээс олж болно q өгөгдлийн дагуу.

10.4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн хоорондын хамаарлыг судлах статистик аргууд

Y-ийн X-ийн корреляцийн хамаарал нь нөхцөлт дундажийн функциональ хамаарал юм -аас X.Тэгшитгэл
X дээрх Y-ийн регрессийн тэгшитгэлийг илэрхийлнэ, ба
- X-ийн Y дээр регрессийн тэгшитгэл.

Корреляцийн хамаарал нь шугаман эсвэл муруй шугаман байж болно. Шугаман корреляцийн хамаарлын хувьд шулуун регрессийн шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
, налуу хаана байна А X дээрх Y регрессийн шулуун шугамыг X дээрх Y регрессийн түүврийн коэффициент гэж нэрлээд тэмдэглэнэ
.

Жижиг түүврийн хувьд өгөгдлийг бүлэгт оруулаагүй, параметрүүд
Энгийн тэгшитгэлийн системээс хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан олно.

, Хаана n- харилцан хамааралтай хэмжигдэхүүний хос утгын ажиглалтын тоо.

Жишээ шугаман корреляцийн коэффициент Ү ба X хоорондын нягт хамаарлыг харуулж байна. Корреляцийн коэффициентийг томъёогоор олно
, ба
, тухайлбал:

X дээрх Y шулуун регрессийн шугамын жишээ тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

.

X ба Y шинж чанаруудын олон тооны ажиглалтаар хоёр оролт бүхий корреляцийн хүснэгтийг ижил утгатай эмхэтгэсэн. Xажиглагдсан удаа, ижил утгатай цагтажиглагдсан удаа, ижил хос
ажиглагдсан нэг удаа.

Жишээ 35. X ба Y тэмдгүүдийн ажиглалтын хүснэгтийг үзүүлэв.

X дээрх шулуун регрессийн Y шулууны түүврийн тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Судалгаанд хамрагдсан шинж чанаруудын хоорондын хамаарлыг Х дээр Ү-ийн регрессийн шулуун шугамын тэгшитгэлээр илэрхийлж болно: . Тэгшитгэлийн коэффициентийг тооцоолохын тулд тооцооллын хүснэгтийг байгуулъя.