Тодорхойлолт. Зуйван гэдэг нь хавтгай дээрх цэгүүдийн геометрийн байрлал бөгөөд энэ хавтгайн өгөгдсөн хоёр цэгээс тус бүрийн фокус гэж нэрлэгддэг зайны нийлбэр нь тогтмол утга юм (энэ утга нь голомтуудын хоорондох зайнаас их байх тохиолдолд) .
Бид голомтыг тэдгээрийн хоорондох зайгаар тэмдэглэнэ - , мөн тогтмол утгыг эллипсийн цэг бүрээс голомт хүртэлх зайны нийлбэртэй тэнцүү (нөхцөлөөр).
Фокусууд абсцисса тэнхлэг дээр байх ба координатын эхлэл нь сегментийн дунд хэсэгтэй давхцаж байхаар декартын координатын системийг байгуулъя (Зураг 44). Дараа нь фокусууд дараах координатуудтай болно: зүүн фокус ба баруун тийш. Сонгосон координатын системд эллипсийн тэгшитгэлийг гаргая. Энэ зорилгоор эллипсийн дурын цэгийг авч үзье. Эллипсийн тодорхойлолтоор энэ цэгээс голомт хүртэлх зайны нийлбэр нь дараахтай тэнцүү байна.
Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан бид олж авна
Энэ тэгшитгэлийг хялбарчлахын тулд бид үүнийг хэлбэрээр бичнэ
Дараа нь тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болговол бид олж авна
эсвэл илт хялбаршуулсаны дараа:
Одоо бид тэгшитгэлийн хоёр талыг дахин квадрат болгосны дараа бид дараах байдалтай байна.
эсвэл ижил өөрчлөлтүүдийн дараа:
Учир нь эллипсийн тодорхойлолт дахь нөхцлийн дагуу тоо нь эерэг байна. Тэмдэглэгээг танилцуулъя
Дараа нь тэгшитгэл дараах хэлбэрийг авна.
Зуувангийн тодорхойлолтоор түүний аль нэг цэгийн координат нь (26) тэгшитгэлийг хангана. Харин (29) тэгшитгэл нь (26) тэгшитгэлийн үр дагавар юм. Үүний үр дүнд эллипсийн аль ч цэгийн координатууд бас хангагдана.
Зууван дээр хэвтэхгүй цэгүүдийн координатууд (29) тэгшитгэлийг хангахгүй байгааг харуулж болно. Тиймээс (29) тэгшитгэл нь эллипсийн тэгшитгэл юм. Үүнийг эллипсийн каноник тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Эллипсийн хэлбэрийг түүний каноник тэгшитгэлийг ашиглан тогтооцгооё.
Юуны өмнө, энэ тэгшитгэл нь зөвхөн x ба у-ийн тэгш хүчийг агуулна гэдгийг анхааръя. Энэ нь хэрэв аль нэг цэг нь эллипсэд хамаарах бол абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэг, ордны тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийг агуулна гэсэн үг юм. Тиймээс эллипс нь харилцан перпендикуляр тэгш хэмийн хоёр тэнхлэгтэй бөгөөд бидний сонгосон координатын системд координатын тэнхлэгүүдтэй давхцдаг. Бид цаашид эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүдийг эллипсийн тэнхлэгүүд, тэдгээрийн огтлолцох цэгийг эллипсийн төв гэж нэрлэх болно. Зуувангийн голомтууд байрладаг тэнхлэгийг (энэ тохиолдолд абсцисса тэнхлэг) фокусын тэнхлэг гэж нэрлэдэг.
Эхлээд эхний улиралд эллипсийн хэлбэрийг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд (28) тэгшитгэлийг y-ийн хувьд шийдье:
Энд байгаа нь илт байна, учир нь y нь төсөөллийн утгыг авдаг. 0-ээс a хүртэл өсөхөд y нь b-ээс 0 хүртэл буурна.Эллипсийн эхний улиралд байрлах хэсэг нь B (0; b) цэгүүдээр хүрээлэгдсэн, координатын тэнхлэгүүд дээр байрлах нум байх болно (Зураг 45). Одоо эллипсийн тэгш хэмийг ашигласнаар бид эллипс нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна. 45.
Эллипсийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг эллипсийн орой гэж нэрлэдэг. Зуувангийн тэгш хэмээс харахад оройнуудаас гадна эллипс нь өөр хоёр оройтой байна (45-р зургийг үз).
Эллипсийн сегментүүд болон тэдгээрийн эсрэг талын оройнуудыг холбосон хэсгүүд, тэдгээрийн уртыг тус тус эллипсийн том ба бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг. a ба b тоонуудыг тус тус эллипсийн том ба бага хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг.
Голомтуудын хоорондох зайны хагасын эллипсийн хагас гол тэнхлэгийн харьцааг эллипсийн хазгай гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн дараах үсгээр тэмдэглэдэг.
Учир нь эллипсийн хазгай нь нэгдлээс бага байна: Хачирхалтай байдал нь эллипсийн хэлбэрийг тодорхойлдог. Үнэн хэрэгтээ (28) томъёоноос харахад эллипсийн хазайлт бага байх тусам түүний жижиг хагас тэнхлэг b нь том хагас тэнхлэгээс бага ялгаатай байх болно, өөрөөр хэлбэл эллипс бага сунадаг (фокусын тэнхлэгийн дагуу).
Хязгаарлах тохиолдолд үр дүн нь a радиустай тойрог болно: , эсвэл . Үүний зэрэгцээ эллипсийн голомтууд нэг цэг дээр - тойргийн төвд нийлдэг бололтой. Тойргийн хазгай нь тэг байна:
Зууван ба тойрог хоорондын холболтыг өөр өнцгөөс харж болно. a ба b хагас тэнхлэгтэй эллипсийг a радиустай тойргийн проекц гэж үзэж болохыг харуулъя.
Өөр хоорондоо ийм a өнцөг үүсгэсэн P ба Q хоёр хавтгайг авч үзье (Зураг 46). P хавтгайд координатын системийг, Q хавтгайд Oxy системийг нийтлэг гарал үүсэлтэй O, нийтлэг абсцисса тэнхлэгийг хавтгайнуудын огтлолцлын шугамтай давхцуулж байгуулъя. P хавтгай дахь тойргийг авч үзье
эхлэл дээр төвтэй, радиус нь a-тай тэнцүү. Тойрог дээрх дур зоргоороо сонгогдсон цэг, түүний Q хавтгай дээрх проекц, М цэгийн Үхрийн тэнхлэг дээрх проекц нь байг. Энэ цэг нь a ба b хагас тэнхлэгтэй эллипс дээр оршдог болохыг харуулъя.
Тодорхойлолт 7.1. F 1 ба F 2 тогтмол хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь өгөгдсөн тогтмол утга болох хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн багцыг гэнэ. эллипс.
Эллипсийн тодорхойлолт нь түүний геометрийн бүтцийн дараах аргыг өгдөг. Бид хавтгай дээр F 1 ба F 2 гэсэн хоёр цэгийг засч, сөрөг бус тогтмол утгыг 2а-аар тэмдэглэнэ. F 1 ба F 2 цэгүүдийн хоорондох зайг 2c гэж үзье. Жишээ нь, хоёр зүү ашиглан F 1 ба F 2 цэгүүдэд 2а урттай сунадаггүй утас бэхлэгдсэн байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь зөвхөн ≥ c үед л боломжтой гэдэг нь ойлгомжтой. Утсыг харандаагаар татсаны дараа зураас зурж, эллипс хэлбэртэй болно (Зураг 7.1).
Хэрэв a ≥ c бол тайлбарласан багц хоосон биш болно. a = c үед эллипс нь F 1 ба F 2 төгсгөлтэй сегмент бөгөөд c = 0 үед i.e. Хэрэв эллипсийн тодорхойлолтод заасан тогтмол цэгүүд давхцаж байвал энэ нь a радиустай тойрог юм. Эдгээр доройтсон тохиолдлуудаас татгалзаж, бид дүрмээр бол a > c > 0 гэж таамаглах болно.
Зуувангийн 7.1-д заасан F 1 ба F 2 тогтмол цэгүүдийг (7.1-р зургийг үз) гэж нэрлэдэг. эллипсийн голомт, тэдгээрийн хоорондох зай, 2c-ээр тэмдэглэгдсэн, - фокусын урт, мөн эллипс дээрх дурын M цэгийг голомтууд нь холбосон F 1 M ба F 2 M хэрчмүүд байна. фокусын радиус.
Зууван хэлбэр нь фокусын уртаар бүрэн тодорхойлогддог |F 1 F 2 | = 2c ба параметр a, ба түүний хавтгай дээрх байрлал - хос F 1 ба F 2 цэгүүд.
Зуувангийн тодорхойлолтоос харахад энэ нь F 1 ба F 2 голомтуудыг дайран өнгөрч буй шугам, түүнчлэн F 1 F 2 сегментийг хагасаар хувааж, түүнд перпендикуляр шугамтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. (Зураг 7.2, а). Эдгээр мөрүүдийг нэрлэдэг эллипс тэнхлэгүүд. Тэдний огтлолцлын О цэг нь эллипсийн тэгш хэмийн төв бөгөөд үүнийг нэрлэдэг эллипсийн төв, мөн эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд (Зураг 7.2, а дахь A, B, C, D цэгүүд) - эллипсийн оройнууд.
a тоог дууддаг эллипсийн хагас гол тэнхлэг, ба b = √(a 2 - c 2) - түүний бага тэнхлэг. c > 0-ийн хувьд хагас том тэнхлэг нь эллипсийн голомттой нэг тэнхлэгт байрлах оройнуудынх нь төвөөс (А ба В орой) хүртэлх зайтай тэнцүү болохыг хялбархан харж болно. 7.2-р зураг, а) ба хагас жижиг тэнхлэг b нь төв эллипсээс түүний бусад хоёр орой хүртэлх зайтай тэнцүү байна (Зураг 7.2, a-д C ба D орой).
Эллипсийн тэгшитгэл.Хавтгай дээрх F 1 ба F 2 цэгүүд, гол тэнхлэг 2a дээр төвлөрч байгаа зарим эллипсийг авч үзье. 2c нь фокусын урт, 2c = |F 1 F 2 |
Хавтгай дээрх Oxy тэгш өнцөгт координатын системийг сонгоцгооё. Ингэснээр түүний гарал үүсэл нь эллипсийн төвтэй давхцаж, голомтууд нь дээр байна. x тэнхлэг(Зураг 7.2, b). Ийм координатын системийг нэрлэдэг канониктухайн эллипсийн хувьд, харгалзах хувьсагч нь байна каноник.
Сонгосон координатын системд голомтууд нь F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) координатуудтай байна. Цэгүүдийн хоорондох зайны томъёог ашиглан |F 1 M| нөхцөлийг бичнэ + |F 2 M| = 2a координатаар:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Энэ тэгшитгэл нь хоёр квадрат радикал агуулсан учир тохиромжгүй юм. Тиймээс үүнийг өөрчилье. (7.2) тэгшитгэлийн хоёр дахь радикалыг баруун тал руу шилжүүлж квадрат болгоцгооё.
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .
Хаалт нээж, ижил төстэй нэр томъёог авчирсны дараа бид олж авна
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
Энд ε = c/a. Бид хоёр дахь радикалыг арилгахын тулд квадратын үйлдлийг давтан хийнэ: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, эсвэл оруулсан параметрийн ε утгыг харгалзан (a 2 - c 2) ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. a 2 - c 2 = b 2 > 0 тул
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
(7.4) тэгшитгэл нь эллипс дээр байрлах бүх цэгүүдийн координатаар хангагдсан байна. Гэхдээ энэ тэгшитгэлийг гаргахдаа анхны тэгшитгэлийн (7.2) ижил бус хувиргалтыг ашигласан - дөрвөлжин радикалуудыг арилгадаг хоёр квадрат. Хоёр тал нь ижил тэмдэгтэй хэмжигдэхүүнтэй бол тэгшитгэлийн квадрат нь тэнцүү хувиргалт юм, гэхдээ бид үүнийг хувиргахдаа шалгаагүй.
Хэрэв бид дараахь зүйлийг анхаарч үзвэл хувиргалтын тэнцүү байдлыг шалгахаас зайлсхийх боломжтой. F 1 ба F 2, |F 1 F 2 | хос цэг = 2c, хавтгай дээр эдгээр цэгүүдэд голомт бүхий эллипсийн гэр бүлийг тодорхойлно. F 1 F 2 сегментийн цэгүүдээс бусад хавтгайн цэг бүр нь заасан гэр бүлийн зарим эллипст хамаарна. Энэ тохиолдолд фокусын радиусуудын нийлбэр нь тодорхой эллипсийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог тул хоёр эллипс огтлолцохгүй. Тиймээс, огтлолцолгүй эллипсийн дүрсэлсэн гэр бүл нь F 1 F 2 сегментийн цэгүүдээс бусад бүх хавтгайг хамардаг. a параметрийн өгөгдсөн утгаар (7.4) тэгшитгэлийг хангаж байгаа цэгүүдийн багцыг авч үзье. Энэ олонлогийг хэд хэдэн эллипсийн хооронд тарааж болох уу? Олонлогийн зарим цэгүүд нь хагас гол тэнхлэг бүхий эллипсэд хамаарна. Хагас том а тэнхлэгтэй эллипс дээр байрлах энэ олонлогт цэг байг. Дараа нь энэ цэгийн координатууд тэгшитгэлд захирагдана
тэдгээр. (7.4) ба (7.5) тэгшитгэлүүд нийтлэг шийдтэй байна. Гэсэн хэдий ч энэ нь системийг шалгахад хялбар байдаг
ã ≠ a-д шийдэл байхгүй. Үүнийг хийхийн тулд жишээлбэл, x-г эхний тэгшитгэлээс хасахад хангалттай.
Энэ нь хувиргасны дараа тэгшитгэлд хүргэдэг
ã ≠ a-ийн шийдэлгүй тул . Тэгэхээр (7.4) нь хагас том тэнхлэг a > 0, хагас бага тэнхлэг b =√(a 2 - c 2) > 0 байх эллипсийн тэгшитгэл юм. Үүнийг гэнэ. каноник эллипсийн тэгшитгэл.
Эллипс харах.Дээр дурдсан эллипс барих геометрийн арга нь эллипсийн харагдах байдлын талаар хангалттай ойлголт өгдөг. Гэхдээ эллипсийн хэлбэрийг түүний каноник тэгшитгэлийг (7.4) ашиглан судалж болно. Жишээлбэл, та y ≥ 0 гэж үзвэл y-г x-ээр илэрхийлж болно: y = b√(1 - x 2 /a 2), мөн энэ функцийг судалсны дараа түүний графикийг байгуулж болно. Зууван бүтээх өөр нэг арга бий. Зуувангийн (7.4) каноник координатын системийн эхэнд төвтэй a радиустай тойргийг x 2 + y 2 = a 2 тэгшитгэлээр тодорхойлно. Хэрэв энэ нь a/b > 1 коэффициентээр шахагдсан бол у тэнхлэг, тэгвэл та x 2 + (ya/b) 2 = a 2, өөрөөр хэлбэл, эллипс тэгшитгэлээр дүрслэгдсэн муруйг авна.
Тайлбар 7.1.Хэрэв ижил тойрог нь a/b коэффициентээр шахагдсан бол
Эллипсийн хазгай. Эллипсийн фокусын уртыг гол тэнхлэгт нь харьцуулсан харьцааг нэрлэнэ эллипсийн хазгай байдалба ε-ээр тэмдэглэнэ. Өгөгдсөн эллипсийн хувьд
каноник тэгшитгэл (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Хэрэв (7.4)-д a ба b параметрүүд нь тэгш бус байдлаар хамааралтай бол a
c = 0 үед эллипс тойрог болж хувирах үед ε = 0. Бусад тохиолдолд 0.
(7.4) ба (7.2) тэгшитгэлүүд тэнцүү тул (7.3) тэгшитгэл (7.4)-тэй тэнцүү байна. Тиймээс эллипсийн тэгшитгэл нь мөн (7.3). Үүнээс гадна (7.3) хамаарал нь |F 2 M| уртын энгийн, радикалгүй томьёог өгдөг учраас сонирхолтой юм. эллипсийн M(x; y) цэгийн фокусын радиусуудын нэг: |F 2 M| = a + εx.
Хоёрдахь фокусын радиусын ижил төстэй томъёог тэгш хэмийг харгалзан үзэх эсвэл (7.2) тэгшитгэлийг квадрат болгохын өмнө эхний радикалыг хоёр дахь нь биш харин баруун талд шилжүүлсэн тооцоог давтах замаар олж авч болно. Тиймээс эллипс дээрх дурын M(x; y) цэгийн хувьд (7.2-р зургийг үз).
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
ба эдгээр тэгшитгэл бүр нь эллипсийн тэгшитгэл юм.
Жишээ 7.1.Хагас том тэнхлэг 5, хазгай 0.8-тай эллипсийн каноник тэгшитгэлийг олоод байгуулъя.
Эллипсийн хагас том тэнхлэгийг a = 5 ба хазгай ε = 0.8 гэдгийг мэдсэнээр бид түүний хагас бага тэнхлэг b-ийг олох болно. b = √(a 2 - c 2), c = εa = 4 тул b = √(5 2 - 4 2) = 3. Тэгэхээр каноник тэгшитгэл нь x 2 /5 2 + y 2 /3 хэлбэртэй байна. 2 = 1. Зууван байгуулахын тулд каноник координатын системийн эхэнд төвтэй тэгш өнцөгтийг зурах нь тохиромжтой бөгөөд талууд нь эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй параллель бөгөөд харгалзах тэнхлэгүүдтэй тэнцүү байна (Зураг 1). 7.4). Энэ тэгш өнцөгт нь огтлолцдог
A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) оройн дээрх эллипсийн тэнхлэгүүд ба эллипс өөрөө дотор нь бичээстэй байна. Зураг дээр. 7.4-т мөн эллипсийн F 1.2 (±4; 0) голомтыг харуулав.
Эллипсийн геометрийн шинж чанарууд.(7.6) дахь эхний тэгшитгэлийг |F 1 M| гэж дахин бичье = (a/ε - x)ε. F 1 фокус нь эллипст хамаарахгүй тул a > c-ийн a/ε - x утга эерэг болохыг анхаарна уу. Энэ утга нь энэ шугамын зүүн талд байрлах M(x; y) цэгээс d: x = a/ε босоо шугам хүртэлх зайг илэрхийлнэ. Зууван тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно
|F 1 M|/(a/ε - x) = ε
Энэ эллипс нь F 1 M фокусын радиусын уртыг шулуун d хүртэлх зайд харьцуулсан харьцаа нь ε-тэй тэнцүү тогтмол утгатай хавтгайн M(x; y) цэгүүдээс бүрддэг гэсэн үг юм (Зураг 1). 7.5).
d шулуун шугам нь "давхар" - зуувангийн төвтэй харьцуулахад d-тэй тэгш хэмтэй босоо шулуун шугамтай бөгөөд үүнийг d-ийн хувьд x = -a/ε тэгшитгэлээр өгсөн болно г-тэй адил арга замаар. d ба d" мөрүүдийг хоёуланг нь дууддаг эллипсийн чиглүүлэлтүүд. Эллипсийн чиглүүлэлтүүд нь түүний голомтууд байрлах эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгт перпендикуляр байх ба эллипсийн төвөөс a/ε = a 2 /c зайд байрладаг (7.5-р зургийг үз).
Директриксээс түүнд хамгийн ойр байрлах фокус хүртэлх p зайг нэрлэнэ эллипсийн фокусын параметр. Энэ параметр нь тэнцүү байна
p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c
Эллипс нь өөр нэг чухал геометрийн шинж чанартай: F 1 M ба F 2 M фокусын радиусууд нь M цэгийн эллипстэй шүргэгчтэй тэнцүү өнцөг үүсгэдэг (Зураг 7.6).
Энэ өмч нь тодорхой физик утгатай. Хэрэв гэрлийн эх үүсвэрийг F 1 фокус дээр байрлуулсан бол эллипсээс ойсны дараа энэ фокусаас гарч буй туяа нь хоёр дахь фокусын радиусын дагуу явах болно, учир нь тусгасны дараа тусгалын өмнөх шиг муруйтай ижил өнцгөөр байрлана. Тиймээс F 1 фокусаас гарч буй бүх туяа хоёр дахь F 2 фокус дээр төвлөрч, эсрэгээр нь төвлөрнө. Энэхүү тайлбар дээр үндэслэн энэ өмчийг нэрлэдэг эллипсийн оптик шинж чанар.
Зууван гэдэг нь хавтгай дээрх цэгүүдийн геометрийн байрлал, тэдгээрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр F_1, F_2 нь эдгээр цэгүүдийн хоорондох зайнаас (2c) их (2а) тогтмол утга юм (Зураг 1). 3.36, a). Энэхүү геометрийн тодорхойлолтыг илэрхийлдэг эллипсийн фокусын шинж чанар.
Эллипсийн фокусын шинж чанар
F_1 ба F_2 цэгүүдийг эллипсийн голомт гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн хоорондох зай нь 2c=F_1F_2 нь фокусын урт, F_1F_2 сегментийн дунд О нь эллипсийн төв, 2a тоо нь эллипсийн гол тэнхлэгийн урт юм. эллипс (үүний дагуу a тоо нь эллипсийн хагас гол тэнхлэг юм). Эллипсийн дурын М цэгийг голомтууд нь холбосон F_1M ба F_2M хэрчмүүдийг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. Эллипсийн хоёр цэгийг холбосон сегментийг эллипсийн хөвч гэж нэрлэдэг.
e=\frac(c)(a) харьцааг эллипсийн хазайлт гэнэ. Тодорхойлолтоос (2a>2c) 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Эллипсийн геометрийн тодорхойлолт, түүний фокусын шинж чанарыг илэрхийлэх нь түүний аналитик тодорхойлолттой тэнцүү байна - эллипсийн каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугам:
Үнэхээр тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя (Зураг 3.36в). Бид эллипсийн төв O цэгийг координатын системийн эхлэл болгон авна; бид голомтоор дамжин өнгөрөх шулуун шугамыг (фокусын тэнхлэг эсвэл эллипсийн эхний тэнхлэг) абсцисса тэнхлэг болгон авдаг (түүн дээрх эерэг чиглэл нь F_1 цэгээс F_2 цэг хүртэл); Фокусын тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг ординатын тэнхлэг болгон эллипсийн төвөөр (зуувангийн хоёр дахь тэнхлэг) дайран өнгөрдөг шулуун шугамыг авъя (ординатын тэнхлэг дээрх чиглэлийг тэгш өнцөгт координатын систем Oxy зөв байхаар сонгосон) .
Фокусын шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолтыг ашиглан эллипсийн тэгшитгэлийг байгуулъя. Сонгосон координатын системд бид голомтын координатыг тодорхойлно F_1(-c,0),~F_2(c,0). Эллипсэд хамаарах дурын M(x,y) цэгийн хувьд бид:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Энэ тэгш байдлыг координат хэлбэрээр бичвэл бид дараахь зүйлийг авна.
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Бид хоёр дахь радикалыг баруун тийш шилжүүлж, тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгож, ижил төстэй нэр томъёог авчирна.
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Зүүн баруун сум ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
4-т хуваахдаа тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоно.
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Зүүн баруун сум~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Томилогдсон b=\sqrt(a^2-c^2)>0, бид авдаг b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Хоёр талыг a^2b^2\ne0-д хувааснаар бид эллипсийн каноник тэгшитгэлд хүрнэ.
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Тиймээс сонгосон координатын систем нь каноник юм.
Хэрэв эллипсийн голомтууд давхцаж байвал a=b тул эллипс нь тойрог болно (Зураг 3.36,6). Энэ тохиолдолд цэг дээр гарал үүсэлтэй аливаа тэгш өнцөгт координатын систем каноник болно O\equiv F_1\equiv F_2, мөн x^2+y^2=a^2 тэгшитгэл нь төв нь О цэгт, радиус нь a-тай тэнцүү тойргийн тэгшитгэл юм.
Үндэслэлийг урвуу дарааллаар хийснээр координат нь тэгшитгэл (3.49)-ийг хангасан бүх цэгүүд, зөвхөн тэдгээр нь эллипс гэж нэрлэгддэг цэгүүдийн байршилд хамаардаг болохыг харуулж болно. Өөрөөр хэлбэл, эллипсийн аналитик тодорхойлолт нь эллипсийн фокусын шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолттой тэнцүү байна.
Зуувангийн чиглүүлэх шинж чанар
Эллипсийн чиглүүлэлтүүд нь каноник координатын системийн ординатын тэнхлэгтэй параллель, түүнээс ижил \frac(a^2)(c) зайд орших хоёр шулуун шугам юм. c=0 үед эллипс нь тойрог байх үед дистрикс байхгүй (бид чиглүүлэлтүүд хязгааргүйд байна гэж үзэж болно).
0 хазгайтай эллипс
Үнэн хэрэгтээ, жишээ нь, фокус F_2 ба directrix d_2 (Зураг 3.37,6) нөхцөл \frac(r_2)(\rho_2)=eкоординат хэлбэрээр бичиж болно:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\баруун)
Ухаангүй байдлаас ангижрах, солих e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, бид каноник эллипсийн тэгшитгэлд хүрнэ (3.49). Фокус F_1 болон захиралд ижил төстэй үндэслэлийг хийж болно d_1\колон\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэл
F_1r\varphi туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэл (Зураг 3.37, c ба 3.37 (2)) хэлбэртэй байна.
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
Энд p=\frac(b^2)(a) нь эллипсийн фокусын параметр юм.
Чухамдаа туйлын координатын системийн туйлаар эллипсийн зүүн фокус F_1, туйлын тэнхлэгээр F_1F_2 туяаг сонгоцгооё (Зураг 3.37, в). Дараа нь дурын M(r,\varphi) цэгийн хувьд эллипсийн геометрийн тодорхойлолтын (фокусын шинж чанар) дагуу бид r+MF_2=2a байна. Бид M(r,\varphi) ба F_2(2c,0) цэгүүдийн хоорондох зайг илэрхийлнэ (харна уу):
\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)
Тиймээс координатын хэлбэрээр F_1M+F_2M=2a эллипсийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Бид тэгшитгэлийн радикал, дөрвөлжин хоёр талыг тусгаарлаж, 4-т хувааж, ижил төстэй нэр томъёог үзүүлэв.
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Зүүн баруун сум~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Бид туйлын радиусыг r илэрхийлж, орлуулалтыг хийнэ e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Зүүн баруун сум \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Зүүн баруун сум \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Зуйван тэгшитгэл дэх коэффициентүүдийн геометрийн утга
Зууван (зураг 3.37, а-г үз) координатын тэнхлэгүүдтэй (зуувангийн орой) огтлолцох цэгүүдийг олъё. Тэгшитгэлд y=0 гэж орлуулснаар эллипсийн абсцисса тэнхлэгтэй (фокусын тэнхлэгтэй) огтлолцох цэгүүдийг олно: x=\pm a. Үүний үр дүнд эллипсийн дотор байрлах фокусын тэнхлэгийн сегментийн урт нь 2a-тай тэнцүү байна. Энэ сегментийг дээр дурдсанчлан эллипсийн гол тэнхлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд a тоо нь эллипсийн хагас том тэнхлэг юм. x=0-г орлуулахад y=\pm b болно. Тиймээс эллипсийн хоёр дахь тэнхлэгийн сегментийн урт нь 2b-тэй тэнцүү байна. Энэ сегментийг эллипсийн бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд b тоо нь эллипсийн хагас жижиг тэнхлэг юм.
Үнэхээр, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, мөн b=a тэгшитгэл нь зөвхөн c=0 тохиолдолд л зууван тойрог байх үед олно. Хандлага k=\frac(b)(a)\leqslant1эллипсийн шахалтын харьцаа гэж нэрлэдэг.
Тайлбар 3.9
1. x=\pm a,~y=\pm b шулуун шугамууд нь координатын хавтгай дээрх гол тэгш өнцөгтийг хязгаарлаж, дотор нь эллипс байдаг (Зураг 3.37, а-г үз).
2. Эллипсийг дараах байдлаар тодорхойлж болно тойргийг диаметр хүртэл нь шахаж олж авсан цэгүүдийн байрлал.
Үнэн хэрэгтээ Окси тэгш өнцөгт координатын систем дэх тойргийн тэгшитгэл нь x^2+y^2=a^2 хэлбэртэй байг. 0-ийн коэффициенттэй x тэнхлэгт шахагдсан үед \эхлэх(тохиолдлууд)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(тохиолдлууд) Тэгшитгэлд x=x" ба y=\frac(1)(k)y" тойргийг орлуулснаар M(x,y" цэгийн M"(x",y") зургийн координатын тэгшитгэлийг олж авна. ): (x")^2+(\зүүн(\frac(1)(k)\cdot y"\баруун)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} Учир нь b=k\cdot a . Энэ бол эллипсийн каноник тэгшитгэл юм. 3. Координатын тэнхлэгүүд (каноник координатын системийн) нь эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд (зуувангийн үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэгддэг) бөгөөд түүний төв нь тэгш хэмийн төв юм. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв M(x,y) цэг нь эллипсэд хамаарна. тэгвэл координатын тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад М цэгт тэгш хэмтэй M"(x,-y) ба M""(-x,y) цэгүүд мөн адил эллипсэд хамаарна. 4. Туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэлээс r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(Зураг 3.37, в-ийг үз), фокусын параметрийн геометрийн утгыг тодруулсан - энэ нь фокусын тэнхлэгт перпендикуляр фокусын дундуур дамждаг эллипсийн хөвчний хагас урт юм (r=p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Хачирхалтай e нь эллипсийн хэлбэр, тухайлбал эллипс ба тойргийн хоорондох ялгааг тодорхойлдог. e нь том байх тусам эллипс уртасч, e тэг рүү ойртох тусам эллипс тойрогт ойртоно (Зураг 3.38а). Үнэн хэрэгтээ, e=\frac(c)(a) ба c^2=a^2-b^2 гэдгийг харгалзан үзвэл бид олж авна. e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\баруун )\^2=1-k^2,
!} Энд k нь эллипсийн шахалтын харьцаа, 0 6. Тэгшитгэл \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 a 7. Тэгшитгэл \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bО"(x_0,y_0) цэг дээр төвтэй эллипсийг тодорхойлдог бөгөөд тэнхлэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байна (Зураг 3.38, в). Энэ тэгшитгэлийг параллель орчуулгыг (3.36) ашиглан каноник болгон бууруулна. a=b=R үед тэгшитгэл (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2төв нь О цэг дээр R радиустай тойргийг дүрсэлдэг"(x_0,y_0) . Эллипсийн параметрийн тэгшитгэлканоник координатын системд хэлбэртэй байна \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(тохиолдлууд)0\leqslant t<2\pi.
Үнэн хэрэгтээ эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэл (3.49) болгон орлуулснаар бид үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдалд хүрнэ. \cos^2t+\sin^2t=1. Жишээ 3.20.Зууван зур \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1каноник координатын системд Окси. Хагас тэнхлэг, фокусын урт, хазайлт, шахалтын харьцаа, фокусын параметр, директрисын тэгшитгэлийг ол. Шийдэл.Өгөгдсөн тэгшитгэлийг каноник тэгшитгэлтэй харьцуулж үзвэл хагас тэнхлэгийг тодорхойлно: a=2 - хагас том тэнхлэг, b=1 - эллипсийн хагас бага тэнхлэг. Бид 2a=4,~2b=2 талтай, төв нь эхэн дээрээ байх үндсэн тэгш өнцөгтийг байгуулна (Зураг 3.39). Эллипсийн тэгш хэмийг харгалзан үзээд бид үүнийг үндсэн тэгш өнцөгт рүү оруулна. Шаардлагатай бол эллипсийн зарим цэгийн координатыг тодорхойлно. Жишээлбэл, эллипсийн тэгшитгэлд x=1-ийг орлуулснаар бид олж авна \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \дөрөв \Зүүн баруун сум \дөрөв y^2=\frac(3)(4) \дөрөв \Зүүн баруун сум \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Тиймээс координаттай цэгүүд \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\баруун)- эллипсэд хамаарна. Шахалтын харьцааг тооцоолох k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); фокусын урт 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); хазгай байдал e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); фокусын параметр p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Бид директорын тэгшитгэлийг бүтээдэг. x=\pm\frac(a^2)(c)~\Зүүн баруун сум~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Алгебр, геометрийн лекцүүд. Семестр 1. Лекц 15. Зууван. Бүлэг 15. Зууван. 1-р зүйл. Үндсэн тодорхойлолтууд. Тодорхойлолт. Эллипс нь онгоцны GMT бөгөөд фокус гэж нэрлэгддэг онгоцны хоёр тогтмол цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь тогтмол утга юм. Тодорхойлолт. Хавтгайн дурын М цэгээс эллипсийн фокус хүртэлх зайг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. Тэмдэглэл: Зуувангийн тодорхойлолтоор бол М цэг нь зөвхөн, хэрэв л бол эллипсийн цэг юм анзаараарай, тэр Эллипсийн тодорхойлолтоор түүний голомтууд нь тогтмол цэгүүд тул тэдгээрийн хоорондох зай нь мөн өгөгдсөн эллипсийн тогтмол утга юм. Тодорхойлолт. Эллипсийн голомтуудын хоорондох зайг фокусын урт гэж нэрлэдэг. Зориулалт: Гурвалжингаас -тэй тэнцүү тоог b гэж тэмдэглэе Тодорхойлолт. Хандлага эллипсийн хазгай гэж нэрлэдэг. Эллипсийн хувьд каноник гэж нэрлэх координатын системийг энэ хавтгайд танилцуулъя. Тодорхойлолт. Зуувангийн голомтуудын байрлах тэнхлэгийг фокусын тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Эллипсийн хувьд каноник PDSC-г байгуулъя, 2-р зургийг үз. Бид фокусын тэнхлэгийг абсцисса тэнхлэг болгон сонгож, ординат тэнхлэгийг сегментийн дундуур зурна. Дараа нь голомтууд нь координаттай байна 2-р зүйл. Эллипсийн каноник тэгшитгэл. Теорем. Эллипсийн каноник координатын системд эллипсийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Баталгаа. Бид нотлох баримтыг хоёр үе шаттайгаар явуулдаг. Эхний шатанд эллипс дээр байрлах аливаа цэгийн координатууд (4) тэгшитгэлийг хангаж байгааг нотлох болно. Хоёр дахь шатанд бид (4) тэгшитгэлийн аливаа шийдэл нь эллипс дээр байрлах цэгийн координатыг өгдөг болохыг батлах болно. Эндээс (4) тэгшитгэл нь зууван дээр байрлах координатын хавтгайн зөвхөн тэдгээр цэгүүдээр хангагдана. Эндээс болон муруйн тэгшитгэлийн тодорхойлолтоос харахад (4) тэгшитгэл нь эллипсийн тэгшитгэл болно. 1) M(x, y) цэг нь эллипсийн цэг байг, өөрөөр хэлбэл. түүний фокусын радиусуудын нийлбэр нь 2a: Координатын хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан өгөгдсөн M цэгийн фокусын радиусыг олъё. Нэг үндсийг тэгш байдлын баруун тал руу шилжүүлж, квадрат болгоё. Бууруулахад бид дараахь зүйлийг авна. Бид ижил төстэй зүйлсийг танилцуулж, 4-ээр багасгаж, радикалыг арилгана: Дөрвөлжин Хаалтуудыг нээж, богиносго бид хаанаас авах вэ: Тэгш байдлыг (2) ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна. Сүүлийн тэгш байдлыг хуваах 2) Одоо (x, y) хос тоо (4) тэгшитгэлийг хангаж, M(x, y) нь Oxy координатын хавтгай дээрх харгалзах цэг байя. Дараа нь (4)-ээс дараах байдалтай байна. Бид энэ тэгшитгэлийг M цэгийн фокусын радиусуудын илэрхийлэл болгон орлуулна. Энд бид (2) ба (3) тэгш байдлыг ашигласан. Тиймээс, Одоо (4) тэгшитгэлээс ийм зүйл гарч байгааг анхаарна уу Эндээс энэ нь эргээд үүнийг дагадаг Тэнцүү байдлаас (5) ийм байна Теорем нь батлагдсан. Тодорхойлолт. (4) тэгшитгэлийг эллипсийн каноник тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолт. Эллипсийн каноник координатын тэнхлэгүүдийг эллипсийн үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолт. Эллипсийн каноник координатын системийн гарал үүслийг эллипсийн төв гэж нэрлэдэг. 3-р зүйл. Эллипсийн шинж чанарууд. Теорем. (Зууйвангийн шинж чанарууд.) 1. Эллипсийн каноник координатын системд бүх зүйл эллипсийн цэгүүд тэгш өнцөгт дотор байна 2. Цэгүүд дээр байрладаг 3. Эллипс нь тэгш хэмтэй муруй юм тэдний гол тэнхлэгүүд. 4. Зуувангийн төв нь түүний тэгш хэмийн төв юм. Баталгаа. 1, 2) Эллипсийн каноник тэгшитгэлээс нэн даруй гардаг. 3, 4) M(x, y) нь эллипсийн дурын цэг байг. Дараа нь түүний координатууд (4) тэгшитгэлийг хангана. Гэхдээ цэгүүдийн координатууд нь (4) тэгшитгэлийг хангаж байгаа тул теоремын мэдэгдлүүд дагах эллипсийн цэгүүд болно. Теорем нь батлагдсан. Тодорхойлолт. 2а хэмжигдэхүүнийг эллипсийн гол тэнхлэг, a хэмжигдэхүүнийг хагас том тэнхлэг гэнэ. Тодорхойлолт. 2b хэмжигдэхүүнийг эллипсийн бага тэнхлэг, b хэмжигдэхүүнийг эллипсийн хагас тэнхлэг гэнэ. Тодорхойлолт. Эллипсийн гол тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг эллипсийн орой гэж нэрлэдэг. Сэтгэгдэл. Эллипсийг дараах байдлаар барьж болно. Онгоцонд бид "фокус цэгүүд рүү хадаас цохиж" урт утас бэхлэнэ Хачирхалтай байдлын тодорхойлолтоос харахад ийм байна А тоог засаад в тоог тэг рүү чиглүүлье. Дараа нь цагт Одоо шууд хэлье 4-р зүйл. Эллипсийн параметрийн тэгшитгэл. Теорем. Болъё нь эллипсийн каноник координатын систем дэх эллипсийн параметрийн тэгшитгэлүүд юм. Баталгаа. Тэгшитгэлийн систем (6) нь тэгшитгэл (4) -тэй тэнцүү гэдгийг батлахад хангалттай, өөрөөр хэлбэл. Тэд ижил шийдэлтэй байдаг. 1) (x, y) нь (6) системийн дурын шийдэл байг. Эхний тэгшитгэлийг a-д, хоёр дахь тэгшитгэлийг b-д хувааж, тэгшитгэлийг хоёуланг нь квадрат болгож, нэмнэ: Тэдгээр. (6) системийн дурын шийдэл (x, y) нь (4) тэгшитгэлийг хангана. 2) Үүний эсрэгээр (x, y) хосыг (4) тэгшитгэлийн шийдэл гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. Энэ тэгшитгэлээс координаттай цэг гарч ирнэ Синус ба косинусын тодорхойлолтоос шууд дараах зүйлийг олж харна Теорем нь батлагдсан. Сэтгэгдэл. А радиустай тойргийг абсцисса тэнхлэг рүү жигд "шахсан" үр дүнд эллипсийг авч болно. Болъё Энэхүү хувиргалтаар тойрог дээрх цэг бүр ижил абсциссатай, гэхдээ бага ординаттай хавтгай дээрх өөр цэг рүү "шилждэг". Нэг цэгийн хуучин ординатыг шинэ цэгээр илэрхийлье. тэгшитгэлд тойргийг орлуулна уу: Эндээс бид дараахь зүйлийг авна. Үүнээс үзэхэд хэрэв "шахалтын" хувиргалтаас өмнө M(x, y) цэг тойрог дээр хэвтэж байсан, өөрөөр хэлбэл. Түүний координатууд нь тойргийн тэгшитгэлийг хангаж, дараа нь "шахалтын" хувирлын дараа энэ цэг нь цэг болж "хувиргасан" 5-р зүйл. Эллипстэй шүргэгч. Теорем. Болъё Дараа нь цэг дээрх энэ эллипстэй шүргэгчийн тэгшитгэл Баталгаа. Шүргэх цэг нь координатын хавтгайн эхний эсвэл хоёрдугаар хэсэгт байрлах тохиолдлыг авч үзэхэд хангалттай. Функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэлийг ашиглая Хаана Бид деривативын олсон утгыг шүргэгч тэгшитгэлд (10) орлуулна. бид хаанаас авах вэ: Энэ нь: Энэ тэгш байдлыг хувааж үзье Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй Шүргэгчийн тэгшитгэл (8) нь координатын хавтгайн гурав, дөрөв дэх хэсэгт байрлах шүргэх цэг дээр ижил төстэй байдлаар нотлогддог. Эцэст нь (8) тэгшитгэл нь цэгүүдэд шүргэгч тэгшитгэлийг өгч байгааг бид хялбархан шалгаж болно Теорем нь батлагдсан. 6-р зүйл. Зуувангийн толин тусгал шинж чанар. Теорем. Эллипстэй шүргэгч нь шүргэлтийн цэгийн фокусын радиустай тэнцүү өнцөгтэй байна. Болъё Теоремд ингэж заасан байдаг Энэхүү тэгш байдлыг фокусаас гарсан эллипсээс гарах гэрлийн туяа тусах, тусгах өнцгийн тэгш байдал гэж тайлбарлаж болно. Энэ шинж чанарыг эллипсийн толин тусгал шинж чанар гэж нэрлэдэг: Эллипсийн фокусаас ялгарсан гэрлийн туяа нь эллипсийн толин тусгалаас ойсны дараа эллипсийн өөр нэг фокусаар дамжин өнгөрдөг. Теоремын баталгаа. (11) өнцгийн тэгш байдлыг батлахын тулд бид гурвалжны ижил төстэй байдлыг нотолж байна Хоёр дахь эрэмбийн муруйхувьсах координатууд нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог шулуунууд хавтгайд байна xТэгээд yхоёрдугаар зэрэгт агуулагддаг. Үүнд эллипс, гипербол, парабол орно. Хоёрдахь эрэмбийн муруй тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр нь дараах байдалтай байна. Хаана A, B, C, D, E, F- тоонууд ба хамгийн багадаа нэг коэффициент A, B, Cтэгтэй тэнцүү биш. Хоёрдахь эрэмбийн муруйтай асуудлыг шийдвэрлэхдээ эллипс, гипербол, параболын каноник тэгшитгэлийг ихэвчлэн авч үздэг. Ерөнхий тэгшитгэлээс тэдэн рүү шилжихэд хялбар байдаг, эллипстэй холбоотой асуудлын 1-р жишээг үүнд зориулах болно. Эллипсийн тодорхойлолт.Голомт гэж нэрлэгддэг цэгүүд хүртэлх зайны нийлбэр нь голомтуудын хоорондох зайнаас тогтмол утгатай байх хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн багцыг эллипс гэнэ. Фокусуудыг доорх зурагт үзүүлсэн шиг харуулав. Эллипсийн каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Хаана аТэгээд б (а > б) - хагас тэнхлэгийн урт, өөрөөр хэлбэл координатын тэнхлэг дээрх эллипсээр таслагдсан сегментүүдийн хагасын урт. Эллипсийн голомтоор дайран өнгөрөх шулуун шугам нь түүний тэгш хэмийн тэнхлэг юм. Эллипсийн өөр нэг тэгш хэмийн тэнхлэг нь энэ сегментэд перпендикуляр сегментийн дундуур дайран өнгөрөх шулуун шугам юм. Цэг ТУХАЙЭдгээр шугамын огтлолцол нь эллипсийн тэгш хэмийн төв эсвэл зүгээр л эллипсийн төв болдог. Эллипсийн абсцисса тэнхлэг нь цэгүүдээр огтлолцдог ( а, ТУХАЙ) ба (- а, ТУХАЙ), ординатын тэнхлэг нь цэгт байна ( б, ТУХАЙ) ба (- б, ТУХАЙ). Эдгээр дөрвөн цэгийг эллипсийн орой гэж нэрлэдэг. Х тэнхлэг дээрх эллипсийн оройн хоорондох сегментийг түүний гол тэнхлэг, ордны тэнхлэгийг бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Тэдний эллипсийн дээд хэсгээс төв хүртэлх хэсгүүдийг хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Хэрэв а = б, дараа нь эллипсийн тэгшитгэл хэлбэрийг авна. Энэ бол радиустай тойргийн тэгшитгэл юм а, мөн тойрог нь эллипсийн онцгой тохиолдол юм. Радиусын тойргоос эллипс авч болно а, хэрэв та үүнийг шахаж авбал а/бтэнхлэгийн дагуух удаа Өө
. Жишээ 1.Ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугам байгаа эсэхийг шалгана уу Шийдэл. Бид ерөнхий тэгшитгэлийг өөрчилдөг. Бид чөлөөт нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлэх, тэгшитгэлийг ижил тоогоор хуваах, бутархайг багасгах аргыг ашигладаг. Хариулах. Өөрчлөлтийн үр дүнд олж авсан тэгшитгэл нь эллипсийн каноник тэгшитгэл юм. Тиймээс энэ шугам нь эллипс юм. Жишээ 2.Хэрэв хагас тэнхлэг нь 5 ба 4-тэй тэнцүү бол эллипсийн каноник тэгшитгэлийг зохио. Шийдэл. Зууван ба орлуулагчийн каноник тэгшитгэлийн томъёог авч үзье: хагас гол тэнхлэг нь а= 5, хагас тэнхлэг нь байна б= 4. Бид эллипсийн каноник тэгшитгэлийг олж авна. Гол тэнхлэг дээр ногооноор тэмдэглэсэн цэг ба гэж нэрлэдэг заль мэх. дуудсан хазгай байдалэллипс. Хандлага б/ань эллипсийн "хязгаарлалт" -ыг тодорхойлдог. Энэ харьцаа бага байх тусам эллипс гол тэнхлэгийн дагуу сунадаг. Гэсэн хэдий ч эллипсийн суналтын зэрэг нь ихэвчлэн хазгайгаар илэрхийлэгддэг бөгөөд томъёог дээр дурдсан болно. Янз бүрийн эллипсийн хувьд хазгай нь 0-ээс 1 хооронд хэлбэлздэг бөгөөд үргэлж нэгдмэл байдлаас бага хэвээр байна. Жишээ 3.Фокусын хоорондох зай 8 ба гол тэнхлэг 10 бол эллипсийн каноник тэгшитгэлийг зохио. Шийдэл. Хэд хэдэн энгийн дүгнэлт хийцгээе: Хэрэв гол тэнхлэг нь 10-тай тэнцүү бол түүний хагас, өөрөөр хэлбэл хагас тэнхлэг а = 5
, Хэрэв голомтын хоорондох зай 8 бол тоо вфокусын координат нь 4-тэй тэнцүү байна. Бид орлуулж, тооцоолно: Үр дүн нь эллипсийн каноник тэгшитгэл юм. Жишээ 4.Эллипсийн гол тэнхлэг нь 26, хазгай нь . Шийдэл. Гол тэнхлэгийн хэмжээ болон хазгай тэгшитгэлийн аль алиных нь дагуу эллипсийн хагас том тэнхлэг а= 13. Эксцентрисийн тэгшитгэлээс бид тоог илэрхийлнэ в, бага хагас тэнхлэгийн уртыг тооцоолоход шаардлагатай: Бид бага хагас тэнхлэгийн уртын квадратыг тооцоолно. Бид эллипсийн каноник тэгшитгэлийг бүтээдэг. Жишээ 5.Каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипсийн голомтуудыг тодорхойл. Шийдэл. Тоогоо ол в, энэ нь эллипсийн голомтын эхний координатыг тодорхойлдог: Бид эллипсийн фокусуудыг авдаг: Жишээ 6.Эллипсийн голомтууд нь тэнхлэг дээр байрладаг Үхэргарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Дараах тохиолдолд эллипсийн каноник тэгшитгэлийг зохио. 1) фокус хоорондын зай 30, гол тэнхлэг 34 байна 2) бага тэнхлэг 24, фокусуудын нэг нь (-5; 0) цэг дээр байна. 3) хазгай, голомтын нэг нь (6; 0) цэг дээр байна. Хэрэв энэ нь эллипсийн дурын цэг (зураг дээрх зуйвангийн баруун дээд хэсэгт ногооноор тэмдэглэгдсэн) бөгөөд голомтоос энэ цэг хүртэлх зай бол зайны томъёо дараах байдалтай байна. Зуувант хамаарах цэг бүрийн хувьд фокусын хоорондох зайны нийлбэр нь 2-той тэнцүү тогтмол утгатай байна. а. Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шугамууд гэж нэрлэдэг дарга нарэллипс (зураг дээр ирмэгийн дагуу улаан шугамууд байдаг). Дээрх хоёр тэгшитгэлээс харахад эллипсийн аль ч цэгийн хувьд ийм байна хаана ба энэ цэгийн директрикс хүртэлх зай ба . Жишээ 7.Зууван өгөгдсөн. Түүний чиглүүлэлтийн тэгшитгэлийг бич. Шийдэл. Бид директрисын тэгшитгэлийг хараад эллипсийн хазгай байдлыг олох хэрэгтэйг олж мэдье, өөрөөр хэлбэл. Үүний тулд бидэнд бүх мэдээлэл бий. Бид тооцоолно: Бид эллипсийн директоруудын тэгшитгэлийг олж авна. Жишээ 8.Эллипсийн голомтууд нь цэг, директрикс нь шулуун байвал түүний каноник тэгшитгэлийг зохио.Эллипсийн параметрийн тэгшитгэл
- эллипсийн голомт; 
- М цэгийн фокусын радиус.
- тогтмол утга. Энэ тогтмолыг ихэвчлэн 2а гэж тэмдэглэдэг:
.
(1)
.
.
үүнийг дагадаг 
, өөрөөр хэлбэл
.
, өөрөөр хэлбэл
.
(2)
(3)
фокусын тэнхлэгт перпендикуляр.
,
.
.
(4)
.
,
, бид хаанаас авдаг:
.
:
.
, бид тэгш байдлыг олж авдаг (4) гэх мэт.
.
.
. Үүний нэгэн адил, 
.
эсвэл 
гэх мэт. 
, тэгвэл тэгш бус байдал дараах байдалтай байна.
.
эсвэл 
Тэгээд
,
.
(5)
, өөрөөр хэлбэл M(x, y) цэг нь эллипсийн цэг гэх мэт.
,
.
. Дараа нь бид харандаа аваад утсыг сунгахад ашигладаг. Дараа нь бид харандааны утсыг онгоцны дагуу хөдөлгөж, утас нь чангалж байгаа эсэхийг шалгаарай.
,
Тэгээд 
. Бид авах хязгаарт
эсвэл 
- тойргийн тэгшитгэл.
. Дараа нь 
,
мөн хязгаарт эллипс нь шулуун шугамын сегмент болж доройтож байгааг бид харж байна 
Зураг 3-ын тэмдэглэгээнд.
- дурын бодит тоо. Дараа нь тэгшитгэлийн систем
,
(6)
.
.
төв нь гарал үүсэлтэй нэгж радиустай тойрог дээр байрладаг, өөрөөр хэлбэл. нь тригонометрийн тойрог дээрх тодорхой өнцөг харгалзах цэг юм 
:
,
, Хаана 
, үүнээс (x, y) хос нь (6) системийн шийдэл гэх мэт.
– эхэнд төвтэй тойргийн тэгшитгэл. Тойргийг абсцисса тэнхлэгт "шахах" нь дараах дүрмийн дагуу хийгдсэн координатын хавтгайг өөрчлөхөөс өөр зүйл биш юм. M(x, y) цэг бүрийн хувьд бид нэг хавтгай дээрх цэгийг холбодог 
, Хаана 
,
- шахалтын харьцаа.
.
.
(7)
, координатууд нь эллипсийн тэгшитгэлийг (7) хангадаг. Хэрэв бид хагас тэнхлэгтэй эллипсийн тэгшитгэлийг авахыг хүсвэл шахалтын коэффициентийг авах хэрэгтэй.
.
– эллипсийн дурын цэг
.
хэлбэртэй байна:
.
(8)
. Дээд талын хагас хавтгай дахь эллипсийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
.
(9)
цэг дээр 
:
– тухайн цэг дэх өгөгдсөн функцийн деривативын утга 
. Эхний улирлын эллипсийг (8) функцийн график гэж үзэж болно. Түүний дериватив ба шүргэлтийн цэг дэх утгыг олъё.
,
. Энд бид шүргэгч цэгийн давуу талыг ашигласан 
нь эллипсийн цэг тул түүний координатууд нь эллипсийн тэгшитгэлийг (9) хангана, өөрөөр хэлбэл.
.
,
:
.
, учир нь цэг 
Зуувант хамаарах ба координат нь тэгшитгэлийг хангана.
,
:
эсвэл 
, Мөн 
эсвэл 
.
- холбоо барих цэг, 
,
– шүргэлтийн цэгийн фокусын радиус, P ба Q – цэг дээрх эллипс рүү татсан тангенс дээрх фокусын проекцууд. 
.
.
(11)
Тэгээд 
, үүнд талууд 
Тэгээд 
төстэй байх болно. Гурвалжингууд тэгш өнцөгт тул тэгш байдлыг батлахад хангалттайКаноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипс
, эллипс.
.
.
Үргэлжлүүлэн эллипсийн асуудлыг хамтдаа шийдье
,
.
