Спектрийн нягтыг хэрхэн тооцоолох вэ. Фурьегийн хос хувиргалт

Дохионы спектрийн энергийн тархалтыг тодорхойлдог хэмжигдэхүүнийг энерги гэж нэрлэдэг спектрийн нягт, зөвхөн хязгааргүй хугацааны интервал дээрх энерги нь хязгаарлагдмал байдаг дохионуудад л байдаг тул Фурье хувиргалт нь тэдгээрт хамааралтай.

Цаг хугацааны хувьд мууддаггүй дохионы хувьд энерги нь хязгааргүй их бөгөөд интеграл (1.54) нь хуваагддаг. Далайцын спектрийг тодорхойлох боломжгүй. Гэсэн хэдий ч дундаж хүч Рср, хамаарлаар тодорхойлогддог

хязгаарлагдмал болж хувирдаг. Тиймээс, илүү өргөн ойлголт"эрчим хүчний спектрийн нягт". Үүнийг давтамжийн дундаж дохионы чадлын дериватив гэж тодорхойлж, Сk(п) гэж тэмдэглэе:

Энд бид эрчим хүчний спектрийн нягтыг дохионы хэрэгжилтийг тодорхойлсон u(t) тодорхойлогч функцийн шинж чанар гэж авч үзэхийг индекс k онцлон тэмдэглэв.

Энэ дохионы шинж чанар нь фазын мэдээлэлгүй тул далайцын спектрийн нягтралаас бага ач холбогдолтой юм [харна уу. (1.38)]. Тиймээс, үүнээс анхны дохионы хэрэгжилтийг хоёрдмол утгагүйгээр сэргээх боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч фазын мэдээлэл байхгүй байгаа нь энэ ойлголтыг үе шат нь тодорхойлогдоогүй дохионуудад ашиглах боломжийг бидэнд олгодог.

Ск(ш) спектрийн нягт ба далайцын спектрийн хооронд холболт тогтоохын тулд бид хязгаарлагдмал хугацааны интервалд (-T) байгаа u(t) дохиог ашиглана.<. t

Хугацааны хязгаарлагдмал дохионы чадлын спектрийн нягт хаана байна.

Энэ шинж чанарыг олон бодит байдлын дундж авснаар санамсаргүй үйл явцын том ангиллын эрчим хүчний спектрийн нягтыг олж авах боломжтой гэдгийг дараа нь харуулах болно (§ 1.11-ийг үзнэ үү).

Детерминист дохионы автокорреляцийн функц

Одоо давтамжийн мужид хоёр шинж чанар байдаг: спектрийн хариу үйлдэл ба эрчим хүчний спектрийн нягт. u(t) дохионы талаарх бүрэн мэдээллийг агуулсан спектрийн шинж чанар нь цаг хугацааны функц хэлбэрээр Фурье хувиргалттай тохирч байна. Фазын мэдээлэлгүй эрчим хүчний спектрийн нягтрал нь цаг хугацааны мужид ямар утгатай болохыг олж мэдье.

Ижил чадлын спектрийн нягт нь фазын хувьд ялгаатай олон цагийн функцтэй тохирч байна гэж үзэх нь зүйтэй. Зөвлөлтийн эрдэмтэн Л.Я. Хинчин, Америкийн эрдэмтэн Н.Винер нар спектрийн чадлын нягтын урвуу Фурье хувирлыг бараг нэгэн зэрэг олжээ.

Фазын мэдээлэл агуулаагүй r() хугацааны ерөнхий функцийг цаг хугацааны автокорреляцийн функц гэж нэрлэе. Энэ нь хугацааны интервалаар тусгаарлагдсан u(t) функцийн утгуудын хоорондын хамаарлын зэргийг харуулдаг бөгөөд корреляцийн коэффициентийн тухай ойлголтыг боловсруулах замаар статистикийн онолоос гаргаж авч болно. Хугацааны корреляцийн функцэд дундажийг хангалттай урт хугацааны туршид нэг удаа хэрэгжүүлдэг болохыг анхаарна уу.

Бүрэн гүйцэд болгохын тулд бид спектр ба спектрийн нягтын тухай ойлголтыг доор товчхон авч үзнэ. Эдгээр чухал ойлголтуудын хэрэглээг илүү дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно. Бид эдгээр номыг цаг хугацааны цувралын шинжилгээнд ашигладаггүй тул эхний уншлагадаа энэ хэсгийг алгасаж болно.

Дээжийн спектр. Периодграммыг (2.2.5) тодорхойлохдоо давтамжийг үндсэн давтамжийн гармоник гэж үзнэ. Спектрийг нэвтрүүлснээр бид энэ таамаглалыг сулруулж, давтамжийг 0-0.5 Гц-ийн хүрээнд тасралтгүй өөрчлөх боломжийг олгодог. Периодографийн тодорхойлолтыг дараах байдлаар өөрчилж болно.

, , (2.2.7)

Үүнийг дээжийн спектр гэж нэрлэдэг. Парадограммын нэгэн адил энэ нь дуу чимээнд нуугдаж буй үл мэдэгдэх давтамжийн синусоид бүрэлдэхүүн хэсгийн далайцыг илрүүлэх, тооцоолоход ашиглагдаж болох бөгөөд энэ нь давтамж нь цувралын урттай гармоник хамааралтай гэдгийг мэддэггүй бол илүү тохиромжтой, өөрөөр хэлбэл. Түүнчлэн, энэ нь Хавсралт А2.1-д өгөгдсөн чухал хамаарлыг ашиглан спектрийн шинжилгээний онолын эхлэлийн цэг юм. Энэ хамаарал нь түүврийн спектрийн шинжилгээ ба автоковариансын функцийн тооцооны хоорондох холбоог тогтооно.

. (2.2.8)

Тиймээс түүврийн спектр нь түүврийн автоковариацын функцийн Фурье косинусын хувиргалт юм.

Спектр. Периодограмм ба түүврийн спектр нь шуугианд далдлагдсан тогтмол давтамжтай синус ба косинусын долгионы холимогоос үүссэн цагийн цувааг шинжлэхэд тохиромжтой ойлголт юм. Гэсэн хэдий ч, бүлэгт тодорхойлсон төрлийн суурин цаг хугацааны цуваа. 2.1, давтамж, далайц, фазын санамсаргүй өөрчлөлтөөр тодорхойлогддог. Ийм цувралын хувьд дээжийн спектр нь маш их хэлбэлздэг бөгөөд ямар ч үндэслэлтэй тайлбарыг зөвшөөрдөггүй.

Гэсэн хэдий ч түүврийн спектрийг ажиглалтын дагуу цаг хугацааны цуваагаар тооцоолсон гэж бодъё. Дээр дурдсанчлан, ийм процесс нь ямар ч детерминистик синус эсвэл косинусын бүрэлдэхүүн хэсгүүдгүй боловч бид албан ёсоор Фурьегийн шинжилгээ хийж, ямар ч давтамжийн утгыг авах боломжтой. Хэрэв давтан ажиглалт нь стохастик процессоор үүсгэгдсэн бол бид үнэ цэнийн популяцийг цуглуулж болно. Дараа нь бид уртын давталтын дундаж утгыг олж болно, тухайлбал

. (2.2.9)

Их хэмжээний утгуудын хувьд давтан хэрэгжүүлэлт дэх автоковариацын дундаж утга нь онолын автоковариац руу чиглэдэг болохыг харуулж болно (жишээлбэл, үзнэ үү).

(2.2.9)-д заасан хязгаарт хүрч бид чадлын спектрийг дараах байдлаар тодорхойлно

, . (2.2.10)

Үүнээс хойш гэдгийг анхаарна уу

дараа нь спектр нийлэхийн тулд энэ нь цуваа (2.2.11)-ийн нийлэлтийг хангахуйц хурдан өсөлтөөр буурах ёстой. Хүч чадлын спектр нь автоковариансын функцийн косинусын Фурье хувиргалт учраас автоковариансын функцийг мэдэх нь математикийн хувьд чадлын спектрийг мэдэхтэй тэнцүү ба эсрэгээр. Одооноос эхлэн бид эрчим хүчний спектрийг спектр гэж нэрлэх болно.

(2.2.10) 0-ээс 1/2 хүртэлх мужид нэгтгэж, бид процессын тархалтыг олно.

. (2.2.12)

Иймд синус болон косинусын долгионы холимогоос бүрдэх цувралын дисперс (2.2.6) янз бүрийн гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн дунд хэрхэн тархаж байгааг периодограф харуулдаг шиг спектр нь стохастик процессын тархалт тасралтгүй үргэлжлэх хугацаанд хэрхэн тархаж байгааг харуулдаг. давтамжийн хүрээ. -аас хүртэлх давтамжийн муж дахь процессын хэлбэлзлийн ойролцоо утга гэж тайлбарлаж болно.

Нормчилсан спектр. Заримдаа автоковариацаас илүүтэй автокорреляци ашиглан спектрийг (2.2.10) тодорхойлох нь илүү тохиромжтой байдаг. Үр дүнгийн функц

, (2.2.13). Гэсэн хэдий ч хөдөлгөөнгүй хугацааны цувааны түүврийн спектр нь онолын спектрийн эргэн тойронд хүчтэй хэлбэлздэг болохыг харуулж болно (харна уу). Энэ баримтын ойлгомжтой тайлбар нь дээж авсан спектр нь давтамжийн мужид хэт нарийн интервал ашиглахтай тохирч байгаа явдал юм. Энэ нь өөрчилсөн эсвэл жигдрүүлсэн тооцоологч ашиглан хэвийн магадлалын тархалтыг тооцоолохдоо гистограмд ​​хэт нарийн интервал ашиглахтай адил юм.

, (2.2.14)

Энд - корреляцийн цонх гэж нэрлэгддэг тусгайлан сонгосон жин нь тооцооллын "зурвасын өргөн" -ийг нэмэгдүүлж, спектрийн жигд тооцоог олж авах боломжтой.

Зураг дээр. Зураг 2.8-д бүтээгдэхүүний багцын өгөгдлийн спектрийн дээжийн үнэлгээг үзүүлэв. Цувралын тархалт нь ихэвчлэн өндөр давтамжид төвлөрч байгааг харж болно. Энэ нь Зураг дээр үзүүлсэн анхны цувралын хурдан хэлбэлзлээс үүдэлтэй юм. 2.1.

Функц нь үе үе биш тул үүнийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх боломжгүй. Нөгөөтэйгүүр, функц нь хязгааргүй үргэлжлэх хугацаатай тул интегралчлах боломжгүй тул Фурье интегралаар дүрслэх боломжгүй юм. Эдгээр хүндрэлээс зайлсхийхийн тулд туслах функцийг нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ нь интервал дээрх функцтэй давхцаж, энэ интервалаас гадуур тэгтэй тэнцүү байна.

(5.15)

Функц нь интегралчлагдах боломжтой бөгөөд түүний хувьд Фурьегийн шууд хувиргалт байдаг (Фурье интеграл):

(5.16)

Эрчим хүчний спектрийн нягтсанамсаргүй дохио (эсвэл зүгээр л спектрийн нягт ) хэлбэрийг функц гэж нэрлэдэг:

(5.17)

Спектрийн нягтрал нь дохионы гармоникийн далайцын квадратын дундаж утгын тархалтыг тодорхойлдог функц юм. Спектрийн нягт нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1. Хөдөлгөөнгүй санамсаргүй процесс хурдан өөрчлөгдөх тусам график илүү өргөн болно .

2. Спектрийн нягтын график дээрх бие даасан оргилууд нь санамсаргүй дохионы үечилсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүд байгааг илтгэнэ.

3. Спектрийн нягт нь тэгш функц юм:

(5.18)

Спектрийн нягт нь дохионы тархалттай дараах байдлаар хамааралтай.

(5.19)

Туршилтаар спектрийн нягтыг дараах схемийн дагуу тодорхойлно (тооцоно).

Цагаан будаа. 5.6.

Спектрийн нягт нь корреляцийн функцтэй дараах илэрхийллээр холбогдоно (Хинчин-Винер теоремын дагуу):

(5.20)

(5.21)

Хэрэв бид хүчин зүйлсийг өргөжүүлэн Эйлерийн томьёог ашиглаад , ба тэгш функцууд, мөн сондгой функц гэдгийг харгалзан үзвэл (5.20), (5.21) илэрхийллүүдийг дараах хэлбэрт шилжүүлж болно.

(5.22)

(5.23)

Практик тооцоололд (5.23), (5.24) илэрхийллийг ашигладаг. (5.24) илэрхийлэл нь хөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явцын тархалтыг тодорхойлоход хялбар байдаг.

(5.24)

Корреляцийн функц ба спектрийн нягтыг холбосон харилцаанууд нь Фурье хувиргалтанд хамаарах бүх шинж чанартай бөгөөд дараахь харьцуулсан шинж чанаруудыг тодорхойлдог: график илүү өргөн байх тусам график нарийсдаг ба эсрэгээр функц хурдан буурах тусам функц удааширна. . Энэ хамаарлыг Зураг (5.7), (5.8)-ийн графикаар харуулав.

Цагаан будаа. 5.7.

Цагаан будаа. 5.8.

Хоёр зураг дээрх 1-р мөр нь аажмаар өөрчлөгддөг санамсаргүй дохиотой тохирч, спектр нь бага давтамжийн гармоникууд давамгайлдаг. 2-р мөр нь өндөр давтамжийн гармоникууд давамгайлах спектр нь хурдан өөрчлөгдөж буй дохиотой тохирч байна.

Хэрэв санамсаргүй дохио нь цаг хугацааны явцад маш огцом өөрчлөгдөж, өмнөх болон дараагийн утгуудын хооронд бараг ямар ч хамаарал байхгүй бол корреляцийн функц нь гурвалжин функц хэлбэртэй байна (мөр 3). Энэ тохиолдолд спектрийн нягтын график нь муж дахь хэвтээ шугамыг илэрхийлнэ. Энэ нь гармоник далайц нь бүх давтамжийн мужид ижил байгааг харуулж байна. Энэ дохиог нэрлэдэг цагаан чимээ (цагаан гэрэлтэй зүйрлэснээр бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн эрч хүч ижил байдаг).

"Цагаан шуугиан" гэсэн ойлголт нь математикийн хийсвэрлэл юм. Хязгааргүй өргөн хүрээ нь хязгааргүй том тархалттай тохирч, улмаар хязгааргүй их хүч чадалтай тул цагаан дуу чимээ хэлбэрийн дохио нь бие махбодийн хувьд боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ хязгаарлагдмал спектртэй бодит системийг ойролцоогоор цагаан дуу чимээ гэж үзэж болно. Энэхүү хялбарчлал нь дохионы спектр нь дохионы нөлөөлөлд өртсөн системийн зурвасын өргөнөөс хамаагүй өргөн байх тохиолдолд хүчинтэй байна.

Дохио өгөөч с(т) нь үечилсэн бус функцээр тодорхойлогдсон бөгөөд энэ нь зөвхөн интервалд (( т 1 ,т 2) (жишээ нь - нэг импульс). Дурын хугацааг сонгоцгооё Тинтервалыг оруулаад ( т 1 ,т 2) (1-р зургийг үз).

-аас авсан үечилсэн дохиог тэмдэглэе с(т), хэлбэрээр ( т). Дараа нь бид Фурье цувралыг бичиж болно

Функц руу очихын тулд с(т) илэрхийлэлд ( т) үеийг хязгааргүйд чиглүүлнэ. Энэ тохиолдолд давтамжтай гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоо w=n 2х/Тхязгааргүй том байх болно, тэдгээрийн хоорондох зай тэг болох хандлагатай байна (хязгааргүй бага утга хүртэл:

бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц нь мөн хязгааргүй бага байх болно. Тиймээс спектр тасралтгүй болж байгаа тул ийм дохионы спектрийн талаар ярих боломжгүй болсон.

Дотоод интеграл нь давтамжийн функц юм. Үүнийг дохионы спектрийн нягтрал эсвэл дохионы давтамжийн хариу үйлдэл гэж нэрлэдэг бөгөөд i.e.

Ерөнхий байдлын хувьд s(t) нь тэг, интеграл нь тэгтэй тэнцүү байх тул интегралын хязгаарыг хязгааргүй болгож болно.

Спектрийн нягтын илэрхийлэлийг Фурьегийн шууд хувиргалт гэж нэрлэдэг. Урвуу Фурье хувиргалт нь дохионы цаг хугацааны функцийг спектрийн нягтралаас нь тодорхойлдог

Шууд (*) ба урвуу (**) Фурье хувиргуудыг хамтад нь Фурьегийн хос хувиргалт гэж нэрлэдэг. Спектрийн нягтын модуль

дохионы далайц-давтамжийн хариу (AFC) болон түүний аргументыг тодорхойлдог дохионы фазын давтамжийн хариу (PFC) гэж нэрлэдэг. Дохионы давтамжийн хариу нь тэгш функц, фазын хариу нь сондгой юм.

Модулийн утга С(w) нь тухайн давтамжийг багтаасан хязгааргүй нарийн давтамжийн зурваст 1 Гц тутамд дохионы далайц (гүйдэл эсвэл хүчдэл) гэж тодорхойлогддог. w. Түүний хэмжээс нь [дохио/давтамж] юм.

Дохионы энергийн спектр.Хэрэв s(t) функц нь Фурье дохионы чадлын нягттай ( дохионы энергийн спектрийн нягт) дараах илэрхийллээр тодорхойлогдоно.

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Эрчим хүчний спектр нь W()-бодит сөрөг биш тэгш функц бөгөөд үүнийг ихэвчлэн энергийн спектр гэж нэрлэдэг. Эрчим хүчний спектр нь дохионы спектрийн нягтын модулийн квадратын хувьд түүний давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тухай фазын мэдээллийг агуулаагүй тул эрчим хүчний спектрээс дохиог сэргээн босгох боломжгүй юм. Энэ нь өөр өөр фазын шинж чанартай дохио нь ижил чадлын спектртэй байж болно гэсэн үг юм. Ялангуяа дохионы шилжилт нь түүний эрчим хүчний спектрт нөлөөлдөггүй. Сүүлийнх нь (5.2.7) илэрхийллүүдээс шууд энергийн спектрийн илэрхийлэлийг олж авах боломжийг бидэнд олгодог. Хязгаарт t 0 шилжилттэй ижил u(t) ба v(t) дохионы хувьд Wuv() спектрийн төсөөлөл хэсэг нь тэг утгыг, бодит хэсэг нь спектрийн модулийн утгуудыг чиглүүлдэг. . Дохионы бүрэн түр зуурын хослолын тусламжтайгаар бид дараах байдалтай байна:

тэдгээр. дохионы энерги нь түүний давтамжийн спектрийн квадрат модулийн интеграл - түүний давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн энергийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд үргэлж бодит утга юм.

Дурын дохионы хувьд s(t) тэгш байдал

ихэвчлэн Парсевалын тэгш байдал гэж нэрлэдэг (математикт - Планчерелийн теорем, физикт - Рэйлигийн томъёо). Координат ба давтамжийн дүрслэл нь үндсэндээ нэг дохионы өөр өөр математик дүрслэл учраас тэгш байдал нь ойлгомжтой. Хоёр дохионы харилцан үйлчлэлийн энергийн хувьд:

Парсевалын тэгшитгэлээс үзэхэд Фурье хувиргалттай холбоотой дохионы скаляр үржвэр ба норм нь өөрчлөгддөггүй.

Дохио бичих, дамжуулах хэд хэдэн цэвэр практик асуудалд дохионы энергийн спектр маш чухал байдаг. Тогтмол дохиог спектрийн мужид Фурье цуврал хэлбэрээр хөрвүүлдэг. Т үетэй үечилсэн дохиог Фурье цуваа хэлбэрээр комплекс хэлбэрээр бичье.

0-T интервал нь бүх интеграл илтгэгчийн бүхэл тооны үеийг агуулж байгаа бөгөөд k = -m дахь экспоненциалыг эс тооцвол тэгтэй тэнцүү бөгөөд интеграл нь T-тэй тэнцүү байна. Үүний дагуу a-ийн дундаж чадал Тогтмол дохио нь түүний Фурье цувралын коэффициентүүдийн квадрат модулиудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Дохионы энергийн спектр – энэ нь давтамжийн тэнхлэг дээрх гармоник бус дохиог бүрдүүлдэг үндсэн дохионы энергийн хуваарилалт юм. Математикийн хувьд дохионы энергийн спектр нь спектрийн функцийн модулийн квадраттай тэнцүү байна.

Үүний дагуу далайц-давтамжийн спектр нь давтамжийн тэнхлэг дээрх үндсэн дохионы бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайцын багцыг, фазын давтамжийн спектр нь фазын багцыг харуулдаг.

Спектрийн функцийн модулийг ихэвчлэн нэрлэдэг далайцын спектр, мөн түүний аргумент нь юм фазын спектр.

Нэмж дурдахад урвуу Фурье хувиргалт байдаг бөгөөд энэ нь спектрийн функцийг мэдэж, анхны дохиог сэргээх боломжийг олгодог.

Жишээлбэл, тэгш өнцөгт импульс ав.

Спектрийн өөр нэг жишээ:

Найквист давтамж, Котельниковын теорем .

Nyquist давтамж - тоон дохионы боловсруулалтад түүвэрлэлтийн давтамжийн хагастай тэнцэх давтамж. Харри Найквистийн нэрээр нэрлэгдсэн. Котельниковын теоремоос харахад аналог дохиог түүвэрлэхдээ дохионы спектр (спектр нягтрал) нь Nyquist давтамжтай тэнцүү буюу түүнээс бага байвал мэдээлэл алдагдахгүй. Үгүй бол аналог дохиог сэргээх үед спектрийн "сүүл" (давтамж орлуулах, давтамжийг далдлах) давхцаж, сэргээгдсэн дохионы хэлбэр алдагдах болно. Хэрэв дохионы спектр нь Nyquist давтамжаас дээш бүрэлдэхүүн хэсэггүй бол түүнийг (онолын хувьд) түүвэрлэж, гажуудалгүйгээр дахин бүтээж болно. Үнэн хэрэгтээ дохиог "тоонжуулах" (аналог дохиог дижитал болгон хувиргах) нь дээжийн квантжуулалттай холбоотой байдаг - дээж бүр нь хязгаарлагдмал битийн гүнтэй дижитал код хэлбэрээр бичигдсэн байдаг. "квантжуулалтын шуугиан" гэж тооцогдох тодорхой нөхцлийн дагуу дээжинд квантжуулалтын (дугуйруулах) алдаа нэмэгддэг.

Хязгаарлагдмал хугацаатай бодит дохио нь үргэлж хязгааргүй өргөн хүрээтэй байдаг бөгөөд энэ нь давтамж нэмэгдэхийн хэрээр хурдан буурдаг. Тиймээс дохионы түүвэрлэлт нь түүврийн давтамж хэр өндөр байхаас үл хамааран үргэлж мэдээллийн алдагдалд хүргэдэг (түүвэрлэлт болон сэргээн босгох явцад дохионы хэлбэрийг гажуудуулдаг). Сонгосон түүвэрлэлтийн хурдаар аналог дохионы спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг (түүвэр авахын өмнө) Nyquist давтамжаас дээш дарах замаар гажуудлыг бууруулж болох бөгөөд энэ нь сүүлийг өөр нэрээр нэрлэхээс зайлсхийхийн тулд маш өндөр дарааллын шүүлтүүр шаарддаг. Шүүлтүүрийн далайц-давтамжийн шинж чанар нь тэгш өнцөгт биш, гөлгөр бөгөөд нэвтрүүлэх зурвас ба дарах зурвасын хооронд тодорхой шилжилтийн давтамжийн зурвас үүсдэг тул ийм шүүлтүүрийг практик хэрэгжүүлэх нь маш төвөгтэй юм. Тиймээс түүврийн давтамжийг хязгаартай сонгосон, жишээлбэл, аудио CD-д 44,100 Гц давтамжийг ашигладаг бол аудио дохионы спектрийн хамгийн өндөр давтамжийг 20,000 Гц гэж үздэг. Nyquist давтамжийн хязгаар 44100 / 2 - 20000 = 2050 Гц нь хэрэгжсэн бага зэрэглэлийн шүүлтүүрийг ашиглах үед давтамжийг солихоос зайлсхийх боломжийг олгодог.

Котельниковын теорем

Жижиг гажуудал (алдаа) бүхий дээж авсан дохионоос анхны тасралтгүй дохиог сэргээхийн тулд дээж авах алхамыг оновчтой сонгох шаардлагатай. Тиймээс аналог дохиог салангид дохио болгон хувиргахдаа түүвэрлэлтийн алхамын хэмжээтэй холбоотой асуулт гарч ирдэг бөгөөд энэ нь дараахь санааг ойлгоход хэцүү биш юм. Хэрэв аналог дохио нь Fe тодорхой дээд давтамжаар хязгаарлагддаг бага давтамжийн спектртэй бол (өөрөөр хэлбэл, u(t) функц нь далайцын огцом өөрчлөлтгүйгээр жигд өөрчлөгддөг муруй хэлбэртэй) байвал энэ функц нь дараахь зүйлийг хийх боломжгүй юм. зарим жижиг түүвэрлэлтийн хугацааны интервалд ихээхэн өөрчлөлт орно. Дээжийн дарааллаас аналог дохиог сэргээх нарийвчлал нь түүврийн интервалын хэмжээнээс хамаардаг нь тодорхой байна. оноо. Гэсэн хэдий ч дээж авах интервал багасах тусам боловсруулах тоног төхөөрөмжийн нарийн төвөгтэй байдал, хэмжээ ихээхэн нэмэгддэг. Хэрэв түүврийн интервал хангалттай том бол аналог дохиог сэргээх үед гажуудал, мэдээлэл алдагдах магадлал нэмэгддэг. Түүвэрлэлтийн интервалын оновчтой утгыг Котельниковын теоремоор тогтоодог (бусад нэр нь түүвэрлэлтийн теорем, К. Шенноны теорем, X. Найквистийн теорем: теоремыг О. Кошигийн математикт анх нээж, дараа нь Д. Карсон ба Р.Хартли), 1933 онд түүний нотолсон В.А. Котельниковын теорем нь онолын болон практикийн чухал ач холбогдолтой: энэ нь аналог дохиог зөв түүвэрлэх боломжийг олгодог бөгөөд дээжийн утгуудаас хүлээн авах төгсгөлд түүнийг сэргээх оновчтой аргыг тодорхойлдог.

Котельниковын теоремын хамгийн алдартай бөгөөд энгийн тайлбаруудын нэгээр бол спектр нь тодорхой Fe давтамжаар хязгаарлагддаг дурын дохио u(t)-ийг цаг хугацааны дагуу жишиг утгуудын дарааллаас бүрэн сэргээж болно. интервал

Радио инженерчлэлийн түүвэрлэлтийн интервал ба давтамж Fe(1)-ийг интервал ба Nyquist давтамж гэж нэрлэдэг. Аналитик байдлаар Котельниковын теоремыг доор үзүүлэв

Энд k нь түүврийн дугаар; - лавлагаа цэгүүдийн дохионы утга - дохионы спектрийн дээд давтамж.

Дискрет дохионы давтамжийн төлөөлөл .

Ихэнх дохиог Фурье цуврал хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Статистикийн радио инженерчлэл, физикт детерминист дохио ба санамсаргүй процессыг судлахдаа Фурье хувиргалт дээр суурилсан спектрийн нягтрал хэлбэрээр тэдгээрийн спектрийн дүрслэлийг өргөн ашигладаг.

Хэрэв үйл явц $x(t)$нь хязгаарлагдмал энергитэй бөгөөд квадрат интегралчлагдах боломжтой (мөн энэ нь суурин бус процесс юм), дараа нь үйл явцын нэг хэрэгжилтийн хувьд Фурье хувиргалтыг давтамжийн санамсаргүй комплекс функц гэж тодорхойлж болно:

Чиг үүрэг $S\_x(f)=|X(f)|^2$Иймээс давтамжийн тэнхлэгийн дагуу хэрэгжүүлэх энергийн тархалтыг тодорхойлдог бөгөөд хэрэгжилтийн спектрийн нягт гэж нэрлэдэг. Энэ функцийг бүх хэрэгжүүлэлтээс дунджаар авснаар үйл явцын спектрийн нягтыг олж авах боломжтой.

Одоо суурин, өргөн утгаараа төвлөрсөн санамсаргүй үйл явц руу шилжье $x(t)$, 1 магадлалтайгаар биеллүүд нь хязгааргүй энергитэй тул Фурье хувиргалтгүй байдаг. Ийм процессын эрчим хүчний спектрийн нягтыг Винер-Хинчин теорем дээр үндэслэн корреляцийн функцийн Фурье хувиргалтаар олж болно.

Хэрэв бид (3) ба (4) томъёонд тус тус тооцвол $f=0$Тэгээд $\backslash tau=0$, бидэнд байна

Формула (6) (2)-ыг харгалзан үзэхэд дисперс нь спектрийн нягтын муруйн доорх талбайтай тэнцүү байх хөдөлгөөнгүй санамсаргүй процессын нийт энергийг тодорхойлдог болохыг харуулж байна. Хэмжээст үнэ цэнэ $S\_x(f)df$-аас бага давтамжийн мужид төвлөрсөн энергийн хэсэг гэж тайлбарлаж болно $f-df/2$руу $f+df/2$. Хэрэв бид үүнийг хэлэх гэж байгаа бол $x(t)$санамсаргүй (хэлбэлзэл) гүйдэл буюу хүчдэл, дараа нь утга $S\_x(f)$[V 2 /Hz] = [V 2 s] энергийн хэмжээстэй байх болно. Тийм ч учраас $S\_x(f)$заримдаа дууддаг эрчим хүчний спектр. Уран зохиолоос та өөр тайлбарыг ихэвчлэн олж болно. $\backslash sigma\_x^2$– 1 ом эсэргүүцэлтэй гүйдэл эсвэл хүчдэлээр ялгарах дундаж хүчийг авч үзнэ. Үүний зэрэгцээ үнэ цэнэ $S\_x(f)$дуудсан эрчим хүчний спектрсанамсаргүй үйл явц.

Спектрийн нягтын шинж чанарууд

• Хөдөлгөөнгүй процессын энергийн спектр (материал эсвэл цогцолбор) нь сөрөг бус хэмжигдэхүүн юм.

• Корреляцийн функц $k\_x(\backslash tau)$ба эрчим хүчний спектр $S\_x(f)$Өргөн утгаараа хөдөлгөөнгүй үйл явц нь Фурьегийн харилцан хувиргалтуудын бүх шинж чанартай байдаг. Ялангуяа спектр нь "өргөн" байх тусам $S\_x(f)$корреляцийн функц нь "нарийссан" $k\_x(\backslash tau)$, мөн эсрэгээр. Энэ үр дүнг зарчмын эсвэл тодорхойгүй байдлын хамаарал гэж тооцдог.

Мөн үзнэ үү

"Спектрийн нягтрал" нийтлэлийн талаар тойм бичнэ үү.

Уран зохиол

1. Зюко, A.G.Дохио дамжуулах онол / A. G. Zyuko [болон бусад]. - М .: Харилцаа холбоо, 1980. - 288 х.
2. Тихонов, В.И.Радио инженерийн төхөөрөмж ба системийн статистик шинжилгээ ба синтез / В.И.Тихонов, В.Н.Харисов. - М.: Радио, харилцаа холбоо, 2004. - 608 х. - ISBN 5-256-01701-2.
3. Тихонов, В.И.Радио инженерийн төхөөрөмжүүдийн статистик онол / В.И.Тихонов, Ю.Бакаев. - М.: нэрэмжит академи. проф. N. E. Жуковский, 1978. - 420 х.

Спектрийн нягтралыг тодорхойлсон ишлэл