Эсвэл арифметик гэдэг нь сургуулийн алгебрийн хичээл дээр шинж чанарыг нь судалдаг эрэмбэлэгдсэн тоон дарааллын нэг төрөл юм. Энэ өгүүллээр арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох тухай асуудлыг дэлгэрэнгүй авч үзнэ.

Энэ ямар дэвшил вэ?

Асуултанд шилжихээсээ өмнө (арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох вэ) бидний юу ярьж байгааг ойлгох нь зүйтэй.

Өмнөх тоо бүрээс тодорхой утгыг нэмж (хасаж) олж авсан бодит тоонуудын аливаа дарааллыг алгебрийн (арифметик) прогресс гэж нэрлэдэг. Энэхүү тодорхойлолтыг математик хэл рүү орчуулбал дараах хэлбэртэй байна.

Энд i нь a i мөрийн элементийн серийн дугаар юм. Тиймээс, зөвхөн нэг эхлэлийн дугаарыг мэдсэнээр та бүхэл бүтэн цувралыг хялбархан сэргээж чадна. Томъёоны d параметрийг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг.

Харгалзан үзэж буй тоонуудын хувьд дараахь тэгш байдлыг хангаж байгааг хялбархан харуулж болно.

a n = a 1 + d * (n - 1).

Өөрөөр хэлбэл, n-р элементийн утгыг дарааллаар нь олохын тулд эхний a элемент дээр d-ийн зөрүүг 1 n-1 удаа нэмэх хэрэгтэй.

Арифметик прогрессийн нийлбэр хэд вэ: томьёо

Заасан дүнгийн томъёог өгөхөөс өмнө энгийн онцгой тохиолдлыг авч үзэх нь зүйтэй. 1-ээс 10 хүртэлх натурал тоонуудын прогрессийг өгвөл тэдгээрийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Прогресс (10)-д нэр томьёо цөөхөн байгаа тул асуудлыг шууд шийдвэрлэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл бүх элементүүдийг дарааллаар нь нэгтгэх боломжтой.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Нэг сонирхолтой зүйлийг анхаарч үзэх нь зүйтэй: нэр томъёо бүр нь дараагийнхаас ижил утгатай d = 1-ээр ялгаатай байдаг тул эхнийх нь арав дахь, хоёр дахь нь ес дэх гэх мэтийг хосоор нь нэгтгэх нь ижил үр дүнг өгөх болно. Үнэхээр:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Таны харж байгаагаар эдгээр нийлбэрүүдийн ердөө 5 нь байгаа бөгөөд энэ нь цувралын элементүүдийн тооноос яг хоёр дахин бага юм. Дараа нь нийлбэрийн тоог (5) нийлбэр бүрийн үр дүнд (11) үржүүлснээр та эхний жишээнд олж авсан үр дүнд хүрэх болно.

Хэрэв бид эдгээр аргументуудыг нэгтгэвэл дараах илэрхийлэлийг бичиж болно.

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Энэ илэрхийлэл нь дараалсан бүх элементүүдийг нэгтгэх шаардлагагүй гэдгийг харуулж байна, энэ нь эхний a 1 ба сүүлчийн a n, түүнчлэн нийт гишүүний n тоог мэдэхэд хангалттай.

Гаусс сургуулийнхаа багшийн өгсөн асуудлын шийдлийг хайж байхдаа энэ тэгш байдлын талаар анх бодож байсан гэж үздэг: эхний 100 бүхэл тоог нийлбэр.

m-ээс n хүртэлх элементүүдийн нийлбэр: томъёо

Өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн томьёо нь арифметик прогрессийн нийлбэрийг (эхний элементүүд) хэрхэн олох вэ гэсэн асуултад хариулдаг боловч ихэнхдээ асуудалд прогрессийн дундуур хэд хэдэн тооны нийлбэр хийх шаардлагатай байдаг. Үүнийг хэрхэн хийх вэ?

Энэ асуултад хариулах хамгийн хялбар арга бол дараах жишээг авч үзэх явдал юм: m-ээс n-р хүртэлх гишүүний нийлбэрийг олох шаардлагатай. Асуудлыг шийдэхийн тулд өгөгдсөн сегментийг m-ээс n хүртэлх прогрессийн шинэ тооны цуваа хэлбэрээр харуулах хэрэгтэй. Энэ дүрслэлд a m-ийн m-р гишүүн эхнийх байх ба n-ийг n-(m-1) гэж дугаарлана. Энэ тохиолдолд нийлбэрийн стандарт томъёог ашигласнаар дараах илэрхийлэл гарна.

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Томьёог ашиглах жишээ

Арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олохыг мэдэхийн тулд дээрх томъёог ашиглах энгийн жишээг авч үзэх нь зүйтэй.

Доорх тоон дараалал байна, та 5-аас эхлээд 12-р хүртэл нөхцлүүдийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй.

Өгөгдсөн тоонууд нь d-ийн ялгаа 3-тай тэнцүү байгааг харуулж байна. n-р элементийн илэрхийллийг ашиглан та прогрессийн 5 ба 12-р гишүүний утгыг олох боломжтой. Энэ нь харагдаж байна:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Харж байгаа алгебрийн прогрессийн төгсгөлд байгаа тоонуудын утгыг мэдэх, мөн цувралд ямар тоонууд байгааг мэдэхийн тулд та өмнөх догол мөрөнд олж авсан нийлбэрийн томъёог ашиглаж болно. Энэ нь гарах болно:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Энэ утгыг өөрөөр авч болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: эхлээд стандарт томьёо ашиглан эхний 12 элементийн нийлбэрийг олж, дараа нь ижил томъёог ашиглан эхний 4 элементийн нийлбэрийг тооцоолж, дараа нь эхний нийлбэрээс хоёр дахь хэсгийг хасна.

Найзууд аа, хэрэв та энэ бичвэрийг уншиж байгаа бол арифметик прогресс гэж юу байдгийг хараахан мэдэхгүй байгаа гэсэн дотоод баримт нотолгоо надад хэлж байна, гэхдээ та үнэхээр (үгүй, тийм: SOOOOO!) мэдэхийг хүсч байна. Тиймээс би таныг урт удаан хугацааны танилцуулгаар зовоохгүй бөгөөд шууд гол руугаа орох болно.

Нэгдүгээрт, хэд хэдэн жишээ. Хэд хэдэн тооны багцыг харцгаая:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Эдгээр бүх багцад юу нийтлэг байдаг вэ? Эхлээд харахад юу ч биш. Гэхдээ үнэндээ нэг зүйл байдаг. Тухайлбал: Дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна.

Өөрийнхөө төлөө шүү. Эхний багц нь зүгээр л дараалсан тоонууд бөгөөд дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө нэгээр их байна. Хоёр дахь тохиолдолд, зэргэлдээх тоонуудын хоорондох ялгаа аль хэдийн тав байгаа боловч энэ ялгаа тогтмол хэвээр байна. Гурав дахь тохиолдолд үндэс нь бүхэлдээ байдаг. Гэхдээ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, мөн $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. ба энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр ердөө $\sqrt(2)$-р нэмэгддэг (мөн энэ тоо үндэслэлгүй байна гэж бүү ай).

Тэгэхээр: ийм бүх дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Хатуу тодорхойлолт өгье:

Тодорхойлолт. Дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө яг ижил хэмжээгээр ялгаатай тоонуудын дарааллыг арифметик прогресс гэнэ. Тоонууд хоорондоо ялгаатай байгаа хэмжээг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн $d$ үсгээр тэмдэглэдэг.

Тэмдэглэгээ: $\left(((a)_(n)) \right)$ нь прогресс өөрөө, $d$ нь түүний ялгаа юм.

Мөн хэдхэн чухал тэмдэглэл. Нэгдүгээрт, зөвхөн ахиц дэвшлийг харгалзан үздэг захиалсантоонуудын дараалал: тэдгээрийг бичсэн дарааллаар нь чанд уншихыг зөвшөөрдөг - өөр юу ч биш. Тоонуудыг өөрчлөх, солих боломжгүй.

Хоёрдугаарт, дараалал нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно. Жишээлбэл, олонлог (1; 2; 3) нь хязгаарлагдмал арифметик прогресс юм. Гэхдээ хэрэв та сүнсэнд ямар нэгэн зүйл бичвэл (1; 2; 3; 4; ...) - энэ нь аль хэдийн хязгааргүй дэвшил юм. Дөрөвийн дараах зууван зураас нь дахиад хэд хэдэн тоо байгааг илтгэж байх шиг байна. Хязгааргүй олон, жишээ нь.

Прогресс нь нэмэгдэж эсвэл буурч болно гэдгийг би бас тэмдэглэхийг хүсч байна. Бид аль хэдийн нэмэгдэж байгааг харсан - ижил багц (1; 2; 3; 4; ...). Прогресс буурах жишээ энд байна:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

За, зүгээр: сүүлчийн жишээ хэтэрхий төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Харин бусад нь та нар ойлгосон байх гэж бодож байна. Тиймээс бид шинэ тодорхойлолтуудыг танилцуулж байна:

Тодорхойлолт. Арифметик прогресс гэж нэрлэдэг:

1. дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө их байвал нэмэгдэх;
2. эсрэгээр дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байвал буурна.

Нэмж дурдахад "хөдөлгөөнгүй" гэж нэрлэгддэг дараалалууд байдаг - тэдгээр нь ижил давтагдах тооноос бүрддэг. Жишээлбэл, (3; 3; 3; ...).

Зөвхөн нэг асуулт үлдэж байна: өсөн нэмэгдэж буй ахиц дэвшлийг буурахаас хэрхэн ялгах вэ? Аз болоход энд бүх зүйл зөвхөн $d$ тооны тэмдгээс хамаарна, i.e. явцын ялгаа:

1. Хэрэв $d \gt 0$ бол дэвшил нэмэгдэнэ;
2. Хэрэв $d \lt 0$ бол ахиц дэвшил буурч байгаа нь ойлгомжтой;
3. Эцэст нь $d=0$ тохиолдол байдаг - энэ тохиолдолд бүх прогресс ижил тоонуудын хөдөлгөөнгүй дараалал болгон бууруулна: (1; 1; 1; 1; ...) гэх мэт.

Дээр өгөгдсөн гурван буурах прогрессийн $d$-ын зөрүүг тооцоолохыг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд зэргэлдээ хоёр элементийг (жишээлбэл, эхний ба хоёр дахь) авч, баруун талд байгаа тооноос зүүн талд байгаа тоог хасахад хангалттай. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Бидний харж байгаагаар гурван тохиолдолд ялгаа нь үнэндээ сөрөг болсон. Одоо бид тодорхойлолтыг бага эсвэл бага хэмжээгээр олж мэдсэн тул прогрессийг хэрхэн дүрсэлсэн, ямар шинж чанартай болохыг олж мэдэх цаг болжээ.

Прогрессийн нөхцөл ба давталтын томъёо

Бидний дарааллын элементүүдийг солих боломжгүй тул тэдгээрийг дугаарлаж болно:

\[\зүүн(((а)_(н)) \баруун)=\зүүн\(((а)_(1)),\ ((а)_(2)),((а)_(3) )),... \баруун\)\]

Энэ олонлогийн бие даасан элементүүдийг прогрессийн гишүүд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг тоогоор заана: эхний гишүүн, хоёр дахь гишүүн гэх мэт.

Нэмж дурдахад, бид аль хэдийн мэдэж байгаачлан, дэвшилтийн хөрш зэргэлдээ нөхцлүүд нь дараахь томъёогоор холбогддог.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Баруун сум ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Товчхондоо, прогрессийн $n$-р гишүүнийг олохын тулд $n-1$-р гишүүн ба $d$-ын ялгааг мэдэх хэрэгтэй. Энэ томъёог давтагдах гэж нэрлэдэг, учир нь түүний тусламжтайгаар та зөвхөн өмнөхийг нь (мөн үнэндээ өмнөх бүх тоог) мэдэх замаар ямар ч тоог олох боломжтой. Энэ нь маш тохиромжгүй тул аливаа тооцооллыг эхний нэр томъёо болон ялгаа болгон бууруулдаг илүү зальтай томъёо байдаг:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d\]

Та энэ томъёог аль хэдийн олж мэдсэн байх. Тэд үүнийг бүх төрлийн лавлах ном, асуудлын номонд өгөх дуртай. Ямар ч ухаалаг математикийн сурах бичигт энэ нь анхныхуудын нэг юм.

Гэсэн хэдий ч би танд бага зэрэг дасгал хийхийг зөвлөж байна.

Даалгавар №1. $((a)_(1))=8,d=-5$ бол $\left(((a)_(n)) \right)$ арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Тэгэхээр бид эхний гишүүн $((a)_(1))=8$ ба $d=-5$ прогрессийн зөрүүг мэднэ. Сая өгсөн томьёог ашиглаад $n=1$, $n=2$, $n=3$-ийг орлъё:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \баруун)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \баруун)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: (8; 3; −2)

Тэгээд л болоо! Анхаарна уу: бидний ахиц дэвшил буурч байна.

Мэдээжийн хэрэг, $n=1$-ийг орлуулах боломжгүй - эхний нэр томъёо нь бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байна. Гэсэн хэдий ч эв нэгдлийг орлуулах замаар бидний томъёо эхний улиралд ч гэсэн үр дүнтэй гэдэгт итгэлтэй байсан. Бусад тохиолдолд бүх зүйл улиг болсон арифметик дээр бууж ирсэн.

Даалгавар №2. Арифметик прогрессийн долоо дахь гишүүн нь -40, арван долоо дахь гишүүн нь -50 бол эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Асуудлын нөхцлийг танил хэллэгээр бичье.

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (а)_(17))=((а) _(1))+16d \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \зөв.\]

Эдгээр шаардлагыг нэгэн зэрэг хангах ёстой тул би системийн тэмдгийг тавьсан. Хэрэв бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасвал (бидэнд систем байгаа тул үүнийг хийх эрхтэй) дараах зүйлийг олж авна.

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \баруун); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Явцын зөрүүг олох нь ийм амархан! Үлдсэн зүйл бол олсон тоог системийн аль нэг тэгшитгэлд орлуулах явдал юм. Жишээлбэл, эхнийх нь:

\[\begin(матриц) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \төгсгөл(матриц)\]

Одоо эхний нэр томъёо ба ялгааг мэдсэнээр хоёр, гурав дахь нөхцлүүдийг олоход үлдлээ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бэлэн! Асуудал шийдэгдсэн.

Хариулт: (−34; −35; −36)

Бидний нээсэн прогрессийн сонирхолтой шинж чанарыг анхаарч үзээрэй: хэрэв бид $n$th ба $m$th нөхцлүүдийг авч бие биенээсээ хасвал $n-m$ тоогоор үржүүлсэн прогрессийн зөрүү гарна.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \баруун)\]

Энгийн боловч маш хэрэгтэй өмч бөгөөд та мэдээжийн хэрэг мэдэх хэрэгтэй - түүний тусламжтайгаар та олон дэвшилттэй асуудлын шийдлийг ихээхэн хурдасгаж чадна. Үүний тод жишээ энд байна.

Даалгавар №3. Арифметик прогрессийн тав дахь гишүүн 8.4, арав дахь гишүүн нь 14.4 байна. Энэ прогрессийн арван тав дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, мөн бид $((a)_(15))$ олох шаардлагатай тул бид дараах зүйлийг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, тиймээс $5d=6$ нөхцөлөөр бид дараах байдалтай байна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: 20.4

Тэгээд л болоо! Бид ямар ч тэгшитгэлийн системийг үүсгэж, эхний гишүүн ба ялгааг тооцоолох шаардлагагүй байсан - бүх зүйлийг хэдхэн мөрөнд шийдсэн.

Одоо өөр төрлийн асуудлыг авч үзье - явцын сөрөг ба эерэг нөхцөлийг хайх. Хэрэв ахиц дэвшил нэмэгдэж, эхний гишүүн нь сөрөг байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт эерэг нэр томъёо гарч ирэх нь нууц биш юм. Мөн эсрэгээр: буурах явцын нөхцөлүүд эрт орой хэзээ нэгэн цагт сөрөг болно.

Үүний зэрэгцээ элементүүдийг дараалан дамжуулж энэ мөчийг "толгой" олох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ бодлогуудыг томъёоллыг мэдэхгүй бол тооцоололд хэд хэдэн хуудас цаас шаардагдахаар бичдэг - бид хариултаа олох зуураа зүгээр л унтдаг. Тиймээс эдгээр асуудлыг илүү хурдан шийдвэрлэхийг хичээцгээе.

Даалгавар No4. Арифметик прогрессод хэдэн сөрөг гишүүн байна −38.5; -35.8; ...?

Шийдэл. Тэгэхээр, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, эндээс бид шууд ялгааг олно:

Ялгаа эерэг байгаа тул ахиц дэвшил нэмэгддэг гэдгийг анхаарна уу. Эхний нэр томъёо нь сөрөг, тиймээс хэзээ нэгэн цагт бид эерэг тоон дээр бүдрэх болно. Ганц асуулт бол энэ нь хэзээ болох вэ.

Нэр томъёоны сөрөг тал хэр удаан (өөрөөр хэлбэл ямар натурал тоо $n$ хүртэл) үлдэхийг олж мэдье.

\[\эхлэх(зөв) & ((a)_(n)) \lt 0\Баруун сум ((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \баруун)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \баруун. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Баруун сум ((n)_(\max ))=15. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн мөр нь зарим тайлбарыг шаарддаг. Тэгэхээр бид $n \lt 15\frac(7)(27)$ гэдгийг мэднэ. Нөгөөтэйгүүр, бид зөвхөн тооны бүхэл утгуудад сэтгэл хангалуун байна (үүнээс гадна: $n\in \mathbb(N)$), тиймээс хамгийн том зөвшөөрөгдөх тоо нь яг $n=15$ бөгөөд ямар ч тохиолдолд 16 биш юм. .

Даалгавар №5. Арифметик прогрессод $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Энэ прогрессийн эхний эерэг гишүүний тоог ол.

Энэ нь өмнөхтэй яг адилхан асуудал байх болно, гэхдээ бид $((a)_(1))$-ыг мэдэхгүй. Гэхдээ хөрш зэргэлдээ нэр томъёонууд нь мэдэгдэж байгаа: $((a)_(5))$ ба $((a)_(6))$, тиймээс бид прогрессийн ялгааг хялбархан олох боломжтой.

Нэмж дурдахад стандарт томъёог ашиглан тав дахь гишүүнийг эхний болон зөрүүгээр илэрхийлэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид өмнөх даалгаврын адил төстэй байдлаар үргэлжлүүлнэ. Бидний дарааллын аль цэгт эерэг тоо гарч ирэхийг олж мэдье.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Баруун сум ((n)_(\мин ))=56. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ тэгш бус байдлын хамгийн бага бүхэл тооны шийдэл нь 56 тоо юм.

Анхаарна уу: сүүлчийн даалгаварт бүх зүйл хатуу тэгш бус байдалд орсон тул $n=55$ сонголт бидэнд тохирохгүй.

Одоо бид энгийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан тул илүү төвөгтэй асуудлууд руу шилжье. Гэхдээ эхлээд арифметик прогрессийн өөр нэг ашигтай шинж чанарыг судалж үзье, энэ нь бидэнд маш их цаг хугацаа, тэгш бус эсүүдийг хэмнэх болно :)

Арифметик дундаж ба тэнцүү догол

$\left(((a)_(n)) \right)$ өсөн нэмэгдэж буй арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг авч үзье. Тэдгээрийг тоон мөрөнд тэмдэглэхийг хичээцгээе.

Би $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ дурын нэр томъёог тусгайлан тэмдэглэсэн бөгөөд $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ гэх мэт. Учир нь миний одоо танд хэлэх дүрэм нь ямар ч "сегмент" -ийн хувьд адилхан ажилладаг.

Мөн дүрэм нь маш энгийн. Дахин давтагдах томьёог санаж, тэмдэглэсэн бүх нэр томъёонд бичье.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгш байдлыг өөрөөр дахин бичиж болно:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

За яахав? Мөн $((a)_(n-1))$ ба $((a)_(n+1))$ нэр томъёо $((a)_(n)) $-ээс ижил зайд оршдог нь үнэн. . Мөн энэ зай нь $d$-тай тэнцүү байна. $((a)_(n-2))$ ба $((a)_(n+2))$ гэсэн нэр томъёоны талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно - тэдгээр нь мөн $((a)_(n)-аас хасагдсан. )$ ижил зайд $2d$-тэй тэнцүү байна. Бид хязгааргүй үргэлжлүүлж болох ч утгыг зургаар сайн харуулсан

Энэ нь бидний хувьд юу гэсэн үг вэ? Энэ нь хөрш зэргэлдээх тоонууд нь мэдэгдэж байвал $((a)_(n))$-г олох боломжтой гэсэн үг:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Бид маш сайн мэдэгдлийг олж авсан: арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь түүний хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна! Түүнчлэн: бид $((a)_(n))$ цэгээсээ зүүн, баруун тийш нэг алхамаар биш, харин $k$ алхамаар ухрах боломжтой бөгөөд томъёо зөв хэвээр байх болно:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тэдгээр. Хэрэв бид $((a)_(100))$ болон $((a)_(200))$-г мэддэг бол $((a)_(150))$-г хялбархан олох болно, учир нь $(( a)_ (150))=\frac((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Өнгөц харахад энэ баримт бидэнд ямар ч ашигтай зүйл өгөхгүй юм шиг санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч практикт олон асуудлыг арифметик дундажийг ашиглахад тусгайлан тохируулсан байдаг. Энийг хар даа:

Даалгавар №6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ болон $14+4((x)^(2))$ гэсэн дараалсан нөхцлүүд болох $x$-ийн бүх утгыг ол. арифметик прогресс (заасан дарааллаар).

Шийдэл. Эдгээр тоонууд нь прогрессийн гишүүд тул тэдгээрийн арифметик дундаж нөхцөл хангагдана: $x+1$ төв элементийг хөрш зэргэлдээх элементүүдээр илэрхийлж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үр дүн нь сонгодог квадрат тэгшитгэл юм. Үүний үндэс: $x=2$ ба $x=-3$ нь хариултууд юм.

Хариулт: −3; 2.

Даалгавар №7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ тоонууд нь арифметик прогресс үүсгэдэг $$-ын утгыг ол (энэ дарааллаар).

Шийдэл. Дунд гишүүнийг хөрш зэргэлдээх нөхцлүүдийн арифметик дундажаар дахин илэрхийлье.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \баруун.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин квадрат тэгшитгэл. Мөн дахин хоёр үндэс байна: $x=6$ ба $x=1$.

Хариулт: 1; 6.

Хэрэв асуудлыг шийдвэрлэх явцад та ямар нэгэн харгис хэрцгий тоо гаргаж ирвэл эсвэл олсон хариултуудын үнэн зөв эсэхэд бүрэн итгэлгүй байгаа бол танд шалгах боломжийг олгодог гайхалтай техник байдаг: бид асуудлыг зөв шийдсэн үү?

6-р бодлогод −3 ба 2 гэсэн хариултыг авлаа гэж бодъё. Эдгээр хариулт зөв эсэхийг хэрхэн шалгах вэ? Тэднийг анхны байдалд нь оруулаад юу болохыг харцгаая. Бидэнд арифметик прогресс үүсгэх ёстой гурван тоо ($-6(()^(2))$, $+1$ ба $14+4(()^(2))$ байгааг сануулъя. $x=-3$-г орлуулъя:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=-3\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид −54 тоог авсан; −2; 52-оор ялгаатай 50 нь арифметик прогресс байх нь дамжиггүй. $x=2$-д ижил зүйл тохиолддог:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=2\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин дэвшилттэй, гэхдээ 27-ийн зөрүүтэй. Тиймээс асуудлыг зөв шийдсэн. Хүссэн хүмүүс хоёр дахь асуудлыг бие даан шалгаж болно, гэхдээ би шууд хэлье: тэнд бүх зүйл зөв байна.

Ерөнхийдөө сүүлийн асуудлуудыг шийдвэрлэх явцад бид бас нэг сонирхолтой баримттай тулгарсан бөгөөд үүнийг санах хэрэгтэй.

Гурван тоо нь хоёр дахь нь эхний ба сүүлчийн арифметик дундаж байхаар байвал эдгээр тоо нь арифметик прогресс үүсгэдэг.

Ирээдүйд энэ мэдэгдлийг ойлгох нь асуудлын нөхцөл байдалд тулгуурлан шаардлагатай дэвшлийг "бүтээх" боломжийг бидэнд олгоно. Гэхдээ бид ийм "бүтээн байгуулалт" хийхээсээ өмнө аль хэдийн яригдсан зүйлээс шууд хамааралтай өөр нэг баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Элементүүдийг бүлэглэх, нэгтгэх

Дахиад тооны тэнхлэг рүү буцъя. Прогрессийн хэд хэдэн гишүүдийг тэмдэглэе, тэдгээрийн хооронд магадгүй. бусад олон гишүүдэд үнэ цэнэтэй юм:

“Зүүн сүүл”-ийг $((a)_(n))$ болон $d$, “баруун сүүл”-ийг $((a)_(k))$, $d$-аар илэрхийлэхийг хичээцгээе. Энэ нь маш энгийн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дараах хэмжээ тэнцүү байгааг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв бид нийтдээ $S$-тай тэнцэх хоёр элементийг эхлэл болгон авч үзвэл эдгээр элементүүдээс эсрэг чиглэлд (бие бие рүүгээ эсвэл эсрэгээр) алхаж эхэлбэл. тэгээд Бидний бүдрэх элементүүдийн нийлбэрүүд мөн тэнцүү байх болно$S$. Үүнийг графикаар хамгийн тодорхой илэрхийлж болно:

Энэ баримтыг ойлгох нь дээр дурдсан асуудлаас үндсээрээ илүү нарийн төвөгтэй асуудлуудыг шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгоно. Жишээлбэл, эдгээр:

Даалгавар №8. Эхний гишүүн нь 66, хоёр ба арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь байж болох хамгийн бага байх арифметик прогрессийн зөрүүг тодорхойл.

Шийдэл. Мэддэг бүхнээ бичье:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр бид $d$-ийн явцын зөрүүг мэдэхгүй байна. Үнэн хэрэгтээ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ бүтээгдэхүүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болох тул шийдлийг бүхэлд нь ялгааг тойруулан бүтээх болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \баруун)\cdot \left(66+11d \баруун)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \төгсгөл(зохицуулах)\]

Танканд байгаа хүмүүсийн хувьд: Би хоёр дахь хаалтаас 11-ийн нийт үржүүлэгчийг авсан. Тиймээс шаардлагатай бүтээгдэхүүн нь $d$ хувьсагчийн хувьд квадрат функц юм. Иймд $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ функцийг авч үзье - түүний график нь дээш салбартай парабол байх болно, учир нь. хэрвээ бид хаалтуудыг өргөжүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=11\зүүн(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \баруун)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Таны харж байгаагаар хамгийн дээд нэр томъёоны коэффициент нь 11 байна - энэ бол эерэг тоо тул бид дээшээ салбарласан параболатай үнэхээр харьцаж байна.

квадрат функцийн график - парабол

Анхаарна уу: энэ парабола хамгийн бага утгыг орой дээрээ $((d)_(0))$ абсциссатай авна. Мэдээжийн хэрэг, бид энэ абсциссыг стандарт схемийг ашиглан тооцоолж болно ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ томъёо байдаг), гэхдээ үүнийг тэмдэглэх нь илүү үндэслэлтэй байх болно. Хүссэн орой нь параболын тэнхлэгийн тэгш хэм дээр байрладаг тул $((d)_(0))$ цэг нь $f\left(d \right)=0$ тэгшитгэлийн язгуураас ижил зайд байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тийм ч учраас би хаалт нээх гэж яарсангүй: анхны хэлбэрээр нь үндсийг нь олоход маш хялбар байсан. Тиймээс абсцисса нь −66 ба −6 тоонуудын арифметик дундажтай тэнцүү байна.

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Олдсон тоо бидэнд юу өгөх вэ? Үүний тусламжтайгаар шаардлагатай бүтээгдэхүүн нь хамгийн бага утгыг авдаг (Дашрамд хэлэхэд бид хэзээ ч $((y)_(\min ))$ тооцоолоогүй - энэ нь бидэнд шаардлагагүй). Үүний зэрэгцээ, энэ тоо нь анхны прогрессоос ялгаатай, i.e. Бид хариултыг нь олсон. :)

Хариулт: -36

Даалгавар №9. $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac(1)(6)$ гэсэн тоонуудын хооронд гурван тоог оруулснаар эдгээр тоонуудтай хамт арифметик прогресс үүсгэнэ.

Шийдэл. Үндсэндээ бид эхний болон сүүлчийн тоог аль хэдийн мэддэг таван тооны дарааллыг хийх хэрэгтэй. Алга болсон тоонуудыг $x$, $y$, $z$ хувьсагчаар тэмдэглэе:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \баруун\ )\]

$y$ тоо нь бидний дарааллын "дунд" гэдгийг анхаарна уу - энэ нь $x$ ба $z$ тоонуудаас мөн $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac тоонуудаас ижил зайд байна. (1)( 6)$. Хэрэв бид одоогоор $x$ ба $z$ тоонуудаас $y$ авч чадахгүй байгаа бол явцын төгсгөлд байдал өөр байна. Арифметик дундажийг санацгаая:

Одоо $y$-ийг мэдсэнээр бид үлдсэн тоог олох болно. $x$ нь $-\frac(1)(2)$ болон бидний сая олсон $y=-\frac(1)(3)$ тоонуудын хооронд байгааг анхаарна уу. Тийм ч учраас

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашиглан бид үлдсэн тоог олно:

Бэлэн! Бид бүх гурван тоог олсон. Тэдгээрийг хариултын эхний тоонуудын хооронд оруулах дарааллаар бичье.

Хариулт: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Даалгавар №10. Хэрэв та оруулсан тоонуудын эхний, хоёр дахь, сүүлчийнх нь нийлбэр нь 56 гэдгийг мэдэж байгаа бол 2 ба 42 тоонуудын хооронд эдгээр тоонуудын хамт арифметик прогресс үүсгэх хэд хэдэн тоог оруулна уу.

Шийдэл. Өмнөхтэй ижил схемийн дагуу арифметик дундажаар шийдэгддэг илүү төвөгтэй асуудал. Асуудал нь бид яг хэдэн тоо оруулах шаардлагатайг мэдэхгүй байгаа явдал юм. Иймд бүх зүйлийг оруулсны дараа яг $n$ тоо гарах бөгөөд эхнийх нь 2, сүүлчийнх нь 42 байна гэж тодорхой бодъё. Энэ тохиолдолд шаардлагатай арифметик прогрессийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \баруун\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Гэсэн хэдий ч $((a)_(2))$ ба $((a)_(n-1))$ тоонуудыг 2 ба 42 дугаарын ирмэг дээр бие бие рүүгээ нэг алхамаар олж авдаг гэдгийг анхаарна уу. өөрөөр хэлбэл. дарааллын төв рүү. Мөн энэ нь тийм гэсэн үг юм

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Гэхдээ дээр дурдсан илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((a)_(3))$ ба $((a)_(1))$-г мэдсэнээр бид явцын ялгааг хялбархан олох боломжтой.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((а)_(3))-((а)_(1))=\зүүн(3-1 \баруун)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Баруун сум d=5. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үлдсэн нөхцлүүдийг олох л үлдлээ:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс аль хэдийн 9-р алхам дээр бид дарааллын зүүн төгсгөлд ирэх болно - 42 тоо. Нийтдээ зөвхөн 7 тоог оруулах шаардлагатай байв: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Хариулт: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Прогресстэй үгийн асуудлууд

Эцэст нь хэлэхэд би харьцангуй энгийн хэд хэдэн асуудлыг авч үзэхийг хүсч байна. Маш энгийн: сургуульд математикийн чиглэлээр суралцдаг, дээр бичсэн зүйлийг уншаагүй ихэнх оюутнуудад эдгээр асуудлууд хэцүү мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч эдгээр нь OGE болон математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд гардаг төрлийн асуудлууд тул би тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Даалгавар №11. Тус хамт олон 1-р сард 62 ширхэг үйлдвэрлэсэн бол дараагийн сар бүр өмнөх сарынхаас 14 ширхэг илүү үйлдвэрлэжээ. Арваннэгдүгээр сард баг хэдэн эд анги үйлдвэрлэсэн бэ?

Шийдэл. Мэдээжийн хэрэг, сараар жагсаасан хэсгүүдийн тоо нэмэгдэж буй арифметик прогрессийг илэрхийлэх болно. Үүнээс гадна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 14. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Арваннэгдүгээр сар бол жилийн 11 дэх сар тул бид $((a)_(11))$ олох хэрэгтэй:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Тиймээс арваннэгдүгээр сард 202 ширхэгийг үйлдвэрлэнэ.

Даалгавар №12. Номын урлалын цех 1-р сард 216 ном хавсаргасан бол дараагийн сар бүр өмнөхөөсөө 4-өөр илүү ном хавсаргав. 12-р сард семинар хэдэн ном хавсаргав?

Шийдэл. Бүгд адилхан:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)$

Арванхоёрдугаар сар бол жилийн сүүлийн 12 дахь сар тул бид $((a)_(12))$ хайж байна:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Энэ бол хариулт юм - арванхоёрдугаар сард 260 ном хавтаслана.

За, хэрэв та энэ хүртэл уншсан бол би танд баяр хүргэе: та арифметик прогрессийн "залуу тулаанчны курс" -ыг амжилттай дүүргэсэн. Та дараагийн хичээл рүү аюулгүйгээр шилжиж, бид ахиц дэвшлийн нийлбэрийн томъёо, түүнчлэн үүнээс чухал бөгөөд маш ашигтай үр дагаврыг судлах болно.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Арифметик прогресс гэдэг нь тоо тус бүр өмнөхөөсөө ижил хэмжээгээр их (эсвэл бага) тоонуудын цуваа юм.

Энэ сэдэв нь ихэвчлэн төвөгтэй, ойлгомжгүй мэт санагддаг. Үсгүүдийн индексүүд, прогрессийн n-р гишүүн, прогрессийн зөрүү - энэ бүхэн ямар нэг байдлаар будлиантай, тийм ээ ... Арифметик прогрессийн утгыг олж мэдье, тэр даруй бүх зүйл сайжирна.)

Арифметик прогрессийн тухай ойлголт.

Арифметик прогресс бол маш энгийн бөгөөд ойлгомжтой ойлголт юм. Танд эргэлзээ байна уу? дэмий л.) Өөрөө хараарай.

Би дуусаагүй цуврал тоо бичнэ:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Та энэ цувралыг сунгаж чадах уу? Тавын дараа ямар тоо гарах вэ? Хүн бүр... өө..., товчхондоо 6, 7, 8, 9 гэх мэт тоонууд дараа нь ирнэ гэдгийг бүгд ойлгох болно.

Даалгаврыг хүндрүүлье. Би танд дуусаагүй цуврал тоонуудыг өгч байна:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Та загварыг барьж, цувралыг сунгаж, нэрлэх боломжтой болно долдугаартэгнээний дугаар?

Хэрэв та энэ тоо 20 гэдгийг ойлгосон бол баяр хүргэе! Та зөвхөн мэдэрсэнгүй арифметик прогрессийн гол цэгүүд,гэхдээ тэдгээрийг бизнест амжилттай ашигласан! Хэрэв та үүнийг ойлгоогүй бол үргэлжлүүлэн уншина уу.

Одоо мэдрэмжээс үндсэн санааг математикт хөрвүүлцгээе.)

Эхний гол цэг.

Арифметик прогресс нь тоонуудын цувааг хэлнэ.Энэ нь эхэндээ төөрөгдөлд ордог. Бид тэгшитгэлийг шийдэж, график зурж, энэ бүхэнд дассан ... Гэхдээ энд бид цувралыг сунгаж, цувралын дугаарыг олоорой ...

Зүгээр дээ. Прогресс бол математикийн шинэ салбартай анхны танилцах явдал юм. Хэсгийг "Цуврал" гэж нэрлэдэг бөгөөд тусгайлан тоо, илэрхийллийн цувралаар ажилладаг. Үүнд дас.)

Хоёр дахь гол цэг.

Арифметик прогрессийн хувьд дурын тоо өмнөхөөсөө өөр байна ижил хэмжээгээр.

Эхний жишээнд энэ ялгаа нь нэг юм. Ямар ч тоог авсан өмнөхөөсөө нэгээр илүү байна. Хоёр дахь нь - гурав. Аливаа тоо өмнөх тооноос гурав илүү байна. Чухамдаа яг энэ мөч нь бидэнд загварыг ойлгож, дараагийн тоог тооцоолох боломжийг олгодог.

Гурав дахь гол цэг.

Энэ мөч гайхалтай биш, тиймээ ... Гэхдээ энэ нь маш чухал юм. Тэр энд байна: Прогрессийн тоо бүр өөрийн байранд байна.Эхний тоо байдаг, долоо дахь нь байдаг, дөчин тав дахь нь байдаг гэх мэт. Хэрэв та тэдгээрийг санамсаргүй байдлаар холивол загвар алга болно. Арифметик прогресс мөн алга болно. Үлдсэн зүйл бол зүгээр л цуваа тоо юм.

Энэ бол бүх зүйл.

Мэдээжийн хэрэг, шинэ нэр томьёо, тэмдэглэгээ нь шинэ сэдэв дээр гарч ирдэг. Та тэднийг мэдэх хэрэгтэй. Үгүй бол та даалгаврыг ойлгохгүй. Жишээлбэл, та дараахь зүйлийг шийдэх хэрэгтэй болно.

Арифметик прогрессийн (a n) эхний зургаан гишүүнийг бичнэ үү, хэрэв a 2 = 5, d = -2.5.

Урам зориг өгч байна уу?) Захидал, зарим индекс ... Мөн даалгавар нь илүү хялбар байж болохгүй. Та зүгээр л нэр томъёо, тэмдэглэгээний утгыг ойлгох хэрэгтэй. Одоо бид энэ асуудлыг эзэмшиж, даалгавар руугаа буцах болно.

Нэр томъёо, нэр томъёо.

Арифметик прогрессЭнэ нь тоо бүр өмнөхөөсөө ялгаатай тоонуудын цуваа юм ижил хэмжээгээр.

Энэ хэмжээг нэрлэдэг . Энэ ойлголтыг илүү нарийвчлан авч үзье.

Арифметик прогрессийн ялгаа.

Арифметик прогрессийн ялгаань ямар нэгэн прогрессийн тоо байх хэмжээ юм илүүөмнөх нэг.

Нэг чухал цэг. Үгэнд анхаарлаа хандуулна уу "илүү".Математикийн хувьд энэ нь прогрессийн тоо бүр байна гэсэн үг юм нэмэх замаарөмнөх тооноос арифметик прогрессийн зөрүү.

Тооцоолохын тулд хэлье хоёрдугаартцувралын дугаар, та хэрэгтэй эхлээдтоо нэмэхэнэ нь арифметик прогрессийн ялгаа юм. Тооцооллын хувьд тав дахь- ялгаа зайлшгүй шаардлагатай нэмэхруу дөрөв дэх,сайн гэх мэт.

Арифметик прогрессийн ялгааБайж магадгүй эерэг,дараа нь цувралын тоо бүр бодит болж хувирна өмнөхөөсөө илүү.Энэ дэвшил гэж нэрлэдэг нэмэгдэх.Жишээлбэл:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Энд тоо бүрийг олж авна нэмэх замаарэерэг тоо, өмнөх нэг рүү +5.

Ялгаа нь байж болно сөрөг,Дараа нь цувралын тоо бүр байх болно өмнөхөөсөө бага.Энэ дэвшил гэж нэрлэгддэг (та үүнд итгэхгүй байх болно!) буурч байна.

Жишээлбэл:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Эндээс тоо бүрийг бас авдаг нэмэх замаарөмнөх тоо, гэхдээ аль хэдийн сөрөг тоо, -5.

Дашрамд хэлэхэд, дэвшилттэй ажиллахдаа түүний мөн чанарыг нэн даруй тодорхойлох нь маш ашигтай байдаг - энэ нь нэмэгдэж байгаа эсвэл буурч байгаа эсэх. Энэ нь шийдвэр гаргах, алдаагаа олж илрүүлэх, хэтэрхий оройтохоос өмнө засахад маш их тусалдаг.

Арифметик прогрессийн ялгааихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг г.

Яаж олох вэ г? Маш энгийн. Цувралын аль ч тооноос хасах шаардлагатай өмнөхтоо. Хасах. Дашрамд хэлэхэд, хасах үр дүнг "ялгаа" гэж нэрлэдэг.)

Жишээлбэл, тодорхойлъё. гАрифметик прогрессийг нэмэгдүүлэхийн тулд:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Бид цувралаас хүссэн тоогоо авдаг, жишээ нь 11. Түүнээс хасдаг өмнөх дугаартэдгээр. 8:

Энэ бол зөв хариулт юм. Энэхүү арифметик прогрессийн хувьд ялгаа нь гурав байна.

Та авч болно аливаа дэвшлийн тоо,учир нь тодорхой дэвшлийн хувьд d-үргэлж ижил.Ядаж хаа нэгтээ эгнээний эхэнд, ядаж дунд нь, ядаж хаа нэгтээ. Та зөвхөн эхний тоог авч болохгүй. Зүгээр л эхний тоо учраас өмнөх байхгүй.)

Дашрамд хэлэхэд үүнийг мэдэж байгаа d=3, энэ прогрессийн долоо дахь тоог олох нь маш энгийн. Тав дахь тоо дээр 3-ыг нэмье - бид зургаа дахь тоог авна, энэ нь 17 болно. Зургаа дахь тоо дээр гурвыг нэмье, бид долоо дахь тоо - хориныг авна.

Тодорхойлъё гбуурах арифметик прогрессийн хувьд:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Шинж тэмдгүүдээс үл хамааран тодорхойлохыг танд сануулж байна гямар ч дугаараас хэрэгтэй өмнөхийг нь ав.Дурын прогрессийн тоог сонгоно уу, жишээ нь -7. Түүний өмнөх тоо -2. Дараа нь:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Арифметик прогрессийн ялгаа нь ямар ч тоо байж болно: бүхэл тоо, бутархай, иррационал, дурын тоо.

Бусад нэр томъёо, тэмдэглэгээ.

Цуврал дахь дугаар бүрийг дууддаг арифметик прогрессийн гишүүн.

Прогрессийн гишүүн бүр өөрийн гэсэн дугаартай.Тоонууд нь ямар ч заль мэхгүйгээр хатуу дарааллаар байна. Эхний, хоёр, гурав, дөрөв гэх мэт. Жишээлбэл, 2, 5, 8, 11, 14, ... хоёр нь эхний гишүүн, тав нь хоёрдугаарт, арван нэг нь дөрөв дэх, за, та ойлгож байна ...) Тодорхой ойлгоно уу - тоонууд өөрсдөөтуйлын юу ч байж болно, бүхэл, бутархай, сөрөг, юу ч байж болно, гэхдээ тоонуудын дугаарлалт- хатуу дарааллаар!

Прогрессийг ерөнхий хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ? Асуудалгүй! Цувралын тоо бүр үсэг хэлбэрээр бичигдсэн байдаг. Арифметик прогрессийг илэрхийлэхийн тулд үсгийг ихэвчлэн ашигладаг а. Гишүүний дугаарыг баруун доод талд байгаа индексээр заана. Бид нэр томъёог таслалаар (эсвэл цэг таслалаар) дараах байдлаар бичдэг.

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- энэ бол эхний тоо, a 3- гурав дахь гэх мэт. Гоёмсог зүйл байхгүй. Энэ цувралыг дараах байдлаар товчхон бичиж болно. (а н).

Хөгжил дэвшил гардаг хязгаарлагдмал ба хязгааргүй.

Эцсийндэвшил нь цөөн тооны гишүүдтэй. Тав, гучин найм, юу ч байсан. Гэхдээ энэ бол хязгаартай тоо.

Хязгааргүйдэвшил - таны таамаглаж байгаачлан хязгааргүй тооны гишүүдтэй.)

Та бүх нэр томьёо болон төгсгөлд нь цэг тавьж дараах байдлаар эцсийн явцыг бичиж болно.

1, 2, 3, 4, 5.

Эсвэл ийм олон гишүүн байвал:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

Богино бичлэгт та гишүүдийн тоог нэмж оруулах шаардлагатай болно. Жишээлбэл (хорин гишүүний хувьд) дараах байдалтай байна.

(a n), n = 20

Хязгааргүй прогрессийг энэ хичээлийн жишээнүүдийн адил эгнээний төгсгөлд байгаа эллипсээр таньж болно.

Одоо та даалгавруудыг шийдэж чадна. Даалгаврууд нь энгийн бөгөөд зөвхөн арифметик прогрессийн утгыг ойлгоход зориулагдсан.

Арифметик прогрессийн даалгаврын жишээ.

Дээр өгөгдсөн даалгаврыг нарийвчлан авч үзье.

1. Арифметик прогрессийн (a n) эхний зургаан гишүүнийг бичнэ үү, хэрэв a 2 = 5, d = -2.5.

Бид даалгаврыг ойлгомжтой хэлээр орчуулдаг. Хязгааргүй арифметик прогресс өгөгдсөн. Энэ дэвшлийн хоёр дахь тоо мэдэгдэж байна: a 2 = 5.Явцын ялгаа нь мэдэгдэж байна: d = -2.5.Бид энэ дэвшлийн эхний, гурав, дөрөв, тав, зургаа дахь гишүүнийг олох хэрэгтэй.

Тодорхой болгохын тулд би асуудлын нөхцлийн дагуу цуврал бичих болно. Эхний зургаан нэр томъёо, хоёр дахь хугацаа нь тав байна:

1, 5, 3, 4, 5, 6,....

a 3 = a 2 + г

Илэрхийлэлд орлуулах a 2 = 5Тэгээд d = -2.5. Хасах талаар бүү мартаарай!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Гурав дахь хугацаа нь хоёр дахь хугацаанаас бага болсон. Бүх зүйл логиктой. Хэрэв энэ тоо өмнөхөөсөө их байвал сөрөгутга, энэ нь тоо нь өмнөхөөсөө бага байх болно гэсэн үг юм. Ахиц дэвшил буурч байна. За, үүнийг анхаарч үзье.) Бид цувралынхаа дөрөв дэх гишүүнийг тоолно:

a 4 = a 3 + г

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

а 5 = a 4 + г

а 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = а 5 + г

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Ингээд гурав, зургаа хүртэлх хугацааг тооцсон. Үр дүн нь дараах цуврал юм.

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Эхний нэр томъёог олоход л үлдлээ a 1сайн мэдэх хоёр дахь дагуу. Энэ нь нөгөө чиглэлд, зүүн тийшээ алхам юм.) Тэгэхээр арифметик прогрессийн зөрүү г-д нэмж болохгүй a 2, А авч явах:

a 1 = a 2 - г

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Ингээд л болоо. Даалгаврын хариулт:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Энэ даалгаврыг бид шийдэж чадсан гэдгийг энд тэмдэглэхийг хүсч байна давтагдахарга зам. Энэ аймшигт үг нь зөвхөн дэвшилтийн гишүүнийг хайх гэсэн үг юм өмнөх (зэргэлдээх) дугаарын дагуу.Доор бид ахиц дэвшилтэй ажиллах бусад аргуудыг авч үзэх болно.

Энэхүү энгийн даалгавраас нэг чухал дүгнэлт хийж болно.

Санаж байна уу:

Хэрэв бид ядаж нэг гишүүн ба арифметик прогрессийн зөрүүг мэддэг бол энэ прогрессийн аль ч гишүүнийг олж чадна.

Чи санаж байна уу? Энэхүү энгийн дүгнэлт нь энэ сэдвээр сургуулийн хичээлийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно. Бүх ажил гурван үндсэн параметрийг тойрон эргэлддэг: арифметик прогрессийн гишүүн, прогрессийн ялгавар, прогрессийн гишүүний тоо.Бүгд.

Мэдээжийн хэрэг, өмнөх бүх алгебрыг хүчингүй болгохгүй.) Тэгш бус байдал, тэгшитгэл болон бусад зүйлсийг прогрессид хавсаргасан. Гэхдээ явцынх нь дагуу- бүх зүйл гурван параметрийн эргэн тойронд эргэлддэг.

Жишээлбэл, энэ сэдвээр алдартай зарим даалгавруудыг авч үзье.

2. n=5, d = 0.4, a 1 = 3.6 бол төгсгөлтэй арифметик прогрессийг цуваа хэлбэрээр бич.

Энд бүх зүйл энгийн. Бүх зүйлийг аль хэдийн өгсөн. Та арифметик прогрессийн гишүүдийг хэрхэн тоолж, тоолж, бичихийг санаж байх хэрэгтэй. Даалгаврын нөхцөлд "эцсийн" ба "" гэсэн үгсийг алдахгүй байхыг зөвлөж байна. n=5". Нүүрээ бүрэн хөхрөх хүртэл тоолохгүйн тулд.) Энэ дэвшилд ердөө 5 (таван) гишүүн байна:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

а 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

Хариултыг бичихэд л үлдлээ.

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Өөр нэг даалгавар:

3. 7 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн байх эсэхийг тодорхойл. a 1 = 4.1; d = 1.2.

Хмм... Хэн мэдэх вэ? Ямар нэг зүйлийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Хэрхэн-хэрхэн... Прогрессийг цуврал хэлбэрээр бичээд тэнд долоо байх уу үгүй ​​юу гэдгийг хараарай! Бид тоолно:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Одоо бид долоотой байгаа нь тодорхой харагдаж байна хальтирсан 6.5-аас 7.7 хооронд! Долоо нь манай цуврал тоонд ороогүй тул долоо нь өгөгдсөн прогрессийн гишүүн болохгүй.

Хариулт: үгүй.

ТЕГ-ын бодит хувилбар дээр үндэслэсэн асуудал энд байна:

4. Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг бичнэ.

...; 15; X; 9; 6; ...

Энд төгсгөлгүй, эхлэлгүй бичсэн цуврал байна. Гишүүдийн дугаар ч ялгаагүй г. Зүгээр дээ. Асуудлыг шийдэхийн тулд арифметик прогрессийн утгыг ойлгоход хангалттай. Юу боломжтойг харцгаая мэдэхэнэ цувралаас? Гурван үндсэн үзүүлэлт юу вэ?

Гишүүдийн дугаар? Энд нэг ч тоо байхгүй.

Гэхдээ гурван тоо байдаг ба - анхаарлаа хандуулаарай! - үг "тогтвортой"нөхцөлд. Энэ нь тоонууд нь цоорхойгүй, хатуу дараалалтай байна гэсэн үг юм. Энэ эгнээнд хоёр байна уу? хөршмэдэгдэж байгаа тоо? Тиймээ, надад байгаа! Эдгээр нь 9 ба 6. Тиймээс бид арифметик прогрессийн зөрүүг тооцоолж болно! Зургаагаас хас өмнөхтоо, өөрөөр хэлбэл. ес:

Өчүүхэн төдий зүйл үлдлээ. X-ийн өмнөх тоо хэд байх вэ? Арван тав. Энэ нь X-ийг энгийн нэмэх замаар амархан олох боломжтой гэсэн үг юм. Арифметик прогрессийн зөрүүг 15 дээр нэмнэ.

Тэгээд л болоо. Хариулт: x=12

Дараах асуудлуудыг бид өөрсдөө шийддэг. Анхаар: Эдгээр асуудлууд нь томьёо дээр үндэслээгүй болно. Зөвхөн арифметик прогрессийн утгыг ойлгохын тулд.) Бид зүгээр л тоо, үсгийн цуваа бичээд, харж, тооцоолдог.

5. a 5 = -3 бол арифметик прогрессийн эхний эерэг гишүүнийг ол; d = 1.1.

6. 5.5 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн гэдгийг мэддэг бөгөөд a 1 = 1.6; d = 1.3. Энэ гишүүний n тоог тодорхойл.

7. Арифметик прогрессод a 2 = 4 гэдгийг мэддэг; a 5 = 15.1. 3-ыг ол.

8. Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг бичнэ.

...; 15.6; X; 3.4; ...

Х үсгээр заасан прогрессийн гишүүнийг ол.

9. Галт тэрэг буудлаас хөдөлж, хурдыг минутанд 30 метрээр жигд нэмэгдүүлэв. Таван минутын дараа галт тэрэгний хурд ямар байх вэ? Хариултаа км/цагаар хэлнэ үү.

10. Арифметик прогрессод a 2 = 5 гэдгийг мэддэг; a 6 = -5. 1-ийг олоорой.

Хариултууд (эмх замбараагүй): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Бүх зүйл болсон уу? Гайхалтай! Та дараах хичээлүүдэд арифметик прогрессийг илүү өндөр түвшинд эзэмших боломжтой.

Бүх зүйл болсонгүй гэж үү? Асуудалгүй. Тусгай 555-р хэсэгт эдгээр бүх асуудлыг хэсэг хэсгээр нь ангилсан болно.) Мэдээжийн хэрэг, ийм даалгаврын шийдлийг нэн даруй тод, ойлгомжтой байдлаар онцолсон энгийн практик техникийг тайлбарласан болно!

Дашрамд хэлэхэд, галт тэрэгний тааварт хүмүүс ихэвчлэн бүдэрдэг хоёр асуудал байдаг. Нэг нь зөвхөн дэвшлийн хувьд, хоёр дахь нь математик, физикийн аливаа асуудлын хувьд ерөнхий юм. Энэ бол хэмжээсүүдийг нэгээс нөгөө рүү орчуулах явдал юм. Энэ нь эдгээр асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх ёстойг харуулж байна.

Энэ хичээлээр бид арифметик прогрессийн үндсэн утга ба түүний үндсэн параметрүүдийг авч үзсэн. Энэ нь энэ сэдвээр бараг бүх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Нэмэх гтоонууд руу, цуврал бичвэл бүх зүйл шийдэгдэх болно.

Хурууны шийдэл нь энэ заавар дээрх жишээнүүдийн адил маш богино эгнээний хэсгүүдэд сайн ажилладаг. Хэрэв цуврал нь илүү урт байвал тооцоолол илүү төвөгтэй болно. Жишээлбэл, хэрэв та асуултын 9-р асуудалд орлуулна уу "таван минут"дээр "гучин таван минут"асуудал улам дордох болно.)

Мөн мөн чанартаа энгийн боловч тооцооллын хувьд утгагүй ажлууд байдаг, жишээлбэл:

Арифметик прогресс (a n) өгөгдсөн. a 1 =3 ба d=1/6 бол 121-ийг ол.

Тэгээд яахав, бид 1/6-г олон, олон удаа нэмэх гэж байна уу?! Та өөрийгөө алж чадна!?

Та чадна.) Хэрэв та ийм даалгавруудыг нэг минутын дотор шийдэж болох энгийн томъёог мэдэхгүй бол. Энэ томъёо нь дараагийн хичээл дээр байх болно. Тэгээд энэ асуудал тэнд шийдэгдэнэ. Нэг минутын дотор.)

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Арифметик ба геометрийн прогрессууд

Онолын мэдээлэл

	Арифметик прогресс	Геометрийн прогресс
Тодорхойлолт	Арифметик прогресс a nгэдэг нь хоёр дахь гишүүнээс эхлээд өмнөх гишүүн нь ижил тоонд нэмэгдсэнтэй тэнцүү байх дараалал юм г (г- явцын зөрүү)	Геометрийн прогресс б нЭнэ нь тэгээс өөр тооны дараалал бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнтэй ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. q (q- прогрессийн хуваагч)
Дахин давтагдах томъёо	Аливаа байгалийн хувьд n a n + 1 = a n + d	Аливаа байгалийн хувьд n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Томъёоны n-р гишүүн	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Онцлог шинж чанар
Эхний n гишүүний нийлбэр

Тайлбар бүхий даалгаврын жишээ

Дасгал 1

Арифметик прогрессоор ( a n) a 1 = -6, a 2

n-р гишүүний томъёоны дагуу:

а 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 д

Нөхцөлөөр:

a 1= -6, тэгвэл а 22= -6 + 21 d .

Прогрессийн ялгааг олох шаардлагатай:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Хариулт: а 22 = -48.

Даалгавар 2

Геометр прогрессийн тав дахь гишүүнийг ол: -3; 6;.....

1-р арга (n-н хугацааны томъёог ашиглан)

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёоны дагуу:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Учир нь б 1 = -3,

2-р арга (давтагдах томъёог ашиглах)

Прогрессийн хуваагч нь -2 (q = -2) тул:

б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Хариулт: б 5 = -48.

Даалгавар 3

Арифметик прогрессоор ( a n ) a 74 = 34; нь 76= 156. Энэ прогрессийн далан тав дахь гишүүнийг ол.

Арифметик прогрессийн хувьд шинж чанар нь хэлбэртэй байна .

Тиймээс:

.

Өгөгдлийг томъёонд орлъё:

Хариулт: 95.

Даалгавар 4

Арифметик прогрессоор ( a n ) a n= 3n - 4. Эхний арван долоон гишүүний нийлбэрийг ол.

Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг олохын тулд дараах хоёр томъёог ашиглана.

.

Энэ тохиолдолд аль нь ашиглахад илүү тохиромжтой вэ?

Нөхцөлөөр анхны прогрессийн n-р гишүүний томъёо мэдэгдэж байна ( a n) a n= 3n - 4. Та нэн даруй олох боломжтой ба a 1, Мөн а 16олохгүйгээр d. Тиймээс бид эхний томъёог ашиглах болно.

Хариулт: 368.

Даалгавар 5

Арифметик прогрессоор ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Прогрессийн хорин хоёр дахь гишүүнийг ол.

n-р гишүүний томъёоны дагуу:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 өдөр.

Нөхцөлөөр, хэрэв a 1= -6, тэгвэл а 22= -6 + 21d. Прогрессийн ялгааг олох шаардлагатай:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Хариулт: а 22 = -48.

Даалгавар 6

Геометр прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг бичнэ.

х-ээр заасан прогрессийн гишүүнийг ол.

Шийдвэрлэхдээ бид n-р гишүүний томъёог ашиглана b n = b 1 ∙ q n - 1геометрийн прогрессийн хувьд. Прогрессийн эхний үе. q прогрессийн хуваагчийг олохын тулд өгөгдсөн прогрессийн аль нэг гишүүнийг авч өмнөх гишүүнд хуваах хэрэгтэй. Бидний жишээн дээр бид авч, хувааж болно. Бид q = 3 гэдгийг олж авна. Өгөгдсөн геометр прогрессийн гурав дахь гишүүнийг олох шаардлагатай тул томъёонд n-ийн оронд 3-ыг орлуулна.

Олсон утгыг томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

.

Хариулт:.

Даалгавар 7

n-р гишүүний томъёогоор өгөгдсөн арифметик прогрессуудаас нөхцөл хангагдсаныг сонго. а 27 > 9:

Өгөгдсөн нөхцөл нь прогрессийн 27-р гишүүний хувьд биелэх ёстой тул дөрвөн прогресс бүрт n-ийн оронд 27-г орлуулна. 4-р шатанд бид дараахь зүйлийг авна.

.

Хариулт: 4.

Даалгавар 8

Арифметик прогрессоор a 1= 3, d = -1.5. Тэгш бус байдал биелэх n-ийн хамгийн том утгыг тодорхойлно уу a n > -6.

Эхний түвшин

Арифметик прогресс. Жишээ бүхий нарийвчилсан онол (2019)

Тооны дараалал

Ингээд суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээлбэл:
Та ямар ч тоо бичиж болно, тэдгээрийн аль болох олон тоо байж болно (манай тохиолдолд тэдгээр нь байдаг). Хичнээн тоо бичсэн ч аль нь нэгдүгээрт, аль нь хоёрдугаарт байна гэх мэтээр сүүлчийнх хүртэл хэлж чадна, өөрөөр хэлбэл дугаарлах боломжтой. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм:

Тооны дараалал
Жишээлбэл, бидний дарааллын хувьд:

Өгөгдсөн дугаар нь дарааллын зөвхөн нэг дугаарт зориулагдсан болно. Өөрөөр хэлбэл, дараалалд хоёр дахь гурван тоо байдаггүй. Хоёрдахь тоо (дахь дугаар шиг) үргэлж ижил байдаг.
Тоотой тоог дарааллын 3-р гишүүн гэж нэрлэдэг.

Бид ихэвчлэн дарааллыг бүхэлд нь ямар нэг үсгээр (жишээ нь,) дууддаг бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүр нь энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг байна: .

Манай тохиолдолд:

Бидэнд зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил ба тэнцүү байх тооны дараалал байна гэж бодъё.
Жишээлбэл:

гэх мэт.
Энэ тооны дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг.
"Прогресс" гэсэн нэр томъёог 6-р зуунд Ромын зохиолч Боэтиус нэвтрүүлсэн бөгөөд өргөн утгаар нь хязгааргүй тооны дараалал гэж ойлгож байжээ. "Арифметик" гэдэг нэр нь эртний Грекчүүдийн судалж байсан тасралтгүй харьцааны онолоос шилжсэн.

Энэ бол гишүүн бүр нь өмнөх тоон дээр нэмсэнтэй тэнцүү тооны дараалал юм. Энэ тоог арифметик прогрессийн ялгавар гэж нэрлэдэг бөгөөд тодорхойлогддог.

Аль тооны дараалал нь арифметик прогресс, аль нь биш болохыг тодорхойлохыг хичээ.

а)
б)
в)
г)

Авчихсан? Хариултаа харьцуулж үзье:
байнаарифметик прогресс - b, c.
Бишарифметик прогресс - a, d.

Өгөгдсөн прогресс () руу буцаж очоод түүний 3-р гишүүний утгыг олохыг хичээцгээе. Байгаа хоёролох арга.

1. Арга

Прогрессийн 3-р гишүүнд хүрэх хүртэл бид прогрессийн тоог өмнөх утгад нэмж болно. Бидэнд нэгтгэн дүгнэх зүйл байхгүй байгаа нь сайн хэрэг - ердөө гурван утга:

Тэгэхээр тайлбарласан арифметик прогрессийн 3-р гишүүн тэнцүү байна.

2. Арга

Прогрессийн гишүүний утгыг олох шаардлагатай бол яах вэ? Дүгнэлт хийхэд нэг цаг гаруй хугацаа шаардагдах бөгөөд бид тоо нэмэхэд алдаа гаргахгүй байх нь үнэн биш юм.
Мэдээжийн хэрэг математикчид арифметик прогрессийн зөрүүг өмнөх утгад нэмэх шаардлагагүй гэсэн аргыг бодож олжээ. Зурсан зургийг сайтар ажиглаарай... Та тодорхой хэв маягийг аль хэдийн анзаарсан байх, тухайлбал:

Жишээлбэл, энэ арифметик прогрессийн 3-р гишүүний утга юунаас бүрдэхийг харцгаая.


Өөрөөр хэлбэл:

Өгөгдсөн арифметик прогрессийн гишүүний утгыг өөрөө ингэж олохыг хичээгээрэй.

Та тооцоолсон уу? Тэмдэглэлээ хариулттай харьцуул.

Өмнөх утга дээр арифметик прогрессийн нөхцөлүүдийг дараалан нэмэх үед та өмнөх аргатай яг ижил тоог авсан болохыг анхаарна уу.
Энэ томъёог "хувь хүнгүй болгох" оролдлого хийцгээе - үүнийг ерөнхий хэлбэрт оруулаад дараахь зүйлийг олж авцгаая.

Арифметик прогрессууд нэмэгдэж эсвэл буурч болно.

Нэмэгдэх- нэр томъёоны дараагийн утга бүр өмнөхөөсөө их байх явцууд.
Жишээлбэл:

Бууж байна- нэр томъёоны дараагийн утга бүр өмнөхөөсөө бага байх прогрессууд.
Жишээлбэл:

Гарсан томъёог арифметик прогрессийн өсөлт ба буурах гишүүний аль алиных нь нэр томъёог тооцоолоход ашигладаг.
Үүнийг практик дээр шалгаж үзье.
Бидэнд дараах тоонуудаас бүрдэх арифметик прогресс өгөгдсөн: Хэрэв бид үүнийг тооцоолохдоо томъёогоо ашиглавал энэ арифметик прогрессийн 3-р тоо хэд болохыг шалгая:

Түүнээс хойш:

Тиймээс, томъёо нь арифметик прогрессийн бууралт, өсөлтийн аль алинд нь ажилладаг гэдэгт бид итгэлтэй байна.
Энэ арифметик прогрессийн 3 ба дах гишүүнийг өөрөө олохыг хичээ.

Үр дүнг харьцуулж үзье:

Арифметик прогрессийн шинж чанар

Асуудлыг төвөгтэй болгоё - бид арифметик прогрессийн шинж чанарыг гаргаж авах болно.
Бидэнд дараах нөхцөл өгөгдсөн гэж бодъё.
- арифметик прогресс, утгыг ол.
Хялбар, та аль хэдийн мэддэг томъёоныхоо дагуу тоолж эхэлнэ үү.

За тэгвэл:

Туйлын зөв. Бид эхлээд олоод, дараа нь эхний тоон дээр нэмээд хайж байгаа зүйлээ олж авдаг. Хэрэв прогрессийг жижиг утгуудаар илэрхийлсэн бол энэ талаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, гэхдээ нөхцөл байдалд тоо өгвөл яах вэ? Зөвшөөрч байна, тооцоололд алдаа гаргах магадлалтай.
Одоо бодоод үз дээ, энэ асуудлыг ямар нэг томъёогоор нэг алхамаар шийдэх боломжтой юу? Мэдээжийн хэрэг тийм, бид үүнийг одоо гаргахыг хичээх болно.

Арифметик прогрессийн шаардлагатай нэр томъёог олох томъёо нь бидэнд мэдэгдэж байгаа гэж тэмдэглэе - энэ бол бидний эхэнд гаргасан томъёо юм.
, Дараа нь:

• Прогрессийн өмнөх хугацаа нь:
• явцын дараагийн хугацаа нь:

Прогрессийн өмнөх болон дараагийн нөхцлүүдийг нэгтгэн дүгнэж үзье:

Прогрессийн өмнөх ба дараагийн нөхцлүүдийн нийлбэр нь тэдгээрийн хооронд байрлах прогрессийн гишүүний давхар утга болох нь харагдаж байна. Өөрөөр хэлбэл, мэдэгдэж буй өмнөх болон дараалсан утгатай прогрессийн гишүүний утгыг олохын тулд тэдгээрийг нэмж, хуваах хэрэгтэй.

Тийм ээ, бид ижил дугаарыг авсан. Материалыг хамгаалцгаая. Хөгжил дэвшлийн үнэ цэнийг өөрөө тооцоол, энэ нь тийм ч хэцүү биш юм.

Сайн хийлээ! Та ахиц дэвшлийн талаар бараг бүгдийг мэддэг! Домогт өгүүлснээр бүх цаг үеийн хамгийн агуу математикчдын нэг, "математикчдын хаан" Карл Гаусс амархан гаргаж ирсэн нэг томьёог олж мэдэх л үлдлээ...

Карл Гауссыг 9 настай байхад бусад ангийн сурагчдын ажлыг шалгах завгүй байсан багш ангидаа дараах даалгаврыг асуув: "Бүх натурал тоонуудын нийлбэрийг (бусад эх сурвалжийн дагуу) хамааруулан тооцоол." Түүний шавь нарын нэг нь (энэ нь Карл Гаусс байсан) нэг минутын дараа даалгаварт зөв хариулт өгөхөд багшийн гайхшралыг төсөөлөөд үз дээ, ангийн ихэнх хүүхдүүд удаан тооцоолсны эцэст буруу үр дүн авсан ...

Залуу Карл Гаусс та амархан анзаарч болох тодорхой хэв маягийг анзаарсан.
Бидэнд --р гишүүнчлэлээс бүрдэх арифметик прогресс байна гэж бодъё: Бид арифметик прогрессийн эдгээр гишүүний нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, бид бүх утгыг гараар нэгтгэж болно, гэхдээ хэрэв даалгавар нь Гауссын хайж байсан шиг түүний нөхцлийн нийлбэрийг олох шаардлагатай бол яах вэ?

Бидэнд өгөгдсөн дэвшлийг дүрсэлцгээе. Тодруулсан тоонуудыг анхааралтай ажиглаж, тэдэнтэй янз бүрийн математикийн үйлдлүүдийг хийхийг хичээ.


Та туршиж үзсэн үү? Та юу анзаарсан бэ? Зөв! Тэдний нийлбэр тэнцүү байна

Одоо надад хэлээч, бидэнд өгсөн прогрессод нийт хэдэн ийм хос байдаг вэ? Мэдээжийн хэрэг, бүх тооны яг тэн хагас нь, тэр нь.
Арифметик прогрессийн хоёр гишүүний нийлбэр тэнцүү, ижил төстэй хосууд тэнцүү байгааг үндэслэн бид нийт нийлбэр нь дараахтай тэнцүү байна.
.
Тиймээс аливаа арифметик прогрессийн эхний гишүүний нийлбэрийн томъёо нь:

Зарим асуудлын хувьд бид 3-р нэр томъёог мэдэхгүй ч дэвшлийн ялгааг мэддэг. Нийлбэрийн томъёонд 3-р гишүүний томьёог орлуулахыг хичээ.
Та юу авсан бэ?

Сайн хийлээ! Одоо Карл Гауссаас асуусан бодлого руугаа буцъя: th-ээс эхэлсэн тоонуудын нийлбэр хэдтэй тэнцүү, th-ээс эхэлсэн тоонуудын нийлбэр хэдтэй тэнцүү болохыг өөрөө тооцоол.

Та хэд авсан бэ?
Гаусс нэр томъёоны нийлбэр нь тэнцүү, гишүүний нийлбэр нь тэнцүү болохыг олж мэдсэн. Чи ингэж шийдсэн юм уу?

Чухамдаа арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томьёог эртний Грекийн эрдэмтэн Диофант 3-р зуунд нотолсон бөгөөд энэ хугацаанд сэргэлэн хүмүүс арифметик прогрессийн шинж чанарыг бүрэн ашиглаж байжээ.
Жишээлбэл, Эртний Египет болон тэр үеийн хамгийн том бүтээн байгуулалт болох пирамид барих ажлыг төсөөлөөд үз дээ... Зурган дээр түүний нэг талыг харуулжээ.

Энд ахиц дэвшил хаана байна гэж та хэлж байна уу? Анхааралтай ажиглаж, пирамидын хананы эгнээ тус бүрийн элс блокуудын тоог олоорой.


Яагаад арифметик прогресс байж болохгүй гэж? Суурь дээр блок тоосго тавьсан бол нэг ханыг барихад хичнээн блок шаардлагатайг тооцоол. Та хуруугаа монитор дээр хөдөлгөж байхдаа тоолохгүй байх гэж найдаж байна, та сүүлийн томъёо болон арифметик прогрессийн талаар бидний хэлсэн бүх зүйлийг санаж байна уу?

Энэ тохиолдолд явц нь дараах байдлаар харагдана.
Арифметик прогрессийн ялгаа.
Арифметик прогрессийн гишүүний тоо.
Өгөгдлөө сүүлийн томъёонд орлъё (блокуудын тоог 2 аргаар тооцоол).

Арга 1.

Арга 2.

Одоо та монитор дээр тооцоолж болно: олж авсан утгыг манай пирамид дахь блокуудын тоотой харьцуулна уу. Авчихсан? Сайн байна, та арифметик прогрессийн n-р гишүүний нийлбэрийг эзэмшсэн байна.
Мэдээжийн хэрэг, та суурин дээрх блокуудаас пирамид барьж чадахгүй, гэхдээ юу? Ийм нөхцөлд хана барихад хичнээн элс тоосго хэрэгтэйг тооцоолохыг хичээ.
Та удирдаж чадсан уу?
Зөв хариулт нь блокууд юм:

Сургалт

Даалгаварууд:

1. Маша зуны улиралд бие галбиртай болж байна. Өдөр бүр тэр squat хийх тоог нэмэгдүүлнэ. Хэрэв Маша эхний бэлтгэл дээр суулт хийсэн бол долоо хоногт хэдэн удаа суулт хийх вэ?
2. Бүх сондгой тоонуудын нийлбэр хэд вэ?
3. Бүртгэлийг хадгалахдаа мод бэлтгэгчид дээд давхарга бүр өмнөхөөсөө нэг гуалин багатай байхаар тэдгээрийг давхарлана. Хэрэв өрлөгийн суурь нь гуалин байвал нэг өрлөгт хэдэн лог байдаг вэ?

Хариултууд:

1. Арифметик прогрессийн параметрүүдийг тодорхойлъё. Энэ тохиолдолд
   (долоо хоног = хоног).

   Хариулт:Хоёр долоо хоногийн дотор Маша өдөрт нэг удаа squat хийх ёстой.

2. Эхний сондгой тоо, сүүлчийн тоо.
   Арифметик прогрессийн ялгаа.
   Сондгой тооны тоо нь тал хувь боловч арифметик прогрессийн 3-р гишүүнийг олох томъёогоор энэ баримтыг шалгая:

   Тоонууд нь сондгой тоог агуулдаг.
   Боломжтой өгөгдлийг томъёонд орлъё:

   Хариулт:Үүнд агуулагдах бүх сондгой тоонуудын нийлбэр тэнцүү байна.

3. Пирамидын тухай асуудлыг эргэн санацгаая. Манай тохиолдолд, a , дээд давхарга бүр нэг гуалинаар багасдаг тул нийтдээ олон тооны давхаргууд байдаг, өөрөөр хэлбэл.
   Өгөгдлийг томъёонд орлъё:

   Хариулт:Өрлөгт логууд байдаг.

Үүнийг нэгтгэн дүгнэе

1. - зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил ба тэнцүү байх тооны дараалал. Энэ нь нэмэгдэж эсвэл буурч болно.
2. Томъёо олохАрифметик прогрессийн 3-р гишүүнийг - томьёогоор бичнэ, энд прогресс дахь тооны тоо байна.
3. Арифметик прогрессийн гишүүдийн өмч- - явц дахь тоонуудын тоо хаана байна.
4. Арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэрхоёр аргаар олж болно:
   
   , утгын тоо хаана байна.

АРИФМЕТИК ПРОГРЕСС. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Тооны дараалал

Суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээлбэл:

Та ямар ч тоо бичиж болно, тэдгээрийн тоо нь таны хүссэнээр байж болно. Гэхдээ бид аль нь нэгдүгээрт, аль нь хоёрдугаарт байна гэх мэтээр үргэлж хэлж чадна, өөрөөр хэлбэл бид тэдгээрийг дугаарлаж чадна. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм.

Тооны дараалалнь тоонуудын багц бөгөөд тус бүрд нь өвөрмөц дугаар өгч болно.

Өөрөөр хэлбэл, тоо бүрийг тодорхой натурал тоо, өвөрмөц тоотой холбож болно. Мөн бид энэ дугаарыг энэ багцаас өөр ямар ч дугаарт өгөхгүй.

Тоотой тоог дарааллын 3-р гишүүн гэнэ.

Бид ихэвчлэн дарааллыг бүхэлд нь ямар нэг үсгээр (жишээ нь,) дууддаг бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүр нь энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг байна: .

Хэрэв дарааллын 3-р гишүүнийг ямар нэг томъёогоор зааж өгөх нь маш тохиромжтой. Жишээлбэл, томъёо

дарааллыг тогтооно:

Мөн томъёо нь дараах дараалалтай байна.

Жишээлбэл, арифметик прогресс нь дараалал юм (энд эхний гишүүн нь тэнцүү, ялгаа нь). Эсвэл (, ялгаа).

n-р хугацааны томъёо

Бид давтагдах томьёог гэж нэрлэдэг бөгөөд 2-р гишүүнийг олохын тулд өмнөх эсвэл хэд хэдэн өмнөхийг мэдэх шаардлагатай.

Жишээлбэл, энэ томъёог ашиглан прогрессийн 3-р гишүүнийг олохын тулд бид өмнөх есийг тооцоолох хэрэгтэй болно. Жишээлбэл, үүнийг зөвшөөр. Дараа нь:

За, одоо ямар томъёолол байгаа нь тодорхой болов уу?

Мөр бүрт бид нэмж, зарим тоогоор үржүүлнэ. Аль нь? Маш энгийн: энэ нь одоогийн гишүүний тоо хасах:

Одоо хамаагүй илүү тохиромжтой, тийм үү? Бид шалгаж байна:

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томьёог олоод зуу дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл:

Эхний гишүүн нь тэнцүү байна. Ялгаа нь юу вэ? Энд юу вэ:

(Ийм учраас энэ нь прогрессийн дараалсан нөхцлүүдийн зөрүүтэй тэнцүү учраас ялгаа гэж нэрлэгддэг).

Тэгэхээр, томъёо:

Дараа нь зуу дахь гишүүн нь дараахтай тэнцүү байна.

-аас хүртэлх бүх натурал тоонуудын нийлбэр хэд вэ?

Домогт өгүүлснээр агуу математикч Карл Гаусс 9 настай байхдаа хэдхэн минутын дотор энэ хэмжээг тооцоолжээ. Тэрээр эхний болон сүүлчийн тооны нийлбэр тэнцүү, хоёр дахь болон эцсийн өмнөх тооны нийлбэр ижил, төгсгөлөөс гурав, гурав дахь тоонуудын нийлбэр ижил байна гэх мэтийг анзаарсан. Нийт хэдэн ийм хос байдаг вэ? Энэ нь зөв, бүх тоонуудын яг хагас нь, өөрөөр хэлбэл. Тэгэхээр,

Аливаа арифметик прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэрийн ерөнхий томъёо нь:

Жишээ:
Бүх хоёр оронтой үржвэрийн нийлбэрийг ол.

Шийдэл:

Эхний ийм тоо бол энэ юм. Дараагийн дугаар бүрийг өмнөх тоон дээр нэмэх замаар олж авна. Ийнхүү бидний сонирхож буй тоонууд эхний гишүүн болон зөрүүтэй арифметик прогресс үүсгэдэг.

Энэ прогрессийн 3-р гишүүний томъёо:

Хэрэв бүгд хоёр оронтой байх ёстой бол дэвшилд хэдэн гишүүн байх вэ?

Маш амархан: .

Прогрессийн сүүлчийн хугацаа тэнцүү байх болно. Дараа нь нийлбэр:

Хариулт: .

Одоо өөрөө шийд:

1. Тамирчин өдөр бүр өмнөх өдрөөсөө илүү метр гүйдэг. Хэрэв тэр эхний өдөр км м гүйсэн бол долоо хоногт нийт хэдэн км гүйх вэ?
2. Дугуйчин өдөр бүр өмнөх өдрөөсөө илүү олон км замыг туулдаг. Эхний өдөр тэрээр км замыг туулсан. Тэр км замыг туулахын тулд хэдэн өдөр явах ёстой вэ? Тэрээр аяллынхаа сүүлчийн өдөр хэдэн км замыг туулах вэ?
3. Дэлгүүрт байгаа хөргөгчний үнэ жил бүр ижил хэмжээгээр буурдаг. Зургаан жилийн дараа рублиэр зарагдсан хөргөгчний үнэ жил бүр хэдэн төгрөгөөр буурч байсныг тодорхойл.

Хариултууд:

1. Энд хамгийн чухал зүйл бол арифметик прогрессийг таньж, түүний параметрүүдийг тодорхойлох явдал юм. Энэ тохиолдолд (долоо хоног = хоног). Та энэ прогрессийн эхний нөхцлийн нийлбэрийг тодорхойлох хэрэгтэй.
   .
   Хариулт:
2. Энд өгөгдсөн: , заавал олдох ёстой.
   Мэдээжийн хэрэг, та өмнөх бодлоготой ижил нийлбэрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй:
   .
   Утгыг орлуулах:

   Үндэс нь тохирохгүй нь тодорхой тул хариулт нь ийм байна.
   Сүүлийн өдрийн туулсан замыг 2-р гишүүний томъёогоор тооцоолъё.
   (км).
   Хариулт:

3. Өгөгдсөн: . олох: .
   Энэ нь илүү энгийн байж болохгүй:
   (үрэх).
   Хариулт:

АРИФМЕТИК ПРОГРЕСС. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Энэ нь зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил бөгөөд тэнцүү байх тооны дараалал юм.

Арифметик прогресс нь нэмэгдэж () ба буурах () байж болно.

Жишээлбэл:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүнийг олох томъёо

томьёогоор бичигдэнэ, энд прогресс дахь тооны тоо байна.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн өмч

Энэ нь хөрш зэргэлдээх нөхцлүүд нь мэдэгдэж байгаа бол прогрессийн гишүүнийг хялбархан олох боломжийг олгодог - прогресс дахь тооны тоо хаана байна.

Арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэр

Хэмжээ олох хоёр арга бий:

Утгын тоо хаана байна.

Утгын тоо хаана байна.