Тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгт

Анхаарна уу. Энэхүү тригонометрийн функцийн утгуудын хүснэгт нь квадрат язгуурыг илэрхийлэхийн тулд √ тэмдгийг ашигладаг. Бутархай хэсгийг заахдаа "/" тэмдгийг ашиглана.

Мөн үзнэ үүашигтай материал:

Учир нь тригонометрийн функцийн утгыг тодорхойлох, тригонометрийн функцийг заасан шугамын огтлолцол дээр ол. Жишээлбэл, синус 30 градус - бид нүгэл (синус) гэсэн гарчигтай баганыг хайж, энэ хүснэгтийн баганын уулзварыг "30 градус" гэсэн мөртэй олдог бөгөөд тэдгээрийн огтлолцол дээр бид үр дүнг уншина - нэг хагас. Үүнтэй адилаар бид олдог косинус 60градус, синус 60градус (дахин нүглийн багана ба 60 градусын шугамын огтлолцол дээр бид sin 60 = √3/2 утгыг олно) гэх мэт. Бусад "алдартай" өнцгүүдийн синус, косинус, тангенсийн утгыг ижил аргаар олдог.

Радиан дахь синус пи, косинус пи, тангенс пи болон бусад өнцөг

Косинус, синус, тангенсийн доорх хүснэгт нь аргумент нь тригонометрийн функцүүдийн утгыг олоход тохиромжтой. радианаар өгөгдсөн. Үүнийг хийхийн тулд өнцгийн утгуудын хоёр дахь баганыг ашиглана уу. Үүний ачаар та алдартай өнцгүүдийн утгыг градусаас радиан болгон хувиргаж болно. Жишээлбэл, эхний мөрөнд 60 градусын өнцгийг олж, түүний утгыг радианаар уншъя. 60 градус нь π/3 радиантай тэнцүү байна.

Пи тоо нь тойргийн өнцгийн хэмжүүрээс хамаарах хамаарлыг хоёрдмол утгагүй илэрхийлдэг. Тиймээс пи радианууд 180 градустай тэнцүү байна.

Пи (радиан)-аар илэрхийлсэн дурын тоог pi (π)-ийг 180-аар сольж градус руу хялбархан хөрвүүлж болно..

Жишээ:
1. Sine pi.
нүгэл π = нүгэл 180 = 0
Тиймээс pi-ийн синус нь 180 градусын синустай ижил бөгөөд тэгтэй тэнцүү байна.

2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
Тиймээс pi-ийн косинус нь 180 градусын косинустай ижил бөгөөд хасах нэгтэй тэнцүү байна.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
тэгэхээр тангенс pi нь шүргэгч 180 градустай ижил бөгөөд тэгтэй тэнцүү байна.

0 - 360 градусын синус, косинус, тангенсийн утгын хүснэгт (нийтлэг утгууд)

Хэрэв тригонометрийн функцуудын утгын хүснэгтэд функцийн утгын оронд зураас (шүргээ (tg) 90 градус, котангенс (ctg) 180 градус) заасан бол өнцгийн градусын хэмжүүрийн өгөгдсөн утгын хувьд функц байна. тодорхой үнэ цэнэгүй. Хэрэв зураас байхгүй бол нүд хоосон байна, энэ нь бид шаардлагатай утгыг хараахан оруулаагүй байна гэсэн үг юм. Хамгийн түгээмэл өнцгийн утгуудын косинус, синус, тангенсийн утгуудын талаарх одоогийн өгөгдөл нь ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай байгаа хэдий ч хэрэглэгчид бидэнд ямар асуулт тавьж, хүснэгтийг шинэ утгуудаар нөхөж байгааг бид сонирхож байна. асуудлууд.

Хамгийн алдартай өнцгүүдийн sin, cos, tg гэсэн тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгт
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градус
(тоон утгууд "Брадисын хүснэгтийн дагуу")

ТРИГОНОМЕТРИЙН ФУНКЦИЙН УТГИЙН ХҮСНЭГТ

Тригонометрийн функцүүдийн утгуудын хүснэгтийг 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270, 360 градусын өнцөг болон врадиан дахь харгалзах өнцгийн утгуудын хувьд эмхэтгэсэн болно. Тригонометрийн функцуудаас синус, косинус, тангенс, котангенс, секант, косекантыг хүснэгтэд үзүүлэв. Сургуулийн жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд хялбар болгохын тулд хүснэгтэд тригонометрийн функцүүдийн утгуудыг тоон квадрат язгуурыг задлах тэмдгүүдийг хадгалан бутархай хэлбэрээр бичсэн бөгөөд энэ нь математикийн нарийн төвөгтэй илэрхийллийг багасгахад маш их тусалдаг. Тангенс ба котангенсийн хувьд зарим өнцгийн утгыг тодорхойлох боломжгүй. Ийм өнцгийн тангенс ба котангенсийн утгуудын хувьд тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтэд зураас байна. Ийм өнцгийн тангенс ба котангенс нь хязгааргүйтэй тэнцүү гэдгийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. Тусдаа хуудсан дээр тригонометрийн функцийг багасгах томъёо байдаг.

Синусын тригонометрийн функцийн утгуудын хүснэгтэд дараах өнцгүүдийн утгуудыг харуулав: син 0, син 30, син 45, син 60, син 90, син 180, син 270, син 360 зэрэг нь харгалзах юм. to sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнээр. Сургуулийн синусын хүснэгт.

Тригонометрийн косинусын функцийн хувьд хүснэгтэд дараах өнцгүүдийн утгыг харуулав: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 нь cos 0 pi-тэй тохирч байна. , cos pi 6, cos pi нь 4, cos pi нь 3, cos pi нь 2, cos pi, cos 3 pi нь 2, cos 2 pi нь өнцгийн радиан хэмжигдэхүүн юм. Сургуулийн косинусын хүснэгт.

Тригонометрийн тангенсийн функцийн тригонометрийн хүснэгтэд дараах өнцгүүдийн утгыг өгнө: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360, энэ нь tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнээр. Тригонометрийн тангенсийн функцүүдийн дараах утгуудыг tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 гэж тодорхойлоогүй бөгөөд хязгааргүйтэй тэнцүү гэж үзнэ.

Тригонометрийн хүснэгтэд котангентын тригонометрийн функцийн хувьд дараах өнцгүүдийн утгыг өгсөн болно: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270, энэ нь ctg pi/6, ctg pi/4-тэй тохирч байна. , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнээр. Тригонометрийн котангентын функцүүдийн дараах утгуудыг ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi гэж тодорхойлоогүй бөгөөд хязгааргүйтэй тэнцүү гэж үзнэ.

Секант ба косекантын тригонометрийн функцүүдийн утгыг синус, косинус, тангенс, котангенс зэрэг градус ба радианаар ижил өнцгөөр өгсөн болно.

Стандарт бус өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтэд синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгыг 15, 18, 22.5, 36, 54, 67.5 72 градус, радианаар pi/12-аар харуулав. , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 радиан. Сургуулийн жишээн дэх бутархайг багасгахад хялбар болгохын тулд тригонометрийн функцүүдийн утгыг бутархай ба квадрат язгуураар илэрхийлдэг.

Өөр гурван тригонометрийн мангас. Эхнийх нь 1.5 нэг ба хагас градусын шүргэгч буюу пи-г 120-д хуваасан. Хоёр дахь нь pi-ийн косинусыг 240-д хуваасан пи/240. Хамгийн урт нь pi-ийн косинусыг 17, pi/17-д хуваасан байна.

Синус ба косинусын функцүүдийн утгуудын тригонометрийн тойрог нь өнцгийн хэмжээнээс хамааран синус ба косинусын тэмдгүүдийг нүдээр илэрхийлдэг. Ялангуяа шаргал үстэй хүмүүсийн хувьд косинусын утгыг төөрөгдүүлэхгүйн тулд ногоон зураасаар зурсан байдаг. Радианыг pi-ээр илэрхийлэх үед градусыг радиан болгон хувиргах нь мөн маш тодорхой харагдаж байна.

Энэхүү тригонометрийн хүснэгтэд 0 тэгээс 90 ерэн градус хүртэлх өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгыг нэг градусын интервалтайгаар үзүүлэв. Эхний дөчин таван градусын хувьд тригонометрийн функцүүдийн нэрийг хүснэгтийн дээд талд харах хэрэгтэй. Эхний баганад градус, синус, косинус, тангенс, котангентын утгыг дараагийн дөрвөн баганад бичнэ.

Дөчин таван градусаас ерэн градус хүртэлх өнцгийн хувьд тригонометрийн функцүүдийн нэрийг хүснэгтийн доод талд бичнэ. Сүүлийн баганад градус, косинус, котангенс, тангенсийн утгыг өмнөх дөрвөн баганад бичнэ. Тригонометрийн хүснэгтийн доод талд байгаа тригонометрийн функцүүдийн нэр нь хүснэгтийн дээд талд байгаа нэрсээс өөр тул та болгоомжтой байх хэрэгтэй. Синус болон косинусууд нь тангенс ба котангенс шиг солигддог. Энэ нь тригонометрийн функцүүдийн утгуудын тэгш хэмтэй холбоотой юм.

Тригонометрийн функцүүдийн тэмдгүүдийг дээрх зурагт үзүүлэв. Синус нь 0-ээс 180 градус эсвэл 0-ээс pi хүртэл эерэг утгатай байна. Синус нь 180-аас 360 градус эсвэл pi-ээс 2 pi хүртэл сөрөг утгатай байна. Косинусын утгууд нь 0-ээс 90 ба 270-аас 360 градус хүртэл эерэг, эсвэл 0-ээс 1/2 пи, 3/2-оос 2 пи хүртэл байна. Тангенс ба котангенс нь 0-ээс 90 градус, 180-аас 270 градусын эерэг утгатай бөгөөд 0-ээс 1/2 пи, pi-ээс 3/2 пи хүртэлх утгатай тохирч байна. Тангенс ба котангентын сөрөг утга нь 90-180 градус ба 270-360 градус, эсвэл 1/2 пи-ээс pi, 3/2 пи-ээс 2 пи хүртэл байна. 360 градус буюу 2 пи-ээс дээш өнцгийн хувьд тригонометрийн функцүүдийн шинж тэмдгийг тодорхойлохдоо эдгээр функцүүдийн үечилсэн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй.

Синус, тангенс, котангенс гэсэн тригонометрийн функцууд нь сондгой функцууд юм. Эдгээр функцүүдийн сөрөг өнцгийн утга нь сөрөг байх болно. Косинус нь тэгш тригонометрийн функц юм - сөрөг өнцгийн косинусын утга эерэг байх болно. Тригонометрийн функцийг үржүүлэх, хуваахдаа тэмдгийн дүрмийг дагаж мөрдөх ёстой.

1. Тригонометрийн синус функцийн утгын хүснэгтэд дараах өнцгийн утгуудыг харуулав

   Баримт бичиг

   Тусдаа хуудсан дээр багасгах томъёо байдаг тригонометрфункцууд. IN ширээүнэт зүйлсУчир ньтригонометрфункцуудсинусөгсөнүнэт зүйлсУчир ньдараахбулангууд: гэм 0, гэм 30, гэм 45 ...

2. Санал болгож буй математикийн төхөөрөмж нь дурын тооны чөлөөт n зэрэгтэй n хэмжээст гиперкомплекс тоонуудын нийлмэл тооцооллын бүрэн аналог бөгөөд шугаман бус утгыг математик загварчлахад зориулагдсан болно.

   Баримт бичиг

   ... функцуудтэнцүү байна функцуудзургууд. Энэ теоремоос ёстой, Юу Учир нь U, V координатыг олоход тооцоолоход хангалттай функц... геометр; полинар функцууд(хоёр хэмжээстийн олон хэмжээст аналогууд тригонометрфункцууд), тэдгээрийн шинж чанар, ширээболон өргөдөл; ...

3. МЭӨ 5-р зуунд эртний Грекийн философич Зено Элеа өөрийн алдартай апориа томъёолсон бөгөөд хамгийн алдартай нь "Ахиллес ба яст мэлхий" апориа юм. Энэ нь дараах байдалтай байна.

   Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайд гүйхэд шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхдөг гэх мэт. Энэ үйл явц эцэс төгсгөлгүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.

   Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Тэд бүгдээрээ Зеногийн апориа гэж нэг талаараа үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... өнөөдрийг хүртэл хэлэлцүүлэг үргэлжилж байна, шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... асуудлыг судлахад математикийн шинжилгээ, олонлогын онол, шинэ физик, философийн хандлагыг оролцуулсан; ; Тэдгээрийн аль нь ч асуудлыг шийдвэрлэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болсонгүй ..."[Википедиа, "Зеногийн апориа". Хүн бүр хууртагдаж байгааг ойлгодог, гэхдээ хууран мэхлэлт юунаас бүрддэгийг хэн ч ойлгодоггүй.

   Математикийн үүднээс авч үзвэл, Зено өөрийн апориадаа хэмжигдэхүүнээс -д шилжихийг тодорхой харуулсан. Энэ шилжилт нь байнгын бус хэрэглээг илэрхийлдэг. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг ашиглах математикийн төхөөрөмж хараахан боловсруулагдаагүй эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Ердийн логикоо ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэхүйн инерцийн улмаас цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан хамааралтай үнэ цэнэд ашигладаг. Физик талаас нь харвал энэ нь Ахиллес яст мэлхийг гүйцэх тэр мөчид бүрэн зогстол цаг удааширч байгаа мэт харагдаж байна. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй.

   Хэрэв бид ердийн логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес тогтмол хурдтайгаар гүйдэг. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг ашиглавал "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.

   Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Цагийн тогтмол нэгжид үлдэж, харилцан адилгүй нэгж рүү бүү шилжинэ. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.

   Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Эхнийхтэй тэнцэх дараагийн хугацааны интервалд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын өмнө байна.

   Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ энэ нь асуудлыг шийдэх бүрэн шийдэл биш юм. Эйнштейний гэрлийн хурдыг үл тоомсорлодог тухай мэдэгдэл нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдвэрлэх шаардлагатай хэвээр байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор бус хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.

   Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг.

   Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.

   Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд амарч байгаа бөгөөд энэ нь үнэндээ хөдөлгөөн юм гэдгийг тодруулахад хангалттай. Энд бас нэг зүйлийг анхаарах хэрэгтэй. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хөдөлж байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд цаг хугацааны өөр өөр цэгээс нэг цэгээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хоорондох зайг тодорхойлж чадахгүй. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд танд сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй, гэхдээ тэдгээрээс та хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлж чадахгүй (мэдээжийн хэрэг, танд тооцоололд нэмэлт мэдээлэл хэрэгтэй, тригонометр танд туслах болно. ). Миний онцгой анхаарал хандуулахыг хүсч байгаа зүйл бол цаг хугацааны хоёр цэг, орон зайн хоёр цэг нь судалгаа хийх өөр өөр боломжийг олгодог тул андуурч болохгүй өөр зүйл юм.

   2018 оны 7-р сарын 4, Лхагва гараг

   Багц ба олон багцын ялгааг Википедиа дээр маш сайн дүрсэлсэн байдаг. Харцгаая.

   Таны харж байгаагаар "ижил олонлогт хоёр ижил элемент байх боломжгүй" боловч хэрэв олонлогт ижил элементүүд байгаа бол ийм олонлогийг "олон олонлог" гэж нэрлэдэг. Ухаантай хүмүүс ийм утгагүй логикийг хэзээ ч ойлгохгүй. Энэ бол "бүрэн" гэдэг үгнээс оюун ухаангүй ярьдаг тоть, сургасан сармагчингийн түвшин юм. Математикчид энгийн сургагч багшийн үүрэг гүйцэтгэж, утгагүй санаагаа бидэнд номлодог.

   Эрт урьд цагт гүүрийг барьсан инженерүүд гүүрний туршилт хийж байхдаа гүүрэн доор завинд сууж байжээ. Хэрэв гүүр нурсан бол дунд зэргийн инженер өөрийн бүтээлийн нуранги дор нас баржээ. Хэрвээ гүүр ачааллыг даах чадвартай бол авъяаслаг инженер бусад гүүрүүдийг барьсан.

   Математикчид “намайг бод, би гэртээ байна” гэх, эс тэгвээс “математик хийсвэр ойлголтуудыг судалдаг” гэсэн хэллэгийн ард яаж нуугдаж байсан ч тэдгээрийг бодит байдалтай салшгүй холбодог хүйн ​​зангилаа байдаг. Энэ хүйн ​​бол мөнгө. Математик олонлогын онолыг математикчдад өөрсдөө хэрэгжүүлцгээе.

   Математикийн хичээлийг маш сайн сурсан, одоо цалингаа өгөөд кассанд сууж байна. Тэгэхээр нэг математикч мөнгөө авахаар манайд ирдэг. Бид түүнд бүх дүнг тоолж, өөр өөр овоолго хэлбэрээр ширээн дээр тавьж, ижил мөнгөн дэвсгэртийг оруулав. Дараа нь бид овоо бүрээс нэг дэвсгэрт авч, математикчдаа түүний "математикийн цалин" -ыг өгнө. Ижил элементгүй олонлог нь ижил элементтэй олонлогтой тэнцүү биш гэдгийг нотлох үед л үлдсэн үнэт цаасыг хүлээн авах болно гэдгийг математикчд тайлбарлая. Эндээс л зугаа цэнгэл эхэлдэг.

   Юуны өмнө, депутатуудын логик ажиллах болно: "Үүнийг бусдад хэрэглэж болно, гэхдээ надад биш!" Дараа нь тэд ижил мөнгөн дэвсгэртүүд өөр өөр үнэт цаасны дугаартай байдаг тул тэдгээрийг ижил элемент гэж үзэх боломжгүй гэж биднийг тайвшруулж эхэлнэ. За, цалингаа зоосоор тоолъё - зоосон дээр ямар ч тоо байхгүй. Энд математикч физикийн тухай дурсан санаж эхэлнэ: янз бүрийн зоосон мөнгө өөр өөр хэмжээтэй, атомын талст бүтэц, зохион байгуулалт нь зоос бүрийн хувьд өвөрмөц байдаг ...

   Одоо надад хамгийн сонирхолтой асуулт байна: олон багцын элементүүд олонлогийн элементүүд болон эсрэгээр хувирах шугам хаана байна вэ? Ийм шугам байхгүй - бүх зүйлийг бөө нар шийддэг, шинжлэх ухаан энд хэвтэхэд ойрхон ч биш юм.

   Энд хар. Бид ижил талбайтай хөлбөмбөгийн цэнгэлдэхүүдийг сонгодог. Талбайн талбайнууд ижил байна - энэ нь бид олон багцтай гэсэн үг юм. Гэхдээ эдгээр ижил цэнгэлдэх хүрээлэнгүүдийн нэрийг харвал нэр нь өөр учраас олон гарч ирнэ. Таны харж байгаагаар ижил элементүүдийн багц нь олонлог ба олон багц юм. Аль нь зөв бэ? Тэгээд энд математикч-бөө-хурц хүн ханцуйнаасаа бүрээ гаргаж ирээд багц эсвэл олон багцын тухай ярьж эхлэв. Ямар ч байсан тэр бидний зөв гэдэгт итгүүлэх болно.

   Орчин үеийн бөө нар олонлогийн онолыг бодит байдалтай уялдуулан хэрхэн ажилладагийг ойлгохын тулд нэг олонлогийн элементүүд нөгөө олонлогийн элементүүдээс юугаараа ялгаатай вэ гэсэн нэг асуултад хариулахад хангалттай. Би та нарт "нэг бүхэл бүтэн биш гэж төсөөлж болохуйц" эсвэл "ганц бүхэлдээ төсөөлшгүй" зүйлгүйгээр харуулах болно.

   2018 оны 3-р сарын 18, Ням гараг

   Тооны цифрүүдийн нийлбэр гэдэг нь математикт огт хамааралгүй бөөгийн хэнгэрэгтэй бүжиг юм. Тийм ээ, математикийн хичээл дээр бид тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олж, түүнийгээ ашиглахыг заадаг, гэхдээ тэд бөө учраас үр хойчдоо ур чадвар, мэргэн ухааныг зааж сургах, эс бөгөөс бөө нар зүгээр л үхэх болно.

   Танд нотлох баримт хэрэгтэй байна уу? Википедиа нээгээд "Тооны цифрүүдийн нийлбэр" гэсэн хуудсыг хайж олоод үзээрэй. Тэр байхгүй. Аливаа тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олох томьёо математикт байдаггүй. Эцсийн эцэст тоо бол бидний тоо бичдэг график тэмдэг бөгөөд математикийн хэлээр даалгавар нь иймэрхүү сонсогддог: "Аливаа тоог илэрхийлэх график тэмдгийн нийлбэрийг ол." Математикчид энэ асуудлыг шийдэж чадахгүй ч бөө нар амархан шийдэж чадна.

   Өгөгдсөн тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийж, яаж хийхийг олж мэдье. Ингээд 12345 тоотой болцгооё. Энэ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Бүх алхамуудыг дарааллаар нь авч үзье.

   1. Цаасан дээр тоог бич. Бид юу хийсэн бэ? Бид энэ тоог график тооны тэмдэг болгон хөрвүүлсэн. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

   2. Бид үр дүнгийн нэг зургийг хэд хэдэн зураг болгон хуваасан. Зургийг тайрах нь математикийн үйлдэл биш юм.

   3. График тэмдэгтүүдийг тоо болгон хувиргах. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

   4. Үүссэн тоонуудыг нэмнэ. Одоо энэ бол математик.

   12345 тооны цифрүүдийн нийлбэр нь 15. Математикчдын хэрэглэдэг бөө нарын заадаг “зүсэх, оёх дамжаа” юм. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм.

   Математикийн үүднээс авч үзвэл ямар тооны системд тоо бичих нь хамаагүй. Тиймээс өөр өөр тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байх болно. Математикийн хувьд тооны системийг тоон баруун талд байрлах доод үсэг болгон заадаг. 12345 гэсэн том тоогоор би толгойгоо хуурахыг хүсэхгүй байна, нийтлэлээс 26 дугаарыг авч үзье. Энэ тоог хоёртын, наймтын, аравтын, арван зургаатын тооллын системд бичье. Бид алхам бүрийг микроскопоор харахгүй. Үр дүнг харцгаая.

   Таны харж байгаагаар янз бүрийн тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байдаг. Энэ үр дүн нь математиктай ямар ч холбоогүй юм. Хэрэв та тэгш өнцөгтийн талбайг метр, сантиметрээр тодорхойлсон бол огт өөр үр дүн гарахтай адил юм.

   Тэг нь бүх тооны системд адилхан харагддаг бөгөөд цифрүүдийн нийлбэр байдаггүй. Энэ бол үүнийг батлах өөр нэг үндэслэл юм. Математикчдад зориулсан асуулт: математикт тоо биш зүйлийг яаж тодорхойлдог вэ? Математикчдын хувьд тооноос өөр юу ч байхгүй гэж үү? Би үүнийг бөө нарт зөвшөөрч болох ч эрдэмтдэд зөвшөөрөөгүй. Бодит байдал зөвхөн тоон дээр тогтдоггүй.

   Хүлээн авсан үр дүнг тоон систем нь тоонуудын хэмжлийн нэгж гэдгийг нотлох баримт гэж үзэх ёстой. Эцсийн эцэст бид өөр өөр хэмжүүр бүхий тоонуудыг харьцуулж болохгүй. Хэрэв ижил хэмжигдэхүүнийг хэмжих өөр өөр нэгжтэй ижил үйлдэл нь тэдгээрийг харьцуулсны дараа өөр өөр үр дүнд хүргэдэг бол энэ нь математиктай ямар ч холбоогүй болно.

   Жинхэнэ математик гэж юу вэ? Энэ нь математикийн үйлдлийн үр дүн нь тоон хэмжээ, ашигласан хэмжүүрийн нэгж, энэ үйлдлийг хэн гүйцэтгэж байгаагаас хамаарахгүй байх үед юм.
   

   Хаалган дээр гарын үсэг зурна уу Тэр хаалгыг онгойлгоод:

   Өө! Энэ эмэгтэйчүүдийн бие засах газар биш гэж үү?
   - Залуу эмэгтэй! Энэ бол сүнснүүдийн тэнгэрт өргөмжлөгдөх үеийн ариун байдлыг судлах лаборатори юм! Дээрээс нь гал болон дээш сум. Өөр ямар бие засах газар вэ?

   Эмэгтэй... Дээд талын гэрэлт цагираг, доош сум нь эрэгтэй.

   Хэрэв дизайны урлагийн ийм бүтээл таны нүдний өмнө өдөрт хэд хэдэн удаа анивчдаг бол

   Дараа нь та машиндаа гэнэт хачин дүрсийг олж хараад гайхах зүйл алга.

   Би хувьдаа баас хийж буй хүнд хасах дөрвөн градусыг харахыг хичээдэг (нэг зураг) (хэд хэдэн зургийн найрлага: хасах тэмдэг, дөрөв, градусын тэмдэглэгээ). Би энэ охиныг физик мэдэхгүй тэнэг гэж бодохгүй байна. Тэр зүгээр л график дүрсийг мэдрэх хүчтэй хэвшмэл ойлголттой. Үүнийг математикчид бидэнд байнга заадаг. Энд нэг жишээ байна.

   1А нь "хасах дөрвөн градус" эсвэл "нэг а" биш юм. Энэ нь "баасан хүн" буюу арван зургаатын тооллын "хорин зургаа" гэсэн тоо юм. Энэ тооны системд байнга ажилладаг хүмүүс тоо, үсгийг нэг график тэмдэг болгон автоматаар хүлээн авдаг.

   
   

   Энэ нийтлэлийг агуулна синус, косинус, тангенс, котангентын хүснэгтүүд. Нэгдүгээрт, бид тригонометрийн функцүүдийн үндсэн утгуудын хүснэгтийг, өөрөөр хэлбэл 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градусын өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангентын хүснэгтийг өгөх болно. 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πрадиан). Үүний дараа бид синус ба котангентын хүснэгт, V. M. Bradis-ийн шүргэгч ба котангентын хүснэгтийг өгч, тригонометрийн функцүүдийн утгыг олохдоо эдгээр хүснэгтийг хэрхэн ашиглахыг харуулах болно.

   Хуудасны навигаци.

   0, 30, 45, 60, 90, ... градусын өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангентын хүснэгт

   Лавлагаа.

   • Алгебр:Сурах бичиг 9-р ангийн хувьд. дундаж сургууль/Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; Эд. S. A. Telyakovsky - М.: Боловсрол, 1990. - 272 х.: ISBN 5-09-002727-7
   • Башмаков М.И.Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Сурах бичиг. 10-11 ангийн хувьд. дундаж сургууль - 3 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 1993. - 351 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-004617-4.
   • Алгебрба шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, P. Dudnitsyn болон бусад; Эд. A. N. Kolmogorov - 14-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2004. - 384 х.: ISBN 5-09-013651-3.
   • Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.
   • Брэдис В.М.Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгт: Ерөнхий боловсролын хувьд. сурах бичиг байгууллагууд. - 2-р хэвлэл. - М .: Bustard, 1999.- 96 х.: өвчтэй. ISBN 5-7107-2667-2

   Өгүүлэлд бид ямар харагдахыг бүрэн ойлгох болно тригонометрийн утгын хүснэгт, синус, косинус, тангенс, котангенс. Тригонометрийн функцүүдийн үндсэн утгыг 0,30,45,60,90,...,360 градусын өнцгөөс авч үзье. Тригонометрийн функцүүдийн утгыг тооцоолохдоо эдгээр хүснэгтийг хэрхэн ашиглахыг харцгаая.
   Эхлээд харцгаая косинус, синус, тангенс, котангенсын хүснэгт 0, 30, 45, 60, 90,... градусын өнцгөөс. Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн тодорхойлолт нь 0 ба 90 градусын өнцгийн функцүүдийн утгыг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог.

   sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, 00-ын котангенс тодорхойгүй болно.
   sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, 90 0-ээс шүргэгч тодорхойгүй байна

   Хэрэв та өнцөг нь 30-аас 90 градусын тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг авбал. Бид авах:

   sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
   sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
   sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tan 60 0 =√3, cos 60 0 = √3/3

   Хүлээн авсан бүх утгыг маягтаар илэрхийлье тригонометрийн хүснэгт:

   Синус, косинус, тангенс, котангентын хүснэгт!

   Хэрэв бид багасгах томъёог ашиглавал манай хүснэгт нэмэгдэж, 360 градус хүртэлх өнцгийн утгыг нэмнэ. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

   

   Мөн үе үе байдлын шинж чанарт үндэслэн z нь бүхэл тоо болох 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z гэсэн өнцгүүдийг орлуулбал хүснэгтийг нэмэгдүүлж болно. Энэ хүснэгтэд нэг тойрог дахь цэгүүдэд тохирох бүх өнцгийн утгыг тооцоолох боломжтой.

   

   Шийдэлд хүснэгтийг хэрхэн ашиглах талаар авч үзье.
   Бүх зүйл маш энгийн. Учир нь бидэнд хэрэгтэй үнэ цэнэ нь бидэнд хэрэгтэй нүднүүдийн огтлолцлын цэг дээр байрладаг. Жишээлбэл, 60 градусын өнцгийн cos-ийг авбал хүснэгтэд дараах байдлаар харагдах болно.

   

   Тригонометрийн функцүүдийн үндсэн утгуудын эцсийн хүснэгтэд бид ижил аргаар ажиллана. Гэхдээ энэ хүснэгтээс 1020 градусын өнцгөөс шүргэгч хэр их болохыг олж мэдэх боломжтой, энэ нь = -√3 1020 0 = 300 0 +360 0 *2 -ийг шалгая. Хүснэгтийг ашиглан олъё.

   

   Брадисын ширээ. Синус, косинус, тангенс, котангенсийн хувьд.

   Брадисын хүснэгтүүд нь косинус ба синус, тангенс ба котангенсийн хүснэгтүүдээс бүрдэх хэд хэдэн хэсэгт хуваагддаг бөгөөд эдгээр нь хоёр хэсэгт хуваагддаг (90 градус хүртэлх өнцгийн тг, жижиг өнцгийн ctg).

   Синус ба косинус

   
   
   

   760-аар төгссөн 00-ээс эхэлсэн өнцгийн тг, 900-ээр төгссөн 140-ээр эхэлсэн ctg өнцөг.

   
   
   

   tg хүртэл 900 ба жижиг өнцгийн ctg.

   
   

   Bradis хүснэгтийг асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглахыг олж мэдье.

   Гэмийн тэмдэглэгээг олцгооё (зүүн захын баганад байгаа тэмдэглэгээ) 42 минут (тэмдэглэл нь дээд мөрөнд байна). Уулзвараар бид тэмдэглэгээг хайж олдог, энэ нь = 0.3040.
   
   Минутын утгыг зургаан минутын завсарлагатайгаар зааж өгсөн бөгөөд хэрэв бидэнд хэрэгтэй утга энэ интервалд яг таарч байвал яах вэ. 44 минутыг авч үзье, гэхдээ хүснэгтэд зөвхөн 42 байна. Бид 42-ыг үндэс болгон авч, баруун талд байгаа нэмэлт баганыг ашиглаад 2-р нэмэлтийг аваад 0.3040 + 0.0006 дээр нэмээд 0.3046 болно.
   
   Нүгэл 47 минутын хувьд бид 48 минутыг үндэс болгон авч, үүнээс 1 залруулга хасна, өөрөөр хэлбэл 0.3057 - 0.0003 = 0.3054.
   
   Cos-ийг тооцоолохдоо бид нүгэлтэй адил ажилладаг бөгөөд зөвхөн хүснэгтийн доод эгнээг үндэс болгон авдаг. Жишээ нь cos 20 0 = 0.9397
   
   90 0 хүртэлх tg өнцгийн утгууд ба жижиг өнцгийн ор нь зөв бөгөөд тэдгээрт засвар байхгүй. Жишээлбэл, tg 78 0 37min = 4.967-г ол
   
   
   ба ctg 20 0 13мин = 25.83
   
   

   За, бид үндсэн тригонометрийн хүснэгтүүдийг харлаа. Энэ мэдээлэл танд маш хэрэгтэй байсан гэж найдаж байна. Хэрэв танд хүснэгтийн талаар асуух зүйл байвал сэтгэгдэл дээр бичихээ мартуузай!

   Анхаар: Ханын бампер нь ханыг хамгаалах зориулалттай бампер хавтан юм. Хүрээгүй ханын бампер (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) холбоосыг дагаж, илүү ихийг олж мэдээрэй.