Функцийн өсөлт, бууралт, экстремум

Функцийн өсөлт, бууралт, туйлын интервалыг олох нь бие даасан ажил бөгөөд бусад даалгаврын чухал хэсэг юм, ялангуяа бүрэн функциональ судалгаа. Функцийн өсөлт, бууралт, хэт туйлшралын талаархи анхны мэдээллийг энд оруулав деривативын тухай онолын бүлэг, үүнийг би урьдчилсан судалгаанд ашиглахыг зөвлөж байна (эсвэл давталт)– мөн учир нь дараах материал нь маш дээр суурилсан үндсэндээ дериватив,Энэ нийтлэлийн эв нэгдэлтэй үргэлжлэл юм. Хэдийгээр цаг хугацаа бага байгаа бол өнөөдрийн хичээлээс жишээ авах боломжтой.

Өнөөдөр агаарт ховор эв нэгдлийн сүнс байгаа бөгөөд тэнд байгаа бүх хүмүүс хүсэлд шатаж байгааг би шууд мэдэрч байна. функцийг түүний уламжлалыг ашиглан судалж сурах. Тиймээс боломжийн, сайн, мөнхийн нэр томъёо таны дэлгэцийн дэлгэц дээр шууд гарч ирнэ.

Юуны төлөө? Шалтгаануудын нэг нь хамгийн практик юм: Ингэснээр та ямар нэг ажилд ерөнхийдөө юу шаардагдах нь тодорхой болно!

Функцийн монотон байдал. Функцийн экстремум ба экстремум цэгүүд

Зарим функцийг авч үзье. Энгийнээр хэлэхэд бид түүнийг гэж таамаглаж байна тасралтгүйбүх тооны мөрөнд:

Ямар ч тохиолдолд, ялангуяа саяхан танилцсан уншигчдын хувьд болзошгүй хуурмаг байдлаас нэн даруй салцгаая. функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд. Одоо бид СОНИРХОЛГҮЙ, функцийн график тэнхлэгтэй харьцуулахад хэрхэн байрлаж байгааг (дээр, доор, тэнхлэг огтлолцох газар). Итгэл үнэмшилтэй байхын тулд тэнхлэгүүдийг оюун ухаанаараа арчиж, нэг график үлдээгээрэй. Яагаад гэвэл сонирхол энд л байдаг.

Чиг үүрэг нэмэгддэгинтервал дээр хэрэв энэ интервалын аль нэг хоёр цэгийн хувьд харьцаагаар холбогдсон бол тэгш бус байдал үнэн. Өөрөөр хэлбэл, аргументийн том утга нь функцийн том утгатай тохирч, график нь "доороос дээш" явдаг. Үзүүлэн харуулах функц нь интервалаар нэмэгддэг.

Үүний нэгэн адил функц буурдагөгөгдсөн интервалын аль нэг хоёр цэгийн хувьд тэгш бус байдал нь үнэн бол интервал дээр. Өөрөөр хэлбэл, аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч, график нь "дээрээс доош" явдаг. Бидний функц интервалаар буурдаг .

Хэрэв функц тодорхой хугацааны туршид нэмэгдэж эсвэл буурч байвал түүнийг дуудна хатуу монотонэнэ интервалд. Нэг хэвийн байдал гэж юу вэ? Үүнийг шууд утгаар нь ойлгоорой - нэг хэвийн байдал.

Та мөн тодорхойлж болно буурдаггүйфункц (эхний тодорхойлолтод тайвширсан нөхцөл) ба өсөхгүйфункц (2-р тодорхойлолтод зөөлрүүлсэн нөхцөл). Интервал дахь буурдаггүй эсвэл өсдөггүй функцийг өгөгдсөн интервал дахь монотон функц гэнэ. (хатуу монотон байдал нь "энгийн" нэгэн хэвийн байдлын онцгой тохиолдол юм).

Онол нь функцын өсөлт/бууралтыг тодорхойлох бусад аргуудыг, түүний дотор хагас интервал, сегментийг авч үздэг боловч таны толгой дээр тос-тос-тос асгахгүйн тулд бид ангиллын тодорхойлолттой нээлттэй интервалтай ажиллахыг зөвшөөрнө. - энэ нь илүү ойлгомжтой бөгөөд олон практик асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм.

Тиймээс, Миний нийтлэлүүдэд "функцийн монотон байдал" гэсэн үг бараг үргэлж нуугддаг интервалуудхатуу монотон байдал(хатуу нэмэгдүүлэх эсвэл хатуу бууруулах функц).

Нэг цэгийн хөрш. Оюутнууд хаашаа ч хамаагүй зугтаж, булан тохойд айж нуугддаг үгс. ...Хэдийгээр бичлэгийн дараа Коши хязгаарлалтТэд нуугдхаа больсон байх, гэхдээ зүгээр л бага зэрэг чичирч байна =) Санаа зоволтгүй, одоо математик анализын теоремуудын нотолгоо байхгүй болно - тодорхойлолтыг илүү нарийн томъёолохын тулд надад орчин хэрэгтэй байсан экстремум цэгүүд. Санаж үзье:

Нэг цэгийн хөршөгөгдсөн цэгийг агуулсан интервалыг дуудах бөгөөд тохиромжтой байх үүднээс интервалыг ихэвчлэн тэгш хэмтэй гэж үздэг. Жишээлбэл, цэг ба түүний стандарт хөрш:

Үнэндээ тодорхойлолтууд нь:

цэг гэж нэрлэдэг хатуу дээд цэг, Хэрэв байдагтүүний хөрш, хүн бүртцэгээс бусад утгууд нь тэгш бус байдал . Бидний тодорхой жишээнд энэ нь цэг юм.

цэг гэж нэрлэдэг хатуу доод цэг, Хэрэв байдагтүүний хөрш, хүн бүртцэгээс бусад утгууд нь тэгш бус байдал . Зураг дээр "а" цэг байна.

Анхаарна уу : хөршийн тэгш хэмийн шаардлага огт шаардлагагүй. Үүнээс гадна, энэ нь чухал юм оршихуйн үнэн бодит байдалзаасан нөхцөлийг хангасан хөрш (жижиг эсвэл бичил харуурын аль нь ч бай).

Цэгүүдийг дууддаг хатуу туйлын цэгүүдэсвэл зүгээр л экстремум цэгүүдфункцууд. Энэ нь хамгийн их оноо, хамгийн бага оноо гэсэн ерөнхий нэр томъёо юм.

"Хэт туйл" гэдэг үгийг бид хэрхэн ойлгох вэ? Тийм ээ, яг л нэг хэвийн байдал шиг. Галзуу хулганы туйлын цэгүүд.

Монотоник байдлын нэгэн адил сул постулатууд байдаг бөгөөд онолын хувьд илүү түгээмэл байдаг (Мэдээжийн хэрэг гэж үзсэн хатуу хэргүүд үүнд хамаарна!):

цэг гэж нэрлэдэг хамгийн дээд цэг, Хэрэв байдагтүүний эргэн тойронд ийм байдаг хүн бүрт
цэг гэж нэрлэдэг хамгийн бага цэг, Хэрэв байдагтүүний эргэн тойронд ийм байдаг хүн бүртЭнэ хөршийн үнэ цэнэ, тэгш бус байдал хэвээр байна.

Сүүлийн хоёр тодорхойлолтын дагуу тогтмол функцийн аль ч цэгийг (эсвэл функцийн "хавтгай хэсэг") хамгийн их ба хамгийн бага цэг гэж үздэг болохыг анхаарна уу! Дашрамд хэлэхэд функц нь өсдөггүй, буурдаггүй, өөрөөр хэлбэл монотон байдаг. Гэсэн хэдий ч практик дээр бид бараг үргэлж уламжлалт "толгод" болон "хонхор" (зураг харна уу) -ийг өвөрмөц "толгойн хаан" эсвэл "намгийн гүнж" гэж үздэг тул бид эдгээр асуудлыг онолчдод үлдээх болно. Төрөл бүрийн хувьд энэ нь тохиолддог зөвлөгөө, дээш эсвэл доош чиглэсэн, жишээлбэл, цэг дээрх функцын хамгийн бага.

Өө, мөн роялтигийн тухай ярихад:
– утгыг гэдэг дээд тал ньфункцууд;
– утгыг гэдэг хамгийн багафункцууд.

Нийтлэг нэр - туйлшралфункцууд.

Үгэндээ болгоомжтой байгаарай!

Экстремум цэгүүд- эдгээр нь "X" утгууд юм.
Хэт их- "тоглоом" гэсэн утгатай.

! Анхаарна уу : заримдаа жагсаасан нэр томьёо нь ӨӨРИЙГӨӨ функцийн ГРАФИК дээр шууд байрлах "X-Y" цэгүүдийг хэлдэг.

Функц хэдэн экстремумтай байж болох вэ?

Аль нь ч биш, 1, 2, 3, ... гэх мэт. хязгааргүй. Жишээлбэл, синус хязгааргүй олон минимум, максимумтай.

ЧУХАЛ!"Функцийн дээд хэмжээ" гэсэн нэр томъёо ижил биш"функцийн хамгийн их утга" гэсэн нэр томъёо. Зөвхөн орон нутгийн хороололд л хамгийн их үнэ цэнийг анзаарахад хялбар байдаг бөгөөд зүүн дээд талд "илүү сэрүүн нөхдүүд" байдаг. Үүний нэгэн адил "функцийн хамгийн бага утга" нь "функцийн хамгийн бага утга"-тай адил биш бөгөөд зураг дээр бид зөвхөн тодорхой хэсэгт хамгийн бага утгатай болохыг харж байна. Үүнтэй холбогдуулан экстремум цэгүүдийг бас нэрлэдэг орон нутгийн экстремум цэгүүд, ба экстремум - орон нутгийн эрс тэс. Тэд ойролцоо алхаж, тэнүүчилж байна дэлхийнах нар аа. Тэгэхээр аливаа параболын орой нь байдаг дэлхийн хамгийн багаэсвэл дэлхийн дээд хэмжээ. Цаашилбал, би хэт туйлшралын төрлүүдийг ялгахгүй бөгөөд тайлбарыг ерөнхий боловсролын зорилгоор илүү их хэлдэг - "орон нутгийн" / "дэлхий" гэсэн нэмэлт үгс таныг гайхшруулж болохгүй.

Онол руу хийсэн богино аялалаа туршилтын зургаар дүгнэж үзье: "Функцийн нэг хэвийн байдлын интервал ба экстремум цэгүүдийг олох" даалгавар нь юу гэсэн үг вэ?

Үг хэллэг нь таныг дараахь зүйлийг олоход уриалж байна.

– Өсөх/буурах функцийн интервал (буурахгүй, нэмэгдэхгүй байх нь хамаагүй бага тохиолддог);

- хамгийн их ба/эсвэл хамгийн бага оноо (хэрэв байгаа бол). За, бүтэлгүйтлээс зайлсхийхийн тулд хамгийн бага/максимумыг өөрсдөө олох нь дээр ;-)

Энэ бүхнийг хэрхэн тодорхойлох вэ?Дериватив функцийг ашиглах!

Өсөх, буурах интервалыг хэрхэн олох,
функцийн экстремум цэг ба экстремум?

Үнэн хэрэгтээ олон дүрмийг аль хэдийн мэддэг, ойлгодог деривативын утгын тухай хичээл.

Тангенсийн дериватив үйл ажиллагаа нэмэгдэж байгаа тухай хөгжилтэй мэдээг хүргэж байна тодорхойлолтын домэйн.

Котангенс ба түүний деривативтай байдал яг эсрэгээрээ байна.

Арксин нь интервалаар нэмэгддэг - энд үүссэн дериватив эерэг байна: .
Функц нь тодорхойлогдсон боловч ялгах боломжгүй үед. Гэсэн хэдий ч эгзэгтэй цэг дээр баруун гарт дериватив ба баруун гарт шүргэгч байдаг бөгөөд нөгөө ирмэг дээр тэдний зүүн гарт байдаг.

Нуман косинус ба түүний деривативын талаархи ижил төстэй үндэслэлийг гаргах нь танд тийм ч хэцүү биш байх болно гэж би бодож байна.

Дээрх бүх тохиолдлууд, тэдгээрийн ихэнх нь хүснэгтийн деривативууд, Би танд сануулж байна, -аас шууд дагаж дериватив тодорхойлолтууд.

Яагаад функцийг дериватив ашиглан судлах вэ?

Энэ функцийн график ямар харагдахыг илүү сайн ойлгохын тулд: хаана "доошоо дээш", "дээш доош", хамгийн бага ба дээд цэгт хүрдэг газар (хэрэв энэ нь огт хүрсэн бол). Бүх функцууд тийм ч энгийн байдаггүй - ихэнх тохиолдолд бид тодорхой функцийн графикийн талаар огт ойлголтгүй байдаг.

Илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилжиж, эргэцүүлэн бодох цаг болжээ Функцийн монотон ба экстремумын интервалыг олох алгоритм:

Жишээ 1

Функцийн өсөлт/бууралтын интервал ба экстремумыг ол

Шийдэл:

1) Эхний алхам бол олох явдал юм функцийн домэйн, мөн таслах цэгүүдийг (хэрэв байгаа бол) тэмдэглэ. Энэ тохиолдолд функц нь бүхэл тооны мөрөнд тасралтгүй үргэлжлэх бөгөөд энэ үйлдэл нь тодорхой хэмжээгээр албан ёсны шинж чанартай байдаг. Гэхдээ хэд хэдэн тохиолдолд ноцтой хүсэл тэмүүлэл энд гарч ирдэг тул догол мөрийг үл тоомсорлон авч үзье.

2) Алгоритмын хоёр дахь цэг нь холбоотой юм

Экстремумын зайлшгүй нөхцөл:

Хэрэв цэг дээр экстремум байвал утга нь байхгүй болно.

Төгсгөлд нь андуурч байна уу? “Модуль x” функцийн экстремум .

Нөхцөл байдал зайлшгүй шаардлагатай, гэхдээ хангалттай биш, мөн эсрэгээрээ үргэлж үнэн байдаггүй. Тэгэхээр функц нь цэг дээр хамгийн их эсвэл хамгийн багадаа хүрдэг гэсэн тэгш байдлаас хараахан гараагүй байна. Сонгодог жишээг дээр аль хэдийн онцолсон - энэ бол куб парабол ба түүний чухал цэг юм.

Гэсэн хэдий ч экстремумын зайлшгүй нөхцөл нь сэжигтэй цэгүүдийг олох хэрэгцээг шаарддаг. Үүнийг хийхийн тулд деривативыг олж, тэгшитгэлийг шийднэ.

Эхний нийтлэлийн эхэнд функцийн графикийн тухайБи жишээн дээр параболыг хэрхэн хурдан бүтээх талаар хэлсэн : “...бид эхний деривативыг аваад тэгтэй тэнцүүлнэ: ...Тэгэхээр бидний тэгшитгэлийн шийдэл: - яг энэ үед параболын орой байрлаж байна...”. Одоо би параболын орой яагаад яг энэ цэг дээр байдгийг хүн бүр ойлгосон байх гэж бодож байна =) Ерөнхийдөө энд ижил төстэй жишээнээс эхлэх хэрэгтэй, гэхдээ энэ нь хэтэрхий энгийн (цайны аяганд ч гэсэн). Нэмж дурдахад хичээлийн төгсгөлд аналог байдаг функцийн дериватив. Тиймээс зэрэглэлийг нэмэгдүүлье:

Жишээ 2

Функцийн монотон ба туйлын интервалыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд асуудлын бүрэн шийдэл, ойролцоогоор эцсийн жишээ.

Бутархай-рационал функцуудтай уулзах удаан хүлээсэн мөч ирлээ.

Жишээ 3

Эхний дериватив ашиглан функцийг судлаарай

Нэг ажлыг хэрхэн өөрчлөх боломжтойг анхаарч үзээрэй.

Шийдэл:

1) Функц нь цэгүүдэд хязгааргүй тасалдалтай байдаг.

2) Бид чухал цэгүүдийг илрүүлдэг. Эхний деривативыг олоод тэгтэй тэнцүүлье.

Тэгшитгэлээ шийдье. Бутархай нь тэг байх үед түүний тоологч нь тэг болно:

Тиймээс бид гурван чухал оноо авдаг:

3) Бид илрүүлсэн БҮХ цэгүүдийг тооны шулуун дээр зурдаг интервалын аргаБид ДЕРИВАТИВ-ийн шинж тэмдгийг тодорхойлно:

Та интервал дахь тодорхой цэгийг авч, үүсмэл хэрэгслийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй гэдгийг би танд сануулж байна мөн түүний тэмдгийг тодорхойлно. Бүр тоолохгүй, амаар "тооцоолох" нь илүү ашигтай. Жишээлбэл, интервалд хамаарах цэгийг авч, орлуулалтыг хийцгээе. .

Хоёр "нэмэх", нэг "хасах" нь "хасах" гэсэн утгыг өгдөг бөгөөд энэ нь дериватив нь бүх интервалд сөрөг байна гэсэн үг юм.

Таны ойлгож байгаагаар үйлдлийг зургаан интервал тус бүрээр хийх шаардлагатай. Дашрамд хэлэхэд, тоологч хүчин зүйл болон хуваагч нь ямар ч интервалын аль ч цэгт хатуу эерэг байдаг бөгөөд энэ нь даалгаврыг ихээхэн хөнгөвчилдөг гэдгийг анхаарна уу.

Тиймээс, үүсмэл функц нь ӨӨРӨӨ ӨӨРӨӨ нэмэгддэг гэж хэлсэн -аар буурдаг. Ижил төрлийн интервалуудыг нэгдэх дүрсээр холбоход тохиромжтой.

Тухайн үед функц хамгийн дээд хэмжээндээ хүрнэ:
Тухайн үед функц хамгийн багадаа хүрнэ:

Яагаад хоёр дахь утгыг дахин тооцоолох шаардлагагүй гэж бодож үзээрэй ;-)

Цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив тэмдэг өөрчлөгддөггүй тул функц NO EXTREMUM байхгүй - энэ нь аль аль нь буурч, буурсан хэвээр байна.

! Нэг чухал зүйлийг дахин хэлье: оноо нь чухал гэж тооцогддоггүй - тэдгээр нь функцийг агуулдаг тодорхойлогдоогүй. Үүний дагуу энд Зарчмын хувьд хэт туйлшрал байж болохгүй(үүсмэл шинж тэмдэг өөрчлөгдсөн ч гэсэн).

Хариулт: функцээр нэмэгддэг Функцийн хамгийн дээд хэмжээнд хүрэх үед дараах байдлаар буурна: , мөн цэг дээр – хамгийн бага нь: .

Монотоник байдлын интервал ба экстремын талаархи мэдлэг, тогтсон асимптотуудфункцийн графикийн харагдах байдлын талаар маш сайн санааг аль хэдийн өгдөг. Дундаж боловсролтой хүн функцийн график нь хоёр босоо асимптот ба ташуу асимптоттой болохыг амаар тодорхойлж чаддаг. Энд манай баатар байна:

Судалгааны үр дүнг энэ функцийн графиктай харьцуулахыг дахин оролдоно уу.
Эгзэгтэй цэг дээр экстремум байхгүй, гэхдээ байдаг график гулзайлтын(энэ нь дүрмээр бол ижил төстэй тохиолдлуудад тохиолддог).

Жишээ 4

Функцийн экстремумыг ол

Жишээ 5

Функцийн монотон байдлын интервал, максимум, минимумыг ол

…өнөөдөр бараг л “X in a шоо”-гийн баяр шиг байна...
Soooo, галерейд хэн үүний төлөө уухыг санал болгосон бэ? =)

Даалгавар бүр өөрийн гэсэн үндсэн нюансууд, техникийн нарийн талуудтай байдаг бөгөөд үүнийг хичээлийн төгсгөлд тайлбарласан болно.

Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд нь тодорхой алгоритмын дагуу олддог функцийн экстремум цэгүүд юм. Энэ нь функц хайх үед гол үзүүлэлт юм. Тодорхой x0 орчмын бүх x-ийн хувьд f(x) тэгш бус байдал байвал x0 цэг нь хамгийн бага цэг юм? f(x0) (хамгийн их цэгийн хувьд объектив урвуу тэгш бус байдал нь f(x) ? f(x0)).

Заавар

1. Функцийн деривативыг ол. Дериватив нь тодорхой цэг дэх функцийн хувиралтыг тодорхойлдог бөгөөд тэг рүү чиглэсэн функцын өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж тодорхойлогддог. Үүнийг олохын тулд деривативын хүснэгтийг ашиглана уу. y = x3 функцийн дериватив нь y’ = x2-тэй тэнцүү байна гэж үзье.

2. Энэ деривативыг тэгтэй тэнцүүл (энэ тохиолдолд x2=0).

3. Өгөгдсөн илэрхийллийн хувьсагчийн утгыг олж мэд. Эдгээр нь энэ дериватив 0-тэй тэнцүү байх утгууд байх болно. Үүнийг хийхийн тулд илэрхийлэлд x-ийн оронд дурын тоог орлуулж, бүх илэрхийлэл тэг болно. 2-2×2= 0(1-x)(1+x) = 0x1= 1, x2 = -1 гэж хэлье.

4. Олж авсан утгыг координатын шугам дээр зурж, олж авсан бүх интервалын деривативын тэмдгийг тооцоол. Координатын шугам дээр цэгүүдийг тэмдэглэсэн бөгөөд үүнийг ишлэлийн оршил болгон авдаг. Интервал дээрх утгыг тооцоолохын тулд шалгуурт нийцсэн дурын утгыг орлуулна уу. -1 хүртэлх интервал хүртэлх өмнөх функцийн хувьд -2 утгыг илүүд үзэхийг зөвшөөрнө гэж бодъё. -1-ээс 1 хүртэлх зайд та 0-г сонгож, 1-ээс их бол 2-ыг сонгож болно. Эдгээр тоог деривативт орлуулж, деривативын тэмдгийг олоорой. Энэ тохиолдолд x = -2-тэй дериватив нь -0.24-тэй тэнцүү байх болно, өөрөөр хэлбэл. сөрөг бөгөөд энэ интервал дээр хасах тэмдэг байх болно. Хэрэв x=0 байвал утга нь 2-той тэнцүү байх бөгөөд энэ интервал дээр эерэг тэмдэг тавигдана гэсэн үг. Хэрэв x=1 бол дериватив нь мөн -0.24-тэй тэнцүү байх тул хасах тэмдэг тавина.

5. Хэрэв координатын шугам дээрх цэгийг дайран өнгөрөхөд дериватив нь тэмдгээ хасахаас нэмэх рүү өөрчилвөл энэ нь хамгийн бага цэг, хэрэв нэмэхээс хасах бол энэ нь хамгийн дээд цэг юм.

Функцийн хамгийн их цэгүүдийг хамгийн бага цэгүүдийн хамт экстремум цэг гэж нэрлэдэг. Эдгээр цэгүүдэд функц нь зан үйлийн мөн чанарыг өөрчилдөг. Экстремумууд нь хязгаарлагдмал тооны интервалаар тодорхойлогддог бөгөөд байнга орон нутгийн шинж чанартай байдаг.

Заавар

1. Орон нутгийн экстремумыг олох үйл явцыг функцийн олборлолт гэж нэрлэдэг бөгөөд функцийн эхний болон хоёр дахь деривативуудыг харах замаар гүйцэтгэдэг. Судалгаагаа эхлэхээс өмнө аргументуудын энэ хүрээ нь боломжит утгуудад хамаарах эсэхийг шалгаарай. F=1/x функцийн хувьд x=0 аргументын утгыг хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй гэж үзье. Эсвэл Y=tg(x) функцийн хувьд аргумент нь x=90° утгатай байж болохгүй.

2. Өгөгдсөн интервал бүр дээр Y функц ялгах боломжтой эсэхийг шалгаарай. Y'-ийн эхний деривативыг ол. Орон нутгийн дээд цэгт хүрэхээс өмнө функц нь нэмэгдэж, максимумыг давахад функц буурч байгаа бололтой. Эхний дериватив нь физик утгаараа функцийн метаморфозын хурдыг тодорхойлдог. Функц нэмэгдэж байгаа ч энэ процессын хурд эерэг утгатай байна. Орон нутгийн максимумаар дамжин өнгөрөх үед функц буурч эхэлдэг ба функцийн метаморфозын үйл явцын хурд сөрөг болдог. Функцийн метаморфозын хурдыг тэг рүү шилжүүлэх нь орон нутгийн максимум цэг дээр явагддаг.

3. Тиймээс, өсөн нэмэгдэж буй функцийн сегментэд түүний анхны дериватив нь энэ интервал дээрх аргументийн бүх утгуудад эерэг байна. Мөн эсрэгээр - функц буурч байгаа бүсэд эхний деривативын утга тэгээс бага байна. Орон нутгийн хамгийн дээд цэг дээр эхний деривативын утга тэг байна. Функцийн локал максимумыг илрүүлэхийн тулд энэ функцийн эхний дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх x цэгийг илрүүлэх шаардлагатай бололтой. Судалгаанд хамрагдаж буй сегмент дээрх аргументийн аль нэг утгын хувьд xx? - сөрөг.

4. x олох уу? Y’=0 тэгшитгэлийг шийд. Хэрэв энэ цэг дэх функцийн хоёр дахь дериватив тэгээс бага байвал Y(x?)-ийн утга нь орон нутгийн максимум болно. Y-ийн хоёр дахь деривативыг ол” гэсэн аргументийн утгыг x = x илэрхийлэлд орлуулах уу? тооцооны үр дүнг тэгтэй харьцуулна.

5. -1-ээс 1 хүртэлх интервал дээрх Y=-x?+x+1 функц Y’=-2x+1 тогтмол уламжлалтай гэж үзье. x=1/2 үед дериватив нь тэг байх ба энэ цэгийг дайран өнгөрөхөд дериватив тэмдэг нь “+”-ээс “-” болж өөрчлөгдөнө. Y”=-2 функцийн хоёр дахь дериватив. Y=-x?+x+1 функцийн графикийг цэгээр зурж, х=1/2 абсциссатай цэг нь тооны тэнхлэгийн өгөгдсөн сегмент дээрх локал максимум мөн эсэхийг шалга.

Сэдвийн талаархи видео

Хэрэгтэй зөвлөгөө
Деривативыг олохын тулд шаардлагатай утгыг тооцоолж, үр дүнг харуулдаг онлайн үйлчилгээнүүд байдаг. Ийм сайтууд дээр 5 хүртэлх эрэмбийн деривативуудыг илрүүлэх боломжтой.

Функцийн экстремум гэж юу вэ, экстремум байх ёстой нөхцөл юу вэ?

Функцийн экстремум нь функцийн хамгийн их ба минимум юм.

Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага (экстремум) байх шаардлагатай нөхцөл нь дараах байдалтай байна: хэрэв f(x) функц нь x = a цэг дээр экстремумтай бол энэ үед дериватив нь тэг, төгсгөлгүй эсвэл үгүй болно. байдаг.

Энэ нөхцөл шаардлагатай боловч хангалттай биш юм. X = a цэг дээрх дериватив нь энэ цэгт экстремум байхгүйгээр тэг, хязгааргүй эсвэл байхгүй байж болно.

Функцийн экстремум (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) хангалттай нөхцөл юу вэ?

Эхний нөхцөл:

Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд эерэг, а-ын баруун талд сөрөг байвал x = a цэг дээр f(x) функц байна. дээд тал нь

Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд сөрөг, а-ын баруун талд эерэг байвал x = a цэг дээр f(x) функц байна. хамгийн багаЭнд f(x) функц тасралтгүй байх нөхцөлд.

Үүний оронд та функцийн экстремумын хоёр дахь хангалттай нөхцөлийг ашиглаж болно:

x = a цэг дээр эхний дериватив f?(x) алга болно; хэрэв хоёрдахь дериватив f??(a) сөрөг байвал f(x) функц x = a цэгт максимумтай, эерэг бол минимумтай байна.

Функцийн чухал цэг гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн олох вэ?

Энэ нь функц нь экстремум (жишээ нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага) байх функцын аргументийн утга юм. Үүнийг олохын тулд танд хэрэгтэй деривативыг ол f?(x) функц ба үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх, тэгшитгэлийг шийд f?(x) = 0. Энэ тэгшитгэлийн үндэс, түүнчлэн энэ функцийн дериватив байхгүй цэгүүд нь эгзэгтэй цэгүүд, өөрөөр хэлбэл экстремум байж болох аргументийн утгууд юм. Тэдгээрийг харахад хялбархан тодорхойлж болно дериватив график: функцын график абсцисса тэнхлэгтэй (Ox тэнхлэг) огтлолцдог аргументуудын утгууд болон график тасалдсан утгуудыг бид сонирхож байна.

Жишээлбэл, олъё параболын экстремум.

y(x) = 3x2 + 2x - 50 функц.

Функцийн дериватив: y?(x) = 6x + 2

Тэгшитгэлийг шийд: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Энэ тохиолдолд эгзэгтэй цэг нь x0=-1/3 байна. Энэ аргументын утга нь функцэд байна экстремум. Түүнд олох, "x"-ийн оронд функцийн илэрхийлэлд олдсон тоог орлуулна уу:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага хэмжээг хэрхэн тодорхойлох вэ, i.e. түүний хамгийн том ба хамгийн бага үнэ цэнэ?

Хэрэв x0 эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөх үед деривативын тэмдэг нь "нэмэх" -ээс "хасах" болж өөрчлөгдвөл x0 болно. хамгийн дээд цэг; Хэрэв деривативын тэмдэг хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгдвөл x0 болно хамгийн бага цэг; хэрэв тэмдэг өөрчлөгдөөгүй бол x0 цэг дээр хамгийн их эсвэл хамгийн бага нь байхгүй.

Үзсэн жишээний хувьд:

Бид чухал цэгийн зүүн талд байгаа аргументийн дурын утгыг авна: x = -1

x = -1 үед деривативын утга нь y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 байх болно (өөрөөр хэлбэл тэмдэг нь "хасах").

Одоо бид эгзэгтэй цэгийн баруун талд байгаа аргументын дурын утгыг авна: x = 1

x = 1 үед деривативын утга нь y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 байх болно (өөрөөр хэлбэл тэмдэг нь "нэмэх").

Таны харж байгаагаар дериватив нь эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөхдөө тэмдэгийг хасахаас нэмэх болгон өөрчилсөн. Энэ нь x0 чухал утгад бид хамгийн бага цэгтэй байна гэсэн үг юм.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга интервал дээр(сегмент дээр) ижил процедурыг ашиглан олно, зөвхөн бүх чухал цэгүүд заасан интервалд багтахгүй байж магадгүй гэдгийг харгалзан үзнэ. Интервалаас гадуур байгаа чухал цэгүүдийг авч үзэхээс хасах ёстой. Хэрэв интервал дотор зөвхөн нэг чухал цэг байгаа бол энэ нь хамгийн их эсвэл минимумтай байх болно. Энэ тохиолдолд функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлохын тулд интервалын төгсгөлд функцийн утгыг харгалзан үзнэ.

Жишээлбэл, функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

интервалаар:

Тэгэхээр функцийн дериватив нь байна

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

Бид 3cos(x) - 0.5 = 0 тэгшитгэлийг шийднэ

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

Бид интервал дээр чухал цэгүүдийг олдог [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (интервалд ороогүй)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = arccos(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = arccos(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = arccos(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (интервалд ороогүй)

Бид аргументийн эгзэгтэй утгуудаас функцийн утгыг олдог.

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

Эндээс харахад [-9; 9] функц нь x = -4.88 үед хамгийн их утгатай байна:

x = -4.88, y = 5.398,

ба хамгийн бага нь - x = 4.88:

x = 4.88, y = -5.398.

Интервал дээр [-6; -3] бидэнд ганцхан чухал цэг бий: x = -4.88. x = -4.88 дахь функцийн утга нь у = 5.398-тай тэнцүү байна.

Интервалын төгсгөлд функцийн утгыг ол:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

Интервал дээр [-6; -3] функцийн хамгийн их утга нь бидэнд байна

x = -4.88 үед у = 5.398

хамгийн бага утга -

x = -3 үед y = 1.077

Функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүдийг хэрхэн олж, гүдгэр ба хотгор талыг тодорхойлох вэ?

y = f(x) шугамын бүх гулзайлтын цэгийг олохын тулд та хоёр дахь деривативыг олж, үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх (тэгшитгэлийг шийдэх), хоёр дахь дериватив нь тэг байх x-ийн бүх утгыг шалгах хэрэгтэй. хязгааргүй эсвэл байхгүй. Хэрэв эдгээр утгуудын аль нэгээр дамжин өнгөрөхөд хоёр дахь дериватив тэмдэг өөрчлөгдвөл функцийн график энэ цэг дээр гулзайлттай байна. Хэрэв энэ нь өөрчлөгдөхгүй бол нугалах зүйл байхгүй болно.

f тэгшитгэлийн язгуурууд? (x) = 0, түүнчлэн функцийн тасалдлын боломжит цэгүүд ба хоёр дахь дериватив нь функцийн тодорхойлолтын мужийг хэд хэдэн интервалд хуваана. Тэдний интервал тус бүрийн гүдгэр байдлыг хоёр дахь деривативын тэмдгээр тодорхойлно. Хэрэв судалж буй интервалын цэг дээрх хоёр дахь дериватив эерэг байвал y = f(x) шулуун дээшээ хонхойж, сөрөг байвал доошоо чиглэсэн байна.

Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг хэрхэн олох вэ?

Тодорхойлолтын мужид ялгах боломжтой f(x,y) функцийн экстремумыг олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

1) чухал цэгүүдийг олох, үүний тулд тэгшитгэлийн системийг шийднэ

фх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) P0(a;b) чухал цэг бүрийн хувьд ялгааны тэмдэг өөрчлөгдөхгүй эсэхийг судална.

бүх цэгийн хувьд (x;y) P0-д хангалттай ойр. Хэрэв зөрүү эерэг хэвээр байвал P0 цэг дээр бид хамгийн бага, сөрөг бол хамгийн их утгатай байна. Хэрэв ялгаа нь тэмдэгээ хадгалахгүй бол P0 цэгт экстремум байхгүй болно.

Функцийн экстремумыг олон тооны аргументуудын хувьд ижилхэн тодорхойлно.

Зэсийн сульфатыг хаана хэрэглэдэг вэ?
Зэсийн сульфатыг дараахь байдлаар хуваана: Зэс(I) сульфат Зэс(II) сульфат Зэс(II) сульфат (CuSO4) - зэсийн сульфат - цагаан талст, усанд сайн уусдаг. Гэсэн хэдий ч усан уусмалаас, мөн дор хаяж бага чийгийн агууламжтай агаарт цэнхэр пентагидрат CuSO4 5H2O талсждаг.

J1 визээр ямар ажилд орохыг хориглодог вэ?
Work and Travel USA (АНУ-д ажил, аялал) нь Америкт зуныг өнгөрүүлэх, үйлчилгээний салбарт хууль ёсны дагуу ажиллах, аялах зэрэг алдартай оюутан солилцооны хөтөлбөр юм. Хөтөлбөрийн түүх Work & Travel нь засгийн газар хоорондын Cultural Exchange Pro солилцооны хөтөлбөрт багтсан болно

Peugeot 307-д ямар чийдэн суурилуулсан
Peugeot 307 автомашинууд дээр 2 төрлийн гэрэл байдаг: 2001-2005 оны загваруудын хувьд. 2005-2007 оны загварт зориулсан "Дорестайл", "Restayl" Dorestayl болон Restayl хоёрын гэрлийг сольж болохгүй! Peugeot 30 машины арын гэрэл

Үтрээний атрезийг хэрхэн эмчилдэг вэ?
Atresia Хүний биед ямар нэгэн нүх, сувгийн төрөлхийн байхгүй эсвэл хэвийн бус нарийсал. Цөсний атрези нь цөсний сувагт нөлөөлж, нярайд бөглөрөх шарлалт үүсгэдэг; Хэрвээ хүүхдийг цаг тухайд нь хагалгаагүй бол өвчин нь үхэлд хүргэдэг. Гурван булчингийн хавхлагын атрезийн үед зүрхний доторх цусны урсгал тасалддаг (цусны урсгал

"Одоо тайл" телевизийн нэвтрүүлгийн албан ёсны вэбсайт гэж юу вэ?
"Үүнийг яаралтай буулга" - STS суваг дээрх телевизийн нэвтрүүлэг. Нэвтрүүлгийн хөтлөгчид хувцасны хэв маягаа өөрчлөх замаар голчлон дотооддоо баатруудыг илүү сайн болгохыг хичээдэг; Үүний дараа баатрууд өөрчлөгдөж, сэтгэлийн хямрал болон бусад амьдралын бэрхшээлийг мартаж, өөрсдийгөө дахин үнэлж, хайрлаж эхэлдэг. Хөтөлбөрийн хөтлөгчид: Наталья St

Сайт гэж юу вэ
Англи хэл дээрх вэбсайт. - газар - газар; байршил, байршилВэб сайтуудыг мөн "зангилаа", "дэлхийн сүлжээний зангилаа" гэж нэрлэдэг. Вэбсайт нь хоорондоо холбоотой вэб баримт бичгийн цуглуулга (жишээ нь HTML баримт бичиг) гэж хэлж болох уу. Ихэнхдээ хүн эсвэл байгууллагын виртуал төсөөлөл

Яагаад танд iPhone-д зориулсан "iReveilPro" програм хэрэгтэй байна вэ?
IPhone SMS, MMS mySMS - SMS клиентт зориулсан хэрэглээний програмууд. iRealSMS - SMS үйлчлүүлэгч. biteSMS - SMS үйлчлүүлэгч. SwirlyMMS бол MMS үйлчлүүлэгч юм. Алиби SMS - S илгээх

Смоленскийн АЦС-ын албан ёсны вэбсайтыг интернетээс хаанаас олох вэ
Өнөөдөр Орос улсад үйлдвэрлэсэн нийт цахилгаан эрчим хүчний 16 орчим хувийг үйлдвэрлэдэг 10 атомын цахилгаан станц (нийт 24.2 ГВт суурилагдсан хүчин чадалтай 32 эрчим хүчний нэгж) ажиллаж байна. Үүний зэрэгцээ Оросын Европын хэсэгт цөмийн эрчим хүчний эзлэх хувь 30%, баруун хойд хэсэгт 37% хүрч байна. Federal Targeted Pro-ийн мэдээлснээр

Хоолны хордлогын дараа хэрхэн хооллох вэ
Хүнсний хордлого (хоолны хордлого) нь тодорхой төрлийн бичил биетээр их хэмжээгээр бохирдсон эсвэл бие махбодид хортой бичил биетний болон нянгийн бус шинж чанартай бодис агуулсан хоол идсэний үр дүнд үүсдэг цочмог, ховор архаг өвчин юм. Шинж тэмдэг Ихэнх тохиолдолд хоолны хордлогын шинж тэмдэг хэрэглэснээс хойш 1-2 цагийн дараа илэрдэг.

ОХУ-ын Дотоод хэргийн байгууллагуудын ажилчдын өдөр хэзээ вэ?
ОХУ-д тэмдэглэдэг мэргэжлийн баярууд: 1-р сарын 11 - Байгалийн нөөц газар, үндэсний цэцэрлэгт хүрээлэнгийн өдөр; 1-р сарын 12 бол Прокурорын байгууллагын өдөр; 1-р сарын 13-Оросын хэвлэлийн өдөр; 1-р сарын 21 - Инженерийн цэргийн өдөр; 1-р сарын 25-Тэнгисийн цэргийн навигацийн өдөр; Нэгдүгээр сарын 25

утга учир

Хамгийн агуу

утга учир

Хамгийн бага

Хамгийн дээд цэг

Хамгийн бага оноо

Экстремум функцийн цэгүүдийг олох асуудлыг стандарт схемийн дагуу 3 үе шаттайгаар шийддэг.

Алхам 1. Функцийн деривативыг ол

Анхан шатны функцүүдийн дериватив томъёо, үүсмэлийг олохын тулд ялгах үндсэн дүрмийг санаарай.

y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.

Алхам 2. Деривативын тэгийг ол

Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж деривативын тэгийг ол.

3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.

Алхам 3. Хэт их цэгүүдийг олох

Деривативын шинж тэмдгийг тодорхойлох интервалын аргыг ашиглах;
Хамгийн бага цэг дээр дериватив нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд тэмдгийг хасахаас нэмэх рүү, хамгийн их цэг дээр нэмэхээс хасах руу өөрчилдөг.

Дараах асуудлыг шийдэхийн тулд энэ аргыг ашиглацгаая.

y=x3−243x+19 функцийн хамгийн их цэгийг ол.

1) Деривативыг ол: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;

2) y′(x)=0 тэгшитгэлийг шийд: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;

3) Дериватив нь x>9 ба x-ийн хувьд эерэг байна<−9 и отрицательная при −9

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг хэрхэн олох вэ

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудлыг шийдэх шаардлагатай:

Сегмент (интервал) дээрх функцийн экстремум цэгүүдийг ол.
Сегментийн төгсгөлд байгаа утгуудыг олж, сегментийн төгсгөлийн цэг ба төгсгөлд байгаа утгуудаас хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг сонгоно уу.

Олон ажилд тусалдаг теорем:

Хэрэв сегмент дээр зөвхөн нэг экстремум цэг байгаа бөгөөд энэ нь хамгийн бага цэг бол функцийн хамгийн бага утгад хүрнэ. Хэрэв энэ нь хамгийн дээд цэг бол хамгийн их утга нь тэнд хүрнэ.

14. Тодорхойгүй интегралын тухай ойлголт, үндсэн шинж чанарууд.

Хэрэв функц бол е(x X, Мөн к- тэгвэл тоо

Товчхондоо: тогтмолыг интеграл тэмдгээс гаргаж авч болно.

Хэрэв функцууд е(x) Мөн g(x) интервал дээр эсрэг деривативтай байна X, Тэр

Товчхондоо: нийлбэрийн интеграл нь интегралын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хэрэв функц бол е(x) интервал дээр эсрэг дериватив байна X, дараа нь энэ интервалын дотоод цэгүүдийн хувьд:

Товчхондоо: интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү.

Хэрэв функц бол е(x) интервал дээр тасралтгүй байна Xбөгөөд энэ интервалын дотоод цэгүүдэд ялгах боломжтой бол:

Товчхондоо: функцийн дифференциалын интеграл нь энэ функц дээр интегралын тогтмолыг нэмсэнтэй тэнцүү байна.

Математикийн хатуу тодорхойлолтыг өгье тодорхойгүй интегралын тухай ойлголтууд.

Маягтын илэрхийлэл гэж нэрлэдэг функцийн интеграл f(x) , Хаана f(x) - өгөгдсөн (мэдэгдэж байгаа) интеграл функц, dx - дифференциал x , тэмдэг нь үргэлж байдаг dx .

Тодорхойлолт. Тодорхой бус интегралфункц гэж нэрлэдэг F(x) + C , дурын тогтмолыг агуулсан C , дифференциал нь тэнцүү байна интегралилэрхийлэл f(x)dx , өөрөөр хэлбэл эсвэл Функцийг дууддаг эсрэг дериватив функц. Функцийн эсрэг дериватив нь тогтмол утга хүртэл тодорхойлогддог.

Үүнийг сануулъя - дифференциал функцбөгөөд дараах байдлаар тодорхойлогдоно.

Асуудлыг хайж байна тодорхойгүй интегралийм функцийг олох явдал юм деривативэнэ нь интегралтай тэнцүү байна. Энэ функц нь тогтмол хүртэл үнэн зөв тодорхойлогддог, учир нь тогтмолын дериватив нь тэг байна.

Жишээлбэл, энэ нь мэдэгдэж байгаа, дараа нь энэ нь болж байна , энд дурын тогтмол байна.

Асуудал олох тодорхойгүй интегралФункцууд нь анх харахад тийм ч энгийн бөгөөд хялбар биш юм. Ихэнх тохиолдолд түүнтэй ажиллах ур чадвар байх ёстой тодорхойгүй интеграл,дадлага, байнгын хамт ирдэг туршлага байх ёстой Тодорхойгүй интегралын жишээг шийдвэрлэх.Үүнийг анхаарч үзэх нь зүйтэй юм тодорхойгүй интегралуудзарим функцээс (тэдгээрийн нэлээд олон байдаг) энгийн функцүүдэд авагдаагүй болно.

15. Үндсэн тодорхойгүй интегралын хүснэгт.

Үндсэн томъёо

16. Тодорхой интеграл нь интеграл нийлбэрийн хязгаар. Интегралын геометрийн болон физикийн утга.

y=ƒ(x) функцийг [a; б], а< b. Выполним следующие действия.

1. x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0) цэгүүдийг ашиглах

2. Хэсэгчилсэн сегмент бүрт i = 1,2,...,n, i є-тэй дурын цэгийг сонгож, түүн дэх функцын утгыг, өөрөөр хэлбэл ƒ (i-тэй) утгыг тооцоол.

3. ƒ (i-тэй) функцийн олсон утгыг харгалзах хэсэгчилсэн сегментийн ∆x i =x i -x i-1 уртаар үржүүлнэ: ƒ (i-тэй) ∆x i.

4. Ийм бүх бүтээгдэхүүний нийлбэрийг S n болгоё.

(35.1) хэлбэрийн нийлбэрийг y = ƒ(x) функцийн [a; б]. Хамгийн том хэсэгчилсэн сегментийн уртыг λ-ээр тэмдэглэе: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n).

5. n → ∞ үед λ→0 байхаар интеграл нийлбэрийн (35.1) хязгаарыг олъё.

Хэрэв энэ тохиолдолд интеграл нийлбэр S n нь I хязгаартай бөгөөд энэ нь сегментийг хуваах аргаас хамаарахгүй [a; б] хэсэгчилсэн хэрчмүүд дээр ч, тэдгээрийн цэгүүдийн сонголт дээр ч I тоог [a сегмент дэх y = ƒ(x) функцийн тодорхой интеграл гэж нэрлэдэг; b] ба тэмдэглэсэн байна.

a ба b тоонуудыг интеграцийн доод ба дээд хязгаар гэж нэрлэдэг, ƒ(x) - интеграл функц, ƒ(x) dx - интеграл, x - интегралын хувьсагч, сегмент [a; b] - интеграцийн талбар (сегмент).

Функц y=ƒ(x), үүний хувьд [a; б] энэ интервал дээр интегралдах гэж нэрлэгддэг тодорхой интеграл байна.

Одоо тодорхой интеграл оршин тогтнох теоремыг томъёолъё.

Теорем 35.1 (Коши). Хэрэв y = ƒ(x) функц [a интервал дээр тасралтгүй байвал; b], дараа нь тодорхой интеграл

Функцийн тасралтгүй байдал нь түүний интегралчлах хангалттай нөхцөл гэдгийг анхаарна уу. Гэсэн хэдий ч тодорхой интеграл нь зарим тасалдалтай функцүүдэд, ялангуяа хязгаарлагдмал тооны тасалдлын цэгүүдтэй интервалаар хязгаарлагдсан аливаа функцэд бас байж болно.

Тодорхой интегралын тодорхойлолтоос шууд хамаарах зарим шинж чанарыг зааж өгье (35.2).

1. Тодорхой интеграл нь интеграцийн хувьсагчийн зориулалтаас хамааралгүй:

Энэ нь интеграл нийлбэр (35.1), тиймээс түүний хязгаар (35.2) нь өгөгдсөн функцийн аргументыг ямар үсгээр тэмдэглэснээс үл хамаарна.

2. Интегралын ижил хязгаартай тодорхой интеграл тэгтэй тэнцүү байна.

3. Аливаа бодит тооны хувьд c.

17. Ньютон-Лейбницийн томьёо. Тодорхой интегралын үндсэн шинж чанарууд.

Функцийг зөвшөөр у = f(x)сегмент дээр тасралтгүй Тэгээд F(x)нь энэ сегмент дээрх функцын эсрэг деривативуудын нэг юм Ньютон-Лейбницийн томъёо: .

Ньютон-Лейбницийн томьёо гэж нэрлэдэг интеграл тооцооллын үндсэн томъёо.

Ньютон-Лейбницийн томьёог батлахын тулд хувьсах дээд хязгаартай интеграл гэсэн ойлголт хэрэгтэй.

Хэрэв функц бол у = f(x)сегмент дээр тасралтгүй , тэгвэл аргументийн хувьд хэлбэрийн интеграл нь дээд хязгаарын функц юм. Энэ функцийг тэмдэглэе , мөн энэ функц тасралтгүй бөгөөд тэгш байдал нь үнэн юм .

Үнэн хэрэгтээ, аргументийн өсөлтөд тохирох функцийн өсөлтийг бичиж, тодорхой интегралын тав дахь шинж чанар ба арав дахь шинж чанарын үр дүнг ашиглая.

Хаана.

Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье . Хэрэв бид функцийн деривативын тодорхойлолтыг эргэн санаж, хязгаарт очвол бид . Өөрөөр хэлбэл, энэ нь функцийн эсрэг деривативуудын нэг юм у = f(x)сегмент дээр . Тиймээс бүх эсрэг деривативуудын багц F(x)гэж бичиж болно , Хаана ХАМТ- дурын тогтмол.

Тооцоод үзье F(a), тодорхой интегралын эхний шинж чанарыг ашиглан: , иймээс, . Тооцоолохдоо энэ үр дүнг ашиглая F(б): , тэр нь . Энэ тэгшитгэл нь Ньютон-Лейбницийн нотлох боломжтой томьёог өгдөг .

Функцийн өсөлтийг ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг . Энэхүү тэмдэглэгээг ашиглан Ньютон-Лейбницийн томъёо хэлбэрийг авна .

Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэхийн тулд эсрэг деривативуудын аль нэгийг мэдэхэд хангалттай y=F(x)интеграл функц y=f(x)сегмент дээр мөн энэ сегмент дээрх эсрэг деривативын өсөлтийг тооцоол. Өгүүллийн интеграцийн аргууд нь эсрэг деривативыг олох үндсэн аргуудыг авч үздэг. Тодорхой болгох үүднээс Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох хэдэн жишээг өгье.

Жишээ.

Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралын утгыг тооцоол.

Шийдэл.

Эхлэхийн тулд интеграл нь интервал дээр үргэлжилдэг гэдгийг бид тэмдэглэж байна , тиймээс үүн дээр интегралдах боломжтой. (Бид тодорхой интеграл байдаг функцүүдийн тухай хэсэгт интегралдах функцүүдийн талаар ярьсан.)

Тодорхой бус интегралын хүснэгтээс харахад функцийн хувьд аргументийн бүх бодит утгуудын эсрэг деривативуудын багцыг (тиймээс -ийн хувьд) дараах байдлаар бичсэн нь тодорхой байна. . -ийн эсрэг деривативыг авч үзье C=0: .

Одоо тодорхой интегралыг тооцоолохдоо Ньютон-Лейбницийн томьёог ашиглахад л үлдлээ. .

18. Тодорхой интегралын геометрийн хэрэглээ.

ТОДОРХОЙ ИНТЕГРАЛЫН ГЕОМЕТРИЙН ХЭРЭГЛЭЭ

Тэгш өнцөгт S.K.	Функцийг параметрийн дагуу тодорхойлсон	Полярная С.К.
Онгоцны дүрсүүдийн талбайн тооцоо

Хавтгай муруйны нумын уртыг тооцоолох

Хувьсгалын гадаргуугийн талбайг тооцоолох

Биеийн эзлэхүүнийг тооцоолох

Зэрэгцээ хэсгүүдийн мэдэгдэж буй хэсгүүдээс биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох:

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүн: ; .

Жишээ 1. y=sinx муруйгаар шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг ол

Шийдэл:Зургийн талбайг олох:

Жишээ 2. Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Шийдэл:Эдгээр функцүүдийн графикуудын огтлолцох цэгүүдийн абсциссыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийн системийг шийддэг

Эндээс бид олдог x 1 =0, x 2 =2.5.

19. Дифференциал хяналтын тухай ойлголт. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.

Дифференциал тэгшитгэл- функцийн деривативын утгыг функц өөрөө, бие даасан хувьсагчийн утгууд, тоонууд (параметрүүд) -тэй холбосон тэгшитгэл. Тэгшитгэлд орсон деривативуудын дараалал өөр байж болно (албан ёсоор энэ нь юугаар ч хязгаарлагдахгүй). Дериватив, функц, бие даасан хувьсагч, параметрүүд нь тэгшитгэлд янз бүрийн хослолоор гарч ирж болно, эсвэл нэг деривативаас бусад нь бүхэлдээ байхгүй байж болно. Үл мэдэгдэх функцийн дериватив агуулсан тэгшитгэл бүр дифференциал тэгшитгэл биш юм. Жишээлбэл, дифференциал тэгшитгэл биш юм.

Хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл(PDF) нь хэд хэдэн хувьсагчийн үл мэдэгдэх функцууд болон тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативуудыг агуулсан тэгшитгэл юм. Ийм тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

бие даасан хувьсагчид хаана байна, эдгээр хувьсагчдын функц юм. Хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн дарааллыг энгийн дифференциал тэгшитгэлийн нэгэн адил тодорхойлж болно. Хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн өөр нэг чухал ангилал бол тэдгээрийг эллипс, параболик, гипербол хэлбэрийн тэгшитгэлд хуваах явдал юм, ялангуяа хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд.

Энгийн дифференциал тэгшитгэл ба хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг хоёуланг нь хувааж болно шугаманТэгээд шугаман бус. Хэрэв үл мэдэгдэх функц ба түүний дериватив нь тэгшитгэлд зөвхөн 1-р зэрэглэлд орсон бол дифференциал тэгшитгэл нь шугаман байна (мөн өөр хоорондоо үржүүлээгүй). Ийм тэгшитгэлийн хувьд шийдлүүд нь функцүүдийн орон зайн аффин дэд орон зайг бүрдүүлдэг. Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн онолыг шугаман бус тэгшитгэлийн онолоос хавьгүй гүнзгий боловсруулсан. Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий дүр төрх n-р захиалга:

Хаана p i(x) нь тэгшитгэлийн коэффициент гэж нэрлэгддэг бие даасан хувьсагчийн мэдэгдэж буй функцууд юм. Чиг үүрэг r(x) баруун талд нь гэж нэрлэдэг чөлөөт гишүүн(үл мэдэгдэх функцээс хамаарахгүй цорын ганц нэр томъёо) Шугаман тэгшитгэлийн нэг чухал анги бол шугаман дифференциал тэгшитгэл юм. тогтмол коэффициентүүд.

Шугаман тэгшитгэлийн дэд ангилал нь нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэл - чөлөөт нэр томъёо агуулаагүй тэгшитгэл: r(x) = 0. Нэг төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд суперпозиция зарчмыг баримтална: ийм тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдүүдийн шугаман хослол нь мөн түүний шийдэл болно. Бусад бүх шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг нэг төрлийн бусдифференциал тэгшитгэл.

Зарим тусгай ангиудыг эс тооцвол ерөнхий тохиолдолд шугаман бус дифференциал тэгшитгэлд шийдлийн арга байхгүй. Зарим тохиолдолд (тодорхойлолтыг ашиглан) тэдгээрийг шугаман болгож багасгаж болно. Жишээлбэл, гармоник осцилляторын шугаман тэгшитгэл Математикийн дүүжингийн шугаман бус тэгшитгэлийн ойролцоо тооцоолол гэж үзэж болно жижиг далайцтай тохиолдолд, хэзээ y≈ нүгэл y.

· - тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл. Шийдэл нь тодорхой шийдлийн хувьд тусад нь заасан анхны нөхцлөөс тодорхойлогддог дурын тогтмолууд бөгөөд функцүүдийн гэр бүл юм. Энэ тэгшитгэл нь 3-ын мөчлөгийн давтамжтай гармоник осцилляторын хөдөлгөөнийг тодорхойлдог.

· Ньютоны хоёрдугаар хуулийг дифференциал тэгшитгэл хэлбэрээр бичиж болно Хаана м- биеийн жин, x- түүний координат, Ф(x, т) - координаттай биед үйлчлэх хүч xцаг хугацааны хувьд т. Үүний шийдэл нь заасан хүчний үйл ажиллагааны дор биеийн замнал юм.

· Бесселийн дифференциал тэгшитгэл нь хувьсах коэффициент бүхий хоёрдугаар эрэмбийн энгийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм: Түүний шийдлүүд нь Бесселийн функцууд юм.

· 1-р эрэмбийн нэгэн төрлийн бус шугаман бус ердийн дифференциал тэгшитгэлийн жишээ:

Дараагийн бүлгийн жишээнд үл мэдэгдэх функц байна ухоёр хувьсагчаас хамаарна xТэгээд тэсвэл xТэгээд y.

· Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн шугаман хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл:

· Нэг хэмжээст долгионы тэгшитгэл - тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн гипербол хэлбэрийн хэсэгчилсэн дериватив дахь нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл, хэрэв - координаттай цэг дэх мөрийн хазайлтыг мөрийн хэлбэлзлийг дүрсэлсэн бол. xцаг хугацааны хувьд т, болон параметр амөрийн шинж чанарыг тохируулна:

· Хоёр хэмжээст орон зай дахь Лапласын тэгшитгэл нь механик, дулаан дамжилтын илтгэлцүүр, электростатик, гидравлик зэрэг физикийн олон асуудалд үүсдэг тогтмол коэффициент бүхий эллипс хэлбэрийн хоёр дахь эрэмбийн нэгэн төрлийн шугаман хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл юм.

· Korteweg-de Vries тэгшитгэл, 3-р эрэмбийн шугаман бус хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл нь солитон зэрэг хөдөлгөөнгүй шугаман бус долгионыг дүрсэлсэн:

20. Салгах боломжтой дифференциал тэгшитгэлүүд. Шугаман тэгшитгэл ба Бернуллигийн арга.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь үл мэдэгдэх функц болон түүний деривативтай харьцуулахад шугаман тэгшитгэл юм. Энэ нь харагдаж байна

Энэ нийтлэлд бид иррационал функцийн хамгийн их (хамгийн бага) цэгүүдийг олох хэд хэдэн жишээг авч үзэх болно. Шийдлийн алгоритмыг өмнөх нийтлэлүүдийн аль нэгэнд ижил төстэй даалгавартай нийтлэлүүдэд олон удаа тайлбарласан болно.

Танд асуулт гарч ирж магадгүй: рационал функц нь иррациональ функцээс юугаараа ялгаатай вэ?Иррационал функцэд, энгийн үгээр хэлбэл, аргумент нь язгуур дор байдаг, эсвэл түүний зэрэг нь бутархай (бутаршгүй бутархай) юм. Өөр нэг асуулт -Тэдний хамгийн их (хамгийн бага) оноог олоход ямар ялгаа байдаг вэ? Юу ч биш.

Хамгийн их (хамгийн бага) оноог тодорхойлох даалгавруудыг шийдвэрлэх зарчим, алгоритм нь ижил байна. Материалыг хялбарчлах, системчлэх үүднээс би үүнийг хэд хэдэн нийтлэлд хуваасан - би рациональ, логарифм, тригонометр болон бусад зүйлийг тусад нь авч үзсэн, сегмент дээрх иррационал функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олох цөөн хэдэн жишээ үлдсэн хэвээр байна. Бид бас тэднийг харах болно.

Аргумент нь зэрэгтэй байхад деривативыг хэрхэн олох талаар дэлгэрэнгүй тайлбарлая.

Томъёо өөрөө:

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бидэнд тодорхой хэмжээгээр аргумент байгаа бөгөөд бид деривативыг олох шаардлагатай бол бид градусын энэ утгыг бичиж, аргументаар үржүүлж, түүний зэрэг нь нэгээр бага байх болно, жишээлбэл:

Хэрэв зэрэг нь бутархай тоо бол бүх зүйл ижил байна:

Дараагийн мөч! Мэдээжийн хэрэг, та үндэс, хүч чадлын шинж чанарыг санаж байх ёстой, тухайлбал:

Жишээлбэл, хэрэв та жишээн дээр илэрхийлэл (эсвэл язгууртай төстэй зүйлийг) харж байгаа бол:

Дараа нь шийдвэрлэхдээ деривативыг тооцоолохын тулд үүнийг x-ийн зэрэглэлээр илэрхийлэх ёстой, энэ нь дараах байдалтай байна.

Та хүснэгтийн бусад дериватив болон ялгах дүрмийг мэдэж байх ёстой!!!

Ялгах дүрэм:

Жишээнүүдийг харцгаая:

77451. y = x 3/2 – 3x + 1 функцийн хамгийн бага цэгийг ол.

Деривативын тэгийг олъё:

Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

x = 4 цэг дээр дериватив тэмдэг нь сөрөгээс эерэг болж өөрчлөгддөг бөгөөд энэ нь хамгийн бага цэг гэсэн үг юм.

Хариулт: 4

77455. Функцийн хамгийн их цэгийг ол

Өгөгдсөн функцийн деривативыг олъё:

Деривативын тэгийг олъё:

Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Функцийн деривативын шинж тэмдгийг тодорхойлж, функцийн үйлдлийг зураг дээр дүрсэлцгээе. Үүнийг хийхийн тулд үүссэн интервалаас дурын утгыг дериватив болгон орлъё: