“Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх” алгебрийн төсөл Гүйцэтгэсэн 10 “Б” ангийн сурагч Казачкова Юлия Удирдагч: математикийн багш Кочакова Н.Н.
Зорилго "Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь" сэдвээр материалыг нэгтгэж, оюутнуудад удахгүй болох шалгалтанд бэлтгэх сануулга бий болгох.
Зорилго: Энэ сэдвээрх материалыг нэгтгэн дүгнэх. Хүлээн авсан мэдээллийг системчлэх. Улсын нэгдсэн шалгалтанд энэ сэдвийг авч үзье.
Хамааралтай байдал Миний сонгосон сэдвийн хамаарал нь "Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх" сэдвийн даалгавруудыг Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварт багтаасан явдал юм.
Тригонометрийн тэгш бус байдал Тэгш бус байдал нь хоёр тоо буюу илэрхийллийг дараах тэмдгүүдийн аль нэгээр нь холбосон хамаарлыг хэлнэ: (илүү их); ≥ (илүү их эсвэл тэнцүү). Тригонометрийн тэгш бус байдал нь тригонометрийн функцуудыг хамарсан тэгш бус байдал юм.
Тригонометрийн тэгш бус байдал Тригонометрийн функц агуулсан тэгш бус байдлын шийдийг дүрмээр бол син x>a, sin x хэлбэрийн хамгийн энгийн тэгш бус байдлын шийдэл болгон бууруулна. a, cos x a, tg x a,ctg x
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм Өгөгдсөн тригонометрийн функцэд харгалзах тэнхлэгт энэ функцийн өгөгдсөн тоон утгыг тэмдэглэ. Нэгж тойргийг огтолж буй тэмдэглэсэн цэгээр шугам зур. Шугаман ба тойргийн огтлолцлын цэгүүдийг хатуу эсвэл хатуу бус тэгш бус байдлын тэмдгийг харгалзан сонгоно. Тэгш бус байдлын шийдүүд байрлах тойргийн нумыг сонго. Дугуй нумын эхлэл ба төгсгөлийн өнцгийн утгыг тодорхойлно. Өгөгдсөн тригонометрийн функцийн үечлэлийг харгалзан тэгш бус байдлын шийдийг бич.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх томьёо sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). синкс a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn ; + πn). tgx a; x (πn ; arctan + πn). ctgx
Үндсэн тригонометрийн тэгш бус байдлын график шийдэл sinx >a
Үндсэн тригонометрийн тэгш бус байдлын график шийдэл sinx Тригонометрийн үндсэн тэгш бус байдлын график шийдэл cosx >a Тригонометрийн үндсэн тэгш бус байдлын график шийдэл cosx Үндсэн тригонометрийн тэгш бус байдлын график шийдэл tgx >a Үндсэн тригонометрийн тэгш бус байдлын график шийдэл tgx Үндсэн тригонометрийн тэгш бус байдлын график шийдэл ctgx >a
ТРИГОНОМЕТРИЙН ТЭГШ БУС БАЙДЛЫГ ШИЙДЭХ АРГА
Хамааралтай байдал. Түүхээс харахад тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт онцгой байр суурь эзэлдэг. Тригонометр бол сургуулийн хичээл, ерөнхийдөө математикийн шинжлэх ухааны хамгийн чухал хэсгүүдийн нэг гэж бид хэлж чадна.
Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал нь ерөнхий боловсролын сургуулийн математикийн хичээлд сургалтын материалын агуулга, суралцах явцад бий болох, шаардлагатай боловсролын болон танин мэдэхүйн үйл ажиллагааны арга барилын хувьд гол байруудын нэгийг эзэлдэг бөгөөд олон тооны асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. онолын болон хэрэглээний шинж чанартай асуудлуудын .
Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь тригонометрийн бүх сургалтын материалтай холбоотой оюутнуудын мэдлэгийг системчлэх урьдчилсан нөхцөлийг бүрдүүлдэг (жишээлбэл, тригонометрийн функцүүдийн шинж чанар, тригонометрийн илэрхийлэлийг хувиргах аргууд гэх мэт) бөгөөд судалж буй материалтай үр дүнтэй холбоо тогтоох боломжийг олгодог. алгебр (тэгшитгэл, тэгшитгэлийн эквивалент, тэгш бус байдал, алгебрийн илэрхийллийн ижил хувиргалт гэх мэт).
Өөрөөр хэлбэл, тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга техникийг авч үзэх нь эдгээр ур чадварыг шинэ агуулгад шилжүүлэх явдал юм.
Онолын ач холбогдол, түүний олон тооны хэрэглээ нь сонгосон сэдвийн хамаарлын нотолгоо юм. Энэ нь эргээд курсын ажлын зорилго, зорилт, судалгааны сэдвийг тодорхойлох боломжийг олгодог.
Судалгааны зорилго: тригонометрийн тэгш бус байдлын боломжит төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх үндсэн ба тусгай аргуудыг нэгтгэн дүгнэх, сургуулийн сурагчдын тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх багц асуудлыг сонгох.
Судалгааны зорилго:
1. Судалгааны сэдвээр байгаа уран зохиолын дүн шинжилгээнд үндэслэн материалыг системчлэх.
2. “Тригонометрийн тэгш бус байдал” сэдвийг нэгтгэхэд шаардлагатай багц даалгавруудыг өг.
Судалгааны объект нь сургуулийн математикийн хичээлийн тригонометрийн тэгш бус байдал юм.
Судалгааны сэдэв: тригонометрийн тэгш бус байдлын төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга.
Онолын ач холбогдол материалыг системчлэх явдал юм.
Практик ач холбогдол: асуудлыг шийдвэрлэхэд онолын мэдлэгийг ашиглах; тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үндсэн нийтлэг аргуудын шинжилгээ.
Судалгааны аргууд : шинжлэх ухааны уран зохиолд дүн шинжилгээ хийх, олж авсан мэдлэгийг нэгтгэх, нэгтгэх, асуудлыг шийдвэрлэхэд дүн шинжилгээ хийх, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх оновчтой аргуудыг хайх.
§1. Тригонометрийн тэгш бус байдлын төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд
1.1. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдал
эсвэл > тэмдгээр холбогдсон хоёр тригонометрийн илэрхийллийг тригонометрийн тэгш бус байдал гэнэ.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гэдэг нь тэгш бус байдлыг хангасан тэгш бус байдалд орсон үл мэдэгдэх утгуудын багцыг олохыг хэлнэ.
Тригонометрийн тэгш бус байдлын үндсэн хэсгийг хамгийн энгийн шийдэл болгон бууруулж шийддэг.
Энэ нь хүчин зүйлчлэл, хувьсагчийг өөрчлөх арга байж болно ( 
, 
гэх мэт), ердийн тэгш бус байдлыг эхлээд шийдэж, дараа нь хэлбэрийн тэгш бус байдал 
гэх мэт, эсвэл бусад аргууд.
Хамгийн энгийн тэгш бус байдлыг хоёр аргаар шийдэж болно: нэгж тойрог ашиглах эсвэл графикаар.
Болъёf(x
- тригонометрийн үндсэн функцүүдийн нэг. Тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд 
түүний шийдлийг нэг хугацаанд олоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл. урт нь функцийн үетэй тэнцүү аль ч сегмент дээре
x
. Тэгвэл анхны тэгш бус байдлын шийдэл бүгд олдоноx
, түүнчлэн функцийн бүхэл тоогоор олдсон утгуудаас ялгаатай утгууд. Энэ тохиолдолд график аргыг ашиглах нь тохиромжтой.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритмын жишээг өгье 
(
) Мөн 
.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм (
).
1. Тооны синусын тодорхойлолтыг томъёолx нэгж тойрог дээр.
3. Ординатын тэнхлэг дээр цэгийг координатаар тэмдэглэнэа .
4. Энэ цэгээр OX тэнхлэгтэй параллель шулуун зурж, огтлолцох цэгүүдийг тойрогоор тэмдэглэнэ.
5. Бүх цэгүүд нь ординатаас бага байх тойргийн нумыг сонгоа .
6. Тойргийн чиглэлийг (цагийн зүүний эсрэг) зааж, интервалын төгсгөлд функцийн үеийг нэмж хариултыг бичнэ үү.2πn
,
.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм .
1. Тооны шүргэгчийн тодорхойлолтыг томъёолx нэгж тойрог дээр.
2. Нэгж тойрог зур.
3. Шүргэгчийн шугамыг зурж, ординат бүхий цэгийг тэмдэглэа .
4. Энэ цэгийг эхтэй холбож, үүссэн сегментийн огтлолцлын цэгийг нэгж тойрогтой тэмдэглэнэ.
5. Бүх цэгүүд нь шүргэгч шулуун дээр ординаттай байхаас бага тойргийн нумыг сонгоа .
6. Гүйлтийн чиглэлийг зааж, функцийн тодорхойлолтын мужийг харгалзан цэг нэмж хариултыг бичнэ үү.πn
,
(оруултын зүүн талд байгаа тоо нь баруун талд байгаа тооноос үргэлж бага байдаг).
Хамгийн энгийн тэгшитгэлийн шийдлийн график тайлбар, тэгш бус байдлыг ерөнхий хэлбэрээр шийдвэрлэх томъёог хавсралтад (Хавсралт 1, 2) үзүүлэв.
Жишээ 1.
Тэгш бус байдлыг шийд 
.
Нэгж тойрог дээр шулуун шугам зур 
, энэ нь тойрогтой А ба В цэгүүдээр огтлолцдог.
Бүх утгаy
интервал дээр NM илүү байна
, AMB нумын бүх цэгүүд энэ тэгш бус байдлыг хангаж байна. Бүх эргэлтийн өнцөгт, том 
, гэхдээ бага 
,
илүү их үнэ цэнийг авах болно
(гэхдээ нэгээс илүүгүй).
Зураг 1
Тиймээс тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал дахь бүх утгууд байх болно 
, өөрөөр хэлбэл 
. Энэ тэгш бус байдлын бүх шийдлийг олж авахын тулд энэ интервалын төгсгөлд нэмэхэд хангалттай 
, Хаана 
, өөрөөр хэлбэл 
,
.
утгууд гэдгийг анхаарна уу 
Тэгээд 
тэгшитгэлийн үндэс юм 
,
тэдгээр. 
;
.
Хариулт: 
, .
1.2. График арга
Практикт тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график арга нь ихэвчлэн ашигтай байдаг. Тэгш бус байдлын жишээг ашиглан аргын мөн чанарыг авч үзье 
:
1. Хэрэв аргумент нь төвөгтэй бол (хэрэвX ), дараа нь үүнийг солино уут .
2. Бид нэг координатын хавтгайд бүтээдэгтоглоом
функцын графикууд 
Тэгээд 
.
3. Бид ийм зүйл олдогграфикуудын огтлолцлын хоёр зэргэлдээ цэг, тэдгээрийн хоорондсинус долгионбайрладагилүү өндөр
шууд . Бид эдгээр цэгүүдийн абсциссуудыг олдог.
4. Аргументийн давхар тэгш бус байдлыг бичт , косинусын үеийг харгалзан (т олдсон абсциссуудын хооронд байх болно).
5. Урвуу орлуулалт хийж (анхны аргумент руу буцах) утгыг илэрхийлX давхар тэгш бус байдлаас бид хариултыг тоон интервал хэлбэрээр бичнэ.
Жишээ 2. Тэгш бус байдлыг шийдэх: .
График аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ функцүүдийн графикийг аль болох нарийвчлалтай байгуулах шаардлагатай. Тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрт шилжүүлье.
Нэг координатын систем дэх функцүүдийн графикийг байгуулъя 
Тэгээд 
(Зураг 2).
Зураг 2
Функцийн графикууд цэг дээр огтлолцдогА
координатуудтай 
; 
. Энэ хооронд 
график цэгүүд 
график цэгүүдийн доор 
. Тэгээд хэзээ функцийн утга ижил байна. Тийм ч учраас цагт 
.
Хариулт: 
.
1.3. Алгебрийн арга
Ихэнх тохиолдолд анхны тригонометрийн тэгш бус байдлыг зөв сонгосон орлуулалтаар алгебрийн (рационал эсвэл иррациональ) тэгш бус байдал болгон бууруулж болно. Энэ арга нь тэгш бус байдлыг хувиргах, орлуулах эсвэл хувьсагчийг орлуулахыг хэлнэ.
Энэ аргыг хэрэглэх тодорхой жишээг авч үзье.
Жишээ 3.
Хамгийн энгийн хэлбэрт оруулах 
.
(Зураг 3)
Зураг 3
, 
.
Хариулт: 
,
Жишээ 4. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх:
ОДЗ: 
, 
.
Томьёог ашиглах: 
, 
Тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрээр бичье. 
.
Эсвэл итгэх 
энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа бид олж авдаг
,
,
.
Сүүлчийн тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдэж, бид дараахь зүйлийг олж авна.
Зураг 4
, тус тус 
. Дараа нь Зураг дээрээс. 4 дагадаг 
, Хаана 
.
Зураг 5
Хариулт: 
, 
.
1.4. Интервалын арга
Интервалын аргыг ашиглан тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх ерөнхий схем:
Тригонометрийн томьёог ашиглах хүчин зүйл.
Функцийн тасалдлын цэг ба тэгийг олж тойрог дээр байрлуул.
Ямар ч цэгийг авTO (гэхдээ өмнө нь олдоогүй) ба бүтээгдэхүүний тэмдгийг олж мэдээрэй. Хэрэв бүтээгдэхүүн эерэг байвал тухайн өнцөгт тохирох туяан дээр нэгж тойргийн гадна цэг тавина. Үгүй бол цэгийг тойрог дотор байрлуулна.
Хэрэв цэг хэд хэдэн удаа тохиолдвол бид үүнийг тэгш үржвэрийн цэг гэж нэрлэдэг бол сондгой олон тооны цэг гэж нэрлэдэг. Дараах байдлаар нуман зурна: цэгээс эхэлнэTO , хэрэв дараагийн цэг нь сондгой үржвэртэй бол нум нь энэ цэг дээр тойрогтой огтлолцдог, харин цэг нь тэгш үржвэртэй бол огтлолцохгүй.
Тойргийн ард байгаа нумууд нь эерэг интервалууд юм; тойрог дотор сөрөг орон зай бий.
Жишээ 5. Тэгш бус байдлыг шийдэх
, 
.
Эхний цувралын оноо: 
.
Хоёр дахь цувралын оноо: 
.
Цэг бүр сондгой олон удаа тохиолддог, өөрөөр хэлбэл бүх цэгүүд сондгой үржвэртэй байдаг.
Бүтээгдэхүүний тэмдгийг эндээс олж мэдье 
: . Нэгж тойрог дээрх бүх цэгүүдийг тэмдэглэе (Зураг 6):
Цагаан будаа. 6
Хариулт: 
, 
; 
, 
; 
, 
.
Жишээ 6 . Тэгш бус байдлыг шийд.
Шийдэл:
Илэрхийллийн тэгүүдийг олцгооё .
Хүлээн авахaeм :
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
Нэгж тойргийн цувааны утгууд дээрX
1
цэгээр дүрслэгдсэн 
. ЦувралX
2
оноо өгдөг 
. ЦувралаасX
3
Бид хоёр оноо авдаг 
. Эцэст нь цувралX
4
цэгүүдийг төлөөлөх болно 
. Эдгээр бүх цэгүүдийг нэгж тойрог дээр зурж, тэдгээрийн үржвэрийг тус бүрийн хажууд хаалтанд оруулъя.
Одоо тоогоо өгье 
тэнцүү байх болно. Тэмдэгт дээр үндэслэн тооцоо хийцгээе.
Тэгэхээр, цэгА
өнцгийг бүрдүүлж буй цацраг дээр сонгогдох ёстой 
цацрагтайӨө,
нэгж тойргийн гадна. (Туслах цацраг гэдгийг анхаарна ууТУХАЙ
А
Үүнийг зураг дээр дүрслэх шаардлагагүй. ЦэгА
ойролцоогоор сонгосон.)
Одоо цэгээсА
бүх тэмдэглэгдсэн цэгүүд рүү дараалан долгионтой тасралтгүй шугам зурна. Мөн цэгүүдэд Манай шугам нэг хэсгээс нөгөө рүү шилждэг: хэрэв энэ нь нэгж тойргийн гадна байсан бол түүний дотор ордог. Зорилгодоо ойртож байна 
, шугам нь дотоод бүс рүү буцаж ирдэг, учир нь энэ цэгийн олон талт тэгш байдаг. Яг л цэг дээр 
(тэгш олон талт) шугамыг гаднах бүс рүү эргүүлэх хэрэгтэй. Тиймээс бид Зураг дээр үзүүлсэн тодорхой зургийг зурсан. 7. Энэ нь нэгжийн тойрог дээр хүссэн хэсгүүдийг тодруулахад тусална. Тэд "+" тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байдаг.
Зураг 7
Эцсийн хариулт:
Анхаарна уу. Хэрэв долгионы шугамыг нэгж тойрог дээр тэмдэглэсэн бүх цэгүүдийг дайруулсны дараа цэг рүү буцаах боломжгүйА , "хууль бус" газар тойргийг гатлахгүйгээр энэ нь шийдэлд алдаа гарсан, тухайлбал сондгой тооны үндэс алга болсон гэсэн үг юм.
Хариулах: .
§2. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх бодлогын багц
Сургуулийн сурагчдын тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх явцад 3 үе шатыг ялгаж салгаж болно.
1. бэлтгэл,
2. энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх;
3. бусад төрлийн тригонометрийн тэгш бус байдлын танилцуулга.
Бэлтгэл үе шатны зорилго нь сургуулийн хүүхдүүдэд тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд тригонометрийн тойрог эсвэл график ашиглах чадварыг хөгжүүлэх шаардлагатай.
Хэлбэрийн энгийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадвар ,
, ,
,
синус ба косинусын функцүүдийн шинж чанарыг ашиглах;
Тоон тойргийн нуман эсвэл функцийн графикийн нумын хувьд давхар тэгш бус байдлыг бий болгох чадвар;
Тригонометрийн илэрхийллийн янз бүрийн хувиргалтыг хийх чадвар.
Сургуулийн сурагчдын тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарын талаархи мэдлэгийг системчлэх явцад энэ үе шатыг хэрэгжүүлэхийг зөвлөж байна. Гол хэрэгсэл нь оюутнуудад санал болгож, багшийн удирдлаган дор эсвэл бие даан гүйцэтгэх даалгавар, түүнчлэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ур чадвар байж болно.
Ийм ажлуудын жишээ энд байна:
1
. Нэгж тойрог дээр цэг тэмдэглэ 
, Хэрэв
.
2.
Цэг нь координатын хавтгайн аль дөрөвний нэгт байрладаг вэ? , Хэрэв 
тэнцүү байна: 
3.
Тригонометрийн тойрог дээрх цэгүүдийг тэмдэглэ , Хэрэв:
4. Илэрхийлэлийг тригонометрийн функц болгон хувиргаIулирал.
A) 
,
б) 
,
V) 
5. MR нумыг өгсөн.М - дундI-р улирал,Р - дундII-р улирал. Хувьсагчийн утгыг хязгаарлахт хувьд: (давхар тэгш бус байдал гаргах) a) нуман MR; б) RM нумууд.
6. Графикийн сонгосон хэсгүүдийн давхар тэгш бус байдлыг бичнэ үү.
Цагаан будаа. 1
7.
Тэгш бус байдлыг шийдэх 
, 
, 
, 
.
8. Илэрхийлэл хөрвүүлэх .
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэж сурах хоёр дахь шатанд бид оюутны үйл ажиллагааг зохион байгуулах арга зүйтэй холбоотой дараах зөвлөмжийг санал болгож болно. Энэ тохиолдолд хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад бий болсон тригонометрийн тойрог эсвэл графиктай ажиллах оюутнуудын одоо байгаа ур чадварт анхаарлаа хандуулах шаардлагатай.
Нэгдүгээрт, жишээлбэл, хэлбэрийн тэгш бус байдал руу шилжих замаар хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэх ерөнхий аргыг олж авах нь зүйтэй эсэхийг өдөөж болно. 
.
Бэлтгэл үе шатанд олж авсан мэдлэг, ур чадвараа ашиглан оюутнууд санал болгож буй тэгш бус байдлыг хэлбэрт оруулна 
, гэхдээ үүссэн тэгш бус байдлын цогц шийдлүүдийг олоход хэцүү байж магадгүй, учир нь Зөвхөн синус функцийн шинж чанарыг ашиглан үүнийг шийдэх боломжгүй юм. Тохиромжтой дүрслэл (тэгшитгэлийг графикаар шийдэх эсвэл нэгж тойрог ашиглан) хийх замаар энэ хүндрэлээс зайлсхийх боломжтой.
Хоёрдугаарт, багш оюутнуудын анхаарлыг даалгаврыг гүйцэтгэх янз бүрийн аргуудад хандуулж, тэгш бус байдлыг графикаар болон тригонометрийн тойрог ашиглан шийдвэрлэх тохиромжтой жишээг өгөх ёстой.
Тэгш бус байдлын дараах шийдлүүдийг авч үзье .
1. Нэгж тойргийг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх эхний хичээлээр бид оюутнуудад тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх үндсэн ур чадварыг алхам алхмаар танилцуулах дэлгэрэнгүй алгоритмыг санал болгох болно.
Алхам 1.Нэгж тойрог зурж ординатын тэнхлэг дээр цэгийг тэмдэглэе 
түүгээр х тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татна. Энэ шугам нь нэгж тойргийг хоёр цэгээр огтолно. Эдгээр цэг бүр нь синус нь тэнцүү тоонуудыг илэрхийлдэг .
Алхам 2.Энэ шулуун шугам нь тойргийг хоёр нуман болгон хуваасан. -аас их синустай тоог дүрсэлсэн тоог сонгоцгооё . Мэдээжийн хэрэг, энэ нум нь зурсан шулуун шугамын дээгүүр байрладаг.
Цагаан будаа. 2
Алхам 3.Тэмдэглэгдсэн нумын төгсгөлүүдийн аль нэгийг сонгоно уу. Нэгж тойргийн энэ цэгээр дүрслэгдсэн тоонуудын аль нэгийг бичье 
.
Алхам 4.Сонгосон нумын хоёр дахь төгсгөлд тохирох тоог сонгохын тулд бид энэ нумын дагуу нэрлэсэн төгсгөлөөс нөгөө рүү "алхдаг". Үүний зэрэгцээ, цагийн зүүний эсрэг хөдөлж байх үед бидний дамжин өнгөрөх тоо нэмэгдэж байгааг санаарай (эсрэг чиглэлд шилжих үед тоо буурах болно). Нэгж тойрог дээр тэмдэглэгдсэн нумын хоёр дахь төгсгөлд дүрслэгдсэн тоог бичье 
.
Тиймээс бид тэгш бус байдлыг харж байна тэгш бус байдал үнэн байх тоонуудыг ханга 
. Бид синусын функцийн ижил үе дээр байрлах тоонуудын тэгш бус байдлыг шийдсэн. Тиймээс тэгш бус байдлын бүх шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно 
Суралцагчдаас зургийг сайтар судалж, тэгш бус байдлын бүх шийдлүүдийн шалтгааныг олж мэдэхийг хүсэх хэрэгтэй хэлбэрээр бичиж болно 
, 
.
Цагаан будаа. 3
Косинусын функцийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ ординатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татдаг болохыг оюутнуудын анхаарлыг татах шаардлагатай.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график арга.
Бид график бүтээдэг 
Тэгээд 
, үүнийг өгсөн 
.
Цагаан будаа. 4
Дараа нь бид тэгшитгэлийг бичнэ 
болон түүний шийдвэр 
, 
, 
, томьёо ашиглан олсон 
, 
, 
.
(Өгөхn
0, 1, 2 утгууд, бид эмхэтгэсэн тэгшитгэлийн гурван язгуурыг олно). Үнэ цэнэ 
графикуудын огтлолцох цэгүүдийн дараалсан гурван абцисса юм Тэгээд . Мэдээжийн хэрэг, үргэлж интервал дээр байдаг 
тэгш бус байдал бий 
, мөн интервал дээр 
- тэгш бус байдал 
. Бид эхний тохиолдлыг сонирхож байгаа бөгөөд дараа нь энэ интервалын төгсгөлд синусын хугацааны үржвэртэй тоог нэмж, тэгш бус байдлын шийдлийг олж авна. хэлбэрээр: 
, .
Цагаан будаа. 5
Дүгнэж хэлье. Тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд , та харгалзах тэгшитгэлийг үүсгэж, шийдвэрлэх хэрэгтэй. Үүссэн томъёоноос үндсийг ол 
Тэгээд 
, тэгш бус байдлын хариултыг дараах хэлбэрээр бичнэ үү. , .
Гуравдугаарт, харгалзах тригонометрийн тэгш бус байдлын язгуурын олонлогийн тухай баримтыг графикаар шийдвэрлэхэд маш тодорхой нотлогддог.
Цагаан будаа. 6
Тэгш бус байдлын шийдэл болох эргэлт нь тригонометрийн функцийн үетэй тэнцүү интервалаар давтагдаж байгааг оюутнуудад харуулах шаардлагатай. Та мөн синус функцийн графикийн ижил төстэй дүрслэлийг авч үзэж болно.
Дөрөвдүгээрт, тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг (ялгааг) үржвэр болгон хувиргах техникийг оюутнуудад шинэчлэх ажлыг хийж, тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд эдгээр аргуудын үүрэг рольд оюутнуудын анхаарлыг хандуулахыг зөвлөж байна.
Ийм ажлыг оюутнууд багшийн санал болгосон даалгаврыг бие даан гүйцэтгэх замаар зохион байгуулж болох бөгөөд үүнд бид дараахь зүйлийг онцолж байна.
Тавдугаарт, оюутнуудаас энгийн тригонометрийн тэгш бус байдал бүрийн шийдлийг график эсвэл тригонометрийн тойрог ашиглан дүрслэн харуулахыг шаардах ёстой. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед холбогдох зураглал нь өгөгдсөн тэгш бус байдлын шийдлийн багцыг бүртгэх маш тохиромжтой хэрэгсэл болдог тул та түүний зохистой байдалд, ялангуяа тойргийг ашиглахад анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.
Дараах схемийн дагуу хамгийн энгийн биш тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудыг оюутнуудад танилцуулахыг зөвлөж байна: тодорхой тригонометрийн тэгшитгэл рүү шилжих, бие даан шилжүүлэхийн тулд холбогдох тригонометрийн тэгшитгэлийн хамтарсан хайлт (багш - оюутнууд); ижил төрлийн бусад тэгш бус байдлын олсон арга.
Тригонометрийн талаархи оюутнуудын мэдлэгийг системчлэхийн тулд бид үүнийг шийдвэрлэх явцад хэрэгжүүлж болох янз бүрийн хувиргалтуудыг шаарддаг ийм тэгш бус байдлыг тусгайлан сонгож, оюутнуудын анхаарлыг тэдгээрийн онцлогт төвлөрүүлэхийг зөвлөж байна.
Ийм бүтээмжтэй тэгш бус байдлын хувьд бид жишээлбэл дараахь зүйлийг санал болгож болно.
Дүгнэж хэлэхэд бид тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх асуудлын багцын жишээг өгье.
1. Тэгш бус байдлыг шийд:
2. Тэгш бус байдлыг шийд: 3. Тэгш бус байдлын бүх шийдийг ол: 4. Тэгш бус байдлын бүх шийдлийг ол:A) 
, нөхцөлийг хангаж байна 
;
б) 
, нөхцөлийг хангаж байна 
.
5. Тэгш бус байдлын бүх шийдлийг ол:
A) ;
б) ;
V) 
;
G) 
;
г) 
.
6. Тэгш бус байдлыг шийд:
A) ;
б) ;
V);
G) 
;
г);
e);
ба) 
.
7. Тэгш бус байдлыг шийд:
A) 
;
б) ;
V);
G) .
8. Тэгш бус байдлыг шийд:
A) ;
б) ;
V);
G) 
;
г) 
;
e);
ба) 
;
h) .
Математикийн ахисан түвшний суралцаж буй оюутнуудад 6, 7-р даалгаврыг, математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай ангийн оюутнуудад 8-р даалгаврыг санал болгохыг зөвлөж байна.
§3. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тусгай аргууд
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тусгай аргууд - өөрөөр хэлбэл зөвхөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох аргууд. Эдгээр аргууд нь тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарыг ашиглах, түүнчлэн янз бүрийн тригонометрийн томьёо, таних тэмдгүүдийг ашиглахад суурилдаг.
3.1. Салбарын арга
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх секторын аргыг авч үзье. Маягтын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх 
, ХаанаП
(
x
)
ТэгээдQ
(
x
)
– рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхтэй адил рационал тригонометрийн функцууд (синус, косинус, тангенс ба котангенсууд нь рациональ байдлаар орно). Рационал тэгш бус байдлыг тоон шулуун дээрх интервалын аргыг ашиглан шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Рационал тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аналог нь тригонометрийн тойрог дахь секторуудын арга юм.синкс
Тэгээдcosx
(
) эсвэл тригонометрийн хагас тойрогtgx
Тэгээдctgx
(
).
Интервалын аргад хэлбэрийн тоо болон хуваагчийн шугаман хүчин зүйл бүрийг 
тооны тэнхлэг дээрх цэгтэй тохирч байна 
, мөн энэ цэгээр дамжин өнгөрөх үед тэмдгийг өөрчилдөг. Салбарын аргад маягтын хүчин зүйл бүр 
, Хаана 
- функцүүдийн нэгсинкс
эсвэлcosx
Тэгээд 
, тригонометрийн тойрогт тохирох хоёр өнцөг байна 
Тэгээд 
, энэ нь тойргийг хоёр секторт хуваадаг. Хажуугаар нь өнгөрөхдөө Тэгээд функц тэмдгийг өөрчилдөг.
Дараахь зүйлийг санаж байх ёстой.
a) Маягтын хүчин зүйлүүд 
Тэгээд 
, Хаана 
, бүх утгын тэмдэгийг хадгална 
. Тоолуур ба хуваагчийн ийм хүчин зүйлийг өөрчлөх замаар устгана (хэрэв 
) ийм татгалзах бүрт тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.
б) Маягтын хүчин зүйлүүд 
Тэгээд 
бас хаядаг. Түүнээс гадна, хэрэв эдгээр нь хуваагчийн хүчин зүйлүүд бол тэгш бус байдлын эквивалент системд хэлбэрийн тэгш бус байдлыг нэмнэ. 
Тэгээд 
. Хэрэв эдгээр нь тоологчийн хүчин зүйлүүд юм бол хязгаарлалтын эквивалент системд тэдгээр нь тэгш бус байдалд тохирно. Тэгээд хатуу анхны тэгш бус байдлын хувьд, мөн тэгш байдал 
Тэгээд 
хатуу бус анхны тэгш бус байдлын хувьд. Үржүүлэгчийг хаях үед 
эсвэл 
тэгш бус байдлын тэмдэг урвуу байна.
Жишээ 1.
Тэгш бус байдлыг шийдэх: a) 
, б) 
.
Бидэнд b) функц байна. Бидэнд байгаа тэгш бус байдлыг шийдэж,
3.2. Төвлөрсөн тойрог арга
Энэ арга нь оновчтой тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх зэрэгцээ тооны тэнхлэгийн аргын аналог юм.
Тэгш бус байдлын системийн жишээг авч үзье.
Жишээ 5.
Энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлын системийг шийд 
Эхлээд бид тэгш бус байдал бүрийг тусад нь шийддэг (Зураг 5). Зургийн баруун дээд буланд бид тригонометрийн тойргийг аль аргументыг авч үзэхийг зааж өгнө.
Зураг 5
Дараа нь бид аргументийн төвлөрсөн тойргийн системийг бий болгодогX . Бид тойрог зурж, эхний тэгш бус байдлын шийдлийн дагуу сүүдэрлэж, дараа нь илүү том радиустай тойрог зурж, хоёр дахь шийдлийн дагуу сүүдэрлэж, дараа нь бид гурав дахь тэгш бус байдлын тойрог ба суурийн тойрог байгуулна. Бид системийн төвөөс нумануудын төгсгөлд туяа татдаг бөгөөд ингэснээр тэдгээр нь бүх тойрогтой огтлолцдог. Бид үндсэн тойрог дээр уусмал үүсгэдэг (Зураг 6).
Зураг 6
Хариулт:
, 
.
Дүгнэлт
Хичээлийн судалгааны бүх зорилго биелсэн. Онолын материалыг системчилсэн: тригонометрийн тэгш бус байдлын үндсэн төрлүүд ба тэдгээрийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг (график, алгебр, интервалын арга, сектор ба төвлөрсөн тойргийн арга) өгсөн болно. Арга тус бүрт тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээг өгсөн. Онолын хэсгийн дараа практик хэсэг байв. Энэ нь тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх олон даалгавруудыг агуулдаг.
Энэхүү курсын ажлыг оюутнууд бие даан ажиллахад ашиглаж болно. Сургуулийн сурагчид энэ сэдвийг эзэмшсэн түвшинг шалгаж, янз бүрийн нарийн төвөгтэй даалгавруудыг гүйцэтгэх дадлага хийх боломжтой.
Энэ асуудлын талаархи холбогдох уран зохиолыг судалсны дараа бид сургуулийн алгебр, анхан шатны шинжилгээний хичээлд тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадвар, ур чадвар маш чухал бөгөөд үүнийг хөгжүүлэх нь математикийн багшаас ихээхэн хүчин чармайлт шаарддаг гэж бид дүгнэж болно.
Иймд энэхүү ажил нь “Тригонометрийн тэгш бус байдал” сэдвээр сурагчдын сургалтыг үр дүнтэй зохион байгуулах боломжийг олгож байгаа тул математикийн багш нарт хэрэг болно.
Судалгааг эцсийн мэргэшлийн ажил болгон өргөжүүлэх замаар үргэлжлүүлж болно.
Ашигласан уран зохиолын жагсаалт
Богомолов, Н.В. Математикийн асуудлын цуглуулга [Текст] / N.V. Богомолов. – М .: тоодог, 2009. – 206 х.
Выгодский, М.Я. Анхан шатны математикийн гарын авлага [Текст] / М.Я. Выгодский. – М .: тоодог, 2006. – 509 х.
Журбенко, Л.Н. Жишээ ба бодлого дахь математик [Текст] / Л.Н. Журбенко. – М.: Инфра-М, 2009. – 373 х.
Иванов, О.А. Сургуулийн сурагчид, оюутнууд, багш нарт зориулсан бага ангийн математик [Текст] / О.А. Иванов. – М.: МЦНМО, 2009. – 384 х.
Карп, А.П. 11-р ангид эцсийн давталт, баталгаажуулалтыг зохион байгуулах алгебрийн талаархи даалгавар, шинжилгээний эхлэл [Текст] / A.P. Carp. – М.: Боловсрол, 2005. – 79 х.
Куланин, Э.Д. Математикийн 3000 уралдааны бодлого [Текст] / Э.Д. Куланин. – М.: Iris-press, 2007. – 624 х.
Лейбсон, К.Л. Математикийн практик даалгаврын цуглуулга [Текст] / K.L. Лейбсон. – М .: тоодог, 2010. – 182 х.
Тохой, V.V. Параметрүүдтэй холбоотой асуудлууд ба тэдгээрийн шийдэл. Тригонометр: тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем. 10-р анги [Текст] / V.V. Тохой. – М.: АРКТИ, 2008. – 64 х.
Манова, А.Н. Математик. Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх экспресс багш: оюутан. гарын авлага [Текст] / A.N. Манова. – Ростов-на-Дону: Финикс, 2012. – 541 х.
Мордкович, А.Г. Алгебр ба математик анализын эхлэл. 10-11 анги. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг [Текст] / A.G. Мордкович. – М.: Iris-press, 2009. – 201 х.
Новиков, А.И. Тригонометрийн функц, тэгшитгэл ба тэгш бус байдал [Текст] / A.I. Новиков. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. – 260 х.
Оганесян, В.А. Ерөнхий боловсролын сургуульд математикийн хичээл заах арга зүй: Ерөнхий арга зүй. Сурах бичиг физикийн оюутнуудад зориулсан гарын авлага - дэвсгэр. хуурамч. ped. Инст. [Текст] / V.A. Оганесян. – М.: Боловсрол, 2006. – 368 х.
Оленик, С.Н. Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. Стандарт бус шийдлийн аргууд [Текст] / С.Н. Оленик. – М.: Факториал хэвлэлийн газар, 1997. – 219 х.
Севрюков, П.Ф. Тригонометр, экспоненциал ба логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдал [Текст] / П.Ф. Севрюков. – М.: Ардын боловсрол, 2008. – 352 х.
Сергеев, I.N. Улсын нэгдсэн шалгалт: Математикийн хариулт, шийдэл бүхий 1000 бодлого. C бүлгийн бүх даалгавар [Текст] / I.N. Сергеев. – М.: Шалгалт, 2012. – 301 х.
Соболев, А.Б. Анхан шатны математик [Текст] / А.Б. Соболев. – Екатеринбург: Улсын дээд мэргэжлийн боловсролын сургалтын байгууллага USTU-UPI, 2005. – 81 х.
Фенко, Л.М. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, функцийг судлах интервалын арга [Текст] / L.M. Фенко. – М .: тоодог, 2005. – 124 х.
Фридман, Л.М. Математик заах аргын онолын үндэс [Текст] / Л.М. Фридман. – М.: “ЛИБРОКОМ” номын өргөө, 2009. – 248 х.
Хавсралт 1
Энгийн тэгш бус байдлын шийдлийн график тайлбар
Цагаан будаа. 1
Цагаан будаа. 2
Зураг 3
Зураг 4
Зураг 5
Зураг 6
Зураг 7
Зураг 8
Хавсралт 2
Энгийн тэгш бус байдлын шийдэл
Тэгш бус байдал нь a › b хэлбэрийн харилцаа бөгөөд a ба b нь дор хаяж нэг хувьсагч агуулсан илэрхийлэл юм. Тэгш бус байдал нь хатуу - ‹, › ба хатуу бус - ≥, ≤ байж болно.
Тригонометрийн тэгш бус байдал нь F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a хэлбэрийн илэрхийлэл бөгөөд F(x) нь нэг буюу хэд хэдэн тригонометрийн функцээр илэрхийлэгдэнэ. .
Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлын жишээ бол: sin x ‹ 1/2. Ийм асуудлыг графикаар шийдэх нь заншилтай бөгөөд үүнд зориулж хоёр аргыг боловсруулсан болно.
Арга 1 - Функцийн график дүрслэх замаар тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх
sin x ‹ 1/2 тэгш бус байдлын нөхцлийг хангах интервалыг олохын тулд та дараах алхмуудыг хийх ёстой.
- Координатын тэнхлэг дээр y = sin x синусоид байгуулна.
- Ижил тэнхлэг дээр тэгш бус байдлын тоон аргументийн графикийг зурж, өөрөөр хэлбэл OY ординатын ½ цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамыг зур.
- Хоёр графикийн огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэ.
- Жишээний шийдэл болох сегментийг сүүдэрлэ.
Илэрхийлэлд хатуу тэмдгүүд байгаа бол огтлолцох цэгүүд нь шийдэл биш юм. Синусоидын хамгийн бага эерэг үе нь 2π тул хариултыг дараах байдлаар бичнэ.
Хэрэв илэрхийллийн шинж тэмдгүүд нь хатуу биш бол уусмалын интервалыг дөрвөлжин хаалтанд оруулах ёстой - . Асуудлын хариултыг мөн дараах тэгш бус байдлаар бичиж болно. 
Арга 2 - Нэгж тойргийг ашиглан тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх
Үүнтэй төстэй асуудлыг тригонометрийн тойрог ашиглан хялбархан шийдэж болно. Хариултыг олох алгоритм нь маш энгийн:
- Эхлээд та нэгж тойрог зурах хэрэгтэй.
- Дараа нь та тойргийн нуман дээрх тэгш бус байдлын баруун талын аргументуудын нумын функцын утгыг тэмдэглэх хэрэгтэй.
- Нумын функцийн утгыг абсцисса тэнхлэг (OX) -тай параллель өнгөрөх шулуун шугамыг зурах шаардлагатай.
- Үүний дараа тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдлийн багц болох тойргийн нумыг сонгох л үлдлээ.
- Хариултыг шаардлагатай хэлбэрээр бичнэ үү.
Син x › 1/2 тэгш бус байдлын жишээн дээр шийдлийн үе шатуудад дүн шинжилгээ хийцгээе. α ба β цэгүүдийг тойрог дээр тэмдэглэсэн - утгууд
α ба β-ээс дээш байрлах нумын цэгүүд нь өгөгдсөн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх интервал юм.
Хэрэв та cos-ийн жишээг шийдэх шаардлагатай бол хариултын нум нь OY биш харин OX тэнхлэгт тэгш хэмтэй байрлана. Та текстийн доорх диаграммд нүгэл ба cos-ийн шийдлийн интервалуудын ялгааг авч үзэж болно.
Тангенс ба котангентын тэгш бус байдлын график шийдэл нь синус ба косинусын аль алинаас нь ялгаатай байх болно. Энэ нь функцүүдийн шинж чанартай холбоотой юм.
Арктангенс ба арккотангенс нь тригонометрийн тойрогтой шүргэгч бөгөөд хоёр функцийн хамгийн бага эерэг үе нь π байна. Хоёрдахь аргыг хурдан бөгөөд зөв ашиглахын тулд нүгэл, cos, tg, ctg утгуудыг аль тэнхлэгт зурсан болохыг санах хэрэгтэй.
Шүргэх шүргэгч нь OY тэнхлэгтэй параллель гүйдэг. Хэрэв бид арктан а-ийн утгыг нэгж тойрог дээр зурвал хоёр дахь шаардлагатай цэг нь диагональ хэсэгт байрлана. Өнцөг
График нь тэдгээрт чиглэдэг боловч хэзээ ч хүрч чаддаггүй тул тэдгээр нь функцийн таслах цэгүүд юм.
Котангентын хувьд шүргэгч нь OX тэнхлэгтэй параллель гүйдэг бөгөөд функц нь π ба 2π цэгүүдэд тасалддаг.
Нарийн төвөгтэй тригонометрийн тэгш бус байдал
Хэрэв тэгш бус байдлын функцийн аргументыг зөвхөн хувьсагчаар биш, харин үл мэдэгдэхийг агуулсан бүхэл илэрхийллээр төлөөлдөг бол бид нарийн төвөгтэй тэгш бус байдлын тухай ярьж байна. Үүнийг шийдвэрлэх үйл явц, журам нь дээр дурдсан аргуудаас арай өөр юм. Дараах тэгш бус байдлын шийдлийг олох хэрэгтэй гэж үзье.
График шийдэл нь дур мэдэн сонгосон x утгуудыг ашиглан ердийн y = sin x синусоид байгуулах явдал юм. Графикийн хяналтын цэгүүдийн координат бүхий хүснэгтийг тооцоолъё.
Үр дүн нь үзэсгэлэнтэй муруй байх ёстой.
Шийдвэр олоход хялбар болгохын тулд нарийн төвөгтэй функцийн аргументыг орлъё
1. Хэрэв аргумент нь төвөгтэй бол (хэрэв X), дараа нь үүнийг солино уу т.
2. Бид нэг координатын хавтгайд бүтээдэг тоглоомфункцын графикууд y=зардалТэгээд у=а.
3. Бид ийм зүйл олдог графикуудын огтлолцлын хоёр зэргэлдээ цэг, тэдгээрийн хооронд байрладаг шулуун шугамаас дээш y=a. Бид эдгээр цэгүүдийн абсциссуудыг олдог.
4. Аргументийн давхар тэгш бус байдлыг бич т, косинусын үеийг харгалзан ( толдсон абсциссуудын хооронд байх болно).
5. Урвуу орлуулалт хийж (анхны аргумент руу буцах) утгыг илэрхийл Xдавхар тэгш бус байдлаас бид хариултыг тоон интервал хэлбэрээр бичнэ.
Жишээ 1.
Дараа нь алгоритмын дагуу бид аргументийн утгыг тодорхойлно т, синусоид байрладаг илүү өндөр шууд. Косинусын функцийн үечилсэн байдлыг харгалзан эдгээр утгыг давхар тэгш бус байдлаар бичээд анхны аргумент руу буцъя. X.
Жишээ 2.
Хэд хэдэн утгыг сонгох т, синусоид нь шулуун шугамаас дээш байдаг.
Бид утгыг давхар тэгш бус байдлын хэлбэрээр бичдэг т,нөхцөлийг хангаж байна. Функцийн хамгийн бага хугацаа гэдгийг бүү мартаарай y=зардалтэнцүү байна 2π. Хувьсагч руу буцах X, давхар тэгш бус байдлын бүх хэсгийг аажмаар хялбарчлах.
Тэгш бус байдал нь хатуу биш байсан тул бид хариултыг хаалттай тоон интервал хэлбэрээр бичдэг.
Жишээ 3.
Бид утгын хүрээг сонирхох болно т, синусоидын цэгүүд шулуун шугамаас дээш байх болно.
Үнэ цэнэ тдавхар тэгш бус байдлын хэлбэрээр бичээд ижил утгыг дахин бичнэ үү 2xболон илэрхийлэх X. Хариултыг тоон интервал хэлбэрээр бичье.
Бас дахин томъёо зардал>a.
Хэрэв зардал>a, (-1≤А≤1), дараа нь - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд томьёо ашигласнаар та шалгалтын тест хийхэд цаг хэмнэх болно.
Тэгээд одоо томъёо
Маягтын тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ UNT эсвэл улсын нэгдсэн шалгалтанд ашиглах ёстой. зардал
Хэрэв зардал , (-1≤А≤1), дараа нь arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.
Энэ өгүүлэлд авч үзсэн тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд энэ томъёог ашигласнаар та ямар ч графикгүйгээр илүү хурдан хариулт авах болно!
Синусын функцийн үечилсэн байдлыг харгалзан бид аргументийн утгуудын хувьд давхар тэгш бус байдлыг бичдэг. т, сүүлчийн тэгш бус байдлыг хангаж байна. Анхны хувьсагч руугаа буцъя. Үүссэн давхар тэгш бус байдлыг хувиргаж, хувьсагчийг илэрхийлье X.Хариултыг интервал хэлбэрээр бичье.
Хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдье:
Хоёрдахь тэгш бус байдлыг шийдэхдээ бид хоёр аргументын синус томъёог ашиглан энэ тэгш бус байдлын зүүн талыг хувиргаж, тэгш бус байдлыг олж авах шаардлагатай болсон. sint≥a.Дараа нь бид алгоритмын дагуу явлаа.
Гурав дахь тэгш бус байдлыг бид шийднэ.
Эрхэм төгсөгчид болон өргөдөл гаргагчид! Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргууд, тухайлбал дээр дурдсан график арга, магадгүй танд мэдэгдэж байгаа нэгж тригонометрийн тойрог (тригонометрийн тойрог) ашиглан шийдвэрлэх арга нь тригонометрийн хэсгийг судлах эхний үе шатанд л хэрэглэгдэх болно гэдгийг санаарай. "Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх." Та эхлээд хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг график эсвэл тойрог ашиглан шийдэж байснаа санаж байгаа байх гэж бодож байна. Гэсэн хэдий ч одоо та тригонометрийн тэгшитгэлийг ингэж шийднэ гэж бодохгүй байх болно. Та тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Томъёоны дагуу зөв. Тиймээс тригонометрийн тэгш бус байдлыг томъёогоор, ялангуяа туршилтын үед шийдэх хэрэгтэй минут бүр үнэ цэнэтэй. Тиймээс энэ хичээлийн гурван тэгш бус байдлыг тохирох томьёог ашиглан шийдээрэй.
Хэрэв sint>a, энд -1≤ а≤1, тэгвэл arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.
Томъёо сур!
Эцэст нь: математик бол тодорхойлолт, дүрэм, томьёо гэдгийг та мэдэх үү?
Мэдээжийн хэрэг та! Хамгийн сониуч нь энэ нийтлэлийг судалж, видеог үзээд "Ямар удаан бөгөөд хэцүү вэ! Ийм тэгш бус байдлыг ямар ч график, тойроггүйгээр шийдэх томьёо байна уу?" Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг байгаа!
Маягтын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд: нүгэл (-1≤А≤1) томъёо хүчинтэй байна:
— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.
Үүнийг хэлэлцсэн жишээн дээр ашигла, та хариултыг илүү хурдан авах болно!
Дүгнэлт: ТОМЪЁОГ СУРЦГАААРАЙ НАЙЗУУД!
1 хуудасны 1 1
Практик хичээлийн үеэр бид "Тригонометр" сэдвийн үндсэн төрлийн даалгавруудыг давтаж, нэмэгдсэн нарийн төвөгтэй асуудлуудад нэмэлт дүн шинжилгээ хийж, янз бүрийн тригонометрийн тэгш бус байдал, тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх жишээг авч үзэх болно.
Энэ хичээл нь B5, B7, C1, C3 төрлийн даалгавруудын аль нэгэнд бэлтгэхэд тусална.
"Тригонометр" сэдвээр бидний үзсэн үндсэн төрлийн даалгавруудыг судалж, стандарт бус хэд хэдэн асуудлыг шийдэж эхэлцгээе.
Даалгавар №1. Өнцгийг радиан ба градус болгон хувиргах: a) ; б) .
a) градусыг радиан болгон хувиргах томъёог ашиглая
Түүнд заасан утгыг орлуулъя.
б) Радианыг градус болгон хувиргах томъёог хэрэглэнэ
Орлуулах ажлыг хийцгээе 
.
Хариулт. A) ; б) .
Даалгавар №2. Тооцоолох: a) ; б) .
a) Өнцөг нь хүснэгтээс хол давсан тул бид синус үеийг хасч багасгах болно. Учир нь Өнцгийг радианаар зааж өгсөн бол бид үеийг .
б) Энэ тохиолдолд нөхцөл байдал ижил байна. Өнцгийг градусаар зааж өгсөн тул шүргэгчийн үеийг .
Үүссэн өнцөг нь тухайн үеийнхээс бага боловч илүү том бөгөөд энэ нь үндсэн хэсэгт хамаарахаа больсон, харин хүснэгтийн өргөтгөсөн хэсгийг илэрхийлнэ гэсэн үг юм. Тригофункцийн утгын өргөтгөсөн хүснэгтийг цээжилж санах ойгоо дахин сургахгүйн тулд шүргэгч үеийг дахин хасъя.
Бид шүргэгч функцийн сондгой байдлыг ашигласан.
Хариулт. a) 1; б) .
Даалгавар №3. Тооцоол 
, Хэрэв .
Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг -д хуваах замаар илэрхийллийг бүхэлд нь шүргэгч болгон бууруулъя. Үүний зэрэгцээ бид үүнээс айж болохгүй, учир нь энэ тохиолдолд шүргэгч утга байхгүй болно.
Даалгавар No4. Илэрхийлэлийг хялбарчлах.
Заасан илэрхийлэлүүдийг багасгах томъёог ашиглан хөрвүүлдэг. Тэдгээрийг градус ашиглан ер бусын байдлаар бичдэг. Эхний илэрхийлэл нь ерөнхийдөө тоог илэрхийлдэг. Бүх тригофункцуудыг нэг нэгээр нь хялбарчилж үзье.
Учир нь , дараа нь функц нь кофункц болж өөрчлөгдөнө, өөрөөр хэлбэл. котангенс руу орох ба өнцөг нь хоёр дахь хэсэгт ордог бөгөөд анхны шүргэгч нь сөрөг тэмдэгтэй байдаг.
Өмнөх илэрхийлэлтэй ижил шалтгааны улмаас функц нь кофункц болж өөрчлөгддөг, өөрөөр хэлбэл. котангенс руу орох ба өнцөг нь анхны шүргэгч эерэг тэмдэгтэй эхний улиралд ордог.
Бүгдийг хялбаршуулсан илэрхийлэл болгон орлъё:
Асуудал №5. Илэрхийлэлийг хялбарчлах.
Давхар өнцгийн тангенсыг тохирох томьёогоор бичиж, илэрхийллийг хялбаршуулъя.
Сүүлийн таних тэмдэг нь косинусыг орлуулах бүх нийтийн томъёоны нэг юм.
Асуудал №6. Тооцоол.
Хамгийн гол нь стандарт алдаа гаргахгүй байх, илэрхийлэл нь -тэй тэнцүү гэсэн хариулт өгөхгүй байх явдал юм. Хажууд нь хоёр хэлбэрийн хүчин зүйл байгаа бол та арктангентын үндсэн шинж чанарыг ашиглах боломжгүй. Үүнээс салахын тулд бид давхар өнцгийн тангенсийн томъёоны дагуу илэрхийлэлийг энгийн аргумент гэж авч үзэх болно.
Одоо бид арктангентын үндсэн шинж чанарыг ашиглаж болно, түүний тоон үр дүнд ямар ч хязгаарлалт байхгүй гэдгийг санаарай.
Асуудал №7. Тэгшитгэлийг шийд.
Тэгтэй тэнцүү бутархай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тоологч нь тэгтэй тэнцүү гэж үргэлж заадаг, харин хуваагч нь тэгтэй тэнцүү биш, учир нь Та тэгээр хувааж болохгүй.
Эхний тэгшитгэл нь тригонометрийн тойрог ашиглан шийдэж болох хамгийн энгийн тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол юм. Энэ шийдлийг өөрөө санаарай. Хоёр дахь тэгш бус байдлыг шүргэгчийн язгуурын ерөнхий томъёог ашиглан хамгийн энгийн тэгшитгэл болгон шийддэг, гэхдээ зөвхөн тэнцүү биш тэмдэгтэй.
Бидний харж байгаагаар язгуурын нэг гэр бүл нь тэгшитгэлийг хангаагүй яг ижил төрлийн язгуурын өөр гэр бүлийг оруулаагүй болно. Тэдгээр. үндэс байхгүй.
Хариулт. Үндэс байхгүй.
Асуудал №8. Тэгшитгэлийг шийд.
Бид нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж, үүнийг хийцгээе гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе.
Тэгшитгэлийг хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх стандарт хэлбэрүүдийн аль нэг болгон бууруулсан. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү, нөгөө нь эсвэл гурав дахь нь гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Үүнийг тэгшитгэлийн багц хэлбэрээр бичье.
Эхний хоёр тэгшитгэл нь хамгийн энгийн тэгшитгэлүүдийн онцгой тохиолдлууд бөгөөд бид ижил төстэй тэгшитгэлүүдтэй олон удаа тулгарсан тул бид тэдгээрийн шийдлийг шууд зааж өгөх болно. Гурав дахь тэгшитгэлийг давхар өнцгийн синусын томъёог ашиглан нэг функц болгон бууруулна.
Сүүлийн тэгшитгэлийг тусад нь шийдье:
Энэ тэгшитгэлд үндэс байхгүй, учир нь синус утга нь хэтэрч болохгүй 
.
Тиймээс, шийдэл нь зөвхөн эхний хоёр гэр бүлийн үндэс бөгөөд тэдгээрийг нэг болгон нэгтгэж болох бөгөөд үүнийг тригонометрийн тойрог дээр харуулахад хялбар байдаг.
 |
Энэ бол бүх хагасын гэр бүл, i.e.
Тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдлийг үргэлжлүүлье. Нэгдүгээрт, бид ерөнхий шийдлийн томъёог ашиглахгүйгээр, харин тригонометрийн тойрог ашиглан жишээг шийдвэрлэх арга барилд дүн шинжилгээ хийх болно.
Асуудал №9. Тэгш бус байдлыг шийдэх.
Тригонометрийн тойрог дээр -тэй тэнцүү синусын утгатай тохирох туслах шугамыг зурж, тэгш бус байдлыг хангах өнцгийн мужийг харуулъя.
 |
Үүссэн өнцгийн интервалыг хэрхэн яаж зааж өгөхийг ойлгох нь маш чухал юм. түүний эхлэл юу вэ, төгсгөл нь юу вэ. Интервалын эхлэл нь бид цагийн зүүний эсрэг хөдөлвөл интервалын хамгийн эхэнд орох цэгтэй тохирох өнцөг байх болно. Манай тохиолдолд энэ нь зүүн талд байгаа цэг юм, учир нь цагийн зүүний эсрэг хөдөлж, зөв цэгийг өнгөрөөхөд бид эсрэгээр шаардлагатай өнцгийн хүрээг үлдээдэг. Тиймээс зөв цэг нь цоорхойн төгсгөлтэй тохирч байх болно.
Одоо бид тэгш бус байдлын шийдлийн интервалын эхлэл ба төгсгөлийн өнцгийг ойлгох хэрэгтэй. Ердийн алдаа бол баруун цэг нь өнцөг, зүүн талтай тохирч байгааг шууд зааж, хариултыг өгөх явдал юм. Энэ үнэн биш! Бид тойргийн дээд хэсэгт харгалзах интервалыг зааж өгсөн боловч доод хэсгийг сонирхож байгаа, өөрөөр хэлбэл бидэнд хэрэгтэй уусмалын интервалын эхлэл ба төгсгөлийг хольсон гэдгийг анхаарна уу.
Интервал баруун цэгийн булангаас эхэлж, зүүн цэгийн булангаар дуусахын тулд эхний заасан өнцөг нь хоёр дахь өнцөгөөс бага байх шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бид зөв цэгийн өнцгийг лавлагааны сөрөг чиглэлд хэмжих шаардлагатай болно, жишээлбэл. цагийн зүүний дагуу ба энэ нь тэнцүү байх болно. Дараа нь түүнээс цагийн зүүний дагуу эерэг чиглэлд хөдөлж эхэлснээр бид зүүн цэгийн дараа баруун цэг рүү хүрч, түүний өнцгийн утгыг авна. Одоо өнцгийн интервалын эхлэл төгсгөлөөс бага байгаа бөгөөд бид үеийг харгалзахгүйгээр шийдлийн интервалыг бичиж болно.
Ийм интервалууд нь бүхэл тооны эргэлтийн дараа хязгааргүй олон удаа давтагдана гэдгийг харгалзан бид синусын үеийг харгалзан ерөнхий шийдлийг олж авна.
Тэгш бус байдал нь хатуу тул бид хаалт хийж, тойрог дээрх интервалын төгсгөлд тохирох цэгүүдийг сонгоно.
Хүлээн авсан хариултаа бидний лекцэнд өгсөн ерөнхий шийдлийн томъёотой харьцуул.
Хариулт. 
.
Энэ арга нь хамгийн энгийн тригон тэгш бус байдлын ерөнхий шийдлүүдийн томъёо хаанаас гарсныг ойлгоход тохиромжтой. Нэмж дурдахад, эдгээр бүх төвөгтэй томъёог сурахаас залхуурдаг хүмүүст ашигтай байдаг. Гэсэн хэдий ч, арга нь өөрөө тийм ч хялбар биш бөгөөд аль арга нь танд хамгийн тохиромжтой болохыг сонгох;
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд та нэгж тойрог ашиглан үзүүлсэн аргатай адил туслах шугамыг барьсан функцүүдийн графикийг ашиглаж болно. Хэрэв та сонирхож байгаа бол шийдлийн энэ аргыг өөрөө олж мэдээрэй. Дараах зүйлд бид энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд ерөнхий томъёог ашиглах болно.
Асуудал №10. Тэгш бус байдлыг шийдэх.
Тэгш бус байдал нь хатуу биш гэдгийг харгалзан ерөнхий шийдлийн томъёог ашиглацгаая.
Манай тохиолдолд бид дараахь зүйлийг авна.
Хариулт. 
Асуудал №11. Тэгш бус байдлыг шийдэх.
Харгалзах хатуу тэгш бус байдлын ерөнхий шийдлийн томъёог ашиглая:
Хариулт. 
.
Асуудал №12. Тэгш бус байдлыг шийдэх: a) ; б) .
Эдгээр тэгш бус байдлын хувьд ерөнхий шийдэл эсвэл тригонометрийн тойргийн томъёог ашиглах гэж яарах шаардлагагүй бөгөөд синус ба косинусын утгын хүрээг санахад хангалттай.
a) Түүнээс хойш 
, тэгвэл тэгш бус байдал нь утгагүй болно. Тиймээс ямар ч шийдэл байхгүй.
б) Учир нь үүнтэй адилаар аливаа аргументийн синус нь тухайн нөхцөлд заасан тэгш бус байдлыг хангадаг. Тиймээс аргументийн бүх бодит утга нь тэгш бус байдлыг хангаж байна.
Хариулт. a) шийдэл байхгүй; б) .
Асуудал 13. Тэгш бус байдлыг шийдэх 
.
