МОСКВА ЭРЧИМ ХҮЧНИЙ ИНСТИТУТ

(техникийн их сургууль)

ЦАХИМ ИНЖЕНЕРИЙН ФАКУЛЬТ

СЭДВИЙН ТУРШЛАГА

TO ИНЕТИК тэгшитгэл Б ОЛЦМАН.

ДУУССАН:

Коркин С.В.

БАГШ

Шеркунов Ю.Б.

Ажлын хоёрдугаар хагас нь нэлээд төвөгтэй математикаар дүүрэн байдаг. Зохиогч ( [имэйлээр хамгаалагдсан], [имэйлээр хамгаалагдсан])энэ курсын ажлыг хамгийн тохиромжтой гэж үздэггүй, энэ нь зөвхөн илүү төгс (болон ойлгомжтой) ажил бичих эхлэлийн цэг болж чадна. Текст нь номын хуулбар биш юм. Дэмжих уран зохиолыг төгсгөлөөс үзнэ үү.

Хичээлийн ажлыг "Маш сайн" гэсэн үнэлгээгээр хүлээн авсан. (Бүтээлийн эцсийн хувилбар нь бага зэрэг алдагдсан. Би эцсийн өмнөх "хувилбар" -ыг ашиглахыг санал болгож байна).

Танилцуулга………………………………………………………………………………3

Тэмдгүүд……………………………………………………………………………… 4

§1 Түгээлтийн функц.

§2 Бөөмийн мөргөлдөөн.

§3 Мөргөлдөх интегралын хэлбэрийг тодорхойлох

Больцманы тэгшитгэл.

§4. Сул нэгэн төрлийн бус хийн кинетик тэгшитгэл.

Хийн дулаан дамжуулалт.

Зарим конвенцууд:

n - бөөмийн концентраци;

d - бөөмс хоорондын дундаж зай;

V нь системийн тодорхой эзлэхүүн;

P нь ямар нэгэн үйл явдлын магадлал;

f - түгээлтийн функц;

Танилцуулга.

Физикийн термодинамик, статистик физик, физик кинетикийн салбарууд нь макроскопийн системд тохиолддог физик процессуудыг судалдаг - олон тооны бичил хэсгүүдээс бүрддэг биетүүд. Системийн төрлөөс хамааран ийм бичил хэсгүүд нь атом, молекул, ион, электрон, фотон эсвэл бусад бөөмс байж болно. Өнөөдөр макроскопийн системийн төлөв байдлыг судлах хоёр үндсэн арга байдаг - термодинамик нь макроскопоор хялбар хэмжигдэх параметрүүд (жишээлбэл, даралт, эзэлхүүн, температур, моль тоо, бодисын концентраци) -аар системийн төлөвийг тодорхойлдог. үнэндээ тухайн бодисын атом-молекулын бүтцийг харгалздаггүй бөгөөд авч үзэж буй системийн атом-молекулын загварт суурилсан статистикийн арга юм. Энэ ажилд термодинамик аргыг авч үзэхгүй. Системийн бөөмсийн зан үйлийн мэдэгдэж буй хуулиудад үндэслэн статистикийн арга нь бүхэл бүтэн макросистемийн зан үйлийн хуулиудыг тогтоох боломжийг олгодог. Шийдэж буй асуудлыг хялбарчлахын тулд статистикийн арга нь бичил бөөмсийн төлөв байдлын талаар хэд хэдэн таамаглал (таамаглал) гаргадаг тул статистикийн аргаар олж авсан үр дүн нь зөвхөн гаргасан таамаглалын хүрээнд хүчинтэй байдаг. Статистикийн арга нь асуудлыг шийдвэрлэх магадлалын аргыг ашигладаг бөгөөд энэ аргыг ашиглахын тулд систем нь хангалттай олон тооны бөөмсийг агуулсан байх ёстой; Статистикийн аргаар шийдсэн асуудлын нэг бол макроскопийн системийн төлөвийн тэгшитгэлийг гаргах явдал юм. Системийн төлөв байдал нь цаг хугацааны явцад тогтмол (тэнцвэрийн систем) эсвэл цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөж болно (тэнцвэрийн бус систем). Физик кинетик нь ийм системд тохиолддог систем, үйл явцын тэнцвэрт бус төлөв байдлыг судалдаг.

Цаг хугацааны явцад хөгжиж буй системийн төлөв байдлын тэгшитгэл нь кинетик тэгшитгэл бөгөөд түүний шийдэл нь системийн төлөвийг ямар ч үед тодорхойлдог. Кинетик тэгшитгэлийг сонирхож байгаа нь тэдгээрийг физикийн янз бүрийн салбарт ашиглах боломжтой байдаг: хийн кинетик онол, астрофизик, плазмын физик, шингэний механикт. Энэ нийтлэлд статистикийн физик, физик кинетикийг үндэслэгчдийн нэг Австрийн физикч Людвиг Больцманн 1872 онд өөрийн нэрээр нэрлэсэн кинетик тэгшитгэлийг судалсан болно.

§1 Түгээлтийн функц.

Больцманы кинетик тэгшитгэлийг гаргахын тулд нэг атомын идеал хийг авч үзье, өөрөөр хэлбэл. цахилгаан саармаг атом эсвэл молекулуудаас бүрдэх нэлээд ховордсон хий. Тохиромжтой хийн хэсгүүдийн хоорондын харилцан үйлчлэлийн цорын ганц төрөл бол молекулуудын мөргөлдөөн бөгөөд энэ нь маш ховор тохиолддог тул молекул бүр бараг бүх цаг үед чөлөөтэй хөдөлдөг. Хийн тоосонцорыг сонгодог гэж үзвэл нэг ширхэгт эзэлхүүн байдаг гэж үзэж болно. Нэгж эзэлхүүн дэх бөөмийн тоо нь концентрац юм. Энэ нь бөөмсийн хооронд дундаж зай байна гэсэн үг (энэ нь молекул хоорондын хүчний үйл ажиллагааны радиустай харьцуулахад нэлээд том байна d). Больцманы тэгшитгэлийг гаргахдаа бид дараах таамаглалыг гаргана.

Хийн хэсгүүд нь ялгагдахгүй (ижил төстэй);

Бөөмүүд зөвхөн хосоороо мөргөлддөг (бид гурав ба түүнээс дээш бөөмсийг нэгэн зэрэг мөргөлдөхийг үл тоомсорлодог);

Мөргөлдөхөөс өмнөхөн бөөмс нь нэг шулуун шугамаар бие бие рүүгээ хөдөлдөг;

Молекулуудын мөргөлдөөн нь шууд төвийн уян харимхай нөлөөлөл юм;

Хийн статистик тодорхойлолтыг магадлалын хуваарилалтын функц (эсвэл магадлалын нягтрал) гүйцэтгэдэг бөгөөд тархалтын функц нь бөөмийн мөргөлдөөний бүсийн дарааллын зайд өөрчлөгддөггүй. Магадлалын нягт нь зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүн x нь жижиг dx интервал дотор утгатай байх магадлалыг дараах байдлаар тодорхойлно. Х-г хязгаарлагдмал интервалд олох магадлалыг интегралчлалаар тодорхойлно.

Хийн молекулуудын тархалтын функцийг тэдгээрийн фазын орон зайд өгсөн болно.

бүх молекулуудын ерөнхий координатын багц юм; - ерөнхий молекулын импульсийн багц. Тус тусад нь

Тэгээд. -ээр тэмдэглэе

молекулын фазын орон зайн эзлэхүүний элемент. Фазын орон зайн өгөгдсөн элементэд (дунджаар) тэнцүү хэсгүүдийн тоо байдаг (жишээ нь, q ба p утгууд нь dq ба dp сонгосон интервалд оршдог молекулуудыг авч үздэг). Хийн молекулуудын тархалтын функцийг дээр дурдсан фазын орон зайд тодорхойлсон боловч үүнийг бөөмийн ерөнхий координат ба моментоос бусад хувьсах хэмжигдэхүүнээр илэрхийлж болно. f функцийн аргументуудыг сонгоцгооё.

Системийн төлөв байдлыг өөрчлөх тэнцвэрт бус үйл явцыг цаг хугацааны явцад авч үзвэл тархалтын функц нь цаг хугацаанаас хамаарна гэж бид мэдээжийн хэрэг хийх ёстой. Энэ хий нь сонгодог гэж үзэхээр тохиролцсон бөөмсийн багц юм.

Сонгодог бөөмийн хөрвүүлэх хөдөлгөөнийг координатаар дүрсэлдэг

бөөмийн хүндийн төв ба хурдны вектор буюу импульсийн вектор (, энд m нь бөөмийн масс). Монатомын хийн хувьд хөрвүүлэх хөдөлгөөн нь бөөмийн хөдөлгөөний цорын ганц төрөл юм; эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо гурван байна. Хэрэв бөөмс нь олон атомт молекул бол орон зай дахь молекулын эргэлт, молекул дахь атомуудын чичиргээтэй холбоотой нэмэлт эрх чөлөөний зэрэг үүсдэг. Квант механикийг хэрэглэх нөхцөл нь бага масс, бөөмсийн өндөр концентраци, түүнчлэн бага температур юм. Бага температурын бүсийг харгалзахгүйгээр бид хийн молекулуудын эргэлтийн хөдөлгөөнийг сонгодог гэж үзэх болно. Аливаа сонгодог эргэлтийн хөдөлгөөнийг юуны түрүүнд биед нөлөөлж буй хүчний эргэлтийн моментоор тодорхойлдог. Эргэлтийн моментийн нөлөөн дор хоёр атомт молекул моментийн вектортой перпендикуляр хавтгайд эргэлдэж эхэлдэг. Түүнчлэн молекулын байрлал нь молекулын тэнхлэгийн эргэлтийн хавтгай дахь эргэлтийн өнцгөөр тодорхойлогддог.

Устөрөгчийн молекулыг (эсвэл өөр ямар ч хоёр атомт молекулыг) T = 300 К-д авч үзье. Тэнцвэр хуваалтын хуулийн дагуу эрх чөлөөний зэрэг (шилжүүлэх, эргэлтийн эсвэл чичиргээ) дунджаар ижил кинетик энергитэй тэнцүү байна.

Би молекулын инерцийн момент, m масс, d молекул дахь атомуудын хоорондох дундаж зай гэж үзье.

Нэг секундын дотор молекул (өөрөөр хэлбэл ойролцоогоор) бүрэн эргэлт хийдэг. Хоёр атомт молекулын тэнхлэгийн эргэлтийн өнцгийн өөрчлөлтийн хурд өндөр бөгөөд эргэлтийн хавтгай дахь молекулын бүх боломжит чиг баримжаа тэнцүү байх болно. Дараа нь бодит физик асуудлуудыг авч үзэхдээ тархалтын функцийг молекулын чиглэлээс хамааралгүй гэж үзэж болно. Тэнцвэр хуваалтын хууль нь олон атомт молекулуудад мөн хүчинтэй бөгөөд энэ нь орон зай дахь хийн молекулуудын чиг баримжаагаас хуваарилах функцийн бие даасан байдлын талаархи таамаглалыг олон атомт хийн хувьд хүчинтэй гэж үзэж болно гэсэн үг юм.

Молекул доторх атомуудын чичиргээний хөдөлгөөнийг бараг үргэлж квантчлан тодорхойлдог бөгөөд квант систем болох молекулын төлөвийг квант параметрээр тодорхойлох ёстой. Хэвийн нөхцөлд (хэт өндөр биш температурт) хийн молекул нь газрын (тэг) чичиргээний түвшинд тохирсон өдөөгддөггүй төлөвт байдаг. Тиймээс ердийн нөхцөлд бодит хий дэх квант нөлөөллийг үл тоомсорлож болно. Иймээс сонгодог идеал хийн тэнцвэргүй төлөвт тархах функц нь зөвхөн цаг хугацаанаас гадна бөөмсийн координатаас хамаарна.

Молекулын координат ба цаг хугацааг эс тооцвол тархалтын функц хамаарах бүх хувьсагчийн багцыг Г тэмдгээр тэмдэглэе. Фазын эзэлхүүний элементэд бид гурван хэмжээст орон зайн энгийн эзэлхүүнийг сонгож, үлдсэн хэсгийг dГ тэмдгээр тэмдэглэнэ. dГ хэмжигдэхүүнүүд нь хоёр дараалсан мөргөлдөөний хоорондох чөлөөт хөдөлгөөний үед аливаа молекулын хувьд тогтмол хэвээр байх хөдөлгөөний интеграл юм. Молекулын чөлөөт хөдөлгөөн нь гадны биет эсвэл талбайн гадны нөлөөлөлгүйгээр явагддаг. Молекулуудын харилцан үйлчлэлийн үр дүнд (мөргөлдөх үед) эсвэл талбайн нөлөөн дор

Эдгээр утгууд өөрчлөгдөж магадгүй юм. Молекулын координатууд бүхэлдээ чөлөөт хөдөлгөөний явцад өөрчлөгддөг.

Хийн хэсгүүдийн орон зайн тархалтын концентраци буюу нягтыг интегралаар илэрхийлж болох ба эзэлхүүний элемент дэх хэсгүүдийн дундаж тоог бүтээгдэхүүнээр тодорхойлно. Эзлэхүүний элементээр бид физикийн хувьд бага хэмжээний эзэлхүүнийг хэлнэ, өөрөөр хэлбэл. асуудалд авч үзсэн хэмжээсүүдтэй харьцуулахад хэмжээс нь бага байдаг орон зайн талбай. Үүний зэрэгцээ жижиг эзэлхүүний хэмжээсүүд нь молекулуудын хэмжээтэй харьцуулахад том хэмжээтэй байдаг. Өгөгдсөн эзэлхүүний элемент дэх молекулын байршлын тухай мэдэгдэл нь молекулын байрлалыг хамгийн сайндаа зөвхөн молекулын хэмжээнээс давсан зайны нарийвчлалтайгаар тодорхойлдог. Сонгодог хоёр бөөмийн координатыг нарийн тодорхойлох нь мөргөлдөхөөс өмнө болон дараа нь, хэрэв мөргөлдөөн гарсан бол тэдгээрийн траекторийг нарийн тодорхойлох боломжтой болгодог. Бөөмүүдийн яг харьцангуй байрлалын тодорхойгүй байдал нь тэдгээрийн мөргөлдөх асуудлыг шийдвэрлэх магадлалын аргыг ашиглах боломжийг олгодог. Сонгодог хийг авч үзэх нь нягтрал гэсэн үг юм

макроскоп хэмжигдэхүүн юм. Макроскоп чанар нь зөвхөн энгийн эзэлхүүн нь хангалттай олон тооны бөөмс агуулсан тохиолдолд л тохиолддог (зөвхөн тухайн процессын явцад энгийн эзэлхүүн дэх хэсгүүдийн тоо бага байх болно); энэ тохиолдолд хийн эзэлдэг бүсийн шугаман хэмжээсүүд нь молекул хоорондын дундаж зайнаас хамаагүй их байх ёстой.

§2 Бөөмийн мөргөлдөөн.

Молекулуудын мөргөлдөөнийг авч үзье, тэдгээрийн зарим нь өгөгдсөн интервалд Γ, бусад нь интервалд байрладаг. Мөргөлдөөний үр дүнд молекулууд интервалд Γ утгыг олж авдаг. Цаашилбал, товчхондоо бид молекулуудын мөргөлдөөн, шилжилтийн талаар ярих болно

Заасан шилжилтийн үед молекул бүрийн мөргөлдөх магадлалын нэгж эзэлхүүн дэх молекулын тоог үржүүлснээр нэгж хугацаанд нэгж эзэлхүүн дэх ийм мөргөлдөөний нийт тоог өгнө. Ийм үйл явдлын магадлал (бид үүнийг тодорхой функцээр илэрхийлдэг) нь нэгж эзэлхүүн дэх молекулуудын тоо, мөргөлдөөний дараах молекул бүрийн утгын интервалтай пропорциональ байна. Тиймээс бид нэгж хугацаанд нэгж эзэлхүүн дэх шилжилтийн мөргөлдөөний тоо хэлбэрийг авна гэж таамаглах болно.

(зураас нь эцсийн төлөвийг заана, анхны төлөвийг үндсэн тэмдэггүйгээр заана). Мөргөлдөх магадлал нь цаг хугацааны тэмдгийн эсрэг заалттай холбоотой механик хуулиас үүдэлтэй чухал шинж чанартай байдаг. Хэрэв бид цагийн тэмдгийг урвуулан олж авсан бүх хэмжигдэхүүний утгыг T дээд үсгээр тэмдэглэвэл тэгш байдал үүснэ.

Цагийн урвуу байдал нь "өмнө" ба "дараа" гэсэн төлөвүүдийг өөрчилдөг бөгөөд энэ нь магадлалын функцийн аргументуудыг дахин цэгцлэх шаардлагатай гэсэн үг юм. Ялангуяа энэ тэгш байдал нь системийн тэнцвэрт байдлын хувьд хүчинтэй, i.e. тэнцвэрт байдалд шилжилтийн мөргөлдөөний тоо нь шилжилтийн мөргөлдөөний тоотой тэнцүү байна гэж маргаж болно (*). Тэнцвэрийн тархалтын функцээр тэмдэглэж бичье

Дифференциалын үржвэр нь цагийг эргүүлэхэд өөрчлөгддөггүй фазын орон зайн элемент юм (тэнцүү байдлын хоёр талын дифференциалыг орхигдуулж болно). Молекулуудын боломжит энерги нь өөрчлөгддөггүй, тиймээс зөвхөн энергиээс хамаардаг тэнцвэрийн (Больцман) хуваарилалтын функц:

(2)

V нь бүхэлдээ хийн хөдөлгөөний макроскоп хурд юм. Хоёр молекул мөргөлдөх үед энерги хадгалагдах хуулийн дагуу. Тиймээс бид бичиж болно (3)

Магадлалын функц нь өөрөө зарчмын хувьд зөвхөн бөөмийн мөргөлдөөний механик асуудлыг шийдэх замаар тодорхойлогдох боломжтой гэдгийг бас тэмдэглэе. Дээрх (1), (2) ба (3) тэгшитгэлийг (1) дахь товчлолын дараа өгнө.

Зөвшөөрөх ёстой (*)

Сүүлийн тэгш байдлыг нэгтгэснээр (цаашид ашиглахын тулд) бид дараах харьцааг олж авна.

§3 Кинетик тэгшитгэлийн гарал үүсэл.

Цагийн хуваарилалтын функцийн деривативыг авч үзье.

Хийн молекулууд гадны орон байхгүй үед хөдөлж байх үед хөдөлгөөний интеграл болох Γ-ийн утга өөрчлөгддөггүй.

Деривативын илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна: (6)

Одоо хий нь молекулуудын хүндийн төвийн координатууд дээр ажилладаг гадаад боломжит талбарт (жишээлбэл, таталцлын талбарт) байг. Талбараас бөөмс дээр үйлчлэх хүчийг F гэж үзье.

Бид тэгш байдлын баруун талыг (6) гэж тэмдэглэнэ. Тэмдэгт нь гэсэн үг

мөргөлдөөний улмаас тархалтын функцийн өөрчлөлтийн хурд, хэмжээ

нь фазын эзэлхүүн дэх молекулуудын тооны мөргөлдөөний улмаас нэгж хугацаанд ногдох өөрчлөлт юм. Фазын орон зайн өгөгдсөн цэг дэх тархалтын функцийн бүрэн өөрчлөлтийг дараах байдлаар бичнэ.

(8)

Хэмжигдэхүүнийг мөргөлдөөний интеграл гэж нэрлэдэг ба (8) хэлбэрийн тэгшитгэлийг кинетик тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Кинетик тэгшитгэл (8) нь мөргөлдөөний интегралын хэлбэрийг тодорхойлсны дараа л жинхэнэ утгыг авна.

§3 Мөргөлдөөний интеграл ба Больцманы тэгшитгэлийн хэлбэрийг тодорхойлох.

Молекулуудын мөргөлдөх үед тархалтын функц хамаарах хэмжигдэхүүнд өөрчлөлт гардаг. Бөөмийн мөргөлдөөн үүссэн эсэхээс үл хамааран системийн төлөв байдлыг ажиглах хугацаа, бөөмсийн координатууд өөрчлөгддөг болохыг харгалзан үзвэл (энэ нь зөвхөн координатын өөрчлөлтийн шинж чанарт нөлөөлдөг) үүнийг баталж болно. мөргөлдөж буй молекулуудын G-ийн утга өөрчлөгддөг. Хангалттай бага интервалыг авч үзвэл, молекулууд мөргөлдөх үед энэ завсарлагаанаас хасагдсан болохыг олж мэдэв. "засварлах" үйлдлүүд явагддаг. Хоёр мөргөлдөж буй молекулууд нь мөргөлдөхөөс өмнөх болон мөргөлдсөний дараах утгуудтай тохирч байх ёстой (товчхондоо бид шилжилтийн тухай ярьж байна).

Дээрх шилжилтийн бүх боломжит утгууд бүхий мөргөлдөөний нийт тоо

Эзлэхүүн дэх нэгж хугацаанд тохиолдох өгөгдсөн үйл явдлын хувьд интегралаар тодорхойлогддог

Үүний зэрэгцээ өөр төрлийн мөргөлдөөн ("ирэлт" гэж нэрлэдэг) тохиолддог бөгөөд үүний үр дүнд мөргөлдөхөөс өмнө өгөгдсөн интервалаас гадуур утгатай байсан молекулууд энэ интервалд ордог. Ийм шилжилтийг дараах байдлаар тодорхойлж болно: (боломжтой бүх утгыг өгөгдсөн). Эхний төрлийн шилжилтийн нэгэн адил эзлэхүүн дэх нэгж хугацаанд ийм мөргөлдөөний нийт тоо дараах байдалтай тэнцүү байна.

Бүх мөргөлдөөний үр дүнд энгийн эзэлхүүн дэх нэгж хугацааны молекулуудын тооны өөрчлөлтийг орхих үйл явц ба ирэх үйл ажиллагааны тоо хоорондын зөрүүгээр тодорхойлно.

(9) , хаана

Мөргөлдөөний интегралыг дараах байдлаар тодорхойлж болно.

(фазын эзэлхүүн dVdГ дахь нэгж хугацааны тоосонцрын тоо өөрчлөгдөх)

(8) ба (9) харьцаанаас бид мөргөлдөөний интегралын хэлбэрийг олж авна

Интегралын 2-р үед интеграци over байна гэдгийг анхаарна уу

зөвхөн функцтэй холбоотой. Үржүүлэгч ба хувьсагчаас хамаардаггүй. (4) харьцааг ашиглан интегралын энэ хэсгийг хувиргаснаар бид мөргөлдөөний интегралын эцсийн хэлбэрийг олж авна.

ба кинетик тэгшитгэл

Үүссэн интеграл-дифференциал тэгшитгэлийг Больцманы тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Гадны нөлөө байхгүй үед системийн тэнцвэрт байдалд цаг хугацаанаас хамааралгүй хуваарилалтыг авч үзье. Энэ хуваарилалт нь хөдөлгөөнгүй (цаг хугацаанаас хамаардаггүй) ба нэгэн төрлийн (системд эзлэгдсэн орон зайн бүсэд өөрчлөгддөггүй). Тогтоосон нөхцөлүүд нь цаг хугацаа болон гурван координатын хувьд түгээлтийн функцийн деривативыг дахин тохируулдаг; кинетик тэгшитгэлийн зүүн тал алга болно. Тэгш тэгш байдлын улмаас интеграл тэг болно (3). Иймээс гадаад талбар байхгүй үед тэнцвэрийн тархалт нь кинетик тэгшитгэлийг адилхан хангадаг. Хэрэв хий нь гадны потенциалын (жишээлбэл, таталцлын) талбайн нөлөөн дор тэнцвэрт байдалд байгаа бол энэ тохиолдолд тархалтын функц нь кинетик тэгшитгэлийг хангана. Үнэн хэрэгтээ тэнцвэрийн тархалтыг хөдөлгөөний интеграл - молекулын нийт энергиээр илэрхийлдэг. Кинетик тэгшитгэлийн зүүн тал нь нийт дериватив бөгөөд зөвхөн хөдөлгөөний интегралаас хамаарах функцийн деривативын хувьд тэгтэй тэнцүү байна. Өмнө дурьдсанчлан тэгшитгэлийн баруун тал нь тэг байна. Тиймээс гадаад потенциалын талбар дахь тэнцвэрт хийн тархалтын функц нь кинетик тэгшитгэлийг хангадаг.

"Танилцуулга" хэсэгт дурдсан таамаглалд бид өөр нэг зүйлийг нэмж оруулах болно: молекулуудын мөргөлдөөнийг сансар огторгуйн нэг "цэгт" тохиолддог агшин зуурын үйлдэл гэж үзнэ. Кинетик тэгшитгэл нь мөргөлдөөний үргэлжлэх хугацаанаас хамаагүй их хугацааны интервалд явагдах процессыг тодорхойлдог. Үүний зэрэгцээ авч үзэж буй системийн бүс нь молекулын хүчний үйлчлэлийн радиусын дарааллаар хэмжигдэхүүнтэй бөөмийн мөргөлдөөний бүсээс ихээхэн давах ёстой d. Мөргөлдөх хугацааг магнитудын дарааллаар (хий дэх молекулуудын хөдөлгөөний дундаж хурд) гэж тодорхойлж болно. Хүлээн авсан утгууд нь кинетик тэгшитгэлийг ашиглаж болох зай, цаг хугацааны доод хязгаарыг илэрхийлдэг. Бодит физик асуудлууд нь үйл явцын ийм нарийвчилсан тайлбарыг шаарддаггүй; Системийн хэмжээ болон ажиглалтын хугацаа нь шаардлагатай доод хэмжээнээс ихээхэн давсан байна.

Хийнд тохиолдох кинетик үзэгдлийг чанарын хувьд авч үзэхийн тулд мөргөлдөөний интегралын дундаж чөлөөт зам ба чөлөөт аяллын хугацаа гэсэн хоёр параметрээр ойролцоогоор тооцооллыг ашиглана. Молекулыг нэгж уртын дагуу хөдөлгөж, нэгж урт ба суурийн талбайн шулуун цилиндрийн эзэлхүүн дэх молекулуудтай мөргөлдөнө (молекулын үр дүнтэй хөндлөн огтлол). Энэ эзлэхүүнд молекулууд байдаг.

- молекулуудын хоорондох дундаж зай;

Үнэ цэнэ нь үнэгүй ажиллах хугацаа юм. Мөргөлдөөний интегралыг ойролцоогоор тооцоолохын тулд та дараахь зүйлийг ашиглаж болно.

Тоолуур дээр бичигдсэн ялгаа нь тэнцвэрийн тархалтын функцийн хувьд мөргөлдөөний интеграл алга болохыг харгалзан үздэг бөгөөд хасах тэмдэг нь мөргөлдөөн нь статистикийн тэнцвэрийг бий болгох механизм болохыг харуулж байна, i.e. Тархалтын функцийн тэнцвэрт байдлаас хазайлтыг багасгахыг хичээх (өөрөөр хэлбэл системийн хамгийн бага дотоод энергид тохирсон тэнцвэрийн төлөвөөс гарч, өөртөө үлдээсэн аливаа систем нь тэнцвэрт байдалд буцаж очих хандлагатай байдаг).

§3 Макроскопийн тэгшитгэлд шилжих. Гидродинамик тасралтгүй байдлын тэгшитгэл.

Больцманы кинетик тэгшитгэл нь хийн төлөв байдлын хувьслын бичил харуурын тайлбарыг өгдөг. Гэвч практик дээр үйл явцыг нарийвчлан тайлбарлах шаардлагагүй байдаг тул гидродинамикийн асуудлууд, нэг төрлийн бус эсвэл маш ховордсон хий дэх процесс үүсэх, дулаан дамжилтын болон хийн тархалтын асуудлууд болон бусад олон асуудлыг авч үзэхэд. , энэ нь бага нарийвчилсан (тиймээс энгийн) макроскоп тэгшитгэл рүү шилжих нь утга учиртай юм. Энэ тодорхойлолт нь хийд дур мэдэн сонгосон чиглэлийн дагуу түүний макроскоп шинж чанар (температур, нягтрал, бөөмийн концентраци, даралт гэх мэт) хангалттай удаан өөрчлөгдөж байвал хийнд хамаарна. Макроскопийн параметрүүдэд мэдэгдэхүйц өөрчлөлт гарах зай нь молекулуудын чөлөөт замаас хамаагүй их байх ёстой.

Жишээлбэл, гидродинамик тэгшитгэлийг олж авах аргыг авч үзье.

Илэрхийлэл нь орон зай дахь хийн молекулуудын тархалтын нягтыг (хийн молекулын концентраци) тодорхойлдог. Нэг молекулын массын (хий нь ижил хэсгүүдээс бүрддэг гэж үздэг) молекулуудын тархалтын нягтын үржвэр нь хийн массын нягтыг өгнө: . Хийн хөдөлгөөний макроскоп хурдыг бүхэлд нь, молекулуудын микроскопийн хурдаар тэмдэглэе. Макроскоп хурдыг (массын төвийн хөдөлгөөний хурд) молекулуудын микроскоп хурдны дундажаар тодорхойлж болно.

Мөргөлдөөн нь мөргөлдөж буй бөөмсийн тоо, тэдгээрийн нийт энерги, импульсийг өөрчилдөггүй (молекулуудын мөргөлдөөнийг туйлын уян харимхай мөргөлдөөн гэж үзнэ). Түгээлтийн функцийн өөрчлөлтийн мөргөлдөөний хэсэг нь түүний эзэлхүүний элемент тус бүрийн хийн нягтрал, дотоод энерги, хурд болон бусад макроскопийн параметрүүдийг өөрчлөхөд хүргэж болохгүй. Үнэн хэрэгтээ хийн нэгж эзэлхүүн дэх молекулын нийт тооны өөрчлөлтийн мөргөлдөөний хэсгийг тэгтэй тэнцүү интегралаар өгнө.

Энэхүү тэгш байдлын үнэн зөвийг дараах байдлаар баталгаажуулъя.

Интеграл нь хувьсагч тус бүр дээр хийгддэг бөгөөд энэ нь интегралыг өөрчлөхгүйгээр хувьсагчдыг дахин тодорхойлох боломжтой гэсэн үг юм, жишээлбэл, хоёр дахь интегралд:

Сүүлийн илэрхийлэл нь мэдээж тэгтэй тэнцүү байх тул тэгш байдал (14) хүчинтэй байна.

Кинетик тэгшитгэлийг бичээд түүний хоёр хэсгийг өмнө нь m бөөмийн массаар үржүүлээд дараах байдлаар нэгтгэж үзье.

Эндээс бид нэн даруй гидродинамик тасралтгүй байдлын тэгшитгэлийг олж авна.

Энэ дифференциал тэгшитгэлд шингэний нягтын өөрчлөлтийг тодорхойлж, шингэнийг шахагдах боломжгүй гэж үзвэл шингэний аль ч цэг дэх хурдны чиглэлийн вектор талбарыг олж авч болно.

§4. Бага зэрэг жигд бус хий. Хийн дулаан дамжуулалт.

Бүх бодит физик процессууд нь зарим эрчим хүчний алдагдалтай (жишээ нь, эрчим хүчний алдагдал үүсдэг - эмх замбараагүй хөдөлгөөний энерги, жишээлбэл, хийн молекулуудын дулааны хөдөлгөөнд захиалгат хөдөлгөөний энерги шилжих). Сул жигд бус хий дэх задралын процессыг (дулаан дамжилтын чанар эсвэл зуурамтгай чанар) авч үзэхийн тулд дараахь ойролцоо тооцооллыг ашиглах шаардлагатай: хийн жижиг хэсэг дэх тархалтын функцийг нэгэн төрлийн хийн нэгэн адил орон нутгийн тэнцвэрт байдалд тооцохгүй байх ёстой. , гэхдээ тэнцвэрт байдлаас нэг хангалттай бага хэмжээгээр (хий нь сул жигд бус учраас) ялгаатай байна. Түгээлтийн функц нь хэлбэрийг авах бөгөөд засвар нь өөрөө маягт дээр бичигдэнэ. Функц нь тодорхой нөхцлийг хангасан байх ёстой. Хэрэв хийн бөөмсийн тоо, энерги, импульсийн нягтыг өгөгдсөн бол

тэдгээр. интегралууд нь тэнцвэрийн функцтэй тохирч байвал тэнцвэргүй функц нь эдгээр хэмжигдэхүүний ижил утгуудад (интегралууд нь давхцах ба давхцах ёстой) хүргэх ёстой бөгөөд энэ нь зөвхөн дараах үед л тохиолддог.

Кинетик тэгшитгэлд (13) мөргөлдөөний интегралыг хувиргая: тархалтын функц ба залруулгын илэрхийллүүдийг орлуулах, тэнцвэрийн тархалтын функцийг агуулсан мөргөлдөөний интегралыг тэглэх, жижиг засвар агуулаагүй гишүүнчлэлийн бууралт. Эхний захиалгын нөхцөлийг өгнө. Шугаман интеграл операторыг тэмдэглэхийн тулд тэмдгийг нэвтрүүлсэн

Температурын градиент бүхий зөвхөн нэг гишүүнийг тэгшитгэлийн зүүн талд дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийг авч үзэхийн тулд сул жигд бус хийн кинетик тэгшитгэлийг (үүсэлтгүйгээр) бичье.

*************************************************

§4. Монатом хийн дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн тооцоо

Хийн дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийг тооцоолохын тулд температурын градиент бүхий дээр бичсэн тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай.

Зөвхөн хэмжигдэхүүнүүдийн вектор функц байя. Дараа нь бид () тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайх болно. Энэ шийдлийг тэгшитгэлд () орлуулахдаа бид хүчин зүйлийг олж авна. Тэгшитгэл () нь температурын градиент векторын бүрэн дурын утгуудын хувьд хүчинтэй бөгөөд тэгш байдлын хоёр талын коэффициентүүд тэнцүү байх ёстой. Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийг олж авна

Тэгшитгэл нь температурын градиент агуулаагүй тул координатаас тодорхой хамааралгүй болно. Функц нь өмнө нь заасан нөхцлийг хангасан байх ёстой (). Эхний хоёр нөхцөл хангагдсан нь ойлгомжтой (тэгшитгэл () нь тогтмол вектор интегралыг чиглүүлэх боломжтой вектор параметрүүдийг агуулаагүй болно.

БА). Гурав дахь интеграл нь g функцийн нэмэлт нөхцөл юм. Хэрэв кинетик тэгшитгэл шийдэгдэж, функц

тодорхойлогдсон бол эрчим хүчний урсгалыг тооцоолох замаар дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийг тодорхойлох боломжтой, эсвэл эрчим хүчний конвектив дамжуулалттай холбоогүй түүний тархалтын хэсгийг (бид энергийн урсгалын энэ хэсгийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ). Хий дэх макроскоп хөдөлгөөн байхгүй тохиолдолд Q нь нийт энергийн урсгал Q-тай давхцдаг бөгөөд үүнийг интегралаар илэрхийлж болно.

Хэрэв систем тэнцвэрт байдалд байгаа бол хийн бүх боломжит чиглэлийн интегралын улмаас энэ интеграл тэгтэй тэнцүү байна. Орлуулах үед () хэвээр байна

Бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд

Тэнцвэрийн хийн орчны изотропийн улмаас түүнд сонгосон чиглэл байхгүй бөгөөд тензорыг зөвхөн нэгж тензороор илэрхийлж болно, өөрөөр хэлбэл. скаляр хүртэл бууруулна

Тиймээс энергийн урсгалыг скаляр дулаан дамжилтын илтгэлцүүрээр илэрхийлнэ

Q урсгалыг температурын градиентийн эсрэг чиглэлд чиглүүлэх ёстой бөгөөд утга нь эерэг байх ёстой бөгөөд энэ нь кинетик тэгшитгэлээр автоматаар өгөгддөг (). Нэг атомт хийн хувьд v хурд нь g функцээс хамаарах цорын ганц вектор юм (полиатомт хийд g нь зөвхөн v хурдаас гадна M эргүүлэх моментээс хамаарна). Нэг атомт хийн хувьд g функц нь дараах хэлбэртэй байна.

.

§5.Кинетик тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Хийн молекулууд нь нэлээд төвөгтэй хуулийн дагуу харилцан үйлчилдэг. Энэ нь бодит полиатомт хийн хувьд ялангуяа үнэн юм. Хийн молекулуудын зан чанарын талаархи таамаглал нь үндэслэлийг хялбарчлах (эсвэл зарчмын хувьд ч боломжтой болгох) боломжийг олгодог боловч биднийг бодит байдлаас тодорхой хэмжээгээр холдуулдаг. Мөргөлдөх интеграл дахь функцийг тодорхойлдог молекулын харилцан үйлчлэлийн нарийн төвөгтэй хуулиуд нь тодорхой хийн Больцманы тэгшитгэлийг яг тодорхой хэлбэрээр бичих боломжийг бидэнд олгодоггүй. Молекулын харилцан үйлчлэлийн мөн чанарыг хялбаршуулсан ч кинетик тэгшитгэлийн математик бүтэц нь нэлээд төвөгтэй хэвээр байгаа бөгөөд түүний шийдлийг аналитик хэлбэрээр олоход хэцүү байдаг. Хийн кинетик онолд Больцманы тэгшитгэлийн ойролцоо шийдлийн тусгай аргыг ашигладаг бөгөөд энэ нь аналитик шийдлийг оролдохоос илүү үр дүнтэй байдаг. Жишээлбэл, нэг атомын хий ба дулаан дамжилтын асуудлыг авч үзье.

тэнцвэрийн тархалтын функц хэлбэрийг авна

() тэгшитгэлийн ойролцоо шийдлийн үр дүнтэй арга нь хүссэн функцийг харилцан ортогональ функцүүдийн бүрэн систем болгон өргөжүүлэхэд суурилдаг. Ийм функцийн хувьд томъёогоор тодорхойлогдсон Сонин олон гишүүнтүүдийг авч үзье.

Энэ томъёонд r нь дур зоргоороо, s нь эерэг бүхэл тоо эсвэл тэг юм. Үнэнийг хэлэхэд

Өгөгдсөн r индекс ба өөр s индексийн эдгээр олон гишүүнтүүдийн ортогональ шинж чанар нь дараах байдалтай байна.

Бид тэгшитгэлийн шийдлийг дараах өргөтгөлийн хэлбэрээр хайж байна

Өргөтгөхдөө s=0-тэй нэр томъёог орхигдуулснаар бид хангасан илэрхийлэл ()-ийг олж авна (өөр өөр s-тэй олон гишүүнтүүдийн ортогональ байдлаас шалтгаалан интеграл нь тэг болно). Зүүн талын хаалтанд байгаа илэрхийлэл ()

Байна. Тэгшитгэл () хэлбэрийг авна

Сүүлийн илэрхийллийн хувьд тэмдэглэгээг оруулав

Импульс хадгалагдах тул l=0 гэсэн тэгшитгэл байхгүй

Дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийг () илэрхийллийг интеграл () болгон орлуулах замаар тооцоолно. () нөхцөлийг харгалзан интеграл (c) -ийг хэлбэрээр илэрхийлж болно

Үүний үр дүнд бид олдог.

Сононы олон гишүүнт өргөтгөлийг ашиглан тоон аргын үр нөлөөг баруун гар талын () болон эцсийн илэрхийлэл () энгийн байдлаар шүүж болно. Уусмалын явцад олж авсан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн хязгааргүй системийг зохиомлоор тайрсны дараа шийддэг.

Дүгнэлт.

Больцманы кинетик тэгшитгэлийг гаргаж авах арга нь физикийн үүднээс авч үзэхэд хангалттай юм. Гэсэн хэдий ч кинетик тэгшитгэлийг хийн хэсгүүдийн хөдөлгөөнийг тодорхойлоход ашигладаг математикийн аппаратаас авч болно. 1946 онд динамик гэж нэрлэгддэг ийм дүгнэлтийг Н.Н.Боголюбов өгсөн. Боголюбовын арга нь Больцманы тэгшитгэлийг олж авахаас гадна түүнд залруулга хийх боломжийг олгодог. бага хийн агууламжийн параметрт дараах тушаалын нөхцөл. Жишээлбэл, дээрх гарал үүсэл нь зөвхөн хоёр молекулын нэгэн зэрэг мөргөлдөхийг харгалзан үзэж, мөргөлдөөн нь нэг цэг дээр үүсдэг гэж үздэг, өөрөөр хэлбэл. нь орон нутгийн шинж чанартай бөгөөд гурав, дөрөв ба түүнээс дээш бөөмсийн бүлгүүдийн мөргөлдөөнийг харгалзан үзэх тодорхой жор байдаггүй. Үүний зэрэгцээ, нягт хийнүүдийг авч үзэхэд ийм мөргөлдөөнийг харгалзан үзэх нь чухал юм. Үүнтэй холбогдуулан кинетик тэгшитгэлийг гаргаж авах, түүний боломжит ерөнхий дүгнэлтэд илүү хатуу хандахыг зөвлөж байна. Боголюбовын арга нь анхааралдаа авах боломжийг бидэнд олгодог

Гарал үүсэлд үүссэн тодорхой залруулгын нэр томъёоны тусламжтайгаар хоёроос дээш бөөмийн мөргөлдөөн, мөргөлдөх "орон нутгийн бус байдал". Залруулгыг үл тоомсорлох нь кинетик тэгшитгэлийг хамгийн энгийн тохиолдолд олж авсан хэлбэрт хүргэдэг.

Лавлагаа.

1. Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский. Физик кинетик. Наука, М., 1979

2. Ю.Б.Румер, М.Ш.Рывкин. Термодинамик, статистик физик, кинетик.

Больцманы тэгшитгэл (Больцманы кинетик тэгшитгэл) нь үүнийг анх авч үзсэн Людвиг Больцманы нэрээр нэрлэгдсэн тэгшитгэл бөгөөд хий эсвэл шингэн дэх бөөмсийн статистик тархалтыг тодорхойлдог. Энэ бол физик кинетикийн хамгийн чухал тэгшитгэлүүдийн нэг юм (термодинамикийн тэнцвэрт байдлаас алслагдсан системийг, жишээлбэл, температурын градиент ба цахилгаан талбайн дэргэдэх системийг тодорхойлдог статистик физикийн салбар). Больцманы тэгшитгэлийг шингэн ба хий дэх дулаан ба цахилгаан цэнэгийн тээвэрлэлтийг судлахад ашигладаг бөгөөд үүнээс цахилгаан дамжуулах чанар, Холл эффект, зуурамтгай чанар, дулаан дамжуулалт зэрэг тээвэрлэлтийн шинж чанаруудыг гаргаж авдаг. Энэ тэгшитгэл нь бөөмс хоорондын харилцан үйлчлэлийн хугацаа богино байдаг (молекулын эмх замбараагүй байдлын таамаглал) ховордсон системд хамаарна.

Томъёо

Больцманы тэгшитгэл нь цаг хугацааны хувьслыг тодорхойлдог ( т) нягтын хуваарилалтын функцууд е(x, х, т) нэг бөөмс фазын орон зайд, хаана xТэгээд х- координат ба импульс тус тус. хуваарилалтыг ингэж тодорхойлсон

фазын эзэлхүүн дэх хэсгүүдийн тоотой пропорциональ d³x d³pцаг хугацааны хувьд т. Больцманы тэгшитгэл

c o l l . (\displaystyle (\frac (\хэсэг f)(\хэсэг t))+(\frac (\хэсэг f)(\хэсэг \mathbf (x) ))\cdot (\frac (\mathbf (p) )(m ) ))+(\frac (\partial f)(\partial \mathbf (p) ))\cdot \mathbf (F) =\зүүн.(\frac (df)(dt))\right|_(\mathrm ( coll)))(x, тЭнд Ф) нь шингэн эсвэл хийн хэсгүүдэд үйлчлэх хүчний орон ба (\displaystyle (\frac (\хэсэг f)(\хэсэг t))+(\frac (\хэсэг f)(\хэсэг \mathbf (x) ))\cdot (\frac (\mathbf (p) )(m ) ))+(\frac (\partial f)(\partial \mathbf (p) ))\cdot \mathbf (F) =\зүүн.(\frac (df)(dt))\right|_(\mathrm ( coll)))(x, тм - бөөмийн масс. Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа нэр томъёог бөөмсийн хоорондох мөргөлдөөнийг тооцохын тулд нэмсэн бөгөөд үүнийг мөргөлдөөний интеграл гэж нэрлэдэг. Хэрэв тэг байвал бөөмс огт мөргөлдөхгүй. Энэ тохиолдлыг ихэвчлэн нэг бөөмсийн Лиувилийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хэрэв хүчний талбар) хуваарилалтын функцээс хамааран тохирох өөртөө нийцсэн талбараар солино

, дараа нь бид бие даасан талбарт цэнэглэгдсэн плазмын хэсгүүдийн динамикийг дүрсэлсэн Власовын тэгшитгэлийг олж авна. Больцманы сонгодог тэгшитгэлийг плазмын физик, түүнчлэн хагас дамжуулагч ба металлын физикт (кинетик үзэгдлүүд, өөрөөр хэлбэл электрон шингэн дэх цэнэг, дулаан дамжуулалтыг тодорхойлох) ашигладаг.

L ^ G R = ∑ α p α ∂ ∂ x α − ∑ α β γ Γ β γ α p β p γ ∂ ∂ p α , (\displaystyle (\hat (\mathbf (L) ))_(\mathrm (GR) ) )=\нийлбэр _(\альфа )п^(\альфа )(\frac (\хэсэг )(\хэсэг x^(\альфа )))-\нийлбэр _(\альфа \бета \гамма )\Гамма _( \бета \гамма )^(\альфа )п^(\бета )п^(\гамма )(\frac (\хэсэг )(\хэсэг p^(\альфа ))),) Мөргөлдөөний интегралБөөмүүдийн хоорондох мөргөлдөөн нь тэдний хурдыг өөрчлөхөд хүргэдэг. Хэрэв W (v , v ′) d 3 v ′ d t (\displaystyle W(\mathbf (v) ,\mathbf (v) ^(\prime ))d^(3)v^(\prime )dt)хурдтай төлөвөөс бөөмс сарних магадлалыг тодорхойлдог v (\displaystyle \mathbf (v))хурдтай төлөвт

c o l l = ∫ v ′ [ f (t , r , v ′) W (v ′ , v) − f (t , r , v) W (v , v ′) ] d 3 v ′ (\displaystyle \left.( \frac (\partial f)(\partial t))\right|_(coll)=\int _(\mathbf (v) ^(\prime ))d^(3)v^(\prime ))

Бөөмийн статистикийн квант шинж чанарын хувьд энэ илэрхийлэл нь ижил квант тоотой төлөвт хоёр бөөмс байх боломжгүй тул төвөгтэй байдаг тул эзлэгдсэн төлөвт тархах боломжгүйг харгалзан үзэх шаардлагатай.

Амрах цаг ойртож байна

f = f 0 + f 1 (\displaystyle f=f_(0)+f_(1)) Хаана f 0 (v) (\displaystyle f_(0)(\mathbf (v))) - тэнцвэрийн тархалтын функц нь зөвхөн бөөмийн хурдаас хамаардаг ба термодинамикаас мэдэгддэг. f 1 (\displaystyle f_(1))

- бага зэрэг хазайлт.

Хийн статистик тодорхойлолтыг фазын орон зайд хийн молекулуудын тархалтын функцээр гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь молекулын ерөнхий координатын олонлог, координатад тохирсон ерөнхий импульсийн багц, цаг хугацаа (тархалтын функцээс хамаарна) суурин бус төлөвт цаг тухайд нь). Ихэнх тохиолдолд Г тэмдэг нь молекулын координат ба цаг хугацааг эс тооцвол тархалтын функц хамаарах бүх хувьсагчийн багцыг илэрхийлдэг. Хэмжигдэхүүнүүд нь чухал шинж чанартай байдаг: эдгээр нь молекул бүрийн чөлөөт хөдөлгөөний үед тогтмол хэвээр байх хөдөлгөөн юм.

Тиймээс, нэг атомт хийн хувьд хэмжигдэхүүн нь атомын гурван бүрэлдэхүүн хэсэг юм. Хоёр атомт молекулын хувьд үүнд импульс ба момент орно.

Үндсэн кинетик тэгшитгэл

Хийн кинетик онолын үндсэн тэгшитгэл (эсвэл кинетик тэгшитгэл) нь тархалтын функцийг тодорхойлсон тэгшитгэл юм.

мөргөлдөөний интеграл хаана байна, (1) тэгшитгэлийг кинетик тэгшитгэл гэнэ. Тэмдэглэгээ нь молекулуудын мөргөлдөөний улмаас тархалтын функцийн өөрчлөлтийн хурдыг хэлнэ. Кинетик тэгшитгэл нь мөргөлдөөний интеграл тогтоогдсоны дараа л жинхэнэ утгыг олж авдаг. Дараа нь кинетик тэгшитгэл (2) хэлбэрийг авна. Энэхүү интегро-дифференциал тэгшитгэлийг Больцманы тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

(2) тэгшитгэлийн баруун тал гэж юу болохыг тайлбарлах шаардлагатай.

Хоёр молекул мөргөлдөхөд тэдгээрийн утга өөрчлөгддөг. Иймд молекулд тохиолдсон мөргөлдөөн бүр түүнийг өгөгдсөн интервалаас гаргаж авдаг d. Шилжилттэй мөргөлдөөний нийт тоо dV эзэлхүүн дэх нэгж хугацаанд тохиолдох өгөгдсөн G-ийн бүх боломжит утгууд нь интегралтай тэнцүү байна.

(гадагш бөөмс)

Зарим молекулууд мөргөлдөөний улмаас dG интервалд ордог (шилжилттэй мөргөлдөх ). Ийм мөргөлдөөний нийт тоо (нэгж цаг тутамд dV эзэлхүүн) дараахтай тэнцүү байна.

(орж буй бөөмс).

Хэрэв бид ирэх үйлдлүүдийн тооноос гарах үйлдлийн тоог хасвал бүх мөргөлдөөний үр дүнд тухайн молекулуудын тоо 1c-ээр нэмэгдэх нь тодорхой болно.

Хийн кинетик үзэгдлийг чанарын хувьд авч үзэхийн тулд мөргөлдөөний интегралын бүдүүлэг тооцоог дундаж чөлөөт замын l (хоёр дараалсан мөргөлдөөний хооронд молекулын туулсан тодорхой дундаж зай) гэсэн ойлголтыг ашиглана. Энэ харьцааг чөлөөт ажиллах хугацаа гэж нэрлэдэг. Мөргөлдөөний интегралыг ойролцоогоор тооцоолохын тулд дараахь зүйлийг авна.

Тоолуурын (3) ялгаа нь тэнцвэрийн тархалтын функцийн хувьд мөргөлдөөний интеграл 0 болж хувирдагийг харгалзан үздэг. Хасах тэмдэг нь мөргөлдөөн нь статистикийн тэнцвэрийг бий болгох механизм гэдгийг илэрхийлдэг.

Больцманы кинетик тэгшитгэл

Больцманы кинетик тэгшитгэл нь жижиг хийн төлөв байдлын хувьслын бичил харуурын тайлбарыг өгдөг. Кинетик тэгшитгэл нь цаг хугацааны хувьд нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бөгөөд энэ нь тархалтын функцтэй зарим анхны тэнцвэргүй төлөвөөс хамгийн их магадлалтай тархалтын функцтэй эцсийн тэнцвэрт төлөв рүү эргэлт буцалтгүй шилжилтийг тодорхойлдог.

Кинетик тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь математикийн үүднээс маш хэцүү байдаг. Үүнийг шийдвэрлэхэд тулгарч буй бэрхшээл нь долоон скаляр хувьсагчаас хамаарах функцын олон хэмжээст байдал, тэгшитгэлийн баруун талын нийлмэл хэлбэрээс шалтгаална.

Хэрэв тархалтын функц нь зөвхөн x координат ба хурдны бүрэлдэхүүнээс хамаарах бол Больцманы кинетик тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна.

мөргөлдөхөөс өмнөх ба дараах молекулуудын тархалтын функцүүд хаана ба байна; - молекулуудын хурд; нь молекулуудын харилцан үйлчлэлээс хамааран хатуу өнцгийн dW-д ногдох дифференциал үр дүнтэй тархалтын хөндлөн огтлол юм. - мөргөлдөөний үр дүнд түгээлтийн функцийг өөрчлөх. - бөөмийн тооны нягтын өөрчлөлт. нь бөөмс дээр үйлчлэх хүч юм.

Хэрэв хий нь ижил төрлийн бөөмсөөс бүрдэх бол кинетик тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

f = f 0 + f 1 (\displaystyle f=f_(0)+f_(1)) - цэгийн ойролцоох фазын эзэлхүүний элемент дэх хэсгүүдийн дундаж тоо ( - цэгийн ойролцоох бөөмсийн нягтын өөрчлөлт ( нэгж цаг тутамд t үед).

Больцманы тэгшитгэл нь дараах тохиолдолд хүчинтэй байна.

Хэрэв систем статистикийн тэнцвэрт байдалд байгаа бол мөргөлдөөний интеграл алга болж, Больцманы тэгшитгэлийн шийдэл нь тархалт болно. Больцманы тэгшитгэлийг зохих нөхцлөөр шийдэх нь кинетик коэффициентийг тооцоолж, янз бүрийн тээвэрлэлтийн процессуудын ( , зуурамтгай чанар, ) макроскопийн тэгшитгэлийг олж авах боломжийг олгодог. Дэлхийн таталцлын талбарт Больцманы тэгшитгэлийн шийдэл нь сайн мэддэг барометрийн томъёо юм.

Больцманы тэгшитгэлийн шийдэлд үндэслэн хийн макроскопийн төлөв байдал, зуурамтгай чанар, дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн тооцоог тайлбарлав.

Кинематик тэгшитгэл нь ховордсон хийн динамикийн үндсэн тэгшитгэл бөгөөд нислэгийн өндөрт нисэх онгоцны аэродинамикийн тооцоололд ашиглагддаг.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

ЖИШЭЭ 1

Одоо бид хийн кинетик онолын үндсэн тэгшитгэл болох тархалтын функцийг тодорхойлдог тэгшитгэлийн гарал үүслийг авч үзье.

Хэрэв молекулуудын мөргөлдөөнийг бүхэлд нь үл тоомсорлож чадвал хийн молекул бүр нь хаалттай дэд системийг төлөөлөх бөгөөд Лиувиллийн теорем нь молекулуудын тархалтын функцэд хүчинтэй байх болно.

(V, § 3-ыг үзнэ үү). Энд нийт дериватив гэдэг нь молекулын хөдөлгөөний тэгшитгэлээр тодорхойлогддог фазын траекторийн дагуу ялгахыг хэлнэ. Лиувиллийн теорем нь фазын орон зай дахь нягтрал (жишээ нь, ерөнхий координат ба моментийн каноник коньюгат хувьсагчдын орон зайд) гэж яг тодорхойлогдсон тархалтын функцэд хамаарна гэдгийг санаарай.

Энэ нөхцөл байдал саад болохгүй. Мэдээжийн хэрэг, f функц өөрөө өөр ямар ч хувьсагчаар илэрхийлэгдэж болно.

Гадаад орон байхгүй үед чөлөөтэй хөдөлж буй молекулын Γ хэмжигдэхүүнүүд тогтмол хэвээр байх ба зөвхөн координатууд нь өөрчлөгддөг; нэгэн зэрэг

Хэрэв хий нь жишээлбэл, молекулын инерцийн төвийн координат дээр ажилладаг гадаад талбарт байгаа бол (жишээлбэл, таталцлын талбарт)

талбараас молекул дээр үйлчлэх хүч хаана байна.

Мөргөлдөөнийг харгалзан үзэх нь тэгш байдлыг зөрчсөн (3.1); тархалтын функц нь фазын траекторийн дагуу тогтмол байхаа болино. (3.1)-ийн оронд бид бичих ёстой

Энд тэмдэг нь мөргөлдөөний улмаас тархалтын функцийн өөрчлөлтийн хурдыг илэрхийлнэ: фазын эзэлхүүн дэх молекулуудын тоо мөргөлдсөний улмаас нэгж хугацаанд өөрчлөлт гарч байна Маягтаар бичнэ.

тэгшитгэл (3.4) ((3.2)-аас) фазын орон зайн өгөгдсөн цэг дэх тархалтын функцийн нийт өөрчлөлтийг тодорхойлно; Энэ нэр томъёо нь тэдгээрийн чөлөөт хөдөлгөөнтэй холбоотой фазын орон зайн өгөгдсөн элемент дэх молекулуудын тоо буурах (1 секундэд) юм.

Хэмжигдэхүүнийг мөргөлдөөний интеграл гэж нэрлэдэг ба (3.4) хэлбэрийн тэгшитгэлийг ерөнхийд нь кинетик тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Мэдээжийн хэрэг, кинетик тэгшитгэл нь мөргөлдөөний интегралын хэлбэрийг тогтоосны дараа л жинхэнэ утгыг олж авдаг. Одоо бид энэ асуудалд хандах болно.

Хоёр молекул мөргөлдөх үед тэдгээрийн утгуудын утгууд Γ өөрчлөгддөг. Иймд молекулын тулгарсан мөргөлдөөн бүрийг өгөгдсөн интервалаас гаргаж авдаг.

Бүх боломжит утгууд бүхий шилжилттэй мөргөлдөөний нийт тоо; dV эзэлхүүн дэх нэгж хугацаанд тохиолдох өгөгдсөн Γ нь интегралтай тэнцүү байна

Гэсэн хэдий ч ийм мөргөлдөөн ("ирэлт") бас тохиолддог бөгөөд үүний үр дүнд өгөгдсөн интервалаас гадуур байрлах Γ утгын утгатай байсан молекулууд энэ интервалд ордог. Эдгээр нь өгөгдсөн G-ийн хувьд дахин шилжилттэй мөргөлдөөн юм. Ийм мөргөлдөөний нийт тоо (нэгж хугацаанд dV эзэлхүүнээр) тэнцүү байна.

Ирсэн үйлдлүүдийн тооноос гарах үйлдлүүдийн тоог хасвал бүх мөргөлдөөний үр дүнд тухайн молекулуудын тоо 1 секундээр нэмэгддэг болохыг бид олж мэднэ.

товчилбол хаана гэж тэмдэглэв

Тиймээс бид мөргөлдөөний интегралын дараах илэрхийллийг олно.

Интеграл дахь хоёр дахь гишүүнд интеграл нь зөвхөн w функцэд хамаарах бөгөөд хүчин зүйлүүд нь эдгээр хувьсагчаас хамаардаггүй. Тиймээс интегралын энэ хэсгийг нэгдмэл байдлын хамаарлыг (2.9) ашиглан өөрчилж болно. Үүний үр дүнд мөргөлдөөний интеграл хэлбэрийг авна

Үүнд хоёр гишүүн ижил коэффициентээр ордог.

Мөргөлдөөний интегралын хэлбэрийг тогтоосны дараа бид кинетик тэгшитгэлийг бичих боломжтой болсон.

Энэхүү интегро-дифференциал тэгшитгэлийг Больцманы тэгшитгэл гэж бас нэрлэдэг. Үүнийг кинетик онолыг үндэслэгч Людвиг Больцман 1872 онд анх үүсгэн байгуулжээ.

Тэнцвэрийн статистик тархалт нь кинетик тэгшитгэлийг адилхан хангах ёстой. Энэ нөхцөл үнэхээр хангагдсан. Тэнцвэрийн хуваарилалт нь хөдөлгөөнгүй, (гадаад талбар байхгүй тохиолдолд) нэгэн төрлийн; тиймээс (3.8) тэгшитгэлийн зүүн тал ижилхэн алга болно. Мөргөлдөөний интеграл нь тэгтэй тэнцүү байна: тэгш байдлын (2.5) дагуу интеграл нь тэг болно. Мэдээжийн хэрэг, гадаад орон дахь хийн тэнцвэрт хуваарилалт нь кинетик тэгшитгэлийг хангадаг. Кинетик тэгшитгэлийн зүүн тал нь зөвхөн хөдөлгөөний интегралаас хамаарч ямар ч функцийн хувьд ижилхэн алга болдог df/dt нийт дериватив гэдгийг санахад хангалттай; тэнцвэрийн тархалтыг зөвхөн хөдөлгөөний интеграл буюу молекулын нийт энергиээр илэрхийлнэ.

Үзүүлсэн кинетик тэгшитгэлийг гаргахдаа молекулуудын мөргөлдөөнийг үндсэндээ огторгуйн нэг цэгт болж буй агшин зуурын үйл явдлууд гэж үзсэн. Иймээс кинетик тэгшитгэл нь зарчмын хувьд мөргөлдөөний үргэлжлэх хугацаатай харьцуулахад их цаг хугацааны интервалд, мөргөлдөх бүсийн хэмжээтэй харьцуулахад их зайд тархалтын функцийн өөрчлөлтийг хянах боломжийг олгодог нь тодорхой байна. . Сүүлийнх нь молекулын хүчний үйлчлэлийн радиусын дарааллаар d (тэдгээрийн хэмжээтэй давхцаж буй төвийг сахисан молекулуудын хувьд); мөргөлдөх хугацаа нь магнитудын зэрэгтэй байна. Эдгээр утгууд нь зай ба үргэлжлэх хугацааны доод хязгаарыг тогтоодог бөгөөд үүнийг кинетик тэгшитгэлээр авч үзэхийг зөвшөөрдөг (бид эдгээр хязгаарлалтын гарал үүслийг § 16-д буцаана). Гэвч үнэн хэрэгтээ системийн зан үйлийн талаар ийм нарийвчилсан тайлбар хийх шаардлагагүй (эсвэл бүр боломж ч) байдаггүй; Энэ нь ялангуяа анхны нөхцөлийг (хийн молекулуудын орон зайн хуваарилалт) ижил нарийвчлалтайгаар тодорхойлох шаардлагатай бөгөөд энэ нь бараг боломжгүй юм. Бодит физикийн асуултуудад асуудлын нөхцлөөс (хийн макроскопийн хэмжигдэхүүний градиентийн шинж чанарын урт, түүн дотор тархах дууны долгионы урт ба хугацаа гэх мэт) системд ногдуулсан L урт ба T хугацааны онцлог шинж чанарууд байдаг. ). Ийм асуудалд зөвхөн эдгээр L ба T-тай харьцуулахад бага зай, цаг хугацааны системийн үйл ажиллагааг хянах нь хангалттай юм. Өөрөөр хэлбэл, хэмжээ ба цаг хугацааны физикийн хувьд хязгааргүй жижиг элементүүд нь зөвхөн L болон L-тэй харьцуулахад бага байх ёстой. Т. Асуудлын эхний нөхцлүүдийг мөн ийм элементүүдийн дундажаар тодорхойлсон болно.

Монатомт хийн хувьд Γ хэмжигдэхүүнүүдийг атомын импульсийн гурван бүрэлдэхүүн хэсэг болгон бууруулж, (2.8)-ын дагуу мөргөлдөөний интеграл дахь w функцийг функцээр сольж болно.

Дараа нь (2.2)-ын дагуу энэ функцийг дифференциал мөргөлдөөний хөндлөн огтлолоор илэрхийлсний дараа бид олж авна

(2.2)-ын дагуу тодорхойлсон түүний функц ба хөндлөн огтлол нь импульс ба энерги хадгалагдах хуулиудыг илэрхийлдэг функциональ хүчин зүйлийг агуулдаг бөгөөд үүнээс болж хувьсагч (өгөгдсөн хувьд) нь үнэндээ бие даасан биш юм. Гэхдээ мөргөлдөөний интегралыг (3.9) хэлбэрээр илэрхийлсний дараа эдгээр функцуудыг харгалзах интегралууд аль хэдийн арилгасан гэж үзэж болно; дараа нь (өгөгдсөн ir-ийн хувьд) зөвхөн тархалтын өнцгөөс хамаарч ердийн тархалтын хөндлөн огтлол байх болно.

Больцманы тэгшитгэл

Людвиг Больцман, Австрийн онолын физикч, Австрийн Шинжлэх ухааны академийн гишүүн, сонгодог кинетик онолыг үндэслэгчдийн нэг.

Т 1 ба T 2 температуртай өөр өөр халаалттай хоёр хий нь холбогдох үед ижил төстэй үйл ажиллагаа явуулдаг гэдгийг одоо анхаарч үзье. > Т 1 . Тэдний нэг нь халж, нөгөө нь хөргөж, хэсэг хугацааны дараа температур нь тэнцүү (T) болдог. Хий нь төлөв байдалд ордог дулааны тэнцвэрдулаан солилцоо зогсдог. Юу хэлснийг диаграммаар харуулъя.

Тэгэхээр, ВТэгээд Тяг ижил байдлаар ажиллана: хийнүүд холбогдох үед эдгээр шинж чанарууд хоёулаа ижил байдлаар өөрчлөгдөж, дараа нь харьцуулах бөгөөд энэ нь энерги эсвэл дулааны тэнцвэрт байдалд нийцдэг. Нарийвчилсан тооцооллоос харахад эдгээр шинж чанарууд нь бие биентэйгээ пропорциональ харьцаатай байдаг. Т ~ В.

Тэр ч байтугай хийн температурыг молекулуудын кинетик эрчим хүчээр хэмжих боломжтой. Гэсэн хэдий ч, энэ нь тохиромжгүй байх болно, тэр цагаас хойш температурыг жоульаар хэмжих шаардлагатай болсон бөгөөд энэ нь нэгдүгээрт, ер бусын, хоёрдугаарт, температурыг маш бага тоогоор илэрхийлэх болно. Жишээлбэл, 273 К-тэй тэнцэх мөсний хайлах температурыг 5.7 10 -21 Lz гэж илэрхийлнэ. Температурыг ердийн Келвин (эсвэл °C),хүлээн авахад хамгийн тохиромжтой

хэмжээст хүчин зүйл хаана байна k ([k] - J/K) нь температурын хэмжилтийг К нэгжээр хангадаг бөгөөд тоон коэффициент 2/3-ийг оруулав. W хүртэлКлаузиусын тэгшитгэлд. Энэ аргаар хэмжсэн температурыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ Тмөн залгана уу термодинамик температур:

Сүүлийн илэрхийллээс энэ нь дараах байдалтай байна Больцманы тэгшитгэл:

f = f 0 + f 1 (\displaystyle f=f_(0)+f_(1)) k = 1.38 10 -23 Ж/К бол Больцманы тогтмол (тоон утгыг дараа нь онолын хувьд авах болно). Тэг термодинамик температурын физик утга (0 К) Больцманы тэгшитгэлээс гардаг: at Т= 0 байх болно W k = 0,тэдгээр. тэг Келвин үед молекулуудын хөдөлгөөн зогсдог (жишээлбэл, дулааны хөдөлгөөн).