Конус гадаргуугийн тэгшитгэл. Конус гадаргуу

Өгүүллийн агуулга

КОНИК ХЭСЭГ,зөв дугуй конусыг түүний оройгоор дамждаггүй хавтгайтай огтлолцох замаар олж авсан хавтгай муруйнууд (Зураг 1). Аналитик геометрийн үүднээс авч үзвэл конус огтлол нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг хангах цэгүүдийн байрлал юм. Сүүлчийн хэсэгт авч үзсэн доройтсон тохиолдлоос бусад конус хэсгүүд нь эллипс, гипербол, парабол юм.

Конус зүсэлт нь байгаль, технологид ихэвчлэн олддог. Жишээлбэл, нарыг тойрон эргэдэг гаригуудын тойрог зам нь эллипс хэлбэртэй байдаг. Тойрог нь том тэнхлэг нь жижиг тэнхлэгтэй тэнцүү байх эллипсийн онцгой тохиолдол юм. Параболик толь нь тэнхлэгтэйгээ параллель туссан бүх цацрагууд нэг цэгт (фокус) нийлдэг шинж чанартай байдаг. Үүнийг параболик толь ашигладаг ихэнх тусгал дуран, түүнчлэн радарын антенн болон параболын тусгал бүхий тусгай микрофонд ашигладаг. Параболик цацруулагчийн фокус дээр байрлуулсан гэрлийн эх үүсвэрээс параллель цацрагийн туяа гарч ирдэг. Тийм ч учраас параболик толь нь өндөр хүчин чадалтай прожектор, машины гэрэлд ашиглагддаг. Гипербола нь Бойлийн хууль (идеал хийн даралт ба эзэлхүүний хамаарал) ба цахилгаан гүйдлийг тогтмол хүчдэлийн эсэргүүцлийн функц гэж тодорхойлдог Ом хууль зэрэг олон чухал физик харилцааны график юм.

ЭРТНИЙ ТҮҮХ

Конус огтлолыг нээсэн хүн бол Платоны шавь, Македоны Александрын багш Менахмус (МЭӨ 4-р зуун) гэж тооцогддог. Менахмус кубыг хоёр дахин нэмэгдүүлэх асуудлыг шийдэхийн тулд парабол болон тэгш талт гиперболыг ашигласан.

4-р зууны төгсгөлд Аристаеус, Евклид нарын бичсэн конус хэлбэрийн трактууд. МЭӨ, алдагдсан боловч тэдгээрээс авсан материалыг алдартайд оруулсан болно Конус хэсгүүдӨнөөдрийг хүртэл хадгалагдан үлдсэн Пергийн Аполлониус (МЭӨ 260-170 орчим). Аполлониус конусын үүсгүүрийн таслагч хавтгай нь перпендикуляр байх шаардлагыг орхиж, түүний налуу өнцгийг өөрчилснөөр шулуун эсвэл налуу нэг дугуй конусаас бүх конус хэсгүүдийг гаргаж авсан. Бид мөн муруйнуудын орчин үеийн нэрс болох эллипс, парабол, гипербола Аполлониустай холбоотой.

Аполлониус бүтээн байгуулалтдаа хоёр хуудас дугуй конус ашигласан (1-р зурагт үзүүлсэн шиг) иймээс гипербола нь хоёр салаатай муруй гэдэг нь анх удаа тодорхой болсон. Аполлониусын үеэс конусын зүсэлтүүдийг конусын генатрикс руу зүсэх хавтгайн налуугаас хамааран гурван төрөлд хуваадаг. Зууван (Зураг 1, А) огтлох хавтгай нь конусын бүх генератрицуудыг түүний хөндийн аль нэгнийх нь цэгүүдээр огтлох үед үүсдэг; парабол (Зураг 1, б) – зүсэх хавтгай нь конусын шүргэгч хавтгайн аль нэгэнтэй параллель байх үед; гипербола (Зураг 1, В) – зүсэх хавтгай конусын хоёр хөндийг огтлох үед.

КОНОС ХЭСЭГТ БАРИЛГА

Конус огтлолыг хавтгай ба конусын огтлолцол болгон судалснаар эртний Грекийн математикчид мөн тэдгээрийг хавтгай дээрх цэгүүдийн замнал гэж үздэг байв. Эллипсийг цэгүүдийн байрлал гэж тодорхойлж болох бөгөөд өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь тогтмол байдаг; парабол - өгөгдсөн цэг ба өгөгдсөн шулуун шугамаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэж; гипербола - цэгүүдийн байршлын хувьд өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны зөрүү тогтмол байна.

Хавтгай муруй гэж конус огтлолын эдгээр тодорхойлолтууд нь сунгасан утас ашиглан тэдгээрийг барих аргыг санал болгож байна.

Зууван.

Хэрэв өгөгдсөн урттай утаснуудын төгсгөлүүд цэгүүдэд бэхлэгдсэн байвал Ф 1 ба Ф 2 (Зураг 2), дараа нь нягт сунасан утсаар гулсаж буй харандааны цэгээр дүрсэлсэн муруй нь эллипс хэлбэртэй байна. Оноо Ф 1 ба Ф 2-ыг эллипсийн голомт, сегмент гэж нэрлэдэг В 1 В 2 ба v 1 vЭллипсийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийн хоорондох 2 - гол ба бага тэнхлэгүүд. Хэрэв оноо Ф 1 ба Ф 2 давхцаж, дараа нь эллипс тойрог болж хувирна.

Гипербола.

Гиперболыг байгуулахдаа цэг П, харандааны үзүүр нь цэгүүдэд суурилуулсан шонгийн дагуу чөлөөтэй гулсдаг утас дээр бэхлэгдсэн байна Ф 1 ба Ф 2, Зураг дээр үзүүлсэн шиг. 3, А. зайг сонгосон байхаар сегмент PF 2 нь сегментээс урт байна PFзайнаас бага тогтмол хэмжээгээр 1 Ф 1 Ф 2. Энэ тохиолдолд утасны нэг төгсгөл нь шонгийн доор дамждаг Ф 1 ба утаснуудын хоёр төгсгөл нь шон дээр дамждаг Ф 2. (Харандааны үзүүр нь утасны дагуу гулсахгүй байх ёстой тул утсан дээр жижиг гогцоо хийж, цэгийг дундуур нь утасдаж бэхэлсэн байх ёстой.) Гиперболын нэг мөчир ( PV 1 Q) бид зурж, утсыг үргэлж чангалж, утасны хоёр үзүүрийг цэгээс нь доош татдаг. Ф 2 ба хэзээ цэг Псегментээс доогуур байх болно Ф 1 Ф 2, утсыг хоёр төгсгөлөөс нь барьж, болгоомжтой сийлбэрлэх (жишээ нь суллах). Гиперболын хоёр дахь салбар ( Пў В 2 Qў ) бид өмнө нь бэхэлгээний үүргийг сольж, зурдаг Ф 1 ба Ф 2 .

Гиперболын мөчрүүд нь мөчрүүдийн хооронд огтлолцсон хоёр шулуун шугам руу ойртдог. Гиперболын асимптот гэж нэрлэгддэг эдгээр шугамыг Зураг дээр үзүүлсэн шиг байгуулав. 3, б. Эдгээр шугамын өнцгийн коэффициентүүд нь ± ( v 1 v 2)/(В 1 В 2), хаана v 1 v 2 – сегментэд перпендикуляр асимптотуудын хоорондох өнцгийн биссектрисын сегмент Ф 1 Ф 2 ; шугамын сегмент v 1 v 2-ыг гиперболын коньюгат тэнхлэг ба сегмент гэж нэрлэдэг В 1 В 2 - түүний хөндлөн тэнхлэг. Тиймээс асимптотууд нь дөрвөн цэгийг дайран өнгөрөх талуудтай тэгш өнцөгтийн диагональууд юм v 1 , v 2 , В 1 , Втэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ 2. Энэ тэгш өнцөгтийг бүтээхийн тулд та цэгүүдийн байршлыг зааж өгөх хэрэгтэй v 1 ба v 2. Тэд ижил зайд, тэнцүү байна

тэнхлэгүүдийн огтлолцлын цэгээс О. Энэ томьёо нь хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжинг барихад хамаарна Ов 1 ба В 2 Оба гипотенуз Ф 2 О.

Хэрэв гиперболын асимптотууд харилцан перпендикуляр байвал гиперболыг тэгш талт гэж нэрлэдэг. Нийтлэг асимптоттой боловч хөндлөн ба коньюгат тэнхлэгүүдийг дахин зохион байгуулсан хоёр гиперболыг харилцан коньюгат гэж нэрлэдэг.

Парабола.

Эллипс ба гиперболын голомтуудыг Аполлониус мэддэг байсан боловч параболын фокусыг Паппус (3-р зууны 2-р хагас) анх тогтоосон бөгөөд энэ муруйг тухайн цэгээс (фокус) ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэж тодорхойлсон байдаг. мөн өгөгдсөн шулуун шугамыг захирал гэж нэрлэдэг. Паппусын тодорхойлолт дээр үндэслэн сунгасан утас ашиглан парабол барихыг Милетийн Исидор (6-р зуун) санал болгосон. Захирагчийг ирмэг нь чиглүүлэгчтэй давхцахаар байрлуулна LLў (Зураг 4), хөлийг энэ ирмэг дээр түрхэнэ А.С.гурвалжин зурах ABC. Бид утасны нэг үзүүрийг уртаар нь бэхлэнэ ABдээр нь Бгурвалжин, нөгөө нь параболын фокус дээр байна Ф. Утсыг сунгахын тулд харандааны үзүүрийг ашиглан үзүүрийг хувьсах цэг дээр дар Пчөлөөт хөл рүү ABгурвалжин зурах. Гурвалжин захирагчийн дагуу хөдөлж байх үед цэг Пфокустай параболын нумыг дүрслэх болно Фболон захирал LLў , учир нь утасны нийт урт нь AB, утас нь гурвалжингийн чөлөөт хөлтэй зэрэгцэн оршдог тул үлдсэн утас нь PFхөлний үлдсэн хэсэгтэй тэнцүү байх ёстой AB, өөрөөр хэлбэл PA. Уулзвар цэг Втэнхлэгтэй параболыг параболын орой, дайран өнгөрөх шугам гэнэ ФТэгээд В, – параболын тэнхлэг. Хэрэв фокусын дундуур тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам татвал параболоор таслагдсан энэ шулуун шугамын сегментийг фокусын параметр гэнэ. Эллипс ба гиперболын хувьд фокусын параметрийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно.

КОНУСАН ХЭСЭГТИЙН ШИНЖ

Паппусын тодорхойлолтууд.

Параболын фокусыг бий болгосноор Паппус ерөнхийдөө конус огтлолын өөр тодорхойлолтыг өгөх санааг өгсөн. Болъё Фнь өгөгдсөн цэг (фокус), мөн Л– өгөгдсөн шулуун шугам (шууд) дамжин өнгөрөхгүй Ф, Мөн Д ФТэгээд Д Л- хөдөлж буй цэгээс зай Панхаарлаа төвлөрүүлэх Фболон захирал нар Лтус тус. Дараа нь Паппусын харуулсанчлан конус хэсгүүдийг цэгүүдийн байрлал гэж тодорхойлдог П, үүний төлөө хамаарал Д Ф/Д Лсөрөг бус тогтмол байна. Энэ харьцааг хазгай гэж нэрлэдэг дконус хэсэг. At д e > 1 – гипербол; цагт д= 1 - парабол. Хэрэв Фдээр хэвтэж байна Л, дараа нь геометрийн байрлалууд нь шулуун шугамын хэлбэртэй (бодит эсвэл төсөөлөл) байдаг бөгөөд тэдгээр нь доройтсон конус хэсгүүд юм.

Зууван ба гиперболын гайхалтай тэгш хэм нь эдгээр муруй бүр нь хоёр чиглүүлэлт, хоёр голомттой болохыг харуулж байгаа бөгөөд энэ нөхцөл байдал нь Кеплерийг 1604 онд парабол нь хоёр дахь фокус, хоёр дахь чиглүүлэлт - хязгааргүй ба шулуун цэгтэй гэсэн санааг төрүүлжээ. . Үүний нэгэн адил тойрог нь голомт нь төвтэй давхцаж, чиглүүлэлтүүд нь хязгааргүй байдаг эллипс гэж үзэж болно. Хачирхалтай байдал дэнэ тохиолдолд тэгтэй тэнцүү байна.

Dandelen дизайн.

Дараах бүтээн байгуулалтыг санал болгосон Бельгийн математикч, инженер Ж.Данделин (1794–1847)-д зориулан конус хэлбэрээр бичээстэй, Dandelin бөмбөрцөг (бөмбөг) гэж нэрлэсэн бөмбөрцөгүүдийг ашиглан конус огтлолын голомт ба чиглүүлэгчийг тодорхой харуулж болно. Тодорхой хавтгайн огтлолцолоор конус зүсэлт үүсгэе хнэг цэг дээр оройтой хоёр хөндий шулуун дугуй конустай О. Энэ конус руу хоёр бөмбөрцөг бичье С 1 ба С 2 онгоцонд хүрдэг хцэгүүдэд Ф 1 ба Ф 2 тус тус. Хэрэв конус хэсэг нь эллипс байвал (Зураг 5, А), дараа нь хоёр бөмбөрцөг нь нэг хөндий дотор байна: нэг бөмбөрцөг нь хавтгайн дээр байрладаг х, нөгөө нь түүний доор байна. Конусын үүсгэгч бүр нь хоёр бөмбөрцөгт хүрч, контактын цэгүүдийн байрлал нь хоёр тойрог шиг харагдаж байна. C 1 ба C 2 зэрэгцээ хавтгайд байрладаг х 1 ба х 2. Болъё П– конус огтлолын дурын цэг. Шулуун шугам зурцгаая PF 1 , PF 2 ба шулуун шугамыг сунгана П.О.. Эдгээр шугамууд нь цэг дээрх бөмбөрцөгт шүргэнэ Ф 1 , Ф 2 ба Р 1 , Р 2. Нэг цэгээс бөмбөрцөгт татсан бүх шүргэгч тэнцүү байх тул PF 1 = PR 1 ба PF 2 = PR 2. Тиймээс, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = Р 1 Р 2. Онгоцноос хойш х 1 ба х 2 зэрэгцээ, сегмент Р 1 Р 2 нь тогтмол урттай. Тиймээс үнэ цэнэ PR 1 + PR 2 нь бүх цэгийн байрлалд ижил байна П, ба цэг Пзайны нийлбэр болох цэгүүдийн байршилд хамаарна Пөмнө Ф 1 ба Ф 2 тогтмол байна. Тиймээс оноо Ф 1 ба Ф 2 – зууван хэсгийн голомт. Нэмж дурдахад, хавтгайн дагуух шулуун шугамууд байгааг харуулж болно хонгоцуудыг огтолдог х 1 ба х 2 , нь баригдсан эллипсийн директорууд юм. Хэрэв хконусын хоёр хөндийгөөр огтлолцдог (Зураг 5, б), дараа нь хоёр Dandelin бөмбөрцөг нь онгоцны нэг талд байрладаг х, конусын хөндий бүрт нэг бөмбөрцөг. Энэ тохиолдолд хоорондын ялгаа PF 1 ба PF 2 нь тогтмол, цэгийн байршил Пголомттой гиперболын хэлбэртэй Ф 1 ба Ф 2 ба шулуун шугамууд - огтлолцох шугамууд х-тай х 1 ба х 2 - эрхлэгчээр. Хэрэв конус огтлол нь парабол бол Зураг дээр үзүүлсэн шиг. 5, В, дараа нь конус дотор зөвхөн нэг Dandelin бөмбөрцөг бичиж болно.

Бусад шинж чанарууд.

Конус хэсгүүдийн шинж чанарууд нь үнэхээр шавхагдашгүй бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь тодорхойлох боломжтой. Чухал газар Математикийн уулзалтПаппа (ойролцоогоор 300), ГеометрДекарт (1637) ба ЭхлэлНьютон (1687) дөрвөн шулуун шугамтай харьцуулахад цэгүүдийн геометрийн байршлын асуудалд анхаарлаа хандуулсан. Хэрэв хавтгай дээр дөрвөн мөр өгөгдсөн бол Л 1 , Л 2 , Л 3 ба Л 4 (хоёр нь ижил байж болно) ба цэг Пхүртэлх зайнуудын үржвэр байхаар байна Пөмнө Л 1 ба Л 2 нь холын үржвэртэй пропорциональ байна Пөмнө Л 3 ба Л 4, дараа нь цэгүүдийн байрлал Пконус хэлбэртэй хэсэг юм. Аполлониус, Паппус нар дөрвөн шулуун шугамтай харьцуулахад цэгийн байршлын асуудлыг шийдэж чадаагүй гэж андуурч Декарт шийдлийг олж, түүнийгээ ерөнхийд нь нэгтгэхийн тулд аналитик геометрийг бүтээжээ.

ШИНЖИЛГЭЭНИЙ ХАНДЛАГА

Алгебрийн ангилал.

Алгебрийн хэллэгээр конус огтлолыг декартын координатын систем дэх координатууд нь хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг хангадаг хавтгай муруй гэж тодорхойлж болно. Өөрөөр хэлбэл бүх конус огтлолын тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичиж болно

бүх коэффициент биш А, БТэгээд Cтэгтэй тэнцүү байна. Зэрэгцээ орчуулга ба тэнхлэгүүдийн эргэлтийг ашиглан (1) тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно

сүх 2 + by 2 + в = 0

px 2 + qy = 0.

Эхний тэгшитгэлийг (1) тэгшитгэлээс олж авна Б 2 № А.С., хоёр дахь нь - цагт Б 2 = А.С.. Тэгшитгэл нь эхний хэлбэрт орсон конус огтлолуудыг төв гэж нэрлэдэг. Хоёр дахь төрлийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн конус зүсэлтүүд q 0 дугаарыг төв бус гэж нэрлэдэг. Эдгээр хоёр ангилалд коэффициентийн шинж тэмдгүүдээс хамааран есөн төрлийн конус зүсэлтүүд байдаг.

2831) хэрэв зөрчилдөж байвал а, бТэгээд вижил тэмдэгтэй бол координат нь тэгшитгэлийг хангах бодит цэг байхгүй болно. Ийм конус хэсгийг төсөөллийн эллипс (эсвэл төсөөллийн тойрог, хэрэв а = б).

2) Хэрэв аТэгээд бижил тэмдэгтэй ба в– эсрэгээр, дараа нь конус хэсэг нь эллипс байна (Зураг 1, А); цагт а = б– тойрог (Зураг 6, б).

3) Хэрэв аТэгээд бөөр өөр шинж тэмдэгтэй байвал конус хэсэг нь гипербол болно (Зураг 1, В).

4) Хэрэв аТэгээд бөөр өөр шинж тэмдэгтэй ба в= 0 бол конус хэсэг нь огтлолцсон хоёр шугамаас бүрдэнэ (Зураг 6, А).

5) Хэрэв аТэгээд бижил тэмдэгтэй ба в= 0, тэгвэл муруйн дээр тэгшитгэлийг хангасан цорын ганц бодит цэг байх ба конус огтлол нь хоёр төсөөлөл огтлолцсон шулуун байна. Энэ тохиолдолд бид мөн нэг цэг хүртэл агшсан эллипсийн тухай ярьдаг а = б, тойрог дээрх цэг хүртэл агшсан (Зураг 6, б).

6) Хэрэв аль нэг нь а, эсвэл бтэгтэй тэнцүү, үлдсэн коэффициентүүд нь өөр өөр тэмдэгтэй байвал конус хэсэг нь хоёр зэрэгцээ шугамаас бүрдэнэ.

7) Хэрэв аль нэг нь а, эсвэл бтэгтэй тэнцүү, үлдсэн коэффициентүүд нь ижил тэмдэгтэй байвал тэгшитгэлийг хангасан нэг ч бодит цэг байхгүй болно. Энэ тохиолдолд конус хэсэг нь хоёр төсөөлөлтэй зэрэгцээ шугамаас бүрдэнэ гэж тэд хэлдэг.

8) Хэрэв в= 0, аль аль нь а, эсвэл бмөн тэгтэй тэнцүү бол конус хэсэг нь хоёр бодит давхцсан шугамаас бүрдэнэ. (Тэгшитгэл нь конус огтлолыг тодорхойлохгүй а = б= 0, учир нь энэ тохиолдолд анхны тэгшитгэл (1) нь хоёрдугаар зэргийн биш юм.)

9) Хоёр дахь төрлийн тэгшитгэл нь хэрэв параболыг тодорхойлно хТэгээд qтэгээс ялгаатай. Хэрэв х№ 0, a q= 0, бид 8-р алхамаас муруйг авна.Хэрэв х= 0 бол анхны тэгшитгэл (1) нь хоёрдугаар зэргийн биш тул тэгшитгэл нь конус огтлолыг тодорхойлохгүй.

Конус огтлолын тэгшитгэлийг гарган авах.

Аливаа конус огтлолыг хавтгай квадрат гадаргууг огтолж буй муруй гэж тодорхойлж болно, өөрөөр хэлбэл. хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн гадаргуутай е (x, y, z) = 0. Конус зүсэлтүүд нь анх энэ хэлбэрээр танигдсан бололтой, тэдгээрийн нэр ( доороос үзнэ үү) нь хавтгайг конустай огтлолцох замаар олж авсантай холбоотой юм z 2 = x 2 + y 2. Болъё A B C D– орой дээрээ тэгш өнцөгтэй зөв дугуй конусын суурь (Зураг 7). В. Онгоцоо явуул FDC generatrix-тай огтлолцдог В.Бцэг дээр Ф, суурь – шулуун шугамаар CDба конусын гадаргуу - муруй дагуу DFPC, Хаана П– муруй дээрх дурын цэг. Сегментийн дундуур зурцгаая CD- цэг Э- Чигээрээ Э.Ф.ба диаметр AB. Цэгээр дамжуулан Пконусыг тойрог хэлбэрээр огтолж, конусын суурьтай параллель хавтгайг зур R.P.S.ба шууд Э.Ф.цэг дээр Q. Дараа нь QFТэгээд QPҮүний дагуу абсцисса хэлбэрээр авч болно xболон захирах yоноо П. Үүссэн муруй нь парабол болно.

Зурагт үзүүлсэн бүтээн байгуулалт. 7-ийг конус огтлолын ерөнхий тэгшитгэл гаргахад ашиглаж болно. Диаметрийн аль ч цэгээс тойрогтой огтлолцох хүртэл сэргээгдсэн перпендикуляр сегментийн уртын квадрат нь диаметртэй сегментүүдийн уртын үржвэртэй үргэлж тэнцүү байна. Тийм ч учраас

y 2 = RQХ QS.

Параболын хувьд сегмент RQтогтмол урттай (цэгний аль ч байрлалаас хойш Псегменттэй тэнцүү байна А.Э.), сегментийн урт QSпропорциональ x(харьцаанаас QS/Э.Б. = QF/Ф.Э.). Үүнийг дагадаг

Хаана а- тогтмол коэффициент. Тоо апараболын фокусын параметрийн уртыг илэрхийлнэ.

Хэрэв конусын орой дээрх өнцөг нь хурц байвал сегмент RQсегменттэй тэнцүү биш А.Э.; гэхдээ харьцаа y 2 = RQХ QSхэлбэрийн тэгшитгэлтэй тэнцүү байна

Хаана аТэгээд б– тогтмолууд, эсвэл тэнхлэгүүдийг шилжүүлсний дараа тэгшитгэл рүү шилжүүлнэ

Энэ нь эллипсийн тэгшитгэл юм. Эллипсийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд x (x = аТэгээд x = –а) ба эллипсийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд y (y = бТэгээд y = –б) том болон бага тэнхлэгүүдийг тус тус тодорхойлно. Хэрэв конусын оройн өнцөг нь мохоо байвал конус ба хавтгайн огтлолцлын муруй нь гиперболын хэлбэртэй байх ба тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

эсвэл тэнхлэгүүдийг шилжүүлсний дараа,

Энэ тохиолдолд тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд x, харьцаагаар өгөгдсөн x 2 = а 2, хөндлөн тэнхлэг, тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг тодорхойлно y, харьцаагаар өгөгдсөн y 2 = –б 2, коньюгат тэнхлэгийг тодорхойлно. Хэрэв тогтмол бол аТэгээд б(4a) тэгшитгэлд тэнцүү бол гиперболыг тэгш талт гэж нэрлэдэг. Тэнхлэгүүдийг эргүүлснээр түүний тэгшитгэл нь хэлбэрт ордог

xy = к.

Одоо (3), (2) ба (4) тэгшитгэлээс бид Аполлониусаас гурван үндсэн конус хэсэгт өгсөн нэрсийн утгыг ойлгож чадна. "Элипс", "парабол", "гипербола" гэсэн нэр томъёо нь "дутуу", "тэнцүү", "дээд" гэсэн утгатай грек үгнээс гаралтай. (3), (2) ба (4) тэгшитгэлээс харахад эллипсийн хувьд тодорхой байна y 2 б 2 / а) x, параболын хувьд y 2 = (а) xболон гиперболын хувьд y 2 > (2б 2 /а) x. Аль ч тохиолдолд хаалтанд оруулсан утга нь муруйн фокусын параметртэй тэнцүү байна.

Аполлониус өөрөө конус хэлбэрийн гурван ерөнхий төрлийг (дээр дурдсан 2, 3, 9-р төрлүүд) авч үзсэн боловч түүний арга барилыг бүх бодит хоёр дахь эрэмбийн муруйг авч үзэхийн тулд ерөнхийд нь авч үзэж болно. Хэрэв зүсэх хавтгайг конусын дугуй суурьтай зэрэгцээ сонгосон бол хөндлөн огтлол нь тойрог хэлбэртэй болно. Хэрэв огтлох хавтгай нь конустай зөвхөн нэг нийтлэг цэг, түүний оройтой бол 5-р төрлийн хэсгийг авна; хэрэв энэ нь орой ба конус руу шүргэгчийг агуулж байвал бид 8-р төрлийн хэсгийг авна (Зураг 6, б); хэрвээ зүсэх хавтгай нь конусын хоёр генатрикийг агуулж байвал хэсэг нь 4-р хэлбэрийн муруйг үүсгэдэг (Зураг 6, А); оройг хязгааргүйд шилжүүлэх үед конус нь цилиндр болж хувирдаг бөгөөд хэрэв онгоц нь хоёр генераторыг агуулж байвал 6-р төрлийн хэсгийг авна.

Хэрэв та дугуйг ташуу өнцгөөс харвал эллипс шиг харагдана. Архимедийн мэддэг тойрог ба эллипсийн хоорондын хамаарал нь тойрог байвал тодорхой болно X 2 + Ю 2 = а 2 орлуулалтыг ашиглан X = x, Ю = (а/б) y(3a) тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипс болгон хувиргана. Хөрвүүлэлт X = x, Ю = (ai/б) y, Хаана би 2 = –1, тойргийн тэгшитгэлийг (4a) хэлбэрээр бичих боломжийг бидэнд олгоно. Үүнээс үзэхэд гиперболыг төсөөлж буй жижиг тэнхлэгтэй эллипс, эсвэл эсрэгээр, эллипсийг төсөөллийн коньюгат тэнхлэгтэй гипербол гэж үзэж болно.

Тойргийн ординатуудын хоорондын хамаарал x 2 + y 2 = а 2 ба эллипс ( x 2 /а 2) + (y 2 /б 2) = 1 нь шууд Архимедийн томъёонд хүргэдэг А = х abэллипсийн талбайн хувьд. Кеплер ойролцоогоор томъёог мэддэг байсан х(а + б) тойрогтой ойрхон эллипсийн периметрийн хувьд, гэхдээ яг 18-р зуунд л яг тодорхой илэрхийллийг олж авсан. эллипс интегралыг оруулсны дараа. Архимедийн харуулсанчлан параболын сегментийн талбай нь бичээстэй гурвалжны талбайн гуравны дөрөвтэй тэнцэх боловч параболын нумын уртыг зөвхөн 17-р зууны дараа л тооцоолж болно. Дифференциал тооцоог зохион бүтээсэн.

ТӨСЛИЙН ХАНДЛАГА

Проекктив геометр нь хэтийн төлөвийг бүтээхтэй нягт холбоотой байдаг. Хэрэв та тунгалаг цаасан дээр тойрог зурж, гэрлийн эх үүсвэрийн доор байрлуулах юм бол энэ тойрог нь доорх хавтгай дээр тусна. Түүнээс гадна, хэрэв гэрлийн эх үүсвэр нь тойргийн төвөөс шууд байрладаг бөгөөд хавтгай ба тунгалаг хуудас нь параллель байвал проекц нь мөн тойрог байх болно (Зураг 8). Гэрлийн эх үүсвэрийн байрлалыг алга болох цэг гэж нэрлэдэг. Үүнийг захидалд зааж өгсөн болно В. Хэрэв ВХэрэв энэ нь тойргийн төвөөс дээш байрладаггүй эсвэл хавтгай нь цаасан дээр параллель биш бол тойргийн проекц нь эллипс хэлбэртэй болно. Хавтгай илүү их налуутай бол эллипсийн гол тэнхлэг (тойрогны проекц) уртасч, эллипс аажмаар парабол болж хувирдаг; шулуун шугамтай параллель хавтгай дээр V.P., проекц нь параболын хэлбэртэй байна; илүү их налуутай бол төсөөлөл нь гиперболын аль нэг салбар хэлбэртэй болно.

Анхны тойрог дээрх цэг бүр нь проекцын тодорхой цэгтэй тохирч байна. Хэрэв проекц нь парабол эсвэл гиперболын хэлбэртэй бол тухайн цэгт тохирох цэг гэж хэлдэг. П, хязгааргүй эсвэл хязгааргүй алслагдсан байна.

Бидний харж байгаагаар алга болох цэгүүдийн тохиромжтой сонголтоор тойргийг янз бүрийн хэмжээтэй, янз бүрийн хазайлттай эллипс болгон төсөөлж болох бөгөөд гол тэнхлэгүүдийн урт нь төлөвлөсөн тойргийн диаметртэй шууд хамааралгүй болно. Тиймээс проекцийн геометр нь зай эсвэл урттай холбоотой байдаггүй; Энэ хамаарлыг дараах бүтцийг ашиглан олж болно. Аль ч цэгээр Пхавтгай, дурын тойрог руу хоёр шүргэгч зурж, шүргэгч цэгүүдийг шулуун шугамаар холбоно х. Цэгээр өөр шугам өнгөрнө П, тойргийг цэгээр огтолж байна C 1 ба C 2 ба шулуун х- цэг дээр Q(Зураг 9). Планиметрийн хувьд энэ нь батлагдсан PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Хасах тэмдэг нь сегментийн чиглэлээс шалтгаалан үүсдэг QC 1 нь бусад сегментүүдийн чиглэлийн эсрэг байна.) Өөрөөр хэлбэл, оноо ПТэгээд Qсегментийг хуваана C 1 C 2 гадна болон дотоодод адилхан; Тэд мөн дөрвөн сегментийн гармоник харьцаа нь - 1-тэй тэнцүү гэж хэлдэг. Хэрэв тойргийг конус огтлолд тусгаж, харгалзах цэгүүдэд ижил тэмдэглэгээ хадгалагдаж байвал гармоник харьцаа ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) тэнцүү хэвээр байх болно - 1. Цэг Пшугамын туйл гэж нэрлэдэг хконус огтлолтой харьцангуй ба шулуун шугам х- туйлын цэг Пконус хэсэгтэй харьцуулахад.

Хэзээ Пконус хэсэг рүү ойртож, туйл нь шүргэгчийн байрлалыг авах хандлагатай байдаг; цэг бол Пконус огтлол дээр байх ба дараа нь түүний туйл нь цэг дээрх конус огтлолын шүргэгчтэй давхцдаг П. Хэрэв цэг бол Пконус хэсгийн дотор байрласан бол түүний туйлыг дараах байдлаар барьж болно. Цэгээр нь зурцгаая Пконус хэсгийг хоёр цэгээр огтолж буй аливаа шулуун шугам; огтлолцлын цэгүүдэд конус огтлолын шүргэгчийг зурах; Эдгээр шүргэгч нь нэг цэг дээр огтлолцдог гэж бодъё П 1 . Цэгээр нь зурцгаая Пконус хэсгийг өөр хоёр цэгээр огтолж буй өөр нэг шулуун шугам; Эдгээр шинэ цэгүүдийн конус огтлолын шүргэгч цэг дээр огтлолцоно гэж бодъё П 2 (Зураг 10). Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шугам П 1 ба П 2 , мөн хүссэн туйл байдаг х. Хэрэв цэг бол Птөвд ойртож байна Отөв конус хэсэг, дараа нь туйл х-аас холддог О. Хэзээ П-тай давхцаж байна О, дараа нь түүний туйл нь хавтгай дээр хязгааргүй алслагдсан буюу хамгийн тохиромжтой болно.

ТУСГАЙ БАЙГУУЛЛАГУУД

Луужин ба захирагч ашиглан зуйван цэгүүдийг байгуулах нь одон орон судлаачдын анхаарлыг ихэд татдаг. Дурын шулуун шугамыг цэгээр дайруулъя О(Зураг 11, А), цэгүүдээр огтлолцдог QТэгээд Рнэг цэг дээр төвлөрсөн хоёр төвтэй тойрог Оба радиус бТэгээд а, Хаана ба. Цэгээр нь зурж үзье Qхэвтээ шугам, мөн дамжин Р– босоо шугам, тэдгээрийн огтлолцох цэгийг заана П Пшулуун шугамыг эргүүлэх үед OQRцэгийн эргэн тойронд Оэллипс байх болно. Булан ешулуун шугамын хооронд OQRгол тэнхлэгийг хазгай өнцөг гэж нэрлэдэг бөгөөд баригдсан эллипс нь параметрийн тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. x = а cos е, y = бнүгэл е. Параметрийг оруулаагүй болно е, бид (3a) тэгшитгэлийг олж авна.

Гиперболын хувьд бүтээц нь үндсэндээ төстэй юм. Цэгээр дамжин өнгөрөх дурын шулуун шугам О, нэг цэг дээр хоёр тойргийн аль нэгийг нь огтолно Р(Зураг 11, б). Цэг хүртэл Рнэг тойрог ба төгсгөлийн цэг хүртэл Сөөр тойргийн хэвтээ диаметр, огтлолцсон шүргэгчийг зур OSцэг дээр ТТэгээд ЭСВЭЛ- цэг дээр Q. Босоо шугамыг цэгээр дайруулъя Т, мөн цэгийг дайран өнгөрөх хэвтээ шугам Q, нэг цэг дээр огтлолцоно П. Дараа нь цэгүүдийн байрлал Псегментийг эргүүлэх үед ЭСВЭЛэргэн тойронд Опараметрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн гипербол болно x = асек е, y = бтг е, Хаана е- хазгай өнцөг. Эдгээр тэгшитгэлийг Францын математикч А.Лжендре (1752–1833) олж авсан. Параметрийг хассанаар е, бид (4a) тэгшитгэлийг авна.

Н.Коперник (1473-1543)-ийн тэмдэглэснээр эллипсийг эпициклик хөдөлгөөн ашиглан барьж болно. Хэрэв тойрог хоёр дахин том диаметртэй өөр тойргийн дотор талд гулсахгүйгээр эргэлдэж байвал цэг бүр байна П, жижиг тойрог дээр хэвтдэггүй, гэхдээ үүнтэй харьцуулахад хөдөлгөөнгүй байдаг нь эллипсийг дүрслэх болно. Хэрэв цэг бол Пнь жижиг тойрог дээр байгаа бол энэ цэгийн замнал нь эллипсийн доройтсон тохиолдол юм - том тойргийн диаметр. 5-р зуунд Проклус эллипсийг бүр ч хялбар болгохыг санал болгосон. Хэрэв төгсгөл бол АТэгээд Бшугамын сегмент ABӨгөгдсөн урттай хоёр тогтмол огтлолцсон шулуун шугамын дагуу гулсуулна (жишээлбэл, координатын тэнхлэгийн дагуу), дараа нь дотоод цэг бүр Псегмент нь эллипсийг дүрслэх болно; Голландын математикч Ф.ван Шоутен (1615-1660) гулсах сегменттэй харьцуулахад огтлолцсон шулуунуудын хавтгайн аль ч цэг нь эллипсийг дүрслэх болно гэдгийг харуулсан.

Б.Паскаль (1623-1662) 16 настайдаа одоогийн алдартай Паскалийн теоремыг томъёолсон бөгөөд үүнд: дурын конус огтлолд бичигдсэн зургаан өнцөгтийн эсрэг талын гурван огтлолцлын цэг нь нэг шулуун дээр байрладаг. Паскаль энэ теоремоос 400 гаруй үр дүнд хүрсэн.

"Хавтгай" графикийн оронд бид хамгийн нийтлэг орон зайн гадаргууг авч үзэхээс гадна тэдгээрийг гараар хэрхэн чадварлаг бүтээх талаар суралцах болно. Би гурван хэмжээст зураг зурах програм хангамжийн хэрэгслийг сонгоход нэлээд удаан хугацаа зарцуулж, хэд хэдэн сайн програм олсон боловч ашиглахад хялбар боловч эдгээр програмууд нь практик чухал асуудлыг шийдэж чадахгүй байна. Үнэн хэрэгтээ ойрын ирээдүйд оюутнууд захирагч, харандаагаар зэвсэглэсэн хэвээр байх бөгөөд өндөр чанартай "машин" зурсан байсан ч олон хүн үүнийг алаг цаасан дээр зөв шилжүүлэх боломжгүй болно. Тиймээс гарын авлагад гар аргаар барих арга техникт онцгой анхаарал хандуулсан бөгөөд хуудасны зургийн нэлээд хэсэг нь гар хийцийн бүтээгдэхүүн юм.

Энэ лавлах материал нь аналогиас юугаараа ялгаатай вэ?

Практик сайн туршлагатай тул бид дээд математикийн бодит асуудлуудад ихэвчлэн ямар гадаргуутай тулгардагийг маш сайн мэддэг бөгөөд энэ нийтлэл нь 90-ийг эзэлдэг холбогдох мэдлэг, хэрэглээний ур чадвараар ачаа тээшээ хурдан дүүргэхэд тусална гэж найдаж байна. -95 хувьд нь хангалттай тохиолдол байх ёстой.

Та яг одоо юу хийх чадвартай байх хэрэгтэй вэ?

Хамгийн үндсэн нь:

Юуны өмнө та чадвартай байх хэрэгтэй зөв барихорон зайн декартын координатын систем (өгүүллийн эхнээс үзнэ үү Функцийн график ба шинж чанарууд) .

Энэ нийтлэлийг уншсаны дараа та юу олж авах вэ?

Лонх Хичээлийн материалыг эзэмшсэний дараа та гадаргуугийн төрлийг функц ба / эсвэл тэгшитгэлээр хурдан тодорхойлж, орон зайд хэрхэн байрлаж байгааг төсөөлж, мэдээжийн хэрэг зураг зурахад суралцах болно. Хэрэв та эхний уншлагын дараа бүх зүйл толгойдоо орохгүй бол зүгээр - шаардлагатай бол хүссэн догол мөр рүү буцаж болно.

Мэдээлэл хүн бүрийн мэдэлд байдаг - үүнийг эзэмшихийн тулд танд ямар ч супер мэдлэг, урлагийн онцгой авьяас, орон зайн алсын хараа хэрэггүй.

Эхлэх!

Практикт орон зайн гадаргууг ихэвчлэн өгдөг хоёр хувьсагчийн функцэсвэл хэлбэрийн тэгшитгэл (баруун талын тогтмол нь ихэвчлэн тэг эсвэл нэгтэй тэнцүү байдаг). Эхний тэмдэглэгээ нь математикийн шинжилгээнд илүү түгээмэл байдаг, хоёр дахь нь - хувьд аналитик геометр. Тэгшитгэл нь үндсэндээ юм далд хэлбэрээр өгсөн 2 хувьсагчийн функц бөгөөд үүнийг ердийн тохиолдолд хэлбэр рүү амархан буулгаж болно. Хамгийн энгийн жишээг сануулъя c:

–хавтгай тэгшитгэлтөрлийн .

– хавтгай функц дотор тодорхой .

Үүнээс эхэлье:

Хавтгайнуудын нийтлэг тэгшитгэлүүд

Тэгш өнцөгт координатын системд онгоцыг байрлуулах ердийн хувилбаруудыг өгүүллийн эхэнд нарийвчлан авч үзсэн болно. Хавтгай тэгшитгэл. Гэсэн хэдий ч практикт маш чухал ач холбогдолтой тэгшитгэлүүд дээр дахин нэг удаа анхаарлаа хандуулцгаая.

Юуны өмнө та координатын хавтгайтай параллель байгаа хавтгайнуудын тэгшитгэлийг автоматаар бүрэн таних ёстой. Онгоцны хэсгүүдийг тэгш өнцөгт хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг бөгөөд сүүлийн хоёр тохиолдолд параллелограмм шиг харагддаг. Анхдагч байдлаар, та ямар ч хэмжигдэхүүнийг сонгож болно (мэдээж боломжийн хязгаар дотор), гэхдээ координатын тэнхлэг нь хавтгайг "цоорох" цэг нь тэгш хэмийн төв байх нь зүйтэй.


Хатуухан хэлэхэд координатын тэнхлэгүүдийг зарим газарт тасархай шугамаар дүрсэлсэн байх ёстой, гэхдээ төөрөгдөл гаргахгүйн тулд бид энэ нюансыг үл тоомсорлох болно.

– (зүүн зураг)тэгш бус байдал нь онгоцыг эс тооцвол биднээс хамгийн хол зайд байгаа хагас орон зайг тодорхойлдог;

– (дунд зураг)тэгш бус байдал нь баруун талын хагас орон зай, түүний дотор хавтгайг зааж өгдөг;

– (баруун зураг)давхар тэгш бус байдал нь хоёр хавтгайг оролцуулан хавтгайн хооронд байрлах "давхарга" -ыг тодорхойлдог.

Өөрийгөө халаахад:

Жишээ 1

Онгоцоор хязгаарлагдсан биеийг зур
Өгөгдсөн биеийг тодорхойлсон тэгш бус байдлын системийг бий болго.

Таны харандааны доороос хуучин танил гарч ирэх ёстой. куб хэлбэртэй. Үл үзэгдэх ирмэг ба нүүрийг тасархай шугамаар зурах ёстой гэдгийг бүү мартаарай. Хичээлийн төгсгөлд зурж дууссан.

Гуйя, БИТГИЙ ҮЗҮҮЛЭЭРЭЙХэт энгийн мэт санагдсан ч сурах даалгаврууд. Үгүй бол та үүнийг нэг удаа алдаж, хоёр удаа алдаад, дараа нь бодит жишээн дээр гурван хэмжээст зургийг олох гэж бүтэн цаг зарцуулсан байж магадгүй юм. Үүнээс гадна механик ажил нь материалыг илүү үр дүнтэй сурч, оюун ухаанаа хөгжүүлэхэд тусална! Цэцэрлэг, бага сургуулийн хүүхдүүдэд хурууны нарийн моторт ур чадварыг хөгжүүлэх зорилгоор зурах, загварчлах, барилгын тоглоом болон бусад ажлуудыг хийдэг нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Уучлаарай, миний хөгжлийн сэтгэл судлалын хоёр дэвтэр алга болохгүй =)

Бид дараагийн бүлэг онгоцыг "шууд пропорциональ" гэж нэрлэх болно - эдгээр нь координатын тэнхлэгүүдийг дайран өнгөрдөг онгоцууд юм.

2) хэлбэрийн тэгшитгэл нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайг зааж өгдөг;

3) хэлбэрийн тэгшитгэл нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайг зааж өгдөг.

Хэдийгээр албан ёсны тэмдэг нь тодорхой юм (тэгшитгэлд аль хувьсагч байхгүй байна - онгоц тэр тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөг), болж буй үйл явдлын мөн чанарыг ойлгох нь үргэлж хэрэгтэй байдаг:

Жишээ 2

Онгоц барих

Барилга барих хамгийн сайн арга юу вэ? Би дараах алгоритмыг санал болгож байна.

Эхлээд тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье, үүнээс "y" нь авах боломжтой нь тодорхой харагдаж байна. ямар чутга. Бид утгыг засъя, өөрөөр хэлбэл бид координатын хавтгайг авч үзэх болно. Тэгшитгэлийн багц сансрын шугам, өгөгдсөн координатын хавтгайд хэвтэж байна. Энэ зураасыг зурган дээр дүрсэлцгээе. Шулуун шугам нь координатын эхийг дайран өнгөрдөг тул түүнийг барихын тулд нэг цэгийг олоход хангалттай. Let . Нэг цэгийг хойш тавьж, шулуун шугам зур.

Одоо бид онгоцны тэгшитгэл рүү буцна. "Y" хүлээн зөвшөөрч байгаа тул ямар чутгууд, дараа нь хавтгайд баригдсан шулуун шугамыг зүүн болон баруун тийш тасралтгүй "хуулбарлана". Яг ийм байдлаар манай онгоц тэнхлэгийг дайран өнгөрдөг. Зургийг дуусгахын тулд бид шулуун шугамын зүүн ба баруун талд хоёр зэрэгцээ шугам тавьж, хөндлөн хэвтээ сегмент бүхий бэлгэдлийн параллелограммыг "хаах":

Нөхцөл байдал нь нэмэлт хязгаарлалт тавиагүй тул онгоцны фрагментийг арай бага эсвэл арай том хэмжээгээр дүрсэлж болно.

Орон зайн шугаман тэгш бус байдлын утгыг жишээн дээр дахин давтъя. Түүний тодорхойлсон хагас орон зайг хэрхэн тодорхойлох вэ? Нэг зүйлийг авч үзье харьяалагдахгүйхавтгай, жишээлбэл, бидэнд хамгийн ойр байрлах хагас орон зайн цэгийг авч, түүний координатыг тэгш бус байдалд орлуулна:

Хүлээн авсан жинхэнэ тэгш бус байдал, энэ нь тэгш бус байдал нь доод (хавтгайтай харьцуулахад) хагас орон зайг зааж өгдөг бол хавтгай өөрөө шийдэлд ороогүй гэсэн үг юм.

Жишээ 3

Онгоц барих
A);
б) .

Эдгээр нь өөрийгөө бүтээх даалгавар юм, хүндрэлтэй тохиолдолд ижил төстэй үндэслэлийг ашигла. Хичээлийн төгсгөлд товч заавар, зураг.

Практикт тэнхлэгтэй параллель онгоцууд ялангуяа түгээмэл байдаг. Онгоц тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх онцгой тохиолдлыг "be" гэсэн догол мөрөнд авч үзсэн бөгөөд одоо бид илүү ерөнхий асуудлыг шинжлэх болно.

Жишээ 4

Онгоц барих

Шийдэл: "z" хувьсагч нь тэгшитгэлд тодорхой ороогүй бөгөөд энэ нь хавтгай нь хэрэглээний тэнхлэгтэй параллель байна гэсэн үг юм. Өмнөх жишээнүүдийн адил техникийг ашиглацгаая.

Хавтгайн тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье үүнээс "зэт" авч болох нь тодорхой байна ямар чутга. Үүнийг засаад, "уугуул" хавтгайд ердийн "хавтгай" шулуун шугамыг зурцгаая. Үүнийг барихын тулд лавлах цэгүүдийг авахад тохиромжтой.

Учир нь "Z" хүлээн зөвшөөрч байна Бүгдутгууд, дараа нь баригдсан шулуун шугам нь тасралтгүй дээш доош "үрждэг" бөгөөд ингэснээр хүссэн хавтгайг үүсгэдэг. . Бид боломжийн хэмжээтэй параллелограммыг сайтар зурдаг.

Бэлэн.

Сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл

Хамгийн чухал хэрэглээний сорт. Хэрэв Бүгдмагадлал хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл тэг биш, дараа нь хэлбэрээр төлөөлж болно гэж нэрлэдэг сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл. Онгоц нь координатын тэнхлэгүүдийг цэгээр огтолж байгаа нь ойлгомжтой бөгөөд ийм тэгшитгэлийн том давуу тал нь зураг зурахад хялбар байдаг.

Жишээ 5

Онгоц барих

Шийдэл: Эхлээд сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулъя. Чөлөөт нэр томъёог баруун тийш шидээд хоёр талыг 12-т хуваая.

Үгүй ээ, энд ямар ч үсгийн алдаа байхгүй бөгөөд бүх зүйл сансарт тохиолддог! Бид саяхан онгоцонд ашигласан ижил аргыг ашиглан санал болгож буй гадаргууг шалгана. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье , үүнээс "zet" авдаг гэсэн үг ямар чутга. Хавтгай дээр эллипсийг засаад барьцгаая. Учир нь "zet" хүлээн авдаг Бүгдутгууд, дараа нь баригдсан эллипс дээш доош тасралтгүй "хуулбарлана". Гадаргууг ойлгоход хялбар байдаг хязгааргүй:

Энэ гадаргууг гэж нэрлэдэг эллипс цилиндр. Зууван (ямар ч өндөрт) гэж нэрлэдэг хөтөчцилиндр ба эллипсийн цэг бүрийг дайран өнгөрөх параллель шугамуудыг гэж нэрлэдэг бүрдүүлэхцилиндр (энэ нь шууд утгаараа бүрдүүлдэг). Тэнхлэг нь тэгш хэмийн тэнхлэггадаргуу (гэхдээ хэсэг биш!).

Өгөгдсөн гадаргууд хамаарах аливаа цэгийн координат нь тэгшитгэлийг заавал хангана .

Орон зайнтэгш бус байдал нь цилиндр гадаргууг багтаасан хязгааргүй "хоолойн" "дотор талыг" тодорхойлдог бөгөөд үүний дагуу эсрэг талын тэгш бус байдал нь цилиндрийн гаднах цэгүүдийн багцыг тодорхойлдог.

Практик асуудлуудад хамгийн алдартай онцгой тохиолдол бол хэзээ юм хөтөчцилиндр байна тойрог:

Жишээ 8

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн гадаргууг байгуул

Төгсгөлгүй "хоолой" дүрслэх боломжгүй тул урлаг нь ихэвчлэн "шүргэх" замаар хязгаарлагддаг.

Нэгдүгээрт, хавтгайд радиусын тойрог, дараа нь дээш ба доор хэд хэдэн тойрог барих нь тохиромжтой. Үүссэн тойрог ( хөтөчүүдцилиндр) дөрвөн зэрэгцээ шулуун шугамаар болгоомжтой холбоно. бүрдүүлэхцилиндр):

Бидэнд үл үзэгдэх шугамын хувьд тасархай шугам ашиглахаа бүү мартаарай.

Өгөгдсөн цилиндрт хамаарах аливаа цэгийн координат нь тэгшитгэлийг хангана . "Хоолойн" дотор байрлах аливаа цэгийн координатууд тэгш бус байдлыг хангадаг. , тэгш бус байдал гадаад хэсгийн цэгүүдийн багцыг тодорхойлно. Илүү сайн ойлгохын тулд би сансар огторгуйн хэд хэдэн тодорхой цэгүүдийг анхаарч үзэхийг зөвлөж байна.

Жишээ 9

Гадаргууг барьж, түүний хавтгай дээрх проекцийг ол

Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье үүнээс "x" авдаг гэсэн үг ямар чутга. Онгоцонд засаж, дүрсэлцгээе тойрог– эх цэг дээр төвтэй, нэгж радиустай. Учир нь "x" тасралтгүй хүлээн авдаг Бүгдутгууд, дараа нь барьсан тойрог нь тэгш хэмийн тэнхлэг бүхий дугуй цилиндрийг үүсгэдэг. Өөр тойрог зурах ( хөтөчцилиндр) ба тэдгээрийг шулуун шугамаар болгоомжтой холбоно уу ( бүрдүүлэхцилиндр). Зарим газар давхцаж байсан, гэхдээ та юу хийж чадах вэ, ийм налуу байна:

Энэ удаад би цоорхойд цилиндрийн хэсэгээр өөрийгөө хязгаарласан бөгөөд энэ нь санамсаргүй биш юм. Практикт ихэвчлэн гадаргуугийн жижиг хэсгийг дүрслэх шаардлагатай байдаг.

Дашрамд дурдахад, энд 6 генератор байдаг - хоёр нэмэлт шулуун шугам нь гадаргууг зүүн дээд ба баруун доод булангаас "бүрхдэг".

Одоо цилиндрийн хавтгай дээрх проекцийг харцгаая. Олон уншигчид төсөөлөл гэж юу болохыг ойлгодог, гэхдээ дахиад таван минутын биеийн тамирын дасгал хийцгээе. Зурган дээр босоод толгойгоо бөхийлгөж, тэнхлэгийн цэг нь таны духан дээр перпендикуляр болно. Цилиндр энэ өнцгөөс харагдаж байгаа зүйл бол түүний хавтгай дээрх проекц юм. Гэхдээ энэ нь шулуун шугамууд, түүний дотор шулуун шугамын хооронд хаалттай, төгсгөлгүй зурвас юм шиг санагддаг. Энэ төсөөлөл яг таарч байна домэйнфункцууд (цилиндрийн дээд "суваг"), (доод "суваг").

Дашрамд хэлэхэд, бусад координатын хавтгай дээрх проекцуудын нөхцөл байдлыг тодруулъя. Цилиндр дээр үзүүрээс болон тэнхлэгийн дагуу нарны туяа тусна. Хавтгай дээрх цилиндрийн сүүдэр (проекц) нь ижил төстэй хязгааргүй зурвас юм - шулуун шугамаар (- ямар ч) хүрээлэгдсэн хавтгайн хэсэг, түүний дотор шулуун шугамууд.

Гэхдээ онгоцон дээрх төсөөлөл нь арай өөр юм. Хэрэв та цилиндрийг тэнхлэгийн үзүүрээс харвал энэ нь нэгж радиустай тойрогт тусгагдана. , үүгээр бид барилгын ажлыг эхлүүлсэн.

Жишээ 10

Гадаргууг барьж, координатын хавтгай дээрх проекцийг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх ёстой ажил юм. Нөхцөл байдал тийм ч тодорхой биш бол хоёр талыг нь квадрат болгож, үр дүнд дүн шинжилгээ хийх; функцээр цилиндрийн аль хэсгийг тодорхойлсон болохыг олж мэд. Дээр олон удаа ашигласан барилгын техникийг ашигла. Хичээлийн төгсгөлд богино шийдэл, зураг, тайлбар.

Зууван болон бусад цилиндр гадаргууг координатын тэнхлэгтэй харьцуулж болно, жишээлбэл:

(тухай нийтлэлийн танил сэдэл дээр үндэслэсэн 2-р дарааллын шугам) – тэнхлэгтэй параллель цэгээр дамжин өнгөрөх тэгш хэмийн шугам бүхий нэгж радиустай цилиндр. Гэсэн хэдий ч практик дээр ийм цилиндрүүд маш ховор тохиолддог бөгөөд координатын тэнхлэгтэй харьцуулахад "ташуу" цилиндр гадаргуутай тулгарах нь үнэхээр гайхалтай юм.

Параболик цилиндрүүд

Нэрнээс нь харахад хөтөчийм цилиндр байна парабол.

Жишээ 11

Гадаргууг барьж, координатын хавтгай дээрх проекцийг ол.

Би энэ жишээг эсэргүүцэж чадсангүй =)

Шийдэл: Зуурсан замаар явцгаая. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье, үүнээс "zet" нь ямар ч утгыг авч болно. Хавтгай дээр энгийн параболыг засаж, барьцгаая, өмнө нь өчүүхэн жишиг цэгүүдийг тэмдэглэе. Учир нь "Z" хүлээн зөвшөөрч байна Бүгдутгууд, дараа нь баригдсан параболыг хязгааргүй хүртэл дээш доош тасралтгүй "хувилдаг". Бид ижил параболыг өндөрт (хавтгайнд) байрлуулж, тэдгээрийг зэрэгцээ шулуун шугамаар болгоомжтой холбоно. цилиндрийг бүрдүүлэх):

Би танд сануулж байна ашигтай техник: Хэрэв та эхлээд зургийн чанарт эргэлзэж байгаа бол эхлээд харандаагаар зураасыг маш нимгэн зурах нь дээр. Дараа нь бид ноорог зургийн чанарыг үнэлж, гадаргуу нь бидний нүднээс нуугдаж байгаа газрыг олж мэдээд зөвхөн зүүг дарна.

Төсөөлөл.

1) Цилиндрийн хавтгай дээрх проекц нь парабол юм. Энэ тохиолдолд энэ талаар ярих боломжгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй хоёр хувьсагчийн функцийг тодорхойлох домэйн– цилиндрийн тэгшитгэлийг функциональ хэлбэрт оруулах боломжгүй гэсэн шалтгаанаар.

2) Цилиндрийн хавтгай дээрх проекц нь тэнхлэгийг оруулаад хагас хавтгай байна.

3) Эцэст нь цилиндрийн хавтгай дээрх проекц нь бүхэл бүтэн хавтгай юм.

Жишээ 12

Параболик цилиндрийг бүтээх:

a) ойрын хагас орон зайд гадаргуугийн хэлтэрхийгээр өөрийгөө хязгаарлах;

б) интервалд

Хэцүү тохиолдолд бид яарах хэрэггүй бөгөөд өмнөх жишээнүүдтэй харьцуулж, аз болоход технологийг сайтар боловсруулсан болно. Хэрэв гадаргуу нь бага зэрэг болхи болвол чухал биш - үндсэн дүр зургийг зөв харуулах нь чухал юм. Би өөрөө зураасны гоо үзэсгэлэнд санаа зовдоггүй, хэрэв би C үнэлгээтэй тэнцэх хэмжээний зураг авбал би үүнийг ихэвчлэн дахин хийдэггүй. Дашрамд хэлэхэд, дээжийн шийдэл нь зургийн чанарыг сайжруулах өөр техникийг ашигладаг ;-)

Гипербол цилиндр

ХөтөчИйм цилиндр нь гипербол юм. Миний ажигласнаар энэ төрлийн гадаргуу нь өмнөх төрлүүдээс хамаагүй бага байдаг тул би гипербол цилиндрийн нэг схемийн зургаар өөрийгөө хязгаарлах болно.

Энд үндэслэл гаргах зарчим нь яг адилхан - ердийн зүйл сургуулийн гиперболхавтгайгаас дээш доош тасралтгүй "үрждэг" хязгааргүй.

Үзэж буй цилиндрүүд нь гэж нэрлэгддэг цилиндрт хамаарна 2-р эрэмбийн гадаргуу, одоо бид энэ бүлгийн бусад төлөөлөгчидтэй үргэлжлүүлэн танилцах болно.

Эллипсоид. Бөмбөрцөг ба бөмбөг

Тэгш өнцөгт координатын систем дэх эллипсоидын каноник тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна , эерэг тоо хаана байна ( тэнхлэгийн босоо амэллипсоид), ерөнхий тохиолдолд өөр. Эллипсоид гэж нэрлэдэг гадаргуу, тийм бие, өгөгдсөн гадаргуугаар хязгаарлагддаг. Олон хүмүүсийн таамаглаж байгаагаар бие нь тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог ямар ч дотоод цэгийн координатууд (түүнчлэн гадаргуугийн аль ч цэг) энэ тэгш бус байдлыг хангах ёстой. Загвар нь координатын тэнхлэг ба координатын хавтгайд тэгш хэмтэй байна.

"Элипсоид" гэсэн нэр томъёоны гарал үүсэл нь бас тодорхой юм: хэрэв гадаргууг координатын хавтгайгаар "тайрах" тохиолдолд хэсгүүд нь гурван өөр (ерөнхий тохиолдолд) гарах болно.

Хоёрдахь эрэмбийн гадаргуу- эдгээр нь тэгш өнцөгт координатын системд хоёрдугаар зэргийн алгебрийн тэгшитгэлээр тодорхойлогддог гадаргуу юм.

1. Эллипсоид.

Тэгшитгэл (1) гэж нэрлэгддэг эллипсоидын каноник тэгшитгэл.

Эллипсоидын геометрийн хэлбэрийг тогтооцгооё. Үүнийг хийхийн тулд энэ эллипсоидын хэсгүүдийг хавтгайтай параллель хавтгайгаар авч үзье Окси.Эдгээр хавтгай бүрийг хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлно z=h, Хаана h– дурын тоо байх ба тухайн хэсэгт олж авсан шугамыг хоёр тэгшитгэлээр тодорхойлно

Төрөл бүрийн утгын тэгшитгэлийг (2) судалцгаая h .

Эндээс энэ нь онгоц гэсэн үг юм z=hхагас тэнхлэг бүхий эллипсийн дагуу эллипсоид огтлолцоно

Өгөгдсөн гадаргууг координатын хавтгайтай параллель хавтгайгаар огтлох үед ижил төстэй зургийг олж авна OxzТэгээд Ойз.

Тиймээс авч үзсэн хэсгүүд нь эллипсоидыг хаалттай зууван гадаргуу хэлбэрээр дүрслэх боломжтой болгодог (Зураг 156). Тоо хэмжээ a, b, cгэж нэрлэдэг тэнхлэгийн босоо амэллипсоид. Хэзээ a=b=cэллипсоид юм бөмбөрцөгth.

2. Нэг судалтай гиперболоид.

(3) тэгшитгэлийг нэг туузан гиперболоидын каноник тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Гадаргуугийн төрлийг тохируулъя (3). Үүнийг хийхийн тулд координатын хавтгайн хэсгийг авч үзье Окси (у=0)ТэгээдOyx (x=0).Үүний дагуу бид тэгшитгэлийг олж авдаг

Одоо энэ гиперболоидын хэсгүүдийг координатын хавтгайтай параллель z=h хавтгайгаар авч үзье Окси. Хэсэг дэх үр дүнгийн шугамыг тэгшитгэлээр тодорхойлно

Үүнээс үзэхэд z=h хавтгай нь хагас тэнхлэг бүхий эллипсийн дагуу гиперболоидыг огтолж байна.

h = 0 үед хамгийн бага утгууддаа хүрэх, өөрөөр хэлбэл. энэ гиперболоидын хэсэгт координатын тэнхлэг Окси нь a*=a ба b*=b хагас тэнхлэгтэй хамгийн жижиг эллипсийг үүсгэдэг. Хязгааргүй өсөлттэй

Тиймээс авч үзсэн хэсгүүд нь нэг туузан гиперболоидыг хязгааргүй хоолой хэлбэрээр дүрслэх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь Окси хавтгайгаас холдох тусам (хоёр талдаа) хязгааргүй тэлдэг.

a, b, c хэмжигдэхүүнүүдийг нэг туузан гиперболоидын хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

3. Хоёр хуудас гиперболоид.

Хоёр хуудас гиперболоид нь тэгш өнцөгт координатын системд тэгшитгэлээр тодорхойлогддог гадаргуу юм.

(5) тэгшитгэлийг хоёр хуудас гиперболоидын каноник тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Гадаргуугийн геометрийн дүр төрхийг тогтооцгооё (5). Үүнийг хийхийн тулд түүний хэсгүүдийг Oxy ба Oyz координатын хавтгайгаар авч үзье. Үүний дагуу бид тэгшитгэлийг олж авдаг

үүнээс гиперболыг хэсэг хэсгээр нь олж авдаг.

Одоо энэ гиперболоидын хэсгүүдийг Oxy координатын хавтгайтай параллель z=h хавтгайгаар авч үзье. Хэсэгт олж авсан шугамыг тэгшитгэлээр тодорхойлно

үүнээс энэ нь хэзээ гэсэн үг юм

a, b, c хэмжигдэхүүнүүдийг хоёр хуудас гиперболоидын хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

4. Эллипс параболоид.

Зууван параболоид нь тэгш өнцөгт координатын системд тэгшитгэлээр тодорхойлогддог гадаргуу юм.

Энд p>0 ба q>0 байна.

(7) тэгшитгэлийг эллипс параболоидын каноник тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Энэ гадаргуугийн хэсгүүдийг Окси ба Ойз координатын хавтгайгаар авч үзье. Үүний дагуу бид тэгшитгэлийг олж авдаг

Үүнээс үзэхэд хэсгүүд нь Oz тэнхлэгт тэгш хэмтэй параболуудыг гаргаж ирдэг ба оройнууд нь эхэнд байдаг. (8)

үүнээс үүдэн . h нэмэгдэхийн хэрээр a ба b-ийн утга нэмэгддэг; h=0 үед эллипс нь цэг болж доройтож (z=0 хавтгай өгөгдсөн гиперболоидод хүрнэ). h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Тиймээс авч үзсэн хэсгүүд нь эллипс параболоидыг хязгааргүй гүдгэр аяга хэлбэрээр дүрслэх боломжтой болгодог.

(0;0;0) цэгийг параболоидын орой гэж нэрлэдэг; p ба q тоонууд нь түүний параметрүүд юм.

p=q тохиолдолд тэгшитгэл (8) нь Oz тэнхлэг дээр төвтэй тойргийг тодорхойлно, өөрөөр хэлбэл. зууван параболоидыг тэнхлэгийн эргэн тойронд параболын эргэлтээс үүссэн гадаргуу (хувьсгалын параболоид) гэж үзэж болно.

5. Гиперболик параболоид.

Гипербол параболоид нь тэгш өнцөгт координатын системд тэгшитгэлээр тодорхойлогддог гадаргуу юм.

Оюутнууд эхний жилдээ 2-р зэрэглэлийн гадаргуутай ихэвчлэн тулгардаг. Эхлээд энэ сэдэвтэй холбоотой асуудлууд энгийн мэт санагдаж болох ч та дээд математикийг судалж, шинжлэх ухааны тал руугаа гүнзгийрснээр юу болж байгааг анзаарахаа болино. Ийм зүйл тохиолдохгүйн тулд та зүгээр л цээжлээд зогсохгүй, энэ эсвэл бусад гадаргууг хэрхэн олж авах, коэффициентийн өөрчлөлт түүнд хэрхэн нөлөөлж, анхны координатын системтэй харьцуулахад түүний байршил, шинэ системийг хэрхэн олох талаар ойлгох хэрэгтэй. түүний төв нь гарал үүслийн координатуудтай давхцаж байгаа боловч координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд параллель байна). Эхнээс нь эхэлцгээе.

Тодорхойлолт

2-р эрэмбийн гадаргууг GMT гэж нэрлэдэг бөгөөд координатууд нь дараах хэлбэрийн ерөнхий тэгшитгэлийг хангадаг.

Гадаргуунд хамаарах цэг бүр тодорхой үндэслэлээр гурван координаттай байх ёстой нь тодорхой байна. Хэдийгээр зарим тохиолдолд цэгүүдийн байрлал нь жишээлбэл, хавтгай болж доройтож болно. Энэ нь зөвхөн координатуудын аль нэг нь тогтмол бөгөөд зөвшөөрөгдөх утгын бүх хүрээнд тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Дээрх тэгш байдлын бүрэн бичмэл хэлбэр нь дараах байдалтай байна.

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm нь зарим тогтмолууд, x, y, z нь цэгийн аффин координатад тохирох хувьсагч юм. Энэ тохиолдолд тогтмол хүчин зүйлсийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй, өөрөөр хэлбэл ямар ч цэг тэгшитгэлд тохирохгүй.

Ихэнх жишээн дээр олон тооны хүчин зүйлүүд тэгтэй тэнцүү хэвээр байгаа бөгөөд тэгшитгэлийг ихээхэн хялбаршуулсан болно. Практикт цэг нь гадаргууд хамаарах эсэхийг тодорхойлох нь тийм ч хэцүү биш (тэгшитгэлд түүний координатыг орлуулж, ижил төстэй байдлыг шалгахад хангалттай). Ийм ажлын гол зүйл бол сүүлийнхийг каноник хэлбэрт оруулах явдал юм.

Дээр бичсэн тэгшитгэл нь ямар ч (доор жагсаасан) 2-р эрэмбийн гадаргууг тодорхойлно. Доорх жишээнүүдийг харцгаая.

2-р эрэмбийн гадаргуугийн төрлүүд

2-р эрэмбийн гадаргуугийн тэгшитгэлүүд нь зөвхөн A nm коэффициентүүдийн утгуудад ялгаатай байдаг. Тогтмолуудын тодорхой утгын ерөнхий хэлбэрээс янз бүрийн гадаргууг дараахь байдлаар ангилж болно.

1. Цилиндрүүд.
2. Зууван төрөл.
3. Гиперболын төрөл.
4. Конус хэлбэрийн.
5. Параболик төрөл.
6. Онгоц.

Жагсаалтад орсон төрөл бүр нь байгалийн ба төсөөллийн хэлбэртэй байдаг: төсөөллийн хэлбэрээр бодит цэгүүдийн байрлал нь илүү энгийн дүрс болж доройтож, эсвэл огт байхгүй болно.

Цилиндрүүд

Харьцангуй төвөгтэй муруй нь зөвхөн суурь дээр байрладаг тул чиглүүлэгчийн үүрэг гүйцэтгэдэг тул энэ нь хамгийн энгийн төрөл юм. Генераторууд нь суурь байрладаг хавтгайд перпендикуляр шулуун шугамууд юм.

График нь дугуй цилиндрийг харуулж байна, зууван цилиндрийн онцгой тохиолдол. XY хавтгайд түүний проекц нь эллипс (бидний тохиолдолд тойрог) - хөтөч, XZ-д - тэгш өнцөгт байх болно - генераторууд нь Z тэнхлэгтэй параллель байдаг тул үүнийг ерөнхий тэгшитгэлээс авна Коэффицентүүдэд дараахь утгыг өгөх шаардлагатай.

Ердийн тэмдэглэгээний оронд серийн дугаартай x, y, z, x тэмдэгтүүдийг ашигладаг - энэ нь ямар ч утгагүй юм.

Үнэн хэрэгтээ 1/a 2 болон энд заасан бусад тогтмолууд нь ерөнхий тэгшитгэлд заасан коэффициентүүдтэй ижил боловч тэдгээрийг яг энэ хэлбэрээр бичих нь заншилтай байдаг - энэ бол каноник дүрслэл юм. Дараах зүйлд энэ оруулгыг зөвхөн ашиглах болно.

Энэ нь гипербол цилиндрийг тодорхойлдог. Схем нь адилхан - гипербол нь хөтөч болно.

Параболик цилиндрийг арай өөрөөр тодорхойлдог: түүний каноник хэлбэр нь параметр гэж нэрлэгддэг p коэффициентийг агуулдаг. Үнэн хэрэгтээ коэффициент нь q=2p боловч үүнийг танилцуулсан хоёр хүчин зүйлд хуваах нь заншилтай байдаг.

Өөр нэг төрлийн цилиндр байдаг: төсөөлөлтэй. Ийм цилиндрт ямар ч бодит цэг хамаарахгүй. Үүнийг эллипс цилиндрийн тэгшитгэлээр дүрсэлсэн боловч нэгний оронд -1 байна.

Зууван төрөл

Эллипсоидыг аль нэг тэнхлэгийн дагуу сунгаж болно (үүнд дээр дурдсан a, b, c тогтмолуудын утгуудаас хамаарна; том тэнхлэг нь илүү том коэффициенттэй тохирч байх нь ойлгомжтой).

Коэффициентээр үржүүлсэн координатын нийлбэр нь -1-тэй тэнцүү байвал зохиомол эллипсоид бас байдаг.

Гиперболоидууд

Тогтмолуудын аль нэгэнд хасах тэмдэг гарч ирэхэд эллипсоидын тэгшитгэл нь нэг хуудас гиперболоидын тэгшитгэл болж хувирдаг. Энэ хасах нь x3 координатын урд байрлах албагүй гэдгийг та ойлгох ёстой! Энэ нь зөвхөн тэнхлэгүүдийн аль нь гиперболоидын эргэлтийн тэнхлэг болохыг тодорхойлдог (эсвэл үүнтэй зэрэгцээ, учир нь квадрат дээр нэмэлт нэр томъёо гарч ирэх үед (жишээлбэл, (x-2) 2) зургийн төв нь шилжинэ. Үүний үр дүнд гадаргуу нь координатын тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ хөдөлдөг). Энэ нь 2-р зэрэглэлийн бүх гадаргууд хамаарна.

Нэмж дурдахад, тэгшитгэлийг каноник хэлбэрээр танилцуулсан бөгөөд тэдгээрийг тогтмолуудыг өөрчлөх замаар өөрчлөх боломжтой гэдгийг ойлгох хэрэгтэй (тэмдэгийг хадгалахын зэрэгцээ!); Үүний зэрэгцээ тэдгээрийн гадаад төрх (гиперболоид, конус гэх мэт) хэвээр байх болно.

Ийм тэгшитгэлийг хоёр хуудасны гиперболоидоор өгсөн болно.

Конус гадаргуу

Конус тэгшитгэлд нэгдмэл байдал байхгүй - энэ нь тэгтэй тэнцүү байна.

Зөвхөн хязгаарлагдмал конус гадаргууг конус гэж нэрлэдэг. Доорх зургаас харахад график дээр конус гэж нэрлэгддэг хоёр зүйл байх болно.

Анхаарах зүйл: бүх гэж үзсэн каноник тэгшитгэлд тогтмолуудыг анхдагчаар эерэг гэж үздэг. Үгүй бол тэмдэг нь эцсийн графикт нөлөөлж болно.

Координатын хавтгай нь конусын тэгш хэмийн хавтгай болж, тэгш хэмийн төв нь гарал үүсэл дээр байрладаг.

Төсөөллийн конусын тэгшитгэлд зөвхөн давуу талууд байдаг; Энэ нь нэг бодит цэгийг эзэмшдэг.

Параболоидууд

Сансарт 2-р эрэмбийн гадаргуу нь ижил төстэй тэгшитгэлтэй байсан ч өөр өөр хэлбэртэй байж болно. Жишээлбэл, параболоид нь хоёр төрөлтэй.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

Z тэнхлэг нь зурган дээр перпендикуляр байх үед эллипс параболоид нь эллипс хэлбэртэй болно.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z

Гипербол параболоид: ZY-тэй параллель хавтгайтай хэсгүүдэд парабол, XY-тэй параллель хавтгайтай хэсгүүдэд гиперболуудыг авна.

огтлолцох онгоцууд

Хавтгайд 2-р эрэмбийн гадаргуу доройтох тохиолдол байдаг. Эдгээр онгоцыг янз бүрийн аргаар байрлуулж болно.

Эхлээд огтлолцох онгоцуудыг харцгаая.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0

Каноник тэгшитгэлийн энэхүү өөрчлөлтөөр бид зүгээр л огтлолцсон хоёр онгоцыг олж авна (төсөөлөл!); бүх бодит цэгүүд нь тэгшитгэлд байхгүй координатын тэнхлэг дээр байрладаг (каноник дээр - Z тэнхлэг).

Зэрэгцээ онгоцууд

Хэрэв зөвхөн нэг координат байвал 2-р эрэмбийн гадаргуу нь хос зэрэгцээ хавтгай болж доройтдог. Тоглогчийн оронд өөр ямар ч хувьсагч байж болохыг бүү мартаарай; дараа нь бусад тэнхлэгүүдтэй параллель онгоцуудыг олж авна.

Энэ тохиолдолд тэд төсөөлөл болж хувирдаг.

Давхцсан онгоцууд

Ийм энгийн тэгшитгэлийн тусламжтайгаар хос онгоц нэг болж доройтож байна - тэдгээр нь давхцдаг.

Гурван хэмжээст суурьтай тохиолдолд дээрх тэгшитгэл нь y=0 шулуун шугамыг заагаагүй гэдгийг битгий мартаарай! Бусад хоёр хувьсагч дутуу байгаа боловч энэ нь тэдний утга тогтмол бөгөөд тэгтэй тэнцүү гэсэн үг юм.

Барилга

Оюутны хувьд хамгийн хэцүү ажлуудын нэг бол 2-р дарааллын гадаргууг барих явдал юм. Нэг координатын системээс нөгөөд шилжих нь тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад муруйны налуу өнцөг болон төвийн офсетийг харгалзан үзэх нь бүр ч хэцүү байдаг. Зургийн ирээдүйн дүр төрхийг аналитик аргаар хэрхэн тууштай тодорхойлох талаар давтан хэлье.

2-р зэрэглэлийн гадаргууг барихын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

• тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах;
• судалж буй гадаргуугийн төрлийг тодорхойлох;
• коэффициентүүдийн утгууд дээр үндэслэн байгуулна.

Дараахь бүх төрлийг харгалзан үзнэ.

Үүнийг бататгахын тулд бид энэ төрлийн даалгаврын нэг жишээг нарийвчлан тайлбарлах болно.

Жишээ

Бидэнд тэгшитгэл байна гэж бодъё:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Үүнийг каноник хэлбэрт оруулъя. Бүрэн квадратуудыг сонгоцгооё, өөрөөр хэлбэл бид байгаа нэр томъёог нийлбэр эсвэл зөрүүний квадратын задрал байхаар цэгцлэх болно. Жишээ нь: (a+1) 2 =a 2 +2a+1 бол a 2 +2a+1=(a+1) 2. Бид хоёр дахь мэс засал хийх болно. Энэ тохиолдолд хаалт нээх шаардлагагүй, учир нь энэ нь зөвхөн тооцооллыг хүндрүүлэх болно, гэхдээ нийтлэг хүчин зүйл 6-г хасах шаардлагатай (тоглоомын бүтэн квадрат бүхий хаалтанд):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Энэ тохиолдолд zet хувьсагч зөвхөн нэг удаа гарч ирнэ - та үүнийг одоохондоо ганцаараа үлдээж болно.

Энэ үе шатанд тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийцгээе: бүх үл мэдэгдэх зүйлсийн өмнө нэмэх тэмдэг байна; Зургаагаар хуваахад нэг үлдэнэ. Үүний үр дүнд эллипсоидыг тодорхойлсон тэгшитгэл бидний өмнө байна.

144-ийг 150-6-д хүчин зүйл болгож, дараа нь -6-г баруун тийш шилжүүлсэн болохыг анхаарна уу. Яагаад заавал ингэж хийх болов? Мэдээжийн хэрэг, энэ жишээн дэх хамгийн том хуваагч нь -6, тиймээс нэгжийг хуваасны дараа баруун талд үлдэхийн тулд 144-өөс яг 6-г (нэгж нь асаалттай байх ёстой гэдгийг) "хязгаарлах" шаардлагатай. эрх нь чөлөөт нэр томъёо байгаагаар илэрхийлэгддэг - үл мэдэгдэх хүртэл үржүүлээгүй тогтмол).

Бүгдийг зургаад хувааж эллипсоидын каноник тэгшитгэлийг гаргацгаая.

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

Өмнө нь хэрэглэж байсан 2-р эрэмбийн гадаргуугийн ангилалд зургийн төв нь координатын эхэнд байх тохиолдолд онцгой тохиолдлыг авч үздэг. Энэ жишээнд энэ нь офсет байна.

Үл мэдэгдэх хаалт бүрийг шинэ хувьсагч гэж бид таамаглаж байна. Энэ нь: a=x-1, b=y+5, c=z. Шинэ координатуудад эллипсоидын төв нь (0,0,0) цэгтэй давхцаж байгаа тул a=b=c=0, эндээс: x=1, y=-5, z=0. Анхны координатуудад зургийн төв нь (1,-5,0) цэг дээр байрладаг.

Эллипсоидыг хоёр эллипсээс авах болно: эхнийх нь XY хавтгайд, хоёр дахь нь XZ хавтгайд (эсвэл YZ - энэ нь хамаагүй). Хувьсагчдыг хуваах коэффициентийг каноник тэгшитгэлд квадратаар хуваана. Тиймээс дээрх жишээн дээр хоёр, нэг, гурвын язгуураар хуваах нь илүү зөв байх болно.

Y тэнхлэгтэй параллель эхний эллипсийн бага тэнхлэг нь хоёртой тэнцүү байна. Гол тэнхлэг нь X тэнхлэгтэй параллель байна - хоёр үндэс. Хоёр дахь эллипсийн жижиг тэнхлэг нь Y тэнхлэгтэй параллель хэвээр байна - энэ нь хоёртой тэнцүү байна. Мөн Z тэнхлэгтэй параллель том тэнхлэг нь гурвын хоёр үндэстэй тэнцүү байна.

Анхны тэгшитгэлээс олж авсан өгөгдлийг каноник хэлбэрт шилжүүлснээр бид эллипсоид зурж болно.

Дүгнэх

Энэ нийтлэлд дурдсан сэдэв нь нэлээд өргөн хүрээтэй боловч үнэн хэрэгтээ та одоо харж байгаагаар энэ нь тийм ч төвөгтэй биш юм. Түүний хөгжил нь гадаргуугийн нэрс, тэгшитгэлийг цээжлэх тэр мөчид дуусдаг (мөн мэдээжийн хэрэг тэд ямар харагддаг). Дээрх жишээн дээр бид алхам бүрийг нарийвчлан авч үзсэн боловч тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах нь дээд математикийн хамгийн бага мэдлэг шаарддаг бөгөөд оюутанд ямар ч хүндрэл учруулах ёсгүй.

Одоо байгаа тэгш байдлын үндсэн дээр ирээдүйн хуваарийг шинжлэх нь илүү хэцүү ажил юм. Гэхдээ үүнийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд хоёрдахь эрэмбийн муруйг хэрхэн яаж барьж байгааг ойлгоход хангалттай - эллипс, парабол болон бусад.

Эвдрэлийн тохиолдлууд нь бүр ч энгийн хэсэг юм. Зарим хувьсагч байхгүй тул урьд дурьдсанчлан тооцооллыг хялбаршуулаад зогсохгүй барилгын ажлыг өөрөө хийдэг.

Та бүх төрлийн гадаргууг итгэлтэйгээр нэрлэж, тогтмолуудыг өөрчилж, графикийг нэг юмуу өөр хэлбэрт оруулж чадвал тухайн сэдвийг бүрэн эзэмшинэ.

Та бүхний сурлагад амжилт хүсье!