огтлолцох шугамын тэгшитгэл. Өнцөг болон мэдэгдэж буй хоёр цэгийг ашиглан хоёр шулууны огтлолцлын цэгийг олох (хос өнцөгт)

"Геометрийн алгоритмууд" цувралын хичээл

Сайн байна уу эрхэм уншигч!

Геометрийн алгоритмуудтай үргэлжлүүлэн танилцацгаая. Сүүлийн хичээлээр бид хоёр цэгийн координатыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг олсон. Бид дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авлаа.

Өнөөдөр бид хоёр шулуун шугамын тэгшитгэлийг ашиглан тэдгээрийн огтлолцлын цэгийн координатыг (хэрэв байгаа бол) олох функцийг бичих болно. Бодит тоонуудын тэгш байдлыг шалгахын тулд бид RealEq() тусгай функцийг ашиглана.

Хавтгай дээрх цэгүүдийг хос бодит тоогоор дүрсэлдэг. Бодит төрлийг ашиглахдаа тусгай функцийг ашиглан харьцуулах үйлдлийг хэрэгжүүлэх нь дээр.

Шалтгаан нь мэдэгдэж байна: Паскалийн програмчлалын систем дэх Бодит төрөл дээр дарааллын хамаарал байхгүй тул a = b хэлбэрийн бичлэгүүдийг ашиглахгүй байх нь дээр, a ба b нь бодит тоо юм.
Өнөөдөр бид "=" (хатуу тэнцүү) үйлдлийг хэрэгжүүлэх RealEq() функцийг танилцуулах болно.

Функц RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (хатуу тэнцүү) эхлэх RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Даалгавар. Хоёр шулуун шугамын тэгшитгэл өгөгдсөн: ба . Тэдний огтлолцох цэгийг ол.

Шийдэл. Тодорхой шийдэл бол шугамын тэгшитгэлийн системийг шийдэх явдал юм. Энэ системийг арай өөрөөр дахин бичье:
(1)

Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя: , , . Энд D нь системийн тодорхойлогч бөгөөд харгалзах үл мэдэгдэх коэффициентийн баганыг чөлөөт нэр томъёоны баганаар сольсны үр дүнд үүсэх тодорхойлогч юм. Хэрэв бол (1) систем нь тодорхой, өөрөөр хэлбэл өвөрмөц шийдэлтэй байна. Энэ шийдлийг дараах томъёог ашиглан олж болно: , гэж нэрлэдэг Крамерын томъёо. Хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг хэрхэн тооцдогийг сануулъя. Тодорхойлогч нь үндсэн ба хоёрдогч гэсэн хоёр диагональыг ялгадаг. Үндсэн диагональ нь тодорхойлогчийн зүүн дээд булангаас баруун доод булан хүртэлх чиглэлд авсан элементүүдээс бүрдэнэ. Хажуугийн диагональ - баруун дээд хэсгээс зүүн доод хүртэл. Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч нь үндсэн диагональын элементүүдийн үржвэрээс хоёрдогч диагональын элементүүдийн үржвэрийг хассантай тэнцүү байна.

Код нь тэгш байдлыг шалгахын тулд RealEq() функцийг ашигладаг. Бодит тоонуудын тооцоог _Eps=1e-7 нарийвчлалтайгаар гүйцэтгэнэ.

Geom2 програм; Const _Eps: Real=1e-7;(тооцооны нарийвчлал) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real;<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Function RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (хатуу тэнцүү) эхлэх RealEq:=Abs(a-b)

Шулуунуудын тэгшитгэлийг мэдэж, тэдгээрийн огтлолцлын цэгүүдийн координатыг олох боломжтой програмыг бид эмхэтгэсэн.

Координатын аргаар зарим геометрийн асуудлыг шийдэхдээ шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг олох хэрэгтэй. Ихэнхдээ та хавтгай дээрх хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг хайх хэрэгтэй болдог ч заримдаа огторгуй дахь хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Энэ нийтлэлд бид хоёр шулуун огтлолцох цэгийн координатыг олох болно.

Хуудасны навигаци.

Хоёр шугамын огтлолцох цэг нь тодорхойлолт юм.

Эхлээд хоёр шулууны огтлолцох цэгийг тодорхойлъё.

Хавтгай дээрх шулуунуудын харьцангуй байрлалын хэсэгт хавтгай дээрх хоёр шулуун давхцаж (мөн тэдгээр нь хязгааргүй олон нийтлэг цэгүүдтэй), эсвэл параллель (мөн хоёр шулуун нь нийтлэг цэггүй) эсвэл огтлолцож болохыг харуулсан. , нэг нийтлэг зүйлтэй. Орон зай дахь хоёр шугамын харьцангуй байрлалын хувьд илүү олон сонголтууд байдаг - тэдгээр нь давхцаж болно (хязгааргүй олон нийтлэг цэгүүдтэй), тэдгээр нь параллель байж болно (өөрөөр хэлбэл нэг хавтгайд хэвтэж, огтлолцдоггүй), огтлолцсон байж болно (биш нэг хавтгайд хэвтэх), мөн тэдгээр нь нэг нийтлэг цэгтэй байж болно, өөрөөр хэлбэл огтлолцдог. Тиймээс хавтгай ба орон зайд байгаа хоёр шулууныг нэг нийтлэг цэгтэй бол огтлолцсон гэж нэрлэдэг. Огтлолцсон шугамын тодорхойлолтоос харахад дараах байдалтай байнашугамын огтлолцлын цэгийг тодорхойлох

: Хоёр шулууны огтлолцох цэгийг эдгээр шулуунуудын огтлолцох цэг гэнэ. Өөрөөр хэлбэл огтлолцсон хоёр шулууны цорын ганц нийтлэг цэг нь эдгээр шугамын огтлолцох цэг юм.

Тодорхой болгохын тулд бид хавтгай ба орон зайд хоёр шулуун шугамын огтлолцох цэгийн график дүрслэлийг толилуулж байна.

Хуудасны дээд хэсэг

Хавтгай дээрх хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг олох.

Хавтгай дээрх хоёр шулуун шугамын огтлолцох цэгийн координатыг тэдгээрийн мэдэгдэж буй тэгшитгэлийг ашиглан олохын өмнө туслах бодлогыг бод. Оксиа Тэгээдб Окси. Бид үүнийг шууд таамаглах болно Тэгээдхэлбэрийн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл ба шулуун шугамын тэгшитгэлд тохирно - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэйМ 0

өгөгдсөн шугамын огтлолцлын цэг.

Асуудлыг шийдье. Хэрэв Оксиа ТэгээдМ0 Окси, дараа нь тодорхойлолтоор энэ нь мөн мөрөнд хамаарна Тэгээд, өөрөөр хэлбэл, түүний координат нь тэгшитгэл болон тэгшитгэлийг хоёуланг нь хангах ёстой. Тиймээс бид цэгийн координатыг орлуулах хэрэгтэй - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэйөгөгдсөн шулуунуудын тэгшитгэлд оруулаад, үр дүнд нь хоёр зөв тэнцүү байгаа эсэхийг шалгана уу. Хэрэв цэгийн координат - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэйтэгшитгэлийн аль алиныг нь хангах ба , дараа нь шугамуудын огтлолцлын цэг болно Оксиа Тэгээд, өөрөөр - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй .

Гол нь - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэйкоординатуудтай (2, -3) шугамын огтлолцлын цэг 5х-2ж-16=0Тэгээд 2х-5ж-19=0?

Асуудлыг шийдье. - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэйЭнэ нь үнэхээр өгөгдсөн шугамуудын огтлолцлын цэг бол түүний координатууд нь шугамын тэгшитгэлийг хангана. Үүнийг цэгийн координатыг орлуулах замаар шалгая - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэйөгөгдсөн тэгшитгэлд:

Тиймээс бид хоёр жинхэнэ тэгш байдлыг олж авсан. М 0 (2, -3)- шугамын огтлолцлын цэг 5х-2ж-16=0а 2х-5ж-19=0.

Тодорхой болгохын тулд бид шулуун шугамууд болон тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийн координатуудыг харуулсан зургийг толилуулж байна.

тийм ээ, үе М 0 (2, -3)шугамуудын огтлолцох цэг юм 5х-2ж-16=0а 2х-5ж-19=0.

Шугаманууд огтлолцдог уу? 5х+3у-1=0а 7х-2ж+11=0цэг дээр М 0 (2, -3)?

Цэгийн координатыг орлуулъя - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэйШулуун шугамын тэгшитгэлд энэ үйлдэл нь тухайн цэг хамаарах эсэхийг шалгах болно - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэйхоёр шулуун шугамыг нэгэн зэрэг:

Хоёр дахь тэгшитгэлээс хойш цэгийн координатыг орлуулах үед - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэйжинхэнэ тэгш байдал болж хувирсангүй, тэгвэл цэг - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэймөрөнд хамаарахгүй 7х-2ж+11=0. Энэ баримтаас бид цэг гэж дүгнэж болно - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэйөгөгдсөн шугамуудын огтлолцох цэг биш.

Зурган дээр ч гэсэн энэ нь тодорхой харагдаж байна - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэйшугамын огтлолцох цэг биш юм 5х+3у-1=0а 7х-2ж+11=0. Өгөгдсөн шугамууд координаттай цэг дээр огтлолцох нь ойлгомжтой (-1, 2) .

М 0 (2, -3)шугамын огтлолцох цэг биш юм 5х+3у-1=0а 7х-2ж+11=0.

Одоо бид хавтгай дээрх шулуунуудын өгөгдсөн тэгшитгэлийг ашиглан хоёр шулууны огтлолцлын цэгийн координатыг олох даалгавар руу шилжиж болно.

Тэгш өнцөгт декартын координатын системийг хавтгай дээр тогтооё Хавтгай дээрх хоёр шулуун шугамын огтлолцох цэгийн координатыг тэдгээрийн мэдэгдэж буй тэгшитгэлийг ашиглан олохын өмнө туслах бодлогыг бод.мөн хоёр огтлолцсон шугам өгөгдсөн Оксиа Тэгээдтэгшитгэл ба тус тус. Өгөгдсөн шулуунуудын огтлолцох цэгийг гэж тэмдэглэе - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэйДараах бодлогыг шийд: хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг ол Оксиа Тэгээдэдгээр шугамын мэдэгдэж буй тэгшитгэлийн дагуу ба .

Цэг Хэрэвогтлолцсон шугам тус бүрт хамаарна Оксиа Тэгээда- приорит. Дараа нь шугамуудын огтлолцох цэгийн координатууд Оксиа Тэгээдтэгшитгэл ба тэгшитгэлийн аль алиныг нь хангана. Иймд хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатууд Оксиа Тэгээднь тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм (шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх нийтлэлийг үзнэ үү).

Иймд хавтгай дээр тодорхойлсон хоёр шулуун шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг ерөнхий тэгшитгэлээр олохын тулд өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлээс бүрдсэн системийг шийдэх хэрэгтэй.

Шийдлийн жишээг авч үзье.

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлсон хоёр шулууны огтлолцлын цэгийг тэгшитгэлээр ол. x-9y+14=0а 5х-2ж-16=0.

Бидэнд хоёр ерөнхий шугамын тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд тэдгээрээс систем байгуулъя: . Үүссэн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг хувьсагчтай холбоотой эхний тэгшитгэлийг шийдэх замаар амархан олно. xмөн энэ илэрхийллийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:

Тэгшитгэлийн системийн олсон шийдэл нь хоёр шугамын огтлолцох цэгийн хүссэн координатыг өгдөг.

М 0 (4, 2)- шугамын огтлолцлын цэг x-9y+14=0а 5х-2ж-16=0.

Тиймээс хавтгай дээрх ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хоёр шулуун шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг олох нь хоёр үл мэдэгдэх хувьсагчтай хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхэд хүргэдэг. Гэхдээ хавтгай дээрх шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр биш, харин өөр төрлийн тэгшитгэлээр өгвөл яах вэ (хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэлийн төрлийг үзнэ үү)? Эдгээр тохиолдолд та эхлээд шугамын тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэр болгон бууруулж, зөвхөн үүний дараа огтлолцлын цэгийн координатыг олох боломжтой.

Өгөгдсөн шулуунуудын огтлолцлын цэгийн координатыг олохын өмнө бид тэдгээрийн тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт оруулдаг. Шугамын параметрийн тэгшитгэлээс энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэл рүү шилжих нь дараах байдалтай байна.

Одоо шулуун шугамын каноник тэгшитгэлээр шаардлагатай үйлдлүүдийг хийцгээе.

Тиймээс шугамуудын огтлолцох цэгийн хүссэн координатууд нь тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм. Үүнийг шийдэхийн тулд бид Крамерын аргыг ашигладаг.

М 0 (-5, 1)

Хавтгай дээрх хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг олох өөр нэг арга бий. Нэг мөр нь хэлбэрийн параметрийн тэгшитгэлээр, нөгөө нь өөр төрлийн шугамын тэгшитгэлээр өгөгдсөн тохиолдолд ашиглахад тохиромжтой. Энэ тохиолдолд хувьсагчийн оронд өөр тэгшитгэлд xа yболон илэрхийллийг орлуулж, өгөгдсөн шугамын огтлолцлын цэгт тохирох утгыг хаанаас авах боломжтой. Энэ тохиолдолд шугамын огтлолцох цэг нь координаттай байна.

Өмнөх жишээн дээрх шугамуудын огтлолцох цэгийн координатыг энэ аргыг ашиглан олъё.

Шулуунуудын огтлолцох цэгийн координатыг тодорхойлох ба .

Шулуун шугамын илэрхийлэлийг тэгшитгэлд орлъё.

Үүссэн тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид . Энэ утга нь шугамын нийтлэг цэг болон . Параметрийн тэгшитгэлд шулуун шугамыг орлуулах замаар бид огтлолцлын цэгийн координатыг тооцоолно.
.

М 0 (-5, 1).

Зургийг дуусгахын тулд өөр нэг зүйлийг хэлэлцэх хэрэгтэй.

Хавтгай дээрх хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг олохын өмнө өгөгдсөн шулуунууд үнэхээр огтлолцож байгаа эсэхийг шалгах нь зүйтэй. Хэрэв анхны шугамууд давхцаж байгаа эсвэл параллель байвал ийм шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг олох асуудал байхгүй болно.

Мэдээжийн хэрэг та ийм шалгалт хийхгүйгээр хийж болно, гэхдээ тэр даруй хэлбэрийн тэгшитгэлийн системийг үүсгэж, шийдээрэй. Хэрэв тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бол анхны шугамуудын огтлолцох цэгийн координатыг өгнө. Хэрэв тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй бол бид анхны шугамууд зэрэгцээ байна гэж дүгнэж болно (ийм хос бодит тоо байхгүй тул) xа y, энэ нь өгөгдсөн шугамын хоёр тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг хангах болно). Тэгшитгэлийн системд хязгааргүй олон тооны шийд байдгаас үзэхэд анхны шулуун шугамууд нь хязгааргүй олон нийтлэг цэгүүдтэй, өөрөөр хэлбэл давхцдаг.

Эдгээр нөхцөл байдалд тохирсон жишээг авч үзье.

Шулуунууд огтлолцож байгаа эсэхийг олж, хэрвээ огтлолцсон бол огтлолцох цэгийн координатыг ол.

Өгөгдсөн шугамын тэгшитгэл нь тэгшитгэл болон . Эдгээр тэгшитгэлээс бүтсэн системийг шийдье.

Системийн тэгшитгэлүүд хоорондоо шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгддэг нь тодорхой байна (системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийхээс түүний хоёр хэсгийг хоёроор үржүүлснээр олж авна. 4 ), тиймээс тэгшитгэлийн систем нь хязгааргүй тооны шийдтэй байдаг. Тиймээс тэгшитгэлүүд нь ижил шугамыг тодорхойлдог бөгөөд бид эдгээр шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг олох талаар ярих боломжгүй юм.

тэгшитгэлүүд ба тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлогддог Хавтгай дээрх хоёр шулуун шугамын огтлолцох цэгийн координатыг тэдгээрийн мэдэгдэж буй тэгшитгэлийг ашиглан олохын өмнө туслах бодлогыг бод.ижил шулуун шугам тул бид огтлолцлын цэгийн координатыг олох талаар ярьж чадахгүй.

Боломжтой бол шугамуудын огтлолцох цэгийн координатыг ол.

Асуудлын нөхцөл нь шугамууд огтлолцохгүй байхыг зөвшөөрдөг. Эдгээр тэгшитгэлээс систем байгуулъя. Үүнийг шийдвэрлэхийн тулд Гауссын аргыг ашиглая, учир нь энэ нь тэгшитгэлийн системийн нийцтэй эсвэл үл нийцэх байдлыг тогтоох боломжийг олгодог бөгөөд хэрэв тохирох бол шийдлийг олоорой.

Гауссын аргыг шууд дамжуулсны дараа системийн сүүлчийн тэгшитгэл нь буруу тэгшитгэл болж хувирсан тул тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй байна. Эндээс бид анхны шугамууд зэрэгцээ байна гэж дүгнэж болох бөгөөд эдгээр шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг олох талаар ярих боломжгүй юм.

Хоёр дахь шийдэл.

Өгөгдсөн шугамууд огтлолцож байгаа эсэхийг олж мэдье.

Ердийн вектор нь шугам, вектор нь шугамын хэвийн вектор юм. Векторуудын коллинеар байх нөхцөл ба : тэгш байдал үнэн эсэхийг шалгая, учир нь өгөгдсөн шулуун шугамын хэвийн векторууд коллинеар байна. Дараа нь эдгээр шугамууд зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна. Тиймээс бид анхны шугамуудын огтлолцлын цэгийн координатыг олж чадахгүй.

өгөгдсөн шугамуудын огтлолцлын цэгийн координатыг олох боломжгүй, учир нь эдгээр шугамууд параллель байна.

Шугамануудын огтлолцох цэгийн координатыг ол 2х-1=0ба , хэрвээ огтлолцсон бол.

Өгөгдсөн шулуунуудын ерөнхий тэгшитгэл болох тэгшитгэлийн системийг зохиоё: . Энэ тэгшитгэлийн системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул тэгшитгэлийн систем нь өгөгдсөн шугамуудын огтлолцлыг харуулсан өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Шугамануудын огтлолцлын цэгийн координатыг олохын тулд бид дараахь системийг шийдэх хэрэгтэй.

Үүссэн шийдэл нь шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг, өөрөөр хэлбэл шугамын огтлолцлын цэгийг өгдөг. 2х-1=0Мөн .

Тодорхой болгохын тулд бид хавтгай ба орон зайд хоёр шулуун шугамын огтлолцох цэгийн график дүрслэлийг толилуулж байна.

Орон зайн хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг олох.

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатууд ижил төстэй олддог.

Огтлолцсон шугамуудыг оруулаарай Оксиа Тэгээдтэгш өнцөгт координатын системд заасан Оксизогтлолцсон хоёр хавтгайн тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл шулуун шугам Оксихэлбэр ба шулуун шугамын системээр тодорхойлогддог Тэгээд- . Болъё - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй- шугамын огтлолцлын цэг Оксиа Тэгээд. Дараа нь зааж өгнө үү - төрөл. Онгоцонд ямар нэгэн цэг байг, тэгвэл бид цэг мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэйтодорхойлолтоор нь мөн шугамд хамаарна Оксиба шулуун ТэгээдТиймээс түүний координатууд нь хоёр шулууны тэгшитгэлийг хангадаг. Тиймээс шугамуудын огтлолцох цэгийн координатууд Оксиа Тэгээдхэлбэрийн шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг илэрхийлнэ. Энд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоотой давхцдаггүй шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хэсгийн мэдээлэл хэрэгтэй болно.

Жишээнүүдийн шийдлүүдийг харцгаая.

ба тэгшитгэлээр орон зайд тодорхойлогдсон хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг ол.

Өгөгдсөн шулуунуудын тэгшитгэлээс тэгшитгэлийн системийг зохиоё: . Энэ системийн шийдэл нь бидэнд огторгуй дахь шугамуудын огтлолцох цэгийн шаардлагатай координатыг өгөх болно. Бичсэн тэгшитгэлийн системийн шийдийг олцгооё.

Системийн үндсэн матриц нь хэлбэртэй, өргөтгөсөн нь - .

Матрицын зэрэглэлийг тодорхойлъё Аба матрицын зэрэглэл Т. Бид насанд хүрээгүй хүмүүсийг хиллэх аргыг ашигладаг боловч тодорхойлогчдын тооцоог нарийвчлан тайлбарлахгүй (шаардлагатай бол матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох өгүүллийг үзнэ үү):

Тиймээс үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү бөгөөд гуравтай тэнцүү байна.

Тиймээс тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Бид тодорхойлогчийг суурь минор болгон авах тул сүүлчийн тэгшитгэл нь үндсэн суурь үүсэхэд оролцдоггүй тул тэгшитгэлийн системээс хасах хэрэгтэй. Тэгэхээр,

Үүссэн системийн шийдлийг олоход хялбар байдаг:

Тиймээс шугамуудын огтлолцох цэг нь координаттай байна (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Тэгшитгэлийн систем нь зөвхөн шулуун шугамтай бол өвөрмөц шийдэлтэй байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй Оксиа Тэгээдогтлолцох. Хэрэв шулуун бол Аа Тэгээдзэрэгцээ эсвэл огтлолцсон тохиолдолд тэгшитгэлийн сүүлчийн системд шийдэл байхгүй, учир нь энэ тохиолдолд шугамууд нийтлэг цэгүүдтэй байдаггүй. Хэрэв шулуун бол Оксиа Тэгээддавхцаж байвал тэдгээр нь хязгааргүй олон нийтлэг цэгтэй тул заасан тэгшитгэлийн систем нь хязгааргүй тооны шийдтэй байна. Гэсэн хэдий ч эдгээр тохиолдолд шугамууд огтлолцоогүй тул шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг олох талаар ярьж болохгүй.

Тиймээс, хэрэв бид өгөгдсөн шугамууд огтлолцох эсэхийг урьдчилан мэдэхгүй бол Оксиа Тэгээдүгүй ч юм уу, тэгвэл хэлбэрийн тэгшитгэлийн системийг бүтээж Гауссын аргаар шийдэх нь зүйтэй. Хэрэв бид өвөрмөц шийдлийг олж авбал энэ нь шугамын огтлолцлын цэгийн координаттай тохирч байх болно Оксиа Тэгээд. Хэрэв систем нь нийцэхгүй бол шууд Оксиа Тэгээдогтолж болохгүй. Хэрэв систем нь хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй бол шулуун шугамууд Оксиа Тэгээдтаарах.

Та Гауссын аргыг ашиглахгүйгээр хийж болно. Эсвэл та энэ системийн үндсэн болон өргөтгөсөн матрицуудын зэрэглэлийг тооцоолж, олж авсан өгөгдөл болон Кронекер-Капелли теорем дээр үндэслэн нэг шийдэл байгаа эсвэл олон шийдэл байгаа эсвэл байхгүй гэсэн дүгнэлтийг хийж болно. шийдлүүд. Энэ бол амтны асуудал юм.

Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол огтлолцох цэгийн координатыг тодорхойлно.

Өгөгдсөн тэгшитгэлээс систем байгуулъя: . Үүнийг матриц хэлбэрээр Гауссын аргыг ашиглан шийдье.

Тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй тул өгөгдсөн шугамууд огтлолцохгүй, эдгээр шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг олох асуудал байхгүй болох нь тодорхой болсон.

Эдгээр шугамууд огтлолцдоггүй тул бид өгөгдсөн шугамуудын огтлолцлын цэгийн координатыг олж чадахгүй.

Хэрэв огтлолцох шугамыг орон зай дахь шугамын каноник тэгшитгэл эсвэл огторгуй дахь шугамын параметрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол эхлээд тэдгээрийн тэгшитгэлийг огтлолцох хоёр хавтгай хэлбэрээр олж авах хэрэгтэй бөгөөд үүний дараа огтлолцох цэгийн координатыг олох хэрэгтэй.

Тэгш өнцөгт координатын системд огтлолцсон хоёр шугамыг тодорхойлно Оксизтэгшитгэл ба . Эдгээр шулуунуудын огтлолцох цэгийн координатыг ол.

Анхны шулуун шугамыг огтлолцсон хоёр хавтгайн тэгшитгэлээр тодорхойлъё.

Шулуунуудын огтлолцох цэгийн координатыг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй. Энэ системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү бөгөөд гуравтай тэнцүү байна (бид энэ баримтыг шалгахыг зөвлөж байна). Тиймээс бид хамгийн сүүлийн тэгшитгэлийг системээс хасаж болно. Үүссэн системийг аль ч аргыг (жишээлбэл, Крамерын арга) ашиглан шийдэж, бид шийдлийг олж авдаг. Тиймээс шугамуудын огтлолцох цэг нь координаттай байдаг (-2, 3, -5) .

1. Функцийн графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг олохын тулд функцийг хоёуланг нь тэнцүүлж, $ x $ агуулсан бүх гишүүнийг зүүн тал руу, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлж, язгуурыг олох хэрэгтэй. үр дүнгийн тэгшитгэл.
2. Хоёр дахь арга нь тэгшитгэлийн системийг бий болгож, нэг функцийг нөгөөд орлуулах замаар шийдвэрлэх явдал юм
3. Гурав дахь арга нь функцийг графикаар бүтээх, уулзварын цэгийг нүдээр тодорхойлох явдал юм.

Хоёр шугаман функцийн тохиолдол

$ f(x) = k_1 x+m_1 $ ба $ g(x) = k_2 x + m_2 $ гэсэн хоёр шугаман функцийг авч үзье. Эдгээр функцийг шууд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг бүтээх нь маш хялбар бөгөөд та $ x_1 $ ба $ x_2 $ гэсэн хоёр утгыг авч, $ f(x_1) $ ба $ (x_2) $-ийг олох хэрэгтэй. Дараа нь $ g(x) $ функцтэй ижил зүйлийг давтана. Дараа нь функцийн графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг нүдээр ол.

Шугаман функцууд нь зөвхөн нэг огтлолцох цэгтэй бөгөөд зөвхөн $ k_1 \neq k_2 $ үед л мэдэх ёстой. Үгүй бол $ k_1=k_2 $ тохиолдолд функцууд хоорондоо параллель байна, учир нь $ k $ нь налуугийн коэффициент юм. Хэрэв $ k_1 \neq k_2 $ харин $ m_1=m_2 $ байвал огтлолцох цэг нь $ M(0;m) $ болно. Асуудлыг хурдан шийдвэрлэхийн тулд энэ дүрмийг санах нь зүйтэй.

Хоёр шугаман бус функцийн тохиолдол

Сэтгэгдэл 11

Даалгавар

Эдгээр цэгүүдийн координат ба азимут нь мэдэгдэж буй хоёр цэгээс зурсан хоёр шулуун шугамын огтлолцлын цэгийг ол.

Өргөдөл

Амьтдын зан байдлыг судлахын тулд радиотелеметрийн аргыг ихэвчлэн ашигладаг: судалж буй объектыг тодорхой давтамжийн радио дохиог ялгаруулдаг радио дамжуулагчаар тэмдэглэж, дараа нь судлаач хүлээн авагч, хүлээн авагч антен ашиглан хөдөлгөөнийг хянадаг. энэ объектын. Объектын яг байршлыг тодорхойлох нэг боломжит арга бол хоёр талт арга юм. Үүнийг хийхийн тулд судлаач судалж буй объект руу координат нь мэдэгдэж буй цэгээс 2 азимут авах шаардлагатай. Объектийн байршил нь эдгээр хоёр азимутын огтлолцох цэгтэй тохирно. Азимутыг хэмжих цэгүүдийн координатыг хиймэл дагуулын навигатор (GPS) ашиглан авах эсвэл координат нь урьдчилан мэдэгдэж байгаа лавлах цэгүүдээс азимутыг авах боломжтой. Энэ тохиолдолд азимут нь ихэвчлэн градусаар хэмжигддэг дамжуулагчаар тэмдэглэгдсэн объектоос гарч буй хамгийн хүчтэй дохионы эх үүсвэр рүү чиглэсэн чиглэл юм.

Тооцоолохын өмнө GPS ашиглан олж авсан цэгүүдийг тооцоолсон координатын систем болгон хувиргах шаардлагатай, жишээлбэл, үүнийг DNRGarmin ашиглан хийж болно.

Судалгаанд хамрагдаж буй объектын тооцоолсон байршил нь бодит байрлалд хамгийн зөв тохирч байхын тулд дараахь зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

1) та навигатор дахь координатыг тодорхойлох алдаа аль болох бага болтол хүлээхийг хичээх хэрэгтэй.

2) ингэснээр азимутуудын хоорондох өнцөг нь 90 градус (хамгийн багадаа 30-аас дээш, 150 градусаас бага) байх ёстой.

Азимутыг авах зай нь дамжуулагчийн хүрээнээс хамаардаг бөгөөд 10 м тутамд азимутыг тодорхойлох алдаа нь судалж буй объектын зайнаас 1 метрээр нэмэгддэг. 100 м-ийн зайтай азимутыг авах үед алдаа нь 10 м байх боловч энэ дүрэм нь тэгш, нээлттэй талбайд хамаарна. Газар нутгийн тэгш бус байдал, мод, бут сөөг ургамлыг дэлгэцэнд хийж, дохио тусгаж байгааг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Та судалж буй объекттой ойрхон байхаас зайлсхийх хэрэгтэй, учир нь нэгдүгээрт, хэт хүчтэй дохио нь азимутын яг нарийн тодорхойлоход хүндрэл учруулах, хоёрдугаарт, зарим тохиолдолд хоёр дахь азимут эхний азимут байсан цэгийн ард өнгөрдөг тул огтлолцлын цэгийг тооцоолох боломжгүй болно. авсан. Хос азимут авах хоорондох хугацааг багасгах хэрэгтэй, гэхдээ мэдээжийн хэрэг, судалж буй амьтны хөдөлгөөнөөс хамаарна.

Шийдэл

Асуудлыг энгийн геометр, тэгшитгэлийн системийг ашиглан шийддэг.
Эхлэхийн тулд цэг ба азимутаас бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна, үүний тулд:

Ерөнхий тэгшитгэлээс:

ax + by + c = 0

тохиолдолд b<>Бид 0 авдаг

y = kx + d , Хаана k=-(a/b) , d=-(c/b)

ингэснээр бид олж авдаг

k=tan(a)
d=y-tan(a)*x
b=1

k1x + d1 = y
k2x + d2 = y

Бид хоёр шугамын нийтлэг цэгийн X ба Y координатыг (огтлолцох цэг) олж авдаг.

Тэгшитгэл нь шугамууд зэрэгцээ байх үед хоёр онцгой тохиолдлыг хангах ёстой (k1=k2).

Бид векторууд эсвэл туяатай харьцдаггүй, өөрөөр хэлбэл шугамууд нь эхлэл, төгсгөлгүй байдаг тул сонирхлын талбайн гадна шугамын огтлолцох тохиолдлыг хангах шаардлагатай. хуурамч уулзвар. Энэ асуудлын шийдэл нь худал a3 цэгээс 2-р цэг хүртэлх азимутыг хэмжих замаар хийгддэг, хэрэв азимут a3 = a2 бол огтлолцол худал бол үүссэн цэгээс анхны 2 руу буцах азимут нь тэнцүү байх ёсгүй. анхны азимутуудын нэг.

Avenue хэл дээрх шаардлагатай процедур дараах байдалтай байна.

Өө-өө-өө-өө-өө... за, тэр өөрөө нэг өгүүлбэр уншиж байгаа юм шиг хэцүү байна =) Гэсэн хэдий ч тайвшрах нь дараа нь туслах болно, ялангуяа өнөөдөр би тохирох дагалдах хэрэгслийг худалдаж авсан. Тиймээс, эхний хэсэгт орцгооё, нийтлэлийн төгсгөлд би хөгжилтэй байх болно гэж найдаж байна.

Хоёр шулуун шугамын харьцангуй байрлал

Үзэгчид найрал дуугаар дуулж байхад ийм л байдаг. Хоёр шулуун шугам байж болно:

1) тохирох;

2) зэрэгцээ байх: ;

3) эсвэл нэг цэгээр огтлолцоно: .

Дамми нарт туслах : Математик уулзварын тэмдгийг санаарай, энэ нь маш олон удаа гарч ирэх болно. Тэмдэглэгээ нь шугам нь цэг дээрх шугамтай огтлолцдог гэсэн үг юм.

Хоёр шугамын харьцангуй байрлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Эхний тохиолдлоос эхэлье:

Харгалзах коэффициентүүд нь пропорциональ байвал хоёр шугам давхцдаг, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал хангагдсан "ламбда" гэсэн тоо байдаг

Шулуун шугамуудыг авч үзээд харгалзах коэффициентуудаас гурван тэгшитгэл байгуулъя: . Тэгшитгэл бүрээс харахад эдгээр шугамууд давхцаж байна.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв тэгшитгэлийн бүх коэффициентууд -1 (тэмдэг өөрчлөх), тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг үржүүлнэ 2-оор тайрахад та ижил тэгшитгэлийг авна: .

Хоёр дахь тохиолдол, шугамууд зэрэгцээ байх үед:

Хоёр шугам нь зөвхөн хувьсагчийн коэффициентүүд нь пропорциональ байвал зэрэгцээ байна. , Гэхдээ.

Жишээ болгон хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Бид хувьсагчдын харгалзах коэффициентүүдийн пропорциональ байдлыг шалгана.

Гэсэн хэдий ч энэ нь маш тодорхой юм.

Гурав дахь тохиолдол, шугамууд огтлолцох үед:

Хоёр шугам нь хувьсагчийн коэффициентууд нь пропорциональ БИШ биш тохиолдолд л огтлолцоно, өөрөөр хэлбэл тэгш байдлыг хангасан "ламбда"-ын утга байхгүй

Тиймээс шулуун шугамын хувьд бид дараахь системийг бий болгоно.

Эхний тэгшитгэлээс , хоёр дахь тэгшитгэлээс: , гэсэн утгатай систем нь нийцэхгүй байна(шийдэл байхгүй). Тиймээс хувьсагчдын коэффициент нь пропорциональ биш юм.

Дүгнэлт: шугамууд огтлолцдог

Практик асуудлуудад та саяхан хэлэлцсэн шийдлийн схемийг ашиглаж болно. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь бидний ангид үзсэн векторуудын уялдаа холбоог шалгах алгоритмыг санагдуулдаг. Векторуудын шугаман хамаарлын тухай ойлголт. Векторуудын үндэс. Гэхдээ илүү соёлтой савлагаа байдаг:

Жишээ 1

Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол:

Шийдэлшулуун шугамын чиглүүлэх векторуудын судалгаанд үндэслэн:

a) Тэгшитгэлээс бид шулуунуудын чиглэлийн векторуудыг олно. .

, энэ нь векторууд нь коллинеар биш, шугамууд огтлолцдог гэсэн үг юм.

Ямар ч тохиолдолд би уулзвар дээр тэмдэг бүхий чулуу тавина:

Үлдсэн хэсэг нь чулуун дээгүүр үсэрч, цаашаа шууд үхэшгүй мөнх Кащей руу явна =)

б) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол:

Шугамууд нь ижил чиглэлийн вектортой бөгөөд энэ нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна гэсэн үг юм. Энд тодорхойлогчийг тоолох шаардлагагүй.

Үл мэдэгдэхийн коэффициентүүд нь пропорциональ байх нь тодорхой бөгөөд .

Тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье:

Тиймээс,

в) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол:

Эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.
, тиймээс чиглэлийн векторууд нь коллинеар байна. Шугамууд нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна.

"lambda" пропорциональ коэффициентийг коллинеар чиглэлийн векторуудын харьцаанаас шууд харахад хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч үүнийг тэгшитгэлийн коэффициентүүдээр дамжуулан олж болно. .

Одоо тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье. Үнэгүй нөхцөл хоёулаа тэг тул:

Үүссэн утга нь энэ тэгшитгэлийг хангана (ерөнхийдөө дурын тоо үүнийг хангана).

Тиймээс шугамууд давхцдаг.

Хариулт:

Удалгүй та амаар хэлэлцсэн асуудлыг хэдхэн секундын дотор шийдэж сурах болно (эсвэл бүр аль хэдийн сурсан). Үүнтэй холбогдуулан би геометрийн сууринд өөр нэг чухал тоосго тавих нь илүү дээр юм.

Өгөгдсөн шугамтай параллель шугамыг хэрхэн барих вэ?

Энэхүү энгийн даалгаврыг үл тоомсорлосоны улмаас Nightingale the Nightingale нь хатуу шийтгэдэг.

Жишээ 2

Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Цэгээр дамжин өнгөрөх параллель шулууны тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл: Үл мэдэгдэх мөрийг үсгээр тэмдэглэе. Нөхцөл байдал нь түүний талаар юу хэлэх вэ? Шулуун шугам нь цэгээр дамждаг. Хэрэв шугамууд зэрэгцээ байвал "tse" шулуун шугамын чиглэлийн вектор нь "de" шулуун шугамыг барихад тохиромжтой байх нь ойлгомжтой.

Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторыг гаргаж авдаг.

Хариулт:

Жишээний геометр нь энгийн харагдаж байна:

Аналитик туршилт нь дараах үе шатуудаас бүрдэнэ.

1) Шугамууд ижил чиглэлтэй вектор байгаа эсэхийг шалгана (хэрэв шулууны тэгшитгэлийг зөв хялбарчлаагүй бол векторууд нь коллинеар байх болно).

2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу.

Ихэнх тохиолдолд аналитик туршилтыг амаар хялбархан хийж болно. Хоёр тэгшитгэлийг хар, тэгвэл та нарын олонхи нь ямар ч зураглалгүйгээр шугамуудын параллел байдлыг хурдан тодорхойлох болно.

Өнөөдөр бие даасан шийдлүүдийн жишээ нь бүтээлч байх болно. Учир нь та Баба Ягатай өрсөлдөх шаардлагатай хэвээр байх болно, тэр бол бүх төрлийн оньсогоонд дуртай нэгэн.

Жишээ 3

Хэрэв шулуунтай параллель цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич

Үүнийг шийдэх оновчтой, тийм ч оновчтой бус арга бий. Хамгийн богино зам бол хичээлийн төгсгөлд байдаг.

Бид зэрэгцээ шугамуудтай бага зэрэг ажилласан бөгөөд дараа нь тэдгээрт буцаж очих болно. Мөрүүд давхцах нь сонирхол багатай тул сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс танд маш сайн танил болсон асуудлыг авч үзье.

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв шулуун бол цэг дээр огтлолцвол координатууд нь шийдэл болно шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ? Системийг шийд.

Энд байна хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн геометрийн утга- эдгээр нь хавтгай дээрх хоёр огтлолцсон (ихэнхдээ) шугам юм.

Жишээ 4

Шугамын огтлолцлын цэгийг ол

Шийдэл: График болон аналитик гэсэн хоёр аргаар шийдвэрлэх боломжтой.

График арга нь зүгээр л өгөгдсөн шугамуудыг зурж, огтлолцлын цэгийг зургаас шууд олох явдал юм.

Бидний санаа энд байна: . Шалгахын тулд та түүний координатыг шугамын тэгшитгэл бүрт орлуулах хэрэгтэй бөгөөд тэдгээр нь тэнд, тэнд хоёуланд нь тохирох ёстой. Өөрөөр хэлбэл цэгийн координат нь системийн шийдэл юм. Үндсэндээ бид график шийдлийг авч үзсэн шугаман тэгшитгэлийн системүүдхоёр тэгшитгэлтэй, хоёр үл мэдэгдэх.

График арга нь мэдээжийн хэрэг муу биш, гэхдээ мэдэгдэхүйц сул талууд байдаг. Үгүй ээ, гол нь долдугаар ангийн хүүхдүүд ингэж шийдээд байгаа юм биш, гол нь зөв, ЗӨВ зураг бүтээхэд цаг хугацаа хэрэгтэй. Нэмж дурдахад зарим шулуун шугамыг барихад тийм ч хялбар биш бөгөөд огтлолцох цэг нь өөрөө гуч дахь хаант улсын хаа нэгтээ дэвтрийн хуудасны гадна байрладаг байж болно.

Тиймээс аналитик аргыг ашиглан огтлолцох цэгийг хайх нь илүү тохиромжтой. Системийг шийдье:

Системийг шийдвэрлэхийн тулд тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх аргыг ашигласан. Холбогдох чадварыг хөгжүүлэхийн тулд хичээлд хамрагдаарай Тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?

Хариулт:

Шалгалт нь өчүүхэн юм - огтлолцлын цэгийн координатууд нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангах ёстой.

Жишээ 5

Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол тэдгээрийн огтлолцох цэгийг ол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Даалгаврыг хэд хэдэн үе шатанд хуваахад тохиромжтой. Нөхцөл байдлын шинжилгээ нь дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай байгааг харуулж байна.
1) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
2) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
3) Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол.
4) Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол огтлолцох цэгийг ол.

Үйлдлийн алгоритмыг боловсруулах нь геометрийн олон асуудлуудын хувьд ердийн зүйл бөгөөд би үүн дээр дахин дахин анхаарлаа хандуулах болно.

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл ба хариулт:

Хичээлийн 2-р хэсэгт орохоос өмнө ганц ч гутал элэгдсэнгүй.

Перпендикуляр шугамууд. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.
Шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Ердийн бөгөөд маш чухал ажлаас эхэлцгээе. Эхний хэсэгт бид үүнтэй зэрэгцэн шулуун шугам барихыг сурсан бөгөөд одоо тахианы хөл дээрх овоохой 90 градус эргэх болно.

Өгөгдсөн шугамд перпендикуляр шугамыг хэрхэн барих вэ?

Жишээ 6

Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Тухайн цэгийг дайран өнгөрөх шулуунд перпендикуляр тэгшитгэл бич.

Шийдэл: Нөхцөлөөр энэ нь мэдэгдэж байна. Шугамын чиглүүлэх векторыг олох нь сайхан байх болно. Шугамууд перпендикуляр байдаг тул заль мэх нь энгийн:

Тэгшитгэлээс бид хэвийн векторыг "арилгаж": , энэ нь шулуун шугамын чиглүүлэх вектор болно.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя.

Хариулт:

Геометрийн тоймыг өргөжүүлье:

Ммм... Улбар шар тэнгэр, улбар шар тэнгис, улбар шар тэмээ.

Шийдлийн аналитик баталгаажуулалт:

1) Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторуудыг гаргаж авдаг мөн тусламжтайгаар векторуудын скаляр үржвэрШулуун нь үнэхээр перпендикуляр байна гэсэн дүгнэлтэд бид хүрч байна: .

Дашрамд хэлэхэд та ердийн векторуудыг ашиглаж болно, энэ нь бүр ч хялбар юм.

2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу .

Туршилтыг дахин амаар хийхэд хялбар байдаг.

Жишээ 7

Тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол перпендикуляр шулуунуудын огтлолцох цэгийг ол ба хугацаа.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Асуудалд хэд хэдэн арга хэмжээ байдаг тул шийдлийг цэг болгон томъёолох нь тохиромжтой.

Бидний сэтгэл хөдөлгөм аялал үргэлжилсээр байна:

Цэгээс шугам хүртэлх зай

Бидний өмнө шулуун голын зурвас байгаа бөгөөд бидний даалгавар бол хамгийн богино замаар хүрэх явдал юм. Ямар ч саад тотгор байхгүй, хамгийн оновчтой зам нь перпендикулярын дагуу шилжих болно. Өөрөөр хэлбэл, цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикуляр сегментийн урт юм.

Геометрийн зайг уламжлалт ёсоор Грекийн "rho" үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: - "em" цэгээс "de" шулуун шугам хүртэлх зай.

Цэгээс шугам хүртэлх зай томъёогоор илэрхийлнэ

Жишээ 8

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол

Шийдэл: таны хийх ёстой зүйл бол томъёонд тоонуудыг сайтар орлуулж, тооцооллыг хийх явдал юм.

Хариулт:

Зураг зурцгаая:

Цэгээс шугам хүртэлх олсон зай нь улаан сегментийн урттай яг тэнцүү байна. Хэрэв та алаг цаасан дээр 1 нэгжийн масштабаар зураг зурвал. = 1 см (2 нүд), дараа нь зайг энгийн захирагчаар хэмжиж болно.

Ижил зураг дээр үндэслэсэн өөр даалгаврыг авч үзье.

Даалгавар нь шулуун шугамтай харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн координатыг олох явдал юм . Би алхмуудыг өөрөө хийхийг санал болгож байна, гэхдээ би шийдлийн алгоритмыг завсрын үр дүнгээр тайлбарлах болно:

1) Шугаманд перпендикуляр шугамыг ол.

2) Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол: .

Энэ хоёр үйлдлийг энэ хичээлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

3) Цэг нь сегментийн дунд цэг юм. Бид дунд болон нэг төгсгөлийн координатыг мэддэг. By сегментийн дунд цэгийн координатын томъёобид олдог.

Мөн зай нь 2.2 нэгж байгаа эсэхийг шалгах нь зүйтэй юм.

Энд тооцоолол хийхэд хүндрэл гарч болзошгүй ч микро тооцоолуур нь цамхагт маш сайн туслах бөгөөд энгийн бутархайг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Би танд олон удаа зөвлөсөн бөгөөд дахин санал болгох болно.

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 9

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх бас нэг жишээ юм. Би танд бага зэрэг зөвлөгөө өгөх болно: үүнийг шийдэх хязгааргүй олон арга бий. Хичээлийн төгсгөлд дүгнэлт хийж байна, гэхдээ та өөрөө таах гэж оролдсон нь дээр, таны авъяас чадвар сайн хөгжсөн гэж бодож байна.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Булан бүр нь түгжрэл юм:


Геометрийн хувьд хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ЖИЖИГ өнцөг гэж авдаг бөгөөд үүнээс автоматаар мохоо байж болохгүй гэсэн дүгнэлт гарна. Зураг дээр улаан нумаар заасан өнцгийг огтлолцсон шугамын хоорондох өнцөг гэж үзэхгүй. Мөн түүний "ногоон" хөрш эсвэл эсрэг чиглэсэн"бөөрөлзгөнө" булан.

Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал 4 өнцгийн аль нэгийг нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг болгон авч болно.

Өнцөг ямар ялгаатай вэ? Баримтлал. Нэгдүгээрт, өнцгийг "гүйлгэх" чиглэл нь үндсэндээ чухал юм. Хоёрдугаарт, сөрөг чиглэлтэй өнцгийг хасах тэмдгээр бичнэ, жишээлбэл.

Би яагаад чамд үүнийг хэлсэн юм бэ? Өнцөг гэдэг жирийн нэг ойлголтоор л явж чадах юм шиг байна. Бидний өнцгийг олох томъёо нь сөрөг үр дүнд амархан хүргэж болзошгүй тул энэ нь таныг гайхшруулах ёсгүй. Хасах тэмдэгтэй өнцөг нь үүнээс муу зүйл биш бөгөөд маш тодорхой геометрийн утгатай. Зураг дээр сөрөг өнцгийн хувьд түүний чиглэлийг сумаар (цагийн зүүний дагуу) зааж өгөхөө мартуузай.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг хэрхэн олох вэ?Хоёр ажлын томъёо байдаг:

Жишээ 10

Шугамын хоорондох өнцгийг ол

Шийдэла Нэгдүгээр арга

Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хоёр шулуун шугамыг ерөнхий хэлбэрээр авч үзье.

Хэрэв шулуун бол перпендикуляр биш, Тэр чиглэсэнТэдний хоорондох өнцгийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

Хуваарьт анхаарлаа хандуулцгаая - энэ нь яг тийм юм скаляр бүтээгдэхүүншулуун шугамын чиглүүлэх векторууд:

Хэрэв , тэгвэл томъёоны хуваагч тэг болж векторууд нь ортогональ, шулуунууд перпендикуляр байх болно. Тийм ч учраас томъёонд шулуун шугамын перпендикуляр бус байдлын талаар тайлбар хийсэн.

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн шийдлийг хоёр үе шаттайгаар албан ёсны болгох нь тохиромжтой.

1) Шугамын чиглэлийн векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолъё.
, энэ нь шугамууд перпендикуляр биш гэсэн үг юм.

2) Дараах томъёог ашиглан шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол.

Урвуу функцийг ашигласнаар өнцгийг өөрөө олоход хялбар байдаг. Энэ тохиолдолд бид арктангентын сондгой байдлыг ашигладаг (харна уу. График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд):

Хариулт:

Таны хариултанд бид тооцоолуур ашиглан тооцоолсон тодорхой утгыг, мөн ойролцоо утгыг (градус ба радианаар аль алинд нь илүү тохиромжтой) зааж өгсөн болно.

За, хасах, хасах, том асуудал биш. Энд геометрийн дүрслэл байна:

Өнцөг нь сөрөг чиглэлтэй болсон нь гайхах зүйл биш юм, учир нь асуудлын мэдэгдэлд эхний тоо нь шулуун шугам бөгөөд өнцгийг "тайлах" нь яг түүгээр эхэлсэн юм.

Хэрэв та үнэхээр эерэг өнцөг авахыг хүсч байвал шугамуудыг солих хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авах хэрэгтэй. , эхний тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авна. Товчхондоо та шууд ярианаас эхлэх хэрэгтэй .